Az e számhoz tartó sorozatok vizsgálata elemi és analízisbeli módszerekkel. Varga Anita

Átírás

1 Az számhoz tartó sorozatok vizsgálata lmi és aalízisbli módszrkkl Varga Aita Matmatika BSc, taári szakiráy Szakdolgozat Témavzt : Pfil Tamás Adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatmatikai Taszék Eötvös Lorád Tudomáygytm Trmészttudomáyi Kar Budapst, 05

2 Tartalomjgyzék Nvzts -hz tartó sorozatok A három f bb sorozat Az!, N + sorozat 5 3 A faktoriálisok rciprokáak összg 6 Az + ) +α, N + sorozat vizsgálata 9 A sorozat vizsgálata a dirciálszámítás szközivl 9 A határst vizsgálata lmi módszrrl 0 3 Az + ) + c), N + sorozat vizsgálata 3 A sorozat vizsgálata aalízisbli módszrrl 3 A határst vizsgálata lmi módszrrl 3 33 Az szám lhlyzkdés 4 4 Az szám két közlítésék agyságrdj 6 5 Két további sorozat vizsgálata 5 Irodalomjgyzék 7 I

3 Bvztés Sokat godolkoztam azo, hogy potosa mir l is szóljo a szakdolgozatom Abba az gyb biztos voltam, hogy a témámat az aalízis témaköréb l fogom választai Az Eulr-fél számmal a középiskolába találkoztam l ször mit a trmészts logaritmus alapjával Akkoriba m foglalkoztuk vl, hisz m tartozott szorosa a taayaghoz Az számhoz az gytm krültm közlbb mit az + ), N + sorozat határértékéhz Flklttt az érdkl désmt, így amikor témavzt m, Pfil Tamás flhívta a gylmmt, hogy va gy, az számhoz kapcsolódó szakdolgozat témája, agyo örültm ki Ezáltal gy olya témával foglalkozhattam a szakdolgozatom mgírása sorá, mlyt a kés bbikb akár gy szakkör vagy gy fakultáció krti blül is tudok haszosítai Szakdolgozatomba külöböz sorozatokat vizsgálok lmi és aalízisbli szközökkl, mlyk szorosa kapcsolódak az számhoz Az ls fjztb az gytm már jól ismrt sorozatokat mutatom b, mlyk az Eulr-számhoz tartaak A további fjztkb paramétrs sorozatokat vizsgálok, hogy mily paramétr sté lszk szigorúa mooto övkv vagy csökk sorozatok Midkét ily sorozatak a határértékét is mghatározom lmi szközökkl A gydik fjztb az szám két közlítésék agyságrdjévl foglalkozom Az utolsó fjztb pdig két további érdks sorozatot mutatok b II

4 Köszötyilváítás Szrtém mgragadi az alkalmat és köszött modai témavzt mk, Pfil Tamásak, aki flklttt a téma iráti érdkl désmt és haszos taácsaival sgíttt szakdolgozatom lkészítéséb Továbbá köszöttl tartozom a szük, akik élkül m juthattam vola idáig és akik midig támogattak taulmáyaim sorá Valamit köszööm a barátaimak, akik a szakdolgozatom lkészülés közb végig támogattak és mllttm álltak III

5 fjzt Nvzts -hz tartó sorozatok A három f bb sorozat Tétl Az : + ), N + sorozat szigorúa mooto övkv és korlátos, és bb l kövtkz kovrgs Bizoyítás A számtai és a mértai közép közötti gyl tlségt haszáljuk db -s és db + ) téyz r: + + ) < + ) Ha midkét oldalt + )-dik hatváyra mljük, akkor a kövtkz rdméyt kapjuk: + ) < + ) + + Ezzl bizoyítottuk, hogy szigorúa mooto övkv sorozatról va szó A sorozat flülr l korlátos, amit szité a számtai és a mértai közép közti összfüggéssl tuduk bizoyítai db -s és db + ) számra úgy, hogy: + + ) < + + ) + + Ha midkét oldalt + )-dik hatváyra mljük, akkor a kövtkz gyl tlségt kapjuk: ) + < )) + ) ) < + ) < 4

6 Thát 4 az ) sorozat fls korlátja Mivl az ) sorozat szigorúa mooto övkv, zért a lgagyobb alsó korlát a sorozat ls tagja lsz: Ezt az alsó korlátot a Broulli gyl tlséggl is mgkaphatjuk + ) + Összgzv: < 4 Kisbb fls korlátot is kaphatuk az ) sorozatra az alábbi tétl sgítségévl Tétl + ) k + k + k, ha k, N + és k tljsül Bizoyítás Rögzíttt mlltt k szriti tljs idukciót alkalmazuk k -r: + ) + + Tgyük fl, hogy k-ra igaz az állítás Mgmutatjuk, hogy k + )-r is igaz Az idukciós fltvés szrit: + ) k+ + ) k Elég vola azt igazoli, hogy ) k k ) + ) + + k + ) k k + + ) + k + ) + k + k + + k + k + k k + k + k + k k + 3 k + k k + ) k k + ) Kövtkzméy k -r fls bcslést kapuk az ) sorozatra: + ) 3, N + 3 Díció : + ) 4 Tétl Az a : ), N + szigorúa mooto övkv és korlátos sorozat, és bb l kövtkz kovrgs

7 Bizoyítás A határérték kiszámításához m szükségs a mootoitás és a korlátosság ismrt A kövtkz azoosságot haszáljuk fl: ) + ), ) iét ) ) ) + Mivl + ) ) > 0 és, mrt + ) ) <, és mivl az gyl tlség ) jobb és bal oldala is -hz tart, zért a rd rszabály miatt is -hz tart Az l z kb l kövtkzik, hogy: ) Ahhoz, hogy a sorozat szigorúa mooto övkv a számtai és a mértai közép közötti összfüggést haszáljuk fl db -s és db ) számra: + ) < + ) Ha midkét oldalt + )-dik hatváyra mljük, akkor a kövtkz rdméyt kapjuk: ) < ) + + Ezzl bizoyítottuk, hogy szigorúa mooto övkv sorozatról va szó A sorozat gyik fls korlátja a 4, mlyhz szité a már többször alkalmazott 9 számtai és a mértai közép közti gyl tlségt haszáljuk fl db 3 -s és db ) téyz r: ) 3 < ) + Ha midkét oldalt + )-dik hatváyra mljük, akkor a kövtkz gyl tlségt kapjuk: 3 3 ) ) < ) < Thát a sorozatak fls korlátja a ) < 4 9

8 5 Tétl Az f : + ) +, N + sorozat szigorúa mooto csökk és alulról korlátos, és bb l kövtkz kovrgs Bizoyítás A mértai és a harmoikus közép közötti gyl tlségt haszáljuk fl db -s és + ) db + ) téyz r + + ) + > Ha midkét oldalt + )-dik hatváyra mljük, akkor a kövtkz gyl tlségt kapjuk: + ) + > + ) + > + + ) ) + ) ) + Thát az f ) sorozat szigorúa mooto csökk Az f ) sorozat pozitív tagú, zért alulról korlátos is A sorozat kovrgs, és a határértékt az alábbi módo számíthatjuk ki: ) + ) ) A mootoitás bizoyítása másképp: + ) + ) ) + ) + + Az l z bizoyításba az a ) sorozat szigorúa mooto övkd sorozat, mit bármlyik részsorozata Végül tudjuk, hogy pozitív tagú szigorúa mooto övkv sorozat rciproka szigorúa mooto csökk 6 Tétl 0 < + ) <, N+ Bizoyítás + ) < + ) + + ) + ) [ + ) ] < 4

9 Az!, N + sorozat Tétl! Bizoyítás Mértaiközép-sorozattal bizoyítjuk, amihz flhaszáljuk az Tétlbli ) sorozatot Tudjuk, hogy az ) sorozat határérték, így a sorozatból képztt mértaiközép-sorozat is -hz tart G : ) + ) )! A kapott G -t szorozzuk mg -gyl, ami -hz tart + + G + + )!! Így mgkaptuk, hogy Másik bizoyítás: Tljs idukcióval blátjuk, hogy! + G ) <! < + El ször az alsó bcslést bizoyítjuk: sté: >, azaz > ) +, N + Ha fltsszük, hogy igaz -r, akkor igaz + )-r is: Ekkor + )! > ) + + gyl tlség bizoyításához lég azt mgmutati, hogy + ) ) > + ) +, ami kvivals az + ) < gyl tlséggl Mivl tudjuk, hogy az ) sorozat szigorúa mooto övkv és határérték, thát mid tagja kisbb, mit A fls bcslés bizoyítása: sté: < 4, azaz < 4 Fltsszük, hogy igaz -r, és mgmutatjuk -r: ) )! < )! < Elég vola azt igazoli, hogy ) ) + + < 5

10 + < < + )+ + + ) + Tudjuk, hogy az + ) +, N + sorozat szigorúa mooto csökk és határérték, thát mid tagja agyobb, mit Ezzl bizoyítottuk, hogy! 3 A faktoriálisok rciprokáak összg 3 Tétl k!, N+ sorozat szigorúa mooto övkv és határérték Bizoyítás A vizsgált sorozat yilvá szigorúa mooto övkv A biomiális tétl szrit: + ) ) k! k k! k)! k k! k + Az gyl tlség határértékét vév a határérték és a rdzés közötti kapcsolatra taultak szrit: k! Ha rögzítük gy N idxt, akkor bármly N idxr: + ) N < k! k! ) k ) Az gyl tlség határértékét vév, ha N : Thát: N N k! k! Másik bizoyítás az utóbbi gyl tlségr: Bármly, N idxkr: + ) +N +N + N k ) N k k! + N + N k N k! 6

11 Az gyl tlség hatérértékét vév, ha N : N k! Ha gy sorozat mid tagja kisbb vagy gyl, mit, akkor határérték kisbb vagy gyl, mit 3 Kövtkzméy 3 Tétl A határérték Bizoyítás k! k! +!, N+ sorozat szigorúa mooto csökk és k! + +! > k! + + ) + )!! > + )! + + ) + )!! > + + ) + )! + ) > + ) + + > + A határértékt az alábbi módo számíthatjuk ki: ) k! +! k! +! Tétl < k!! Bizoyítás Az l z két tétl szrit: k! < < k! +! k! <! 7

12 ) 34 Tétl Ha a +, akkor + a a Bizoyítás Mivl a +, zért gy idxt l a >, és ily idxkr az [a ] a [a ] + bcslést alkalmazva: + [a ] + < + + a [a ] ) [a] ) a ) a + + < + a [a ] + [a ] + + ) a < + ) [a]+ [a ] [a ] Az alsó bcslés tagja az + m) m, m N + sorozatak, a fls bcslés pdig tagja az + k) k+, k N + sorozatak Mivl a +, zért [a ] +, így + m ) alapjá + a a ) m + k) k+ Ezk ) 35 Tétl Ha b, N +, akkor + b b Bizoyítás Lgy a : b, N +, kkor a a ) +, így az l z tétl szrit Egy idxt l b <, akkor zért a + a ) + ) b ) a + ) a + ), b a a a + ) b + ) a + ) b a a 8

13 fjzt Az + ) +α, N + sorozat vizsgálata A sorozat vizsgálata a dirciálszámítás szközivl Tétl A k : + ) +α, N + sorozat α R, α sté szigorúa mooto csökk és α < sté gy idxt l szigorúa mooto övkv, mlltt midkét stb a határérték Bizoyítás Írjuk fl a k ) sorozat tagjait a kövtkz alakba: k : l+ )+α) Ekkor lgy K) : l + ) + α), DK) : R + K ) + zért ) + K ) + α) + l + ) l + ) + α +, l + ) α + 0 Vizsgáljuk a második driváltat! K ) + ) + ) + α) + ) + ) + α + α α ) + α + ) + ) Mivl a vz pozitív, zért ha α, akkor K > 0, így K övkv, továbbá + K 0, zkb l kövtkzik, hogy K < 0, és kkor K szigorúa mooto 9

14 csökk Végül az xpociális függvéy szigorú mooto övkdés miatt a k ) sorozat szigorúa mooto csökk Ha α <, akkor gy küszöbt l K < 0, így oét K szigorúa mooto csökk, valamit + K 0 Ezkb l kövtkzik, hogy attól a küszöbt l K > 0, és oét K szigorúa mooto övkv Végül a k ) sorozat szigorúa mooto övkv gy idxt l A határértékt az alábbi módo számíthatjuk ki: + + ) +α + + ) + + ) α Mgjgyzés A k ) sorozat α 0 sté szigorúa mooto övkv A határst vizsgálata lmi módszrrl Tétl A b : + és határérték ) +, N + sorozat szigorúa mooto csökk Bizoyítás El ször mgmutatjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto csökk Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor b > b ) > + ) + ) ) + + > ) + > ) > ) > + A bal oldali hatváyt a biomiális tétl ls három tagjával bcsüljük alulról: + ) ) ) + ) + Elég vola bizoyítai azt, hogy: + ) ) + ) > + ) ) + + ) ) + + ) ) > + ) + ) 4 ) 0

15 + ) ) + + ) ) + ) 4 + ) 4 ) > ) + ) 4 ) + ) ) + + ) ) + ) 4 > 4 + ) 7 ) > ) ) > > 0, ha > 9 és 8 3 > 0, ha > 3 { } 0 max, 8, amib l kövtkzik, hogy mid -r igaz a tétl 9 3 A határérték yilvávaló

16 3 fjzt Az ) ) + + c, N + sorozat vizsgálata 3 A sorozat vizsgálata aalízisbli módszrrl 3 Tétl A c : + ) + c), N + sorozat 0 < c -r szigorúa mooto csökk, c > -r pdig szigorúa mooto övkv, és a határérték Bizoyítás Lgy K) : l+ ) K ) [ l+ ) l+ ) c + c + ), DK) : R + c + l + + l + ) Lgy K ) utolsó téyz j: M) : l + ) M) l M ) + )) ] ) + + l+ ) c + c + ) ) c )c + ), DM) : R+ ) c )c + ) 0 ) c+)+)c+) c ++)3c +c++) +) c+) c3 + c 3 c c + ) c + ) c3 c) + + c) + + c) + + ) c + ) c )

17 Ha 0 < c, akkor M > 0, zért M < 0, amib l kövtkzik, hogy K < 0, így K szigorúa mooto csökk Ebb l kövtkzik, hogy a vizsgált sorozat is szigorúa mooto csökk Ha c >, akkor gy küszöbt l M < 0, zért attól a küszöbt l M > 0, és oét K szigorúa mooto övkv Ebb l kövtkzik, hogy a vizsgált sorozat is szigorúa mooto övkv A határértékt az alábbi módo számíthatjuk ki: c ) + + c ) 3 Mgjgyzés Ha c < ) ) 0, akkor + c szigorúa mooto övkv és + szigorúa mooto övkv, thát a c ) sorozat szigorúa mooto övkv A c ) sorozat 0 < c sté szigorúa mooto csökkés más módo is blátható Lgy s : c, akkor s 33 Tétl Az s : + ) + s ), N + sorozat szigorúa mooto csökk, ha s Bizoyítás Írjuk fl az s ) sorozatot a kövtkz alakba: s + ) + ) + s + Tudjuk, hogy az ls téyz szigorúa mooto csökk, zért vizsgáljuk a pozitív második téyz t Aak szigorúa mooto csökkés kvivals a égyzték szigorúa mooto csökkésévl A második téyz égyzt: + s + + s + ), ami yilvávalóa szigorúa mooto csökk, ha s ) 3 A határst vizsgálata lmi módszrrl 3 Tétl A d : + ) + ), N + sorozat szigorúa mooto csökk és határérték Bizoyítás El ször mgmutatjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto csökk Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor 3

18 + ) + d > d ) > + ) + ) ) ) ) + > + ) > + A bal oldali hatváyt a biomiális tétl ls három tagjával bcsüljük alulról: + ) ) ) + + Elég vola azt bizoyítai, hogy: + ) + ) > + ) + ) + ) ) > ) ) > + ) ) > 0 Thát a d ) sorozat szigorúa mooto csökk A határérték yilvávaló 33 Az szám lhlyzkdés A kövtkz sorozat az 996/97 évi Aray Dáil Matmatikai Taulóvrsy szrplt fladatkét 33 Tétl A g : + ) + 4), N + sorozat szigorúa mooto övkv és határérték Bizoyítás El ször mgmutatjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto övkv Ehhz kvivals képéskt hajtuk végr, amikor g < g + ) ) + < + ) + ) 4 ) 4 ) 4 3 ) < ) < < 4

19 A számtai és a mértai közép közti gyl tlségt alkalmazzuk ) db -s 4 3 és db 4+ téyz r: [ Elég vola azt igazoli, hogy ) ] ) 4 + < < < ) < 6 ) < 4 + ) ) 6 3 < Thát a g ) sorozat szigorúa mooto övkv A határérték triviális [ ) 33 Tétl Az szám a + ) ], + + zárt itrvallum yílt második gydéb sik Bizoyítás Az itrvallum flz potja + ) ) ) + ), ami a d ) szigorúa mooto csökk sorozat -dik tagja E sorozat határérték, zért < d mid idxr Az itrvallum ls gydl potja 3 + ) ) ) + ), 4 ami az utóbbi g ) szigorúa mooto övkv sorozat -dik tagja A sorozat határérték, zért > g, mid idxr 33 Kövtkzméy A tétl alapjá kétoldali bcslést adhatuk + ), N + sorozat -t l való ltérésér + ) < < 4 + ) < + ) <, N+ 5

20 4 fjzt Az szám két közlítésék agyságrdj 403 Tétl x ) + x ) x Bizoyítás Lgy fx) : + x) x függvéy Df) : R + + x) x ) x l+ x) ) + x) x l + ) ) x x + + A x) x hatérértékr alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt, mrt a számláló és a vz is 0-hoz x tart + x x ) x + x) x ) ) l + x x+ x + x) x l + x) x+ x Tudjuk, hogy + x x), és a szorzat másik téyz jér ismét alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt, hisz a számláló és a vz is 0-hoz tart Thát a krstt határérték: l + x) x+ x + x) x + x x ) + x+) x 3 x x + ) l + x) x+ x 6

21 404 Tétl x ) ) + x+ x Bizoyítás A + x) x+ határértékr alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt, x mivl a számláló és a vz is 0-hoz tart x+)l+ x) [ l + x) + x + ) + x + x+ x) ) ] x x l + x) x x Tudjuk, hogy + x+ x), és a szorzat másik téyz jér ismét alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt, hisz a számláló és a vz is 0-hoz tart l + x) x x + x ) x + x x 3 x x + ) x x + ) x ) Thát + x+ x) l + x) x ) x Az l bbi két határérték sorozatokra voatkozó kövtkzméyét lmi módszrkkl is b lht bizoyítai Ehhz szükségük va a kövtkz sorozat vizsgálatára 405 Tétl Az m : + ) +, N + sorozat szigorúa mooto övkv és határérték + Bizoyítás El ször mgmutatjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto övkv Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor m < m ) ) ) + + < ) ) < ) + < ) > ) + ) + ) + ) ) 4) 7

22 Flírjuk a biomiális tétlt: ) ) ) k k k + Az ls két tag külöbség pozitív, mrt ) 4 0 ) ) 6 Ha 3, akkor a harmadik és a gydik tag külöbség is pozitív, mrt kvivals lépéskkl: ) Kttsévl csoportosítva a tagokat: ) ) k k ) ) k ) + ) 4 ) 3 A k-adik zárójlb szrpl kifjzés is mgatív: ) ) k ) 4k ) k 0 4k ) + 6! k )! k + )!! k )! k + )! 0 ) k k + k 0 k ) k + [k ) ] + k ) 0 Mivl és k, zért a bal oldal midkét tagja mgatív + [ ) k ) ) ] 4k ) k 4k k [ ) k ) ) ] 4k ) k 4k, ha páratla + ), ha páros ) Ezért -k alsó bcslés, ha csak az ls égy tagot vsszük a biomiális tétlb l: ) ) )

23 Thát lég vola azt bizoyítai 4)-hz, hogy ) + ) ) > > 0 ) + ) > 6 + ) ) + + ) ) Mivl, zért az gyl tlség tljsül Thát az m ) sorozat szigorúa mooto övkv A határértékt az alábbi módo számítjuk ki: ) Tétl Mid N + sté + < + < + + ) + + ) ) + <, + ) < + Bizoyítás Tudjuk, hogy az m ) sorozat szigorúa mooto övkv és határérték Ekkor ) <, majd kvivals átalakításokkal + ) + < + ) + ) + < 4) + ) + < + ) + ) < + ) + ) > + 43) Másrészt tudjuk, hogy a d ) sorozat szigorúa mooto csökk és határérték, kkor + ) + ) > 9

24 I kvivals lépéskkl: + ) > + > < 4)-b l és 45)-b l kövtkzik, hogy: + < + + ) 44) > + + ) + + ) + 45) + 43)-ból és 44)-b l kövtkzik, hogy: 40 Kövtkzméy + < ) + < + ) < + + ) ) + ) + ) Bizoyítás Lgy i : + ) ), N + + < + ) < + + < + ) ) < + + < i < + Mivl a jobb oldali és a bal oldali sorozat határérték is, zért a rd rszabály alapjá: i A h ) sorozat határérték: + < + < + ) + < + ) + ) < 0

25 Az gyl tlség jobb és bal oldala is -höz tart A rd rszabály miatt: h 407 Tétl 0 < + ) ) < mid N + sté Bizoyítás 0 < + ) ) < + ) + + ) ) + ) + ) + ) < 408 Tétl Az i ) sorozat szigorúa mooto övkv Bizoyítás Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor ) + ) ) + i < i ) ) < + ) ) ) < + ) ) ) + ) < ) + [ ] + + < + ) + ) ) + ) [ + + ) ) + ) ] < Tudjuk, hogy az m : + ) + +, ) N + sorozat szigorúa mooto övkv és határérték, thát mid tagja kisbb, mit Ezért lég l azt bizoyítai, hogy + ) [ + + ) + ) ] < Majd kvivals lépéskkl folytatva: ) + ) < ) + + ) ) ) 3 + < ) + ) 3 + ) ) < < + ) 46)

26 Bcsüljük alulról 46)-ot a biomiális tétl szriti kifjtés ls három tagjával: + ) ) igazolásához lég vola azt bizoyítai, hogy Ekvivals lépéskkl: ) ) + + ) ) + ) > ) + ) + ) > ) ) > ) 3 + ) > 0, Ami tljsül, ha, így az i ) sorozat szigorúa mooto övkv 409 Mgjgyzés A 40 Kövtkzméyb l azt is mgkaphatjuk, hogy az i ), N + sorozatak is fls korlátja, m csak a 407 Tétlbli fls korlát 400 Tétl Az r : + ) ), N + sorozat szigorúa mooto csökk és határérték Bizoyítás El ször mgmutatjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto övkv Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor r > r + ) ) 4 + > + ) + 4 ) 8 ) ) 8 ) > ) > ) Bcsüljük alulról 47)-t a biomiális tétl szriti kifjtés ls égy tagjával: + ) + Elég vola azt igazoli, hogy ) 6 + ) ) ) ) + ) 6 + ) 3 ) > ) ) + ) 6 ) 3 ) + ) + ) 6 ) + ) >

27 > > ) ) > 0 6 Ez az gyl tlség igaz, mrt Thát az r ) sorozat szigorúa mooto csökk A határérték yilvávaló ) ) 40 Tétl A h : + +, N + sorozat szigorúa mooto övkv Bizoyítás Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor ) + h < h ) ) < + ) + ) ) ) < ) < + )+ ) A jobb oldalt átalakítva a bizoyítadó gyl tlség: < + ) + 4 ) [ ) )] + ) Tudjuk, hogy az r ) sorozat szigorúa mooto csökk és határérték, zért a sorozat mid tagja agyobb, mit Ezért lég vola azt bizoyítai, hogy ) ) ) > ) + ) > ) ) > ) ) < ) < ) > ) 3

28 Bcsüljük alulról 48) bal oldalát a biomiális tétl szriti kifjtés ls égy tagjával: ) ) + 48) igazolásához lég vola azt bizoyítai, hogy ) ) ) ) > ) ) > ) ) ) > > ) ) Ez az gyl tlség igaz, mrt Thát a h ) sorozat szigorúa mooto övkv 4

29 5 fjzt Két további sorozat vizsgálata 50 Tétl A q : + q ), N + sorozat mid pozitív valós q-ra szigorúa mooto övkv Bizoyítás A számtai és a mértai közép közötti gyl tlségt haszáljuk db -s és db + q ) téyz r: + ) q + ) + q < q + + q + Ha midkét oldalt + )-dik hatváyra mljük, akkor a kövtkz rdméyt kapjuk: + q ) < + q ) + + Ezzl bizoyítottuk, hogy a q ) sorozat szigorúa mooto övkv 503 Mgjgyzés q q 504 Tétl Az fx) : + p x) x+, Df) : R + függvéy 0 < p sté szigorúa mooto csökk, p > sté pdig szigorúa mooto övkv gy küszöbt l Bizoyítás Vizsgáljuk a driváltat! f x) + p x) x+ [ l + p ) + x + ) x + p x p ) ] x Lgy gx) : l + p x + x) p [ x+ l + p ) ] px + ) x xx + p) ) px+) xx+p), Dg) : R+ akkor gx) 0 5

30 Elég vola az f függvéy szigorú mooto csökkéséhz, hogy g > 0, mrt akkor g 0 miatt g < 0 tljsül g x) + p x p ) x pxx + p) px + )x + p) x x + p) pxx + p) + pxx + p) px + )x + p) x x + p) px + p x px p x px p x x + p) p x px p x x + p) g pozitivitásához az kll, hogy p x px p x x + p) > 0 p x px p < 0 pp )x p < 0 Thát, ha 0 < p, akkor az f függvéy szigorúa mooto csökk, és ha p >, akkor hasolóa igazolható, hogy az f függvéy gy küszöbt l szigorúa mooto övkv A p határstt lmi módo is mg lht mutati 505 Tétl A j : + ) +, N + sorozat szigorúa mooto csökk és határérték Bizoyítás El ször bizoyítjuk, hogy a sorozat szigorúa mooto csökk Ekvivals lépéskt hajtuk végr, amikor j > j + ) > + ) + + > + ) ) + ) > + ) + > ) > + ) + ) + A bal oldali hatváyt a biomiális tétl ls három tagjával bcsüljük alulról: + ) + + ) ) 6

31 Elég vola azt bizoyítai, hogy ) ) > + ) + ) > + ) 3 + 3) > + ) 4 ) > 0 Ez az gyl tlség igaz, mrt A határérték bizoyítása: A t : + ), N + sorozat szigorúa mooto övkv az 50 Tétl szrit A sorozat páros idx részsorozata -hz tart: + ) + ) ) Mivl a t ) sorozat mooto és létzik határérték, mid részsorozatáak va határérték és z a határérték az rdti sorozat határérték Thát ) + ) ) 7

32 Irodalomjgyzék [] Csuka Aita szakdolgozata, Budapst, 0 csuka_aitapdf [] Pirka Ágs szakdolgozata, Budapst, 04 pirka_agspdf [3] Dr Brks J Dr Pitér Lajos: Az szám, Nvzts sorozatok és alkalmazások, Taköyvkiadó, Budapst, 97 [4] Laczkovich MiklósT Sós Vra: Aalízis I, Nmzti Taköyvkiadó, Budapst, 005 [5] Pfil Tamás: Az számhoz tartó mooto sorozatokról kézirat), Budapst, 997 [6] Urbá Jáos: Határérték-számítás, M szaki Köyvkiadó, Budapst, 000 [7] Pólya György: Fladatok és tétlk az aalízis köréb l I, Taköyvkiadó, Budapst, 980 [8] PP Korovki: Egyl tlségk, Taköyvkiadó, Budapst, 983 8