Függvének tnulmánozás KÚPSZELETEK A KÖR A kör értelmezését mint mértni helet már z áltlános iskoláól ismeritek. A foglmk rögzítése céljáól felelevenítjük ezt z értelmezést: Értelmezés. Az O ponttól r távolságr levő pontok mértni hele síkn z O középpontú r sugrú kör. A kör egenlete Tekintsük z O(0, 0) középpontú r sugrú kört. Az M (, ) pont távolság z origó- tól +, tehát h M körön vn, kkor z értelmezés lpján + =r. Íg z O középpontú r sugrú kör egenlete: ( C) + =r (), (Az ekvivlens átlkításokól következik, hog minden () egenletet teljesítő koordinátájú pont rjt vn körön) O r M(,) 0 O O r 0 M(,) 0 O 0 M O M 89. ár 90. ár 9. ár Írjuk fel most eg tetszőleges O (, ) középpontú r sugrú kör egenletét. Az 0 0 M (, ) pont pontosn kkor vn rjt körön, h ( 0) + ( 0) = r, ez pedig egenértékű ( C) ( 0) + ( 0) = r. () egenlettel, ez utói egenlet z O( 0, 0) középpontú r sugrú kör egenlete. Megjegzés. Tuljdonképpen C( O, r) kör C( O, r ) kör ( 0, 0) vektorrl vló párhuzmos eltolás áltli képe (9. ár), innen pedig z () összefüggésől zonnl következik, hog C( O, r) egenlete () egenlet. Végezzük el () összefüggésen négzetre emeléseket és rendezzük: + ( 0 0 + 0 + 0 r ) = 0, Ezt z egenletet z áltlános másodfokú kétismeretlenes A + B + C + D + E + F = 0 egenlettel összevetve megállpíthtjuk, hog z áltlános kétismeretlenes egenlet csk kkor lehet kör egenlete, h A = C 0 és B = 0. Osszunk A-vl: ( C) + + + + c = 0. (3)
Függvének tnulmánozás Ez z egenlet kör áltlános (descrtesi) egenlete vg normál egenlete. + + + + c = 0, Az egenletet z ( ) ( ) ( ) lk is írhtjuk, tehát c,, függvénéen következő esetek lehetségesek: h + < c, kkor nem létezik (, ) pár, melre teljesül (3) összefüggés, zt is szoktuk mondni, hog ekkor képzetes körünk vn, vg hog mértni hel üres hlmz (h csk -en dolgozunk); h + =c, kkor mértni hel eg pont P(, ) és zt mondjuk, hog elfjult (degenerált) körünk vn; 3 h + > c, kkor (3) egenlet P(, ) középpontú és r = + c A kör grfikus árázolás Tekintsük C (, ) sugrú vlódi kör egenlete. középpontú és r sugrú kört. A kör egenlete: ( ) ( C) + ( ) = r. Kifejezzük z változót függvénéen: ( ) ( ) = r, = ± r ( ), íg kör következő két foltonos függvén grfikus képének egesítése: f( ) r Tehát C = Gf G f., ( ) = + és f r ( ) ( ) =. Árázoljuk grfikusn z ( ) f( ) = + r függvént! I. A mimális értelmezési trtománt z r ( ) 0 feltételől kpjuk meg. Az ( ) r egenlőtlenség ekvivlens r egenlőtlenséggel, tehát r r és íg D = [ r, + r]. ( ) ( ) II. f ( ) = =, tehát f növekvő z [ r, ] ( ) ( ) r r intervllumon és csökkenő z [, + r] intervllumon. A másodrendű deriváltól megállpíthtó, hog függvén konkáv. III. Mivel z értelmezési trtomán zárt intervllum és függvén foltonos, nincsenek szimptoták. IV. A függvén változási tálázt: r + r f ( ) + + 0 - f ( f ( ) + r Íg elkészíthetjük 9. árán láthtó grfikus képet. Az f pedig 93. árán láthtó
Függvének tnulmánozás 3 9. ár 93. ár Egenes és kör kölcsönös helzetei Az áltlános iskoláól tudjátok, hog eg egenes és eg kör kölcsönös helzetére következő három esetünk lehetséges:. két hlmz diszjunkt, tehát z egenes nem metszi kört (94. ár). két hlmznk eg közös pontj vn, tehát z egenes érinti kört (95. ár) 3. két hlmznk két közös pontj vn, tehát z egenes metszi kört (96. ár) 94. ár 95. ár 96. ár A fenti eseteket következő egenletrendszer megoldásink számávl jellemezhetjük: ( ) C :( 0) + 0 = r d : + + c = 0 H megoldások szám 0, kkor d egenes nem metszi C kört, h megoldások szám, kkor d érinti C -t, h pedig megoldás vn, kkor d metszi C kört. H második egenletől kiküszööljük vlmel változót, kkor kpott másodfokú egenlet Δ < 0, Δ = 0 vg Δ > 0 esetei szerint osztálozv z elői esetekhez jutunk. Adott pontn húzott érintő és normális egenlete Először eg áltlános prolémát vizsgálunk. Tekintsük z A + B + C + D + E + F = 0 egenletű görét és htározzuk meg z (, ) pontján húzott érintő egenletét. Az egenletől kifejezhető függvéneként. H z egenlet l oldlát, mint függvénét tekintjük és deriváljuk mjd kifejezzük -t, ugnzt z eredmént kpjuk, mint h elő kifejeznénk -t és kiszámolnánk deriváltját:
4 Függvének tnulmánozás A + B + C + C + D + E = 0, A + c + D tehát =, tehát z (, ) pontn húzott érintő iránténezője B + C + E A + c + D m =. Íg z érintő egenlete: B + C + E A + c + D = B + C + E ( ) ( ) ( ) ( ) A + B + C + + D + E A + B + C (4) Az (, ) göre pontj, tehát A + B + C = D E F és íg (4) A + B + C ( + ) + D ( + ) + E ( + ) + F = 0 + + + A + B + C + D + E + F = 0 (5) Az (5) egenletet z érintő duplázott egenletének nevezzük, mert göre egenletéől z + + +,,, és helettesítésekkel kpjuk. Íg z () egenletű körhöz z (, ) C pontn húzott érintő egenlete: + = r (6) Megjegzés. Ugnehhez z eredménhez jutunk, h felírjuk z f illetve f grfikus képéhez z, f ( ) illetve, f ( ) pontokn húzott érintő egenletét. ( ) ( ) Vlón z f grfikus képéhez z szcisszájú pontn húzott érintő egenlete f( ) f = ( ) = = r ( ) + + + = 0 + + + + + r = 0 + + + + + r = 0. n e 97. ár Értelmezés.. Eg göre dott pontján húzott érintőre merőleges egenest göre ezen pontjához trtozó normálisánk nevezzük. (97. ár) A (6) egenlet lpján z () körhöz z (, ) C pontn húzott normális egenlete = 0 (7)
Függvének tnulmánozás 5 Gkorltok és feldtok. Htározd meg következő körök középpontját és sugrát: ) + 4 = 0 ) + + 6 7 = 0 c) + + 0 + = 0 d) 3 + 3 4 6 5 = 0. Írd fel z M ( 3, ) középpontú és d = 8 átmérőjű kör egenletét! Írd fel z = 0 szcisszájú pontjin húzhtó érintőinek egenletét! 3. Htározd meg z + 4 0 = 0 egenletű kör középpontjánk koordinátáit és sugrát! Írd fel körhöz z M ( 3, 7) pontól húzhtó érintők egenletét! 4. Írd fel z ABC köré írt kör egenletét, h csúcsok koordinátái: A (, ), B ( 0, 5) és C ( 6, 3). 5. Írd fel zon kör egenletét, melnek középpontj M ( 6, 7) és érinti z 5 4 = 0 egenletű egenest! 6. Írd fel z + 4 + 5 = 0 egenletű kör + = 0 egenletű egenesre merőleges normálisánk egenletét. 7. Eg M ( 3, ) középpontú kör 5 + 8 = 0 egenletű egenesen eg 6 hosszúságú húrt htároz meg. Írd fel kör egenletét! 8. Eg O középpontú kör AB átmérőjének hossz 4 ( > 0 ). M kör eg változó pontj. ) Írd fel z AOM és BOM háromszögek köré írt P illetve Q középpontú körök egenletét; ) Bizonítsd e, hog P és Q pontok AB egenestől mért távolságink szorzt állndó és AP BQ. c) Htározd meg z AP és BQ egenesek metszéspontjánk mértni helét! 9. Htározd meg d : cosα + = és d : cosα = (α ) egenletű egenesek metszéspontjánk mértni helét AZ ELLIPSZIS Értelmezés. Azon M pontok mértni helét, melek két dott A és B ponttól mért távolságink összege állndó (és ngo, mint z AB távolság) ellipszisnek nevezzük. Az A és B pontok z ellipszis fókuszi vg gújtópontji, z AB egenes z ellipszis fokális tengele, míg fókuszok és z ellipszis eg tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszok vezérsugrk. Ahhoz, hog legen eg elképzelésünk z ellipszis lkjáról, végezzük el következő szerkesztés: Rögzítsük le eg l hosszúságú mdzg két végét z A és B pontok
6 Függvének tnulmánozás és feszítsük ki eg ceruzávl, h minden ilen ponton végighúzzuk ceruzát, kkor kirjzolódik z ellipszis (98. és 99. ár) 98. ár 99. ár Megjegzés. H fókuszok egeesnek, kkor mértni hel eg kör. Tehát kör eg sjátos ellipszis. Az ellipszis knonikus egenlete Tekintsünk eg oln koordinátrendszert, melen fokális tengel z O és fókuszok áltl meghtározott szksz felezőmerőlegese z O. Íg feltételezhetjük, hog fókuszok koordinátái F( c,0) és F( c,0). Jelöljük -vl z ellipszis tetszőleges M (, ) pontjánk fókuszoktól mért távolságink összegét (00. ár). Ez két távolság kpjuk: ( c) + és ( ) ( ) c + + + c + = ( + c) +, tehát következő egenleteket ( c) + = ( + c) + ( c) + = 4 + ( + c) + 4 ( + c) + (h ( + c) + < 4 ()). Egszerűsítjük z elői egenletet: ( + c) + = + c (( + c) + ) = ( + c) + c 0 c + = ( c ) h (), tehát z egenletet ( ), zz + = (3) c lkn is írhtjuk. H z () és () feltételek nem teljesülnek, kkor ellentmondáshoz jutunk, tehát nincsenek oln pontok z ellipszisen, melekre nem teljesülnek ezek feltételek. Másrészt, h és teljesíti (3) feltételt, kkor z () és () feltételek is teljesülnek. Íg (3) z ellipszis egenlete válsztott koordinátrendszeren. H z ellipszis z O tengelt B(0, ) és B (0, ) pontokn metszi, kkor z OBF derékszögű háromszögől = c. Íg megkpjuk z ellipszis knonikus egenletét:
Függvének tnulmánozás 7 - A -c F O - B B c F A ( E ) + = (4) H (, ) E, kkor 00. ár (, ),(, ),(, ) E, tehát z ellipszis szimmetrikus koordinát tengelekre nézve és z origór nézve. H A és A z O tengellel vló metszéspontji, kkor: = AF + AF = AF + AF = AA, tehát z A és A pontok szcisszái és. Az AA z ellipszis ngtengele, míg BB kistengel. Íg és féltengelek hosszi. A c számot, mi z ellipszis középpontj (O ) és fókuszok közötti távolság, z ellipszis lineáris ecentricitásánk nevezzük, lineáris ecentricitás és fél ngtengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük. H z ellipszis ecentricitásáról eszélünk (nélkül, hog hngsúlozv legen, hog lineáris vg numerikus), kkor numerikus ecentricitásr utlunk. Ezt e -vel jelöljük és: c e = =. Az ellipszis fókuszán átmenő és ngtengelre merőleges húr félhosszúságát z ellipszis prméterének nevezzük és p -vel jelöljük. A knonikus egenletől - A -c F r B - O c B p r M c F A p =. 0. ár: Az ellipszis dti F, F fókuszok O középpont FF fokális tengel FF = c fokúsztávolság c lineáris ecentricitás AA = ngtengel fél ngtengel BB = kistengel fél kistengel r, r vezérsugrk ( r + r = ) p prméter H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z (, 0) vektorrl (vg koordinátrendszert (,0) -vl), kkor z ellipszis egenlete: ( ) p + = = E : = p (5). F O F O c A 0. ár
8 Függvének tnulmánozás H z ellipszist párhuzmosn eltoljuk z ( 0, 0) (0. ár), kkor z ellipszis egenlete: ( E ) Az ellipszis grfikus árázolás Az ( E ) ( ) ( ) 0 0 + = (6) + =,, > 0 egenletű ellipszist fogjuk árázolni. A kör esetéhez hsonlón járunk el =±, tehát z f : [, ] [ 0, ], f ( ) = és [ ] [ ] f :,,0, f ( ) =, függvéneket kell árázoljuk, mert E = G f G f. Árázoljuk z f függvént! I. A mimális értelmezési trtománt z 0 feltétel dj, íg D = [, ]. II. f ( ) =, tehát f növekvő [,0] intervllumon és csökkenő [ 0, ]-n. A másodrendű deriváltól megállpíthtó, hog függvén konkáv. III. Mivel z értelmezési trtomán zárt intervllum és függvén foltonos, nincsenek szimptoták. IV. A függvén változási tálázt: f ( ) + + 0 - f ( f ( ) 0 0 A grfikus képek 03. és 04. árákon láthtók. 03. ár 04. ár - O - O - - Egenes és ellipszis kölcsönös helzetei Itt is három eset lehetséges:
Függvének tnulmánozás 9. z egenes nem metszi z ellipszist (05. ár). eg közös pontjuk vn, tehát z egenes érinti z ellipszist (06. ár) 3. két közös pontjuk vn, tehát z egenes metszi z ellipszist (07. ár) A metszéspontok koordinátáit itt is úg kphtjuk meg, h megoldjuk z ellipszis egenletéől és z egenes egenletéől álló rendszert. 05. ár 06. ár 07. ár Adott pontn húzott érintő és normális egenlete Az áltlános egenletől duplázássl megkpjuk z (, ) pontn húzott érintő egenletét: + = (08. ár). Ugneen pontn normális egenlete: 08. ár = Gkorltok és feldtok. Írd fel z ellipszis egenletét z lái eseteken, mjd árázold is: ) fókuszi F (, 0 ) és F (, 0 ), ng féltengel hossz = 5 ; ) egik fókusz F (, ), középpontj C (, 4) és ng féltengel hossz = 0 ; c) középpontj z origó, tengelei koordináttengelek és z ellipszis átmeg 9 z A 4, és 5 A 3, pontokon; 5 d) ngtengel 6, fókuszi pedig F ( 4, 0 ) és F ( ). 0, 0. Írd fel 6 + 5 + 3 00 84 = 0 ellipszis knonikus egenletét! 3. Htározd meg 4 + 9 = 676 egenletű ellipszis = 5 szcisszájú pontjához húzott érintő egenletét! 4. Bizonítsd e, hog h eg O középpontú, F és F fókuszú ellipszis M tetszőleges pontj, kkor MF MF + MO = +, hol illetve ng illetve kis féltengel.
0 Függvének tnulmánozás 5. Bizonítsd e, hog z összes oln háromszög közül, meleknek z egik oldl l és félkerülete p, z egenlőszárú háromszög területe legngo! 6. Bizonítsd e, hog z ellipszishez dott pontn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög külső illetve első szögfelezői. (Ezt z ellipszis optiki tuljdonságánk nevezzük, mert z ellipszis egik fókuszán elhelezett fénforrásól kiinduló tetszőleges fénsugár z ellipszisről (elliptikus tükörről) történő visszverődés után másik fókuszon fog átmenni). A hiperol 09. ár Értelmezés. Azon M pontok mértni helét, melekre MF MF =, hol F és F rögzített pontok és FF >, hiperolánk nevezzük. F és F hiperol fókuszi, z FF egenes fokális tengel, míg fókuszok és hiperol tetszőleges pontj áltl meghtározott szkszok vezérsugrk. A hiperol knonikus egenlete Tekintsünk eg oln koordinátrendszert, melen fokális tengel z O és z FF szksz felezőmerőlegese z O. Íg feltételezhetjük, hog fókuszok koordinátái F( c,0) és F( c,0). H M (, ) hiperol tetszőleges pontj, kkor: c + + c + = ( ) ( ) ( c) + =± + ( + c) + ( c) + = 4 + ( + c) + ± 4 ( + c) + (( + c) + ) = ( + c) ± ( + c) + = + c ( c ) = ( c ) =. c Eől z egenletől következik, hog hiperol metszéspontji z O tengellel A (,0) és A (,0). Ezeket pontokt hiperol csúcsink nevezzük és z AA egenest hiperol vlós tengelének. Az AA = távolság vlós tengel hossz. H megszerkesztjük z AA átlójú és c oldlú romuszt, kkor másik átlój B hiperol képzetes tengele, és képzetes tengel hossz. A szerkesztés lpján = c, és íg A O A hiperol egenlete: F F ( H ) = () 0. ár
Függvének tnulmánozás Ez z egenlet hiperol knonikus egenlete. H (, ) H, kkor (, ), (, ), (, ) H, tehát hiperol szimmetrikus tengeleire és válsztott koordinátrendszer origójár. Ezért z O pontot hiperol középpontjánk nevezzük. A c távolságát hiperol lineáris ecentricitásánk, lineáris ecentricitás és fél vlós tengel hándosát pedig numerikus ecentricitásnk nevezzük. A numerikus ecentricitást e -vel jelöljük és c e = = +. A hiperol fókuszán átmenő és vlóstengelre merőleges húr félhosszúságát hiperol prméterének nevezzük. A p prmétert hiperol () egenletéől =± c helettesítéssel kpjuk: p =. d F A B r O A B c r F p d M. ár: A hiperol dti F, F fókuszok O középpont FF = c fókusztávolság c lineáris ecentricitás AA = vlós tengel fél vlós tengel BB = képzetes tengel fél képzetes tengel r, r vezérsugrk ( r r = ) p prméter d, d szimptoták H hiperolát párhuzmosn eltoljuk (, 0) vektorrl, kkor hiperol egenlete: ( + ) = = + p ( H) = p + (4). (. ár) F A A F O O. ár A hiperol grfikus árázolás A ( H ) =,, > 0
Függvének tnulmánozás egenletű hiperolát fogjuk árázolni. Kifejezzük -t z függvénéen: =±. Íg hiperol következő függvének grfikus képeinek egesítése: f :(, ] [, + ), f( ) = és f :(, ] [, + ), f( ) =. Az f függvént fogjuk árázolni. Az f függvén grfikus képe ennek szimmetrikus z O tengelre nézve. I. lim f ( ) =+, lim f ( ) =+, de + ( ) f ( ) m = lim = lim = lim =, n = lim [ f( ) m] = lim + = 0, tehát = ferde szimptot felé. f ( ) A + felé pedig m = lim =, n = 0, tehát een z eseten ferde + szimptot =. II. f ( ) =, nem értelmezett z =± pontokn, < 0 esetén negtív és > 0 esetén pozitív. lim f ( ) = =, lim f ( ) = =+, + 0 + 0 tehát f ( ) = és f ( + ) = +. III. A változási tálázt: ////// + f ( ) - - ////// + + + f ( ) + 0 ////// 0 + O - A 3. árán foltonos vonl z f függvén grfikus képe, pontozott egenesek z szimptotát, szggtott vonl pedig z f függvén grfikus képe. 3. ár
Függvének tnulmánozás 3 Egenes és hiperol kölcsönös helzetei A d : + + c = 0 és z = hiperol metszéspontjit megkphtjuk következő egenletrendszer megoldásávl: =. + + c = 0 Ez eg másodfokú egenlethez vezet, tehát három esetet különöztetünk meg:. d egenes nem metszi hiperolát (4. ár). d egenes érinti hiperolát (5. ár) 3. d egenes két különöző pontn metszi hiperolát (6. ár) 4. ár 5. ár 6. ár Adott pontn húzott érintő és normális egenlete Az áltlános egenletől duplázássl megkpjuk z (, ) pontn húzott érintő egenletét: = normális egenlete: + = + Gkorltok és feldtok 7. ár. Számítsd ki 9 6 = 44 egenletű hiperol féltengeleit és fókuszit mjd írd fel z szimptoták egenletét!. Írd fel 9 6 + 90 + 3 367 = 0 egenletű hiperol knonikus egenletét és htározd meg középpont koordinátáit! 3. Htározd meg nnk hiperolánk z egenletét, mel átmeg P(9, 4) ponton és teljesíti következő két feltételt:
4 Függvének tnulmánozás ) vlós tengele 6 ; ) vlós tengele z O tengel. 4. Htározd meg z F (, ) és F ( ), fókuszú hiperol egenletét, h képzetes tengel hossz 4 és írd fel z szimptotáink vlmint z = 3 szcisszájú pontjin húzott érintőinek egenletét! 5. Htározd meg z F ( 4, 0) és F ( ) 4, 0 fókuszú hiperol egenletét, h vlós tengel hossz 6 és írd fel z szimptotáink vlmint z = 5 szcisszájú pontjin húzott érintőinek egenletét! 6. Írd fel z = egenletű hiperol szimptotáink vlmint z = 4 8 9 szcisszájú pontjin húzott érintőinek egenletét! 7. Bizonítsd e, hog h M eg O középpontú, és F fókuszú ellipszis tetszőleges pontj, kkor MO F MF MF =, hol és tengelek hossz. 8. Számítsd ki z = egenletű hiperol szimptotái és 4 9 9 + 4 = 0 egenletű egenes áltl meghtározott háromszög területét! 9. Az O koordinátrendszer O tengelén vegünk fel két M és N pontot úg, hog szcisszáik szorzt legen. Az M és N pontokon át meghúzzuk illetve iránténezőjű egeneseket, melek P -en metszik egmást. * (, + rögzítettek) Htározd meg P pont mértni helét! 0. Eg hiperol síkján lévő P ponton át párhuzmosokt húzunk hiperol szimptotáihoz, melek hiperolát M és N -en metszik. ) Htározd meg zon P pontok mértni helét, melekre MN átmeg hiperol középpontján! ) Htározd meg zon P pontok mértni helét, melekre z MN egenes párhuzmos hiperol vlmelik tengelével!. Bizonítsd e, hog hiperolához dott pontn húzott érintő és normális vezérsugrk áltl meghtározott szög szögfelezői. (A hiperol optiki tuljdonság) A prol 7. ár
Függvének tnulmánozás 5 v M Értelmezés. Azon pontok mértni helét, melek eg dott v egenestől és eg dott F ponttól egenlő távolság vnnk prolánk nevezzük. Az F pont prol fókusz, v vezéregenese és fókuszól vezéregenesre állított merőleges prol tengel. A fókusz és vezéregenes közötti p távolság prol prmétere. F A prol knonikus egenlete Tekintsünk eg oln koordinátrendszert, melen z p O tengel prol tengele, z O tengel fókusz és 8. ár vezéregenesre eső vetülete áltl meghtározott szksz p felezőmerőlegese. Íg fókusz koordinátái F,0 és p vezéregenes egenlete v : = (8. ár). H M (, ) prol tetszőleges pontj, kkor z értelmezés lpján: p p + = + p p, zz p + + = + p + és íg 4 4 ( P) = p (). Az () egenlet prol knonikus egenlete. H (, ) P, kkor (, ) ( P), tehát z O tengel szimmetritengel. Az O pont prol csúcs. A prol grfikus árázolás A következő prolát fogjuk árázolni: ( P) = p. Feltételezzük, hog p > 0. Kifejezzük -t z függvénéen: =± p, tehát következő függvéneket kell árázoljuk: f : [0, + ) [0, + ), f( ) = p, f :[0, + ) (,0], f( ) = p. Az f függvén változási tálázt: 0 + f ( ) + + f ( ) O f( ) 0 + 9. ár
6 Függvének tnulmánozás Az elői esethez hsonlón z f függvén grfikus képe prol felső ág (z O fölötti ág) z f függvén grfikus képe pedig z lsó ág (9. ár) Egenes és prol kölcsönös helzetei A kör, ellipszis és hiperol esetéhez hsonlón, metszéspontok koordinátáit itt is prol és z egenes egenletéől álló rendszer megoldásávl kpjuk. Ez z rendszer eg másodfokú egenletre redukálódik, íg következő esetek lehetségesek:. z egenes nem metszi prolát (0. ár). z egenes érinti prolát (. ár) 3. z egenes két különöző pontn metszi prolát (. ár) 0. ár. ár. ár Adott pontn húzott érintő és normális egenlete e n 3. ár Gkorltok és feldtok Az () egenletől duplázássl megkpjuk z húzott érintő egenletét e : = p( + ) Innen pedig normális egenlete: n : p = ( p ). (, ) pontn. Írd fel nnk prolánk z egenletét, melnek csúcspontj z origón vn, ) szimmetrikus z O tengelre nézve és átmeg z A(, 3) ponton; ) szimmetrikus z O tengelre nézve és átmeg z B ( 4, 8).. Htározd meg z 0 9 = 0 egenletű prol csúcspontjánk koordinátáit, prméter ngságát és tengelének iránát! 3. Htározd meg z = egenletű prol = szcisszájú pontjin átmenő érintőinek egenletét! 4. Htározd meg z = egenletű prol A(, 0) pontján átmenő érintőinek egenletét! Számítsd ki két érintő és két normális áltl meghtározott négszög területét! 5. Eg híd íve prol lkú. Htározd meg ezen prol prméterét, h fesztávolság 4 m és z ívmgsság 6m. 6. Htározd meg 4. árán vázolt prolikus trtószerkezet
Függvének tnulmánozás 7 ) felső és lsó prolívének egenletét; ) z és z AC rudk hosszát.,4 m AA 4. ár C A m 5 m C A 5 m Miért kúpszeletek? 4 m A körrel, prolávl, hiperolávl ellipszissel gkrn tlálkozhtunk természeten is. H ferdén vg vízszintesen eldounk eg testet, kkor nnk páláj prolív. (5. ár) Az előzőken, h z ellipszis, hiperol, prol prgrfusok utáni feldtokt megoldottátok eláthttátok z optiki tuljdonságikt ezen göréknek. A csillgászti lpismeretekhez trtoznk Kepler (57 630) törvénei. Az első törvénéen megfoglmzt, hog olgók Np körül ellipszispálán keringnek, és Np z ellipszispál egik fókuszán vn. (6. ár) v Bolgó v Np 5. ár 6. ár M már közismert, hog mesterséges holdk, szputnikok, z űrhjók Föld körül körpálán vg ellipszispálán keringenek. Ngo indítási seességgel, Földtől távoli égitestek kuttásár vissz nem térő szondákt küldtek, ezek hiperol pálán hldnk. M már elemi fiziki ismeretnek számít, hog fellőtt rkéták, űrhjók páláj z indító seességtől függően: ellipszis, melnek fellövés helétől távoli fókuszpontj Föld középpontj kör ellipszis, melnek fellövés heléhez közelei fókuszpontj Föld középpontj hiperol, melnek egik fókuszpontj Föld középpontj Ezek zt muttják, hog kör, z ellipszis, prol, hiperol rokonságn vnnk. 7. ár 8. ár 9. ár 30. ár
8 Függvének tnulmánozás A testek mozgását mtemtiki módszerekkel már XVI XVII. százdn kezdték vizsgálni, de prol, z ellipszis, hiperol foglmát jóvl korán, görög mtemtikusok már z ókorn, z i.e. II. százdn kilkították. Tö mtemtiki prolém vizsgáltánál rájöttek, hog h egenes körkúp plástját különöző helzetű síkokkl elmetszik, kkor nevezetes göréket kpnk. Ezeket közös néven kúpszeleteknek nevezzük. A kúpszelet ellipszis, h metszősík kúp egik lkotójávl sem párhuzmos. H metszősík merőleges kúp tengelére, kkor síkmetszet eg kör, ez is izonítj, hog kör eg sjátos ellipszis. H metszősík kúp egetlen lkotójávl párhuzmos, kkor kúpszelet prol. H két lkotóvl párhuzmos metszősík, kkor hiperol keletkezik. 3. ár: Kör 3. ár: Ellipszis 33. ár: Prol 34. ár: Hiperol 35. ár Elfjult kúpszeletek H kúp csúcspontjár illeszkedő metszősíkot veszünk, kkor elfjult kúpszeletet kpunk, mégpedig ellipszis helett pontot (elfjult ellipszis), prol helett eg egenest (elfjult prol) és hiperol helett két metsző egenest (elfjult hiperol). Eg tetszőleges kúpszelet egenlete következő A + B + C + D + E + F = 0 (A + B + C 0 ), sőt z elői egenlettel megdott másodrendű görék mind kúpszeletek (ide soroltuk z elfjult kúpszeleteket és z üres hlmzt is). Ez z egenlet eg-két trnszformációvl visszvezethető következők vlmelikére: Kör + = r Ellipszis + = Hiperol = Prol = p Két metsző egenes Két párhuzmos egenes = 0
Függvének tnulmánozás 9 = 0 Két egeeső egenes = 0 Gkorltok Pont + = 0 36. ár Másodrendű görék Üres hlmz + + = 0. Bizonítsd e, hog K : + = kör nem lehet egetlen függvénnek sem grfikus képe, de lehet két különöző függvén grfikus képének z egesítése!. Számítsd ki = 0 hiperol két 9 + 5 = 0 egenes áltl 4 9 lkotott háromszög területét! 3. Rjzold meg z lái függvének grfikus képét: ) f : D, f( ) = + ; ) f : D, f( ) = ( + )(5 ); 3 3 c) f : D, f( ) = 3. 4 4. Az f :, f ( ) = e függvén grfikus képét Guss-féle görének nevezik. Htározd meg zokt pontokt, melen z O középpontú, egségsugrú kör metszi ezt görét! Bizonítsd e, hog két görének vn közös érintője! 5. Htározd meg zon M(, ) pontok mértni helét, melekre + =! 4 9 6. Szerkeszd meg z f :, f ( ) = függvén grfikus képét! 4 7. Írj z + = ellipszise eg mimális területű tégllpot úg, hog nnk oldli tengelekkel párhuzmosk legenek! ( 0 < < ). 8. Htározd meg z M( p, p) pont és z = p prol pontji közti legkise távolságot!
30 Függvének tnulmánozás 9. Htározd meg z A(, 0) pont távolságát z + = egenletű körtől! 0. Htározd meg z + = (0 < < ), ellipszis leghossz B( 0, ) ponton átmenő húrját!