6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC
A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen illusztrálni. Az alábbiakban csak egy-egy példát mutatunk néhány deriválási szabályra vonatkozólag.
DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Tétel: Tegyük fel, hogy az f és g függvények differenciálhatóak egy 0 pontban és legyen c egy tetszőleges valós állandó. Ekkor a cf, f g, f g,, f g g. ; cf c f 0 0. ; f g f g függvények szintén deriválhatók az 0 helyen és: 0 0 0 3. ; f g f g f g 0 0 0 0 0 4. ; f g h f g h f g h f g h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g 0 5. 0 ; g 0 0 g g 0 f f 0 g 0 f 0 g0 6. 0 ; g 0 0 g g 0
ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA Tétel: Az elemi függvények deriváltja a következő:. 0 c n n n n. általánosítás később 3. ln ; log a ; ln a 4. e e ; a a ln a; 5. sin cos ; cos sin ; 6. tg ; ctg ; cos sin
PÉLDÁK Határozzuk meg az alábbi deriváltakat: a f 3 ) ( ) sin log ; sin ; 3 3 f cos log sin ; ln 3 b) f 3 5 cos ln ; f 3 ln 35 cos ln 3 0 sin ln 3 5 cos ; c) f ( ) ; ctg e f d) f e ctg e 4 7 tg 6 5 4log ; 7 f 3 4 6 5 4log tg 6 5 ln5 4 4 cos ln ; 6 5 4log 4 7
AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSA Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az 0 pontban és az f függvény differenciálható a g( 0 ) helyen. Ekkor az f g összetett függvény szintén deriválható az 0 helyen és teljesül, hogy f g f g g 0 0 0 azaz "függvényes" jelöléssel f g f g g helyettesítési értékekkel pedig 0 0 0 f g f g g Klasszikus jelölés: Ha F( ) f g akkor df df dg d dg d Innen a láncszabály elnevezés.
PÉLDA ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSÁRA Deriváljuk az alábbi függvényeket: sin a) F( ) ; 7 3 cos sin ln F ; sin b) F tg log ; F 7 cos log ln3 3 6 7 ;
AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSA HA -NÉL TÖBB FÜGGVÉNYBŐL KÉPEZZÜK AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNYT Tétel: Tegyük fel, hogy a h függvény differenciálható az 0 pontban a g függvény differenciálható a h( 0 ) helyen és az f függvény differenciálható a g(h( 0 )) helyen. Ekkor az f g h összetett függvény szintén deriválható az 0 helyen és teljesül, hogy f g h f g h g h h Klasszikus jelölés: 0 0 0 0 azaz "függvényes" jelöléssel f g h f g h g h h helyettesítési értékekkel pedig f g h f g h g h h 0 0 0 0 Ha F ( ) f g h akkor a láncszabály df df dg dh d dg dh d
PÉLDA TÖBBSZÖRÖSEN ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSÁRA Deriváljuk az alábbi függvényeket: ln a) F( ) log sin tg ; 3 F cos tg ; sin tg ln cos b) F ctg 3 ; 3 ln 3 F 3 ln 3 3 ; ln sin 3
AZ INVERZ FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSA Tétel: Tegyük fel, hogy az f függvény invertálható és differenciálható az 0 pontban. Ekkor az f inverz függvény deriválható az y 0 = f( 0 ) helyen és teljesül, hogy f y azaz f f 0 0 f "függvényes" jelöléssel f f f f f y 0 0 ; ;
PÉLDA EGY NEVEZETES INVERZ KAPCSOLATRA Legyen f ep( ) e ; ekkor f ln Állítsuk elő a logaritmus függvény deriváltját úgy, hogy az eponenciális függvény deriváltjára hivatkozunk: ln ; ep ln e ep ln ln
AZ ARKUSZ FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA Tétel: A trigonometrikus függvények inverzének deriváltja Bizonyítás: arcsin ; arccos ; arctg ; arcctg ; arcsin ; sin arcsin cos arcsin sin arcsin
EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNYEK Definíció: Tegyük fel, hogy bizonyos valós helyeken értelmezve van az F f g formulával értelmezett függvény például ha az alap értékkészlete a pozitív való számok halmaza, amikor a kitevő tetszőleges értékeket felvehet. Ezt a függvényt eponenciális hatványfüggvénynek nevezzük. Egy ilyen alakú függvény nem lehet sem tisztán hatványfüggvény, hiszen a kitevő nem állandó, és ugyanilyen okok miatt nem lehet tisztán eponenciális függvény sem, hiszen az alap nem állandó. Az ilyen alakú függvények deriválására különleges szabály vonatkozik, amelyet logaritmikus deriválásnak nevezünk.
A LOGARITMIKUS DERIVÁLÁS SZABÁLYA Az eponenciális hatványfüggvényt deriváljuk: F f g ln F ln f / ln g d ln F g ln f / d F g ln f g f F f ahonnan az F függvény deriváltja F F g ln f g azaz f f g F f g ln f g f f
PÉLDA LOGARITMIKUS DERIVÁLÁSRA Egy eponenciális hatványfüggvényt deriválunk: F ln F cos / ln (Ha az alap pozitív!) ln cos d ln F ln cos / d F F cos ln cos sin ahonnan az F függvény deriváltja sin F F ln cos cos azaz F cos ln cos tg
A LOGARITMIKUS DERIVÁLÁS EGY EGYSZERŰ DE FONTOS ALKALMAZÁSA A valós kitevőjű hatványfüggvényt deriváljuk: ln F F ln / ln ln F ln / F F ahonnan az F függvény deriváltja F F F A hatvány deriválására megismert szabály tehát minden valós kitevőre igaz. Célszerű megjegyezni az alábbi speciális eseteket: d d ;
IMPLICIT FÜGGVÉNYEK Definíció: Tegyük fel, hogy adott egy összefüggés az és y változók között az, 0 F y általános alakú egyenlettel. Előfordul, hogy ez az egyenlet akkor is ha nem oldható meg y-ra egyértelmű kapcsolatot értelmez az és y változók között. Ezt úgy fogalmazzuk, hogy a fenti egyenlet értelmez egy y = y() implicit függvényt. Ez jelöléssel az alábbi módon hangsúlyozzuk: Ennek az implicit függvénynek a deriváltját egy 0 helyen akkor is ki tudjuk számítani, ha az y() összefüggést eplicit módon nem ismerjük tehát akkor, amikor az F(, y) = 0 egyenlet nem oldható meg y-ra. A műveletet az implicit függvény deriválásaként emlegetjük. F, y 0
AZ IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA Feladat az F, y 0 egyenlet által definiált implicit függvény deriváltjának kiszámítása. Ezt a kétváltozós függvényt összetett függvénynek tekintjük és eszerint deriváljuk. A deriválás során az y-t is változónak tekintjük, és a deriválás során indeben feltüntetjük, hogy melyik változó szerint deriválunk. F, y F, y F, y y 0 0 0 0 y 0 0 0 Innen átrendezéssel kapjuk a keresett deriváltat: y 0 y F, y 0 0 F, y 0 0
PÉLDA IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSÁRA Deriváljuk az alábbi implicit függvényt: y d cos y ln e 3 0; / d y e y y e ahonnan y y cos y sin y y e ln e y 3 0; y y y ln sin 3 cos ; 3 cos y e ln y e sin y y
FONTOS PÉLDA Deriváljuk az arkusz függvényeket az implicit függvény deriválási szabálya alapján. Például: y f y cos yy ; ( ) arcsin sin / d d y cos y cos arcsin sin arcsin A többi arkusz függvény deriváltja hasonló logikával kapható.