16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

Hasonló dokumentumok
Rendezettminta-fa [2] [2]

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

Elsőbbségi (prioritásos) sor

Az első kiegyensúlyozott fa algoritmus. Kitalálói: Adelson-Velskii és Landis (1962)

Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 07

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

10. előadás Speciális többágú fák

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

7 7, ,22 13,22 13, ,28

Példa 30 14, 22 55,

A számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

Kvantum párhuzamosság Deutsch algoritmus Deutsch-Jozsa algoritmus

Kalkulus II., második házi feladat

B-fa. Felépítés, alapvető műveletek. Programozás II. előadás. Szénási Sándor.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

17. A 2-3 fák és B-fák. 2-3 fák

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

Algoritmuselmélet. 2-3 fák. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 8.

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Algoritmusok és adatszerkezetek II.

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

V. Deriválható függvények

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

file:///d:/okt/ad/jegyzet/ad1/b+fa.html

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

1. Gyökvonás komplex számból

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

Matematika I. 9. előadás

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Nevezetes sorozat-határértékek

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

10. tétel. Adatszerkezetek és algoritmusok vizsga Frissült: január 28.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

14. Előadás Döntött impulzusfrontú THz gerjesztési elrendezés optimalizálása

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

A figurális számokról (IV.)

6. előadás. Kiegyensúlyozottság, AVL-fa, piros-fekete fa. Adatszerkezetek és algoritmusok előadás március 6.

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

FAIPARI ALAPISMERETEK

Matematika B4 I. gyakorlat

file:///d:/apa/okt/ad/jegyzet/ad1/b+fa.html

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

I. rész. Valós számok

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

1. Komplex szám rendje

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

7. Dinamikus programozás

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l n 6n + 8

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 6.

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Hierarchikus adatszerkezetek

Kupac adatszerkezet. A[i] bal fia A[2i] A[i] jobb fia A[2i + 1]

LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

Elemi adatszerkezetek

1. Az absztrakt adattípus

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

7. Dinamikus programozás

Matematika alapjai; Feladatok

Fák Témakörök. Fa definíciója. Rekurzív típusok, fa adatszerkezet Bináris keresőfa, bejárások Bináris keresőfa, módosítás B-fa

Átírás:

6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú keresőfára, változatlaul érvéyesek a levezetett műveletek. Mide művelet beszúrás és törlés utá elleőrizzük, és a kell, elyreállítjuk az AVLtulajdoságot. Belátjuk:. Az AVL-fa maximális magassága:,44 log.. Az AVL-tulajdoság elyreállítása Θ illetve Ο log művelettel! Legkevesebb potszámú legmagasabb fa: Fiboacci-fa 0 Ω 0 4 4 7

Összefüggés az AVL-fa potszáma és magassága között: adattal felépítető fa miimális magassága? Majdem teljes biáris fa adattal felépítető fa maximális magassága? Ugyaez másogy: az adott magasságú AVL-fák között meyi a miimális potszám? 4 6 7 8 9 0 4 6 9 0 0 4 Jelölje a magasságú AVL-fák miimális potszámát. Pl.: 4. Rekurzív összefüggés: 0 Legye gg-g- - Fioacci-sorozat; F 0 0, F, F g0 g A g sorozat a -mal eltolt Fiboacci-sorozat: g F Ismeretes, ogy F

g,44 log log log log / 8 log : a -oz tartozó miimális potszám : az -ez tartozó Meggodolató, ogy eredméyük alapjá a fordított kérdésre is érvéyes a válasz. Ez azért kedvező, mert láttuk, ogy a keresőfa műveletei log t t Ο Ο mostai eredméyeket figyelembe véve Kérdés: Az AVL-tulajdoság milye ráfordítással tartató fe? A ibás esetek megfogatók sémába tükörképeik: A, szabály Ez jelzi, ogy elromlott az AVL-tulajdoság γ β α < < < < y x Ezt a traszformációt és a többit is forgatásak evezik. Eek a tükörképe a --, - szabály.

Pl.: ezt szúrtuk be Ha a fába em szerepele a 7, akkor a 0 romlaa el, és csak ezt kellee elyreállítai. Iduljuk el a beszúrt csúcs szülőjétől a gyökér felé. Addig mejük, amíg a korrekciókat elvégezve, vagy em jö, illetve amíg em változott csúcsoz em érük legfeljebb a gyökérig; a esetbe javítuk, ott lesz, és tovább már em kell ézi. B, - szabály Forgatás α < x < β < z < γ < y < δ Eek a tükörképe a --, szabály.

Pl.: Hogya kell ábrázoli az idikátorokat? Vagy bite iformáció vagy byte-o a magasságérték. örlésél a fizikailag törölt csúcs szülőjéél kezdjük a korrekciót. Ide kiegészítés tartozik Az AVL-tulajdoság elleőrzése egy útvoal bejárásával elvégezető, ami Οlog idejű. A forgatások pedig redre 6 illetve 0 poiter állítását igéylik, ez Ο műveletigéy. Végül teát Ο log Ο log Ο Ο log marad a műveletigéy.

Kiegészítés Megvizsgáljuk, ogya leet elyreállítai egy elromlott AVL-fát.. Beszúrás A. Ha a beszúrás atására, típusú lett az AVL-fa, akkor az új levél a γ részfába került. A beszúrás előtt a fa magassága volt. A forgatás utá ismét lett a magasság. Ezért feljebb, a fába a a létezik változatlaul érvéyes az AVL-tulajdoság; em kell feljebb mei elleőrizi és em kell forgati. B. Ha a beszúrás utá elromlott fa típusa, - típusú, akkor az új levél a z alatti β -ba vagy γ -ba került. Előzőleg a z csúcs alatt így ézett ki a fa: β γ - A beszúrás utá az egyik részfa magassága lett, a másik maradt -. Látató, ogy a beszúrás előtt az x gyökerű fa magassága volt, a forgatás utá ismét lesz. Ezért feljebb, a va befoglaló fa, ott már em romolat el az AVl-tulajdoság. Összefoglalva: A beszúrás utá az új levéltől felfelé aladva a gyökér felé újra számoljuk a csúcsok címkéit eze az útvoalo. Ha egy x csúcs címkéje vagy lesz, akkor az x gyökerű részfa forgatásával elyreállítató az AVL-tulajdoság. Beszúrás utá teát midig elegedő egyetle forgatás, a elromlott a fa. Műveletigéy Θ.

. örlés Haszáljuk az előző ábrákat! A., A törlés α törtét. Az α részfa magassága volt és lett. Az x gyökerű fa magassága -ról -re csökket. B., - A törlés itt is α -ba törtét. Az α magassága volt, lett. Az x gyökerű fa magassága - ról -re csökket. Ebbe az esetbe leet β γ. Összefoglalva: Mivel az x gyökerű fa magassága csökket a forgatással, ezért feljebb is, a va befoglaló fa, elromolatott az AVL-tulajdoság. Midkét esetbe. örlés utá a törölt elem szülőjétől kezdve eliduluk felfelé és újra számoljuk a csúcsok címkéjét, eze az útvoalo. Ha egy x csúcs címkéje vagy lesz, akkor az x gyökerű részfa forgatásával elyreállítatjuk aak AVL-tulajdoságát. Ha x em a gyökér, akkor feljebb kell lépi és folytati kell az elleőrzést. Szélsőséges esetbe az adott útvoal mide potjába forgati kell. Ez törtéik, a Fiboacci-fa legkisebb magasságú jobb szélső elemét töröljük. Műveletigéy: Ο log.