András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005
Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/ András Szilárd, Mrin Mureşn Bucureşti, Editur Didctică şi Pedgogică, 2005 p. 370; cm. 24 ISBN 973-30-1833-3 517(075.8) Tiprul executt sub comnd nr. 52/2005 l Imprimeri Sttus, Miercure-Ciuc http://www.sttus.com.ro/
A munk láthtóvá tett szeretet. Khil Gibrn Diákjinknk, kik lehetővé teszik, hogy észleljünk, érezzünk és lássunk... olyt is, mire mgunktól képtelenek vgyunk Omenii muncesc în generl pre mult pentru mi pute fi ei inşişi. Emil Ciorn
Előszó Jegyzetünk elsődleges célj bepillntást nyújtni mtemtiki nlízis eszköztáráb, különös tekintettel egyes eszközök más területeken vló lklmzásár. Igyekszünk rávilágítni néhány olyn lklmzásr, mely nemcsk mtemtikusoknk lehet szükséges, hnem fizikusok, informtikusok, közgzdászok munkáj során is nélkülözhetetlen, különösen h felhsználó szintnél mélyebben is érteni szeretnék állndón változó szkmájukt. Szeretnénk figyelmeztetni zokt, kik mtemtikát fölösleges tehernek tekintik, hogy mtemtik ngyon sok ág fejlődött ki gykorlti problémák tnulmányozásából, illetve megoldásából, és így mjdnem minden tudományterületen tlálkozhtunk olyn problémávl, melynek nemcsk megoldás de már megértése is komoly mtemtiki lpokt igényel. A kételkedőknek jánljuk, hogy lposn tájékozódjnk mielőtt döntéseket hoznk kiugrott nygrészeket illetően. Informtikusoknk érdemes elolvsni D. Knuth lpvető munkáját ([44]), illetve Konkrét Mtemtik lpkönyvét ([31]). Fizikusoknk és biológusoknk csk egy-egy kérdést teszünk fel: Miért nem lehet tetszőleges egy gőzgép centrifugális regulátoránk tengellyel bezárt szöge, vgy miért volt művészet egy gőzmozdony elvezetése? (lásd [60]) Miért vn z, hogy két X kromoszóm jelenléte bizonyos betegségek (például hemofíli vgy Dltonizmus) előfordulási rányát megsokszorozz? (lásd [39]) A megfoglmzott problémák sokságánk és mtemtik belső fejlődésigényének következtében mtemtiki látóhtárunk és tudásbázisunk egyre tágul, sőt gyrpodás sebessége egyre fokozódik. Másrészt különböző tudományágk mtemtiki szükséglete állndón változik, és ugynkkor z elsjátításr fordíthtó idő rohmosn csökken. Így hát kár egy pillntnyi válsz megtlálás sem egyszerű feldt z örökös,, Kinek, mit és hogyn tnítsunk? tnári dillemár. Úgy gondoljuk, hogy egy tnár és diák áltl egyránt hsználhtó jegyzet összeállítás bonyolult feldt és többrendbeli visszcstolást igényel, ezért jegyzetünket kisérleti jellegűnek tekintjük és felkérünk minden olvsót, hogy megjegyzéseit, kiegészítéseit hozz tudomásunkr. Végezetül szeretnénk köszönetet mondni Zsombori Gbriellánk, ki fárdtságot nem kimélve végigolvst kézirtot, és így sikerült sok hibát kiküszöbölnünk. A szükséges előismeretek elsjátítás céljából jánljuk középiskoli tnkönyveinket (lásd [2],[3],[4],[5]) és további, lposbb tnulmányozás céljából következő munkákt: [10], [16], [21], [22], [26], [33], [34], [47], [50], [51], [52], [59], [62], [67]. v
Trtlom Előszó....................................... v 1. Hlmzok 1 1.1 Hlmzok.................................. 1 1.1.1 A hlmz foglm.......................... 1 1.1.2 Műveletek hlmzokkl....................... 3 1.1.3 Relációk és függvények....................... 7 1.1.4 Gykorltok............................. 12 1.2 Számhlmzok............................... 14 1.2.1 Egy péld.............................. 14 1.2.2 A vlós számhlmz........................ 15 1.2.3 Algebri tuljdonságok....................... 22 1.2.4 Topológii tuljdonságok...................... 28 1.2.5 A vlós számok hlmzánk lezárás............... 34 1.3 Gykorltok és feldtok.......................... 35 2. Normált terek és metrikus terek 49 2.1 Vektorterek................................. 49 2.1.1 Az R k vektortér.......................... 49 2.1.2 Vektorterek............................. 52 2.1.3 Normált terek............................ 56 2.1.4 Hilbert terek............................ 58 2.1.5 Egyenlőtlenségek.......................... 60 2.2 Metrikus terek................................ 64 2.3 Kompkt hlmzok............................. 73 3. Soroztok és sorok 85 3.1 Számsoroztok............................... 85 3.1.1 Konvergens soroztok........................ 85 3.1.2 Részsoroztok............................ 88 3.1.3 Cuchy soroztok.......................... 89 3.1.4 Monoton soroztok......................... 92 3.1.5 Alsó és felső htárértékek..................... 97 3.1.6 A Cesro-Stolz tétel és néhány következménye.......... 99 vii
3.1.7 Néhány ismert sorozt....................... 104 3.1.8 Szubkonvex soroztok....................... 115 3.2 Függvénysoroztok............................. 120 3.3 Számsorok.................................. 123 3.3.1 Nemnegtív tgú sorok....................... 127 3.3.2 Konvergenci kritériumok pozitív tgú sorokr.......... 133 3.3.3 Htványsorok............................ 137 3.3.4 Abel-féle összegzés......................... 139 3.3.5 Abszolút konvergens és feltételesen konvergens sorok...... 141 3.3.6 A Riemnn-féle ζ(s) függvény.................. 144 3.3.7 Gykorltok............................. 146 3.4 Függvénysorok............................... 147 3.5 Kitűzött feldtok............................. 149 4. Htárértékek és folytonosság 153 4.1 Htárértékek................................ 153 4.1.1 Függvényhtárértékek....................... 153 4.1.2 Jobboldli és bloldli htárértékek................ 157 4.2 Folytonosság................................. 158 4.2.1 Folytonosság és kompktitás.................... 164 4.2.2 Egyenletes folytonosság....................... 166 4.2.3 Folytonosság és összefüggőség................... 170 4.2.4 Szkdási pontok.......................... 171 4.2.5 Monoton függvények........................ 171 4.2.6 Shrkovski tétele.......................... 175 4.3 Periodikus függvények........................... 192 4.4 Drboux tuljdonságú függvények..................... 193 4.5 Lipschitz tuljdonságú függvények..................... 197 4.6 Konvex függvények............................. 200 4.6.1 Konvex függvények......................... 200 4.6.2 Jensen-konvex függvény...................... 204 4.7 Korlátos változású függvények....................... 205 4.8 Függvénysoroztok htárértékének folytonosság............. 211 4.9 Függvénysorok folytonosság........................ 213 4.10 Kitűzött feldtok............................. 213 5. Differenciálszámítás R -en 217 5.1 Vlós függvény deriváltj.......................... 217 5.2 Középértéktételek.............................. 222 5.2.1 A középértéktételek következményei................ 228 5.3 Drboux tétele............................... 233 5.4 L Hospitl tétele.............................. 233 5.5 Mgsbb rendű deriváltk........................ 235 viii
5.6 Konvex függvények és deriválhtóság................... 239 5.6.1 Egyenlőtlenségek.......................... 242 5.7 Függvénysoroztok és függvénysorok differenciálhtóság........ 244 5.8 Htványsorok és Tylor-féle sorbfejtés.................. 245 5.8.1 Műveletek htványsorokkl..................... 248 5.8.2 Néhány elemi függvény Tylor sor................ 251 5.9 Primitiválhtó függvények......................... 254 5.9.1 A primitív függvény foglm.................... 254 5.9.2 Folytonos függvények primitiválhtóság............. 256 5.9.3 Primitiválhtó függvényekkel végzett műveletek......... 258 5.9.4 Gykorltok............................. 260 5.10 Kitűzött feldtok............................. 264 6. Integrálszámítás 267 6.1 A Drboux integrál............................. 267 6.2 Függvénysorok integrálhtóság...................... 276 6.3 Improprius integrálok............................ 277 6.4 Prmétertől függő integrálok....................... 283 6.4.1 A gmm függvény......................... 283 6.5 Az e és π trnszcendens........................ 285 6.6 A Grönwll egyenlőtlenség......................... 289 6.7 Kitűzött feldtok............................. 291 7. Differenciálszámítás R n -ben 295 6.1 Lineáris és korlátos leképezések...................... 295 6.1.1 Bilineáris és kvdrtikus leképezések............... 298 6.1.2 Kvdrtikus lkok......................... 300 6.2 Differenciálhtó függvények........................ 301 6.2.1 Vriációk.............................. 301 6.2.2 A Gâteux differenciál....................... 303 6.2.3 A Fréchet differenciál........................ 304 6.3 Prciális deriváltk............................. 310 6.3.1 Az inverz függvény és z implicit függvény tétele........ 313 6.3.2 Iránymenti deriváltk és grdiens................ 314 6.4 Mgsbbrendű differenciálok és prciális deriváltk........... 315 6.4.1 Az X = R n eset.......................... 315 6.5 A Tylor-féle képlet............................. 317 6.6 Lokális szélsőértékek............................ 318 6.6.1 Szükséges feltételek......................... 318 6.6.2 Másodrendű feltételek....................... 319 6.6.3 Kötött szélsőértékek........................ 320 6.7 Kitűzött feldtok............................. 323 ix
8. Állndók 327 8.1 A Pithgorász-féle állndó......................... 327 8.1.1 A 2 közelítése.......................... 328 8.2 Az Arkhimédesz-féle állndó........................ 329 8.2.1 A π közelítése........................... 329 8.2.2 A Buffon-féle problém....................... 331 8.2.3 A π n -edik számjegyének kiszámítás.............. 331 8.3 A számtni-mértni közép......................... 331 8.4 Az e szám.................................. 332 8.5 ln 2..................................... 335 8.6 Az optimális megállás problémáj..................... 336 8.7 Áltlánosított Fubini számok........................ 337 Szkirodlom.................................. 343 Szimbólumok.................................. 349 Névmuttó................................... 351 Tárgymuttó.................................. 353 x
1. Fejezet Hlmzok Felfedezni vlmit nnyit jelent, mint látni zt, mit mindenki lát, csk éppen mást gondolni ról, mint mit bárki más eddig gondolt ról. Szentgyörgyi Albert Ennek fejezetnek célj néhány hlmzokr vontkozó lptuljdonság felsorolás. A legtöbb bizonyítást mellőzzük és egyáltlán nem fogllkozunk hlmzelmélet xiomtikus felépítésével. 1.1.1 A hlmz foglm 1.1 Hlmzok A hlmzelmélet mjdnem minden lpvető foglmát és tételét G. Cntor 1 fedezte fel, végtelen hlmzok összehsonlításából kiindulv. Eredményei forrdlmi változásokt idéztek elő mtemtik minden területén. Így mtemtiki nlízis szbtos meglpozás sem lehetséges hlmzelmélet nélkül. Mi csk jelenségek megértéséhez szükséges tuljdonságokt tárgyljuk, részletesebb és teljesebb tárgylást tlálhtunk [32] és [66] könyvekben. A hlmz intuitív foglmát ismertnek tételezzük fel. Azt mondjuk, hogy egy hlmz (gyűjtemény, osztály, cslád) egyértelműen zonosíthtó objektumok együttese, gyűjteménye. Egy hlmzt z elemei segítségével értelmezünk. A hlmzelmélet xiomtikus felépítése z,, eleme (vgy,, hozzátrtozik ) lpfoglomr épül ([41]). Mi teljes elmélet felépítése helyett inkább z intuíciór és z elemi logikár (mondhtni,, józn észre ) épülő,, niv hlmzelméletet fogjuk hsználni (lásd [33]). Elfogdjuk z lábbi egyezményes jelöléseket. Hlmzok elemeit kisbetűkkel jelöljük:, b, c,..., x, y, z, α, β, γ,.... A hlmzokt ngy nyomttott 1 Georg Ferdinnd Ludwig Philipp Cntor, 1845-1918 1
2 1. Hlmzok betűkkel jelöljük: A, B, C,... X, Y,.... A hlmzcsládokt ngy írott betűkkel jelöljük: A, B, C,.... Egy hlmzt leggykrbbn z elemei vlmilyen jellemző tuljdonságávl értelmezünk. H P (x) egy kijelentés, kkor zoknk z x elemeknek hlmzát, melyekre P (x) igz, z {x P (x)} szimbólumml jelöljük (olvsd: zon x elemek, melyekre P (x) igz). Annk jelölésére, hogy z x objektum eleme z A hlmznk, z x A szimbólumot hsználjuk, míg z x / A szimbólumml zt jelöljük, hogy x nem eleme z A hlmznk ( x nem trtozik hozzá z A hlmzhoz). Az jel zt hlmzt jelöli, melynek nincs egyetlen eleme sem, ezt üres hlmznk nevezzük. Egy tetszőleges x objektum esetén {x} zt hlmzt jelöli, melynek egyetlen eleme z x. Így x {x}, de x {x}. Ehhez hsonlón z {x 1, x 2,..., x n } jelölés zt hlmzt jelöli, melynek elemei pontosn x 1, x 2,..., x n. Megjegyezzük, hogy egy hlmz elemeinek felsoroláskor minden elemet csk egyszer említünk, tehát például {x, x} = {x}. H z elemekhez többszörösségi muttót is rendelünk, kkor már e- lemrendszerről beszélünk és nem hlmzról (erre érdemes odfigyelni, mert egy n -ed fokú Q R[X] polinom gyökeinek összege többszörös gyökök esetén nem ugynz, mint z {x Q(x) = 0} hlmz elemeinek összege stb.). 1.1. Példák. Az lábbikbn felsorolunk néhány hlmzt: () természetes számok hlmz N = {0, 1, 2, 3,... }; 2 (b) z egész számok hlmz Z = {0, ±1, ±2, ±3,... }; (c) pozitív egész számok hlmz N = {1, 2, 3,... }; { } p (d) rcionális számok hlmz Q = p, q Z, q 0, 3 itt p törtnek p q q számlálój és q nevezője; (e) 7 -nél kisebb pozitív egészek hlmz ( {1, 2, 3, 4, 5, 6} ); (f) z öt milliónál több lkossl rendelkező románii városok hlmz ( ); (g) z ngol ábécé mgánhngzóink S hlmz (láthtó, hogy z S = {, e, i, o, u} és S = {x x mgánhngzó z ngol nyelvben} megdási módokkl ugynzt hlmzt értelmeztük). H A és B két hlmz és z A minden eleme B -nek is eleme, kkor zt mondjuk, hogy z A részhlmz B -nek. Ezt z A B vgy B A szimbólumml 2 A természetes számhlmz xiomtikus felépítése sok könyvben megtlálhtó, lásd például [61, 1. Fejezet]. 3 A természetes, egész és rcionális számhlmz egy xiomtikus tárgylás megtlálhtó [53, I. 2-4]-ben.
1.1. Hlmzok 3 jelöljük. H A B és B A, kkor két hlmzt egymássl egyenlőnek nevezzük és ezt z A = B jelöléssel fejezzük ki. Az A B szimbólumot z A = B tgdásként hsználjuk. H A B és A B, kkor z A hlmzt B vlódi részhlmzánk nevezzük, és ezt z A B szimbólumml jelöljük. Világos, hogy h A nem részhlmz B -nek, kkor létezik olyn x, melyre x A és x / B. Megjegyezzük, hogy z előbb bevezetett hlmzegyenlőség lpján z üreshlmz egyértelmű (h 1 és 2 két üres hlmz, kkor 1 2 és 2 1, tehát 1 = 2 ). H A egy hlmz, kkor P(A) z A hlmz részhlmzink hlmzát jelöli. Így P( ) = {, { }} és A = {1, 2} esetén P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}}. 1.1.2 Műveletek hlmzokkl Jelöljön A és B két hlmzt. Azoknk z elemeknek hlmzát, melyek két hlmz közül leglább z egyikhez hozzátrtoznk, két hlmz egyesítésének nevezzük és z A B szimbólumml jelöljük (lásd z 1.1. ábrát). Értelmezés lpján A B = {x x A vgy x B}. H A egy hlmzcslád, kkor hlmzcslád egyesítése z A = {x x A, vlmely A A esetén } hlmz. H {A α } α I egy I indexhlmz szerint indexelt hlmzcslád, kkor hlmzcslád egyesítése z α I A α = {x x A α, vlmely α I esetén } hlmz. Azoknk z elemeknek hlmzát, melyek mindkét hlmzhoz hozzátrtoznk, két hlmz metszetének nevezzük és A B -vel jelöljük (lásd z 1.2. ábrát). Pontosbbn A B = {x x A és x B}. A A hlmzcslád metszetén z A = {x x A, minden A A esetén } hlmzt értjük. H hlmzcslád egy I indexhlmz segítségével értelmezett ( {A α } α I ), kkor metszete hlmz. α I A α = {x x A α, minden α I esetén }
4 1. Hlmzok X X X A B A B A B A B 1.1. Ábr: Egyesítés A B 1.2. Ábr: Metszet A B = 1.3. Ábr: Diszjunkt hlmzok 1.1. Tétel. H A, B és C három tetszőleges hlmz, kkor (i) A B = B A (i ) A B = B A kommuttivitás; (ii) A A = A (ii ) A A = A idempotenci; (iii) A = A (iii ) A = ; (iv) A (B C) = (A B) C (iv ) A (B C) = (A B) C sszocitivitás; (v) A A B (v ) A B A; (vi) A B A B = B (vi ) A B A B = A. 1.2. Tétel. H A, B és C tetszőleges hlmzok, kkor (i) A (B C) = (A B) (A C), metszet disztributív z egyesítésre nézve; (ii) A (B C) = (A B) (A C), z egyesítés disztributív metszetre nézve. 1.3. Tétel. H X egy hlmz és {A α } α I egy hlmzcslád, kkor (i) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (ii) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (iii) X ( α I A α ) = α I (X A α ); (iv) X ( α I A α ) = α I (X A α ). Az A és B hlmzok diszjunktk, h A B = (lásd z 1.3. ábrát). Az A hlmzcsládot páronként diszjunkt hlmzokból álló hlmzcsládnk nevezzük, h hlmzcslád minden hlmzpárj diszjunkt. H z {A α } α I hlmzcslád egy indexhlmz segítségével értelmezett, kkor z előbbi feltétel következőképpen írhtó: A α A β =, h α, β I és α β. Egy nemüres hlmzokból álló A hlmzcsládot z S hlmz egy prtíciójánk (vgy osztályfelbontásánk) nevezünk, h (i) S = A A A;
1.1. Hlmzok 5 X X A B A B A\B 1.4. Ábr: Különbség A B 1.5. Ábr: Szimmetrikus különbség (ii) A páronként diszjunkt hlmzokból áll. H A és B két hlmz, kkor z A \ B := {x x A és x / B} hlmzt z A és B különbségének nevezzük (lásd z 1.4. ábrát). H A részhlmz egy X hlmznk, kkor z {x x X, x / A} hlmzt z A -nk z X -re vontkozó kiegészítő (vgy komplementáris) hlmzánk nevezzük. Ezt hlmzt X A vgy A szimbólumml jelöljük. 1.1. Tuljdonság. H A z X egy részhlmz, kkor X ( X A) = A. 1.4. Tétel. (de Morgn 4 törvényei) () (A B) = ( A) ( B) (h egy elem nincs benne két hlmz egyesítésében, kkor egyik hlmzbn sincs benne) (b) (A B) = ( A) ( B) (h egy elem nincs benne két hlmz metszetében, kkor kettő közül leglább z egyikhez nem trtozik hozzá) (c) ( α I A α ) = α I A α ; (d) ( α I A α ) = α I A α. H A és B két hlmz, kkor z (A\B) (B\A) hlmzt A B -vel jelöljük és z A és B szimmetrikus különbségének nevezzük (lásd z 1.5. ábrát). Az A B hlmz pontosn zokt z elemeket trtlmzz, melyek két hlmz közül pontosn z egyiknek elemei. A szimmetrikus különbséget z 4 August de Morgn, 1806-1871 A B = (A B)\(A B)
6 1. Hlmzok összefüggéssel is értelmezhetjük. Gykrn előfordul, hogy egy hlmz elemeinek sorrendje is fontos. Így például z (x 1, x 2 ) szimbólumot z x 1 és x 2 elemekből lkotott rendezett pár jelölésére hsználjuk. Ez zt jelenti, hogy x 1 z első elem és x 2 második. Értelmezés lpján z (x, y) és (u, v) párok pontosn kkor egyenlők egymássl, h x = u és y = v. H X és Y két hlmz, kkor z (x, y) rendezett párokból lkotott hlmzt, hol x X és y Y, z X és Y hlmzok Descrtes 5 féle szorztánk nevezzük. Az X és Y hlmz Descrtes-szorztát X Y -nl jelöljük, tehát X Y := {(x, y) x X, y Y }. Megjegyzés. (1, 2) (2, 1), de {1, 2} = {2, 1}. Az X, Y, Z hlmzok Descrtes szorztán (ebben sorrendben) z (X Y ) Z = X (Y Z) = X Y Z = {(x, y, z) x X, y Y, z Z}. hlmzt értjük, és áltlábn X 1 X 2 X n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 X 1, x 2 X 2,..., x n X n }. Az X X helyett gykrn hsználjuk z X 2 jelölést, illetve áltlánosn X n = X } X {{ X } = {(x 1, x 2,..., x n ) x i X, i = 1, 2,..., n}. n drb 1.2. Tuljdonság. H A, B és C tetszőleges hlmzok, kkor () A (B C) = (A B) (A C); (b) A (B C) = (A B) (A C); (c) C = D esetén C D A B C A és D B; (d) A B = A = vgy B = ; (e) A B = B A A = B. Egy tetszőleges X véges hlmz elemeinek számát X szel jelöljük. Középiskolából ismert, hogy A B = A + B A B, A B = A B stb. 1.1. Alklmzás. H egy populációbn vlmely betegségben szenvedők körében ngyobb z x szimptóm előfordulási rány, mint z -bn nem szenvedők körében, kkor z x szimptómávl rendelkezők körében is gykoribb z betegség, mint z x szimptómávl nem rendelkezők körében. 5 René Du Perron Descrtes, 1596-1650, ltinul Rentus Crtesius
1.1. Hlmzok 7 Megoldás. Jelölje A z betegségben szenvedők hlmzát és X z x szimptómávl rendelkezők hlmzát. A feldtbn megdott feltétel következő egyenlőtlenséggel egyenértékű: A X A X > A A. Igzolnunk kell, hogy A X X > A X X. Az A = A X + A X, A = A X + A X, X = X A + X A, vlmint X = X A + X A összefüggések lpján mindkét egyenlőtlenség egyenértékű A X A X > A X A X egyenlőtlenséggel, tehát z egyenlőtlenségek egymássl is ekvivlensek. 1.1.3 Relációk és függvények H X és Y két hlmz, kkor z X Y szorzt egy tetszőleges részhlmzát bináris relációnk nevezzük. Megjegyzés. Tuljdonképpen z (X, Y, R) hármst nevezik bináris relációnk, hol R X Y. A továbbikbn reláció ltt áltlábn bináris relációt értünk és csk z R hlmz segítségével hivtkozunk rá. H R egy reláció, kkor DomR := {x (x, y) R, vlmely y esetén } hlmzt z R doméniumánk nevezzük és RngeR := {y (x, y) R, vlmely x esetén} hlmzt z R (kép)trtományánk. Az R 1 szimbólumot z R inverzének jelölésére hsználjuk. Pontosbbn R 1 := {(y, x) (x, y) R}. H R és Q két reláció, kkor szorztukon (összetevésükön) Q R := {(x, z) létezik y úgy, hogy (x, y) R és (y, z) Q} relációt értjük. Az R és Q relációk szorzt lehet üres hlmz is, h z R és Q trtomány illetve doménium nem metszik egymást. Q R (RngeR) (DomQ). 1.3. Tuljdonság. H R, Q és S relációk, A és B hlmzok, kkor (i) (R 1 ) 1 = R (ii) (R Q) 1 = Q 1 R 1 ; (iii) R (Q S) = (R Q) S (iv) (R Q)(A) = R(Q(A)); (v) R(A B) = R(A) R(B) (vi) R(A B) R(A) R(B). Egy tetszőleges X hlmzon értelemezett X X relációt ekvivlenci relációnk nevezünk, h tetszőleges x, y, z X esetén teljesülnek következő tuljdonságok:
8 1. Hlmzok (i) x x (reflexív); (ii) h x y, kkor y x (szimmetrikus); (iii) h x y és y z, kkor x z (trnzitív). 1.2. Példák () Az egyenlőség (,, = ) egy ekvivlenci reláció rcionális számok Q hlmzán. (b) Rögzítsünk egy tetszőleges n természetes számot, és értelmezzük z egész számok hlmzán következő relációt: Az, b Z számokról zt mondjuk, hogy,, zonos (kongruens) b -vel modulo n, h létezik olyn k Z, melyre b = kn. Az így értelemezett,, kongruens modulo n reláció egy ekvivlenci reláció z Z hlmzon. H n = 0, kkor z egyenlőséget kpjuk, tehát z így értelmezett reláció áltlánosbb, mint z egyenlőség. Mi következő jelölést hsználjuk: = b (mod n) k Z úgy, hogy b = kn. H P egy nemüres hlmz, kkor P P relációt (prciális) rendezésnek nevezzük P -n, h bármely x, y és z P -beli elemek esetén igzk z lábbi tuljdonságok: (i) x x (reflexív); (ii) h x y és y x, kkor y = x (ntiszimmetrikus); (iii) h x y és y z, kkor x z (trnzitív). H egy rendezési reláció P -n, kkor zt mondjuk, hogy (P, ) pár egy rendezett hlmz. 1.3. Példák () Egy X nemüres hlmz részhlmzink hlmzán értelmezzük következő relációt: A B pontosn kkor, h A B. Az így értelmezett,, reláció egy prciális rendezés. (b) A természetes számok hlmzán értelmezzük relációt következőképpen: m, n N esetén z m n pontosn kkor teljesül, h létezik k N úgy, hogy m = kn. Az így értelmezett,, reláció egy prciális rendezés N -en. H rendezési reláció teljesíti (iv)-es feltételt, kkor teljes rendezésnek nevezzük: (iv) h x, y P, kkor x y vgy y x.
1.1. Hlmzok 9 H reláció egy teljes rendezés P -n, kkor (P, ) pár egy teljesen rendezett hlmz. H x y és x y, kkor z x < y jelölést hsználjuk, z x y szimbólum jelentése y x és x > y egyenértékű z y < x relációvl. Az előbbi jelölések segítségével z (iv) feltétel megfoglmzhtó következő módon is:,, egy teljesen rendezett hlmz tetszőleges x és y elemeire z x < y, x = y és x > y összefüggések közül pontosn z egyik teljesül. Ezt nevezik trichotómiánk. 1.4. Példák () A rcionális számokon értelmezett (szokásos ngyságrendi viszony) reláció egy teljes rendezés Q -n; (b) H egy nemüres A hlmz részhlmzink hlmzán értelmezzük bennfogllási ( ) relációt (lásd z 1.3. ) példát), kkor (P (A), ) egy rendezett hlmz, de nem teljesen rendezett. H egy teljes rendezés P -n, és teljesül z (v)-ös feltétel, kkor rendezést jólrendezésnek nevezzük, és (P, ) rendezett hlmzt jólrendezett hlmznk: (v) bármely = A P hlmzbn létezik A úgy, hogy x minden x A esetén ( z A hlmz legkisebb eleme). 1.1. Péld. A természetes számok N hlmz megszokott ngyságrendi viszonynyl egy jólrendezett hlmz, míg z egész számok hlmz ( Z ) megszokott rendezéssel nem jólrendezett. A (P, ) teljesen rendezett hlmzbn tetszőleges x, y P esetén értelmezhetjük ezek közül ngyobbt: { y, h x y, mx{x, y} := x, h y x. Tetszőleges véges {x 1,..., x n } hlmz esetén értelmezhetjük hlmz legngyobb elemét mx{x 1,..., x n } := mx{x n, mx{x 1,..., x n 1 }} összefüggéssel. Hsonlón értelmezzük legkisebb elemet is (véges hlmz esetén). { x, h x y; min{x, y} := y, h y x, és min{x 1,..., x n } := min{x n, min{x 1,..., x n 1 }}. H A egy nemüres részhlmz (P, ) rendezett hlmznk és x P, kkor z x elemet (i) z A lsó korlátjánk nevezzük, h x y, bármely y A esetén (z A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h létezik leglább egy lsó korlátj);
10 1. Hlmzok (ii) z A felső korlátjánk nevezzük, h y x, bármely y A esetén (z A hlmzt felülről korlátosnk nevezzük, h létezik leglább egy felső korlátj); (iii) z A hlmz legngyobb lsó korlátjánk (vgy infimumánk) nevezzük, h teljesül következő két feltétel: (iii 1 ) x lsó korlátj A -nk; (iii 2 ) h y lsó korlátj A -nk, kkor y x ; (iv) z A hlmz legkisebb felső korlátjánk(vgy szuprémumánk) nevezzük, h teljesül következő két feltétel: (iv 1 ) x felső korlátj A -nk; (iv 2 ) h y felső korlátj A -nk, kkor x y. Egy rendezett hlmz vlmely A részhlmzát korlátosnk nevezzük, h lulról is és felülről is korlátos, ellenkező esetben nemkorlátosnk (vgy korlátlnnk) nevezzük. 1.1. Megjegyzés. Áltlábn egy hlmznk több lsó, illetve felső korlátj lehet, de infimum és szuprémum csk egy. Az A hlmz infimumát inf A -vl, szuprémumát sup A -vl jelöljük. Péld. H A z 1/n lkú számok hlmz, hol n N, kkor rcionális számok szokásos rendezésére nézve A korlátos, sup A = 1, inf A = 0, és 1 A, vlmint 0 / A (tehát legngyobb eleme vn hlmznk de legkisebb eleme nincs). H f egy reláció és A egy hlmz, kkor z A képe z f -ben z f(a) := {y létezik x A úgy, hogy (x, y) f} hlmz. Láthtó, hogy f(a) A Domf. H f(a) B, kkor zt mondjuk, hogy z f reláció z A hlmzt B -be képezi. Egy A hlmz f -en keresztüli inverz képe z f 1 (A) := {x létezik y A úgy, hogy (x, y) f} hlmz. Az itt említett fgoglmkról részletesebben olvshtunk [55, 3.2]-ben, [56, 1.1]-ben vgy [57, 2.3]-bn. Egy f relációt egyértékűnek nevezünk, h (x, y) f -ből és (x, z) f -ből következik, hogy y = z. Ebben z esetben írhtjuk, hogy f(x) = y. Az egyértékű relációkt függvényeknek (leképezésnek, trnszformációnk, operátornk) nevezzük. 6 H f is és f 1 is egyértékű reláció, kkor f -et invertálhtó függvénynek nevezzük, és f 1 -t z f inverzének (lásd z 1.8. ábrát). 6 A mtemtik különböző területein különböző megnevezések meghtározott tuljdonságokt jelentenek.
1.1. Hlmzok 11 f α f α f α b c γ b β γ b c β γ 1.6. Ábr 1.7. Ábr 1.8. Ábr 1.5. Tétel. H z X hlmz egy részhlmzcsládj {A i } i I, z Y egy részhlmzcsládj {B j } j J, és f X Y egy reláció, kkor igzk következő tuljdonságok: () f( i I A i ) = i I f(a i ); (b) f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ); (c) f( i I A i ) i I f(a i ). H f egy függvény, z lábbi egyenlőségek teljesülnek, de ezek tetszőleges relációk esetén áltlábn nem igzk: (d) f 1 ( j J B j ) = j J f 1 (B j ); (e) f 1 ( Y B) = X (f 1 (B)), B Y ; (f) f(f 1 (B) A) = B f(a), A X, B Y. H z f függvényre Domf = X és Rngef Y, kkor zt mondjuk, hogy f z X hlmzt z Y -b képezi, és ezt z f : X Y szimbólumml jelöljük. H Rngef = Y, zt mondjuk, hogy z f függvény szürjektív (minden elem képelem vgyis f(x) = Y ). Így z f : X Y függvény pontosn kkor szürjektív, h bármely y Y esetén létezik x X úgy, hogy y = f(x). Az f : X Y függvényt injektívnek nevezzük, h bármely x, t X és y Y esetén z f(x) = y és f(t) = y egyenlőségekből következik, hogy x = t (különböző elemek képei is különböznek). Gykorltbn legtöbb esetben ellenőrizzük, hogy h x, t X, kkor z f(x) = f(t) egyenlőségből következik-e, hogy x = t. Azokt függvényeket, melyek injektívek is és szürjektívek is, bijektíveknek nevezzük. Az 1.6. ábrán egy szürjektív, de nem injektív függvény, z 1.7. ábrán egy injektív, de nem szurjektív, míg z 1.8. ábrán egy bijektív függvény láthtó. 1.6. Tétel. H X és Y nemüres hlmzok, kkor z f : X Y függvény invertálhtóságánk szükséges és elégséges feltétele z f bijektivitás.
12 1. Hlmzok Soroztnk nevezzük zokt függvényeket, melyek értelmezési trtomány N vgy N. H x : N X egy függvény, kkor áltlábn x(n) helyett z x n jelölést hsználjuk, és x n -et sorozt n -edik tgjánk nevezzük. Az előbbi sorozt jelölésére z (x n ) n=1, (x n ) n vgy (x n ) jelölést hsználjuk. H (x n ) X, n 1, kkor X -beli soroztról beszélünk. 1.1.4 Gykorltok 1. Htározd meg z f(s) hlmzt, h S = {0, ±1, ±2, 3}, Q rcionális számok hlmz és z f : S Q függvényt z f(t) = t 2 1, bármely t S összefüggéssel értelmeztük. 2. Tnulmányozd z lábbi függvények injektivitását és szürjektivitását: (i) f : N N, f(n) = 2n, n N ; (ii) f : Q Q Q, f(p, q) = p, p, q Q ; (iii) f : Q Q Q Q, f(p, q) = (p, q) p, q Q. 3. Az M hlmz elemeinek szám m és z N hlmz elemeinek szám n, hol m, n 1. Bizonyítsd be, hogy (i) z M -et N -be képező f : M N függvények szám n m ; (ii) h m = n, kkor z M -et N -be képező bijektív függvények szám m!; (iii) h m n, kkor z M -et N -be képező injektív függvények szám n(n 1)(n 2)... (n m + 1); (iv) h m n, kkor z M -et N -be képező szürjektív függvények szám ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n m (n 1) m + (n 2) m (n 3) m + + ( 1) n 1. 1 2 3 n 1 4. Tekintsük z A és B hlmzokt és z f : A B függvényt. Értelmezzük z f : P(A) P(B) és f : P(B) P(A) függvényeket z f (M) = f(m), illetve f (N) = f 1 (N) összefüggésekkel, hol M A és N B. () Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f injektív; (ii) f (iii) f injektív; szürjektív; (iv) f(m N) = f(m) f(n), bármely M, N P(A) -r; (v) f( A M) B f(m), bármely M P(A) -r.
1.1. Hlmzok 13 (b) Bizonyítsd be, hogy z lábbi állítások ekvivlensek: (i) f szürjektív; (ii) f (iii) f szürjektív; injektív; (iv) B f(m) f( A M), bármely M P(A) esetén. (c) Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f bijektív; (ii) f (iii) f bijektív; bijektív; (iv) f( A M) = B f(m), bármely M P(A) esetén. 5. A és B tetszőleges hlmzok és f : A B egy függvény. () Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f injektív; (ii) bármely g, h : C A esetén z f g = f g egyenlőségből következik, hogy g = h. (b) Bizonyítsd be, hogy következő kijelentések egyenértékűek: (i) f szürjektív; (ii) bármely g, h : B C esetén g f = h f egyenlőségből következik, hogy g = h. 6. A reláció egy ekvivlenci reláció z M hlmzon. Minden x M esetén tekintjük z R x = {y M y x} hlmzt. Bizonyítsd be, hogy () R x, x M; (b) h x y, kkor R x = R y, és ellenkező esetben R x R y = ; (c) M = x M R x. Az R x hlmzt z x elem ekvivlenci osztályánk nevezzük. Az M/ szimbólumml ekvivlenci reláció áltl z M -ben meghtározott ekvivlenci osztályok hlmzát jelöljük. Ezt fktorhlmznk is nevezzük. 7. Tekintsük z M nemüres hlmzt és ekvivlenci relációt M -en. Bizonyítsd be, hogy z S : M M/, S(x) = R x függvény szürjektív, és z S(x) = S(y) egyenlőség pontosn kkor teljesül, h R x = R y. Bizonyítsd be, hogy h f : M N egy szürjektív függvény, kkor z x y f(x) = f(y)
14 1. Hlmzok összefüggéssel értelmezett reláció egy ekvivlenci reláció. 8. Bizonyítsd be, hogy h {M i } i I z M nemüres hlmz egy prtíciój, kkor létezik olyn ekvivlenci reláció M -en (és egyértelműen meghtározott), melyre {M i } i I = {R x } x M. 1.2 Számhlmzok Az nlízis lpfoglmink (konvergenci, folytonosság, differenciálhtóság, integrálhtóság) tárgylás szükségessé teszi számfoglom tisztázását. Nem szándékszunk természetes, egész és rcionális számok hlmzánk xiomtikus értelmezésére, úgy gondoljuk, hogy z nlízis szempontjából kiindulópontnk (ismertnek) válszthtjuk rcionális számhlmzt. 1.2.1 Egy péld Tlán legrégebbi péld, mely rávilágít rr, hogy rcionális számhlmz körülöttünk levő világ leírásár nem lklms (nem elégséges), z egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogój és befogój közti rány rcionális számokkl vló kifejezése. Diogenész 7 szerint nnk felfedezése, hogy z egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójánk és befogójánk rány nem rcionális szám, Pitgorászi iskol egyik tgjától, Hippszosztól 8 szármzik, kit társi felfedezése mitt tengerbe dobtk (egyes történészek ezt m már kétségbe vonják, de e tuljdonság kijelentésének korábbi létezését még senki sem igzolt, nnk ellenére, hogy Pitgorász tételt már z ókori bbilóniik is ismerték i.e. 2000 körül). Péld. Bizonyítsuk be, hogy (2.1) p 2 = 2 egyenletnek nincs egyetlen rcionális megoldás sem. Az indirekt bizonyítási módszert lklmzzuk. Feltételezzük, hogy (2.1) egyenletnek p = m/n rcionális szám megoldás. Feltételezhetjük, hogy m és n reltív prímek, vgyis z m/n törtet nem lehet tovább egyszerűsíteni. Az (2.1) egyenletből következik, hogy (2.2) m 2 = 2n 2, tehát m 2 páros. Ez csk úgy lehetséges, h m is páros (ellenkező esetben m is és m 2 is pártln lenne), és így m 2 oszthtó 4 -gyel. Ebből következik, hogy (2.2) egyenlőség jobb oldl oszthtó 4 -gyel, vgyis n 2 páros. Ez ismét csk kkor lehetséges, h n is páros, és ez ellentmond feltevésünknek. 7 Diogensz Lertiosz, i.e. 414-323 8 metpontumi Hippszosz, i.e. 450