Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright
ii A Matematika. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis tárgyához készült, de haszonnal forgathatják más szakok, karok vagy műszaki főiskolák, egyetemek hallgatói is, akik hasonló mélységben hasonló anyagot tanulnak matematikából. Az anyag numerikus sorok, sorozatok elméletét, egyváltozós valós függvények határértékét, folytonosságát, differenciálását és integrálását tárgyalja. A definíciók, tételek, bizonyítások mellett kiemelt szerepet kapnak a példák, és a gyakran előforduló feladattípusok megoldásai. A mintegy 6 oldalas elméleti anyagot kiegészíti egy több, mint oldalas példatár, amely többségében megoldott, tematizált gyakorlófeladatokat tartalmaz. A két pdf állomány kölcsönösen hivatkozik egymásra. Az eligazodást tartalomjegyzék, valamint az elméleti anyagban található tárgymutató segíti. A megértést színes ábrák könnyítik, az érdeklődő olvasó pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsolódó weboldalaira is ellátogathat külső hivatkozásokon keresztül. A háttérszínezéssel tagolt elméleti anyag fekete-fehér változata is rendelkezésre áll, amely nyomtatásra javasolt formátum. Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonosság, kalkulus, differenciálás, integrálás. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
iii Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: A BME TTK Matematikai Intézet gondozásában. Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Pröhle Péter Az elektronikus kiadást előkészítette: Győri Sándor, Fritz Ágnes, Kónya Ilona, Pataki Gergely, Tasnádi Tamás Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN 978-963-79-445-7 Copyright: Fritz Ágnes (BME), Kónya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), Tasnádi Tamás (BME) A c terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjeleníthető és előadható, de nem módosítható. Korábbi változatot szerkesztette. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
iv tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok 5.. Bevezető.................................... 5... A valós számok (R) axiómái..................... 5... A rendezési axiómákból levezethető................. 7..3. Néhány fogalom............................ 7.. Számsorozatok és határérték......................... 8... Számsorozat konvergenciája..................... 9... Számsorozat divergenciája.......................3. További tételek a határértékről ()......................3.. A határérték egyértelműsége......................3.. A konvergencia szükséges feltétele...................4. Határérték és műveletek........................... 3.4.. Műveletek konvergens számsorozatokkal.............. 3.4.. Néhány jól használható egyszerűbb tétel.............. 9.4.3. Feladatok................................5. További tételek a határértékről ()......................6. Néhány példa az előző tételek alkalmazására................ 4.7. Monoton sorozatok.............................. 7.7.. Példák rekurzív sorozatokra..................... 8.8. Egy kitüntetett számsorozat......................... 3.8.. Néhány e -vel kapcsolatos példa................... 33.8.. Feladatok............................... 35.9. További tételek a határértékről (3)..................... 36.. Sorozat torlódási pontjai........................... 39. Valós számsorok 43.. Numerikus sorok konvergenciája....................... 43... Geometriai (mértani) sor....................... 45... Konvergens sorok összege és konstansszorosa............ 47..3. A konvergencia szükséges feltétele.................. 5.. Váltakozó előjelű (alternáló) sorok..................... 5
TARTALOMJEGYZÉK... Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz............... 53.3. Sorok abszolút és feltételes konvergenciája................. 54.4. Pozitív tagú sorok............................... 55.5. Pozitív tagú sorok konvergenciájával kapcsolatos elégséges kritériumok. 57.5.. Majoráns kritérium.......................... 57.5.. Minoráns kritérium.......................... 58.5.3. Hányados kritérium.......................... 6.5.4. Gyökkritérium............................. 64.5.5. Integrálkritérium........................... 68.5.6. Hibabecslés pozitív tagú sorok esetén................ 7.6. Műveletek konvergens sorokkal........................ 73.6.. Végtelen sorok természetes szorzata................. 74.6.. Végetelen sorok Cauchy-szorzata.................. 75.6.3. Zárójelek elhelyezése, illetve elhagyása végtelen sor esetén..... 76.6.4. Végtelen sor elemeinek felcserélése (átrendezése).......... 77.7. Feladatok sorokhoz.............................. 77.8. Számsorozatok nagyságrendje........................ 8.8.. Műveletek Θ-val........................... 8.8.. Aszimptotikus egyenlőség (a n b n )................. 8 3. Függvények határértéke és folytonossága 88 3.. Függvény határértéke............................. 88 3... Szükséges és elégséges tétel határérték létezésére.......... 94 3... Végesben vett határértékek..................... 96 3..3. Végtelenben vett határértékek.................... 97 3..4. Feladatok............................... 98 3.. Folytonosság.................................. 99 3... Szakadási helyek osztályozása.................... 99 3.3. Műveletek függvények körében....................... 3.4. Racionális függvények............................. 3 3.4.. Polinomok (racionális egészfüggvények)............... 3 3.4.. Racionális törtfüggvény........................ 5 3.5. Példák és feladatok.............................. 5 3.6. Egy nevezetes határérték........................... 7 3.7. Folytonos függvények tulajdonságai..................... 3.7.. Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai......... 3.7.. Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai...... 3 3.7.3. Egyenletes folytonosság........................ 5 4. Függvények differenciálása 9 4.. Differenciálszámítás.............................. 9 4... Differenciál, érintő egyenes...................... 4... Differenciálási szabályok....................... 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
TARTALOMJEGYZÉK 3 4..3. Magasabbrendű deriváltak...................... 6 4..4. Inverz függvény............................ 7 4.. Elemi függvények............................... 3 4... Hatványfüggvények.......................... 3 4... Exponenciális függvények...................... 34 4..3. Logaritmusfüggvények........................ 35 4..4. Exponenciális hatványfüggvények.................. 37 4..5. Trigonometrikus függvények és inverzeik.............. 38 4..6. Hiperbolikus függvények és inverzeik................ 49 4..7. Néhány összetett példa........................ 57 4.3. A differenciálszámítás középértéktételei................... 6 4.3.. Szükséges feltétel lokális szélsőérték létezésére........... 6 4.3.. A differenciálszámítás középértéktételei............... 63 4.3.3. Feladatok............................... 65 4.4. L Hospital-szabály.............................. 66 4.5. Nyílt intervallumon differenciálható függvények tulajdonságai....... 69 4.6. Differenciálható függvények lokális tulajdonságai.............. 74 4.7. Implicit megadású függvények deriválása.................. 8 4.8. Egyenes aszimptota ± -ben......................... 84 4.9. Függvényvizsgálat............................... 84 4.9.. Folytonos függvények zárt intervallumbeli szélsőértékei...... 85 4.. Paraméteres megadású görbék........................ 89 4... Görbék megadása síkbeli polárkoordinátákkal........... 93 4.. Feladatok................................... 94 4.. Néhány kidolgozott feladat.......................... 5. Függvények integrálása 6 5.. Primitív függvény, határozatlan integrál.................. 6 5... Példák................................. 8 5.. Határozott integrál.............................. 5... Jelölések, definíciók.......................... 5.3. A Riemann-integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei........ 5 5.4. Elégséges tételek Riemann-integrálhatóságra................ 7 5.5. Newton Leibniz-tétel............................. 9 5.6. A Riemann-integrál tulajdonságai...................... 5.7. Az integrálszámítás középértéktétele.................... 3 5.7.. Feladatok............................... 5 5.8. Integrálfüggvény............................... 6 5.8.. Példák................................. 8 5.8.. Feladatok............................... 3 5.9. Integrálás helyettesítéssel........................... 3 5.. Integrálási módszerek............................. 3 5... sin és cos szorzata........................... 3 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
4 TARTALOMJEGYZÉK 5... sin és cos páratlan kitevőjű hatványai................ 3 5..3. sin és cos páros kitevőjű hatványai................. 33 5..4. sin és cos hatványainak szorzata................... 33 5..5. Parciális integrálás.......................... 34 5..6. Racionális törtfüggvények integrálása................ 36 5..7. Integrálás helyettesítéssel....................... 38 5.. Improprius integrál.............................. 4 5... Definíciók............................... 4 5... f(x) = improprius integráljai.................. 45 xα 5..3. Az improprius integrálok néhány tulajdonsága........... 47 5..4. Feladatok............................... 49 5.. Az integrálszámítás alkalmazása....................... 5 5... Terület................................. 5 5... Szektorterület............................. 5 5..3. Forgástest térfogata.......................... 5 5..4. Forgástest felszíne........................... 53 5..5. Ívhosszúság.............................. 54 Tárgymutató 55 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
. fejezet Valós számsorozatok.. Bevezető Thom... A valós számok (R) axiómái Algebrai axiómák R-ben értelmezett két művelet: + és Ezek a műveletek nem vezetnek ki az adott halmazból, R-ből, tehát a, b R-re: a + b R és a b R. + művelet tulajdonságai ( 4.). (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c R-re (az összeadás asszociatív).. Létezik egyetlen szám (ezt -val jelöljük), amelyre teljesül, hogy + a = a + = a, ha a R. 3. Minden a R számhoz létezik pontosan egy olyan x R, amelyre x + a = a + x =. Az így értelmezett x-et ( a)-val jelöljük. (Neve: additív inverz.) 4. a + b = b + a, a, b R-re (az összeadás kommutatív) művelet tulajdonságai (5 8.) 5. (a b) c = a (b c), a, b, c R (a szorzás asszociatív) lásd Thomas -es bemutató. fejezet (3-. oldal). 5
6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK 6. Létezik egyetlen szám, amelyet -gyel jelölünk ( ), amelyre teljesül, hogy a = a = a, ha a R 7. Minden a -hoz létezik egyetlen x R, amelyre x a = a x = Az így értelmezett x-et az a szám reciprokának nevezzük, és -val jelöljük. a 8. a b = b a, a, b R (a szorzás kommutatív) A két műveletre (+ és ) -ra együttesen érvényes tulajdonság (9.) 9. a (b + c) = a b + a c, a, b, c R (disztributívitás) Rendezési axiómák ( 3.). Tetszőleges a, b R számpárra az a < b, b < a, a = b relációk közül pontosan egy teljesül (trichotom tulajdonság).. Ha a < b és b < c (röviden a < b < c), akkor a < c, ( a, b, c R) (tranzitívitás). Ha a < b, akkor a + c < b + c, ( a, b, c R) (a rendezés monoton). 3. Ha a < b és c >, akkor a c < b c, ( a, b, c R). Archimédesz-féle axióma (4.) 4. Tetszőleges b > számhoz található b-nél nagyobb n természetes szám. Cantor-féle axióma (5.) 5. Ha minden n N számnak megfeleltetünk egy I n = {x : a n x b n, x R} halmazt (röviden [a n, b n ] zárt intervallumot) oly módon, hogy akkor a n a n+, b n+ b n, ( n N) I n n= Vagyis: egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat elemeinek metszete nem üres. ( ξ I n, ξ R) n= tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. BEVEZETŐ 7 M Zártság fontos! (In = ( ], n esetén I n = ) n=... A rendezési axiómákból levezethető A rendezésre vonatkozóan könnyű belátni, hogy igazak az alábbi állítások (szokás ezeket az egyenlőtlenségekkel való számolás szabályai -nak is nevezni):. Minden a R számra az a >, a =, a > tulajdonságok közül pontosan egy teljesül. (a > ( a) < ). (a < b) (c < d) = a + c < b + d Speciálisan: (a > ) (b > ) = a + b > 3. ( a < b) ( c < d) = ac < bd Speciálisan: (a > ) (b > ) = ab > 4. (a < b) (c < ) = ac > bc Speciálisan: a < b = a > b 5. < a < b = a > b a < b < = a > b a < < b = a < b a < b = ab > : ab < : a > b a < b 6. a, b R esetén a + b a + b és a b a b. 7. Ha n pozitív egész szám, és < a < b, akkor a n < b n. Hasonlóan következnek az abszolútérték tulajdonságai...3. Néhány fogalom H R D H felülről korlátos, ha k f R, hogy x H : x k f. (k f : felső korlát) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK D H alulról korlátos, ha k a R, hogy x H : k a x. (k a : alsó korlát) D H korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos, tehát k : x k. D A felülről korlátos H halmaz legkisebb felső korlátját szuprémumnak (felső határnak) nevezzük. Jele: sup H. D Az alulról korlátos H halmaz legnagyobb alsó korlátját infimumnak (alsó határnak) nevezzük. Jele: inf H. Pl. H = { n, n N+ } = {,,,,... } esetén: 3 4 Megoldás. Felső korlátok például:, 3, π,... Alsó korlátok például:,, 56,... sup H = (nincs a halmazban legnagyobb elem), inf H = (= legkisebb elem) Dedekind folytonossági tétel: T Felülről korlátos nem üres számhalmaznak mindig van szuprémuma. ( B) Ebből következik: K Alulról korlátos nem üres számhalmaznak mindig van infimuma. M A fenti axiómarendszerben a Cantor-féle és az Archimédesz-féle axióma lecserélhető ezzel az állítással. Thom App.. Számsorozatok és határérték A valós számsorozat a természetes számokon értelmezett valós értékű függvény: f : N R, az n helyen felvett értéke f(n) = a n, n =,,.... lásd Thomas -es bemutató. fejezet (3-. oldal). tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. SZÁMSOROZATOK ÉS HATÁRÉRTÉK 9 A számsorozat jelölése: (a n ), vagy a n, vagy a n, n =,,.... D (a n ) felülről korlátos, ha k f : n-re: a n k f. D (a n ) alulról korlátos, ha k a : n-re: k a a n. D (a n ) korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos, tehát k: a n k (k = max{ k a, k f }). Vagyis a fenti definíciók szerint ilyenkor f : N R függvény értékkészlete korlátos.... Számsorozat konvergenciája D Azt mondjuk, hogy (a n ) konvergens és határértéke (limesze) A R, jelben lim a n = A, n ha ε > -hoz (ε R ) N(ε) N, hogy N(ε) neve: küszöbindex, küszöbszám a n A < ε, ha n > N(ε). M A definícióval ekvivalens: ε > -ra az (A ε, A + ε) intervallumon kívül a sorozatnak véges sok eleme van. (Az intervallumon belül pedig végtelen sok eleme van.) Az alábbi példáknál a definíció segítségével bizonyítsuk be, hogy a megadott A a számsorozat határértéke! Pl. A =, ha a) a n = n b) a n = ( )n n Megoldás. Mindkét esetben: a n A = n < ε = n > ε Például ε =, esetén N = választás megfelelő. = N(ε) [ ] ε c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. a n = 6 + n 5, n, A = Megoldás. a n A = 6 + n 5, n ( ) =,, 5, n }{{} = n 5, Ezért N(ε) [ 5, +, ]. ε n>5 < ε = n > 5, +, ε Pl. a n = n n 5 + 5n + 8, A = Megoldás. a n A = n n 5 + 5n + 8 = n n 5 + 5n + 8 < ε Ezt az egyenlőtlenséget nem tudjuk megoldani n-re. Azonban nem szükséges a lehető legkisebb küszöbindex előállítása. Elegendő megmutatnunk, hogy létezik küszöbindex. Ezért a megoldáshoz felhasználhatjuk az egyenlőtlenségek tranzitív tulajdonságát, például az alábbi módon: n a n A = n 5 + 5n + 8 < n n 5 + + = n < ε = n > 3 3 ε. [ ] 3 Ezért N(ε). ε Pl. a n = 8n4 + 3n + n 4 n + 5, A = 4 Megoldás. a n A = 8n 4 + 3n + n 4 n + 5 4 = 4n + 3n n 4 n + 5 = Innen = 4n + 3n n 4 n + 5 < 4n + 3n n 4 n 4 + = 7 n < ε = 7 ε < n [ ] 7 N(ε). ε tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. SZÁMSOROZATOK ÉS HATÁRÉRTÉK... Számsorozat divergenciája A nem konvergens számsorozatokat divergens számsorozatnak nevezzük. Például: a n = ( ) n divergens. Ugyanis a sorozat elemei: (,,,,,...) Határértékként csak a vagy az jöhetne szóba. De például ε = választással kiderül, hogy egyik sem lehet a határérték, mert bár pl. a pont sugarú környezete végtelen sok elemet tartalmaz (az a n elemeket), de rajta kívül is végtelen sok van (az a n elemek). Így nem található hozzá N(ε), tehát nem lehet a határérték. Ugyanígy belátható, hogy sem jöhet szóba határértékként. Tehát a sorozat nem konvergens, így divergens. A divergens sorozatoknak két fontos speciális esete a + -hez és a -hez divergáló számsorozat. A megfelelő definíciók: D lim a n = +, n ha P > -hoz (P R) N(P ) N, hogy a n > P, ha n > N(P ) D lim a n =, n ha M < -hoz (M R) N(M) N, hogy a n < M, ha n > N(M) Ez a definíció megfogalmazható M > feltétellel is: M > -hoz N(M) N : a n < M, ha n > N(M) Gy Pl. a n = n 3 + 3n + 5 Bizonyítsa be, hogy lim n a n =! Megoldás. a n = n 3 + 3n + 5 > n 3 > P = n > 3 P [ ] 3 P = N(P ) c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. a n = 6 n + n Bizonyítsa be, hogy lim n a n =! Megoldás. Teljesítendő, hogy a n = 6 n < M (< ), ha n > N(M). + n Ez egyenértékű a következő feltétellel: ( a n =) n 6 > M (> ), ha n > N(M). A feladatot egyszerűsítjük, hiszen + n most sem a legkisebb küszöbindexet keressük: n 6 + n > }{{} n 4 esetén n >6 n n n + n = n 6 > M = n > 6M Ezért N(M) max{4, [ 6M]}..3. További tételek a határértékről ().3.. A határérték egyértelműsége T Ha lim a n = A és lim a n = B, akkor A = B. n n B Indirekt módon bizonyítunk 3. Tehát feltesszük, hogy A B, például A < B. Legyen d = B A > és ε = d 3 >! d=b A ( ) ( ) A A+ε B ε B A számsorozat konvergenciája miatt létezik N (ε) és N (ε), hogy A ε < a n < A + ε, ha n > N (ε), B ε < a n < B + ε, ha n > N (ε). De ekkor n > max {N (ε), N (ε)} esetén: a n < A + ε < B ε < a n Ez pedig ellentmodás, tehát nem igaz, hogy A B, vagyis A = B..3.. A konvergencia szükséges feltétele P = Q, a P állításból következik a Q állítás. Ezt kétféleképpen is megfogalmazhatjuk: tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 3. P elégséges feltétele Q-nak,. Q szükséges feltétele P-nek. (Hiszen, ha Q nem teljesül, akkor már P nem teljesülhet, mert P teljesüléséből már következne Q teljesülése.) T (a n ) konvergens = (a n ) korlátos (Tehát a korlátosság szükséges feltétele a konvergenciának.) B ε > -ra N(ε): A ε < a n < A + ε, ha n > N(ε) = N Tehát (A ε, A + ε) - on kívül legfeljebb csak az a, a,..., a N elemek eshetnek. = a a ( ) A ε A A + ε { ka : n-re k a a n k a = min{a, a,..., a N, A ε} Így K : a n K, tehát korlátos. k f : n-re a n k f k f = max{a, a,..., a N, A + ε}. M = nem igaz. (Az állítás nem megfordítható.) Példa: a n = ( ) n korlátos, de nem konvergens. Pl. Konvergens-e az alábbi sorozat: a n = n +, 3n +, ha n páros, ha n páratlan. Megoldás. Nem konvergens, mert nem korlátos. (a m = m + = 4m + k m N-re ellentmond az Archimédesz-féle axiómának.).4. Határérték és műveletek.4.. Műveletek konvergens számsorozatokkal T (a n A) (b n B) = (a n + b n A + B) B Tehát be kell látni, hogy c n = a n + b n C = A + B, c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK azaz ε > -hoz N(ε) N, hogy c n C < ε, ha n > N(ε). Legyen ε = ε! Az a n és b n számsorozatok konvergenciája miatt ( ε ) ( ε ) N (ε ) = N N (ε ) = N, hogy a n A < ε = ε, n > N (ε ) és b n B < ε = ε, n > N (ε ) = Ha n > max {N (ε ), N (ε )}, akkor c n C = (a n + b n ) (A + B) = = (a n A) + (b n B) a n A + b n B < ε + ε = ε = ε { ( ε ) ( ε )} Tehát a keresett N(ε) = max N, N M A bizonyításnál felhasználtuk a háromszög egyenlőtlenséget. ( a + b a + b ) T (a n A) = (c a n c A) B (i) c = esetén az állítás triviálisan igaz. (ii) c esetén: Legyen ε = ε c! a n konvergenciája miatt N (ε ) = N ( ε c a n A < ε n > N (ε ) ), hogy = c a n c A = c (a n A) = c a n A < c ε = c ε c = ε ( ) ε n > N = N(ε) c M A bizonyításnál felhasználtuk, hogy a b = a b. K (i) (a n A) = ( a n A) (Most c = ) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 5 (ii) (a n A) (b n B) = a n b n = a n + ( b n ) A + ( B) = A B (T, T -ből következik) T 3 (i) (a n ) (b n ) = a n b n (ii) (a n A) (b n B) = a n b n AB ( B ε ) (i) N és N (), hogy a n < ε ( ε ) n > N = N = b n < n > N () = N (ε = most ) Ha n > max {N, N }, akkor a n b n = a n b n < ε = ε. (ii) Mivel a c n A n-re (stagnáló sorozat) A, ezért (a n A A A = ) (b n B B B = ). T 3 (i)-et alkalmazva kapjuk: (a n A) (b n B), vagyis a n b n Ab n Ba n + AB. Ekkor a n b n = (a n b n Ab n Ba n + AB) + ( Ab } {{ } n + Ba n AB ) AB } {{ } AB + AB AB M Nyilván három konvergens sorozat szorzata az egyes határértékek szorzatához konvergál. Teljes indukcióval belátható, hogy véges sok konvergens sorozat szorzata is az egyes sorozatok határértékének szorzatához konvergál. Hasonlóan általánosítható T véges sok konvergens sorozat összegére. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Pl. lim n lim n De vigyázat! lim n ( + n) = = ( + n) k = k = (k N + adott konstans, független n-től) ( + n) n n = Az utolsó példában alkalmazott módszer ún. letakarás lenne. Eddig megismert tételeinkben nem véletlenül nem volt erről szó, mert alkalmazása rossz eredményhez vezethet. Később látni fogjuk, hogy a 3. sorozat határértéke a matematikában jól ismert e szám. T 3 (a n ) (b n korlátos) = a n b n B A feltételek miatt: ε > -hoz N a (ε ) : a n A < ε, ha n > N a (ε ), másrészt b n K. Ekkor a n b n = a n b n a n K < ε K = ε Tehát ε = ε K választás mellett az a n sorozathoz megtalált küszöbindex megfelel az a n b n sorozathoz keresett küszöbindexnek. ( ε ) Így N (ε) = N a választással K a n b n < ε, ha n > N (ε) T 4 (a n A) = ( a n A ) B a n A a n A < ε, ha n > N(ε). M ( an ) konvergenciájából általában nem következik (a n ) konvergenciája. (Pl. a n = ( ) n divergens, de a n = n = ). tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 7 Speciálisan azonban igaz: a n = a n. Ugyanis a n = a n = a n < ε, ha n > N(ε). T 5 (i) (b n B ) = b n B (ii) (b n B ) (a n A) = a n b n A B ( ) B B (i) Mivel T 4 szerint b n B, ezért N = N, hogy azaz vagyis b n B < B, ha n > N B B < b n < B + B, ha n > N b n > B, n > N. Másrészt ε > esetén N ( ε B ) = N (ε ), hogy b n B < ε B = ε n > N (ε ). Így ha n > N(ε) := max {N, N }, akkor: b n B = B b n B b n = B b n B b n < B b n B B < ε B B =< ε B B B = ε (ii) a n b n = a n b n A B = A B T 3 és T 5 (i) miatt. Néhány példa az előző tételek alkalmazására Pl. a n = n + n + + 5 + + + n } {{ } = 5 db c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás. A tagok száma 5 (n-től független!), ezért T véges sokszori alkalmazásával a eredmény helyesnek adódik. Pl. b n = n + n + + n + + = HIBÁS gondolatmenet!!! n Megoldás. Hiszen b =, b = +, b 3 = 3 + 3 + 3 3, b 4 = 4 + 4 + 3 4 + 4 4, Így a tagok száma itt függ n-től, ez nem véges sok sorozat összege, így a T tétel erre már nem terjeszthető ki. A helyes megoldás: b n = + + + n n = ( + n) n n = + n n = n + + = Pl. a n = 8n n + 3 n + 9 = n n }{{} = 8 n + 3 n + 9 8 + + n = 8 Pl. a n = ( ) 3 n + 3n + n 3 n + 6n Megoldás. ( ) 3 n a n = n } {{ } = 8 + n 3 n 3 3n }{{} 6n = + 3n + 8 3 = 4 3n M A hatványozásnál a szorzatra vonatkozó tételt alkalmaztuk. Pl. a n = n 5 n 3 + 6n } {{ } b n sin (n 4 + 5n + 8). } {{ } c n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK 9 Megoldás. Hiszen b n = n n 3 }{{} = n 5 n.4.. Néhány jól használható egyszerűbb tétel + 3 n = és c n korlátos. T (a n ) (a n A ) = ( a n A) B (i) A = esete: a n = an < ε, ha n > N(ε) = N a (ε ) = { an = a n < ε, ha n > N a (ε ) (a n miatt N a (ε )) (ii) A > esete: a n A miatt N a (ε A) = N a (ε ) : a n A < ε A = ε, ha n > N a (ε ) A De ekkor a n A = a n A an + A = a n A an + A a n A A < ε A A = ε, tehát N(ε) = N a (ε ) M an, a n A = k a n k A tetszőleges rögzített k N + esetén. Pl. a n = 4n + 5n 4n + n + 3 ( alakú) Megoldás. a n = 4n + 5n (4n + n + 3) 4n + 5n + 4n + n + 3 = = 4n 4 4n + 5n + 4n + n + 3 = = 4n 4n } {{ } 4n = n = n + 5 4n 4n + + 4n + 3 4n + = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Gy.4.3. Feladatok. lim n n + n 3n + 8 =?. lim n ( n + 5n n + 3 ) =? 3. lim n ( 3 n3 + 3n + 3 n 3 + 4 ) =? 4. lim n 4 n4 + n 3 n + 8 3 n6 + 5n + 3 =? 5. lim n ( n4 + 4n n n 4 n n + ) =? T (a n ) = ( ) a n B Tudjuk, hogy N a (P ) : a n > P >, ha n > N a (P ). Tehát P > a n >, ha n > N a (P ). P = ε választással kapjuk, hogy < < ε, ha n > N a (P ). a n Vagyis a n < ε, ha n > N(ε) = N a(p ). (a n > feltehető, hiszen csak véges sok negatív elem lehet. Ezek elhagyhatók.) Pl. (a n )? = ( ) a n Megoldás. Nem következik! Például a n = n esetén a n = n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.4. HATÁRÉRTÉK ÉS MŰVELETEK Vagy például a n = ( )n n esetén a n = ( ) n n := b n b m, b m+. Tehát a n. De igaz: ((a n > ) (a n )) = ((a n < ) (a n )) = Ezt röviden így fogjuk jelölni az indoklásoknál: ( a n ( a n ) ) + +, T (a n ) = ( ) a n B Tudjuk, hogy N a (ε): a n = a n < ε, ha n > N a (ε). Vagyis a n > ε = P, ha n > N a(ε) = N(P ). További hasonló tételek bizonyíthatók: Pl. ( (Jelentése: a n, b n esetén sőt korlátos ; (Felhasználhatóak bizonyítás nélkül.) a n b n ) ) + ; + ; Határozatlan alakok: ; ; ; ; ; ; Ilyen esetekben azonos átalakítással próbálkozunk, ill. később kapunk egy segédeszközt (L Hospital-szabály). c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK.5. További tételek a határértékről () A limesz monoton: T (a n A, b n B, a n < b n, n N + ) = (A B, tehát lim a n lim b n) n n M Példa A = B esetére: a n = n } {{ } = A < b n = + n } {{ } = B M M 3 a n A, b n B, a n b n esetén is igaz az állítás. a n A, b n B, a n b n, ha n > N ( ilyen N ) feltétel is elég. B Megmutatjuk, hogy A > B nem lehet, így a ( ) ( ) trichotom tulajdonság miatt A B. B A } {{ } d Ha A > B lenne, akkor pl. ε := d 3 = A B > -hoz a számsorozatok konvergenciája 3 miatt N a, N b : n > N a (ε) -ra a n A < ε n > N b (ε) -ra b n B < ε } = a n > b n, ha n > max{n a, N b } Ez pedig a feltétel miatt nem lehetséges. Rendőrelv: T ( a n A b n A és a n c n b n n N ) = (c n A) tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.5. TOVÁBBI TÉTELEK A HATÁRÉRTÉKRŐL () 3 M A tétel állítása most is igaz marad, ha a n N feltétel helyett a gyengébb n > N ( ilyen N ) feltételt használjuk. B A feltételek miatt: Ha n > N a (ε) : A ε < a n < A + ε és A ε < b n < A + ε, ha n > N b (ε). N(ε) := max{n a (ε), N b (ε)}. Ha n > N(ε), akkor az előzőek miatt: Tehát, ha n > N(ε) A ε < a n c n b n < A + ε. A ε < c n < A + ε = c n A < ε. Vagyis c n A, ezzel az állítást bebizonyítottuk. Speciális rendőrelv: T (i) (a n b n ) (b n ) = a n (ii) (a n b n ) (b n ) = a n B ( B) Néhány nevezetes számsorozat lim n an =, ha a <,, ha a =,, ha a >, oszcillálóan divergens egyébként. Gy lim n nk a n =, ha a < és k N + ( B) lim n n p =, ha p >. lim n n n =. ( B) n n lim n n! = ; lim n! n = ; lim n n n n = ; lim n n log n =. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK.6. Néhány példa az előző tételek alkalmazására Pl. a n = 3n5 + n n n 3 + 3 > 3n5 + n 5 n 3 + 3n 3 = n = a n Másik megoldás: a n = n5 n 3 3 + n 3 n 4 + 3 n 3 } {{ } c n > n = a n Felhasználtuk, hogy c n 3 = N : < c n (< 4), ha n > N M Persze belátható lenne, hogy bn, c n C > esetén b n c n. Mi azonban ezt nem bizonyítottuk be, ezért nem használhatjuk fel a megoldásnál. Pl. a n = n 4 + 3 cos (n7 5)?, Megoldás. n 4 + 3 ( ) } {{ } a n n 4 + 3 } {{ } = a rendőrelv miatt a n. Másik megoldás: egy nullsorozat és egy korlátos sorozat szorzatáról van szó, így egy korábbi tétel miatt a szorzat is nullsorozat. Pl. a n = 3 n? 4 n + 3n+ Megoldás. 3 n 4 n + 3 n+ = = 9 4 9 n 4 n n }{{} ( ) n 3 + 3 4 } {{ } Tehát + határértéket várunk, ezért a speciális rendőrelvet használjuk: ( ) n 9 a n > 4 + 3 = a n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.6. NÉHÁNY PÉLDA AZ ELŐZŐ TÉTELEK ALKALMAZÁSÁRA 5 a Pl. n = n + ( 3) n? 5 n+ + 7 n+ Megoldás. n + ( 3) n 5 n+ + 7 n+ = 4 n 3 ( 3)n 5 5 n + 7 7 n = = = 4 n }{{} 7 n n 4 7 ( 3 3 4 ( ) n 5 5 + 7 7 ) n + 7 = a Pl. n = n + 9 n+? n 5 + 3n Megoldás. n + 9 n+ n 5 + 3 n = ( n n 9) + 9 ( ) n n 5 + 9 3 9 n + 9 9 n + 3 = 7 Felhasználtuk, hogy lim n nk a n =, ha a <. (Most a = 9.) Pl. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! a n = n + + n + +... + n + b n = n + + n + +... + n + n Megoldás. a n } + {{ +... } = darab A (b n ) sorozatnál már nem alkalmazható az előbbi módszer, mivel az egyes tagok ugyan nullához tartanak, de a tagok száma végtelenhez tart ( alakú). A rendőrelv segítségével tudjuk megoldani a feladatot. n n + n } {{ } = n n + n < b n < n n + = n n + n } {{ } c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
6. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK = b n. Pl. Bizonyítsuk be, hogy lim n a n n! = (a R)! Megoldás. Ha a = : triviálisan igaz. Ha < a < : alakú, ezért -hoz tart a sorozat. Ha a = :. n! Ha a > : n > [a] esetén < an n! = a a [a] a a [a] + a n < a a [a] a a n = a[a] [a]! a n = konstans n Ha a < : a n n! = ( )n a n n! = an n!. = ( ) n a n } {{ } }{{} n! korlátos Pl. a n = 3n n? 3n Megoldás. n = 3n 3n 3n 3 = Ugyanis az n n és az n p (p = 3) részsorozatairól van szó. Másik megoldás: a n = 3n n = 3 n n 3 = n 5 + 5n Pl. a n = n 8n?, Megoldás. n ( n ) 3 n } 4 {{ } 3 = n 5 = n 8n n 5 + 5n n 8n n n 5 + 5n 5 8n n = 7 ( n n ) 3 n } 6 {{ } 3 = tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.7. MONOTON SOROZATOK 7 3 a n + 5 n Pl. n = n n + 4? n = a n. n 5 4 } {{ } 5 4 5 n 3 n = n 4 n + 4 < + 5 n 5 n n n n + 4 < + 5 n n n 4 n = n 5 } {{ 4} 5 4 = a n 5 4..7. Monoton sorozatok Elégséges tétel (a n ) konvergenciájára: T (i) Ha (a n ) monoton növekedő és felülről korlátos, akkor konvergens. (ii) Ha (a n ) monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. A két esetet összevonva a tétel így is kimondható : Ha (a n ) monoton és korlátos, akkor konvergens. B Monoton növekedő esetre: Felveszünk egy I n = [c n, d n ] egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot, ahol c n : mindig a számsorozat egy eleme és d n : mindig felső korlát. Így az (a n ) sorozat elemei véges sok elem kivételével a [c n, d n ] -ben vannak. A Cantoraxióma szerint az I n intervallumok metszete nem üres. Választunk a metszetből egy elemet, erről belátjuk, hogy a számsorozat határértéke. Mivel a határérték egyértelmű, azt is beláttuk, hogy ebben a speciális intervallumsorozatban egyetlen közös elem van, mert az intervallumok hossza -hoz tart. Részletesen: a a n K I = [c, d ] := [a, K] F := c + d K (a korlátosság miatt) F c = a K = d c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
8. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Ha F felső korlát, akkor c = c, d = F, I = [c, d ] := [c, F ] Ha F nem felső korlát: a n > F és ekkor c = a n, d = d, I = [c, d ] := [a n, d ] F := c + d Ha F felső korlát: I = [c, d ] := [c, F ] Ha F nem felső korlát: a n > F és ekkor I := [a n, d ]. n= Stb. I n (Cantor-axióma), tehát l Belátjuk, hogy lim n a n = l. n= I n. c m d m ( [ ] ) l ε l l + ε I n hossza: d n c n K a n < ε, ha n > N(ε). Az előzőek miatt < l c n d n c n < ε és < d n l d n c n < ε, vagyis Mivel c m = a nm és (a n ) : l ε < c n d n < l + ε, ha n > N(ε). c m = a nm a n, ha n > n m és a n d m (felső korlát) n = l ε < c m = a nm a n d m < l + ε, ha n > n m = N(ε) Tehát valóban lim n a n = l. Gy.7.. Példák rekurzív sorozatokra A rekurzív megadású számsorozatok konvergenciája sok esetben vizsgálható az előző elégséges tétel alkalmazásával. Erre mutatunk most néhány példát. Pl. a = 4 3 ; a n+ = 3 + a n ; n =,,... 4 Konvergens-e a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? ( 4 3 + 3 Megoldás. a =,33 > a = 4 Sejtés: (a n ), tehát a n > a n+ >. Bizonyítás: teljes indukcióval. ) =,94 > a 3 =,67 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.7. MONOTON SOROZATOK 9. a > a > a 3 > teljesül. Tfh. a n > a n > 3. Igaz-e: 3 + a n 4. miatt a n > a n 3 4 > = a n? > an+ = 3 + a n 4 = a n > a n = 3 + a n > 3 + a n = 3 + a n = a n > a n+ = 3 + a n 4 4 Tehát a számsorozat monoton csökkenő és alulról korlátos (hiszen a n > ) = (a n ) konvergens, és fennáll: A = lim n a n = lim n 3 + a n 4 A = 3 + A 4 = A 4A + 3 = = A = vagy A = 3. A = 3 nem lehet, mivel a n < a = 4 3, ezért a n környezetébe. Így A = lim n a n =. nem esik a 3 szám pl. sugarú Pl. a = ; a n+ = 6 + a n ; n =,,... Konvergens-e a sorozat? Ha igen, mi a határértéke? Megoldás. (a n ) = (,,646,,94,... ) 6 + an miatt a sorozat elemei pozitívak ((ii)-ben precízen megmutatjuk). (i) Ha a sorozat konvergens lenne, akkor létezne A = lim a n = lim 6 + an = 6 + A, vagyis A A 6 =. n n Ebből A = 3 vagy A = lehetne. a n = 6 + a n > miatt A = nem lehet. Így csak az A = 3 jöhet szóba. (ii) Sejtés: (a n ). Bizonyítás: teljes indukcióval. (Egyidejűleg belátjuk, hogy a n >.) < a < a < a 3 igaz. Tegyük fel, hogy < a n < a n. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
3. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Igaz-e, hogy Az indukciós feltevés miatt Vagyis < a n < a n+.? < 6 + a n = a n? < an+ = 6 + a n < a n < a n = < + 6 < 6 + a n < 6 + a n (a n > miatt) = < 6 + a n < 6 + a n Tehát a sorozat monoton növekedő és elemei értelmezettek és pozitívak. (iii) Létezik-e K felső korlát? K-nak most célszerű A-t választani. Teljes indukcióval belátjuk, hogy a n < 3 n N : a < 3 teljesül. Tegyük fel, hogy a n < 3. Ekkor a n+ = 6 + a n < 6 + 3 = 3. Tehát (a n ) felülről korlátos (felső korlátja 3). (iv) Vagyis (a n ) (a n ) felülről korlátos = lim a n = A. n Láttuk, hogy A = 3 lehet csak. M A monotonitás másképpen is belátható: < a n? < an+ = 6 + a n a n? < 6 + a n a n a n 6? < Ez igaz, ha < a n < 3, de ezt még be kell bizonyítani. < a n (a n > miatt), a n < 3 pedig teljes indukcióval bizonyítandó. triviálisan igaz Pl. a = 3; a n+ = 5 6 a n ; n =,,... 3 Konvergens-e a sorozat? Megoldás. Monoton csökkenő-e? a n+ = 5 6a n 3? < a n, amiből 6a n + 3a n 5? >. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 3 ( 6x + 3x 5 =, x, = 5 ) ; 3 Tehát monoton csökkenő, ha a n < 5, vagy a n > 3. Most teljes indukcióval belátható, hogy a n 3 ( < 5 Tehát a sorozat monoton csökkenő a 3 kezdőértékkel. ) (HF.) Ha a sorozat alulról korlátos lenne, akkor konvergens lenne, és a határértéke: A = 5 6A = A = 5 3 vagy A = 3 lehetne. Mivel most a n 3 n-re = (a n ) nem konvergens, vagyis alulról nem korlátos = M -hez n, hogy a n < M. Mivel (a n ), ezért a n < a n < M, ha n > n, tehát lim n a n =..8. Egy kitüntetett számsorozat T e n = ( + n) n korlátos és = (e n ) konvergens. B. Korlátosság (a binomiális tétel felhasználásával): e n = ( + n) n = = + + n k= n k= ( ) ( ) k n = + + k n k! ( )( ) n n } {{ }} {{ } < < < + + < < n k= k! = n k= ( n(n ) (n (k )) k! k ) n < } {{ } < < n k! := s n k= n k = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
3. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK De (s n ) felülről korlátos, mert s n = + + + 3 + + n < ( < + + + + + + 3 Tehát e n =. (e n ) monoton nő: = + ( + n) n < s n = = + n k= n k= = + ( k! < 3. k= n ) n ) = = 3 ( e n+ = + ) n+ n+ ( ) n + = n + k (n + ) = k n+ k! k= k! (( ) ( ) ( k n + n + n + ( ) n + } {{ } > n n > + k= k! ( (( n k ) n + } {{ } + > k n ) ( k n ( ) n + n + )) + = e n ( ) n < 3 )) = (n + ) n+ > Tehát e n+ > e n. tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 33 Mivel (e n ) és korlátos = konvergens. A sorozat határértékét e-vel jelöljük. ( e := lim + ) n n n A fentiek miatt: < e < 3. Belátható (mi nem bizonyítjuk), hogy e nem racionális szám, továbbá: lim s n = lim n n n k= k! = k! k= = e és ( lim + x n = e n n) x, x R.8.. Néhány e -vel kapcsolatos példa Gy Pl. a n = ( + ) n 3 +n+6 n 3 + n + 6 e, ugyanis (e n ) egy részsorozatáról van szó. Pl. a n = Pl. a n = ( + ) n = n 6 ( + ) 6n 7 = 6n + ( + ) n 6 ( + ) 6 e 6 = e n 6 n 6 ( + ) 6n+ ( 6n + + ) 8 e = e 8 6n + Pl. a n = ( ) n n + 3 = n + 4 ( ) n+4 6 n + 4 = = n + 4 ( + n + 4 Felhasználtuk, hogy ) n+4 ( ) 6 n + 4 e = 6 e n + 3 4 n + 4 + n + 3 = n + 3 + + = n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
34. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Másik megoldás: ( ) n a n = + 3 n ( + 4 n ) n ( n + 4 n + 3 ) e3 e 4 = e Pl. a n = ( ) n n n + 3 = ( + n ) n ( + 3n ) n e e 3 = e 5 Pl. a n = ( ) n n + = n + 6 ( + n ( + 6 n ) n ) n ( ) e = e e 6 Pl. a n = ( ) n n + = n + 9 ( + n ( + 9 n ) n ) n e e 9 = e 7 Pl. a n = ( ) n 4n + 5 n + 3? Megoldás. Két átalakítással is megoldjuk.. megoldás: ( + 5 n a n = ( + 3 n ) n ) n. megoldás: ( + 5 ) 4n 4n a n = ( + 3 ) 4n e = e 4 e 6 4n ( ) e 5 = e 4 e 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.8. EGY KITÜNTETETT SZÁMSOROZAT 35 Pl. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét! ( ) 3n 3n ( ) + 3n 9n + a n =, b 3n n =, 3n ( ) 3n 3n 3 ( ) + 3n 3n + c n =, d 3n n =. 3n Megoldás. ( + ) 3n 3n a n = ( + ) 3n e e = e3 = A 3n b n = (a n ) 3 = b n A 3 = e 9 c n = (a n ) n > 8 n, ha n > N (a n e 3 miatt N ) = c n d n = n a n = N : n > N esetén n e3, } {{ } d n n e 3 +, } {{ } = d n..8.. Feladatok. Keresse meg az alábbi sorozatok határértékét, amennyiben azok léteznek! ) n+ ( a) a n = + 4n ( ) n+7 n b) a n = ( ) n n + 8 ( ) n+8 n + 3 c) a n = n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
36. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK ( ) n ( ) n ( ) n 3n 3n 4n d) a n =, b n =, c n = 3n + 4n + 3n + ( ) n 3 n 3 +8 ( ) n 3 n 4 ( n 3 e) a n =, b n 3 n =, c + n 3 n = + n 3 + ( f) a n = n!) n! (, b n = n!) (n )! (, c n = n! ( ) n + 3 n. a) lim =? n n + (n n + 3 b) lim n n + 4 ) n +4 =? 3. Gyakorló példák rekurzív sorozatokhoz: a) a = ; a n+ = + a n b) a = ; a n+ = a n a n (Útmutatás: ) n ) (n+)! a n+ = a n ( a n ), először < a n < -et mutassa meg.) c) a = 3 ; a n+ = a n 3 + a n (Segítség: a n+ = a n + 3 3 3 + a n = 3 3 + a n ) d) a = ; a n = + a n e) a = 4; a n+ = a n + 6 5 f) a = 5; a n = a n + 5.9. További tételek a határértékről (3) T Minden sorozatnak van monoton részsorozata. B csúcs : a n csúcs, ha n > n -ra a n a n tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.9. TOVÁBBI TÉTELEK A HATÁRÉRTÉKRŐL (3) 37. végtelen sok csúcs = van monoton csökkenő részsorozat, hiszen ezek a csúcsok monoton csökkenő részsorozatot alkotnak.. Véges sok csúcs van (esetleg nincs is). a s : a legnagyobb indexű csúcs után következő elem. (Ha nem volt: a s = a.) a s nem csúcselem. s > s : a s a s, különben a s csúcs lenne. a s sem csúcselem. s 3 > s : a s3 a s, különben a s csúcs lenne. Stb. Így kapunk egy (a nr ) részsorozatot. Bolzano Weierstrass kiválasztási tétel: T Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. B Az előző tétel miatt monoton részsorozat, és mivel ez korlátos = konvergens. M A racionális számok Q halmazában nem igaz a Bolzano Weierstrass kiválasztási tétel. Legyen (b n ) = (,,4,,4,,44,... ) / Q, b n Q. (b n ) [, ], azaz korlátos. (b n ) minden részsorozata -höz konvergál, tehát nincs (b n )-nek olyan részsorozata, amely egy Q-beli elemhez konvergálna. Szükséges és elégséges tétel számsorozat konvergenciájához Cauchy-féle konvergenciakritérium: T Az (a n ) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε) N: a m a n < ε n, m > M(ε) esetén ( B) M Más megfogalmazásban: a n+k a n < ε n > M(ε), k N esetén M A tétel azt a tényt fejezi ki, hogy konvergens sorozat elemei egymáshoz is tetszőlegesen közel vannak, ha indexeik elég nagyok. Ezt a tételt használhatjuk a konvergencia bizonyítására akkor is, ha a határértéket nem ismerjük. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
38. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK D Az (a n ) számsorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha ε > -hoz M(ε): a m a n < ε, ha n, m > M(ε) A Cauchy-féle konvergencia tételt megfogalmazhatjuk a következőképpen is: Az (a n ) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. M Q-ban a Cauchy-sorozat nem feltétlenül konvergens. Például (a n ) = (,,4,,4,,44,... ) / Q. Az (a n ) Cauchy-sorozat, mert a n+k a n < N = ε, ha n > N, k N tetszőleges. Nincs olyan Q -beli elem, amelyhez (a n ) konvergálna. Egy fontos példa Pl. Megoldás. s n = n k= Bizonyítsuk be, hogy k = + + 3 + + n lim s n = n s N = + + 3 + + N s N = + + + N + N + + N + + + N N-et akármilyen nagyra választjuk: s N s N = N + + + N > N N =, tehát nem szorítható ε alá, ha ε. kritérium = divergens. Mivel (s n ) = s n. Nem teljesül rá a Cauchy-féle konvergencia tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. SOROZAT TORLÓDÁSI PONTJAI 39.. Sorozat torlódási pontjai D (Torlódási pont (sűrűsödési pont, sűrűsödési érték):) t R, ill. t =, vagy t = az (a n ) torlódási pontja, ha minden környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza (Tehát létezik olyan (a nr ) részsorozat, amely t-hez tart.) ( + környezetei (P, ) alakúak, ahol P R. környezetei (, M) alakúak, ahol M R.) T (a n ) valós számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha pontosan egy valós szám a torlódási pontja. lim n a n = + akkor és csak akkor, ha t = az egyetlen torlódási pont. D S := (a n ) torlódási pontjainak halmaza. T Ha a torlódási pontok halmaza felülről korlátos, akkor létezik legnagyobb torlódási pont. ( B) D (Limesz szuperior:) lim sup a n jel = lim a n := legnagyobb torlódási pont,, ha a torlódási pontok halmaza felülről korlátos ha S = vagy S = { }, különben D (Limesz inferior:) lim inf a n jel = lim a n := legkisebb torlódási pont, ha a torlódási pontok halmaza alulról korlátos, ha S = vagy S = { }, különben M Ha lim a n = lim a n = lim a n = lim a n n n Pl. a n = ( )n n ; lim a n =?, lim a n =? Gy c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK Megoldás. Ha n páros: a n = n (Részletezve: n = m : a m = m = 4 m ) Ha n páratlan: a n = n = n (n = m + : a m+ = (m+) = 4 m ) Így a sorozat torlódási pontjai:, = lim a n =, lim a n = Pl. a n = ( n + n sin n π ) n + 3n + 7 Adja meg a számsorozat torlódási pontjait! lim a n =?, lim a n =? Megoldás. n értékétől ( függően három részsorozat viselkedését kell vizsgálnunk. Ha n = m : sin n π ) =, ezért a kapott részsorozat: Ha n = 4m + : Ha n = 4m : n a n = n + 3n + 7 ( sin n π ) =, ekkor a részsorozat: n a n = n + 3n + 7 ( sin n π ) =, így a részsorozat: a n = Tehát a torlódási pontok halmaza: S = Pl. lim a n =, lim a n = {, }, a n = 3n+ + ( 4) n 5 + 9 n+, b n = a n cos nπ lim a n =?, lim a n =? lim b n =?, lim b n =? Megoldás. a n = 3 9n + ( 4) n = 9n 5 + 9 9 n }{{} 9 n = ( 3 + 4 ) n 9 ( ) n 5 + 9 9 3 + + 9 = 3 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. SOROZAT TORLÓDÁSI PONTJAI 4 Ezért lim a n = lim a n = lim a n = n 3 Az (a n ) sorozat konvergens, mert egyetlen véges torlódási pontja van. (b n ) vizsgálata : cos nπ = ( ) n. Ezért, ha n páros: b n = a n 3 Ha n páratlan: b n = a n 3 = lim a n = 3, lim a n = 3, lim n a n Pl. Határozza meg az alábbi sorozatok limeszét (ha létezik), valamint limesz szuperiorját és a limesz inferiorját! a) a n = 4n + 3 n+ b) b + 4 n n = ( 4)n + 3 n+ + 4 n c) c n = ( 4)n + 3 n+ + 4 n Megoldás. a) a n = 4n + 3 3 n = 4n + 4 n }{{} 4 n = = lim n a n = lim a n = lim a n = ( 3 + 3 4 ( ) n + 4 ) n + + = b) b n = ( 4)n + 3 3 n = ( 4)n + 4 n } 4{{ n } = ( ) n β n + + = Ha n páros: b n = β n Ha n páratlan: b n = β n ( + 3 3 ) n 4 ( ) n + 4 } {{ } :=β n = ( ) n β n c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
4. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROZATOK = lim b n =, lim b n =, lim n b n c) c n = ( 4)n + 3 3 n = ( 4)n + 6 n } 6 {{ n } = ( 4 )n ( + 3 3 ) n 4 ( ) n + 6 = lim n c n = lim c n = lim c n = + + = tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
. fejezet Valós számsorok.. Numerikus sorok konvergenciája A végtelen összeghez hozzárendelünk egy ( s n ) számsorozatot a következő módon: a k k= Thom App s n := n a k : k= +a a k = a }{{} +a 3 + + a n + s } {{ } } s {{ } } s 3 {{ } s n k= n-edik részletösszeg E számsorozat határértékének segítségével definiáljuk a sor összegét az alábbiaknak megfelelően. D A a k numerikus sor konvergens és összege s, ha létezik a k= ( n ) lim s n = lim a k = s R n n k= (véges) határérték. lásd Thomas -es bemutató. fejezet (-3. oldal). 43
44. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK A részletösszegek (s n ) sorozatának viselkedése szerint az alábbi esetek lehetségesek: k= a k = lim n n k= a k = lim s n = n s R, +,,, az összeg konvergens az összeg divergens. Pl. =? k= Megoldás. = + + + + esetén s n = n k= = lim n s n = (Divergens a sor.) k= = n Pl. ( ) k+ =? k= Megoldás. ( ) k+ = + + + ( ) k + divergens, mert k= s k+ = s k = } = (s n ) -nek torlódási pontja van, a sor divergens. Pl. k= Megoldás. ( ) k =? ( ) k = ( ) ( ) n + + + + = lim } {{ } s n k= tehát a sor konvergens. n ( ) n } {{ } s n = =, Pl. k= k (k + ) =? tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 45 Megoldás. k= k (k + ) = lim n = lim n (( + n n ( k (k + ) = lim n k + + ) = k k= k= ) ( + 3 + ) ( + 4 + ) ( + + 3 n + + )) = n ( = lim ) =, konvergens a sor. n n + Pl. k k= (harmonikus sor) divergens Megoldás. ( ) ( s k = + + 3 + ) ( + 4 5 + 6 + 7 + ) + + 8 ( + + ) ( + k k + + + ) k + + 4 + 4 8 + + k k = + k lim s = = k k k = Ugyanis s n s k, ha n > k miatt lim n s n =. M Ha a sorban véges sok tagot elhagyunk vagy megváltoztatunk, akkor a konvergencia ténye nem változik, konvergens sorból konvergens sort, divergens sorból divergens sort kapunk. A sorösszeg értéke természetesen megváltozik. k=... Geometriai (mértani) sor T Geometriai sor + q + q + =, ha q < q q k =, ha q divergens, ha q k= c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
46. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK B s n = n k= q k = + q + q + + q n Ha q = : s n = n, ezért lim s n =. n Ha q : s n = qn q. Mivel q n, ha q <, ezért lim s n = n q =, ha q <. q Mivel q n, ha q > = s n, ha q >. Ha q = : q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t =, t =. = s n -nek is torlódási pontja van: és, tehát divergens. Ha q < : q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t =, t =. = s n -nek is torlódási pontja van: és, tehát divergens. Pl. k=3 q k = q 3 + q 4 + q 5 + = q3 q, ha q <. A részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték (a sor összege) is q 3 -nel szorzódik. Pl. a + aq + aq + = a q k = k= a q k = k= a q, ha q < Most a részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték is a -szoros lesz. ( ) első tag A képletet úgy érdemes megjegyezni, hogy s = kvóciens. Pl. k=3 ( ) 3k =? 3 k tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 47 Megoldás. k=3 = ( ) 3k = 3 k k=3 ( ) 3 ( ) 4 8 8 + 9 9 (( ) 3 ) k = (3 ) k ( 8 9 k=3 ( 8) k 9 k = ) 5 ± = ( 8 9 k=3 ) 3 ( 8 9 ) ( 8 9) k = (q = 8 9, q < ) Pl. k= k + 3 k+ 4 k+ =? Megoldás. s n = 6 s n = ( n k= n ( ) k 3k+ + = 4k+ 4 k+ k= ( ) k + 3 n k= ( n k= ( ) ) k 3 4 6 = 6 ( ) k + 3 6 ( ( ) ) k 3 4 ( )n + 3 3 ( 3 ) 4 )n 3 4 4 = lim s n = ( n 6 3 ) 4 + 3 3 = 5 8 4 Pl. Milyen x-re konvergens a (log x) k sor? k= Megoldás. q = log x, log x < < log x <, < x <, azaz x (, ).... Konvergens sorok összege és konstansszorosa T Ha a k = S a k= és b k = S b, S a, S b, c R k= = (a k + b k ) = S a + S b és k= (c a k ) = c S a. k= c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
48. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK B S a = lim n sa n = lim n S b = lim n sb n = lim n S a+b = lim Másrészt n sa+b n lim n k= S c a = lim n sc n a = lim n n a k k= n b k k= ( n n = lim (a k + b k ) = lim a k + n k= n ( k= n ) ( n ) a k + lim b k = S a + S b n n k= k= (c a k ) = c lim n n k= a k = c S a n k= b k ) = Ezen tételek segítségével egyszerűbben oldhatók meg az előző típusú feladatok. Pl. k= ( 3) k+ k+ =? Megoldás. k= ( 3) k+ = ( 3) k+ k= ( 3 ) k = 9 4 ( 3 ) 4 ( 3 4 ) (q = 34, q < teljesül. ) Pl. k= 3 k+ + ( ) k+ 5 k =? Megoldás. A sor két konvergens geometriai sor összege: k= 9 3 k + ( ) ( ) k 5 k = 9 k= ( ) k 3 + 4 5 k= ( 5) k = 9 3 5 3 5 + 4 ( 5 ) 5 tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. NUMERIKUS SOROK KONVERGENCIÁJA 49 (q = 3 5, q <, q = 5, q < ) A konvergencia szükséges és elégséges feltétele (Cauchy-kritérium): T Cauchy-tétel a k akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε): k= a n+ + a n+ + + a n+k < ε, ha n > M(ε) és k N + B Triviálisan igaz, hiszen a számsorozatok konvergenciájára tanult szükséges és elégséges tétel alkalmazható. (s n ) akkor és csak akkor konvergens, ha ε > -hoz M(ε), hogy n, m > M(ε) esetén s m s n < ε. Legyen m > n és m = n + k! Mivel s n = a + a + + a n, s m = s n+k = a + a + + a n + a n+ + a n+ + + a n+k. Ezért s m s n = a n+ + a n+ + + a n+k < ε, ha n > M(ε) és k N + tetszőleges. Pl. Konvergens-e a sor)? ( ) n+ n = + 3 4 + n= (alternáló harmonikus Megoldás. Igen, ugyanis s n+k s n = a n+ + a n+ + + a n+k = n + n + + n + 3 + ( )k+ n + k = c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu
5. FEJEZET: VALÓS SZÁMSOROK ( n + ) ( + n + n + 3 ) ( + + n + 4 n + k ) = n + k } {{ } } {{ } } {{ } > > = ( n + n + ) ( ), ha k páros n + 3 n + k } {{ } } {{ } > > = ( n + ) n + } {{ } Vagyis > n + 3 ) ( ) + + n + 4 n + k n + k } {{ } } {{ } ( + > > > + n + k = = ( n + n + ) ( n + 3 n + k ), ha k páratlan n + k } {{ } } {{ } > > s n+k s n < n + < ε, ha n > [ ] = N(ε) ε ε Későbbiekben könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez egy úgynevezett Leibniz-sor...3. A konvergencia szükséges feltétele T ( ) a k konvergens k= = ( ) lim a k = k B A Cauchy-kritériumból ( k = választással): s n+ s n = a n+ < ε, ha n > N(ε) = a n Vagy (egy másik bizonyítás) s n = s n + a n = a n = s n s n s s = M A feltétel nem elégséges. Például a sor a feltételt teljesíti, mégis divergens. k= k tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi
.. VÁLTAKOZÓ ELŐJELŰ (ALTERNÁLÓ) SOROK 5.. Váltakozó előjelű (alternáló) sorok c c + c 3 + ( ) n+ c n + = ( ) n+ c n, c n > n= Thom App Leibniz-kritérium: T Ha az alternáló sor tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat (fent (c n ) ) monoton fogyóan tart -hoz ( jelben c n ), akkor a sor konvergens. Az ilyen alternáló sor neve: Leibniz-sor. B Belátjuk, hogy s k és felülről korlátos: Másrészt s k+ = s k + (c k+ c } {{ k+ ) s } k = s k s } {{ k+ = c } (c c 3 ) (c } {{ } 4 c 5 ) (c } {{ } k+ ) c } {{ } az előzőből látható Tehát s k monoton növő és felülről korlátos = s k konvergens, legyen s = lim k. k Megmutatjuk, hogy s k+ s szintén, és így a sor konvergens. s k+ = s k + c k+ s + = s M Az is megmutatható, hogy az sk+ részsorozat monoton csökkenően tart s -hez. s k+ = (c c ) + (c 3 c 4 ) + + (c k c k ) + c k+ = = (c c ) + (c 3 c 4 ) + + c } {{ k (c } k c k+ ) } {{ } s k s k lásd Thomas -es bemutató 6. fejezet (49-6. oldal). c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.hu