Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja a derivált számszorosa azaz a számszorzó differenciáláskor változatlan marad f = 2 3 + 3 2 2 = 2 3 2 + 3 2 0 = 6 2 + 6 2 Feladat Deriváljuk az f = e sin + cos Két függvény szorzatának a deriváltját úgy kapjuk, hogy a szorzat első tényezőjének a deriváltját megszorozzuk az eredeti függvény második tényezezőjével, ehhez hozzádjuk az eredeti függvény első tényezőjének a második tényező deriváltjával való szorzatát Ezt felhszanálva f = e sin + cos + e cos sin = 2 cos e 3 Feladat Deriváljuk az f = 2 + sin cos Hányadost úgy deriválunk, hogy a számláló deriváltját megszorozzuk a nevezővel, ebből levonjuk a számlálónak a nevező deriváltjával kapott szorzatát, majd az így kapott különbséget elosztjuk a nevező négyzetével Ezt felhasználva f = 2 + cos cos 2 + sin sin cos 2 Felbontva a zárójeleket, és felhasználva a sin 2 + cos 2 = trigonometrikus azonosságot f = + 2 cos + 2 sin cos 2 4 Feladat Deriváljuk az f = 5 7 + 6 2 + 7 Összeget tagonként deriválva f = 35 6 + 2 5 Feladat Deriváljuk az f = 3 log 2 A szorzat deriválási szabályát felhasználva f = 3 ln 3 log 2 + 3 ln 2
2 6 Feladat Deriváljuk az f = sin + 2 Felhasználva a = 2 azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát cos + 2 sin f 2 2 + 2 = + 2 2 7 Feladat Deriváljuk az f = 2 + 7 Felhasználva a 7 = 7 3 azonosságot, majd alkalmazva a hányados deriválási szabályát 2 + f 7 6 7 3 2 + 7 3 2 = 6 8 Feladat Deriváljuk az f = 4 lg A szorzat deriválási szabálya szerint f = 4 ln 4 lg + 4 9 Feladat Deriváljuk az f = 7 + 8 2 3 ln 0 Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f = 7 + 8 2 3 = 7 6 + 6 0 Feladat Deriváljuk az f = 5 7 + 6 2 + 7 Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f = 5 7 + 6 2 + 7 = 35 6 + 2 Feladat Deriváljuk az f = 2 + + 3 A = 2, illetve 3 = 3 felhasználása után az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy f = 2 + 2 2 2 + 3 3 = 2 + 2 + 3 3 2 2 Feladat Deriváljuk az f = + + 2
3 Felhasználva, hogy =, továbbá, hogy 2 = 2, majd az összeget tagonként deriválva f = 2 2 3 = 2 2 3 3 Feladat Deriváljuk az f = 3 sin + 5 cos + 2 sh Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f = 3 cos 5 sin + 2ch 4 Feladat Deriváljuk az f = 5 log 4 Felhasználva az összeadásra, illetve konstansszorzóra vonatkozó deriválási szabályokat f = 5 ln 5 ln 4 5 Feladat Deriváljuk az f = e sin Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f = e sin e sin sin 2 6 Feladat Deriváljuk az f = ln Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt = e sin e cos sin 2 f = ln + ln = ln + = ln + 7 Feladat Deriváljuk az f = 2 log 3 Felhasználva a szorzásra vonatkozó deriválási szabályt f = 2 log 3 2 log 3 log 2 3 8 Feladat Deriváljuk az f = 2 + 3 e = 2 ln 2 log 3 2 log 2 3 függvényt Felhasználva a hányadosfüggvény deriválási szabályát f = 2 + 3 e 2 + 3 e = 2 + 3e 2 + 3 e e 2 e 2 ln 3
4 A számlálóban e -et kiemelve, majd elvégezve az egyszerűsítést f = 2 + 3e 2 + 3 e = e 2 + 3 2 3 + e 2 e 2 9 Feladat Deriváljuk az f = 2 + 7 + 2 sin Felhasználva a szorzatfüggvény deriválási szabályát = 4 2 e f = 2 + 7 + 2 sin + 2 + 7 + 2sin = 2 + 7 sin + 2 + 7 + 2 cos 20 Feladat Deriváljuk az f = lnsin A külső függvény az ln, a belső függvény a sin Először deriváljuk a külső függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: f = sin sin = cos = ctg sin 2 Feladat Deriváljuk az f = ln 2 + 5 A külső függvény az ln, a belső függvény 2 + 5 Először deriváljuk a külső függvényt, amire adódik, majd abba beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: f = 2 + 5 2 + 5 2 + 5 = 2 + 5 = 2 + 5 2 + 5 22 Feladat Deriváljuk az g = e 2 A külső függvény az e, a belső függvény az 2 A külső függvény deriváltja e, ebbe beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: f = e 2 2 23 Feladat Deriváljuk az f = 3 + 20 00 A külső függvény az 00, a belső függvény 3 + 20 A külső függvény deriváltja 00 99 Ebbe beírjuk az eredeti belső függvényt, végül a kapott eredményt szorozzuk a belső függvény deriváltjával: f = 003 + 20 99 3 + 20 = 003 + 20 99 3 = 3003 + 20 99 24 Feladat Deriváljuk az f = 3 2 + 2 Felhasználva, hogy 3 2 + 2 = 2 + 2 3, a külső függvény 3, a belső függvény 2 + 2 A küslő függvény deriváltja 3 2 3, így f = 3 2 + 2 2 3 2 + 2 = 2 = 3 2 + 2 2 3 2 3 3 2 + 2 2
25 Feladat Deriváljuk az f = ln sin Külső függvény az ln, belső függvény az sin A külső függvény deriváltja, amibe beírva az eredeti belső függvényt: A belső függvény deriváltja sin + cos, így sin f sin + cos = sin 26 Feladat Deriváljuk az f = sin 3 cos 3 Külső függvény az sin, belső függvény az A külső függvény deriváltja cos, amibe cos beírva az eredeti belső függvényt: cos 3 cos A belső függvény deriváltja 3cos +3 sin, így cos 2 3 f 3 cos + 3 sin = cos cos cos 2 27 Feladat Deriváljuk az f = tg 2 + Külső függvény a tg, belső függvény az 2 + A külső függvény deriváltja, amibe cos 2 beírva az eredeti belső függvényt: A belső függvény deriváltja 2 +, így cos 2 2 + f = cos 2 2 + 2 + = 2 + cos 2 2 + 28 Feladat Deriváljuk az f = e sin Külső függvény a e, belső függvény az sin A külső függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti belső függvényt: e sin A belső függvény deriváltja cos, így f = e sin cos 29 Feladat Deriváljuk az f = e 2 +3 4 Külső függvény a e, belső függvény az 2 + 3 4 A külső függvény deriváltja e, amibe beírva az eredeti belső függvényt: e 2 +3 4 A belső függvény deriváltja 2 + 3, így f = e 2 +3 4 2 + 3 30 Feladat Deriváljuk az f = 2 sin Külső függvény a 2, belső függvény az sin A külső függvény deriváltja 2 ln 2, amibe beírva az eredeti belső függvényt: 2 sin ln 2 A belső függvény deriváltja cos, így f = 2 sin ln 2 cos 5
6 3 Feladat Deriváljuk az f = 2 + 2 3 Felhasználva, hogy = 2, a külső függvény az 2, belső függvény az 2 + 2 3 A külső függvény deriváltja 2 2, amibe beírva az eredeti belső függvényt: 2 2 + 2 3 2 A belső függvény deriváltja 2 + 2, így f = 2 2 + 2 3 2 2 + 2 = + 6 2 + 2 3 32 Feladat Deriváljuk az f = cossin Külső függvény a cos, belső függvény az sin A külső függvény deriváltja sin, amibe beírva az eredeti belső függvényt: sinsin A belső függvény deriváltja cos, így f = sinsin cos 33 Feladat Deriváljuk az f = cos 2 + 3 + A szorzat és összetett függvény deriválási szabályát használva f = cos 2 + 3 + 2 + 3 sin 2 + 3 + 34 Feladat Deriváljuk az f = 2 + 2 ln + + 2 A szorzat, az összetett függvény és a hányados deriválási szabályát használva f = 2 + 2 ln + + 2 + + 2 + 2 + 2 = + 2 2 = 2 + 2 ln + + 2 + 2 + 2 + 2 2 2 + 35 Feladat Deriváljuk az f = arctg 2 A szorzat, a hányados és az összetett függvény deriválási szabályát használva f 2 + = arctg + 2 + 2 + 2 2 36 Feladat Deriváljuk az f = tge 2 Külső függvény a tg, belső függvény az e 2 A külső függvény deriváltja, amibe beírva cos 2
az eredeti belső függvényt: cos 2 e 2 A belső függvény szintén összetett, a külső függvény e, a belső függvény 2, az összetett függvény deriválási szabálya szerint e 2 = 2e 2 Így f = cos 2 e 2 e2 = cos 2 e 2 2e2 37 Feladat Deriváljuk az f = ln ln2 Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f = ln2 2 2 = ln2 38 Feladat Deriváljuk az f = sin 2 Felhasználva, hogy sin 2 = sin 2 2, az összetett függvény deriválási szabálya szerint f = 2 sin 2 2 cos 2 2 39 Feladat Deriváljuk az f = sin cos sin Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f = cos cos sin sinsin cos 40 Feladat Deriváljuk az f = ln 2 + sin 2 Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f = 2 + sin 2 2 + 2 cos 2 4 Feladat Deriváljuk az f = 2 sin2 Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva f = 2 sin2 ln 2 2 cos2 42 Feladat Deriváljuk az f = + Felhasználva, hogy = 2 f = 2 + 2 + 2 2 7
8 43 Feladat Deriváljuk az f = cossin 2 f = sinsin 2 cos 2 2 44 Feladat Deriváljuk az f = cosln 0 f = 0 sin ln 0 45 Feladat Deriváljuk az f = ln sin cos f cos cos sin = sin cos 46 Feladat Deriváljuk az f = sin 2 2 f = 4 sin 2 cos 2 47 Feladat Deriváljuk az f = 3 ln sin2 f cos 2 = 2/3 ln sin 2 2/3 sin 2 48 Feladat Deriváljuk az f = 7 sin cos 2 f = 2/7 cos cos 2 cos sin sin cos 2 6/7 49 Feladat Deriváljuk az f = ln sin A hányados, és a szorzat differenciálási szabályát alkalmazva f = 50 Feladat Deriváljuk az f = sin2 + sin 2 ln + sin ln cos sin 2 3 A hányados, és a szorzat differenciálási szabályát alkalmazva f = 2 sin cos + 2 cos2 3 sin 2 + sin 2 3 2 6
9 5 Feladat Deriváljuk az f = sin3 sin5 A szorzat differenciálási szabályát alkalmazva f = 3 cos3 sin5 + 5 sin3 cos5 52 Feladat Deriváljuk az f = 2 + 3 sin 4 A szorzat f = 62 + 2 sin 4 + 2 + 3 4 3 cos 4 53 Feladat Deriváljuk az f = 2 sin e A hányados, és a szorzat differenciálási szabályát alkalmazva 54 Feladat Deriváljuk az f = Felhasználjuk, hogy 8 = 8 : f = 2 sin + 2 cos e 2 sin e e 2 f = 8 2 sin 8 7 8 2 sin 8 2 sin + 2 cos 2 sin 2 55 Feladat Deriváljuk az f = 3π + 4π 5 Az összetett függvény deriválási szabálya szerint 56 Feladat Deriváljuk az f = 3 + e f = 3π 3π + 4π 5 ln4π 5 tg A hányados deriválási szabályát alkalmazzuk, figyelve arra, hogy a számláló két függvény szorzata, így ott a szorzat deriválási szabályát használjuk: 3 2 f + e + 3 + e tg 3 + e cos = 2 tg 2
0 Elvégezve az összevonást e 3 + 3 2 + + tg 3 + f cos = 2 tg 2 57 Feladat Deriváljuk az f = sin + sin e 2 A hányados és az összetett függvény deriválási szabálya szerint cos f 2 2 + sin 2 2 cos e 2 sin + sin e 2 2 = e 2 58 Feladat Deriváljuk az f = 3 + e tg A hányados deriválási szabálya szerint f = 2 + e tg 2 + e cos 2 e tg 2 59 Feladat Deriváljuk az f = 2 2 + arcsin2 Az összetett függvény deriválási szabálya szerint f = 2 2 ln 2 2 + 2 2 2 60 Feladat Deriváljuk az f = 7 + arctg e + ln A hányados differenciálási szabálya szerint 7 6 + f + e + ln 7 + arctg e + = 2 e + ln 2 6 Feladat Deriváljuk az f = megoldás f = = e ln = e ln Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e ln ln + = ln +
2megoldás Vegyük az f = mindkét oldalának a logaritmusát: ln f = ln, amiből ln f = ln Mindkét oldalt differenciálva az változó szerint f f = ln + Végigszorozva f-el, kapjuk a megoldást f = fln + = ln + 62 Feladat Deriváljuk az f = sin megoldás f = sin = e ln sin = e sin ln Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e sin ln cos ln + sin = sin cos ln + sin 2megoldás Vegyük az f = sin mindkét oldalának a logaritmusát: ln f = ln sin, amiből ln f = sin ln Mindkét oldalt differenciálva az változó szerint f f = cos ln + sin Végigszorozva f-el, kapjuk a megoldást f = f cos ln + sin = sin cos ln + sin
2 63 Feladat Deriváljuk az f = sin megoldás f = sin = e lnsin = e lnsin Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e lnsin lnsin + sin cos = sin lnsin + ctg 2megoldás Vegyük az f = sin mindkét oldalának a logaritmusát: ln f = lnsin, amiből ln f = lnsin Mindkét oldalt differenciálva az változó szerint f f = lnsin + ctg Végigszorozva f-el, kapjuk a megoldást f = f lnsin + ctg = sin lnsin + ctg 64 Feladat Deriváljuk az f = cos megoldás f = cos = e ln cos = e cos ln Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e cos ln sin ln + cos = cos sin ln + cos 2megoldás Vegyük az i = sin mindkét oldalának a logaritmusát: ln f = ln cos, amiből ln f = cos ln
3 Mindkét oldalt differenciálva az változó szerint f f = sin ln + cos Végigszorozva f-el, kapjuk a megoldást f = f sin ln + cos = cos 65 Feladat Deriváljuk az f = cos megoldás f = cos = e lncos = e lncos sin ln + cos Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e lncos lncos cos sin = cos lncos tg 2megoldás Vegyük az f = cos mindkét oldalának a logaritmusát: amiből ln f = lncos, ln f = lncos Mindkét oldalt differenciálva az változó szerint f f = lncos tg Végigszorozva f-el, kapjuk a megoldást f = f lncos tg = cos lncos tg 66 Feladat Deriváljuk az f = sin cos f = sin cos = e lnsin cos = e cos lnsin Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f =e cos lnsin sin lnsin + cos sin cos = = sin cos sin lnsin + cos ctg
4 67 Feladat Deriváljuk az f = f = = e ln = e ln Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e ln 2 ln + = ln 2 + 68 Feladat Deriváljuk az f = f = = e ln = e ln Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e ln ln + 2 = ln + 2 69 Feladat Deriváljuk az f = e f = e = e ln e = e e ln Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e e ln e ln + e = e e ln + e 70 Feladat Deriváljuk az f = 2 3 f = 2 3 = e ln23 = e 3 ln2 Az átalakítás során alkalmaztuk az ln a b = b ln a logaritmus azonosságot Az összetett függvény f = e 3 3 ln2 ln2 + 3 2 2 = 2 3 3 ln2 + 3
5 7 Feladat Deriváljuk az f = arcsin2 Felhasználva, hogy f = e ln arcsin2 = e arcsin2 ln, az összetett függvény deriválási szabálya szerint külső függvény az e f = e arcsin2 ln 2 ln + arcsin 4 2, amiből f = arcsin2 2 ln 4 + arcsin2