Mátrixok és determiások
Mátrixlgebr mátrix foglm, lpműveletek mátrix oly számtáblázt, melyek m sor és oszlop v, hol m és pozitív egész számok tábláztb tetszőleges vlós számok szerepelhetek, zz mátrix elemei tetszőleges vlós számok lehetek Defiíció: z m sorb és oszlopb elredezett számtábláztot mátrixk evezzük Jelölés: mátrixokt áltláb z ábécé gybetűivel jelöljük, és számtábláztot szögletes zárójelek közé tesszük Péld: Áltláos: mátrix elemeit ij -vel jelöljük, hol z i, z első idex, midig sor számát jeleti mátrixb, így z értékei -től m-ig lehetek pozitív egész számok, j pedig z oszlop számát jelöli ( j ) Tehát: m m m, feti módo megdott mátrixot m (zz m-szer ) típusúk evezzük, z m és számokt szoktuk mátrix jelzőszámik is evezi [ ] i j, hol i m és j mátrixlgebr kifejezést egy kicsit gyképűe hszáljuk: eek tudomáyágk csupá gyo leegyszerűsített változtát tárgyljuk Előfordul, hogy mátrix elemei függvéyek, hlmzok, vgy mguk z elemek is mátrixok, illetve egyéb más dolgok Mi elsősorb oly mátrixokkl foglkozuk, melyek elemei vlós számok, más eseteket külö jelezzük számtábláztokt gykr tömbökek evezik, például számítástechikáb ez z elevezés áltláos z írásmóddl zt fejezzük ki, hogy z mátrix ij elemekből áll, és mátrixk m sor és oszlop v
mátrix trszpoáltj Defiíció: z [ ij ] mátrix trszpoáltj z T [ ji ] mátrix, hol i m és j Péld: z és z mátrixok egymás trszpoáltji T Gykr előfordul, hogy egy számtáblázt oszlopit és sorit felcseréljük Mátrixokál ezt z eljárást trszpoálásk evezzük Trszpoálás sor és oszlop csere Speciális mátrixok ) Nullmátrix z mátrix, melyek mide eleme ) Vektorok H mátrix egyik, vgy másik jelzőszám, kkor z ilye számsort, vgy számoszlopot vektork evezzük vektorokt z ábécé kisbetűivel jelöljük z oszlopvektor egyetle oszlopból áll, például:, z oszlopvektor lkot tekitjük elsődlegesek, sorvektort trszpoáltkét fogjuk fel, így h egy számegyüttest sorvektor lkb ( vízszitese ) íruk fel, kkor jelöléskor midig fel kell tűteti trszpoálásr utló jelet, például: b T [ - ] Sklárk evezzük zt vektort (mátrixot), melyek egyetle eleme v sklár egy tetszőleges vlós szám, jelölésére áltláb görög ábécé kisbetűit hszáljuk, például: ullmátrixokkl számításikb gykr tlálkozuk z vektor egy elemű ( típusú) oszlopvektor b T vektor egy elemű ( típusú) sorvektor sklárokt ( puszt számokt ) em szoktuk
α, β,,λ, µ Megjegyzés: mátrixokt gykr vektorokból összetettekek tekitjük, oly módo, hogy mátrix oszlopi oszlopvektorok, illetve sori sorvektorok Péld: dott z mátrix: szögletes zárójelek közé tei z oszlopok:,,, ) Négyzetes (kvdrtikus) mátrixok égyzetes mátrix foglm bee v evébe: mátrixk ugyyi sor v, mit oszlop, zz számtáblázt égyzet lkú Péld: z M mátrix -es, mátrix redje π M, 8 9 Elevezések: Főátló: bl felső sroktól jobb lsó srokig húzott átló, zz főátlób mátrixk zok z elemei vk, melyekek sor- és oszlopidexe zoos Példákb főátlót (fődigoálist) számok lkotják Mellékátló: főátlór merőleges átló ( jobb felső sroktól bl lsó srokig ) Példákb mellékátlót π, számok lkotják z oszlopokt vektorokkét jelölhetjük mátrix elemei tetszőleges vlós számok lehetek Defiíció: Digoális mátrixk evezzük zt
égyzetes mátrixot, melybe főátló kívüli elemek ullák Péld: D mátrix digoális ( D digoál mátrix): D (jelölés) < > Áltláos: H z mátrix digoális, kkor: < > Speciális: z oly digoális mátrixot, melyek főátlójáb csup egyes v, egységmátrixk evezzük és E -el jelöljük (-ed redű egységmátrix) Például: E < > Defiíció: Háromszög (triguláris) mátrixk evezzük zt mátrixot, melybe főátló ltti, vgy főátló feletti elemek ullák Felső háromszög mátrix, h főátló felett lehetek ullától külöböző ( értékes ) elemek, lsó háromszög mátrix z, hol főátló ltt lehetek ullától külöböző elemek Péld: T f mátrix felső triguláris, T pedig lsó triguláris: π T f, T 8 9 Természetese lehetséges, hogy főátlób is vk ullák, sőt, égyzetes ullmátrix egyúttl digoál mátrix is digoális mátrixot főátlój egyértelműe megdj, így jelölése < és > jelek közé írássl törtéik z egységmátrixok, vgy égyzetes ullmátrixok egyszerre lsó és felső háromszög mátrixok Defiíció: Szimmetrikus z égyzetes mátrix, melyek mide elemére igz, hogy i j j i Ez zt jeleti, hogy z elemek főátlór tükrözöttek Péld: z S mátrix szimmetrikus:
S 9 9 Műveletek mátrixok között Három lpműveletet értelmezük: két mátrix összedását, egy mátrix szorzását egy vlós számml (sklárrl), és mátrixok egymássl vló szorzását Mátrixok összedás és sklárrl vló szorzás Defiíció: z [ i j ] és B[b i j ] zoos, (m ) típusú mátrixok összegé zt C[c i j ] (m ) típusú mátrixot értjük, melyek mide elemére igz: c i j i j b i j Péld: z és B mátrixok dottk, összegük:, B, ekkor: BC 9 9 Defiíció: dott z [ i j ] mátrix és λ vlós szám mátrix λ-szorosá zt mátrixot értjük, melyek mide eleme z eredeti mátrix elemeiek λ-szoros, zz: λ [λ i j ] Két zoos típusú mátrixot tehát úgy duk össze, hogy megfelelő elemeiket összedjuk Például: z mátrix dott és legye λ Ekkor: és 9 kivoást külö em kell értelmezi, hisze z visszvezethető λ -gyel törtéő szorzásr és összedásr: B( )B mátrix mide elemét meg kell szorozi z dott sklárrl (számml) kivoás em lpművelet z összedás és sklárrl vló szorzás
8 tuljdosági Legyeek z, B, C zoos típusú mátrixok, λ és µ pedig vlós számok ) Kommuttív tuljdoság: BB, illetve: λ λ műveletbe tgok felcserélhetősége műveletek defiíciójából következik ) sszocitívitás: (BC)(B)C BC, illetve: (λµ)λ(µ) λµ z sszocitív tuljdoság szeriti átzárójelezés mátrixokr értelmezett két műveletre hsoló szbályok érvéyesek, mit vlós számok körébe értelmezett összedásr és szorzásr z átzárójelezhetőség, csoportosítás is műveletek defiíciójából következik többet is jelet: két mátrixr értelmezett összedás elvégezhető mátrix eseté is, illetve hsoló csoportosításokkl tetszőlegese sok tgr is,) disztributív tuljdoság: λ(b)λ λ B, illetve: (λµ)λµ z összefüggést jobbról blr olvsv szbály kiemelés lehetőségét trtlmzz z összedás és sklárrl vló szorzás trszpoáltjár érvéyes következő: (B) T T B T, illetve: (λ) T λ T, zz trszpoálás művelettrtó z összedásr és sklárrl vló szorzásr ézve szétosztás, zárójel felbotás szbály is műveletek defiíciójából következik Ez szbály is műveletek defiíciójából következik Mátrixok szorzás mátrixok egymássl vló szorzás eléggé eltér vlós számok körébe végzett szorzástól, bevezetéséhez előkészítést kell teük mátrixszorzást később mjd vektorok szorzásár vezetjük vissz Vektorok skláris szorzt
9 Defiíció: Két zoos elemszámú vektor skláris szorztá zt vlós számot értjük, melyet úgy kpuk, hogy megfelelő elemeket redre összeszorozzuk és kpott szorztokt összedjuk skláris szorztb z első téyező midig sorvektor, második téyező pedig oszlopvektor: T b[ ] b b b b b b i skláris szorzás eljárását ( szorozd össze megfelelő elemeket és szorztokt dd össze ) kompoálásk evezzük Péld: Legye T [ ] és b [ 8 ] T ( b oszlopvektor!) Ekkor: T b ( ) ( ) 89 Mátrixszorzás vektorokr botássl mátrixokt sorik, illetve oszlopik szerit vektorokr lehet boti Így összeszorozhtuk két mátrixot skláris szorzt defiíciój lpjá, h z első téyezőt sorvektorokr botjuk, másodikt pedig oszlopvektorokr Szükséges feltétel szorozhtósághoz, hogy sor- és oszlopvektorok elemszámi zoosk legyeek Péld: dott z és B mátrix, vegyük fel -t sorvektorokr, B-t oszlopvektorokr botv: [ ] [ ] i b i B z B szorztmátrix első sorák első elemét defiíció szeriti előírást, evezetese, hogy szorzt első téyezője sorvektor, második pedig oszlopvektor, szigorú be kell trti! kompoáláskor vlós számokt szorzuk egymássl, mi kommuttív, így ebbe z értelembe skláris szorztr igz téyezők felcserélhetősége szorzt első téyezőjéek midig sorvektork kell leie, második pedig oszlopvektor mátrixszorzást vektorok skláris szorztár vezetjük vissz
megkpjuk, h z első sorvektorát kompoáljuk B első oszlopvektorávl: [ ] [ ] T z B szorztmátrix első sorák második elemét megkpjuk, h z első sorvektorát kompoáljuk B második oszlopvektorávl: [ ] [ ] T 8 Tehát: B 8 Hsoló kompoálássl szorztmátrix második sorák első eleme:, második sor második eleme pedig Defiíció: H z mátrix m p típusú és B mátrix p típusú, kkor szorztuko zt z m típusú C mátrixot értjük, melyek bármely c i j eleme z mátrix i-edik sorvektorák és B mátrix j-edik oszlopvektorák skláris szorzt Két mátrix szorozhtóságák feltétele tehát z, hogy z első téyező oszlopik szám megegyezze második téyező sorik számávl, zz koformábilis legye két mátrix Péld: z mátrix ( )-es, milye típusú B mátrixszl szorozhtó meg? Megoldás: Két mátrix kkor szorozhtó össze, h középső jelzőszámik megegyezek Így em midegy, hogy egy dott mátrixot blról, vgy jobbról szorzuk egy másikkl z mátrix ( )-es, tehát jobbról egy ( ) típusú B mátrix-szl szorozhtó, ekkor szorzt ( ) típusú lesz ( pozitív egész) z mátrix blról pedig egy (m ) típusú B mátrixszl szorozhtó, ekkor szorzt (m ) típusú lesz Péld: dott z és legye B -es, ekkor z B szorztuk típusú: Kokrét: z és B kkor szorozhtó, h középső jelzőszámok megegyezek és ilyekor z eredméy jelzőszámit két szélső jelzőszám dj
8 Áttekithetőbbé tehetjük szorzást, h z ú Flk sémát lklmzzuk, mely szorzás következő elredezését jeleti: B Péld: Legye B -s, B szorzást végezzük Flk módszerrel: B 9 9 8 8 8 Speciális: h szorzt egyik téyezője ullmátrix, kkor z eredméy is z: és h szorzt egyik téyezője z egységmátrix, kkor z eredméy másik szorzótéyező: E és E mátrixszorzás eredméye kkor is lehet ullmátrix, h z egyik téyező sem Péld: dott z 9 és B szorzást sorvektor kompoálv oszlopvektorrl módo végeztük z eljárás lklmzáskor köyű hibát elköveti! Húztuk két egymásr merőleges szkszt, bl lsó egyedbe kerül z mátrix, jobb felsőbe B, és z eredméy, mit úgy kpuk, hogy z mátrix sorit kompoáljuk B megfelelő oszlopivl, jobb lsó egyedbe kerül Ügyeljük rr, hogy mid ullmátrixokk, mid z egységmátrixokk oly típusúkk kell leiük, hogy koformábilitás teljesüljö!
Képezzük z B és B szorztokt! Egyszerűe beláthtó (például Flk sémát lklmzv), hogy B B szorzt eredméy egésze más: Kérjük, végezze el ezt műveletet! B Ezt szorzást is el kellee végezie, célszerűe Flk sémát lklmzv! mátrixszorzás tuljdosági ) mátrixszorzás em kommuttív! Tehát: B B (Létezek kivételek: például h égyzetes és is:, vlmit: EE ) ) mátrixszorzás sszocitív, h szorzásál koformábilitás feáll: (B C)( B) C B C, zz két téyezőre értelmezett szorzás áltláosíthtó, illetve mátrixr is z sszocitívitás sklárszorzór is feáll: λ( B)(λ)B ) mátrixszorzás disztributív midkét iráyú szorzásál, h koformábilitás feáll: (BC) B C, illetve: (B) C CB C szorzt trszpoáltjár votkozó szbály: ( B) T B T T feti péld is idokolj, hogy áttekitsük mátrixszorzás műveleti szbályit Emlékszük: z sszocitivitás zt is jeleti, hogy áltláosíthtó művelet felsorolt tuljdoságok mátrixszorzás defiíciójából következek
mátrix determiás Mide -ed fokú égyzetes mátrixhoz hozzáredelhető egy szám Ezt számot mátrix determiásák evezzük Egy -ed redű égyzetes mátrix determiás z det szám, melyet következő szbály szerit számíthtuk ki: h, kkor det, h >, kkor k k det ( ) k, k, ( ) k, k, K k ( ) k, k, hol z k,j ldetermiást úgy kpjuk, hogy z mátrix determiásából elhgyjuk k sort és j oszlopot determiás értékét defiíció szerit következőképp számíthtjuk ki:,,,,,,,, zz főátló, elemeiek szorztából kivojuk mellékátló elemeiek szorztát Péld: Számítsuk ki mátrix determiásák értékét: det Mivel z ember lust, ebből kiidulv keressük mátrixukb oly sort vgy oszlopot, hol több ull Ezzel időt és eergiát spóroluk meg Nézzük kkor példát! Válsszuk ki középső sort, és képzeletbe tkrjuk le: Most pedig fejtsük ki determiást kijelölt sor Hogy determiást megkülöböztethessük mátrixtól, szögletes zárójelek [ ] helyett függőleges szkszokkl htároljuk: Például, h kkor,, 8
szerit: det ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) kiválsztott sorukból ullát és femrdó számok dt ldetermiást megfelelő előjellel kiszámoljuk következő lépésbe letkrtuk középső oszlopot és számot sorukból ellekező előjellel írtuk le z előjelek ciklikus változk determiást bármely sor és oszlop szerit kifejthetjük Srrus-szbály hrmdredű determiás kiszámítását elvégezhetjük következő sém szerit Először determiás első két oszlopát leírjuk determiás mellé, mjd jellel megjelölt volko z elemeket összeszorozzuk, szorztokt összedjuk, mjd ugyezt elvégezzük - jellel megjelölt elemekkel jelűekél kpott eredméyből kivojuk jelűekél kpott eredméyt Például: ( 8 ) ( ) 8 Srrus szbály kizárólg hrmdredű determiás kiszámításár szolgál! mgsbb redű determiásokt sorik vgy oszlopik szeriti kifejtésével oldjuk meg determiások lptuljdosági: H determiás egy oly oszlopot vgy sort
trtlmz, mely csk ullákból áll, végeredméy ull lesz H egy determiásb két egyform sor v, kkor végeredméy ull lesz determiást úgy szorozhtjuk vgy oszthtjuk egy számml, hogy egy sorák vgy oszlopák mide elemét szorozzuk vgy osztjuk z említett számml determiás értéke em változik, h egy sorák vgy oszlopák többszörösét hozzádjuk egy másik sorához vgy oszlopához Például: z első egyelőséget úgy kptuk, hogy determiás első sorát --gyel megszorozv, hozzádtuk hrmdik sorához második egyelőségél determiás első oszlopát szoroztuk meg ugycsk - -gyel, mjd hozzádtuk, és egyedik oszlophoz lieáris egyeletredszerek megoldás Crmmer-szbállyl determiásokt felhszálhtjuk lieáris egyeletredszerek megoldásár is Legye z egyeletredszer: b x x x b x x x b x x x,,,,,,,,, K L K K lkú z egyeletredszer együtthtóiból lkított mátrix z egyeletredszer mátrix, b szbd
tgokból lkított oszlopvektor szbd tgok vektor, zz M,,,,, M, K K K,, M,, b b b M H Ddet redszer determiás, és D, kkor b bármelyik x k ismeretle kiszámíthtó, mit Dk xk D, hol D k determiást úgy kpjuk, hogy D determiás k-dik oszlopát b oszlopvektorrl helyettesítjük Péld: x y x y D, D x, D y D x D, tehát x Dy és y D Megjegyzés: H D, zz redszer determiás, következőket szögezhetjük le: ) H D k midegyike, kkor redszer htároztl, zz számtl sok megoldás v, melyeket másfjt módszerrel kereshetük meg b) H leglább z egyik D k ullától külöböző, kkor z egyeletredszer elletmodó, zz ics megoldás Ez egy égyzetes egyeletredszer, zz z ismeretleek és egyeletek szám megegyezik Crmmer szbály égyzetes egyeletredszerekre: D x k Dk D Crmmer szbály külööse htékoy kétismeretlees egyeletredszerek megoldáskor Háromismeretlees egyeletredszerek megoldásár még hszálhtó, zob, háromál több ismeretlet trtlmzó redszerek megoldásár gy számításigéye mitt em jálott hszált D eseté hszáljuk más módszert
mátrix iverze Defiíció: dott z (x)-es (égyzetes) mátrix z mátrix iverzéek evezzük zt z - szimbólumml jelölt (x)-es mátrixot, melyre teljesül z lábbi zoosság: - - E, feltéve, hogy ilye mátrix létezik Például: - - - Egy mátrix sziguláris, h ics iverze Egy mátrix reguláris, h v iverze Bizoyíthtó, h det() em ull, kkor mátrix reguláris, zz létezik iverze: T det hol ik jelöli z mátrixból képzett előjeles (-) redű ldetermiást Péld:, ) det( T T H z égyzetes mátrix determiás em ull, kkor reguláris zz v iverze
8 Elleőrzésképp érdemes elvégezi z - szorzást z iverz mátrixot helyese kiszámoltuk, h z említett szorzt egységmátrix (E) mátrix iverzéek tuljdosági: ( ) T T ( ) ( ) ( B) B Mátrix-egyeletek: mátrixok iverzét fel tudjuk hszáli egyeletredszerek és mátrix-egyeletek megoldásár Tétel: Legye egy -ed redű reguláris mátrix, és B egy m-ed redű mátrix z XB mátrix egyelet megoldás z X - B, z X B egyelet megoldás pedig z XB - mátrix H feti tételbe B mátrix helyett b oszlopvektort helyettesítük z XB egyeletbe, lieáris egyeletredszert kpuk Tétel: Legye egy reguláris mátrix z xb lkú lieáris egyeletredszer megoldás z x - b oszlopvektor XB megoldás X - B X B megoldás XB -
9