5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő kifejezés előjelével vizsgáltuk IX. osztálbn z f függvén monotonitását. H ez tört minden, (, b) esetén pozitív, kkor z f növekvő és h tört minden, (, b) esetén negtív, kkor z f függvén csökkenő. A Lgrnge tétel segítségével z előbbi tört értéke mindig helettesíthető derivált vlmilen behelettesítési értékével, tehát úg tűnik, hog függvén monotonitás szoros összefüggésben vn deriváltjánk előjelével. Az biztos, hog h derivált mindig pozitív, kkor z f függvén növekvő. A kérdés z, hog tuljdonság fordítv is igz-e (ugnis nem biztos, hog minden (, b) -beli érték előállíthtó vlmilen intervllumon Lgrnge tételben szereplő c -ként). Eg növekvő f f ( ) f ( ) függvén esetén z tört nem negtív, tehát derivált értelmezése lpján derivált minden pontbn pozitív. Ez lpján kijelenthetjük következő tételt: Tétel. Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. ) H f ( ) > minden (, b) esetén kkor függvén z (, b) -n. (, b) b) H f ( ) minden (, b) esetén kkor intervllumon. c) H f ( ) < minden (, b) esetén kkor függvén z (, b) -n. (, b) d) H f ( ) minden (, b) esetén kkor intervllumon. f szigorún növekvő f növekvő függvén z f szigorún csökkenő f csökkenő függvén z A b) és d) állítások fordítottj is igz. Az ) és c) állítások fordítottj nem igz, ezt tétel következméne után fogjuk látni. Bizonítás. Igzoljuk z ) lpontot, többi bizonítás hsonlón történik. Bárhogn dunk is meg z (, b) intervllumból két pontot, Lgrnge tétel < lpján vn oln < c < pont, hog teljesüljön z f ( ) ( ) ( ) f = f c ( ) egenlőség. H f ( ) > minden (, b) esetén, kkor f ( c) > és íg > -ből következik, hog f ( ) < f ( ). Mivel z (, b) két tetszőleges pontj volt, ezért < f szigorún növekvő függvén z (, b) intervllumon.
Függvének tnulmánozás 5 Következmén. H z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvén deriváltj z (, b) -n, kkor z f függvén konstns. Bizonítás. Az előbbi tétel lpján f növekvő is és csökkenő is, tehát < esetén teljesül z f ( ) f ( ) egenlőtlenség is és z f ( ) f ( ) egenlőtlenség is. Ez csk úg lehetséges, h f ( ) = f ( ), tehát függvén konstns. Ez tuljdonság Lgrnge tételből direkt úton is levezethető. Megjegzés. A tételben is és következménben is léneges z, hog függvén eg intervllumon értelmezett. H például z f :(,) (, ),, h (, ) f ( ) =, h (, ) függvént tekintjük, láthtó, hog z értelmezési trtománnk minden pontjábn deriválhtó, f ( ) =, (, ) (, ) de z f függvén mégsem állndó z értelmezési trtománon. Ugnkkor z f :[,] [,], ( ) ( ) 4,h, f ( ) =,h, függvén deriváltj szigorún pozitív és függvén mégsem növekvő, mert f () = 4 > = f (). Szélsőérték-pontok meghtározás. A Fermt tétel lpján, h függvén deriválhtó és szélsőértéke vn z intervllum belsejében, kkor ezen helen derivált null. A szélsőérték-pontok meghtározásánál tehát derivált zérusheleit kell meghtározni. A kifejezésmód egszerűsítése céljából következő értelmezést djuk: Értelmezés. Az f : D deriválhtó függvén esetén z S ( ) f = { int D f = } hlmz elemeit f stcionárius pontjink nevezzük. A Fermt tétel lpján szélsőérték-pontok mindig stcionárius pontok. Az f :, f ( ) = függvénre f ( ) =, de z = pont nem szélsőértékpont, tehát z előbbi állítás fordítottj nem igz. Adjunk eg szükséges feltételt rr vontkozón, hog eg stcionárius pont szélsőérték-pont legen. H f :(, b) deriválhtó függvén és f :(, b) foltonos, eg stcionárius pont és z függvénnek előjelváltás vn z -bn ( f ( ) <, h ( δ, ) és ) δ +, h + * f ( ) > (, δ, hol vg fordítv) kkor z f függvénnek z (, b ) pontbn szélsőértéke vn. H f ( ) <, ( δ, ) esetén, kkor ezen z intervllumon z feltétel lpján f függvén csökkenő. Az f ( ), > f (, + δ) f növekvő z (, + δ) intervllumon. Az f foltonosság lpján
5 Függvének tnulmánozás f ( ) f( ), ( δ, + δ ) és íg ebben z esetben lokális minimumpont z. H ( δ, ) esetén f ( ) > és (, + δ) esetén f ( ) <, kkor függvén z ( intervllumon növekszik, és z (, + δ) δ δ, ) intervllumon csökken, tehát lokális mimumpont. Mindkét esetet következő tábláztbn láthtjuk: f f Mimumpont ( ) ++++++ f ( ) ( ) + δ Minimumpont δ f ( ) f ( ) f ( ) ++++++ + δ Megoldott gkorltok és feldtok. Az f :(, + ), f ( ) = ln függvénre f ( ) = > z I = (, + ) intervllumon, ezért függvén szigorún növekvő z I -n.. Az f : \{ }, f ( ) = + függvénre f ( ) = =, tehát stcionárius pontok = és =. Az lábbi tábláztbn megvizsgáltuk derivált előjelét és ez lpján meghtároztuk z f monotonitási intervllumit. δ + δ f ( ) ++++ ++++ f ( ) + Az f függvén z I = (, ] intervllumon növekvő, és z I = [, ) intervllumon csökkenő, mivel előjel váltás vn z = pontbn, ezért heli mimumpont. Az f függvén z I = (,] intervllumon csökkenő, és z I = [, + ) 4 intervllumon növekvő, mivel előjel váltás vn z = pontbn, ezért heli minimumpont Az előbbiek lpján f ( ), h >, és f ( ), h <. Ezeket z egenlőtlenségeket már IX. osztálbn is igzoltuk és függvén monotonitását is vizsgálhttuk voln IX.-es módszerrel. Bonolultbb függvének esetén zonbn lehetséges, hog csk deriváltk hsznált vezet eredménhez.
Függvének tnulmánozás 5. Bizonítsuk be, hog < sin <, h >. 6 Megoldás. Az f :(, ), f ( ) = sin függvénre f () = cos, >, tehát függvén növekvő (, ) intervllumon. Ebből következik, hog f () f ( ), >. Tehát < s in, > és íg z második egenlőtlenség igz. Az első egenlőtlenség igzolásához vizsgáljuk meg z f :(, ), f () = sin függvént. 6 ( ) f = cos. Mivel nem tudjuk eldön- teni, hog ez kifejezés milen előjelű, z h >. De f () = és íg f (), h >, vgis f csökkenő (, ) f előjelét is deriváltj segítségével htározzuk meg. f () = sin < z előbbi egenlőtlenség lpján, tehát z függvén csökkenő (mert deriváltj negtív). Ebből következik, hog f () f ( ), intervllumon, hol f intervllumon. Ez lpján f( ) f () =, tehát kért egenlőtlenséget igzoltuk. n lnk ln 4. Bizonítsuk be, hog ln ( n + ) ln < < ln n ln +. k= k ln Megoldás. Az f ( ) =, > függvén z ln F =, > függvén deriváltj. A F függvén teljesíti Lgrnge tétel feltételeit minden kk, + lkú (, ) k {, 4, 5, 6,..., n }, tehát minden k {, 4, 5, 6,..., } n esetén lnc létezik c k k + úg, hog ln ( k + ) ln k = c. Az ln f ( ) = ln( k + ) lnc l egenlőség lpján f () < h e és íg < < n k. Ez lpján: k + c k ln( k + ) ln k < ln ( k + ) ln k <, k + k h k. Ezt z egenlőtlenséget hsználjuk z összeg lsó és felső becslésére: n n n ln k ln ln k ln = + < + ln k ln ( k ) k= k k= 4 k k= 4 Az egenlőtlenség jobb oldlán megjelenő összegben tgok egszerűsödnek, és éppen kért egenlőtlenség jobb oldlához jutunk. n n l k ln ( k ) ln k + < n, k= k= k n tehát ln ( k + ) ln k = ln ( n + ) ln k= egenlőség lpján bizonítndó egenlőtlenség első része is igz.
54 Függvének tnulmánozás 5. Bizonítsuk be, hog z f :[, ), függvén konstns. Bizonítás. Kiszámítjuk z f függvén deriváltját. ( ) ( ) ( + ) f ( ) = rccos rctg + + f ( ) = = + + 4 = =, + + tehát f () =, > esetén. Ebből következik, hog függvén konstns (, + ) intervllumon. Mivel f () = trtománon, következik, hog f ( ) = > esetén és íg = és függvén foltonos z értelmezési rccos rctg, h. + 6. Htározzuk meg z összes oln f : deriválhtó függvént, melre f () = f(),. Megoldás. Nullár redukáljuk és beszorozzuk e -nel kpott egenlőséget. Íg z f () e + f()( ) e = egenlőséghez jutunk, honnn következik, hog g :, g ( ) = e f ( ) függvén deriváltj identikusn null z -en, tehát ez függvén konstns. Az e f( ) = c összefüggésből következik, hog f ( ) = c e,. 7. Írj z oldlélű kock köré minimális térfogtú szbálos négoldlú gúlát úg,. ábr hog z lpj kock egik lpjánk síkjábn legen és C kock többi nég csúcs gúl oldlélein helezkedjen el. Megoldás. Mivel gúl szbálos kell legen, csk z AC = h mgsságot kell meghtározzuk (lásd. ábrát). OM h + Az ábr szerint AB =, AO = és =, tehát h A B ( + h) OM =, és gúl lpj OM. Következik, hog h ( OM ) ( + h) ( + h) O gúl térfogt V ( h ) = =. A M h térfogt minimális lesz, h V =. Az egenlet: ( h) h h( h) V + + = = 4, h h( + h) =, h h =, h és mivel h >, kpjuk, hog h =.
Függvének tnulmánozás 55 Gkorltok. Tnulmánozzuk következő függvének monotonitását: ) f : \{ }, f ( ) = ; * b) f :, + f ( ) = ln ; c) f :[, π], f ( ) = sin + cos ; d) f :, f ( ) = + +.. Vn-e z f : π π,, f ( ) = rctg függvénnek szélsőértéke?. Htározd meg z f :, f ( ) = 6 függvén szélsőérték-pontjit! 4. Htározd meg z f :, f ( ) = e függvén monotonitási intervllumit. Monotonitás vizsgált. 5. Bizonítsd be, hog h z F és G függvének z [, b] intervllumon deriválhtók és minden [, b] esetén F ( ) G ( ), vlmint F () = G (), kkor F ( ) G ( ), [, b]. 6. Adott z f, g : \{}, f ( ) = rctg és g( ) = rctg függvén. Számítsd ki f ( ) -et és g ( ) -et! Mit állíthtsz z f és g függvének monotonitásáról z I =,) és z I = (, + ) intervllumokon? ( 7. Bizonítsd be, hog h z f : függvénre f ( ) g( ) ( ) minden vlós és esetén, kkor f konstns függvén! 8. Tegük fel, hog g : függvén deriváltj korlátos ( g ( ) M ). Legen ε > rögzített és f ( ) = + ε g( ), esetén. Bizonítsd be, hog h ε elég kicsi, kkor f injektív! 9. Bizonítsd be, hog h c, c,, c vlós számokr n kkor c + c + c +... + c n n c c c c + +... + n =, n + n + c = egenletnek vn leglább eg göke és között!. Bizonítsd be, hog h z f : függvén deriválhtó és lim f ( ) =, + * kkor g :, g ( ) = f ( + ) f ( ), > függvénre lim g( ) =. +. Bizonítsd be, hog h z f : feltételek: ) f foltonos esetén, b) f ( ) létezik > esetén, + n + + függvénre teljesülnek következő
56 Függvének tnulmánozás c) f monoton növekvő, * kkor g : f +, ( ) ( ) g = ( > ) függvén növekvő!. Igzoljuk következő egenlőtlenségeket: ) e > +, h ; b) < ln( + ) <, h > ;. Igzoljuk, hog π < sin <, h < <. π 4. Eg l mgsságú szobrot eg h mgsságú tlpztr heleztek el. A szobortól milen távolságr kell megállnunk, h mimális szög ltt szeretnénk látni szobrot? 5. Eg kúp lkú tetőszerkezet lá el szeretnénk rejteni eg henger lkú hordót. Mekkor lehet hordó térfogtánk mimális térfogt, h tető lkotói z lppl 45 -os szöget zárnk be és z lpkörének sugr R? 6. Jelöljük f ( ) -szel z R lpkörű és lkotójú kúp térfogtánk és beleírhtó gömb térfogtánk ránát. Htározd meg z f ( ) minimumát! 7. Eg b méretű krtonlp nég srkából kivágunk eg-eg oldlú négzetet és keletkezett nég tégllpot feltűrjük úg, hog eg hsáb lkú dobozt kpjunk. Htározd meg z értékét úg, hog keletkezett doboz térfogt mimális legen! 8. Eg R sugrú körlpból kivágunk eg α középpontú szögnek megfelelő körcikket és mrdékból eg tölcsért készítünk (veszteségmentesen). Mekkor α esetén lesz tölcsér térfogt mimális? 9. Eg tőlünk d távolságr és n d mgsságr levő céltáblár lövünk íjjl. Leglább mekkor kell legen nílvesző kezdősebessége hhoz, hog elérje célt, h légellenállást nem vesszük figelembe?. Két párhuzmoson kötött R és R ellenállású vezetéken összesen I erősségű árm hld át. Milen összefüggés áll z ellenállások és rjtuk áthldó ármerősségek közt, h rendszerben Joule-Lenz effektusnk köszönhető hőveszteség minimális? (Az R ellenálláson z I árm áltl generált hőveszteség R I ) 8.. A deriválhtóság tnulmánozás Lgrnge tétel segítségével A Lgrnge tételből következik z lábbi tétel: Tétel. H z f :( ε, + ε) függvén foltonos és deriválhtó z { } ( ε, + ε)\ függvén hlmzon és létezik -beli deriváltj létezik és egenlő lim f ( ) htárérték, kkor z f lim f ( ) htárértékkel. Bizonítás. Legen ( ε, + ε) eg tetszőleges pont. Az [, ] vg [, ] intervllumon lklmzhtó Lgrnge tétel (mert végpontbn nem szükséges deriválhtóság), tehát létezik oln c f ( ) f ( ) (, ), melre f ( c ) =. H
Függvének tnulmánozás 57, kkor c (, ) lpján z előbbi egenlőség bl oldlán szereplő kifejezésnek létezik htárértéke és ez htárérték kifejezésnek is vn htárértéke és ez is lim f ( ) deriválhtó -bn és deriváltj -bn lim f ( ), tehát jobb oldlon álló lim f ( ). Ez zt jelenti, hog függvén + +, Alklmzások.. Tnulmánozzuk z f :, f ( ) = e, > függvén deriválhtóságát. Megoldás. A függvén foltonos és deriválhtó z \{ } hlmzon, mert elemi függvénként viselkedik ennek hlmznk minden pontj körül. Tehát elégséges megvizsgálni foltonosságot és deriválhtóságot z = pontbn. lim f ( ) =e > = <. lim f ( ) = = f(), tehát függvén foltonos -bn. +, < = Másrészt írhtjuk, hog f (), tehát li m f ( ) = e = és e, > < Az előbbi tétel értelmében f deriválhtó nullábn és f () =. Megjegzés. Láttuk, hog h eg intervllumon értelmezett függvén deriválhtó, kkor deriváltj Drbou tuljdonságú. Ugnkkor h eg függvénnek elsőfjú szkdási pontj vn, kkor nem Drbou tuljdonságú. Emitt h z f : ε, + ε) ε, + ε \{ } hlmzon és derivált jobboldli htárértéke nem egenlő derivált bloldli htárértékével, kkor függvén nem deriválhtó z pontbn.. Htározzuk meg z b, prméterek értékét úg, hog z f :, f ( ) és 4 ( ) Megoldás. A foltonosság feltétele: lim f ( ) = lim f ( ) = > hog b =. Az előbbi tétel és megjegzés értelmében deriválhtóság feltétele: li m f ( ) = lim f ( ), > < < > lim f ( ) = egenlőségek lpján létezik lim f ( ) htárérték és lim f ( ) =. ( függvén foltonos és deriválhtó z ( ) 4 + +, < = függvén deriválhtó legen. b + ln +, tehát =. f (). Ebből következik,
58 Függvének tnulmánozás Gkorltok Tnulmánozd következő függvének deriválhtóságát: ln( + ), >. f :, f () = ; 4, sin, >. f :, f ( ) = ; +, e, <. f :, f () = ; + + b, rctg, < 4. f :, f () = ; sin, m {,, }, 5. f :, f ( ) = ; min { +,, e }, > rctg + b, 6. f :, f ( ) = ; b +, >, \ 7. f :, f ( ) =., 8.. Konve és konkáv függvének Ebben prgrfusbn I intervllum. A X. osztál számár írt tnkönvben következő értelmezést dtuk: Értelmezés.. Az f : I függvén pontosn kkor konve, h bármel, I ( < ) és bármel λ [, ] esetén f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ).. Az f : I függvén pontosn kkor konkáv, h bármel, I ( < ) és bármel λ [, ] esetén f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ). Megjegzés. Szemléletesen ez zt jelenti, hog konve függvének grfikus képének minden húrj hozzá trtozó ív fölött helezkedik el és konkáv függvének esetén z ív vn húr fölött. Ebből következik, hog tetszőleges n oldlú sokszög esetén, h csúcsok eg konve függvén grfikus képén helezkednek el, kkor sokszög vlmilen λ, λ, λ,..., λn súlokhoz trtozó tömegközéppontj szintén sokszöget burkoló ív fölött helezkedik el. Konkáv sokszög esetén tömegközéppont
Függvének tnulmánozás 59 z ív ltt helezkedik el. Ezeket tuljdonságokt Jensen egenlőtlenség trtlmzz: Tétel (Jensen) Az f : I,,..., n I függvén kkor és cskis kkor konve z I -n, h minden és bármilen λ, λ,..., λ [, ], λ = esetén n n f λk k λkf ( k). k= k= Megjegzés.. H λ = λ =... = λn = kkor z előbbi egenlőtlenség n n n következő lkbn írhtó: f k f ( k) n k= n k=. Az előbbi tétel indukcióvl is igzolhtó. H z f konve függvén z [, b] intervllumon deriválhtó, kkor függvén grfikus képének bármel pontjáb húzott érintője grfikus kép ltt vn. Konkáv függvének esetén z érintő mindig grfikus kép felett vn. Ebből láthtó, hog konveitásnk (konkvitásnk) deriválhtó függvének esetén dhtunk más értelmezést (jellemzést) is. Látni fogjuk, hog z elsőrendű derivált még nem elégséges, ezért kétszeresen deriválhtó függvénekkel fogllkozunk. Ebben prgrfusbn megvizsgáljuk, hog mi z összefüggés függvén konveitás (konkvitás) és foltonosság közt és kétszer foltonosn deriválhtó függvének esetén megdjuk konveitás jellemzési tételét függvén második deriváltj segítségével. Értelmezés. Az f : I függvén I pontbeli különbséghándosfüggvénének nevezzük K : I \{ } ( ) ( ), ( ) f f K = függvént. Tétel. Eg nem elfjuló intervllumon értelmezett vlós függvén pontosn kkor konve, h minden különbséghándos-függvéne növekvő. Bizonítás. Legen I D intervllum (D függvén értelmezési trtomán) és z I eg tetszőlegesen rögzített pont. Tételezzük fel először, hog f konve függvén. Be kell látnunk, hog minden I esetén K növekvő vgis, hog minden, I \{ }, < esetén Mivel, λ (, ) úg, hog = λ + ( λ). Íg z f n n k= () K ( ) K ( ) Az,, számok elhelezkedését illetően három eset lehetséges: ) < < ; b) < < ; c) < <. ( ) konveitásából egszerű átlkítások során következőket kpjuk: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f λf + λ f f K ( ) = = k
6 Függvének tnulmánozás ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f = λ = f = = K ( ), vgis z ) esetben igz z egenlőtlenség. Teljesen nlóg módon igzolhtó b) esetben is. A c) eset vizsgált visszvezethető z előbbi két esetre. Felhsználv, hog () fennáll z ) és b) esetben, vlmint különbséghándos-függvénekre triviálisn érvénes ( ) K ( ) K ( ) = (, I, ) következőket kpjuk: K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = K K ( ) = K K = K vgis z ( ) egenlőtlenség fennáll c) esetben is. Tételünk első részét ezzel igzoltuk. Tételünk második részének igzolásához induljunk ki bból, hog f mindenik különbséghándos-függvéne növekvő és rögzítsük tetszőlegesen z, I, < pontokt. Legen továbbá (, ) tetszőlegesen rögzített és értelmezzük λ =, λ (, ) számot. Íg = λ + ( λ) és λ =. Felhsználv ezeket z egenlőségeket és különbséghándos-függvének ( ) -es tuljdonságát, egszerű átlkításokkl kpjuk, hog f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f K ( ) ( ) = K = =. ( λ)( ) Másrészt f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f K ( ) ( ) = K = =. ( λ)( ) A K függvén monoton növekvő, ezért z előbbi egenlőségekből z dódik, hog f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f ( λ)( ) λ( ) vgis f ( λ ( ) ) ( ) + λ = f λf ( ) + ( λ) f ( ) ez éppen zt jelenti, hog z f függvén konve. Tétel. H z f : I függvén konve (I (,) b ), kkor minden I pontbn létezik z f jobb- és bloldli deriváltj és f foltonos z ( b, ) intervllumon. Bizonítás. A függvén növekvő z jobb és bl oldlán, tehát létezik < K > ( ) = K ) < = lim K ( ) és lim K ( ) htárérték. H < < < b, z előbbi tétel lpján K K ( ( ) K ( ) bármel < < esetén. Ebből következik, =
Függvének tnulmánozás 6 hog f b ( ) f j ( ) f b ( ) f j ( ). Íg z intervllum belső pontjábn szélső deriváltk nem lehetnek végtelenek, tehát minden belső pontbn függvén jobbról is és blról is foltonos. Ebből következik, hog függvén konveitási trtomán belső pontjibn foltonos. A bizonításból z is kitűnik, hog h függvén deriválhtó és konve, kkor deriváltj növekvő. Ebből következik kétszer deriválhtó konve függvének jellemzési tétele: Tétel.. Az f : I kétszer deriválhtó függvén pontosn kkor konve, h másodrendű deriváltj nem negtív.. Az f : I kétszer foltonosn deriválhtó függvén pontosn kkor konkáv, h másodrendű deriváltj nem pozitív. Bizonítás. H másodrendű derivált nem negtív, kkor z elsőrendű derivált növekvő függvén. H < <, kkor lklmzzuk Lgrnge tételt z [, ] és [, ] hlmzokon, tehát létezik c < < c úg, hog f () f ( ) ( ) () ( ) ( ) f = f c < f c = f. Ebből z egenlőtlenségből következik, hog ( ) f( ) ( ) f ( ) + ( ) f ( ) és ez z egenlőtlenség konveitás értelmezésében szereplő egenlőtlenség z = ( λ) + λ jelöléssel. H f kétszer foltonosn deriválhtó és konve kkor z előbbi tétel bizonítás lpján deriváltj növekvő és íg másodrendű derivált pozitív. Ez tétel lehetővé teszi konveitás egszerű vizsgáltát ngon sok elemi függvén esetén. Láthtó, hog kétszer foltonosn deriválhtó függvén konveitását cskis másodrendű derivált zérusheleiben változtthtj meg. A könnebb leírás érdekében következő értelmezést djuk: Értelmezés. H z f :( ε, + ε) függvén z ( ε, intervllumon ) konve és z (, + ε) intervllumon konkáv vg fordítv, kkor z pontot z f függvén infleiós (vg áthjlási) pontjánk nevezzük. Mivel Drbou tuljdonságú függvén csk zérusheleiben váltht előjelt, igz következő tétel: Tétel. H z f :(, b) függvén kétszer deriválhtó és (,) b eg infleiós pontj f -nek, kkor f ( ) =. Megjegzés. H függvén másodrendű deriváltj nem létezik vg nem foltonos z értelmezési trtománon, kkor függvénnek lehet oln áthjlási pontj is, melben másodrendű derivált nem.
6 Függvének tnulmánozás A másodrendű derivált és szélsőértékek kpcsolt f ( α ) > = α A szélsőérték-pontok vizsgáltkor láttuk, hog stcionárius pontok közt lehetnek oln pontok is, melek nem szélsőérték-pontok. A szemlélet zt sugllj, hog h eg stcionárius pont konveitási trtomán belsejében vn, kkor z biztosn szélsőértékpont (hsonlón konkáv függvének esetében is). Erre vontkozik következő tétel: Tétel.. H z f :(, b) függvén kétszer deriválhtó, α (,) b eg stcionárius pontj és, kkor z pontbn lokális (heli) minimumpont vn.. H z f :(, b) függvén kétszer deriválhtó, α (,) b eg stcionárius pontj és f ( α) <, kkor z = α pontbn lokális (heli) mimumpont vn. Példák. Mivel ( sin ) = sin minden [, π], ezért z f ( ) = sin függvén ezen z intervllumon konkáv. 4 4. Az f :[,], f ( ), = [,] intervllumon = ( ) f > = (, ) f csökkenő, mert konve függvén.. Az f :, f ( ) = 6 függvén esetében f ( ) = 6 6, f "( ) =. A függvénnek ott lehet szélsőértéke, hol f ( ) =. Esetünkben 6 6=, zz = vg =. A függvén z I = (, ) intervllumon növekvő, mert ( ). Az I intervllumon f ( ) < ; z I = (, + ) intervllumon ismét monoton növekvő, mert f ( ) >. Ugnkkor f ( ) <, h < és f ( ) >, h >. Tábláztb fogllv: + f ( ) ++++ 6 ++++ f ( ) ++++ ++++ f ( ) konkáv 4 konkáv konve 4 Konve M Infleiós pont Min Gkorltok és feldtok. Tnulmánozd következő függvének konveitását és konkvitását! π π ) f :, f ( ) = cos ; b) f :,, f ( ) = tg ; c) f :, f ( ) = e ; d) f :, f ( ) = rctg ; 5 6 4 e) f :, f ( ) = ; f) f :, f ( ) = + 4.. Tnulmánozd következő függvének konveitási és konkvitási szkszit és htározd meg z infleiós pontjit ( függvének mimális értelmezési trtománukon értelmezettek): 5 ) f ( ) = ; b) f ( ) = + ( > ) ; c) f ( ) = + ;
Függvének tnulmánozás 6 d) f ( ) = + ; e) f ( ) sin = + ; f) f = ln + ; ( ) ( ) g) ( ) f = + ; h) f ( ) = + sin ; i) f ( ) n > ln j) f ( ) = e ; k) f ( ) = ln ; l) f ( ) =.. Bizonítsd be, hog h z f :(, b) foltonos függvénre n = ( ); + f ( ) + f ( ) f minden, (, b) esetén, kkor f konve. 4. Bizonítsd be, hog h f konve z (, b) intervllumon és < < < < b, kkor f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). 8.4. Függvének ábrázolás 8.4.. Aszimptoták A nem korlátos síkgörbék (melek nem helezhetők el eg tégllpbn) esetében feltevődik z kérdés, hog görbe nem korlátos ági nem közelednek-e (bizonos értelemben) minden htáron túl eg egeneshez? H ilen egenes létezik kkor ezt z egenest görbe ( grfikus kép) szimptotájánk nevezzük. Az szimptotákt három csoportb osztjuk:. függőleges szimptoták (z O tengellel párhuzmos szimptoták);. vízszintes szimptoták (z O tengellel párhuzmos szimptoták);. ferde szimptoták (egik tengellel sem párhuzmos szimptoták).. Függőleges szimptoták Az = függőleges egeneshez minden htáron túl kkor közeledhet grfikus kép, h -bn függvén jobb- vg bloldli htárértéke vg. Ezt következő értelmezésben rögzítjük: Értelmezés. H vlmel ( ) pontbn z f : D függvénnek vg bloldli vg jobboldli htárértéke végtelen, kkor z = egenes (párhuzmos z O tengellel) függvén grfikonjánk függőleges szimptotáj. Megjegzés. H f értelmezett és foltonos z pontbn kkor lim f = lim f = f ( ) ( ) ( ) < > tehát függvén grfikonjánk z = pontbn nincs függőleges szimptotáj ( foltonossági pontokbn nincs függőleges szimptot). Példák π π. Az f :,, f ( ) = tg függvén esetében lim tg =+ és π π π lim =, tehát z = és z = egenesek függőleges szimptoták. π,
64 Függvének tnulmánozás H tngens függvént mimális értelmezési trtománon vizsgáljuk, végtelen sok π függőleges szimptotát láthtunk és ezek z = ( k + ) egenletű egenesek.. Az f :(, ), f ( ) = ln függvénnek z O tengel függőleges szimptotáj, mivel li m ln =. log π O tg π O 4. ábr 5. ábr. Az f ( ) = függvénnek z O tengel függőleges szimptotáj, mivel lim =, li m =+. O 6. ábr
Függvének tnulmánozás 65. Vízszintes szimptoták Az előbbi ábrán z is láthtó, hog grfikus kép közeledik z = egenletű egeneshez, mikor ±. Az = egenletű egenest függvén vízszintes szimptotájánk nevezzük. Érvénes következő értelmezés: Értelmezés. Az = egenletű egenest z f :(, ) függvén vízszintes szimptotájánk nevezzük egenest z felé, h f :(, ) lim f ( ) =. + felé, h lim f ( ) =. Az = egenletű függvén vízszintes szimptotájánk nevezzük. Ferde szimptoták Az = m + n egenletű egenes és grfikus kép bszcisszájú pontji közti távolság f ( ) m n, tehát grfikus kép kkor trt z = m + n egenletű egeneshez, h z előbbi kifejezés htárértéke ± esetén. Ez indokolj z lábbi értelmezést: Értelmezés. Az = m + n egenest z f :(, ) függvén ferde szimptotájánk nevezzük + -ben, h () lim [ f ( ) ( m + n) ] =. + Hsonlón, h függvén értelmezési trtomán trtlmz eg (, ) lkú félegenest, kkor z = m + n egenest ferde szimptotánk nevezzük felé, h () lim [ f ( ) ( m + n) ] =. f ( ) n Az () htárérték felírhtó lim m = lkbn, mivel lim =. + + Tehát + felé ferde szimptot prmétereit z f ( ) m = lim és n = lim [ f ( ) m] + + egenlőségekből számíthtjuk ki, h z előbbi htárértékek léteznek. m z szimptot iránténezője és n z szimptot ordinátáj z origóbn. Tehát grfikon + -be muttó ágához húzott szimptotánk meghtározásár következő szbált kpjuk: f ( ) ) Kiszámítjuk m = lim htárértéket. + b) H m véges kkor kiszámítjuk n = lim [ f ( ) m] htárértéket. + c) H n is véges kkor z = m + n egenes + -be szimptot. Hsonló eljárássl grfikus kép -be muttó ágához húzott szimptot is meghtározhtó. Az = m + n egenletű egenes pontosn kkor ferde f ( ) szimptot felé, h m = lim és n = lim f ( ) m.
66 Függvének tnulmánozás Megjegzések.. H két htárérték közül z egik nem létezik vg végtelen kkor nincs ferde szimptotáj.. Az értelmezésekből következik, hog h eg függvénnek + -ben (vg - ben) ferde szimptotáj vn, kkor nincs vízszintes szimptotáj és fordítv. Példák.. Htározzuk meg z f : \ {}, f( ) = + függvén szimptotáit. Megoldás. Az = pontbn függőleges szimptot vn, mert f ( + ) = lim = + és f ( ) = lim =. Mivel lim m = + + = és n = lim + + =, z = egenletű egenes ferde szimptot + - f ( ) ben. A -ben m = lim = és lim n = + =, tehát = (z első szögfelező) -ben is ferde szimptot. H függvént tnulmánozzuk z f ( ) = derivált segítségével, kkor következő tábláztból látjuk változását: + f ( ) ++++ ++++ f ( + ) M Min f ( ) =, h, =±. f ( ) = >, h >. f ( ) <, h <. Eg közelítő grfikus kép 7. ábrán láthtó.. Az f :, f ( ) = függvénnek nincs semmilen szimptotáj. f foltonos z -en, tehát nincs függőleges szimptot. lim =+ és + lim =+, tehát nincs sem vízszintes sem ferde szimptot + -ben. + Hsonlón beláthtó, hog nincs szimptot -ben sem.. Htározzuk meg z f :, f ( ) = + függvén szimptotáit. + Megoldás. A + felé m = lim = lim + =, és + + n = lim + + = lim =, tehát z első szögfelező z + + + szimptot. A -ben
Függvének tnulmánozás 67 + m = lim = lim + = lim + =, n = lim ( + + ) = lim + + =, tehát = z szimptot egenlete -ben. -O - 7. ábr Gkorltok. Htározd meg következő függvének grfikus képeinek z szimptotáit ( függvéneket mimális értelmezési trtománukon értelmezzük): + ) f ( ) = ; b) f ( ) = ; c) + f ( ) = ; + d) f ( ) = 4 ; e) f ( ) = ; f) f ( ) = e ; ln g) f ( ) = ln( ); h) f ( ) = e ; i) f ( ) = + ; j) f ( ) = + + ; k) f ( ) = ; l) f ( ) = ; m) f ( ) = ; n) + f ( ) = ; o) f ( ) = e ; p) f :(,, + ), f ( ) = ; q) ( ) f = ( ) ( + ). 8.4.. Grfikus ábrázolás Korábbi tnulmánitok során láttátok, hog z f : D ( D ) függvén {( ) } grfikonj G =, f ( ) D hlmz és grfikus kép ennek hlmznk síkbeli ábrázolás. Ebben prgrfusbn mtemtiki nlízis eszközeivel tnulmánozzuk függvént. Ez következő lépések elvégzését jelenti:
68 Függvének tnulmánozás I. meghtározzuk (h nincs megdv) mimális értelmezési trtománt; II. meghtározzuk tengelmetszeteket; III. meghtározzuk z szimptotákt; IV. z f derivált segítségével tnulmánozzuk függvén monotonitását és meghtározzuk szélsőérték-pontokt; IV. z f derivált segítségével tnulmánozzuk függvén konveitását és meghtározzuk z áthjlási pontokt; V. z előbbi dtok lpján elkészítjük függvén változási tábláztát; VI. megrjzoljuk grfikus képet. Ezeknek lépéseknek betrtás nem kötelező, fontos z, hog tnulmánozás minél átfogóbb legen. Hsznosk lehetnek z lábbi pontosítások. Érdemes megvizsgálni, hog függvén rendelkezik-e vlmilen jellegzetes tuljdonsággl (páros, pártln, periodikus). A foltonosság vizsgáltánál kiszámíthtjuk szkdási pontokbn jobb és bl oldli htárértéket. A deriválhtóság tnulmánozáskor derivált szkdási pontjibn kiszámítjuk derivált jobb és bloldli htárértékét. A derivált szkdási pontji közül néhán különösen fontos ktegóriát megemlítünk:. Szögpontok. Az (, b) pontot z f :(, b) függvén (vg grfikus kép) szögpontjánk nevezzük, h -bn jobb és bloldli érintők vlmilen -tól különböző szöget zárnk be. Ez zt jelenti, hog létezik jobb és bl oldli derivált, nem egenlők egmássl és nem mind kettő végtelen (lásd 8. ábrát).. Vissztérési pontok. Az (, b) pontot z f :(, b) függvén (vg grfikus kép) vissztérési pontjánk nevezzük, h függvén nem deriválhtó -bn de jobb és bloldli érintők -os szöget zárnk be. Ez zt jelenti, hog létezik jobb és bl oldli derivált, z egik + és másik (lásd 9. ábrát). 8. ábr 9. ábr Példák. Ábrázoljuk z f ( ) = függvént. I. D =, f :. II. A grfikus kép koordináttengeleket (, ) pontbn metszi. ( ) ( ) f = = = f ( ), tehát függvén pártln. (A grfikus kép szimmetrikus z origór nézve) III. Függőleges szimptot nincs, mivel f foltonos z egész -en. lim f = = ; lim f ( ) = ( + ) =+, ( ) ( ) +
Függvének tnulmánozás 69 tehát nincs vízszintes szimptot. Ferde szimptot sincs, mert f ( ) f ( ) lim =+, lim =+. + IV. f ( ) =,, és egenlőség z = esetén. Ebből következik, hog függvén z -en növekvő. V. f ( ) = 6, tehát függvén konkáv (, ) intervllumon és konve (, ) intervllumon, tehát z = pont infleiós pont. VI. Az előbbi dtok lpján változási táblázt következő: + f ( ) ++++ ++++ ( ) ++++ f f ( ) konkáv konve A táblázt lpján grfikus kép körülbelül. ábránk megfelelő görbe. - O. ábr -. Ábrázoljuk z f :, f ( ) = e függvént. Megoldás. A grfikus kép z O tengelt nem metszi, mert z eponenciális függvén csk szigorún pozitív értékeket vesz fel. A lim e = e = egenlőségek lpján z O tengel mindkét iránbn vízszintes szimptot. A grfikus kép z O tengelt ( ) ±, pontbn metszi. f ( ) = e, tehát z = pont z egetlen stcionárius pont. Ez egben heli mimum is, mert derivált előjele pozitívról negtívr változik. f ( ) = e, tehát z ( ) infleiós pontok, =±. (Ezekben pontokbn másodrendű derivált előjele megváltozik.) Az eddigi dtok lpján következő táblázthoz jutunk:
7 Függvének tnulmánozás f f ( ) ++++ ( ) ++++ ++++ f ( ) A függvén konve,, e és, e + + intervllumokon és konkáv intervllumon. A függvén páros ( f ( ) = f ( ) ) és ezért grfikus kép szimmetrikus z O tengelre nézve. A grfikon jellegzetes Guss-féle hrnggörbe. ábr O. Ábrázoljuk z f :, f ( ) = sin sin függvént! Megoldás. Az f ( π ) = f ( π + ) egenlőség lpján függvén grfikus képe z = π pontr nézve szimmetrikus. Ugnkkor függvén periodikus és főperiódus T = π, tehát elégsé, π intervllumon tnulmánozni és ábrázolni. f ( ) = sin sin cos = sin( cos), tehát f ( ) = ( cos )( cos + ). π Íg vizsgált intervllumbn csk z = és = stcionárius pontok. f ( ) = sin( 4cos ) =, tehát másodrendű derivált z =, = π, = π rccos és = rccos 4 4 pontokbn vált előjelt. Az eddigi dtok szerint z lábbi tábláztot készíthetjük:
Függvének tnulmánozás 7 f f rccos(/ 4) π / π ( ) ++++ ( ) ++++ f ( ) M konve konkáv A táblázt lpján grfikus kép következő: O π 4π. ábr f, f ( ) = függvént. Megoldás. A grfikus kép tengeleket csk z origóbn metszi. A lim f ( ) = lim f ( ) = lim = egenlőségek lpján z O tengel + vízszintes szimptot mindkét iránbn. A függvén pártln, tehát grfikus kép szimmetrikus z origór nézve. Továbbá lim =, lim =+, (és 4. Ábrázoljuk z : \{, } < > ez lpján li m =, lim =+ ), tehát z = és = < > egenletű egenesek függőleges szimptoták (mindkét oldlukról). Mivel + f ( ) = < minden megengedett esetén, függvén csökkenő. f ( ) = ( ) ( + ) ( ), tehát z lábbi tábláztbn láthtjuk függvén változását: + f ( ) f ( ) ++++ ++++ ( ) f + + konkáv konve konkáv konve
7 Függvének tnulmánozás A táblázt lpján {,, } hlmz elemei áthjlási pontok (nem mindegik göke másodrendű deriváltnk!) és grfikus kép. ábrán láthtó. - O. ábr 5. Ábrázoljuk z :, f ( ) =,, > függvént! f +,h> I. D =, lim, h > =, lim =. +, h < <,h < < f ( ) =, tehát grfikus kép z O tengelt (, ) pontbn metszi. Mivel f ( ) = > grfikus kép nem metszi z O tengelt. II. Az O tengel vízszintes szimptot: =, -ben, h > és + -ben, h < <. III. f ( ) = ln >, h >, és f ( ) <, h < <, tehát függvén szigorún monoton és nincs szélsőérték pontj. IV. f ( ) = ( ln) > minden esetén, tehát függvén konve. V. Az értéktáblázt > esetén. + f ( ) ++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +++ ++ f ( ) ++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +++ ++ f ( ) + konve Az értéktáblázt < < esetén. + f ( ) f ( ) ++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +++ ++ f ( ) + konve
Függvének tnulmánozás 7 A grfikus kép 4. ábrán láthtó. 4. ábr O 6. Az előbbi példábn vizsgáltuk z eponenciális függvént. A grfikonból és z értéktábláztból is láthtó, hog függvén injektív, f ( ) = (, + ) ezért z függvén szürjektív. Mivel injektív is és szürjektív is függvén * f : + bijektív, tehát vn inverz függvéne. Az inverz függvén foltonos és deriválhtó is (z áltlános tételek lpján) és grfikus képe z eredeti függvén szimmetrikus z első szögfelezőre nézve, tehát f :(, + ), f ( ) = log függvén grfikus képe z lábbi ábrán láthtó. A tuljdonságok vizsgált nem szükséges, mert z eponenciális függvén esetén ezeket elvégeztük. A könnebb memorálás érdekében elkészítettük változási tábláztot. < < esetén > esetén + + f ( ) + +++ ++++ f ( ) ++++ + +++ ++ ++ f ( ) f ( ) ++++ f ( ) + f ( ) + konve konkáv f()=log, > 5. ábr O f()=log, <
74 Függvének tnulmánozás 7. Ábrázoljuk z f : π π,, f ( ) = rctg függvént! π π Megoldás. D = = (, + ), lim f ( ) = ; lim f ( ) =, + π π f ( ) =. = és = vízszintes szimptoták. f ( ) = > minden + esetén, tehát függvén szigorún növekvő. f ( ) =, tehát + ( ) = z egetlen infleiós pont (mivel f ( ) >, h < és f ( ) <, h > ). Az eddigiek lpján következő tábláztot készíthetjük: + f ( ) ++++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ( ) ++++ f f ( ) π konve konkáv A táblázt lpján z lábbi grfikus képet rjzolhtjuk. π π Ο 6. ábr π 8. Ábrázoljuk z f :, e e f ( ) = = sh (szinusz hiperbolikusz) függvént! Megoldás. A függvén z egész -en értelmezett és foltonos, koordináttengeleket z (, ) pontbn metszi. lim f ( ) =+, lim + f ( ) =, f () lim =+ és + + lim f ( ) =, tehát függvénnek
Függvének tnulmánozás 75 nincs szimptotáj. e + e f ( ) = >, tehát f szigorún növekvő. e e f ( ) = = f ( ) <, h > és f ( ) >, h <, tehát következő tábláztot készíthetjük: + f ( ) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ f ( ) + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - f ( ) + konkáv konve A függvén grfikus képe z lábbi ábrán láthtó: =sh 7. ábr Ο 9. Az előbbi sh : függvén bijektív, tehát vn inverze sh :. Htározzuk meg z inverz függvénét és ábrázoljuk. t t e e t Megoldás. Megoldjuk z sh t = = egenletet. Az e = u változócserét t lklmzzuk u =, tehát u = ± +. Mivel u = e csk pozitív lehet u t kpjuk, hog e = + +, honnn t = sh = ln ( + + ), tehát z inverz függvén sh = f = ln +. ( ) ( + ) Ennek grfikus képét elkészíthetjük függvén tnulmánozásávl vg z f és z f grfikus képe közti szimmetri segítségével. A számításokt nem részletezzük, mert z előbbi megjegzés és z előbbi péld értelmében nem szükségesek grfikus kép megrjzolásához. A függvén változását következő táblázt trtlmzz.
76 Függvének tnulmánozás + f ( ) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ f ( ) + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - f ( ) konve konkáv + A grfikus kép z lábbi ábrán láthtó. =sh - 8. ábr Ο. Ábrázoljuk z f ( ) = + függvént mimális értelmezési trtománán. Megoldás. I. Htározzuk meg mimális értelmezési trtománt. vgis D = (,, +. A függvén grfikus képe nem metszi ) koordináttengeleket és függvén nem páros, nem pártln és nem periodikus. II. Függőleges szimptot nincs, mert foltonos D hlmzon. lim f ( ) = lim ( + ) = lim = =. + Tehát z = vízszintes szimptot -ben. lim f ( ) =+, m f ( ) = lim = lim + = + + +, n = lim ( f ( ) m) = lim ( ) = lim = =. + + + + + Tehát z = egenes + -ben ferde szimptot. III. f ( ) = +, h és függvén z (, ) (, + ) =± pontokbn nem deriválhtó.
Függvének tnulmánozás 77 f ( ) = f ( ) = lim f ( ) = ; f () = f ( + ) = limf ( ) = +. b O < Tehát z =± pontokbn végtelen bloldli, illetve jobboldli derivált (z tengellel párhuzmos bl-, illetve jobboldli fél-érintő). f ( ) <, h < és f ( ) intervllumon csökkenő és z f ( ) = < ( ) j > >, h >, tehát függvén (, ) (, + ) intervllumon növekvő., (, ) (, + ), tehát függvén konkáv z értelmezési trtománán. IV. Az előbbiek lpján következő változási tábláztot készíthetjük: //////////////// + f ( ) - - - - - - - - - - - - //////////////// + + + + + + + + + + + ( ) - - - - - - - - - - - - //////////////// - - - - - - - - - - - - - - f f ( ) ///////////////// + konkáv konkáv A táblázt lpján grfikus kép következő: 9. ábr - -
78 Függvének tnulmánozás Gkorltok és feldtok Vizsgáld meg következő függvének változását és ábrázold őket ( mimális értelmezési trtománukon)!. f ( ) = ( + ) ( ) ;. f ( ) = + ;. f ( ) = ; 4. f ( ) = + ; 5. f ( ) = + 5 ; 6. f ( ) = + 4 ; 7. f ( ) = ( ) e ; 8. f :, π, f ( ) = cos cos ; 9. ( ) f = + ;. f :, π, f ( ) = sin sin ; π π. f :,, f ( ) = tg + sin ;. f :, π 4 4, f ( ) = sin + cos ;. f ( ) = ln rctg ; 4. f ( ) = ( ) ( + ) ; 5. f ( ) 6. f ( ) = rctg ; 4 7. f ( ) = ; + 8. f ( ) = ( + ) ; ln 9. f ( ) = ;. f ( ) = + ;. f ( ) = ;. f ( ) = sin + cos ;. f ( ) = ln ; 4. f ( ) = sin ; 9 + 5. ( ) f = ( ) ( + ); 6. f ( ) =. e 7. Melik ngobb z A = e π vg B = π? 8. Melik ngobb z A = sin vg B = sin? 9. Hán vlós göke vn z + e = egenletnek? Htározz meg eg egségni hosszúságú intervllumot, mel trtlmzz z egenlet minden gökét!. Hán vlós göke vn z lg = egenletnek? Htározz meg eg egségni hosszúságú intervllumot, mel trtlmzz z egenlet minden gökét!. Hán vlós göke vn z = cos egenletnek? Htározz meg eg I, intervllumot, mel trtlmzz z egenlet minden gökét!. Htározd meg z, b prmétereket úg, hog z = + b egenletű egenes érintse g( ) = + függvén grfikus képét z = bszcisszájú pontbn.. Hogn kell b és c egütthtókt megválsztnunk, hogh zt krjuk z f ( ) = + b + c függvén grfikonj érintse g( ) = e függvén grfikonját z = pontbn?
Függvének tnulmánozás 79 4. Htározd meg z f ( ) = sin függvén minimumát, π intervllumon z prméter függvénében. 5. Milen lpszámok esetén lehet oln számot tlálni, mel egenlő sját lpú logritmusávl? 6. Az + = egenletű ellipszisbe írjál be mimális területű, z ellipszis b tengeleivel párhuzmos oldlú tégllpot ( < b < ). 7. Htározd meg z (, ) legrövidebb távolságot. M p p pont és z = p prbol pontji közötti ) 8. Htározd meg z A (, pont és + = kör pontji közötti legkisebb és legngobb távolságot. 9. Htározd meg z + = ( < b < ) ellipszis B (, b ) pontján áthldó b leghosszbb húrját. 4. Készítsd el következő függvének grfikus képét! ( másodrendű derivált is szükséges) ) f ( ) = rccos ; b) ln f ( ) = ; c) f ( ) = e sin ; d) f ( ) = rcsin + ; e) ( ) f = ; f) f ( ) = + ; f g) ( ) 4 = ; h) f ( ) = + ( + ) 4. Htározd meg z f ( ) = m {, } 4. Bizonítsd be következő egenlőtlenségeket: ) sin b b + cos + ; b) +. + függvén mimumát., h. 4. Htározd meg z lábbi függvének szélsőértékeit: n ) f ( ) = + + +... +! n! e,(n természetes szám); b) ( ) f = ( ). 44. Bizonítsd be z lábbi egenlőtlenségeket és mgrázd meg geometrii jelentésüket: + e + e ) > e ( ); + b) ln + ln > ( + ) ln, h > és >.
8 Függvének tnulmánozás 8.5. A kúpszeletek grfikus ábrázolás 8.5.. A kör H kör középpontj C(,) b és sugr r, z egenlete Kifejezzük z változót függvénében: ( ) ( K) + ( b) = r. ( ) ( ) b = r,, = b ± r ( ), íg kör következő két foltonos függvénnel hozhtó összefüggésbe: f( ) b r ( ) grfikonj egütt lkotj ( ) kört: K = G G. ( ) = + és f = b r ( ) K f f, e két függvén Tnulmánozzuk z ( ) f( ) = b + r függvént! I. A mimális értelmezési trtomán z r ( ) egenlőtlenség megoldás. Az ( ) r egenlőtlenség ekvivlens r, egenlőtlenséggel, tehát r r és íg megoldás D = [ r, + r]. ( ) ( ) II. A függvén deriváltj f ( ) = =, tehát ( ) ( ) r r függvén növekvő z [ r, ] intervllumon és csökkenő z [, + r] intervllumon. A másodrendű deriváltból láthtó, hog függvén konkáv. III. Mivel z értelmezési trtomán korlátos és függvén is korlátos, nincsenek szimptoták. IV. A függvén változási táblázt r + r + + - f ( ) f ( ) f ( ) b b + r b Tehát grfikus kép következő ( 4. ábrán z f grfikus képe láthtó) 4. ábr b b 4. ábr ) Megjegzés. A kör egenlete, ( K) ( + ( b) = r két változó ( és ) között eg reláció, de ez reláció nem függvén ( hozzárendelés nem egértelmű). Áltlábn, h f : D D eg függvén, kkor z f (, ) = egenletet megoldások áltl meghtározott görbe implicit egenletének nevezzük.
Függvének tnulmánozás 8 H kör egenletét vlmelik változór megoldjuk (például - r), z, b r ( ) kifejezéshez jutunk, tehát z [ ] [ ] ( ) f : r, + r b, b + r, f ( ) = b + r és = ±, [ ] [ ] ( ) f : r, + r b r, b, f ( ) = b r. foltonos függvének dják megoldást. Mindkét függvén deriválhtó z ( r, + r) nílt intervllumon, = r és = + r pontokbn nem deriválhtók, mert jobb- illetve bloldli derivált értéke nem véges (vn függőleges érintő ( r) -ben és ( + r) -ben). 8.5.. Az ellipszis Az ellipszis egenlete ( E ) + =, hol, b >. b b =± Az előbbi gondoltmenet lpján, tehát z b f :[, ] [, b], f( ) = és b f :[, ] [ b, ], f( ) =. foltonos függvéneket kell ábrázolni. ( E = G G ). Ezeknek függvéneknek grfikus képe 4. ábrán láthtó: f f b b - O - O -b 8.5.. A hiperbol 4 ábr A hiperbol egenlete ( H ) =, hol, b >. b Kifejezzük z változót függvénében: b =±. Tehát hiperbol következő két foltonos függvén grfikus képének egesítése: f :(, ] [, + ), f( ) = és b f :(, ] [, + ), f( ) =. Tnulmánozzuk z f függvént és ábrázoljuk grfikusn (z f grfikus képe z f grfikus képének z O szerinti szimmetrikus, z ábrán szggtott vonlll jelöltük be). -b b
8 Függvének tnulmánozás lim f ( ) =+, lim f ( ) =+, de I. + ( ) b b f ( ) b m = lim = lim = lim =, b b n = lim [ f( ) m] = lim + =, tehát ( ) - ben ferde szimptot egenlete b =. f ( ) b (+ )- ben m = lim =,, íg ferde szimptot egenlete b n = =. + II. b f ( ) =, nem értelmezett z =± pontokbn, negtív h < és pozitív h >. lim f lim ( ( ), f = = ) = = +, tehát - nál + + bloldli derivált f ( ) =, - nál jobboldli derivált f ( + ) = +. III. Az előbbiek lpján z értéktáblázt következő: ////// + f ( ) - - ////// + + + f ( ) + ////// + A 4. ábrán láthtó függvének grfikus képe (tehát hiperbol) 4. ábr O -..4. A prbol ( P) = p, tételezzük fel, hog p >. Kifejezzük z változót függvénében: =± p. f :[, + ) [, + ), f( ) = p, f :[, + ) (,], f ( ) = p. Az f függvén változás z lábbi tábláztból olvshtó ki és grfikus kép 44. ábrán láthtó ( szggtott vonl z f grfikus képét ábrázolj): + f + + ( ) f ( ) f + ( )
Függvének tnulmánozás 8 44. ábr O Gkorltok. Bizonítsd be, hog K : + = kör nem lehet egetlen függvénnek sem grfikus képe, de lehet két különböző függvén grfikus képének z egesítése.. Számítsd ki zon háromszög kerületét, melet z = hiperbol két 4 9 szimptotáj 9 + 5 = egenessel bezár.. Rjzold meg z lábbi függvének grfikus képét: ) f : D, f( ) = + ; b) f : D, f( ) = ( + )(5 ); c) f : D, f( ) =. 4 4. Az f ( ) = e képlettel értelmezett függvén ( f : ) grfikus képét Guss-féle görbének nevezik. Htározd meg zokt pontokt, melben z O középpontú, egségsugrú kör metszi ezt görbét. Bizonítsd be, hog két görbe O tengelen fekvő közös pontjábn közös z érintőjük. 5. Írd fel részletesebben és ábrázold z 4 9 ponthlmzt. + = egenletet teljesítő (, ) 6. Rjzold meg z f :, f( ) = képlettel értelmezett függvén 4 grfikus képét. 8.6. Egenletek vizsgált 8.6.. A gökök szétválsztás grfikus módszerrel H z f () = lkú egenlet gökeinek (vlós gökök) pontos értékét nem tudjuk meghtározni (nincs módszer vg eljárás), kkor eg fontos lépésnek tekinthető z, hog megmondjuk hán vlós göke vn z egenletnek, és mindegik gökre meghtározunk eg elég kis intervllumot, melben gök tlálhtó. Az ilen jellegű számításokt, gökök szétválsztásánk (szeprálásánk) nevezzük.
84 Függvének tnulmánozás Az f () = lkú egenletek esetében, h z f függvén foltonos és deriválhtó, tnulmánozzuk függvént és ábrázoljuk grfikusn. Ahol grfikus kép metszi z O tengelt, ott vnnk z egenlet gökei. A gököket közelítőleg grfikus kép lpján olvshtjuk le, z intervllumokt pedig, melekben gökök vnnk, próbálgtássl (próbszámítás) állpítjuk meg következő példábn bemuttott módszerrel. Példák. Válsszuk szét z ( ) 9 f = + = egenlet vlós gökeit! I. f ( ) = 6 9 (deriváltuk z f () függvént). f ( ) =, h = és =. Vizsgáljuk függvént z elsőrendű derivált segítségével. - + f ( ) + - + f ( ) 5-7 + A tábláztból leolvshtó, hog függvén z = (, ) I intervllumon szigorún növekvő, negtív és pozitív értékeket is felvesz ( f ( ) > és lim f ( ) = ). Íg pontosn eg gök létezik z I intervllumbn. Az I = (, ) intervllumon függvén szigorún csökkenő, f ( ) = 5> és f () = 7 <, tehát (mivel f foltonos) pontosn eg (, )= I létezik úg, hog f ( ) =. Az I = (, ) - bn is f () = 7 <, lim f ( ) =+, + tehát I - bn is pontosn eg gök vn. Tehát z egenletnek három vlós göke vn ( ) ) ( és ezekre, ( ;. Ezt függvén grfikus ;,, + ) képéről is leolvshtjuk, h ezt elkészítjük. H gököket pontosbbn loklizálni szeretnénk, kkor becsléseket végzünk. (, ), mivel f ( ) = 8 >, f ( ) = 7 <. (, ), mivel f () = >, f () = <. ( 4, 5), mivel f(4) = <, f(5) = 5 >. A 45. ábrán függvén grfikus képe láthtó. 45. ábr - 5 - - -7 4 5. Hán megoldás vn si n = egenletnek?
Függvének tnulmánozás 85 Megoldás. Ábrázoljuk z f és g függvén grfikus képét és megvizsgáljuk, hog két grfikus kép hán pontbn metszi egmást (és milen intervllumb kerülnek metszéspontok bszcisszái). Az ábráról leolvshtjuk, hog g ( ) = egenes három helen metszi z f ( ) = sin grfikus képét: π = és π, π. sin O = / π,, 46. ábr. (Prmétertől függő egenlet tárglás) Tárgljuk P ( ) = egenletet, hol P( ) = +, vlós prméter. (Az egenletet tárglni zt jelenti, hog meghtározni vlós gökök számát, h z prméter változik.) Megoldás. Fejezzük ki z prmétert z egenletből =. (Mivel P () = és P( ) = sem z =, sem z nem göke z eredeti egenletnek egetlen esetén sem). A továbbikbn tnulmánozzuk z f ( ) = függvént és g( ) = állndó függvént: ( ) f ( ) = = =,, = ± ( ) + f ( ) + + f ( ) + + + f() Az =± egenesek függőleges szimptoták, ugnkkor m = lim =, n =, f () tehát z első szögfelező ferde szimptot + felé. Az m = lim =, n = + egenlőségekből következik, hog z = egenletű egenes felé is ferde szimptot. A derivált előjeléből következik, hog M, mimumpont és minimumpont. A 47. ábr grfikus képet muttj. N,
86 Függvének tnulmánozás 47. ábr O A grfikus képről leolvshtó, hog z f függvén grfikus képe hán pontbn metszi g( ) = függvén grfikus képét, h z értéke változik. Ezt táblázttl muttjuk be: értékei A gökök szám és elhelezkedése < (, ), (, ), (,) = = =, (,) < < (,) = = = = < < (,) = = =, (, ),,,,, > ( ) ( ) ( ) 8.6.. A gökök szétválsztás Rolle-tétel lpján (A Rolle-sorozt) Az f ( ) = egenlet két egmásután következő göke között z f ( ) = egenletnek vn leglább eg göke. Szimbolikusn, h f ( ) = f ( ) = (hol és két egmás után következő gök), kkor Rolle tétele lpján létezik c (, ) úg, hog f ( c) =. H z f függvén deriválhtó, legen α és β z f ( ) = egenlet két egmásután következő vlós göke. hán göke lehet z eredeti f ( ) = egenletnek α és β között? H z f ( ) = egenletnek α és β
Függvének tnulmánozás 87 között lenne leglább két göke, <, kkor Rolle tételét lklmzv z [, ] intervllumon f -re, létezne c (,) úg, hog f () c =, α < c < β és f ( α) = f ( c) = f ( β ). Ez ellentmond nnk, hog α és β z f ( ) = egenlet két egmásután következő göke. Tehát z α és β között z legfeljebb eg göke vn. H f ( ) = egenletnek f( α) f( β)<, kkor pontosn eg gök vn, ellenkező esetben nincs gök. Tehát h z f ( ) = egenlet vlós gökeit ki tudjuk számítni és ezek növekvő sorrendbe rendezve < < <... < n <b, kkor elkészíthetjük következő tábláztot:... n b f ( ) lim f ( ) f ( ) f ( )... f ( n ) lim f ( ) z H z (, ), (, ),...,( b) intervllumok vlmelikének végpontjibn f( ) = 4 n, f függvén értékei különböző előjelűek ( függvénnek előjelváltás vn), kkor z f ( ) = egenletnek vn ebben z intervllumbn eg és cskis eg göke, h pedig függvén értékei zonos előjelűek, kkor z egenletnek nincs göke bbn z intervllumbn. Mivel fenti intervllumok lefedik z f függvén értelmezési trtománát ( f :(, b) ), z f ( ) = egenlet gökeit szétválsztottuk. A táblázt második sorát nevezzük Rolle-soroztnk. Példák. Adott z b 4 + = egenlet. Válsszuk szét z egenlet gökeit! ( ) Megoldás. f () = = =, =, =. A Rolle-sorozt következő: - + f ( ) + +5 + - + A (, ) intervllum végpontjibn z f függvén értékei zonos előjelűek, tehát nincs itt göke. (, ) -bn ugnz z eset, (, ) -ben előjelváltás vn, tehát létezik (, ), melre f ( ) =. Hsonlón létezik (, + ) úg, hog f ( ) =. Tehát z egenletnek két vlós göke vn. Mivel f() = <, f() = 7 >, következik, hog (, ) és (, ), tehát z intervllumokt z I = (, ) és I = (, ) intervllumokr szűkítettük le.. (Prméteres egenlet tárglás z vlós prméter szerint.) Tárgljuk z vlós prméter szerint következő egenlet vlós gökeit: 4 f ( ) = 4 + =. Megoldás. Az f ( ) = egenlet gökei =, = és =, Rolle- sorozt következő ( lim f ( ) =+, lim f( ) =+ ): +
88 Függvének tnulmánozás - + f ( ) + 5 + A második sorbn szereplő kifejezések előjele érdekel bennünket. Ezt z lábbi tábláztok dják: 5 + + és 5 + + A kifejezések zérushelei =, = 5, =. A következő eseteket kell tárglnunk: <, =, < < 5, = 5, 5 < <, =, >. A tárglást z lábbi tábláztbn foglljuk össze: - + f ( ) + 5 + Következtetések vlós gökökre < + + (, ), (, ) = + + < < 5 + + + = 5 + + + (, ), = =, 4 (, ) (, ), (,), (, ), 4 (, ) = =, (, ), 4 (, ) 5< < + + + + (,), (, ) = + + + + = = > + + + + + nincs vlós gök Gkorltok. Válszd szét z 9 + 8 = egenlet vlós gökeit.. Válszd szét következő egenletek vlós gökeit: 5 ) 4 + 7 = ; b) 5 5 + = ; c) = 9 ; d) 4 = +.. Tárgld z m vlós prméter szerint következő egenlet vlós gökeit: f ( ) = 9 + m =. 4. A grfikus módszer lklmzásávl válszd szét következő egenletek vlós gökeit: ) = ; b) e = cos ; c) sin = ; d) lg + = ; e) lg = sin ; f) tg + =. 5. Tárgld z prméter szerint következő egenletek vlós gökeit: ) + = ; b) = ; c) e = + ; d) ln = + ; e) sin + cos = ; f) + = ; 4 g) + = ; h) r ctg =.