Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok szorzása ( ) + azonosság miatt a kitevőket összeadjuk: = Elértük célunkat: két kettő hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. bal oldal: = = jobb oldal: = ( ) + = Az eponenciális egenlet helett eg elsőfokú egenletet kell megoldanunk a mérlegelv segítségével: ( ) + = ( + = ) ( + = ) + = - Válasz: az egenlet megoldása a. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat b) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -et, majd a gök hármat is: Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot, majd a jobb oldalon az azonos alapú hatvánok szorzása azonosság miatt a kitevőket összeadjuk: Elértük célunkat: két három hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége.,,, bal oldal: = =,, jobb oldal: = = =, ( ) = = ( ) =, Az eponenciális egenlet helett eg elsőfokú egenletet kell megoldanunk a mérlegelv segítségével: ( ) =, ( =,) + ( =, ): =,= Válasz: az egenlet megoldása a,. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat c) + = Mivel az minden pozitív szám -adik hatvána, ezért: Elértük célunkat: két tíz hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. + = = bal oldal: + = = jobb oldal: + = + = Az eponenciális egenlet helett eg másodfokú egenletet kell megoldanunk a megoldóképlet segítségével: + = a = ; b = ; c= D= b a c= = b± D ± = = = ; a, = Válasz: az egenlet megoldásai a ill. az. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat d) Alkalmazzuk az azonos alapú hatvánok szorzata azonosságot a bal oldalon: Elértük célunkat: két hat hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. = + = + = Az eponenciális egenlet helett eg másodfokú egenletet kell megoldanunk a megoldóképlet segítségével: + = a = ; b = ; c= D= b a c= = b± D ±, = = = = ; = a + bal oldal: = = = = jobb oldal: + = Válasz: az egenlet megoldásai a ill. a. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat e) = Írjuk át a -et és a -at prímszámok hatvánaként! = = : ;: Egik oldalon sem alkalmazhatunk hatvánozás azonosságot, viszont alkalmas osztásokkal és a hánados hatvána azonosság alkalmazásával mindkét oldalon elérhetjük a célunkat: Elértük célunkat: két kétharmad alapú hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. bal oldal: = = jobb oldal: = = = = = Válasz: az egenlet megoldása a. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal Írjuk át a -öt prímszámok hatvánaként, majd végezzük el a kijelölt osztásokat! Alkalmazzuk az azonos alapú hatvánok hánadosa azonosságot: Az alapok különböznek, a kitevők hiába egenlők, erre nincs azonosság, átalakítási lehetőség. Az egenlő kitevők miatt oszthatunk. A bal oldalon a hánados hatvána azonosságot alkalmazzuk, míg a jobb oldalon az -et felírjuk a / hatvánaként, hog elérjük célunkat! +. feladat f) = Elértük célunkat: két három-ötöd alapú hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. bal oldal: = = + jobb oldal: = = = + ( = ) : ;: + = = = = : + = = = = = + = Válasz: az egenlet megoldása a. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat g) A baloldalon hatvánok összege áll. Erre NEM alkalmazható eg azonosság sem! A tagokra különkülön viszont az azonos alapú hatvánok szorzatára való azonosság igen! A baloldalt kiemeléssel szorzattá alakítjuk! A zárójelen belül elvégezzük az összeadást, majd a,-el osztjuk az egenlet mindkét oldalát. Végül a -at felírjuk hatván alakban. Elértük célunkat: két kettő alapú hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. + bal oldal: + = + = + = jobb oldal: + + = + + = + = + = + = {,, = :, = = =, = Válasz: az egenlet megoldása a. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal A baloldalon hatvánok összege áll. Erre NEM alkalmazható eg azonosság sem! A tagokra különkülön viszont az azonos alapú hatvánok szorzatára való azonosság igen! A baloldalt kiemeléssel szorzattá alakítjuk! A zárójelen belül elvégezzük az összeadást, majd a /-al osztjuk az egenlet mindkét oldalát. Végül az -et felírjuk hatván alakban. Elértük célunkat: két három alapú hatván egenlő. Ez csak úg lehet, hog a kitevők is egenlők. Másképp: mivel a függvén szigorúan monoton, azért a hatvánok egenlőségéből következik a kitevők egenlősége. bal oldal: + + + = + + = + = jobb oldal: +. feladat h) + + = + + = + + = + = = : = = = Válasz: az egenlet megoldása a. = Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat i) A baloldalon hatvánok összege áll. Erre NEM alkalmazható eg azonosság sem! Írjuk át a -öt hatván alakban! Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot az első tagon! Vegük észre, hog eg másodfokú egenletet látunk, ahol az hatván az ismeretlen! Nullára redukálás után új ismeretlent vezetünk be. Erre megoldjuk a másodfokú egenletet. A másodfokú egenletet a megoldó-képlet segítségével oldjuk meg. Most az eredeti ismeretlen értékeit határozzuk meg. + = bal oldal: + = + = = jobb oldal: = = + = + = + = + = + = / új ismeretlen : : = + = / redukálás - ra + = a = b= c= D= b a c= = b± D ± = = = ; = a, = = = = = = = Válasz: az egenlet megoldásai a és az. += Koósz Tamás
Sokszínű matematika /. oldal. feladat j) A baloldalon hatvánok összege áll. Erre NEM alkalmazható eg azonosság sem! Írjuk át a -et hatván alakban! Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot az első tagon! Vegük észre, hog eg másodfokú egenletet látunk, ahol az hatván az ismeretlen! Miután a csökkenő hatvánai szerint rendezett az egenlet új ismeretlent vezetünk be. Erre megoldjuk a másodfokú egenletet a megoldóképlet segítségével. + = : = + = a = b= c= + = + = D= b a c = = b± D ± = = a = =, Most az eredeti ismeretlen értékeit határozzuk meg. Mivel a értékei csak pozitív számok lehetnek, ezért a - érték nem ad megoldást -re. bal oldal: + = + = jobb oldal:. = = = = = = Válasz: az egenlet megoldása az. + = Koósz Tamás