Algebra 11 1. évfolyam Szerkesztette: Hraskó Adrás, Kiss Géza, Pataki Jáos, Szoldatics József 017. jauár 3.
Techikai mukák (MatKöyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dées Balázs, Grósz Dáiel, Hraskó Adrás, Kalló Berát, Szabó Péter, Szoldatics József Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általáos Iskola és Gimázium 108 Budapest, Horváh Miháy tér 8. http://matek.fazekas.hu/ 005 / 017
Tartalomjegyzék Feladatok 3 1. Komplex számok....................................... 3 1.1. A harmadfokú egyelet megoldása Tartaglia szerit................. 3 1.. A komplex számok aritmetikája............................ 4 A képzetes egység..................................... 4 Abszolútérték és argumetum.............................. 4 1.3. A harmadfokú egyelet geometriája.......................... 6 1.4. Egységgyökök...................................... 7 1.5. Magasabbfokú poliomok geometriája........................ 8. Liaeáris algebra....................................... 9 3. Vegyes feladatok....................................... 11 Segítség, útmutatás 13 1. Komplex számok....................................... 13. Liaeáris algebra....................................... 13 3. Vegyes feladatok....................................... 13 Megoldások 15 1. Komplex számok....................................... 15. Liaeáris algebra....................................... 15 3. Vegyes feladatok....................................... 15 Alkalmazott rövidítések 17 Köyvek eveiek rövidítései................................. 17 Segítség és megoldás jelzése.................................. 17 Hivatkozás jelzése....................................... 17 Irodalomjegyzék 19 1
1. FEJEZET Komplex számok A matematika törtéetébe a komplex számok felfedezését megelőzte a harmadfokú egyelet megoldóképletéek megtalálása. Az olya harmadfokú egyeletek esetébe, amelyekek egy valós gyöke va, a Cardao-képletbe pozitív számból kell gyököt voi, és ez elvezet az egyelet egyetle valós megoldásához. Az olya harmadfokú egyeletek esetébe azoba, amelyekek három valós gyöke is va, ugyaott egy egatív számból kellee gyököt voi. Ez az eset a casus irreducibilis jeletette a kiidulópotot a komplex számok felfedezéséhez. Az 1.1-1.4 feladatokba Tartaglia eredeti godolatmeetéhez émileg hasoló eljárással állítjuk elő bizoyos harmadfokú egyeletek egy-egy valós gyökét. Az 1.5 feladat felvillat egy lehetőséget a casus irreducibilis feloldására a komplex számok bevezetése élkül. A [3], [], [5] műveket ajáljuk a törtéet irát mélyebbe érdeklődőkek. Ajálott verseyfeladatok: Zarub.8.10, Zarub.8.11, Zarub.8.13, Zarub.9.1, Zarub.9., Zarub.10.10. 1.1. A harmadfokú egyelet megoldása Tartaglia szerit 1.1. A mellékelt ábrá egy v v v méretű kockát látuk, amelyek bal felső hátsó sarkába egy x x x méretű kis kocka va. A 1.1.1. ábrá látható további vágások 4 további részre vágják a agy kockát, amelyek egyike szité kocka. Határozzuk meg a égy rész éleit és térfogatát! 1.1.1. ábra. b) A 1.1.1. ábra és Tartaglia alábbi verse (fordította Pataki Jáos) segítségével adjuk meg a b1), b) egyeletek egy-egy valós megoldását! Ha majd a kockát és az egytagot Látod a puszta számmal egybetei, Két új számod kivova légye eyi. Ez így kevés. Kell még egyharmadot Egytag számrészéből kockára vei: Jó, ha számaid szorozva ezt kapod. Két számodat már ha veszed kockául, S egyek oldalát máséval csorbítod, Mi rejtve volt eddig, elédbe tárul. 3
1 fejezet. Komplex számok 1.. A komplex számok aritmetikája b1) x 3 + 1x = 63 b) x 3 + 18x = 19. 1.. (M) Az 1.1. feladat alapjá készítsük megoldóképletet az x 3 + px + q = 0 alakú egyeletekhez! Igazoljuk, hogy a képlet tetszőleges előjelű p, q valós számok eseté megadja a harmadfokú egyelet egy valós megoldását, ha ( q ) + ( p 3 3) > 0 1.3. (MS) Vezessük vissza az y 3 +3y 3y 14 = 0 egyeletet az 1.. feladatba látott típusra és keressük meg egy valós megoldását! 1.4. (M) Oldjuk meg az alábbi egyeleteket az 1.1-1.. feladatokba látott módszerrel! Ábrázoljuk a bal oldalo található harmadfokú függvéyek grafikoját a Geogebra programmal és olvassuk le a közelítő megoldást. Vessük össze az eredméyeket! Megtaláltuk-e az összes valós gyököt? a) x 3 + 3x 4 = 0 b) x 3 1x + 16 = 0 c) x 3 19x + 30 = 0. 1.5. (M) a) Írjuk fel az addíciós tétel alkalmazásával a cos 3x kifejezést cos x poliomjakét! b) Az a)-ba yert képlet alkalmazásával oldjuk meg az alábbi harmadfokú egyeleteket! b1) 4x 3 3x = 1 b) 3y 3 6y = 1 b3*) x 3 19x + 30 = 0. 1.. A komplex számok aritmetikája A képzetes egység Jelöljö i olya számot(!?), amelyre i = 1. 1.1. (M) Tekitsük az a + bi, a, b R alakú számok halmazát! Írjuk fel ilye alakba az alábbi számokat! a) i ( + i) b) (1 + i) ( + i) c) (1 + i) d) +i i e) 4+3i 1+i f) 5 i 1 i g) (1 + i) 3 h) (1 i) 4. 1.. Végezzük el az alábbi alapműveleteket: a) (a + bi) (c + di) b) a+bi c+di c) (a + bi) d) (a + bi) 3 e) (a + bi) 4. 1.3. Mutassuk meg, hogy ha a 1, b 1, a, b valós számok és a 1 + b 1 i = a + b i, akkor a 1 = a és b 1 = b. 1.4. Keressük meg az összes olya z = a + bi (a, b R) alakú számot, amelyre a) z = i b) z = 1 + 3 i c) z3 = 1. Abszolútérték és argumetum A z = a + bi komplex szám (a, b R) abszolútértéke az a + b valós szám, azaz a 0-tól való távolsága. A komplex szám argumetuma az az iráyított szög, amellyel a pozitív valós félegyeest el kell forgati, hogy a 0 végpottú a komplex számot tartalmazó félegyeest kapjuk. A feti z komplex szám argumetuma az a φ szög, amelyre cos φ = a a + b, si φ = b a + b, ta φ = b a. 4
1.. A komplex számok aritmetikája 1 fejezet. Komplex számok 1.5. Adottak a következő komplex számok! i 1 + i + 6i 1 + 3i 1 3i. a) Határozzuk meg a számok abszolút értékét és argumetumát! b) Számítsuk ki az a) feladatrészbe adott számok égyzetét és azok abszolút értékét valamit argumetumát! c) Számítsuk ki az a) feladatrészbe adott számok reciprokát, azok abszolút értékét valamit argumetumát! d) Alább megadtuk egy-egy komplex szám abszolútértékét (r k ) és argumetumát (φ k ). Írjuk fel a számot! r 1 = 3, φ 1 = 5 r = 1, φ =,5 r 3 =, φ 3 = 60. 1.6. Írjuk fel az r 1 abszolútértékű, φ 1 argumetumú, és az r abszolútértékű, φ 1 argumetumú komplex számot! Számítsuk ki a két szám szorzatát, aak abszolútértékét és argumetumát! Fogalmazzuk meg matematikai összefüggést! 1.7. Határozzuk meg az alábbi komplex számokat kétféleképpe, algebrai átalakítással és geometriai elve, a kifejezésbe szereplő komplex számok argumetumáak és abszolút értékéek figyelembevételével! (1 + 3i) 3 1 1+ 3i 1.8. a) Végezzük el az alábbi hatváyozást! (cos α + i si α) 5 1+i 1 i ( ) 1+ 3i 0. 1 i b) Írjuk fel cos 5x-et cos x és si x poliomjakét! c) Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté cos(x) felírható cos x egészegyütthatós poliomjakét! 1.9. Írjuk fel az alábbi komplex számokat a + bi alakba (a, b R). +3i ( + 3i)(4 i) 4 i 81i 4 3i 3+i 1.10. [1] Két komplex szám összege és szorzata is valós. Mit modhatuk a két komplex számról? 1.11. A z = a + bi komplex szám kojugáltja (a, b R) a z = a bi komplex szám. Dötsük el, hogy az alábbi relációk közül melyek teljesülek mide z 1, z komplex szám eseté! a) z 1 = z 1 b) z 1 + z = z 1 + z c) z 1 z = z 1 z d) 1.1. Adjuk meg a z = z egyelet összes megoldását! z1 z = z 1 z. 1.13. Határozzuk meg a komplex számsíko az z = 1 z egyelet megoldáshalmazát! 1.14. Ábrázoljuk a komplex számsíko azo z számok halmazát, amelyekre a) z + z = 3 b) z z = 5i c) z 1 z R 1.15. [1] Keressük meg a komplex számsíko az alábbi relációk megoldáshalmazát! a) 1 < z < b) 1 < z 3 c) 1 = z + z + i. 1.16. [1] Adjuk meg a z = z egyelet összes megoldását ( N)! z 1 5
1 fejezet. Komplex számok 1.3. A harmadfokú egyelet geometriája 1.17. Adott a komplex számsíko egy körcikk-tartomáy, melyek középpotja a 0, sugara, ívéek végpotjai i és + i. Határozzuk meg e tartomáy képét és ősét a komplex számsík a) z 1 z b) z z leképezéseiél. 1.3. A harmadfokú egyelet geometriája 1.1. Legye ω = 1 + i 3. Végezzük el a beszorzást és egyszerűsítsük az alábbi kifejezéseket! a) (a + bω + cω ) (a + bω + cω); b) (a + b) (a + bω) (a + bω ); c) (aω + bω) (bω + aω). 1.. Legye ω = 1 + i 3. Számítsuk ki az ω + ω hatváyösszeget! 1.3. Határozzuk meg az összes olya z komplex számot, amelyek köbe a) 1 b) (-1) c) i d) (-i). 1.4. Adjuk meg az a) x 3 + 6x + 1x + 8(1 i) = 0 b) x 3 3x + 3x + i 1 = 0 harmadfokú egyelet összes megoldását! 1.5. Tudjuk, hogy a z szám egyik köbgyöke 1 + i. Határozzuk meg a többi köbgyökét! 1.6. A z komplex szám köbgyökei: z 1, z és z 3. Határozzuk meg a törtek összes lehetséges értékét! z 1 z, z z 3, z 3 z 1, z z 1, z 3 z, z 1 z 3 1.7. [7] Oldjuk meg az alábbi harmadfokú egyeleteket (e válasszuk le a megtalált egész vagy racioális gyököket, haem alkalmazzuk a Cardao képletet, illetve az ahhoz vezető eljárást)! a) x 3 6x + 9 = 0 b) x 3 6x + 4 = 0 c) x 3 + 1x + 63 = 0 d) x 3 + 6x + = 0 e) x 3 + 9x + 18x + 8 = 0 f) x 3 + 18x + 15 = 0 g) x 3 + 6x + 30x + 5 = 0 h) x 3 3x 3x + 11 = 0. 1.8. Jelölje az x 3 + px + q = 0 egyelet gyökeit x 1, x és x 3. Írjuk fel olya harmadfokú egyeletet, amelyek gyökei a) x 1, x, x 3, b) x3 1, x3, x3 3, c) x5 1, x5, x5 3. 1.9. Legyeek az f(x) = x 3 3x 1 poliom gyökei agyság szeriti sorredbe x 1 < x < x 3. Igazoljuk, hogy x 3 x = x 3 x 1. 1.10. [4] Marde tétele Mutassuk meg, hogy ha az f(x) = ax 3 + bx + cx + d poliom gyökei az A, B, C komplex számok és az f (x) poliom gyökei az F 1, F komplex számok, akkor F 1 és F az ABC háromszög Steier-ellipsziséek fókuszpotjai. A Steier ellipszis az a másodredű görbe, amely átmegy az ABC háromszög felezőpotjai és ott ériti az oldalegyeeseket. 6
1.4. Egységgyökök 1 fejezet. Komplex számok 1.4. Egységgyökök 1.1. Határozzuk meg a hatodik egységgyökök a) összegét, b) égyzetösszegét! Oldjuk meg a feladatot a hetedik egységgyökökkel kapcsolatba is! 1.. Adjuk meg az alábbi összeg potos értékét! cos 40 + cos 80 + cos 10 + cos 160 + cos 00 + cos 40 + cos 30 + cos 360. 1.3. Ismeretes, hogy 0 < eseté + 0 + +... = 1. 4 Eek egy lehetséges bizoyítását kapjuk, ha az alábbi két sort összeadjuk. = (1 + 1) = 1 + 1 1 1 1 + 1 1 + 1 3 1 3 + 1 4 1 4 +... 0 3 4 0 = (1 1) = Határozzuk meg (-től függő) értékét! 1 0 1 1 1 1 + + 0 1 1 + 3 +... 6 1 3 1 3 + 3 1 4 1 4 +... 4 1.4. Mutassuk meg, hogy (1 + i) 007 + (1 i) 007 egész szám és határozzuk meg az utolsó (1-es helyiértékű) jegyét! 1.5. Határozzuk meg az alábbi összeg értékét! 007 007 007 007 007 + +... ± 0 4 6 8 007. 006 1.6. Írjuk fel az alábbi poliomok gyöktéyezős alakját C[x]-be, illetve R[x]-be! a) x 3 1, x 4 1, x 6 1. b)* x 5 1, x 7 1, x 9 1. 1.7. Írjuk fel az x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 6 1 x 1 1 poliomot Q[x]-be irreducibilis téyezők szorzatakét! Határozzuk meg midegyik egységgyökről, hogy melyik irreducibilis téyező gyöke! 1.8. [1] Mutassuk meg, hogy a z poliom irreducibilis Q[z]-be! 1.9. [7] Jelöljö ǫ -edik egységgyököt! Határozzuk meg az alábbi kifejezés értékét! 1 + ǫ + 3ǫ +... + ǫ 1. 7
1 fejezet. Komplex számok 1.5. Magasabbfokú poliomok geometriája 1.10. [7] a) Mutassuk meg, hogy ha a z komplex számra z + 1 z = cos θ, akkor zm + 1 = cos mθ. b) Keressük hasoló összefüggést z + 1 z < eseté! 1.5. Magasabbfokú poliomok geometriája 1.1. [6] Tegyük fel, hogy Mutassuk meg, hogy ekkor a p 0 > p 1 > p >... > p > 0. p 0 + p 1 z + p z +... + p z poliomak ics zérushelye az z 1 egységkörlapo! 1.. [6] Tegyük fel, hogy a p 0 + p 1 z + p z +... + p z z m = poliom együtthatói, p 0, p 1, p,..., p pozitívak. Mutassuk meg, hogy ekkor eek a poliomak mide zérushelye az α z β körgyűrűbe va, ahol α a legkisebb, β pedig a legagyobb a p 1 p 0, p p 1, p 3 p,... p p 1 számok között. 8
. FEJEZET Liaeáris algebra.1. (MS) Számítsuk ki az alábbi determiásokat: 1 3 5 1 3 a) 4 6 b) 4 6 3 5 7 3 6 9 1 1 1 c) 1 1 1 1 3 0 1 1 d) 1 1 0 1 0 1.. (MS) Igazoljuk a determiás kiszámítása élkül, hogy az alábbi két determiás em 0. 3 14 4 5 14 a) 0 13 10 b) 19 1 1 4 3 4 3 9
fejezet. Liaeáris algebra 10
3. FEJEZET Vegyes feladatok 3.1. (MS) Jelölje P 4 a egyedfokú 1 főegyütthatós poliomok halmazát és tekitsük a φ : P 4 R φ(p) = 1 p(1) p + 1 p p(0) 1 + p(0) p + 1 p p( 1) leképezést (p P 4 ). Határozzuk meg a φ leképezés miimumát. Mely p poliomo veszi fel φ a miimális értéket? 11
3 fejezet. Vegyes feladatok 1
Segítség, útmutatás 1. Komplex számok 1.3. Végezzük el az y = x 1 helyettesítést!. Liaeáris algebra.1. Fejtsük ki a determiásokat valamelyik sora vagy oszlopa szerit, vagy pedig (akár előtte vagy helyette) alakítsuk át a determiást... Vizsgáljuk a determiásokat paritás szerit! 3. Vegyes feladatok 3.1. Becsüljük meg φ(p)-t, haszáljuk a a + b a + b egyelőtleséget! 13
Segítség, útmutatás 3. Vegyes feladatok 14
Megoldások 1. Komplex számok 1.. x 1 = 3 q + ( q ) + ( p) 3 ( 3 + 3 q q ) + ( p) 3 3 1.3. Az y = x 1 helyettesítést elvégezve kapjuk a x 3 6x 9 = 0 egyeletet. Eek megoldása az x = 3, ie y =. Az eredeti egyelet ezek szerit y 3 + 3y 3y 14 = (y ) ( y + 5y + 7 ) 1.4. a) x = 1 megoldás, tehát x 3 + 3x 4 = (x 1) ( x + x + 4 ) b) x = megoldás, tehát x 3 1x + 16 = (x ) ( x + x 8 ) c) x = megoldás, tehát x 3 19x + 30 = (x ) ( x + x 16 ) 1.5. cos3α = 4 cos 3 α 3 cosα 1.1. a) i ( + i) = i + i = 1 + i b) (1 + i) ( + i) = + 3i + i = 1 + 3i c) (1 + i) = 1 + i + i = 0 + i = i d) +i i = +i i i i = i+i i = i 1 1 = 1 i e) 4+3i 1+i = 4+3i 1+i 1 i 1 i = 10 5i 5 = i f) 5 i 1 i = 5 i 1 i 1+i 1+i = 9 8i 5 = 9 5 8 5 i g) (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i + i 3 = + i h) (1 i) 4 = 1 4i + 6i 4i 3 + i 4 =-4. Liaeáris algebra.1. A kapott értékek: 1 3 5 a) 4 6 = 0 b) 1 3 4 6 = 0 c) 1 1 1 1 1 = d) 0 1 1 1 1 0 = 3 5 7 3 6 9 1 1 3 1 0 1.. Vizsgáljuk a determiásokat paritás szerit, azaz ézzük az összes kiválasztható - külöböző sorokba és oszlopokba levő - számhármasok szorzatáak összegét. Mide ilye szorzat páros egy kivételével, így a determiás értéke csak páratla lehet, azaz 0 em lehet. A determiások értékei (kiszámítás utá): a) 993 b) 195 3. Vegyes feladatok 3.1. Legye p (x) = x 4 + ax 3 + bx + cx + d. Ekkor p ((1) = ) 1 + a + b + c + d p 1 1 = 1 + a + b 1 + c 1 + d p ((0) = ) d p 1 1 = 1 a + b 1 c 1 + d 15
Megoldások 3. Vegyes feladatok p ( 1) = 1 a + b c + d Most megbecsülve φ (p) értékét azaz φ(p) = 1 p(1) p + 1 p p(0) 1 + p(0) p + 1 p p( 1) = 1 p(1) p + 1 p(0) p + 1 p(0) p + 1 p( 1) p Ezt fel is veszi a 1 1 p(1) + p(0) + p( 1) p p = 1 = 1 p(x) = x 4 3 x + d = φ(p) 1 ( x 1 x 1 + d ) függvéyek esetébe, ahol d tetszőleges szám. További jó függvéyek p(x) = x 4 1 ( x + d = x x 1 ) + d vagy p(x) = x 4 x + d = x x 1 + d 16
Alkalmazott rövidítések Köyvek eveiek rövidítései A.I A.II A.III ALG.II ANAL.III F.I F.III G.I G.II G.III GR.II K.I K.II K.III SZ.I SZ.II V.II VV.III ZARUB Algebra, 7 8. évfolyam Algebra, 9 10. évfolyam Algebra, 11 1. évfolyam Algoritmusok, 9 10. évfolyam Aalízis, 11 1. évfolyam Függvéyek, 7 8. évfolyam Függvéyek, 11 1. évfolyam Geometria, 7 8. évfolyam Geometria, 9 10. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Speciális gráfelméleti példák, 9 10. évfolyam Kombiatorika, 7 8. évfolyam Kombiatorika, 9 10. évfolyam Kombiatorika, 11 1. évfolyam Számelmélet, 7 8. évfolyam Számelmélet, 9 10. évfolyam Valószíűségszmítás és statisztika, 9 10. évfolyam Városok viadala, 11 1. évfolyam Nemzeti verseyek, 11 1. évfolyam Segítség és megoldás jelzése A feladatok sorszámáál kerek zárójelbe M és S jelzi, ha a feladathoz (M)egoldás vagy (S)egítség található. Például 5. (M) Oldjuk meg a... vagy 5. (MS) Oldjuk meg a... Hivatkozás jelzése A feladatok sorszámáál szögletes zárójelbe zárójelbe szám jelzi a feladat származását vagy kapcsolatát mutató hivatkozást az Ajálott irodalom részbe. Például: 4. [0.] Oldjuk meg a... 17
Alkalmazott rövidítések 18
Irodalomjegyzék [1] Sárközy Adrás: Komplex számok példatár. Bolyai sorozat sorozat. Budapest, 1973, Műszaki Köyvkiadó. [] Szemjo Grigorjevics Gyigyiki: Törtéetek fizikusokról és matematikusokról. Budapest, 003, Typotex. ISBN 963 9548 43 X. [3] Pataki Jáos: Az algebra és a geometria házassága. 003/dec/1. LVIII/50. sz., Élet és Tudomáy. A Diákoldal melléklet XLIV-XLVII oldalai, XIII. évf. 6. szám. [4] Da Kalma: A Elemetary Proof of Marde s Theorem. 008. 115. sz., America Mathematical Mothly, 330 338. p. [5] Richard Makiewicz: A matematika históriája. Budapest, 003, HVG kiadó Zrt. ISBN 963755300. [6] Szegő Gábor Pólya György: Feladatok és tételek az aalízis köréből I. Budapest, 1980, Taköyvkiadó. [7] D. K. Fagyejev I. Sz. Szomiszkij: Felsőfokú algebrai példatár. Felsőfokú példatárak sorozat. 3. kiad. Budapest, 006, Typotex. 19