véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

Átírás

1 BEVEZEÉS statsztka telese lakusokak: ag mukával gűtött adatok vzsgálata, abból következtetések levoása ( statstcal feece ) (Eg kcst sok hűhó semmét azaz Much ado about othg.) M s a statsztka? Eg populácóból veszük mtát. ( szavakat a KSH találta k.) mta alapá akauk valamt moda, de az egész populácóól. 3 Állítsuk megbízhatóságáól s latkozuk. NÉPSZVZÁS 4 mtavétel em akámle. káhászo elvégezzük, más és más eedmét kapuk. Ez a mtavétel lesz a dolog kulcsa.. VENEREL DISESE Ezét kell éte a valószíűségszámításhoz. Nevezzük a mtavételt kíséletek. Kísélet : detemsztkus : előe meghatáozható eedméhez vezet véletle : statsztka tövéekek egedelmeskedk (M az am közös a épszavazásba, a betegségek gógulásába és a fz. kém. laboba?) M kell a statsztka taulásához? MEMIK: halmazelmélet algeba métékelmélet (dffeecál- és tegálszámítás) aalízs Példa: NÉPSZVZÁS (Belépe-e az Egesült Kálság az Euópa Uóba?) YES NO SUM Scotlad Nothe Ielad Kédés: Va-e külöbség Scotlad és Nothe Ielad vélemée között? Válasz: ak a valószíűsége, hog cs, 0 8.

2 MIK VÉLELEN ÖRVÉNYEI? Defícó: Esemété: a véletle kísélet összes lehetséges kmeeteléek halmaza. Eleme: az eges kíséletek kmeetele. z esemété lehet: kolátos foltoos: pl. testmagasság végtele dszkét: pl. adoaktív bomlás véges dszkét: pl. látósetek száma a etá, kockadobás, ua (MI BJ KLSSZIKUS ELMÉLEEL?? (Kombatoka)) végtele foltoos: ha íg defáluk! egváltozós többváltozós Defícó: Esemé: z esemété tetszőleges észhalmaza. Elevezés: Bekövetkezk eg esemé, ha a kísélet ola kmeetele fodul elő, amelek valód észe az esemé. HF. Há lehetséges esemé va eg kocka dobásáál (és kettőél)? Eg kocka: ába Ø: az ües halmaz (hog az esemété zát lege, e vezesse k belőle semmle művelet.) Defícó: Dszukt (egmást kzáó) eseméek: Ha (tetszőleges páa) cse páokét közös észük. ( metszetük ües.) Példák: Páatla / páos kocka vag ksebb / -él agobb VLÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍÁS XIÓMÁI Lege: és B eg esemété két (dszukt) esemée (azaz B 0). Jelölés: P() az, P(B) a B esemé valószíűséget elölő számok, ha telesül 3 aóma.. 0 P() P(B)-e temészetese ugaez gaz. P( B) P() + P(B) 3. P(S) S: teles esemété

3 Mle esemé B??? E aóma elég. P U Szokás még: P ( ) vag 0 P() de ezek má az előzőek következmée! Néhá fotos következmé: valószíűség számítás tételek 0. P(Ø) 0. P(). P( ) P() Há esemét specfkál eg kísélet kmeetele? ( az komplemetee.) P U kteesztés több (páokét függetle) esemée 3. P ( ) 4.. aóma következmée: eseméek külöbségéek valószíűsége P ( / B) P ( ) P ( V) (Ha B P ( / B) P ( ) P ( B) Mle esemé az / B? 5. Ha két esemé em dszukt, felbotható háom dszukt esemée. Lege D E Ø Felbotás: D E, D / (D E), E / (D E) uóuk: D E P (D E) P (D / (D E)) + P (E / (D E) P (D) + P (E) P (D E) Vegük észe: ha D és E dszuktak, vsszakapuk a. aómát. Kteeszthetük több esemée POINCRÉ tétele. Mt elet B? (Ha B, akko s.) Ekko: P () P (B) P (B / ) P (B) P () Hog álluk P ( / B)-vel? FELÉELES VLÓSZÍNŰSÉG Jelölés: B :, feltéve, hog B bekövetkezett. Defícó: P ( B) ( B) P( B) P az esemé B-e voatkoztatott feltételes valószíűsége. 3

4 étel: és B eseméek függetleek, ha P ( B) P () P (B) Bzoítás: P ( B) P( ) P ( B) ( B ) P ( B) P (a B esemé valószíűsége függetle -tól.) Szmmeta okokból ( B) P ( ) P valószíűség gakolat ételmezése: apasztalat gakoság Klasszkus valószíűség (egeletes, dszkét) Geometa valószíűség Defícó: Függetleek egmástól azok a kíséletek, amelek kmeeteleek valószíűségét em befolásolák a több kíséletek kmeetele. Elevezés: Ismétlés: ha az úabb kíséletek függetleek a koábbaktól. Beoull tétele (sztochasztkus kovegeca): h, tapasztalat gakoság p ( P ( ) p < ε ) lm P, tetszőleges ε -a (z aómák gazolhatók a h, tapasztalat gakoságokból p em kell hozzá az egeletes valószíűség.) VLÓSZÍNŰSÉGI VÁLOZÓK ehéz fogalom! Elevezés: Egszeű (elem) eseméek: dszkét esemété eleme. Foltoos esemétébe: X ( + ) MÉRÉSKOR NINCS FOLYONOS ESEMÉNYÉR! Madem lehetetle esemé Madem bztos esemé 0 lehetetlesége: két embe két molekula } távolsága 4

5 Defícó: valószíűség változó az esemétée ételmezett függvé. kísélet mde eges kmeeteléek megfelelőe felvesz eg étéket, ez az ő ealzácóa. Étékkészlete alkota a valószíűség változó eseméteét. Más eve: statsztka. Változó: NGY lat betű, Mt elet P (X )? ealzácó: ks lat betű Hog va ez eg kocka dobásáál?? M a foltoos megfelelőe a P (X ) -ek?? P ( < X + ) vag, ha elvégezhető a 0 átmeet: P ( < X + d ) M a 0 feltétele??? N. B. Valószíűség változók bámel függvée s valószíűség változó! (Mét?) Bámel függvé, amel évées valószíűség változók között, évées ugaúg a ealzácók között s. (Mét?) VLÓSZÍNŰSÉGI SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY Lege X eg valószíűség változó, S az ő esemétee. Kédés: Hoga oszlaak el S fölött a valószíűségek? Defícó: Ha X foltoos valószíűség változó, akko valószíűség sűűségfüggvée az az f () függvé, amelek az tevallumo vett tegála megada aak a valószíűségét, hog X ealzácó az tevallumo belül leszek, azaz: el. P ( X ) P ( ) f d. z X (X, + d ) elem esemé valószíűsége f () d, és f () d 0, d 3. f ( ) S (, )-bel defícó eseté: d f Hog lehet ezt íg kteeszte? 5

6 Defícó: Ha X dszkét valószíűség változó, akko mde eges étéke (ealzácóa) elem esemé, p() valószíűséggel. Ekko a p() P (X ) az X valószíűség sűűségfüggvée. Ee gaz elölés. P ( ) P ( ) p. 0 p () 3. p alóga: ömegpotok / kotuum mechakáa test test m ρ dv test ( m ) f f ρ dv ρ : tömegsűűség test (Steltes tegál) Mostaa épült fel telese a haszálható matematka appaátus: Véletle kísélet kmeetelek S halmaz esemété S X 0 esemé valószíűsége P() valószíűség változó X R 0 X f p d a ealzácó valószíűsége ( matematkus em az S halmazt tekt alapkét, haem aak összes észhalmazából álló H halmazt!) 6

7 Defícó: z Y valószíűség változó eloszlásfüggvée: F() P ( ) p( ) F dszkét < F f foltoos ( ) d Fogalmak áttektése \ eloszlás típusa foltoos dszkét sűűségfüggvé f () p() elem esemé valószíűsége f () d p() adott esemé valószíűsége f d p eloszlásfüggvé F() F() P (X ) F() F() P ( X ) F( ) F( ) F( ) F( ) f ( d) X X p Vegük észe! lm P( a < X b) 0 a b foltoos X-e P( b) 0 b madem lehetetle esemé p ( b) 0 madem bztos esemé VÁRHÓ ÉRÉK Defícó: X valószíűség változó bámel g() függvééek váható étéke: M ( g ) g S f g d p foltoos dszkét 7

8 (Steltes tegállal: ( g ) g df Feltételek: Ha a g p M ) so koveges. vag a g f Specáls váható étékek: 0 d tegál létezk és véges. X váható étéke (X átlaga, X eloszlásáak középétéke) µ µ M Jeletése: ezt szóák köül a kísélet eedmée. M: mea (más elölés: E: epectato) X (eloszlásáak) -edk cetáls mometuma µ M µ 8 S f p d [( ) ] M ( M ) [ ] N.B.: Ha az eloszlás szmmetkus, mde páatla cetáls mometuma zéus. ába. cetáls mometum: X (eloszlásáak) szóáségzete / vaacáa D V µ M ( µ ) Elevezés: Stadad devácó (hba): D D: devato : scatte Két valószíűség változó eseté: KOVRINCI [ ] M [( M ) ] ( X, Y ) M [( µ )( Y )] C µ Vegük észe a hatáesetet: C (X, X) D (X) V(X) (szóáségzet, vaaca) Kovaaca mát: eleme: C(X, X ) főátló: V(X ) ( vaaca) Belőle számazk a koelácós egüttható: ( X, Y ) D ( Y ) C ρ ( X, Y ) omált kovaaca D

9 étel: Ha X és Y függetleek M(XY) M(X) M(Y) ekko C(X, Y) 0 és ρ (X, Y) 0 MEGFORDÍV CSK KKOR IGZ, ha X és Y egüttes eloszlása omáls. étel: Mde emegatív f (), ha tegálható a (, ) tevallumo, és f d Ha g d N g, valószíűség sűűségfüggvé lehet., de véges, akko s lehet sűűségfüggvé, ahol N g d N : NORM ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÍPUSOK Bomáls eloszlás Lege: tetszőlegese smételhető kísélet két kmeetellel: és P() p P( ) q p Bomáls mtavétel Lege smétlésből K az eseméek száma { 0,,, } S K k S Defícó: P K k p k k k q ( ) ez a sűűségfüggvé Jelölés: K ~ B(p, ) év eedete: P (K k) kfeezés a (p + q) bomáls soból való. µ p p q p ( p) Más év: Beoull-eloszlás smételt alteatívák eloszlása lakalmazás: Népszavazás, feleletválasztás, stb... 9

10 Posso eloszlás Dszkét Gaka haszálható. Időbe: egeletes valószíűséggel bekövetkező eseméek száma adott dőtevallumba. ébe: egeletes valószíűséggel bekövetkező eseméek (véletle elhelezkedése) száma adott felülete. (Esőcsepp, adoaktív bomlás, gépelés hba, LÓRÚGÁS, fogalom, gólok focmeccse, telefohívások, setszapoodás, születések száma) Esemété: N Jelölés: K ~ P(m) Defícó P (K k) P(b) m k m e k! k N µ m m m étel: c-szees tevallum: K ~ P(c m) ha K ~ P(m ) és K ~ P(m ) függetleek, akko K + K ~ P (m + m ) Hatáeloszlás-tételek: B, ha p << ( p ) P( p) B ( p ) P( p), ha lm p m (azaz, ha ő, p csökke) Epoecáls eloszlás Foltoos Időbe: (egeletes eloszlású) véletle eseméek bekövetkezéséek deég eltelt dő ÉLERM-eloszlás ébe: (egeletes eloszlású)véletle eseméek heléek távolsága eg adott (tetszőleges) heltől Váakozás!, ütközések távolsága /dee, élettatam. REKCIÓKINEIK! f a e 0, a, ha a > 0 ha 0 < 0 F e e µ a átlagos élettatam, ütközés gakoság, szabad úthossz, elaácós dő 0

11 a a Posso okoa! POISSON-folamat Nomáls eloszlás Felfedezőe: baham de Move ezét hívák még Gauss-eloszlásak. Pétevá áték: ddg dobuk, míg fe em ö k. Ha -edke dobuk feet, ubelt kapuk. Met kell befzet a bakak, hog e mee töke? Dobások: B(0.5, ) de Move: lm P ( h, fe h, íás < ) Defícó ( µ ) f e < < π π e d Jelölés: X ~ N (µ, ) Defícó µ a Z X SNDRD NORMÁLIS eloszlású Z ~ N (0, ) f ( z) e π Hatáeloszlások z + µ táblázatok, belső függvéek (matematkusok-fzkusok) Közpot hatáeloszlás tétele Legeek,,... azoos eloszlású valószíűség változók, µ és (véges) paaméteekkel, akko eseté a ~ N (, ) : Méések!! µ, továbbá ~ lm N, µ, amből (, ) χ eloszlás ν e f 0 <, ν > 0 ν ν Γ

12 ~ χ ν ν a szabadság fokok száma Mét fotos? Ha,, 3,... függetleek és N (µ, ) eloszlásúak: Váható étéke: µ ν W µ W ~ χ Méések! Elevezés: W m ~ χ edukált χ - eloszlás: µ Studet-féle t-eloszlás (Studet: agol ú áleve, eze a éve íta matematka ckket) Kvételes: t ks betű, de valószíűség változó!! lm ν ν f < t <, ν > 0 ( t) t N ν + ν, t ν β + ν ν Γ Γ ν β, ν Γ + ába ( 0, ) Jeletőség: mtavétel ld. később ν 30 fölött az eltéés ksebb mt 0 % Z Ha Z ~ N (0, ) és U ~ χ ν függetleek, akko ~ tν U ν F-eloszlás (Fshe-féle F-eloszlás) ~ ν ~ ν f () ge boolult Ha U χ és V χ függetleek, akko edukált háadosak eloszlása le: µ ν ν ν ~ ν ν F és, F ν, ν F ν ν, Számolás: χ ν ν, ν F

13 SISZIKI MÓDSZEREK Mtavétel: (,, 3,... ) elemek kválasztása a sokaságból mta Becslés: f statsztkák számítása mtastatsztka függ a mtától!! Statsztka aalízs: kofdeca szgfkaca hpotézs modell lleszkedés vzsgálatok Szükség va eloszlásáak smeetée!! (z eloszlás smeetée em mdg: NEMPRMÉERES ROBUSZUS módszeek) feladat leggakabba ( t) ( t) ( ) P P P t t típusú valószíűségek számítása Mtavétel külö tudomá (pl. kísélettevezés) Idealzált: smétlés: méések,,... azoos eloszlású kmetelek el ( ), K a megfgelések valamel függvée: mtastatsztka () eloszlása a mta eloszlása, amel az -k eloszlásától függ. Kokét példák mta középétéke : Jelölés: eloszlása általába em smet! ~ N µ,, akko ~ N µ, M M µ tozítatla becslése ha D µ N.B. övelésével csak ezét a mta középétéke -szeesée csökke a szóás! 3

14 mta szóáségzete Defícó: ( ) S S Ha ~ N (, ), µ, µ akko ~ t S Számolás : ( S ) S számláló: Z-szeű, evező: edukált χ -szeű ( ) M tozítatla becslése S a mta szóáségzete mta kovaacáa: BECSLÉS Cˆ ( )( ) X, Y ( C( X, Y )) C( X Y ) M ˆ, a kovaaca tozítatla becslése mta statsztkáát úg választuk meg (o meg a mtát!), hog az eloszlás θ paaméteéhez közel lege. (Szovet modás: hazugságak háom fokozata va: maga elv sem kuta: z eláás: becslés (estmato) valószíűség változó: becslés (estmato) eg ˆ ealzácóa: becslés (estmate). hazugság. acátla hazugság 3. statsztka ) becslés eláás becslő függvé becsült éték N. B. eg valószíűség változó. Realzácóa a kokét mtától függ. Általába eloszlása, váható étéke, szóása. Eg ó becslő. tozítatla M() θ. hatásos ( mmum vaaca ) 3. elégséges ha a () mde szükséges fomácót tatalmaz θ-ól. ( hatásos becslés elégséges!!) 4. kozsztes ha lm P( < ε ) Feltétel: ha tozítatla, és lm D ( ) 0 5. kogues M ( f ( t) ) f ( M ( t) ) ozítatla hatásos becslés: Mmum Vaace Ubased MVU 4

15 Módszeek Mamum lkelhood (ML) MVU, elégséges, kozsztes Legksebb égzetes azoos omáls eloszlású mtaelemek eseté mamum lkelhood Mometumok módszee em foglalkozuk vele Mma ezzel sem µˆ ML becslés (MVU) ( ) ˆ S ML becslés (MVU) ( ) ˆ aszmptotkusa hatásos, kozsztes. D a becsült váható éték elatív hbáa: (eg ealzácó stadad hbáához vszoítva) HIBERJEDÉS Lege θ, θ,...θ fzka meségek φ függvée a becsüledő Becsülük az eged θ -ket és szóásukat Ebből becsülük φ (θ)-t és D (φ (θ))-t Lege a becslő függvé: φ (,,... ) Fetsük soba θ köül! (alo-so) φ φ (,, K ) φ(, K ) + ( ) + K, (magasabb edű tagok) Ha D (θ ) kcs θ -hez képest, akko θ s kcs. Íg elegedő a ( θ ) elsőfokú tagok fgelembevétele, a ( θ ) má elhaagolható. (Közelítés!) egük fel: tozítatla becslő M( θ ) 0 M(φ (,,... )) φ (θ, θ,...θ ) íg φ becslése s tozítatla. Ez em mdg közelítés! becslő statsztka szóáségzete: D { } [ φ (, K ) ] M [ φ (,, K ) φ (,, K )], alo-soból a obb oldalo [ ]-be lévő külöbség éppe ( ) D φ φ [ φ(,, K ) ] M ( ) obb oldal eg tagú összeg égzete, amel kfetve: : 5

16 6 < + C D φ φ φ Függvéek váható étékéek és szóásáak becslése: t * a statsztkák ealzácóa φ (θ, θ,...θ ) becslése φ(t, t,...t ) 3 D ( ) becslése S ( ) C (, ) becslése Ĉ (, ) 4 D (φ) becslése: [ ] < + t t t C S S, ˆ, φ φ φ φ K ha -k páokét függetleek, ez a tag zéus!. 5 S (φ) szabadság fokaak száma közelítőleg: S s ν φ φ ν ν KONFIDENCI INERVLLUMOK becslő függvé (mt valószíűség változó) θ -hoz való közelségéek météke: [ ] +, P Ba va! θ -t em smeük! (Ha smeék, em becsülék!) Ekvvales megfogalmazás: [ ] [ ] + + P P,, valószíűség változó kostas tevallum kostas az tevallum a valószíűség változó! Kofdeca tevallum: a +, tevallum RELIZÁCIÓJ Kofdeca valószíűség: [ ] ± P [ ] α + P α : megbízhatóság szt α : szgfkaca szt

17 Ha ( l, l ) a kofdecatevallum, mekkoa a P[ ] l,l valószíűség?? Válasz: 0 vag! Ezét MEGBÍZHÓSÁG kofdeca-tevallum számítása f (t ) P α µ µ µ + t vá l Példák smet, µˆ ~ N ( µ, ) ~ N µ,, de µ em smet f (t) P α µ µ µ ez az tevallum ealzácóa tvá l Lege: Y µ Y ~ N 0, még obb: Z µ ~ N( 0,) Z ezt a legköebb számíta s. 7

18 f (z ) P α 0 + z vá l Kokét számítás: P µ + ( µ µ + ) f d F( µ + ) F( µ ) α µ Haszáluk k a stadad omáls taszfomácót (vegük észe: ekko eltűk a µ ez volt a cél): α f ( z) d z F F Mét obb N(0,)?. Egszeűbb. Kövtá szubutok ezt számolák 3. áblázatokba ez szeepel (Maapság má cs eletősége; a számítógép N(0, / )-t s tuda számol.) Eláás:. θ becslése ˆ t. eloszlásáak meghatáozása 3. célszeű taszfomácóa 4. α P( + ) valószíűség kszámítható megfogalmazása (a kszámítható azt elet, e szeepele bee az smeetle θ ) ez eddg általába kész ecept 5. meghatáozása az adott mtáa ez a feladat (a matematkusok má megcsálták) HIPOÉZIS VIZSGÁLOK (VIZSGÁL ESZ) Nullhpotézs alteatív hpotézs H 0 H Léeg: Rögzítsük eg α szgfkacasztet, am eg gaz H 0 elvetése valószíűségéek felső hatáa. 8

19 Példák: H : 0 kétoldal ' H 0 : 0 H : < 0 egoldal alteatív hpotézs '' H : > 0 egoldal Lehet: H 0 : θ θ 0 vag θ θ 0 s. H 0 -t megvédük vag elvetük α szgfkacaszte (α : 0,; 0,05; 0,0) dötés alapa az α P( c ) vag α P( c ) H 0 Elvetük H 0 -t, ha t c vag t 0 c : ktkus éték Hoa tuduk. c étékét?. z α valószíűséget? Válasz: Ismeük (vag azt hsszük, hog smeük!!) eloszlását, és abból kszámíthatuk f α-hoz a c-t. Ezt a c-t hasolítuk a mtából számított t ealzácóhoz. z α szgfkaca-szt étéke a mta elemeek számától (s) függ. Ha t c vag t 0, édemes ú mtát (több adatot) vzsgál. Ha t << c vag t << 0, lehet ksebb az α. Kszámítható közvetleül az P ( c ) H 0 H 0 α szgfkaca-valószíűség s! Ekvvaleca a kofdeca-tevallummal (kétoldal alteatív hpotézs eseté): ELFOGDJUK H 0 -t, ha ( l ), elvetük, ha ( l ) 0,l. 0,l N. B.. Ola statsztka teszt cs, amel mdg elvet H 0 -t, ha hams, és mdg elfogada, ha gaz. (Bécs elvflozófusok.). Mekkoa lege α?? Ha α 0, akko soha em ítélük el átatlat, de mdg felmetük a tettest, ha gaúsított. Ha α >> 0, akko a bűöst elítélük, ha a gaúsítottak között va, de ha a gaúsított átatla, akko s kételeek vaguk elítél, a bűös pedg a makába evet. KOCKÁZI FÜGGVÉNYEK. faú hba: z gaz H 0 elvetése / (a csalfa H elfogadása). faú hba: hams H 0 elfogadása / (az gaz H elvetése) VENEREL DISESES példába: haszál a gógsze: 5-5 % szgfkaca Σ em haszál: 5 % szgfkaca 9

20 Lege K a avult esetek száma egük fel: K B(p, ) H 0 : p kezelt > p em kezelt H : p kezelt p em kezelt 0 pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ pˆ + HX : t z ( α ) VRINCI-NLÍZIS (NOV) s hpotézs-teszt H 0 : µ + ν + ε (NOV alss Of Vace) H : µ + µ + ν + ε µ: alaphatás µ : z -edk kezelés hatása (pl. adag mesége) ν : -edk blokk hatása (pl. életko, emek) ε : méés hba. ( M(ε ) 0, D (ε ) ) MIRE HSZNÁLJUK MI BECSLÉSEKE ÁLLÁBN pl. REKCIÓKINEIKÁBN Függ-vag-em-függ-tőle kédések eldötésée (hpotézsvzsgálatok) z összefüggés módáak eldötésée (függvéllesztések) dott eltéések oka lehet-e a véletle gadozás, vag szsztematkus függésől va-e szó?? Mekkoa a valószíűsége eg adott eltéések?? (szgfkaca valószíűség) Kszó-e eg pot, vag szabad ek akkoát gadoz?? (Utóbbak csúa, boolult, megbízhatatla tesztek.) HOGYN DJUNK MEG EGY BECSÜL EREDMÉNY? daab méés átlagolása eseté, s a µ paaméte becsült étéke, s () a paaméte becsült étéke s s a becsült szóása µ köül. (Ie maad bee az.) 0

21 M az s fomácótatalma? Lege µ ; t ( szabadság fokú Studet-eloszlás) s / Ekko: P [ t ( α ) t ( α / ) ] α / z α megbízhatóság sztű kofdeca-tevallum: t α ± s, átedezve: t ± s α 0 méésszám, 0 potosság t α 9,0,5,5 0,70 0,47 0,37 0,3 0,6 0,8 0,06 00 méésszám, 0 potosság α 0,05 95 %-os kofdeca-tevallumok (Feltételezett!!) függvé ( modell) paaméteeek becslése eseté (Maga az eedmé megadása a 4. oldal végé található.) Statsztka modell: + ε Y f pl. REKCIÓMECHNIZMUS f ε ) (ealzácók: ( ) + Y: valószíűség változó f (): detemsztkus függvé ε : valószíűség változó: M(ε) 0 D ε ha (Hatáeset, amt szeetük feltételez:, ) Csak VÉLELEN hba eseté haszálható!! (Egébkét pl. NOV!) Cél: em ε eloszlásáak ellemzése, azok paaméteevel, haem az f () modellfüggvé paaméteeek becslése, lehetőleg MVU!

22 Vegük észe: ez eg feltételes valószíűség! P ( ) ez ada a fet modellt. leggakabba haszált becslő módsze: legksebb égzetes Q ( Y f ( )) lege mmáls súlok számítása hog az f () paaméteee MVU-becslést kapuk. feltétel: M ( ) és ( ˆ ) ˆ D mmáls Példa: Lege Y α modellfüggvé Statsztka modell: Y α + ε D ( ε ) Mta: {,, K,,,,, } K α + ε D ( ε ) Lege az α becslő függvée: + ε (: mtastatsztka) Q Q Feladat I. mmalzála a Q-t: 0 Q ( ) ( ) 0 ( ) 0 Feladat II. láthatóa em csak az {, } mtától. haem a súloktól s függ. Eedet feltételük: lege () mmáls ( ) ( ) + ( ) egük fel: C (X, Y ) 0 egük fel: (M a feltétele???) >>, (KÖVEKEZMÉNY!!!)

23 3 Nem mdeg, mt llesztük mek a függvéébe!! mmumfeltétel:, 0 edezzük: ez a ó súl 0 Q egelet elosztható -tel: k k ehát elegedő a választás. feladat megoldása: MVU becslés egszeűbb íásmóddal: S S Megegzések:. S becsülhető az adatokból.

24 . Ha akko íható Ile esetbe: ( súlozatla becslés :), azaz ( ).,, és S ( ) S ( ) M a helzet, ha em gaz ( ) >>? Ekko ( ) + ( ) Mvel f f függvée -ak! Következmé: z becsült étéke függ -ktől, a -k pedg -tól! Ileko csak teatív módszeek haszálhatók! ( Implct legksebb égzetes becslés ) Eg elevezés tötéete: Regesszós aalízs (egesszó!) lat: egesso vsszafelődés, vsszatéés az egszeűbb/ég fomához uladoság átlag szülõk geekek 0 Eltéés (S Facs Galto) Regesszószámítás tt alkalmazták (publkálva) előszö függvé (egees) paaméteeek becslésée a legksebb égzetes módszet. (Galto ú ó statsztkus volt.) zét é a legksebb égzetes becslés evet obba szeetem. z evé evez az eláást. (Nevezett Galto úak ag szeepe volt a statsztka módszeek szélesköű elteedésébe.) Most téhetük á az eedmé megadásáak poblémááa: HOGYN DJUK MEG BECSÜL PRMÉEREKE?? db méés paamétee:, M az s ( ) fomácótatalma?? s 4

25 Lege: ˆ S ( ) ; t úfet: P [ t ( α ) t ( α ) ] α Eek alapá az / ~ (a szabadság fokú Studet eloszlású.) α megbízhatóság sztű kofdeca-tevallum: ( α ) S( ) ˆ ± t t ( α / ),7 4,3 3,,6,3,09,0,98,96 α 0,05 95 %-os kofdeca-tevallumok M a helzet a súlozással? Mle a mét -ek és f ()-ek hbáa?. Ha a kettő eletőse elté, lege a ksebb, a agobb hbáú.. Ha egk hbáa a máskhoz képest em elhaagolható, akko mplct LSQ becslés kell. SÚLYRUIN 3. Ha a hbák azoosak:, SÚLYOZLN 5. Ha a hbák azoosak, de taszfomáluk: a hbák a mét éték függvée leszek (ld. hbateedés) pl. elatív hba Posso-eloszlású mta, stb Ha a hbák em azoosak: az MVU becsléshez meg kell ad a hbákat s: 7. Ha külöböző súlozású becslés eedméeket hasolítuk össze, célszeű a -e ( ) -e omálás. Ez meg tt a vége 5