SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudomáyi Kar Halmazelméleti és matematikai logikai taszék SZKDOLGOZT Paradoook a matematikáa Témaezet: Dr. Szaó László Imre Készítette: Szigeti Tamás, V. matematika 005.
Tartalmi összefoglaló Dolgozatom célja, hogy képet adjo az észázadok sorá újra és újra felukkaó paradoookról, melyektl a matematika egyetle ága sem metes. Szeretém toáá ráiráyítai a figyelmet az elletmodások feloldhatóságára, melyekhez csupá kell precizitásra a szükség. Foglalkozom az aalízis (második, harmadik, yolcadik fejezet, 4.-es, 4.-as, 4.4- es feladatok), a alószíségszámítás (hetedik fejezet, 5.4-es, 5.5-ös feladatok), a logika (hatodik, tizekettedik fejezet), a halmazelmélet (tizedik, tizeegyedik fejezet, 4.., 5.., 5.., 5.. feladatok) illete a mértékelmélet (tizeharmadik fejezet) körée tartozó koraeli elletmodásokkal. Néháy feladatot is álogattam a klasszikus paradoook közé, melyek alamilye rokosága állak ezekkel. Például em tárgyalom a Galileiparadoot (égtele meyiségek körée lehet egyel a rész az egésszel), ám a 4.-es feladata és a tizeharmadik fejezete kicsit más kötöse mégis megjeleik. Hasoló a helyzet a Burali-Forti-féle atiómiáal, melyet azért em izsgáltam, mert hosszú eezetést igéyelt ola (jólredezés, redszámok, jólredezési tétel), és mert léyegileg em soka külöözik az összes halmazok halmazáak atiómiájától. z Epimeidészparadoo is ( Mide krétai hazudik., Ez az állítás hamis. ), mely megtalálható Szet Pál apostol Tituszhoz írt leeléek. soráa is, megjeleik émileg urkolt formáa a hatodik fejezete. Miel azoa a matematikai godolkodás kezdete óta olya agy meyiség látszólagos elletmodás ukkat fel, ameyiel terjedelmi keretek miatt em foglalkozhattam, ez az ízelít, ár igyekszik sokszí lei, semmiképpe sem ölelheti fel az összes létez és ma is ismert paradoot. Így maradt ki például az ismerteek közül a jelölési, a Bertrad-, és még sok más régei és úja paradoo izsgálódásaimól. Ez az összeállítás egy -. osztálya ajálott matematika-szakkört szíesít ayag lehet, legiká középiskolai matematika taárokak ad útmutatást, de igyekeztem úgy felépítei, hogy érdekl, tagozatos, illete emelt szit érettségire készül diákok számára is érthet legye.
Módszertai megjegyzések közoktatási töréy 996. éi módosítása és az 997-e megjelet kormáyredelet alapjá 005-tl a kétszit érettségi izsgaredszer lép éréye. kerettater azoa az els három középiskolai osztálya három,. osztálya pedig égy óráa maimalizálja a em tagozatos osztályok óraszámát matematikáól. Emelt szit érettségire aló felkészítés eseté ehhez. és. osztálya plusz két-két óra adható, ami az aalízis elemeiek taításához éppe elég, így a szakdolgozatoma tárgyalt prolémák és feladatok csak említés szitjé kezelhetek em tagozatos osztály órái, azoa tagozato ee is tárgyalhatóak, szakkörö pedig szite teljese szaatosa. matematika egyik didaktikai célja, hogy a alósága elforduló leggyakori téreli és meyiségi iszoyokat, formákat megjeleítse, ám épp ez a megjeleítés ezet számos olya prolémához, mit amilye a Baach-Tarski-paradoo. Ezek a prolémák persze meg sem jeleéek a megfelel godolkodási kultúra illete asztrakciós szit megléte élkül. sztrakció köetkezméye a égtele fogalma is, mely szité számtala paradoohoz ezet, és a hatodik fejezet alamit a 7.-es feladat kiételéel az összes töi elletmodása jele a. hhoz, hogy helyes kép alakuljo ki a taulóka a matematikáról mit tudomáyról, feltétleül szükséges, hogy e kéze kapják a letisztult fogalmakat, haem iduktí úto tapasztalják meg szükségességüket, és a defiíciókat maguk modják ki. Ehhez persze számtala példá át ezet az út, így például az elég tömör harmadik fejezet íthet toái feladatokkal, amit a határérték-fogalom eezetésekor mide oktató meg is tesz. paradoook segítségéel persze mértékletese adagola elérhet, hogy a taulóka kialakuljo az igéy egy precíze tárgyalás iráyáa. Ottho elgodolkoda és társaikkal itatkoza akár maguk is fel tudják oldai az egyes elletmodásokat. Tisztázi kell toáá az asztrakt jelölések tartalmát is elük. Így persze kaphatuk meglehetse kellemetle kérdéseket is. Például, ha egy diák megérti, hogy a Russel-atiómia (0..) feloldásakor az aiomatizálással kizárjuk izsgálódásaik körél a em tartalmazkodó halmazok halmazát, illete em is eezzük halmazak, felteheti a kérdést: Taár úr! Ez em a proléma megkerülése?
Erre aztá az a álasz, hogy tulajdoképpe ige, de joat em tuduk. Esetleg mesélhetük az aiómák haszáról, hogy ezáltal sok paradoo együtt kezelhet, ám a léyege ez mit sem áltoztat: a kérdést em túl megyugtatóa álaszoltuk meg. Ha pedig em akarjuk még agyo izoytalasága hagyi a taulókat, jo, ha em is említjük meg, hogy semmi em garatálja az úja elletmodások soha fel em ukkaását. Persze a izoytalaság egy motiációs eszköz is lehet, ám ezzel az eszközzel óatosa kell ái, mert matematikai érdekldés taártól hallottam olya éleméyt, hogy a matematikáa mide állítás (még a hamisak is) eizoyítható. Túl sok paradooal találkozott az egyetemi matematikaóráko, és eki ez a taulság kristályosodott ki az éek folyamá. zért azt sem árt tisztázi izoyos erre érett osztályoka, hogy egyes eseteke Gödel tételeiek értelmée izoyította lehetetle eláti egy adott redszer elletmodás-metességét. Így a matematikus is hí alamilye érteleme. Bízik aa, hogy mukája és még sokaké a törtéeleme em álik egy csapásra értelmetleé, mert egy adott redszere egyszer csak felukka egy elletmodás. matematika tudomáya iráti alázat is kapcsolatos a hittel. Sokszor ugyais hajlamosak agyuk azt hii, hogy a matematikát mi alkottuk, ám egy-egy a táoli területek közti megdöet összefüggés rámutat arra, hogy a matematika ár alkotás, em az emer alkotta, éppúgy ahogy az emeri godolkodás is csak része az emer e. Például ige ehéz megálaszoli, mi az oka, hogy a hiperolikus és a trigoometrikus függéyek olya hasolóa iselkedek. Modhaták persze, hogy miel a komple számoko értelmezett kosziuszfüggéy egy elforgatottja a hiperolikus kosziuszfüggéyt adja issza, em meglep a hasoló iselkedés. De ez az ér tulajdoképpe em egy okot ad meg, haem ugyaarra az összefüggésre tekit magasa szitrl, ugyais mide álasz, st mide kérdés is úja kérdést szül. Így megkérdezhetjük, miért eszi fel a komple számokra kiterjesztett kosziuszfüggéy a képzetes tegely meté éppe azokat az értékeket éppe aa a sorrede, mit a alós számoko értelmezett ch() függéy? De eél is izgalmasa az a kérdés, mi az összefüggés a égtele sorok (ezek segítségéel terjeszthet ki a cos() függéy a komple síkra), a trigoometrikus függéyek és a Bolyai-geometria között, ahol a trigoometrikus függéyeket izoyos érteleme a hiperolikus függéyek helyettesítik. z ilye kérdésekre egy lehetséges álasz, hogy miel a matematikai ojektumok az emeri prolémamegoldó godolkodás megjeleései, az emeri elme 4
köetkezetességéek eredméyei ezek az összefüggések. (z el kérdésre persze a differeciálgeometria is tartogat álaszt.) z a kérdés, hogy az emeri elme köetkezetességéek mi az oka, hadd maradjo yitott csakúgy, mit az, ajo tlük függetleül létezik-e a matematika. Szolgálja toáá ez az összeállítás a matematikadidaktika feladataiak émelyikét is. Kreatí, prolémamegoldó godolkodásra eelek a feladatkét kitzött kérdések, a megoldások sok helye kiemelte kezelik a matematikai modelle kapott eredméy alósága törté isszaültetését, ocolgata a matematikai asztrakció és a alóság kapcsolatát. matematikáa kelle em hagsúlyozható kételkedési, kérdezési és izoyítási igéy fejlesztésére is kiemelte alkalmasak a paradoook. Csupá arra kell igyázuk, hogy a proléma kitzése utá ügyes isszakérdezéssel ráegyük a taulókat, hogy egymással itatkozzaak, míg ha megadák izoyos álaszokat, iztosak leheték ee, hogy miket támadáak közös erel, eleköte álaszaika. Sokszor persze a proléma kitzését érzik hiásak, a paradoohoz ezet izoyítást, agy esetleg a kit személyéel kapcsolata merülek fel kételyeik (ormális-e egyáltalá?), és az is elfordul, hogy maguka kételkedek. Ezek a prolémamegoldás sorá felmerül mellékes mozzaatok általáa zsákutcát jeleteek, ahogy azt Léárd Ferec prolémamegoldó godolkodás cím köyée megjegyzi, ügyes kérdésfelteéssel és apró segítségekkel azoa kezelhetek. Ezzel kapcsolata láttam egy alószíségszámítási példát. osztálya, tagozato: taár az óra elejé megkérdezi: Elképzelhet-e olya eseméy, melyek alószísége ulla, mégis eköetkezik? z egyik diák, miutá megértette a kérdést: Nem úgy defiiáltuk a lehetetle eseméyt, hogy ulla a alószísége? Taár: De ige. Második diák: lehetetle eseméy márpedig em köetkezik e! Láthatóa em értik, mit akar ezzel a taár, aki köze fölrajzol a tálára egy céltálát és kijelöl rajta egy potot. Taár: Emlékeztek a geometriai alószíségre? Mekkora a alószísége, hogy ezt a potot találom el, ha találomra kiálasztok egy potot? Harmadik diák: pot területe per a céltála területe! taár felírja a tálára: P T körlap, és megkérdezi: Mekkora a pot területe? 5
Második diák: pot területe. Taár: Egy?! Harmadik diák: potak ics területe! Taár: zt akarod modai, hogy ulla? Harmadik diák izoytalaul: Ige. taár kiegészíti a tálai képletet P 0 T körlap -ra, ami hees tiltakozást ált ki. Els diák: Nem kée mégiscsak alamekkora területet tulajdoítauk a potokak? Mert így ármely pot eltalálásáak alószísége ulla. Taár: És? Els diák: Ha mide pot eltalálásáak alószísége ulla, akkor a céltála eltalálásáak alószísége is ulla. Negyedik diák: Észél agy? Nullaszor égtele az em ulla! Els diák: Hát akkor meyi? Csak em éppe az adott körlap területe? Második diák: Szeritem. Hatalmas ita alakul ki, melyet a taár alig tud lecsedesítei, álaszt azoa em ad, csak leoja a köetkeztetést: Bármely pot eltalálásáak alószísége tehát ulla. kérdésre még isszatérük éháy hóap múla. tálát letörli és elekezdeek a házi feladat ellerzésée, ár a legtöe még godolkodak a prolémá. Ez a kérdés is tulajdoképpe egy koraeli paradoo, melyet a taár ügyes iráyításáal újra átéltek a gyerekek. matematika esztétikájáak megismertetésée feltétleül helyet kell kapiuk a hasoló kaladokak, mert esztétikai élméyt yújthat, ha látuk egy szép megoldást alamelyik feladatra, de az élméy tartósa, ha a szép megoldás a sajátuk, hát még az mekkora örömöt okoz, ha egy olya kérdésre sikerül álaszt aduk, mely a matematika törtéetée is jelets olt. legagyo dicsség, ha mi maguk teszük fel törtéelmi kérdést, és meg is tudjuk álaszoli, de már az is agyo szép teljesítméy, ha egy matematikai eredméyel csak 00 éet késük. Külöözik ez a puszta álaszadástól, mert a matematikáa (és más tudomáyoka is) a kérdések is aak olya fotosak, mit a álaszok. 6
Szakdolgozatom felépítésée az aalízis elemeiek taítását köettem, melyet a szakkörö tárgyalt prolémák elmélyíthetek. Egy lehetséges felépítés öt lépése törtéik. Feladataim legiká az els három lépése tárgyaltak szíesítését szolgálják: i.) Sorozatok, sorozatok koergeciája, határértéke (fogalmak tisztázása sok példáal) ii.) Végtele halmazok számossága, a égtele másik megjeleése iii.) Függéyek folytoossága, határértéke i.) Differeciálszámítás és alkalmazásai.) Itegrálszámítás és alkalmazásai z els lépéshez yújtaak segítséget a második, harmadik fejezet, a 4.-es és 4.4-es feladatok. megoldást em muszáj teljes egészée emutati, kés azoa issza lehet téri rájuk. 4.-es feladat már a második lépés felé terel, a 4.-at pedig csak kés tárgyalhatjuk precíze, de meg lehet fogalmazi a prolémát, feltei a kérdést. t ugyaez a dilemma merül fel akkor, ha egy olya egyees hasá térfogatát és felszíét számoltatjuk ki, melyek alaplapjai Koch-hópelyhek, és így az itegrálszámítás haszálatát kikerültük, em is eszéle az improprius itegrálról. paradoo feloldása ugyaaz marad, a Koch-hópehely azoa illeszkedik a sorozatok témájához. Második lépése tárgyalhatjuk az ötödik fejezet feladatait, és a 4.-t. z 5.4-es feladat az els lépése taultakat is frissíti, az 5.5-ös pedig már a mértékelmélet felé isz. Ha ekkor tárgyaljuk kikapcsolódáskét a hatodik, és ismétléskét a hetedik fejezet feladatait, mide elkészület adott a harmadik lépésre aló áttérésre. harmadik lépéshez segíteek a yolcadik fejezet feladatai, melyek egye a fraktálok fogalmát is megízleltetik, és úja fejleméyeket jeleteek a égtele számosságok témájáa is így teljesíte egy fotos köetelméyt, a spiralitás elét, mely azt jeleti, hogy isszatérük ugyaazokhoz a fogalmakhoz magasa szite. kilecedik fejezete egy fotos módszerrel ismerkedhetük meg, mely haszossága mellett paradoookat is okoz (a 0.-es és a 0.5-ös feladatok). Ezutá a tizedik és tizeegyedik fejezeteke halmazelméleti és logikai fogalmakkal találkozuk. Ez a találkozás persze em öcélú, egyrészt a paradoook feloldását szolgálja, másrészt egy új paradoot készít el, melyet a tizekettedik fejezete tárgyalok. Nem godolom azoa, hogy eze fejezetek tartalmát a diákokak ilye formáa kellee elmodai. Ez a rész iká a taárak szól, aki kioatola és a gyerekek számára érthete ízelítt adhat elle. Ezt a célt szolgálja a játékos eszülöttes példa is a természetes számok Peaó-aiómáial kapcsolata. z aiómák 7
eredeti alakját em modtam ki, iszot a fordítást házi feladatkét felada, iztosa lesz tauló, aki helyese meg tudja oldai a megfelel fogalmak köetkezetes kicserélgetését. tizeharmadik fejezet azoa ár elég oyolult tárgyalható szakkörö a maga teljességée, de részekre ota és a részeket külö-külö alaposa megmagyaráza. Persze, miel a szakkörök ideje is szkös, ha agyo alaposak akaruk lei, és a gyerekek türelme sem égtele, említés szitjé is elég lehet kezeli ezt a fejezetet szemezgete elle. Baach-Tarski-paradoo izoyítása iszot haszos lehet olya szempotól, hogy ez a tétel tipikusa a hiszem, ha látom kategóriáa tartozik, és az sem árt, ha a taulók akár egy paradoo kapcsá látak egy hosszú izoyítást is. Ezutá lehet meséli ekik az olya tételek izoyításáról, melyek ellerzéséhez em elég egy emer élete (egyszer csoportok elmélete), illete az olya szelíde tételekrl, mit például a agy Fermat-tétel, melyek izoyítása csak éháy száz oldal. Itt említeém meg, hogy érdemes egy máig itákat szül atiómiát is elmodai szakkörö, ami iztosa eidítja a taulók fatáziáját. Ilye lehet például a áratla röpdolgozat prolémája: tagozatos osztályak mide hétközap a egy matematikaórája. taár a köetkez kijeletést teszi az arra a hétre esedékes dolgozatról a hétfi óra elejé: Nem fogjátok elre tudi, hogy melyik apo írjuk a dolgozatot. diákok így godolkodak: Nyilá em írhatjuk péteke, mert akkor már a csütörtöki óra utá tudák, hogy másap dolgozatot íruk. Miel péteke em írhatjuk, em írhatjuk csütörtökö sem, mert ez az utolsó lehetséges ap, de ha szerdáig em írtuk meg, akkor tudi fogjuk, hogy már csak csütörtökö írhatjuk. Ilye godolatmeettel aztá egymás utá mide apot kizárak. Ekkor azoa, ha például csütörtökö írják meg, agy rögtö hétf, mideki meg fog lepdi. Hol a hia? z ilye prolémáko edzett tauló játékosaa és érdekle fog hozzáálli egy közöségese proléma megoldásához is. Márpedig a taulás agyo hatékoy formája a játék. Egy okos tauló álasza lehet a köetkez: Hallgatólagosa feltételeztük, hogy a taár kijeletése igaz, égig így godolkodtuk, és csak akkor etettük el felteésüket, amikor godolatmeetüke a hétfi apig elértük. zoa em tudjuk, igaz-e a taár kijeletése, így a pétek utá a csütörtököt em zárhatjuk ki, mert attól függe az utolsó lehetséges ap a csütörtök, hogy a kijeletés igaz-e agy hamis. (Ha a kijeletés hamis, a péteki ap em kizárható.) Valljuk e, eél meggy feloldást eheze találák! z atiómia azoa atiómia maradhat, ha em mideki így oldja meg a prolémát, illete em ért egyet ele. 8
. tiómiák és paradoook z igazi paradoo az az elletmodás, ami alamilye érteleme elezet az igazsághoz. Vagy keésé fekölte: a paradoo olya elletmodás, amely megilágít egy igazságot, ami mélye aál az igazságál, amit a paradoo felfedezése agy feletése eltt ismertük. Laczkoich Miklós Parado: Ömagáak látszólag elletmodó. Elletmodásos. tiómia: Elletmodás. Magyar értelmez kéziszótár a feti meghatározásokat adja a címe felsorolt szaakra. Hasoló érteleme haszálom é is ket, a paradoo szót a látszólagos, feloldott, az atiómia szót a alódi, feloldatla elletmodásokra, melyek igazak elfogadott ítéletekl köetkezek. Hasoló e megkülööztetés ahhoz, amikor a trükköt és a arázslatot szétálasztjuk. Paradoo adódhat akkor, ha igazak elfogadott kiidulási ítéleteik közé ecsúszik legalá egy kakukktojás (), és akkor is, ha köetkeztetéseik között a hiás (B). Sokszor pedig úgy is kaphatuk paradoot, hogy igaz premisszákól hiátla éreléssel olya állításhoz jutuk, amely szemléletükkel ellekezik (C). Ilyekor ugyaúgy meglepdük, mit ha logikai elletmodása ütközék. z atiómiák kellemetleeek, mert a matematikusok em érteek egyet aa, hogya oldhatók fel. Premisszáik közül melyiket essük el, agy a leezetése hol köettük el hiát? Eredetileg a legtö paradoo atiómiakét született, megigata az emerek elletmodás-metessége etett hitét a alóságról illete a matematikáról. Törtéetileg az egyik els ilye Zéo khilleuszról szóló aporiája olt.. khilleusz és a tekséka Tekitsük egy olya futóerseyt, amely khilleusz és egy tekséka között zajlik. khilleusz sportszere elyt ad a teksek, akit ezek utá soha sem érhet utol, mert midig el kell jutia addig a potig, ahoa a tekséka elleg elidult, és ha keeset is a teks addigra már arrémászott, így midig elye a. 9
0 Ez egy C típusú paradoo. Persze attól függe, hogy hogya értelmezzük a midig szót. Ha ugyais khilleusz seessége 0, a teksé T 0, ahol T, a teks elye pedig s, akkor a izsgált id alatt khilleusz a tekst téyleg em éri utol. z iszot em igaz, hogy soha em hagyja le, mert a izsgált idtartam éges:... T T T s s s s t <...... T T T T s = T T s s hisze T, és így e égtele sok szám összege éges. Más kérdés, hogy értelme ae égtele sok szám összegéek? z el izoyítás tehát csak egy olya emer számára meggy, aki már tud égtele összegekkel ái. Zéo idejée ilye emer alószíleg em élt, jó kétszáz é múla rkhimédész az els, aki hasoló godolatokat precíze tudott kezeli, utáa pedig még sokáig seki. Szerecsére egyszere átfogalmazható a feti izoyítás úgy, hogy csak éges összegeket haszáljo: T T T T T T T s s s t... < T T s s z akkori emerek szemée meglep lehetett, hogy egy számsorozat ármeyi tagját sora összeada az eredméy sosem halad meg egy elre adott számot. Mai szóhaszálattal úgy modaák, égtele sok szám összege lehet éges. Érdekes megfigyeli azt is, hogy a két izoyítás agyo hasoló, csak az egyik alkalmaz égtele sorokat, a másik pedig em. Zéo másik, kellemetleül zaara ejt paradooja szité a határérték fogalmáal kapcsolatos. zt állítja, hogy mozgás em lehetséges, mert ha léteze mozgó tárgy, az hol mozoga? Ott-e, ahol a, agy ott-e ahol ics? hol a, ott em mozog, mert ott a, és így szükségképpe áll. hol ics, ott yilá em is mozoghat. Tehát mozgás em létezik. Eek a paradooak a feloldása akkor ált lehetségessé, amikor a
határérték-számítás leheté tette a pillaatyi seesség precíz defiícióját. Ám az addig ezet út is paradoookkal olt kiköeze.. Végtele sorok z el fejezete haszált égtele sorok fogalma is sok paradoohoz ezetett. Például... 0, 0 0, 0, 9.., 0, 9 9, ami egy teljese helytálló egyelség, ám ha eek mitájára azt írjuk, 4 8...... 4 8...... 4 8...... elletmodása ütközük. Hogy is lehete pozití számok összege egatí? Sokáig godot okozott az alái összeg meghatározása is:... ( ) másrészt pedig S ( ) ( )..., akkor iszot már... S, mert egyrészt S ( ) ( ) ( )... 0, Még Leiiz is azt modta, ha a részletösszegeket ézzük, ugyaayiszor kapuk -et és 0-t, így az összeg em lehet más, mit. Leiiz kezée persze akkoria em oltak precíz defiíciók, mégis ráérzett az igazságra, ahogy arra kés rámutatok. Most ézzük iká egy izoyítást arra, hogy S, agyis S. 4 6 7..., ha itt most, akkor képletük az S formát ölti. didaktika az ilyet tées aalógiáak eezi, ami rokoítható a B típusú paradoookkal. Végtele összegekkel em midig lehet olya meleteket égezi, mit amit éges összegekkel, még ha koergesek, akkor sem: L 4 5 6...... L... 4 5 6 7 8 9 0 L... 5 7 4 9 5 z azoos eez tagokat csoportosíta kapjuk:
L... 4 5 5 6 7 7 L... L, azaz L 0, ami képteleség, hisze 4 5 6 L... 0 4 5 6 7 8 Itt a proléma az, hogy az átredezés em alkalmazható ez esete. Csak aszolút koerges sorokat szaad átredezi. Más koerges sorokál az átredezés modhati ayi paradoohoz ezet, mit aháy alós szám a. Ezt modja ki Riema tétele... Tétel: Feltételese koerges sor átredezhet úgy, hogy egy elre adott alós számhoz agy akár égtelee, illete míusz égtelee tartso. Bizoyítás : Megtalálható [8.]-a, illete [5.]-e a 7. oldal.. tétele szemléletes izoyítást ad rá egy speciális esete, melyet köyedé általáosíthatuk tetszleges feltételese koerges sorra. Kiek meyire meglep, aszerit magát a Riema-tételt is tekithetjük C típusú paradooak. Ha szereték mideze yugtalaító fejleméyek dacára égtele sorokat haszáli, potosa le kell szögezük defiíciókkal, mit értük a haszáladó fogalmako. Erre egy hagyomáyos lehetség:.. Defiíció: z s sorozat határértéke s, ha ármely R, 0 számhoz létezik olya N szám, hogy alaháyszor, midayiszor s s. dierges... Defiíció: z s sorozat koerges, ha létezik határértéke, külöe z igazi agy fejldést az hozta, amikor a égtele sorokra mit folyamatokra kezdtek tekitei, és egy-egy égtele sor összegét határértékkét defiiálták. Erre a kulcsgodolatra Cauchy jutott elsek. Elképzelése ayira egyszer olt, hogy mideki számára azoal ilágos lett, ez a megoldás az akkori matematikát 50 ée aggasztó paradoook kiküszöölésére. Egyékét, amikor a párizsi akadémiá Cauchy eladott errl az eredméyérl, Laplace, aki szité a hallgatóság soraia ült, még eladás köze felugrott helyérl, hogy hazarohajo ellerizi, helyese áik-e a égtele sorokkal a Cauchy által megfogalmazott érteleme. ha szó haszálata defiícióka akkor és csak akkor, ha érteleme törtéik.
.4. Defiíció: Egy 0 a sor koerges, ha az N s N a 0 részletösszeg-sorozat koerges. koerges részletösszeg-sorozat határértékét a sor összegéek eezzük, és ekkor azt írjuk: 0 a. 0.5. Defiíció: 0.6. Tétel: Ha a 0 a sor aszolút koerges, ha a 0 a és a 0 a sorok is azok. St ha a, B.7. Tétel: Ha 0 0 a sor koerges. 0 sorok koergesek, akkor a 0 a aszolút koerges, akkor 0 ijekció, és ez az átredezés a sor összegét em áltoztatja meg. 0 a és a, akkor a B p a is az, ahol p : NN. 4. Néháy égteleel kapcsolatos paradoo Nem életle, hogy a égtele összegekkel kezdtem a paradoook tárgyalását, hisze a legtö elletmodás a égtele kapcsá merül fel. Lássuk éháy példát! 4.. illaykapcsoló prolémája: Va egy ideális illaykapcsolók, mely akármeyi kapcsolást kiír, egy ideális izzó ideális áramkörée köte. Páros sok kapcsolás utá az izzó kialszik, páratla sok utá pedig kigyullad. köetkezt játsszuk: z els másodperc égé felkapcsoljuk izzókat, aztá áruk fél másodpercet, hogy lekapcsoljuk, majd egyed másodperc múla újra felkapcsoljuk. z -edik lépése másodpercet áruk, hogy újra áltoztassuk a kapcsoló állásá. harmadik másodperce mit fog csiáli az izzó? 4.. király és az udari olod: király a épétl adó formájáa egyszerre midig két arayat kap, az udari olod pedig egyszerre midig egy arayat sikkaszt el a király agyoáól. z els hóap égé kapja a király az els két arayát, és ekkor lophat a olod elször. z -edik adózás hóappal köeti az --ediket, és a olod is ekkor lophat a királytól. Meg tudja-e alósítai a olod, hogy a királyak a harmadik.6. és a.7. tételek izoyítása is [8.]-a található, része az egyetemi alapozó taayagak.
hóapra egyetle araya se maradjo? (Állapodjuk meg aa, hogy az az aray, amit a olod a második hóap égéig em lop el, megmarad a királyak a harmadik hóapra.) 4.. efestett tölcsér prolémája: Forgassuk meg az f, függéyt az tegely körül. z így kapott tölcsérek számoljuk ki a térfogatát és a felszíét! Legye midkét tegely egysége dm hosszú! Meyi festék kell egy ilye tölcsér telitöltéséhez? És a efestéséhez? 4.4. csiga és a maó: falhoz a köte egy 0 m hosszú, tetszlegese yújtható ideális gumikötél. másik égét egy maó fogja, és 0 m/s seességgel fut ele a fallal ellekez iráya. Ugyaeze égérl egy csiga idul a fal felé, mely a gumiszalago cm/s seességgel mászik. Elér-e a falig éges id alatt? 4.5. Megoldások 4.5.. z els feladatra azt modhatjuk, hogy defiiáltuk az izzó állapotát páros sok és páratla sok kapcsolás esetére, de em határoztuk meg a égtele sok kapcsolás utái állapotát, így értelmetle a kérdésük. Soka élekedek hasolóa, azt modják, ics joguk megkérdezi, mi a a égtele utá. Persze azt is modhatjuk, elég természetes elárásuk, hogy a égtele állapotsorozat utái állapot az állapotsorozat határértéke legye. Ekkor is aja agyuk azoa, mert isszajutuk egy eli prolémához: mi a határértéke az a, ha páratla (ilágít az izzó), és a 0, ha páros (lekapcsolt izzó) sorozatak? Vagyis mi az összege az... részletösszeggel defiiált sorak? Erre újra álaszolhatjuk, a kérdés értelmetle, hisze az s a s sorozat em koerges. De miért e lehete alamilye általáosa érteleme az? Fejér Lipót mutatta meg 900-a, hogy a olya lim* koergeciafogalom, mely szerit lim* a hogy ha, és persze az összes hagyomáyos érteleme koerges sorozatra igaz, lim, akkor lim. * Ötletéek léyege, hogy mide Fejér-közép sorozatot, és a sorozatra képezhetjük az a koergeciájáak izsgálata helyett zoa eél sokkal tö is igaz, az amit Leiiz is megsejtett. a a... a -et tekitjük. 4
4.5... Tétel: kárhogya terjesszük is ki a koergecia hagyomáyos fogalmát, a feti sor összege, ameyie létezik, mideképpe. Bizoyítás: Természetes elárásuk a koergeciafogalom egy kiterjesztéséel szeme, hogy addití legye, és hogy a határérték e függjö attól, hoa idul a sorozat. :... a s. Ekkor a s tagjai redre ;0;;0;;0; Legye a. Tegyük fel, hogy alamely lim** érteleme lim* a. Ily módo azoa lim* a is teljesül. Emiatt pedig * a * lim* * a a felhaszála az additiitást. Miel a lim** kiterjesztése a lim* * hagyomáyos lim koergecia fogalmáak, a a a lim, így a. feladatukra adható megoldás tehát: z izzó -es állapota lesz. Ezt ki-ki értelmezheti tetszése szerit ( alószíséggel ilágít, pislákol, ), és itt újra felmerülhet eük, em jó egy-egy matematikai modellt olya prolémára alkalmazi, amelyre em iztos, hogy kiterjed a hatásköre. 4.5.. Szerecsére eél a feladatál em okoz prolémát az alkalmazhatóság, hisze meghatároztuk, mit értük a megmaradt arayo. Kis godolkodás utá rájöhetük, hogy a olod akkor lophat igazá eredméyese, ha az els két alkalommal lopja el azt a két arayat, amit a király az els alkalommal kapott, a harmadik és egyedik lépése a király második alkalommal szerzett két arayát, és így toá a második hóap égéig. Ekkor a királyak semmije sem marad, hisze em lesz olya aray, amit a olod e lopott ola el. Logikusak látszik haszáli e feladatál a halmazelméleti határérték fogalmát. 4 Így lim, N, a királyak em marad semmije sem. Ha is látható, hogy miel 4 Defiíció: lim if : koergesek az m, lim sup : m m halmazsorozatot. Ekkor lim : lim if lim sup. m, és ha e kett megegyezik, akkor modjuk 5
iszot a olod mohó, és mide alkalommal ellopja a efolyt két aray egyikét, akkor a királyak a harmadik hóapra megszámlálható égtele sok araya marad. parado helyzetet az teremti, hogy em midegy, melyik két arayat lopja el a olod, holott a hétközapoka yilá teljese közömös, melyik százasukat adjuk a péztárosak, és melyik ötforitosát adja ide isszajárókét, ha eszük egy 95 foritos csokoládét agy akármeyi éges sokat. De ha a olt olya külöleges, hogy a raktára megszámlálhatóa égtele sok csokoládé a, akkor ha a ayi százasom, amil midet megehetem, célszer a péztárcám tartalmát sora redezi (esetleg még marad ee alameyi), és csak mide második százasommal fizeti a csokikért így megtarta magamak még ayi pézt, mit ameyiel a olta ejöttem. isszajáró ötforitosokat orraalókét ott is hagyhatom a péztárosak. Más kérdés, hogy ilye esete egyáltalá a-e értelme fizeti, hisze attól a olt eétele úgysem áltozik semmit, ha már egyszer a ayi ötforitosa, hogy mide százasomól issza tudjo adi. z ezzel kapcsolatos úgyeezett utilitáselméletet alószíségszámítási paradoook feloldására is haszálják (7.4..). 4.5.. Eek a feladatak a megoldása tik a legegyszerek, ameyie irtokáa agyuk az itegrálszámítás alkalmazási módszereiek a térfogatszámítása. V R lim f d lim d lim lim R R R R R R R lim R R f R f d lim d R 4 miorás kritérium értelmée, miel 4, ha, és R lim R d lim l R R, a keresett felszí tehát égtele. Hol itt a paradoo? kellemetle, de csak látszólagos elletmodást az okozza, hogy ha liter festéket töltük az így kapott tölcsére, majd kiötjük azt elle, tulajdoképpe efestettük a els felszíét, holott az égtele agy, és így ármeyi éges festék egy éges darajáak efestésére lehet csak elég, ezért elfogy, mieltt az egészet efestheték. Egy feloldási lehetség megit a alóság és a matematikai asztrakció külöálasztása: Egy alódi festékek részecskéi aak, melyek ha agyo aprók is, mérettel redelkezek, és így az adott tölcsér alódi festékkel em tölthet tele, hisze a 6
szkülete elakadáak a részecskék. z ilye alódi festék egy felszí efestésekor egyeletese fogy szeme a matematikai festékkel, amely akármeddig osztható, icseek részecskéi, és így alkalmas akármekkora felület efestésére. Például a teljes síkot úgy lehet ml matematikai festékkel efestei, hogy rajzoluk a síkra egy cm oldalú égyzetekl álló hálót, az összes égyzetet megszámozzuk alkalmas módo a természetes számokkal 5. Ezutá pedig az els égyzetet, a másodikat, az -ediket 4 cm astag réteggel ojuk e. Ha ezt mide N számra megtettük, a teljes síkot efestettük. 4.5.4. Jelölje s t a csiga táolságát a t idpillaata a gumikötél azo égétl, melyet a maó húz, l t pedig a szalag hosszát a t idpota. Be fogom izoyítai, ármeyire is meglep, hogy a csiga elér a falig. Ee az segít eki, hogy a mögötte lé szalagdaraot is yújtja a maó fejetle rohaásáa. kulcsgodolat aak izsgálata, háyadát tette meg a csiga az útak. s, miel a háta mögötti dara yúlásáak köszöhete kicsit tö, mit l 000 cm-t tesz meg a csiga. 000 000 s l... 000 000 000 s l Ha pedig s l l s l 000 -gyé álik, a csiga már iztosa elért a falig. És miel... 000 d 000 000 l, ez pedig teljesül, ha l 00 amihez eleged, hogyha 00 e. Ezzel ekiales 0 00lg l l e, azaz, ami igaz, ha, ha 00 e, 45 0. Ez azt jeleti, hogy eyi másodperc alatt, ami legfelje 47,7 0 é, iztosa elér a falig a csiga. Megjegyzem, hasolóa alulról is ecsülhet ez az idtartam: 5 Ez megtehet, hisze ZZ megszámlálható. Például egy kitütetett égyzettl idula spirálszere kell számozi. 7
s, hisze cm-él iztosa keeseet tesz meg a csiga mide l 000 másodperce. 6 000 000 s l... 000 000 000 s l s l 000... 000 d 500 l l l 500 500lg e pedig feáll, ha 0, ami teljesül már 7 0 eseté, agyis a csigáak legalá 7 0 másodperc kell, ami legalá 09,6 0 é. Összehasolításképpe a ilágegyetem feltételezett kora, a táoli galaisok seességél 0 és táolságáól számolt Hule-álladó alapjá,,6 0 é. Ha azoa a maó 0 cm/s, a csiga cm/s seességgel halad, a gumikötél 0 cm hosszú, a égköetkeztetés ugyaolya hihetetle marad, de a csigáak legfelje 7 óra is elég lesz a célaéréshez. Ekkor a kötél,5 km hosszú, ami azt mutatja, hogy ez a 7 óra is elég sok. 5. sas és a olha si küzdelme, megszámlálható halmazok Egy külölegese kicsiyes sasak az a f életcélja, hogy olhákra adásszo miél ügyesee. Mit azt láti fogjuk, ez egyáltalá em egyszer feladat. olhák egy derékszög koordiátaredszer rácspotjai ugrálak. sas mide tizedik másodperc égé lecsaphat egy elre kijelölt rácspotra, a olha pedig mide tizedik másodpercet megel másodperc elejé ugorgat egyet. sas akkor fogta meg a olhát, ha éppe arra a rácspotra csapott le, melye a olha tartózkodott aa a pillaata. z a kérdés, megfogja-e a sas az egyes olhákat éges id alatt? 5.. z els olha az origóól idul, és mide alkalommal ugyaaa az iráya ugyaakkorát ugrik, azaz egy origó átme egyeese halad egyel (akármekkora) ugrásokkal. 5.. második olha már em az origóól idul, haem a koordiátaredszer tetszleges potjáól, de midig ugyaakkorákat ugora halad. 6 cm-t akkor tehete meg az els másodperce, ha elyt kapa a maótól, mászhata cm-t, és a maó csak ezutá húzá ki ugrásszere 0 cm-esre a 0 cm hosszú kötelet. Kési másodperceke még így se sikerüle cm-t megteie. 8
5.. harmadik olháak apai ágo családi öröksége egy t Qt P ; redezett pár, ahol P(t) és Q(t) két egész együtthatós akárhayadfokú poliom, és a olha t-edik helyzetéek koordiátáit ez alapjá számolja ki. 5.4. egyedik olha az ;000 ;000 égyzet egymillió rácspotjá ugrál teljese életleszere, agyis mide lépése akármekkorát ugorhat akármilye iráya a kijelölt területe. 5.5. z ötödik olha, a egyedik uokatestére, teljese életleszere ugrál a ZZ rácso, ami azt jeleti, hogy mide pillaata mide rácspoto azoos alószíséggel található meg. 5.6. Megoldások: Els látásra azt godolák, olya agy szaadságot ad a feladat a olhákak, amellyel szeme a sas tehetetle. Éppe ezért meglepdük, ha godosaa is megizsgáljuk a lehetségeket. Ha ugyais az adott olha mide lehetséges helyzete megszámlálható, akkor sasukak ics más dolga, mit alamilye el szerit sora redezi a olha egyes idpotoka lehetséges pozícióit, majd égighalada a sora megtaláli a olha téyleges helyét. Ez mide esete éges id alatt törtéik, ami em jelet töet, mit hogy a sas em kéytele örökké keresgéli. zt azoa em tudjuk garatáli, hogy egy elre adott éges idtartam eleged eki. 5.6.. z els olha els ugrásáak eredméyekét létrejö lehetséges helyzetei sora redezhetek, hisze ZZ elemei felfzhetek egy origóól iduló csigaoalra az els árá látható módo.. ára 9
zoa ez az idulást közetleül köet, els helyzet egyértelme meghatározza a olha kési helyzeteit. Így elég, ha a sas a olha els pozícióját találgatja, és mide idpota arra a potra csap le, amely a feltételezett els helyzethez tartoza az adott idpota, azaz eli csigaoaluk helyett egy egyre szélesed másik spirál meté kell haladia, ahogy azt a második ára mutatja. Vagyis ha t yt. ára ; jelöli az els ára csaaroaláak t-edik potját (els potja az origó), akkor a második spiráluk t-edik potja t t t yt lecsapia sasukak a t-edik alkalommal, azaz a 0t-edik másodperce. ;. Erre a potra kell 5.6.. második olha elkapásához az el feladat eredméyét is haszálhatjuk. Nyiláaló, hogy ha mide olya ; B redezett párt égigpróáluk, melye a olha kiidulópotja B pedig els ugrását (és így midegyiket) jellemz ektor a koordiátaredszere, akkor megtaláljuk az egyetle lehetséges paraméterpárt, mely a olha pályáját jellemzi. -t is és B-t is találgathatjuk az el feladat els csigaoala meté halada, csak és B próálgatását ügyese kell összefésüli egy ; B- próálgatássá. Ee haszukra lehet az t számok midegyikét akárháyszor feleszi. z t ; yt függéy, mert ez a pozití egész pár pedig mide pozití egészekl álló számpárt hozzáredel alamely pozití számhoz (esetleg töhöz is). Tehát B ; -t találgathatjuk t ; y t ; yt ; y yt alaka, 0
s ekkor alóa mide lehetséget égigézük. Eek megfelele a sas t-edik helyzetéek koordiátái t t yt ; y t t y yt. 5.6.. harmadik olha már agyo ellefél, megfogásához új ötlet kell! Ha alamilye módo fel tudák soroli az összes elképzelhet Q P ; egész együtthatós, redezett poliompárt, más dolguk se marada, mit ezt a módszert a sasak elmodai, aki ezutá a olhát már elkapottak is tekitheté. Egy ilye taktika lehet a köetkez: természetes számokat írjuk fel kettes számredszere, ezutá pedig eezzük szaályosak azokat a számokat, melyeke legalá három egyes szerepel, és utolsó jegyük is egyes. (Ily módo mide páros szám szaálytala.) Ha a száma + dara egyes a, redeljük e számhoz els lépése azt a szám--est, melyek k-adik tagja a tízes számredszere felírt azo szám, ameyi ulla az + dara egyes által képezett köz közül a k-adik helye a. Második lépése daraoljuk két részre az így kapott szám--esüket úgy, hogy tagjai felálta kerüljeek az els és a második része. daraolást midig hátulról kezdjük, és a szám--es utolsó tagja kerüljö a második dara égére! Harmadik lépése e két éges számsorozatot egy-egy poliom együtthatósorozatakét felfoga e két poliomól álló párt feleltetjük meg eredeti számukak. Például a t=6-hoz, amelyek a kettes számredszereli alakja az 000000 jelsorozat, a köetkez P Q t ; t párt redeljük: I. II. 000000 ;;0;; ; ; ;0; III. ; P ; Q Ezáltal mide elképzelhet poliompárt megfeleltettük alamely szaályos számak (esetleg töek is 7 ). Ha tehát a sas a t-edik alkalommal lecsap a P t Q t potra, ha t szaályos, más esete pedig pihe, a olhát éges id alatt elkapja. Ez a módszer az összes korái olha esetée haszálható, hisze azok taktikái a harmadik olha meetmódjáak speciális esetei. 5.6.4. Eddig mide olha lehetséges pályái megszámlálható soka oltak, ám a egyedikéi ayia aak, mit aháy leképezés létezik N-l egy egymillió elem halmaza. Ez már tö mit megszámlálható, hisze N összes részhalmazai ayia aak, mit ameyi a leképezések száma N-l a 0 ; kételem halmaza 8. Egy 7 feti ; párt a 0 00000 számak is megfeleltettük. 8 N mide eleméhez aszerit redeljük -et agy 0-t, hogy ee a agy ics ee N egy adott részhalmazáa! Ekkor kölcsööse egyértelm módo felel meg N mide részhalmazáak egy-egy N-l a kételem 0 ; halmaza törté leképezés. kés szerepl 8.-es defiíciók értelmée tehát e két halmaz számossága megegyezik. t t ; t t
halmaz hatáyhalmazáak számossága pedig midig agyo a halmazéál (9.. tétel), az pedig ilágos, hogy legalá ayi leképezés létezik N-l egy tö elem halmaza, mit N-l egy kételeme. zaz a egyedik olha pályáit em tudjuk felsoroli, új módszert kell keresük. Taulhatuk magától a olhától, agyis alkalmazhatjuk a életle hatalmát a olha kézre kerítésée. Miel joat em tud, csapkodjo a sas életleszere a ;000 ;000 olhát elsre eltalálja: 000000 rácspotjai. Ekkor aak alószísége, hogy a, aak, hogy elsre em, de másodikra ige: 999999, 000000 000000 aak, hogy els - alkalommal em, de -edikre ige: 999999 000000 000000 aak pedig, hogy az els alkalom alamelyikée eltalálja, eze diszjukt eseméyek alószíségeiek összege: P 000000 999999 000000 Ez pedig éppe 0,999999. Miel ha 999999 000000 999999 000000 0,999999 000000 0,999999, e alószíség -hez tart, lesz olya idpot, amikor a sas már 0,99 alószíséggel elkapta a olhát. ak alószísége pedig, hogy alaha elkapja, éppe az a izoyos határérték. Így iztos, hogy éges id elül karmai közé kerül a olha. 5.6.5. z ötödik olha em létezik, tehát elkapi sem lehet. Ha ugyais feltesszük, hogy p alószíséggel tartózkodik egy adott rácspoto, és p>0, akkor p akármilye kicsi is, tuduk olya agy természetes -et álasztai, hogy 0 p. Ekkor iszot aak alószísége, hogy a olha alamely kitütetett rácspoto tartózkodik: p, ami yiláalóa lehetetle. Ha pedig p=0, akkor aak alószísége,, i hogy a olha a ZZ rácso a, 0 0 agyis a olha em létezik, legaláis a ZZ rácso em. zért érdemes elgodolkodi rajta, lehet-e a teljes ZZ- életleszere ugráli. Ehhez mideekeltt kell egy alószíségi eloszlási függéy, mely a rács mide potjához redel egy-egy pozití alós számot, melyekek összege a teljes rácso. Ezek
a számok adják meg az egyes potoko aló tartózkodás alószíségét. Ilye függéy agyo sok a. zoa ha például azt tudjuk egy olháról, hogy ZZ éges sok potjá mi persze em tudjuk, melyeke ugrál azoos alószíséggel, elkaphatjuk a egyedik stratégia apró módosításáal és az els feladat t függéye segítségéel. Csapjo ugyais le a sas a t-edik alkalommal azo égyzet egy potjára a égyzete egyeletes eloszlással, melyek egyik csúcsa t t Ekkor, miel ;, középpotja pedig az origó. t mide egész számot felesz égtele sokszor, ha t égigfut N elemei, ármely -hez és ármely origó középpotú égyzethez létezik olya t, hogy a t-edik idpotig a égyzetre -szer már lecsapott a sas. Így, miel ZZ-ek mide éges részhalmaza korlátos, egy id utá a olha élettere is ee lesz alamely égyzete, melyet a sas már -szer kiálasztott. Ha pedig -et elég agyak álasztjuk, aak alószísége, hogy sasuk megfogta a olhát, -hez tetszlegese közel ihet. Így éges id alatt ezt a olhát is megfoghatjuk alószíséggel. 6. Egy logikai csemege 6.. siatagi ádor útelágazáshoz ér. z egyik út a meyországa, a másik a pokola ezet. Két alak áll az útkeresztezdésél, az egyik agyal, a másik ördög, de külsre midkette egyformák. z agyal midig igazat mod, az ördög midig hazudik. Egyetle eldöted kérdést tehetük föl az egyikükek, akirl persze mi em tudjuk, melyik. Mit kérdezzük, hogy rátaláljuk a meyországa ezet útra? 6.. Találjuk ki olya kérdést is, ami akkor is mködik, ha csak egyalaki áll az útkeresztezdése, akirl em tudjuk, hogy ördög, agyal agy raszolga. raszolgáak a egy api paracslistája, melye Hazudj! és Modj igazat! utasítások áltakozak alamilye redszer szerit, és amelyet kíülrl tud. z azap feltett -edik kérdésre aszerit mod igazat, agy hazudik, hogy mi a lista -edik utasítása. 6.. Mit kérdezzük akkor, ha az útelágazásál agyal, ördög, raszolga agy furfagos szegéy emer áll, és mi em tudjuk megkülöözteti ket. furfagos szegéy emer éha igazat mod, éha hazudik, de hogy mit tesz, azt csak akkor döti el, ha már elhagzott a kérdés. 6.4. Ha az el feladatot megoldottuk, álaszoljuk arra a kérdésre is, alkalmazható-e a módszerük a alósága! Például ha egy író ismeri a megoldást, segít-
e ez eki a ádlott kérdezésée? Lehet-e úgy kérdezi a ádlottat, hogy akár igazat modaa, akár hazuda, kiderüle az igazság, még taúk se kelleéek. 6.5. Megoldások: 6.5.. Két módo próálkozhatuk. Mideekeltt olya kérdést kell felteük, melyek tartalma függ attól, kitl kérdezzük. Egy jó lehetség erre a személyes émások agy émás értelm szaak ügyes haszálata. Például odamee egyikükhöz rámutatuk az egyik útra, és megkérdezzük tle: Ha a társadtól kérdezém, ez az út ezet-e a meyországa, iget modaa? Ha erre a megkérdezett igeel álaszol, akkor függetleül attól, agyal-e agy ördög, az út, amire mutattuk, a pokola ezet. Hasolóa ha emet álaszol, az út a meyországa isz. Ezzel a kérdéssel tulajdoképpe az agyalt esszük rá a tagadásra, hisze szité megmodja, mit álaszola az ördög. z ördög pedig szokásához híe letagadja az agyal igaz álaszát. kulcsszó szó ez esete a társad olt, mely az egyes szám harmadik személy émás helyett állt. Toái jó megoldás, ha rámutata az egyik útra azt kérdezzük egyiküktl: Igaz-e, hogy te agy ördög agy, agy ez az út a pokola ezet? 9 Itt az ige álasz a pokola ezet utat mutatja meg. Ez azért alakul ilye szerecsése, mert az agyal esetée az összetett állítás els része hamis, ezért csak úgy lehet igaz a teljes állítás, ha a második fele igaz. Ha pedig az ördög álaszolt igeel, akkor miel egálta az összetett állítás igazságértékét az állítás hamis. z els fele iszot igaz, de ez csak úgy lehetséges, ha a második fele is az. Hasoló godolatmeet adja, hogy em álaszt akkor kapuk, ha a meye ezet útra mutattuk. megfelel émás ez esete a második személyt megjelöl te olt. Úja megoldás a köetkez kérdés is: Igaz-e, hogy te akkor és csak akkor agy ördög, ha ez az út a pokola isz? z elhöz teljese hasolóképpe kapjuk, hogy itt az ige jeleti a meyországot, a em pedig a poklot. És még tö megoldást ad, ha az el két kérdést úgy módosítjuk, hogy az ördög szót agyal -ra, agy a pokol szót meyország -ra cseréljük. rra kell csak figyelük, hogy az egyes eseteke a kapott ige illete em álasz mit jelet. 9 agy kötszót páros kötszókét megállapodás szerit kizáró érteleme haszálom. 4
6.5.. köetkez, általáosa eset megoldásához is alkalmazható az el godolat. Csak most egy kicsit áltoztatuk kell rajta. z egyik lehetség a köetkez: Ha most azt kérdeztem ola tled, ez az út ezet-e a meyországa, iget modtál ola? Ez a agyo raasz kérdés a raszolgát és az ördögöt is rákéyszeríti az egyees álaszra: ha a raszolga eldötötte, hogy hazudi fog, kétszeres tagadásra eszi rá. zoa em alkalmazható a köetkez feladat megoldására, miel csak akkor hatékoy, ha olyaak tesszük fel, aki elre eldöti, egy adott pillaata feltett kérdésre igazat mod-e agy hazudik. 6.5.. Bár a harmadik feladat megoldásához em haszálhatjuk a másodikét, de az els összetett kérdéseit módosíthatjuk úgy, hogy alkalmazható legye ez esete is. Így persze az el feladatokra is toái megoldásokat kapuk: Igaz-e, hogy te agy hazudsz most ekem, agy ez az út a pokola ezet? Igaz-e, hogy te akkor és csak akkor hazudsz most ekem, ha ez az út a pokola isz? Természetese itt is kicserélhetek a hazudsz most ekem szaak igazat modasz most ekem -re, agy a pokol meyországra, és az így kapott kérdés is mködik. z érelés is ugyaaz, mit az els feladatál, csak az agyal mellé még e kell eük a furfagos szegéy emert és a raszolgát, aki az adott pillaata igazat mod, az ördög mellé pedig azt, aki az adott pillaata hazudik. 6.5.4. z utolsó feladatra azt godolhaták megoldás lehet a köetkez kérdés: Igaz-e, hogy te akkor és csak akkor hazudsz most ekem, ha elköetted azt a cselekméyt, amiel gyaúsítaak? Vagy megkérdezheték a köetkezt: Igaz-e, hogy te agy hazudsz most ekem, agy elköetted a cselekméyt, amiel gyaúsítaak? Pedig e kérdésekre a alósága kaphatuk akár ilye álaszt is:,! No de az ilye prolémák egy tolmács segítségéel kiküszöölhetek. zoa még ekkor is elfordulhat, hogy a gyaúsított em érti, mit jelet az akkor és csak akkor logikai melet, így pedig em is adhat kérdésükre logikus álaszt. Vagy egy hamiskártyást mi akadályoz meg aa, hogy feldojo egy érmét, és fej eseté iget, írás 5
eseté emet álaszoljo. St igazá okos öz eseté még az is elképzelhet, hogy ár a kérdést érti direkt olya álaszt ad, amelyrl tudja, leezethet elle az ártatlasága, ha feltételezzük, egyike a feladatoka szerepl típusokak. Most kell körültekitek leük. Hallgatólagosa esetleg feltételezhettük, hogy egy alódi emer úgy iselkedik, mit a feladateli furfagos szegéy emer, azaz éha igazat mod, éha hazudik, és hogy mit tesz, azt akkor döti el, amikor már elhagzott a kérdés. Pedig a alósága az emerek éha igazat modaak, éha hazudak, de az is elfordul elég sokszor, hogy értelmetle álaszt adak. Ez yiláaló aa az esete, ha például alaki arra a kérdésre, s-e, azt álaszolja, hogy égyzetszám. Ám mit azt láttuk egy eldöted kérdésre lehet értelmetleül feleli igeel agy emmel is. 7. Néháy alószíségszámítási paradoo 7.. z ajádékozás paradooja: Egy osztályfök karácsoyi ajádékozást szerez. Mide diák készít egy ajádékot ottho, amit aztá elhoz az iskoláa, és eletesz egy agy zsáka. z osztályfök életleszere kisorsolja a zsáka lé tárgyakat a jelelek között, és meg a yugoda, hogy alószíleg seki sem fogja a saját ajádékát isszakapi, mert elég agy létszámú az osztály. Va alapja a yugalmáak? 7.. szetpéterári paradoo: Egy szaályos pézérmét addig doáluk, amíg fejet em kapuk. Ha ez elsre sikerül, kapuk a aktól foritot, ha csak másodikra, akkor 4-et, ha pedig csak -edikre, akkor játék méltáyos, azaz a efizetés éppe a árható értéke legye? -et. Meyit fizessük a akak, hogy a 7.. Schrödiger paradooja: Két emer szerecsejátékot játszik. játékezet életleszere felír az egyikük homlokára egy természetes számot, a másikéra pedig eggyel töet. ( sorredet a játékezet döti el életleszere, tehát a játékosok a felírás sorredjél semmit sem tudak kiköetkezteti.) játékos csak az ellefele homlokát látja. Választhat, kiszáll-e agy játszik. Ha kiszáll, em eszít és em yer, ha iszot a midkette a játék mellett döteek, az yer, akiek a homloká agyo a szám, ayi foritot a másiktól, mit amekkora számmal yert. Ha ellefelem homloká -et látok, érdemes-e játszaom? 6
7 7.4. Megoldások: 7.4.. z ajádékozás paradooja: Eél a feladatál érdemes meggodoli, mekkora aak a alószísége, hogy egy elre kiálasztott diák isszakapja az ajádékát. Képzelhetjük úgy, hogy a taulók ésor szerit sora állak, és ezutá az ajádékokat ilye sorrede életleszere kapják meg. Ekkor aak alószísége, hogy egy kiálasztott a saját ajádékát kapja!!, ami csakugya öekedéséel egyre kiseé álik. Ám ha aak a alószíségét akarjuk megkapi, hogy seki sem kapja issza az ajádékát, számolhatuk a Poicaré-formuláal, mely szerit!!!!!!!! p p p p p p p p Itt i jeleti azt az eseméyt, hogy az i-edik tauló a saját ajádékát kapja issza. Ez a alószíség pedig midig kise -él 0. Így az osztályfök yugalma alaptala, hisze -él agyo alószíséggel lesz olya alaki, aki a saját ajádékát kapja issza. 7.4.. szetpéterári paradoo: parado eredméy az, hogy a játék árható értéke égtele, mert 4 4 E paradoo egyszere feloldható. alósága egyetle ak sem tud akármeyi pézt felajálai. Ha például legfelje tízmilliót hajladó fizeti, akárháyadikra is dook fejet, a árható érték: 4,9,9 0 0 4 4 7 7 5 4 E Tehát 5 forit efizetése eseté a ak egy kicsit jól is jár. Ez pedig már elfogadható eredméy. 0 Érdekes megézi, ha égtelee tart, mi lesz e alószíség határértéke. Már em is olya meglep, hogy éppe e.
Egy másik feloldási lehetség a már említett utilitáselmélet oldaláról közelít. Elfogadja, hogy a ak akármeyi pézt ki tud fizeti, modjuk úgy, hogy szerzdést ír alá alaháy ée elüli kamatos törlesztésrl. Ám a játékosak em ugyaayit ér egyegy forit, ha más-más pézösszeggel redelkezik. Feltételezzük, hogy mide emerek a egy utilitásfüggéye, mely mide alós, pozití -re megadja, meyire örül az adott emer foritak. Egy átlagos emer utilitásfüggéye szigorúa mooto öek, koká, hisze miél agyo pézösszeggel redelkezik, aál keésé örül egy úja foritak, de azért agyo összegek joa örül. kokáság a kockázatkerülésrl is árulkodik, mert ha alaháy forit irtokáa eek az emerek felajálják, hogy alószíséggel yerhet s foritot és ugyaekkora alószíséggel eszíthet is eyit egy játéka, akkor em fog játszai, mert egy már meglé forit töet ér eki mit egy kés yerhet.. ára z árá erajzolt árható haszo egy az utilitásfüggéye felett húr felezpotja, mely egy koká függéy eseté a függéy grafikoja alatt helyezkedik el. Vizsgáljuk egy kokrét függéyt, az u l legye ez. z koká, mert 0 u yilá u mide pozití -re. Most azzal e tördjük, hogy 0 és között egatí értékeket esz fel. Számoljuk ki a játék árható utilitását a árható érték helyett! E u l l 4 l l 4 összege pedig l, mert u. Eek a sorak az E. l k 0 l l l k Meyit kell hát fizetie a játékosak? yi pézt, ameyiek l mértéke örül. 8
Vagyis ha -szel jelöljük a efizeted összeget, akkor l l l l 4. E játékos számára tehát akkor igazságos a játék, ha 4 foritot fizet játszmákét. De izsgálhatjuk a u u 0 mide pozití -re. 4 E -et is. Ez a függéy is koká, mert 0 u utilitáshoz pedig éppe foritot kér, a játékos már kicsit rosszul is érezheti magát.. Ekkora foritot kée efizeti, tehát ha a ak 6 zt azoa em állítom, hogy mide koká utilitásfüggéy megoldja a prolémát, mert például a u l is koká, hisze második deriáltja az l második deriáltjáak fele, ami mide pozití alós számo egatí értéket esz föl. Ráadásul u Ám, tehát esélyes lehete a paradoo feloldására. E u l 4 l 4 l Tehát isszakerülék az eredeti prolémához. z pedig iztos, hogy: 4. 7.4... Tétel: Egyetle kockázatkedel emer utilitásfüggéye eseté sem oldódik fel a paradoo, azaz em lesz éges a árható utilitás egyetle koe, mooto öek függéyre sem. Bizoyítás: Tekitsük ugyais egy mooto öek, a pozití számoko értelmezett, koe f -et! Tudjuk, hogy ha mide az értelmezési tartomáyáa es -re és teljesül az f f f f koe defiíció szerit potosa akkor, -re alamit mide 0; egyeltleség. Válasszuk ki egy 0 áltozópárt. Ekkor állítom, hogy: 7.4... Lemma: Mide -re az f függéy értéke az f -re ; és az f potoko átme, f mootoitása miatt pozití meredekség ; fölött a. g húr lemma izoyítása: Tegyük fel, hogy em így a, azaz f koe, 0, mégis létezik olya -él agyo, melyre f f f f. 9