Függvényhatárérték és folytonosság

8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak értékkészlete (Ran f ) pedig az R- nek valamely részhalmaza. Ha az n-et nem akarjuk hangsúlyozni akkor röviden valós függvényr l speciálisan ha n = akkor egyváltozós valós függvényr l beszélünk. D 8. Az egyváltozós valós f () ( Dom f ) függvényt síkbeli derékszög koordináta-rendszerben az ( f ()) koordinátájú pontok halmazával (az y = f () egyenlet geometriai alakzattal) ábrázoljuk ezt az alakzatot a függvény grakonjának nevezzük. A kétváltozós ( y) f ( y) (( y) Dom f ) valós függvény grakonjának egyenlete: z = f ( y) amely térbeli derékszög koordináta-rendszerben ábrázolható. A grakonnak az = a síkkal való metszete az = a z = f (a y) egyenletrendszer alakzat; - nívóvonal. Ezt az -nívóvonalat mer legesen levetítve az yz-síkra az = 0 z = f (a y) egyenletrendszer görbét kapjuk. Hasonlóan származtathatók az y- és z-nívóvonalak s ezek mer leges vetületei az z- illetve y-síkra. D 8.3 Az egyetlen egyenlettel meghatározott függvényt eplicit alakban megadottnak röviden eplicitnek nevezzük ha a kiszámítandó függvényérték az egyenlet egyik oldalán magában áll azaz n-változós függvény esetén y = f (... n ) ( k R k =... n) alakú. Minden más esetben a függvényt implicit alakban megadottnak röviden implicitnek mondjuk. Feladatok. Határozzuk meg az f( ) f ha f() = ( ) ( π π f 3 3 ha < 0; tg ha 0 < π; ha π 6. 8- ) f(4) f(6) helyettesítési értékeket

8. Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük. Határozzuk meg az f( ) f( 8) f( log 04) helyettesítési értékeket ha f() = 3 + ha ; ha < 3; 5 ha 3 <. 3. A oldalú ABCD négyzetet messük el az AC átlóra mer leges e egyenessel. Legyen az A csúcs és az e egyenes távolsága. Írjuk fel az A csúcsot is tartalmazó lemetszett síkidom területét függvényeként. Határozzuk meg a területet ha = illetve =. ( 4. Mivel egyenl f() f( ) f( ) f( + ) f() + f() f() f ) f() f( ) (f()) ha f() = +? Az 5. 9. feladatokban adjuk meg azt az f függvényt amely teljesíti a felírt egyenletet: 5. f( ) = ( ) + 6. f = + 0 ( ) ( 7. f = 8. f + ) = 4 + 0 + 9. f( ) = 3. 0. Adott az f() = log c függvény. Bizonyítsuk be hogy ha a b ( ) ( + ) a + b akkor f(a) + f(b) = f. + ab. Határozzuk meg az f() = a 3 + b + c + d racionális egész függvény (polinom) együtthatóit ha f( ) = 0 f(0) = f() = 3 f() = 5.. Határozzuk meg az f() = a+bc (c > 0) függvényben az a b c paraméterek értékeit ha f(0) = 5 f() = 30 f(4) = 90. 3. Milyen a érték mellett lesz az f() = 3 + a + függvény az = hely kivételével egyenl egy másodfokú függvénnyel? 4. Milyen a és b értékeknél lesz az f() = 3 + a + b + b függvény els fokú? + + Határozzuk meg az alábbi valós függvények értelmezési tartományát: 5. + 6. 5 7. 3 + 8. + 0 9. + 0. 0. lg(3 4). log a ( 4) 3. log log 3 log 4 4. log a ( + ) + log a ( ) 5. lg cos 8-

8. Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük 6. lg 5 + 6 + 4 + 6 7. 4 lg tg 8. lg log (3 8) 9. lg( lg( 5 + 6)) 4 3 30. 4 + ln(3 ) 3. ln(sin(ln )) 3. ln ln( ) +. Határozzuk meg az f és f valós függvények értelmezési tartományát ha: 33. f() = + 34. f() = + + 35. f() = + + 36. f() = 5 + 37. f() = 3 cos 38. f() = ctg. Határozzuk meg a következ függvények értelmezési tartományát és értékkészletét: 39. f() = cos 3 40. f() = + 4. f() = lg( cos ) 4. f() = +. Mi az értelmezési tartománya a következ függvényeknek ha az f függvény értelmezési tartománya a [0; ] intervallum? 43. f( 5) 44. f(4) 45. f( ) 46. f( + ) 47. f(3 ) 48. f(tg ). Határozzuk meg az alábbi többváltozós valós f függvények értelmezési tartományát valamint azt a geometriai alakzatot amely az értelmezési tartományt a síkbeli illetve térbeli derékszög koordináta rendszerben ábrázolja: 49. y 50. y 5. ln(y) 5. sin y 53. ln(sin cos y) 54. + + y z 55. ln( y z ) 56. 57. ( + y )(4 y ) 58. 59. + y + y 60. + y + y y ln cos π y 6. sin π sin πy 6. z y + 4 z y 63. ln( ln(y )) 64. ln( sgn y) 65. sin π + sin πy 66. + + y + c + y + c c R 8-3

8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke 67. r y + r > s > 0. + y + z s Ábrázoljuk a következ függvényeket: 68. f() = sin 69. f() = 70. f() = sin ha π 0; ha 0 < ; 7. f() = ha < 4 lg 7. cos 3 sgn sin 73. f() = + 74. f() = cos + cos 75. f() = + 76. f() = + +. 3 ha < 0; ha = 0; ha 0 < 77. Milyen geometriai transzformációkkal származtathatók az f() függvény grakonjából az f(+a) f()+b f(k) lf() f() f( ) (a b k l R {0}) függvények grakonjai ha értelmezve vannak? 78. Milyen geometriai transzformációkkal származtatható az f() függvény grakonjából az lf(k(+a))+b függvény grakonja ha értelmezve van? Ezek segítségével ábrázoljuk a függvényb l kiindulva a 3 4 függvényt. 79. Ábrázoljuk transzformációval az függvényb l kiindulva a + 5 + függvényt. 80. Ábrázoljuk transzformációval a cos függvényb l kiindulva a 3 cos 3 sin függvényt. Ábrázoljuk a következ függvényeket: 8. 3 8. 83. log +. Nívóvonalakkal (vagy a függvény grakonjára jellemz más síkmetszetekkel) szemléltessük az alábbi egyenletekkel megadott ( y) z függvényeket: 84. z = + y 85. z = + y 86. z = y 87. z = ( + y) 88. z = + y 89. z = + y 90. z = + y +. Az alábbi y egyváltozós valós függvényeket paraméteres egyenletrendszerrel adtuk meg. Küszöböljük ki a t paramétert! 9. = 3t y = 6t t 9. = t t + 3 y = t t + 93. = cos t y = sin t t [0 π] 94. = a cos t y = b sin t (a b > 0) 95. = a sin 3 t y = a cos 3 t t [0 π ] 96. = tg t y = sin t + cos t a 97. = t 3 + y = t 98. = y = at + t + t 99. = a t + a t y = a t a t (a > 0). 8-4

8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke Függvény határértéke D 8.4 (Heine) Az egyváltozós valós f függvény határértéke az 0 helyen l ha f értelmezve van 0 valamely E környezetében és minden olyan E-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = l. Jelölés: 0 f () = l. Az egyváltozós valós f függvény az 0 helyen végtelenhez (mínusz végtelenhez) divergál ha f értelmezve van 0 valamely E környezetében és minden olyan E-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = (n f ( n ) = ). Jelölés: 0 f () = ( 0 f () = ). Az egyváltozós valós f függvény határértéke a végtelenben l ha f értelmezve van a valamely E környezetében és végtelenhez divergáló minden E-beli [ n ] sorozatra n f ( n ) = l. Jelölés: n f () = l. Hasonlóan deniálható a mínusz végtelenben a határérték a végtelenben és a mínusz végtelenben végtelenhez illetve mínusz végtelenhez divergálás. D 8.5 (Cauchy) Az egyváltozós valós f függvény határértéke az 0 helyen l ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ hogy ha benne van 0 -nak δ sugarú környezetében azaz ha 0 < 0 < δ akkor az f függvény értelmezve van az helyen és f () benne van az l szám ε sugarú teljes környezetében azaz f () l < ε. Az egyváltozós valós f függvény az 0 helyen végtelenhez (mínusz végtelenhez) divergál ha bármely pozitív (negatív) k számhoz van olyan pozitív δ hogy ha 0 < 0 < δ akkor f () értelmezve van és f () > k (f () < k). Az egyváltozós valós f függvény határértéke a végtelenben l ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív k szám hogy ha > k akkor f () értelmezve van és f () l < ε. Hasonlóan deniálható a mínusz végtelenben a határérték a végtelenben és a mínusz végtelenben végtelenhez illetve mínusz végtelenhez divergálás. T 8.6 T 8.7 A függvényhatárérték Heine- és Cauchy-féle deníciója ekvivalens. (f () ± g()) = f () ± g() 0 0 0 f ()g() = f () g() 0 0 0 f () 0 g() = 0 f () 0 g() ha az egyenl ségek jobb oldalán álló határértékek léteznek. ( 0 g() 0) Feladatok A függvényhatárérték Heine- és Cauchy-féle deníciója (D 8.4 és D 8.5) alapján bizonyítsuk be a következ állításokat: 00. 3 + 5 + 4 = 8-5 0. 4 6 4 =

8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvény határértéke 5 + 0. 3 + 9 = 5 3 03. ( ) = 04. log a = (0 < a < ) 05. sin π nem létezik. n 0 06. Bizonyítsuk be hogy a 0 p + a p + + a p + a p q = + b q + + b q + b q 0 ha p < q; a 0 ha p = q; ha p > q és a 0 > 0; ha p > q és a 0 < 0; ahol p q N; a i b j R (i = 0... p; j = 0... q) és a 0 0 0. 07. Mutassuk meg hogy a 0 p + a p + + a p q = + b q + + b q 0 ha p < q; a 0 ha p = q; ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 ha p > q p q = k + a 0 > 0; < 0; < 0; > 0; ahol k p q N; a i b j R (i = 0... p; j = 0... q) és a 0 0 0. Az megfelel hatványával egyszer sítve határozzuk meg a következ függvényhatárértékeket: 08. + 3 + 09. 6 + 3 + 0. 4 3 + ( + 5) 5 + ( + 6) 5 + ( + 7) 5. + 5 + 5 ( ) 5. ( 3) 0 (3 + ) 30 ( + ) 50 3. 3 + 3 + 4. ( + + 3 + 4 ) 5. ( + )( + ) ( n + ). ((n) n + ) n+ Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket (ha szükséges akkor az 0 tényez vel való egyszer sítés útján): 6. + 4 5 7. + 4 5 8. + 4 5 9. 7 + 5 6 + 3 0 7 + 3 ( 3 0. + ) 3. p q (p q N + ) ( ). + ( + ) 5 5 3.. 3 + 0 + 5 8-6

8. Függvényhatárérték és folytonosság Vegyes feladatok Számítsuk ki az alábbi végtelenbeli függvényhatárértékeket az alkalmas hatványával való egyszer sítése útján: 4. + + + 5. + + + 6. 3 + 4 7. + 3 + + 4 4 + 5 4 +. Vegyes feladatok 8. 4 3 + 3 +. 3 9. + Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket a a ± b = 3 a ± 3 b = a ± b 3 a 3 ab + 3 b 30. 6 6 6 3. 5 34. 0 azonosságok alapján: 3. 3 4 + 3 5 3 + 4 3. 7 + + 6 + 3 + 3 3 + 3 3 4 + 33. 0 + + + 35. + 0 3 + 3 36. ( + ) 37. ( 38. ( 3 3 + ) 39. 40. 4. 0 ( + + + tg tg sin ) a b a b illetve a + ) 4 3 3 ( + 3 ) 4. ( ( + c)( + d) ) 43. π 6 sin + sin sin 3 sin +. Az alábbi feladatokban szerepl kifejezéseket ismert trigonometriai azonosságok alkalmazásával olyan alakra hozhatjuk hogy a felírt függvényhatárértéket közvetlenül leolvashatjuk. Végezzük el a átalakítást és írjuk fel a határértéket! 44. tg sin 0 sin 3 45. cos sin + π cos + sin sin ( π ) 46. 6 47. cos π 6 3 cos π 3 ( sin ) 8-7

8. Függvényhatárérték és folytonosság Vegyes feladatok ( 48. 0 sin ) 49. ( cos ) tg 0 tg sin 50. π 4 tg cos 5. 0 tg + cos. sin Felhasználva a = határértéket vizsgáljuk meg léteznek-e az alábbi 0 határértékek; ha igen számítsuk ki azokat! 5. sin 3 0 tg 4 53. 0 sin 54. sin α 0 sin β (β 0) sin 55. 0 sin 6 sin 7 56. cos 0 3 57. cos 0 58. cos 0 59. cos(sin ) 0 sin ( + tg + sin 60. 0 3 6. 0 cos π sin sin sin 6. sin 7π 63. sin π 64. sin π π 65. sin π. Számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket (a 7.64 7.66 feladatok és a függvényhatárérték Heine-féle deníciója (D 8.4) alapján): ( 66. + 7 67. ) ( + ) 3 0 68. 70. ( ) + + ( 69. 3 3 + ( + 3 tg ) ctg 7. ( 0 ( ) + 5 + 4. 3 + 7 7. 73. Bizonyítsuk be hogy ha 0 f() = a > 0 és 0 g() = b akkor 0 f() g() = a b. (Megjegyezzük hogy az 0 a -t vagy -t is jelentheti.) 74. Bizonyítsuk be hogy ha 0 f() = 0 g() = ) 3 ) és 0 g()(f() ) = b akkor 0 f() g() = e b. (Az el z feladathoz hasonlóan az 0 itt vagy is lehet.) A 73. és a 74. feladatok alapján számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket: 8-8 )

8. Függvényhatárérték és folytonosság Egyoldali függvényhatárérték ( + 75. + ( + 3 + 5 79. ( + sin π) ctg π 77. ) ( + 76. 3 ) 8 +3 ( + tg 78. 0 + sin 80. (sin ) tg π 8. ( + ) 0 Számítsuk ki a következ függvényhatárértékeket: 3 6 + 83. 3 84. + 8 8. (cos ). 0 ) sin 3 5 85. (sin + sin ) 86. cos 3 3 0 sin 6 + sin 3 4 sin 5 87. 88. cos cos 0 sin 6 0 tg 89. ( cos 3 ) ( ) sin sin 90. a 0 a sin a 9. Bizonyítsuk be hogy f() 0 h() = α g() 0 k() ) + f() 0 = 0 g() = α h() 0 k() (α R) (ahol 0 jelentheti a -t vagy a -t is). (a kπ k Z) Egyoldali függvényhatárérték D 8.8 A v valós szám δ hosszúságú bal oldali környezetén a (v δ; v) δ hosszúságú jobb oldali környezetén a (v; v + δ) intervallumot értjük. D 8.9 Az egyváltozós valós f függvény bal oldali határértéke az 0 helyen b ha f értelmezve van 0 valamely B bal oldali környezetében és minden olyan B-beli [ n ] sorozatra amelyre n n = 0 n f ( n ) = b; vagy ami ezzel ekvivalens ha bármely pozitív ε-hoz van olyan pozitív δ hogy ha benne van 0 -nak δ hosszúságú bal oldali környezetében azazha 0 δ < < 0 akkor f értelmezve van az helyen és f () benne van b-nek ε sugarú teljes környezetében azaz f () b < ε. (Jelölés: 0 0 f () = b; ha 0 = 0 akkor egyszer en 0 f () = b.) Hasonlóan deniálható az 0 helyen a jobb oldali határérték ( 0 +0 f () +0 f ()) a balról (jobbról) végtelenhez divergálás. T 8.0 Egyváltozós valós függvénynek valamely helyen akkor és csak akkor van határértéke ha ezen a helyen bal oldali és jobb oldali határértéke is létezik és a két egyoldali határérték egyenl ; ebben az esetben a határérték az egyoldali határértékekkel egyenl. 8-9

8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvények folytonossága Feladatok Határozzuk meg az alábbi egyváltozós valós függvények bal- és jobb oldali határértékét a megadott 0 helyen: { + 3 ha ; 9. f() = 3 5 ha < ; 0 = 93. f() = ; 0 = 94. f() = 3 + ; + 7 0 = cos 95. f() = ; 0 = 0 96. f() = cos π ; 0 = 0 5 97. f() = ( ) ; 3 0 = 98. f() = ( ) + 3( ) ; 0 =. Függvények folytonossága D 8. Az egyváltozós valós f függvényt folytonosnak nevezzük az 0 helyen (pontban) ha f értelmezve van az 0 helyen van határértéke az 0 helyen és f ( 0 ) = 0 f (). Hasonlóan értelmezhet az f függvény bal oldali illetve jobb oldali folytonossága. (A denícióban határérték helyett bal oldali illetve jobb oldali határértéket veszünk.) T 8. Adott pontban folytonos függvények összege különbsége és szorzata is folytonos ebben a pontban; két ilyen függvény hányadosa is folytonos ha az osztó nem zérus az adott pontban. D 8.3 Ha az f függvény az 0 helyen (pontban) folytonos akkor azt is szokás mondani hogy 0 az f folytonossági helye. Ha viszont az f függvény az 0 helyen nem folytonos de az 0 valamely környezetének minden pontjában folytonos akkor az 0 -t f szakadási helyének nevezzük. A szakadási helyek típusai: 0 hézagpont ha 0 f () létezik de az 0 helyen a függvény nincs értelmezve; az 0 pontban megszüntethet szakadása van f-nek ha 0 f () létezik f ( 0 ) is létezik de 0 f () f ( 0 ); az 0 pontban lényeges szingularitása van ha 0 f () nem létezik. A lényeges szingularitás fontos speciális esete a pólus: Akkor mondjuk hogy az 0 helyen pólusa van a függvénynek ha 0 f () =. Feladatok Vizsgáljuk meg hogy hol folytonosak az alábbi függvények. Ha a függvényeknek szakadási helyeik vannak akkor állapítsuk meg azok típusát: 8-0

8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvények folytonossága 99. f() = + 3 + 5 + 6 0. f() = 00. f() = 9 + 5 + 7 0. f() = 9 ( 3) 03. f() = 3 + 04. f() = 05. f() = + + 06. f() = + 07. f() = 5 3 08. f() = + { ha ; ha < + 09. f() = sin 0. f() = sin cos. f() = Ent +. sgn 4 + ha 0; 3. sgn sin 4. f() = ( ) ha 0 < ; 3 ha < { 5. cos { f() = ha 0; 6. 4 ha Q; f() = 0 ha = 0 4 ha R Q 7. f() = { ha kπ; 0 ha = kπ (k Z). cos cos Határozzuk meg ha lehetséges az a és b paraméterek értékét úgy hogy a következ függvények mindenütt folytonosak legyenek: { { 8. f() = sin ha 0; + 9. f() = ha ; + a ha = 0 a 3 ha = { { 0. a + ha 0 < ; cos ha 0; f() =. f() = ha 0 a( ) ha 0 < ( ) 3 ha 0;. f() = a + b ha 0 < < ; ha { ha ; 3. f() = + a + b ha < 4. f() = 5. f() = ( ) ha ; a ha = ; b ha = cos sin ha [ π ; 3π ] 0 π; a ha = 0; b ha = π. Vizsgáljuk meg hogy az alábbi függvények szakadási helyeiken folytonosak-e balról vagy jobbról: 8-

8. Függvényhatárérték és folytonosság Függvénygörbe aszimptotája { 6. ha ; f() = 0 ha > { + ha 0; 7. f() = { ( ) 8. f() = 9. ( ) Ent( ) ha = 0 30. f() = ln Ent(ln ) { ha 0; 3. f() = Ent ( ) ha 0 <. ha ; a( R) ha = Függvénygörbe aszimptotája D 8.4 Az e egyenest a végtelenbe nyúló g görbe aszimptotájának nevezzük ha a g görbén végtelenbe távolodó pontnak az e egyenest l való távolsága 0-hoz konvergál. Az f egyváltozós valós függvény görbéjének (grakonjának) aszimptotáját szokás egyszer en az f függvény aszimptotájának nevezni. T 8.5 Az y = f () egyenlet görbének az y tengellyel párhuzamos aszimptotája azaz függ leges aszimptotája csak olyan 0 helyen lehet ahol az f függvény legalább egy oldalról végtelenhez vagy mínusz végtelenhez divergál és ez esetben az = 0 egyenlet egyenes az aszimptota. T 8.6 Az y = f () egyenlet görbének akkor és csak akkor van az y tengellyel nem f () párhuzamos azaz ferde aszimptotája ha az m = és c = (f () m) vagy pedig m = f () és c = (f () m) határértékek léteznek. Ha ezek a feltételek teljesülnek akkor az y = m + c egyenlet egyenes a ferde aszimptota - ben illetve -ben. (Speciálisan ha m = 0 akkor vízszintes aszimptotáról beszélünk.) Feladatok Állapítsuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát! folytonosságukat és határozzuk meg aszimptotáik egyenletét: 3. f() = 33. f() = 34. f() = 4 35. f() = 6( 4) 3 + 8 + 36. f() = 37. f() = 38. 44 + f() = 39. f() = 3 4 40. f() = 3 ( ) ( 3 + ) 4. f() = + 3 8- Vizsgáljuk meg

8. Függvényhatárérték és folytonosság Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények 4. f() = 4 a + a 4 (a b 0) 3 3b + b { 43. f() = + sin ha 0; 0 ha = 0 44. f() = Ent Ent ; 0 = n(n Z) 45. Ent 3 f() = + 46. Bizonyítsuk be hogy az f() = a 0 p + a p + a p + + a p + a p q + b q + b q + + b q + b q (a 0 0 0 p N q N + ) függvénynek a p q+ feltétel mellett van ferde aszimptotája s ebben az esetben a ferde aszimptota egyenlete: a 0 + a a 0 b ha p = q + ; b 0 y = a 0 ha p = q; 0 ha p < q. Határozzuk meg az alábbi implicit alakban megadott y = y() függvények ferde aszimptotáinak egyenletét: 47. ( + y) ( + y) = 48. y 3 3 + y = 0 49. ( y ) = ( 0) 50. 3 + y 3 = 3 5. 4 = y 3 ( ) 5. y + y 4 = 4. Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények D 8.7 A valós (komple) érték f függvényt korlátosnak nevezzük ha van olyan v valós szám hogy f (P ) v a Dom f minden P elemére érvényes. Ha ez a feltétel csak az értelmezési tartomány valamely H részhalmazának P pontjaira teljesül akkor azt mondjuk hogy f a H halmazon korlátos. Megfelel módon deniálható valós függvény alulról illetve felülr l korlátossága. D 8.8 Az M metrikus térb l az M metrikus térbe viv függvényt a H( M ) halmazon folytonosnak nevezzük ha f a H minden bels pontjában folytonos továbbá a H-nak minden olyan P határpontjára amely H-hoz tartozik teljesül az hogy ha [P n ] olyan H-beli sorozat hogy n P n = P akkor n f (P n ) = f (P ). Ez azt jelenti hogy egyváltozós valós függvény valamely [a b] zárt intervallumon akkor és csak akkor folytonos ha az (a b) nyílt intervallum minden pontjában folytonos a-ban jobb oldalról b-ben pedig bal oldalról folytonos. T 8.9 Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvény korlátos is ezen a halmazon. 8-3

8. Függvényhatárérték és folytonosság Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények T 8.0 Legyen H az R k metrikus tér korlátos zárt részhalmaza. Ha f a H halmazon folytonos valós függvény akkor vannak olyan P P H hogy f (P ) = inf{f (P ); P H} f (P ) = sup{f (P 0 ); P H} azaz az f a H-n felvett értékei halmazának inmumát és szuprémumát is felveszi a H bizonyos pontjaiban. T 8. Legyen az egyváltozós valós f függvény folytonos az [a b] zárt intervallumon. Legyenek továbbá [a b] tetsz leges olyan pontok amelyekre f ( ) f ( ). Ha f ( ) c f ( ) (c R) akkor van olyan 0 [ ] (vagy 0 [ ]) hogy f ( 0 ) = c. T 8. (Bolzano) Ha az egyváltozós valós f függvény az [a b] zárt intervallumon folytonos és az intervallum két végpontjában ellentétes el jel akkor az intervallum belsejében van zérushelye. Feladatok 53. Van-e valós megoldása a sin + = 0 egyenletnek? 54. Van-e megoldása az 5 8 + = 0 egyenletnek a [ ] intervallumban? 55. Bizonyítsuk be hogy az a 0 n+ + a n + + a n + a n+ = 0 (a i R i = 0... n + a 0 0) egyenletnek van legalább egy valós gyöke. 56. Felveszi-e az f() = 3 4 sin π + 3 függvény a 7 értéket a [ ] intervallumban? 3 57. Legyen f a [0 ] zárt intervallumon folytonos függvény és Ran f [0 ]. Bizonyítsuk be hogy van olyan c [0 ] hogy f(c) = c. 58. Feszítsünk ki egy rugalmas szalagot a [0; ] zárt intervallumon úgy hogy a szalag kezd pontja 0 a végpontja legyen. Mozgassuk a szalag két végét egyszerre úgy hogy egy adott id pillanatban a kezd pontja a a végpontja pedig b legyen (0 a < b ). Mutassuk meg hogy van a szalagnak olyan pontja amely helyben marad. 59. Legyen f a [0 ] zárt intervallumon folytonos függvény és legyen f(0) = f() = 0. Bizonyítsuk be hogy bármely d (0 ] valós számhoz megadható a függvény grakonjának olyan húrja amely d hosszúságú. 60. Bizonyítsuk be hogy egy elhanyagolható vastagságú körgy r alakú elektromos vezet n van két olyan pont amely ugyanolyan h mérséklet. 8-4