Az anyagi pont mozgástörvénye az x,y,z vonatkoztatási rendszerben

Átírás

1 Mozgástörény összefüggései Az anyagi pont mozgástörénye az,y,z onatkoztatási rendszerben u w r = at i + bt j + ct k Határozzuk meg a pont pillanatnyi - helyzetét, sebességét és gyorsulását tetszőleges t időpontban a térben, - helye, sebessége és gyorsulása etületét alamelyik (,y), (y,z) agy (z,) koordinátasíkban, - helyét, sebességét és gyorsulását alamelyik, y, agy z koordinátairányban Ebben a tárgyalásmódban az együtthatók és t [sec] dimenziójának összhangját nem elemezzük, t az idő szerinti deriálás égrehajtását teszi lehetőé, a, b és c pedig állandók Feltételezzük, hogy az így adódó eredmények dimenziója m, ms -1 és ms - A példa célja a deriálás és a koordinátasíkokra és irányokra onatkozó etítés gyakorlása A mozgástörénynek megfelelő sebesség a gyorsulás u 1 1 w 1 = r& = aut i + bt j + cwt, u w ( u 1) t i + b( 1) ) t j + cw( w 1) t k a = & = & r = au Adott időpillanathoz tartozó értékeket t, u,, w, illete az a, b és c állandók konkrét megálasztásáal állíthatunk elő Ha például a =, b = 4 és c = 3, u = 1, = 3 és w =, akkor a t = időpillanatban a pont helye 1 3 r = i + 4 j + 3 k = 4i + 3 j + 1, A pont sebessége a z, síkkal párhuzamosan ( ) k 1 ( ) 1 i + 3 k = i 1 k =, z + gyorsulása pedig y irányban a 1 = 4 3 j 48 j y = A különféle ektorok nagyságát mindig a komponenseik ektoriális összegzéséel (a Pythagoras-tétel szerint) lehet megadni Például a sebesség nagysága 1 ( ) ( 1 ) + ( 4 3 ) + ( 3 ) = 45 49, 4 = ms -1

2 Scharle Péter, Hala Katalin Vonat az alagútban Mekkora annak a egyenletes sebességgel haladó szerelénynek a hossza (l), amelyik egy L hosszúságú alagúton t a idő alatt halad át? l L A teljes áthaladásnak megfelelő úthossz s = L + l, amelyet a onat t a idő alatt tesz meg, sebességgel Köetkezésképpen a onat hossza s = t a l = s L (Az arcpirítóan egyszerű feladat a középiskolák második osztályos tanulói által ismert összefüggések használatáal oldható meg Gyakorló értéke abban áll, hogy mennyire sikerül a megfogalmazott kérdést matematikai összefüggéssé formálni) Zsigri F feladata (KöMal, P453) nyomán Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

3 Scharle Péter, Hala Katalin Utolérés Az autópályán kaargó ködfoltokat kerget a szél A középső sában A = 16 km/óra sebességgel haladó személygépkocsi ezetője előtt L = 3 m táolságban kamion bukkan elő A forgalom a szomszédos sáokban is erős, sem kikerülésre, sem előzésre nincs lehetőség A ezetőnek jók a refleei: t r =, s idő elteltéel már fékez Jók a jármű fékei is: a gépkocsi lassulása a A =, ms - Sikerül-e elkerülni a ráfutásos balesetet, ha a kamion nem fékez, sebessége pedig K = 9 km/óra? A K L Az ütközés akkor nem köetkezik be, ha a gépkocsi úgy tud lelassulni a kamion sebességére, hogy eközben az általa megtett út legfeljebb 3 méterrel hosszabb, mint a kamioné A lelassuláshoz szükséges idő a A a At = K, azaz 35, t = 5 összefüggésből adódik, t = 5 s A személygépkocsi ennyi idő alatt utat tesz meg A kamion által megtett út t 5 s A = Atr + At a A = , = 157 m sk = K ( tr + t) = 5, 5 = 13 m A személygépkocsi eszerint a kamiont 3 métere megközelíti, de nem ütközik hozzá, és eközben reménykedhet abban, hogy a sájában mögötte haladók hasonló sikerrel fékeznek Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

4 Scharle Péter, Hala Katalin Kalapácsetés ϕ R y A kalapácsető sporteszközét (bonyolult kar- és lábmunkáal) enyhén elliptikus, közel síkbeli pályán gyorsítja egy törzsén átmenő, képzelt, tengely körül az elengedés pillanatáig A alóságban ez a pálya még mozog is a dobókörben Ezektől a körülményektől eltekinte feltételezzük, hogy a kalapács anyagi pont, amelynek mozgástörénye megadható az s = krt egyenlettel (ebben a kifejezésben t időt jelent, ezzel összhangban k dimenziója [T - ]) A mozgás kezdetén (a t = időpillanatban) s = Írjuk fel a pont mozgásjellemzőinek kifejezéseit polárkoordináta-rendszerben! Mekkora lesz a pont sebessége az első kör égén? Mekkorák a gyorsulásektor összeteői ugyanebben a pillanatban? A szögelfordulást megadó függény a ϕ = s = kt R összefüggésből adódik Ennek ismeretében a szögsebesség és a szöggyorsulás közetlenül számítható: dϕ d ϕ ω ( t) = = & ϕ = kt és κ ( t) = = & ω( t) = k dt dt A pálya menti sebesség, illete a gyorsulás pálya menti és centrifugális összeteői: = Rω = krt, a e = Rκ = kr a n = Rω = 4k Rt Az első kör égén a pont éppen kiinduló helyzetében an, a megtett út s = Rπ Az eddig eltelt idő a s krt1 ϕ = = = kt1 = π R R Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

5 Scharle Péter, Hala Katalin összefüggésből számítható, π t1 = k Az ennyi idő alatt elért szögsebesség ω = kt 1 = 8kπ s -1, a sebesség = Rω = R 8kπ, a gyorsulás-összeteők pedig a e = kr és = 8kπR a n Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

6 Scharle Péter, Hala Katalin Futók a körpályán 1 Köralakú, R sugarú futópályán két futó edz Amíg András három kört tesz meg, addig Béla négyet A pálya közepén ½R sugarú, bozótos terület an, emiatt futás közben a futók csak az előttük léő pálya egy röidebb szakaszát látják A futók egyszerre indulnak az S pontból, egyszerre fejezik be az edzést, Béla kört tesz meg Milyen hosszú az a pályaszakasz, amelyen András Béla hátát látja? Milyen hosszú az a pályarész, amelyen Béla látja András hátát? B A R ½R S Az R sugarú kör bármely pontjából az ½R sugarú bozótos terület takarása miatt a pálya köetkező (és előző) egyharmada látható Béla fut gyorsabban ( A = ¾ B ), az edzés égéig András 15 kört tesz meg, őt Béla addig éppen ötször éri utol Mindkét futó pályamenti sebessége állandó, ezért bármelyikük álasztható olyan körpályán mozgó onatkoztatási rendszer kezdőpontjának, amelyben a másik futó relatí mozgása alapján lehet megálaszolni a kérdést A lassabban futó Andráshoz rendelt onatkoztatási rendszerben András áll, hozzá képest Béla B - A = ¼ B sebességgel halad Ha András eközben a pálya egyharmadát látja, akkor ez azt jelenti, hogy az edzés idejének harmadában láthatja Béla hátát A gyorsabban futó Bélához rendelt onatkoztatási rendszerben András a futás irányáal ellenkező irányban halad az álló Bélához képest Miel Béla is a pálya egyharmadát látja, András hátát ő is az edzés idejének egyharmadáig látja Az észlelés ideje eszerint mindkét sportoló esetében azonos ideig tart csak a belátott pályaszakasz és az egész pálya hosszának arányától függ Más a helyzet az eközben befutott táolság tekintetében A futók sebességének 15 különbözősége miatt András = 5 környi hosszon látja Béla hátát, Béla = 6, 6 & környi 3 3 hosszon át láthatja Andrásét 1 Simon P feladata (KöMaL, 9/3, p176) nyomán Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

7 Scharle Péter, Hala Katalin Gépjármű próbapálya Az autógyár próbapályája két félköríből és két egyenes szakaszból áll, az alakját meghatározó két adat R=5 m és L=4 m A gyorsítási és lassítási tulajdonságokat az egyenes szakaszokon ellenőrzik, itt a gépkocsik egyenletesen gyorsíthatnak és lassíthatnak, az íekben szigorúan előírt, R = ms -1 sebességgel kell haladni A járműek által elérhető égsebesség 6 ms -1,5L,75L R A gyorsítást az egyenes szakasz kezdetén lehet megkezdeni,,75l út megtétele után (tehát a köetkező í kezdete előtt,5l táolságban) pedig el kell kezdeni a lassítást A sebesség áltozása mindig lineáris (a gyorsulás és a lassulás állandó) Mekkora gyorsulás szükséges ahhoz, hogy egy próbajármű a megengedett maimális sebességet elérje a pálya által megengedett módon? Mekkora lassulásra kell képessé tenni egy ilyen járműet ahhoz, hogy megfeleljen a pálya adottságainak? Mekkora a 8 kg tömegű pilótát üléséhez szorító legnagyobb erő? Mekkora a jármű gyorsulása az íes szakasz felénél? A feladat megfogalmazásában szerepel a sebesség, a gyorsulás és az út nem jelenik meg eplicit formában az idő A megoldást ezért két alapösszefüggés összeonásáal, az időáltozó kiküszöböléséel célszerű megkeresni Definícióink szerint d d a = és =, dt dt amiből d = ad köetkezik Ha az a gyorsulás állandó, akkor ennek az egyenlőségnek mindkét oldala a saját áltozó szerint integrálható, egymásnak megfelelő határok között : d = 1 1 ad 1 = a( 1 Ez az összefüggés a gyorsítási és a lassítási szakaszra is érényes A megengedett legnagyobb sebesség eléréshez szükséges a ma gyorsulás ezért a 6 = 3a összefüggésből adódik, a ma = 5,33 ms - Az egyenes szakasz égére előírt sebességhez szükséges lassulásra a ) ö BHTongue, SDSheppard, Dynamics,Wiley, 5 ennek belátása nem dinamikai, hanem matematikai ismeret, illete megfontolás kérdése Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

8 Scharle Péter, Hala Katalin 6 = 1a összefüggés érényes, amiből a min = -16 ms - köetkezik A jármű ezetőjére eszerint a gyorsító szakaszon ~,54 g, a lassító szakaszon ~ -1,6 g gyorsulás hat Az üléshez szorító erő részben a súlyerő, részben a gyorsulásnak megfelelő ízszintes tehetetlenségi erő Ezek ektoriális összege a gyorsító szakaszon ( mg) + (,54mg) 1, 14mg Vegyük észre, hogy az üléshez szorító hatásnál kényesebb a lassulási szakaszon keletkező hatás, amely ellen megfelelő teherbírású biztonsági öel kell édeni a pilótát Az íes szakaszon a pályamenti sebesség állandó, ezért az érintő irányú gyorsulás nulla Az í középpontja felé mutató gyorsulás =,8g R 5 Vegyük észre, hogy a járműeket tesztelő pilóták meglehetősen komoly gyorsulások eliselésére kényszerülnek, ráadásul a fiziológiai igénybeételek meglehetősen egyenlőtlenek A Forma 1 futamok nézői ritkán gondolnak ilyen összefüggésekre, és a nagy teljesítményű járműek bátor ezetőit is érhetik meglepetések közutak számukra ismeretlen szakaszain Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

9 Scharle Péter, Hala Katalin Oldalgyorsulás asúti pályán z z = ln 1 a n A asúti pályagörbe egyenlete az ábrán feltüntetett onatkoztatási rendszerben z = 15ln Egy személyonat a pályán = ms -1 sebességgel halad Milyen gyorsulást érzékelnek az utasok az = 1, z = pontban, ha ott nincs túlemelés? A gyorsulás érintőirányú összeteője a τ = & e τ =, mert a pályamenti sebesség állandó A normális irányába eső összeteő (az utasok számára ez kelti az oldalgyorsulás érzetét) a = n = ρ ρ A görbületi sugarat matematikai előzményeket felidéze az d z 1 = d 3 ρ dz 1+ d összefüggésből nyerjük; a z() függény két deriáltja A kérdéses pontban = 1, amiel z () = 15-1 és z () = = 4,4 1 3 ρ ( ) m -1 és így (az ábrán feltüntetett előjel-értelmezéssel) a = 4 4, ,8 ms - n Györgyi J: Dinamika (17 p5) példája nyomán Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

10 Scharle Péter, Hala Katalin Súlygolyó mozgása A súlylökő H magasságból a ízszintes iránnyal α szöget bezáró kezdeti sebességgel indítja el a sportszert Írja fel az anyagi pontnak tekinthető golyó z = z () pályájának egyenletét a mozgás koordinátasíkjában! Az indítás helyétől milyen ízszintes táolságban ér földet a golyó? z z = z() α H k i A golyó mozgásának jellemzőit az i és k egységektorokkal lehet kifejezni Helyzetektora, sebességektora és gyorsulásektora definíciószerűen r (t) = (t) i + z (t) k (t) = = t i + (H + i + ( sinα gt ) k a (t) = - g k 1 t sin a gt ) k A pálya z = z () egyenletét a t paraméter kiküszöböléséel állíthatjuk elő Az (t) = tcos α összefüggésből t =, amiel 1 g z( ) = H + sinα g H tgα = + cos α g A golyó földet akkor ér, amikor z ( ) =, azaz H + tgα = Ennek a cos α másodfokú egyenletnek a pozití gyöke jelenti a megoldást: = sin α + g sinα g H + g Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

11 Scharle Péter, Hala Katalin Ugyanerre az eredményre jutunk, ha észreesszük, hogy a golyó akkor ér földet, amikor 1 z (t) = (H + t sin a gt ) = Ebből a t-ben másodfokú kifejezésből a repülés ideje számítható ki: t r = sinα + g sinα g H + g A ízszintes irányban állandó = cos α sebességgel mozgó golyó ennyi idő alatt éppen = t r = sin α + g sinα g H + g táolságra ér el Széchenyi Istán Egyetem 9 Szerkezetépítési Tanszék

12 Súlygolyó mozgása A súlylökő H magasságból a ízszintes iránnyal α szöget bezáró kezdeti sebességgel indítja el a sportszert Írja fel az anyagi pontnak tekinthető golyó z = z () pályájának egyenletét a mozgás koordinátasíkjában! Az indítás helyétől milyen ízszintes táolságban ér földet a golyó? z z = z() k H i A golyó mozgásának jellemzőit az i és k egységektorokkal lehet kifejezni Helyzetektora, sebességektora és gyorsulásektora definíciószerűen r (t) = (t) i + z (t) k = t i + (H + 1 t sin a gt ) k (t) = i + ( sinα gt ) k a (t) = - g k A pálya z = z () egyenletét a t paraméter kiküszöböléséel állíthatjuk elő Az (t) = tcos α összefüggésből t =, amiel 1 g z( ) = H + sinα g H tgα = + cos α g A golyó földet akkor ér, amikor z ( ) =, azaz H + tgα = Ennek a cos α másodfokú egyenletnek a pozití gyöke jelenti a megoldást: sin α sinα H = + + g g g Ugyanerre az eredményre jutunk, ha észreesszük, hogy a golyó akkor ér földet, amikor 1 z (t) = (H + t sin a gt ) = Ebből a t-ben másodfokú kifejezésből a repülés ideje számítható ki: sinα sinα H tr = + + g g g A ízszintes irányban állandó = cos α sebességgel mozgó golyó ennyi idő alatt éppen táolságra ér el α = t r = sin α + g sinα g H + g

13 Kaicsszemcse Számítsa ki, hogy egy sebességgel haladó gépjármű R sugarú gumiabroncsának hornyai közé szorult apró kaicsszemcse sebessége milyen határok között áltozik a haladás irányában! A kerék csúszásmentesen gördül R G G G = Rω K D PK P A gördülő kerék a G tengely körül forog, amelynek a sebessége azonos a jármű sebességéel A kerék mozgása így a tengely körüli forgás és a haladó mozgás összege A csúszásmentes gördülés azt jelenti, hogy a pillanatnyi forgásközéppont a kerék és a talaj mindenkori érintkezési pontja, P Emiatt a P pont körüli forgó mozgás szögsebessége ω =, R így a köpeny kerületén léő tetszőleges K pont sebessége = + D = D K P PKω PKω Ebben a kifejezésben P = és ω állandó, miközben D PK R A két szélső érték tehát és Ugyanezt az eredményt más megfontolással is elérhetjük A K pont sebessége az eltolódás G sebességének és a G tengely körüli forgásból adódó Rω kerületi sebességnek a ektoriális összege, = Rω K G + Ebben a kifejezésben G =, Rω pedig a kört érintő, áltozó irányú ektor, amelynek nagysága azonban szintén állandó, R ω = A két ektor ektoriális összegének nagysága emiatt és között áltozik

14 Megcsúszó festőlétra C C' D D ' γ ' D' γ l A' A B A festő létrájának szárai munkahelyzetben egymással γ = 3 szöget zárnak be, a szárak hossza l = 4 m A baloldali szárat áratlan erőhatás éri, ennek köetkeztében az A pont a = 1 ms - gyorsulással megindul, és mindaddig mozog, amíg a két lábat összekötő lánc meg nem feszül Ebben a helyzetben a szárak által bezárt szög éppen γ = 9 Mi a mértani helye a DA létraszár pillanatnyi forgásközéppontjának? Mekkora lesz a megállás pillanatában a D pont sebességének ízszintes összeteője? A létra B pontja a helyén marad, ezért a D pont a B pont körüli, l sugarú körí mentén mozog A D sebességektor emiatt mindig merőleges a BD létraszárra A D pont tehát a mozgás folyamán mindig olyan pillanatnyi forgásközéppont körül fordul el, amely a BD szakasz által meghatározott egyenesre illeszkedik Az A pont sebessége iszont a padlóal párhuzamos, a hozzá rendelhető pillanatnyi forgásközéppont ezért mindig rajta an az A ponthoz illeszkedő, függőleges irányú egyenesen Az AD létraszár mere testként mozog, ezért pillanatnyi forgásközéppontja éppen a D és A pontok forgásközéppontját hordozó egyenesek metszéspontja, C Ez a pont a geometriai adatokból köetkezően a B pontból l sugárral húzható körön fekszik, e kör a keresett mértani hely (fontoljuk meg, hogy miként folytatódna a mozgás és milyen irányú lenne a D pont sebessége a padlóhoz érkezés pillanatában, ha az összekötő lánc elszakadna), Az A pont által megtett út s = ( l sinγ l sinγ ) 3, 5 m, az összekötő lánc megfeszüléséig s eltelő idő t =, 68 s Az A pont sebessége ekkor A = at, 7 ms -1 A D pont a sebességének ízszintes komponense ennek éppen fele Györgyi J: Dinamika (Műegyetemi Kiadó), 11 példa nyomán