Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos 5 () tg 6 () f) cos () sin 6 ()cos() 5 4 + arctg () 4 + 6. ( +) 4 4 5sin ()cos() 7. 4 tg() + f) (+ )arctg() ctg() sin() +cos() 8 arcsin() 8. (+)e + cos( ) sin(ln()) f) e +e tg() cos () e sin( ) cos( )
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. i) l) o) e (+)(e e ) cos() h) e sin() j) (sin() cos()) m) arctg() p) arcsin() e ( )e sin() f) cos() ( )(sin() cos()) e cos() k) e sin()cos() ln() n) (+)ln (). 6 e e ( (+) sin ) ( )ln() h) ( +)e e cos() f) arctg() i) cos() ( +)ln() arctg() Helyettesítéses integrálás. j) m) + + ( + + ) 6 f) 5 + + + 6 e + 6 h) i) 7 e + cos( ) k) sin( ) l) n) o) + 4 e e + e ( 5 ). 4 6 (+) + sin( ) 8 e +e e + e
Integrálszámítás III. Racionális függvények integrálása... 4. + ++5 8 + 5+ + 8+8 ( 4)(+)(+) 5 + ( )( ) 7 4 ++ 6 4 4 + 4+ ( ) (+) 5. 8 8+4 ( +)( 9) 5 +5+7 ( +6+)( ) + ( +4)( 6) 8 +8 4 (9 6+5)(+) 6. 7 9 54 5 5 4 + 5+ 5 +4 4 + +4+ (+) ( +) + +7 4 +5 +4 Irracionális függvények integrálása. i). ( 4 ) ( (+) 5 + 4 + 7 +) 4 f) h) ( + ) +6 5 +9 j) 5 +6 6 4+ 4 4 f) 9 4 6 +6 6 5
Az integrálszámítás alkalmazásai I. Területszámítás. Számítsa ki a görbe és az -tengely közé zárt területet a megadott intervallumban: y = +7 [,] y = +sin() [,] y = e [,] y = sin () 4 [,]. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakban megadott görbe és az-tengely közötti területet a megadott intervallumban: = cos(t), y = sin(t), [,] = t sin(t), y = cos(t), [,] = t t, y = e t, t [,4] = t, y = sin(t), t [,4]. Számítsa ki az adott görbék által határolt korlátos síkrész területét: y = 6 7, y = y = e, y = e y =, y = 4 y = sin(), y = 4. Számítsa ki a paraméteres alakban megadott görbe átal határolt síkidom területét: = t, y = sin(t), t [,] = cos (t), y = sin(t), t [,] = t, y = t 4t [,] Forgástestek térfogata. Számítsa ki az adott görbeívnek az -tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát: y = 4 [, [,] y =,, ] cos() 6 y = e, [,]. Forgassuk meg az y = e, y = e és az = egyenletű görbék által határolt véges tartományt az-tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Mekkora annak a forgástestnek a térfogata, amelyet úgy nyerünk, hogy ugyanezen síkidomot azy-tengely körül forgatjuk meg?. Számítsa ki a következő paraméteresen megadott görbeív -tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát: [ = cos(t), y = sin(t), t, ] = t +t, y = e t, t [,]
Ívhossz számítása. Számítsa ki a görbeív hosszát a megadott intervallumban: y =, [,] y = +, [, ] [ 6 y = lnsin(),, ]. Számítsa ki az alábbi paraméteresen megadott görbeív hosszát a megadott intervallumban: ( ) [ = t, y = t t, t, ] = e t sin(t), y = e t cos(t), t [,ln]
Az integrálszámítás alkalmazásai II. Felszínszámítás. Számítsa ki a görbe-tengely körüli forgatásával nyert forgástest palástfelszínét: y = [,] y = 9 [,] y = [,] y = 4 [,]. Forgassa meg az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel felírt görbék megadott darabját aztengely körül, és számítsa ki a keletkező forgástestek palástjának felszínét: = t, y = t, t [,] = acos (t), y = asin (t), t [, = e t cos(t), y = e t sin(t), t [ ], = cos(t)+ln ( tg ( t Improprius integrálok )), y = sin(t), t [, 4 ] ] Integrálás végtelen intervallumon. j) ln e ln () e + e h) +4 k) + ++ f) e + i) e ( +) (+)e e Adott intervallumon nem korlátos függvény integrálása. ln() f) cos() sin() ln h) () 4 + tg()
Differenciálegyenletek I.. Döntse al, hogy az alábbi differenciálegyenletek hányadrendűek, illetve azt is, hogy lineárisak-e: y tg() y 4 +y e sin() = arccos() y = 5y 4 y (4) ln(y)+sin(y ) =. Döntse el, hogy azy = y + differenciálegyenletnek megoldásai-e az függvények! f() =, illetveg() = e. Határozza meg integrálással azy = differenciálegyenlet általános megoldását, majd az y() =,y () =, y () = kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! 4. Rajzolja fel a következő differenciálegyenletekhez tartozó iránymezőt az y-koordinátarendszerben! Rajzoljon meg néhány integrálgörbét is az iránymező alapján! Mi lehet a differenciálegyenletek megoldása? Sejtését számítással is ellenőrizze! y = y y = y 5. Adja meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenletek általános megoldását! Ha adott valamilyen feltétel, akkor írja fel az ezt kielégítő partikuláris megoldást is! y = y, y() = dy = y, y() = y sin() = yln(y) 6. Írja fel az alábbi elsőrendű lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását: y sin() ycos() = y + y = 7. Oldja meg az állandó variálásának módszerével az alábbi elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y y + = ( y +y = cos ) y +y = e ln()
y + y ln() = 8. Határozza meg az állandó variálásának módszerével az alábbi elsőrendű lineáris differenciálegyenletek adott feltételt kielégítő partikuláris megoldását: y +ytg() = cos (), y() = y + y =, y() = + y y =, y() = + 9. Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket: y +y = sin() y y = 4 y +y = (e +e ) y 4y = 5 4 cos()+. Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú elsőrendű differenciálegyenletet, figyelve a rezonanciára: y y = e +
8. hét Differenciálegyenletek II.. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrendű lineáris, homogén differenciálegyenletek általános megoldását: y y y = y +5y = y 6y +9y = y +4y = y y +y =. Oldja meg próbafüggvény-módszerel az alábbi másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y +y = 4y +y = 85(e e ) y +y +y = cos() 5sin() y +y = (+)e y 6y = e sin() f) y y = 5 cos(). Oldja meg próbafüggvény-módszerel az alábbi másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y y y = 6(e ) y +9y = sin() cos() y 4y +4y = e +4 y y = e +(6+5)e 4. Adja meg a következô differenciálegyenleteknek az adott feltétel(ekt kielégítô partikuláris megoldását: ( y +y = y() = y ) = e y +y = cos() y() = y y = e y() = y () = 4
Laplace-transzformáció Képezze a következő függvények Laplace-transzformáltját:. e t e t+ e 5t sin(t) cos(t) f) t 5t 4 h) 8t 6. e t 5 t +e t sin(4t) cos(t) sin(t) cos(5t) 4t t +7t. e 4t e t 4e t e t sin(t)+sin (t) sin(t) t 7t+6 t 4. e t sin(t) e t cos(7t) e t (sin(t) cos(4t)) e 6t (4t t +t 4) 5. t sin(t) t cos(t) Határozza meg a következő függvények inverz Laplace-transzformáltját:.. s 4s+ s +s 4 s s +s 6 s s 6s s + s s+6 (s +4)(s+6) s s +4 4s s+9 (s )(s ) Határozza meg a következő differenciálegyenletek, illetve differenciál-egyenletrendszerek megadott kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldását Laplace-transzformáció alkalmazásával:. y +y = 8e 5 y() = 4 y 5y = 5 y() = y +y = sin(4) y() = y +y = cos() y() = y y = 4 e y() = f) y y = e y() =. y +9y = 9 y() = y () = y +y +y = e y() = y () = y +4y = 68sin() y() = y () = y +y = + y() = 4 y () =
Numerikus sorok. Vizsgálja meg az alábbi számsorok konvergenciáját. Ha konvergensek, akkor számítsa ki az összegüket: + k +5 k k+ k+ 5 k k= k k= ( ) k a k ( ) k b, (b ) f) ( ) k, k= a + k= b k= ( ) k, k+ k=. Határozza meg a következő sorok összegét résztörtekre bontással: k(k +)(k +) k= ( k ) ( k ). Számítsuk ki a a k sor összegét, haa =,a n = a n, han egész, és a n+ = a n 4, han egész! 4. A konvergencia szükséges feltételét felhasználva mutassa meg, hogy a következő sorok divergensek: ( ) 5k 5k + k k + k 5k + k k k k 5. Mutassa meg, hogy a következő (harmonikus sorra visszavezethető) sor divergens: k= ( k ) ( k ) 6. A majoráns és a minoráns kritérium alkalmazásával döntsük el, hogy a következő sorok közül melyik konvergens és melyik divergens: (k ) k (k +)(k+4) k + +k k + f) k= k 4k +5 +k (k +)k ( tg h) i) 4k) k ln(k +) j) k +k
7. Döntse el hányadoskritérium segítségével, hogy a következő sorok konvergensek-e: k k k! (k +)(k +) k= k! k k k k= k! ( ) k! (k +)! k k f) k h) k k k k! k 8. A gyökkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következő sorok konvergense-e: k kp k k, ahol < p < k k k k sin k( ) k ( ) k ( k k + f) k k + k + k + (arctg(k)) k (k +) k 9. Integrálkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következő sorok konvergensek-e: k + k= k ln(k ) k + k= k ln (k), ahol α > f) kα k k +(k +) h) k + (k +)ln i) (k +) k= kln(k) j) k e k. Vizsgálja meg a következő váltakozó előjelű sorokat konvergencia szempontjából: ( ) k+ ( ) k k k ( ) kk + ( ) k k+, k +k k= ) k
Függvénysorok. Határozza meg a következő függvénysorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét: ( ) k e k tg k e () k. Határozza meg a következő hatványsorok konvergenciatartományát: k! k k k k k= k k k kk 5 k k! k k + k! k k f) k k( )k. Írja fel az alábbi függvények -körüli harmadrendű Taylor-polinomját: f() = = f() = ln() = e f() = = f() = 7 = sin() k= 4. Írja fel az alábbi függvények Maclaurin-sorát és határozza meg, hogy az melyik tartományban állítja elő a függvényt: f() = sin() f() = e f() = e f() = ln( ) 5. Az = körüli harmadrendű Taylor-polinom alkalmazásával adja meg az alábbi függvények közelítő értékét a megadott helyen és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára: f() = e =, f() = + =, f() = cos() =, f() = arctg() =, 6. Az integrandus = körüli negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával adja meg az alábbi integrálok közelítő értékét és adjon felső becslést a közelítő érték hibájára:,, sin() e, 7. Az integrandus = körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával számítsa ki az alábbi integrálok közelítő értékét úgy, hogy a pontos értéktől való eltérés legfeljebb 6 legyen:, e,6,5 sin() +,4 k= k=
Fourier-sorok Fejtse Fourier-sorba a következő függvényeket: ha. f: R R, f() = < ha < { 6 ha < <. f: R R, f() = ha < < { ha < <. f: R R, f() = ha < < és R esetén f(+) = f() és R eseténf(+) = f() és R esetén f(+) = f() { ha < 4. f: R R, f() = + ha < és R esetén f(+) = f()
Többváltozós függvények I.. Határozza meg a következő függvények értelmezési tartományát: f(;y) = y f(;y) = ln(+y) f(;y) = + y f(;y) = 4 y. Határozza meg a következő függvények megadott értékekhez tartozó szintvonalainak egyenletét: z = +y + z =, z = z = +y z =, z = 9 z = y z =, z = 8 z = 4 +y z =, z = 5. Határozza meg a következő többváltozós függvények parciális deriváltfüggvényeit: f(;y) = 6 y +y f(;y) = ln( y )+e y f(;y) = cos(y ) f(;y;z) = ln(yz) 4. Határozza meg az alábbi függvények parciális deriváltjait a megadottp pontban: ( ) e ( z = ln ; P sin ; ) z = tg( y) ; P (;) (y) ( ) +y z = arctg ; P (;) y 5. Határozza meg a következő függvények teljes differenciálját: f(;y) = y f(;y) = e +y y f(;y) = sin ()+cos(y)
Többváltozós függvények II.. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények iránymenti deriváltját az adott v irányvektorú egyenes mentén az adottp pontban: f(;y) = cos ( y) ; v( ; ) ( ; P ; ) 4 f(;y) = sin( +y ) ; v ( ; ) ( ) ; P ; f(;y) = ln() ln(y) ln(y) ln() ; v( ;4) ; P (e;e ). Határozza meg a következő függvények szélsőértékeit: f(;y) = (5+ y) e f(;y) = e y f(;y) = 5 +4 y f(;y) = e (+y ) f(;y) = +y +y +y + f) f(;y) = +y y. Határozza meg az = y felületnek az origóhoz legközelebb eső pontját! 4. Egy derékszögű háromszög rövidebbik befogójának hosszát a = 5 ±, cm-nek mértük, másik befogójának hosszát pedig b = ±, cm-nek. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút, illetve relatív hibával számítható ki az átfogó hosza; a háromszög területe; tg(β), ahol β a b oldallal szemközti szög! 5. A véges növekmények tétele segítségével adjon közelítést az alábbi kétváltozós valós függvények megadott pontban felvett értékére egy olyan közeli pontból kiindulva, ahol a függvényérték könnyen számolható: f(;y) = ln( y ), P(,;,96) f(;y) = (y) (y +), P(,98;,) 6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények kettős integrálját a megadott T tartományon: f(;y) = y T = { (;y) }, y 4 { f(;y) = sin(y) T = (;y) }, y f(;y) = 54y T = { (;y) }, y arctg() + f(;y) = sin() T = {(;y) } y, cos() y cos()
7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját a csúcsaival megadott sokszögtartományon: f(;y) = e y A(;), B(;), C(;) f(;y) = y A(;), B(;), C(4;4) 8. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kettős integrálját azon a korlátos tartományon, amelyet a következő egyenletekkel megadott görbék határolnak: f(;y) = y e = y, = y f(;y) = y (+) = y, = y, y =