Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra
Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény 3. Trigonometrikus függvények és inverzeik 4. Hiperbolikus függvények és inverzeik 5. További érdekes függvények 1
Hatványfüggvények
Természetes szám a kitevő Definíció: id: R R, id(x) := x 2
Természetes szám a kitevő Definíció: id: R R, id(x) := x id 2 : R R, id 2 (x) := x 2 2
Természetes szám a kitevő Definíció: id: R R, id(x) := x id 2 : R R, id 2 (x) := x 2 id 3 : R R, id 3 (x) := x 3 2
Természetes szám a kitevő Definíció: id: R R, id(x) := x id 2 : R R, id 2 (x) := x 2 id 3 : R R, id 3 (x) := x 3. id n : R R, id n (x) := x n, n N 2
Negatív egész szám a kitevő Definíció: id 1 : R R, id 1 (x) := 1 x 3
Negatív egész szám a kitevő Definíció: id 1 : R R, id 1 (x) := 1 x id 2 : R R, id 2 (x) := 1 x 2 3
Negatív egész szám a kitevő Definíció: id 1 : R R, id 1 (x) := 1 x id 2 : R R, id 2 (x) := 1 x 2. id n : R R, id n (x) := 1 x n, n N 3
Racionális szám a kitevő Definíció: id 1/2 : R R, id 1/2 (x) := x 4
Racionális szám a kitevő Definíció: id 1/2 : R R, id 1/2 (x) := x. id r : R R, id r (x) := x r, r Q 4
Racionális szám a kitevő Definíció: id 1/2 : R R, id 1/2 (x) := x. id r : R R, id r (x) := x r, r Q Például: r = 3 2 x 3/2 = x 3 1 2 = ( x 3 ) 1/2 = x3 = 4
Racionális szám a kitevő Definíció: id 1/2 : R R, id 1/2 (x) := x. id r : R R, id r (x) := x r, r Q Például: r = 3 2 x 3/2 = x 3 1 2 = ( x 3 ) 1/2 = x3 = = x 1 2 3 = ( x 1/2) 3 = ( x ) 3 4
Racionális szám a kitevő Definíció: id 1/2 : R R, id 1/2 (x) := x. id r : R R, id r (x) := x r, r Q Például: r = 3 2 x 3/2 = x 3 1 2 = ( x 3 ) 1/2 = x3 = = x 1 2 3 = ( x 1/2) 3 = ( x ) 3 Megjegyzés: x 0 := 1 x R \ {0} (azaz 0 0 nincs értelmezve) 4
Hatványfüggvények 5
Exponenciális és logaritmus
Exponenciális függvény Legyen a > 0. Definíció: Az a alapú exponenciális függvény: exp a : R R, exp a (x) := a x Megjegyzés: exp 1 (x) = 1 x = 1 minden x R esetén a < 1 szig. mon. csökken a = 1 mon. nő és csökken (konstans 1) a > 1 szig. mon. nő 6
Speciális alapú exponenciális függvény Nevezzük e számnak azt a valós számot, amelyre igaz, hogy az id 1 (azaz f(x) = 1 x ) függvény grafikonja alatti kék terület egyenlő 1-gyel: 7
Speciális alapú exponenciális függvény Nevezzük e számnak azt a valós számot, amelyre igaz, hogy az id 1 (azaz f(x) = 1 x ) függvény grafikonja alatti kék terület egyenlő 1-gyel: Mit tud még az Euler-féle szám? 1 + 1 1 + 1 1 2 + 1 1 2 3 + + 1 n! + = e az ( 1 + n) 1 n ( és az 1 1 n sorozatok elemei egyre közelebb kerülnek az e-hez ) n e 2, 72 HF! 7
Speciális alapú exponenciális függvény Nevezzük e számnak azt a valós számot, amelyre igaz, hogy az id 1 (azaz f(x) = 1 x ) függvény grafikonja alatti kék terület egyenlő 1-gyel: Mit tud még az Euler-féle szám? 1 + 1 1 + 1 1 2 + 1 1 2 3 + + 1 n! + = e az ( 1 + n) 1 n ( és az 1 1 n sorozatok elemei egyre közelebb kerülnek az e-hez ) n e 2, 72 HF! Az e alapú exponenciális függvény: exp e (x) = e x =: e x 7
Logaritmus függvény Legyen a > 0, a 1. Ekkor az exp a függvény szigorúan monoton nő és injektív R-en létezik inverze Jelölje (exp a ) 1 =: log a (a alapú logartitmus függvény) a < 1 a > 1 szig. mon. csökken szig. mon. nő 8
Speciális alapú logaritmus függvény Jelölje ln := log e (az e x inverze az ln(x)) logarithmus naturalis természetes alapú logaritmus 9
Trigonometrikus függvények
Szinusz és koszinusz Legyen sin: R R, sin(x) :=... (egyelőre nincs formula) Legyen sin(x) a P pont második koordinátája 10
Szinusz és koszinusz Legyen sin: R R, sin(x) :=... (egyelőre nincs formula) Legyen sin(x) a P pont második koordinátája Látható: D(sin) = R, R(sin) = [ 1, 1] a sin fv. 2π szerint periodikus, páratlan 10
Szinusz és koszinusz Legyen sin: R R, sin(x) :=... (egyelőre nincs formula) Legyen sin(x) a P pont második koordinátája Látható: D(sin) = R, R(sin) = [ 1, 1] a sin fv. 2π szerint periodikus, páratlan Legyen cos: R R, cos(x) := sin(x + π 2 ) Látható: D(cos) = R, R(cos) = [ 1, 1] a cos fv. 2π szerint periodikus, páros 10
Szinusz és koszinusz 11
Tangens és kotangens Legyenek Látható: tg := sin cos és ctg := cos sin D(tg) = R \ { π 2 + kπ, k Z} D(ctg) = R \ {kπ, k Z} 2π szerint periodikus, páratlan függvények 12
Tangens és kotangens Legyenek Látható: tg := sin cos és ctg := cos sin D(tg) = R \ { π 2 + kπ, k Z} D(ctg) = R \ {kπ, k Z} 2π szerint periodikus, páratlan függvények 12
Trigonometrikus függvények inverzei ( arkusz függvények) Hol injektívek? Csak azon az intervallumon létezik inverzük! ( sin [ π 2, π 2 ] ) 1 =: arcsin ( cos [0,π] ) 1 =: arccos ( tg [ π 2, π 2 ] ) 1 =: arctg ( ctg [0,π] ) 1 =: arcctg 13
Trigonometrikus függvények inverzei ( arkusz függvények) Hol injektívek? Csak azon az intervallumon létezik inverzük! ( sin [ π 2, π 2 ] ) 1 =: arcsin arcsin(x) = α, amelyre sin α = x ( cos [0,π] ) 1 =: arccos arccos(x) = α, amelyre cos α = x ( tg [ π 2, π 2 ] ) 1 =: arctg arctg(x) = α, amelyre tg α = x ( ctg [0,π] ) 1 =: arcctg arcctg(x) = α, amelyre ctg α = x 13
Hiperbolikus függvények Legyenek sh: R R, ch: R R, sh(x) := ex e x 2 ch(x) := ex + e x 2 (szinusz hiperbolikusz) (koszinusz hiperbolikusz) 14
Hiperbolikus függvények Legyenek ch: R R, ch(x) := ex + e x 2 (koszinusz hiperbolikusz) 14
Hiperbolikus függvények Legyenek Látható: th := sh ch és cth := ch sh D(th) = R, R(th) = ( 1, 1), th(x) = ex e x e x + e x D(cth) = R \ {0}, R(cth) = R \ [ 1, 1], cth(x) = ex + e x e x e x 15
Hiperbolikus függvények Legyenek Látható: th := sh ch és cth := ch sh D(th) = R, R(th) = ( 1, 1), th(x) = ex e x e x + e x D(cth) = R \ {0}, R(cth) = R \ [ 1, 1], cth(x) = ex + e x e x e x 15
Hiperbolikus függvények inverzei ( area függvények) Hol injektívek? Csak azon az intervallumon létezik inverzük! sh 1 =: arsh ( ch [0,+ ) ) 1 =: arch th 1 =: arth ( cth (0,+ ) ) 1 =: arcth 16
Hiperbolikus függvények inverzei ( area függvények) Hol injektívek? Csak azon az intervallumon létezik inverzük! sh 1 =: arsh arsh(x) = ln(x + x 2 + 1) ( ch [0,+ ) ) 1 =: arch arch(x) = ln(x + x2 1) th 1 =: arth arth(x) = 1 ( ) 1 + x 2 ln 1 x ( ) ( ) 1 1 x + 1 cth (0,+ ) =: arcth arsh(x) = 2 ln x 1 16
További érdekes függvények
Abszolútérték, előjel és egészrész függvény abs: R R, abs(x) := x x := { x, ha x 0 x, ha x < 0 sgn: R R, 1, ha x > 0 sgn(x) := 0, ha x = 0 1, ha x < 0 ent: R R, ent(x) := [x] [x] := max{n Z : n x} 17
Azonosságok a honlapon! Képek forrásai: Mezei I., Faragó I., Simon P.: Bevezetés az analízisbe (2014) https://en.wikipedia.org/wiki/e_(mathematical_constant) https://en.wikipedia.org/wiki/chain_bridge_(budapest) 17