A MATEMATIKA TANÍTÁSA A MATEMATIKA TANÍTÁSA módszertai folyóirat Szerkesztõség: Fõszerkesztõ: Dr. Kosztoláyi József Szerkesztõség címe: 673 Szeged, Debrecei u. 3/B Tel.: (6) 470-0, FAX: (6) 554-666 Kiadó: MOZAIK Kiadó Kft. Felelõs kiadó: Török Zoltá Tördelõszerkesztõ: Kovács Attila Borítóterv: Szõke Adrás Megjeleik évete 4 alkalommal. A Matematika Taításába megjeleõ valameyi cikket szerzõi jog védi. Másolásuk bármilye formába kizárólag a kiadó elõzetes írásbeli egedélyével törtéhet. TARTALOM Pálmay Lórát (99 0) 03. március A pitagoraszi tételcsoport aalógja, és általáosításáak az aalógja a tetraéderbe Tuzso Zoltá taár, Székelyudvarhely Egy általáos geometriai módszer a hatváyösszegek meghatározására Dr. Darvasi Gyula fõiskolai doces, Nyíregyháza Az elsõ égyzetszám összege vajo lehet-e égyzetszám? Rigler Adrás egyetemi doces, Szeged A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá taár, Székelyudvarhely A római számok eredete Csiszár Zoltá taár, Szeged A 0/03. évi Hajdú-Bihar megyei Középiskolai Matematikai Verseyrõl Dr. Kátor Sádoré egyetemi adjuktus, Debrece Feladatrovat taárokak Közlési feltételek: A közlésre szát kéziratokat e-maile a kattila@mozaik.ifo.hu címre küldjék meg. A kéziratok lehetõleg e haladják meg a 6-8 oldalt (oldalakét 30 sorba 66 leütés). Kérjük, a kézirathoz csatoljaak egy rövid magyar yelvû kivoatot és egy agol yelvû Abstract-ot! A rajzokat, ábrákat, táblázatokat és féyképeket külö fájlokba is kérjük mellékeli. (A szövegrészbe pedig zárójelbe utaljaak rá.) Kérjük, hogy a szövegbeli idézések év- és évszámjelöléssel törtéjeek, míg a taulmáyok végé a felsorolt irodalmak alfabetikus sorredbe készüljeek. Kérjük szerzõtársaikat, hogy a kéziratok beküldésével egyidejûleg szíveskedjeek közöli potos címüket, mukahelyüket és beosztásukat. MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA Pálmay Lórát (99 0) 0. december 9-é, életéek 84. évébe elhuyt Pálmay Lórát, a magyarországi matematikataítás egyik legmeghatározóbb alakja. Pálmay Lórát 99-be született Budapeste, 95-be végzett az ELTE TTK matematika-fizika szaká. Az ELTE TTK Geometria Taszékéek oktatója volt 95-tõl 976-ig, de óraadókét élete végéig taított az egyeteme. 976-tól 999-ig, hivatalos yugdíjba voulásáig a Fõvárosi Pedagógiai Itézetbe volt vezetõ szaktaácsadó. Egyetemi oktató mukája mellett évig taított a budapesti Szet László Gimáziumba. Egyetemi jegyzetek, kiváló középiskolai taköyvek és feladatgyûjteméyek szerzõje és társszerzõje volt. Emellett számos módszertai jellegû cikket, taulmáyt, továbbképzési ayagot publikált. Az FPI mukatársakét õ fogta össze és koordiálta a fõvárosi speciális matematika tagozatos osztályokba taító taárok mukáját. Évtizedeke keresztül õ készítette a speciális matematikai osztályok számára a felvételi feladatsorozatokat, majd az ezt váltó tehetséggodozó versey feladatsorait. Tagja volt többek között az OKTV és a Kürschák József Matematikai Taulóversey feladatait kitûzõ bizottságak. Az elmúlt évbe több alkalommal is õ vezette a NAT és az aktuális kerettatervek matematika részét összeállító bizottságokat. Tevékeységét számos díjjal és kitütetéssel ismerték el, amelyekbõl éháy a teljesség igéye élkül: Beke Maó Emlékdíj I. és II. fokozata, Apáczai Csere Jáos-díj (993), Rátz Taár Úr Életmûdíj (00). Pálmay Taár Úrtól két, a 03. jauár 9-i temetése elhagzott ekrológ teljes közlésével búcsúzuk. Jóságos, érdeklõdõ, bölcs, midig szembeézõ tekitet, jeletõségteljese felemelt mutatóujj, amely yomatékosítja a csedese elmodott, okos szavakat. Gyögybetûvel írt jegyzetek óralátogatásokról, elõadásokról. Potosság és redszeresség idõbe és mukába, tájékozottság, szorgalom, igéyesség az alkotásba. Felelõsség a szakmáért, midazokért és midazért, akikkel és amivel mukája kapcsolatba hozta. Egyedülálló memória, amely mide taítváyt, kollégát, a matematikataítás szempotjából fotos eseméyt egész életé át megõrzött. MOZAIK KIADÓ 3
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március Segítség midig, midekiek, midebe, aki hozzá fordult, aki megbízott bee. Soha el em felejtett évapi jókíváságok. Midezek tovább élek beük. Pálmay Lórát yomot hagyott a világba. Már em gazdagítja tovább életmûvét, de amit tett dolgos életébe, az beépült, gyökeret vert azokba, akik kapcsolatba voltak vele. Búcsúzak azok a matematikataárok, akik Lóráttól taulták a matematika speciális területeit, a módszertat, a pedagógus hivatás megayi fortélyát, de mideekelõtt emberi tisztességet, a taítváyokért és a matematika tudomáyért érzett felelõsséget. Búcsúzik a Fazekas matematika mukaközössége, és midazok a pedagógusok, akikek lehetõségük volt vele dolgozi. A Fazekasba midig barátkét, kollégakét jött, akkor is, amikor az iskola és az Itézet szétvált, akkor is, amikor már papíro yugdíjas volt, de mide olya feladatot tovább végzett, amellyel segíthetett beüket. Matematikataárok ezrei részesültek szakmai módszertai tudásából, kaptak segítséget tõle továbbképzéseke, egyéi kozultációk alkalmával. A módszerta egyedülálló szaktekitélye volt. Hozzá hasolót em ismer a szakma. Tiszteltük, tiszteljük, bíztuk bee, taultuk tõle, életkoruktól és életkorától függetleül. A speciális matematika tagozat ügyét sajátjáak tekitette. A tehetséggodozás elmélete és gyakorlata életmûvéek jeletõs összetevõje. A Fazekas matematika mukaközössége úgy dötött (egyetértésbe az ország többi speciális matematika tagozatot mûködtetõ iskolájával), kezdeméyezi, hogy az eddig Bolyai verseykét ismert, a speciális matematika tagozatosok számára szervezett tehetségkutató versey a következõ taévtõl Pálmay Lórát evét viselje. Búcsúzom a magam evébe. Lórát az egyeteme taárom volt, figyelemmel kísérte a mukámat elsõ mukahelyeme, majd õ hívott a Fazekasba, beavatott a módszertai továbbképzés rejtelmeibe, számos lehetõséget teremtett arra, hogy kibotakozhassak, végig magamo éreztem figyelõ, vigyázó tekitetét. A bemutató órákat, vagy a továbbképzése elhagzott elõadásokat követõ elemzései, értékelése, taácsai örök érvéyû taulságul szolgálak, biztoságérzetet adak. Pálmay Lórát erededõ jóságával, jóhiszemûségével, jóidulatával, segítõkészségével jobbá tette maga körül a világot, az embereket. Köszöjük a sorsak, hogy a kollégái, taítváyai, barátai lehettük. Életmûve tovább él. Nyugodjék békébe. Hámori Veroika igazgató Tisztelt Gyászolók, kedves Taár Úr, drága Lórát! A valamikor volt FPI-s kollegákak és midazokak a evébe szólok, akikek hozzád hasolóa agyo fotos a magyar matematikai evelés ügye. Sok-sok taító, taár, szaktaácsadó és egyetemi oktató kollega búcsúját próbálom megfogalmazi. Shakespeare azt modatja Atoiusszal Julius Caesar temetésé, hogy... temeti jöttem Caesart, em dicséri é eek az ellekezõjére törekszem. A búcsú pillaataiba szeretém felidézi Pálmay taár úr alakját, tehát dicséri fogom szeretettel, barátsággal. Drága Lórát! Amikor a halálhíred utái dermedt szomorúság valamelyest felegedett, agyo sokat beszélgettük arról, kiek mi jutott leghamarabb eszébe Veled kapcsolatba. Ezekbõl a beszélgetésekbõl fogok majdem szó szerit idézi modatokat, amelyek megpróbálják visszaadi azt, amit ekük jeletettél, jeletesz. Következzeek tehát a modatok! A magyar matematikataítás egyik, talá utolsó agy mogulja volt. 4 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA Midig szelíde, de megigathatatlaul képviselte a matematikataítással kapcsolatos álláspotját. Az egyik legjobb és legtisztább ember, akit valaha ismertem. Nagyo sokat taultam tõle geometriából, de azt, hogy észrevette, hogy segítségre szorulok és vállalta, hogy felõtté és értelmiségivé válásomba emberileg a támaszom legye, soha em tudtam eléggé megháláli. Nagyo jó társ volt a magyar és a matematika megbothatatla barátságáak kiépítésébe és ápolásába. Amikor látogatta az órámat, a kritikai megjegyzéseket is úgy fogalmazta meg, hogy abból megbecsülés áradt és szite dicséretek tudtam érezi. Az elmúlt évtizedekbe em volt olya fotos eseméye a matematikataításak, amibe em volt aktív résztvevõ. Lehetett ez NAT, taterv, bizottsági muka, vagy módszertai kísérlet. A verseyekre javasolt szép feladataiak a megoldása, a dolgozatjavításai szite hihetetle precizitással, godossággal készültek. Midebe a potosság mitaképe volt. Szeritem soha em modott sekirõl se rosszat, midekibe taítváyba, kollegába, szite bárki idegebe a jót látta, és ezzel egy kicsit téyleg jobbá lett mideki a közelébe. Ha bármilye szakmai feladatot kaptam, amikor megbeszélhettem az ötleteimet a Taár úrral, már biztoságba éreztem magam. A felsorolásba utolsóak a saját godolatomat modom el: Nagyo jó dolog volt a taítváyodak, a beosztottadak, végül felkérésedre, biztatásodra a fõöködek leem, de a legagyobb értékek azt érzem, hogy a barátod lehettem. Az elõbbi modatokból mit egy kaleidoszkóp darabkáiból egy beteljesedett, értékes életpálya és egy agyszerû ember arca rajzolódik ki. Remélem, az idézett modatok között mideki megtalálta a saját Pálmay Lórátját. Drága Lórát! A biztoságérzet, amit tudásoddal, emberségeddel yújtottál, új formába fog továbbéli: egymásak tesszük fel a kérdéseiket, és megbeszéljük, mit modott vola errõl Pálmay Lórát. Így maradsz köztük, élsz beük, velük továbbra is. Ezért arra biztatok mide jelelevõt, hogy a szomorúság mellett csiáljo helyet a szívébe az örömek is. Örüljük aak, hogy Pálmay Lórát része volt az életükek, taulhattuk Tõle, dolgozhattuk Vele, a barátai lehettük, és így mi is részeseivé váltuk az Õ szakmai és privát életéek. Köszöjük midezt eked, drága Lórát! Nyugodj békébe! Somfai Zsuzsa Érdekes, szép elõadásokat, továbbképzéseket hallottam tõle; a matematika, a diákok és a taárok szeretete hatotta át a szavait. Felõtt koromba arra törekedtem, hogy olya légkörû családom legye, amilyeek a törtéetek alapjá a Pálmay családot elképzeltem. MOZAIK KIADÓ 5
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március Tuzso Zoltá A pitagoraszi tételcsoport aalógja, és általáosításáak az aalógja a tetraéderbe Kivoat A dolgozatba megmutatjuk, hogy a közöséges Pitagorasz-tételek va egy úgyevezett trigoometriai alakja is, amelyikek megva a térbeli aalógja is a derékszögû tetraéderbe, ezt bizoyítjuk is. Továbbá belátjuk, hogy a pitagoraszi tételcsoportba szereplõ magasságtételek is va térbeli aalógja a derékszögû tetraéderbe, ezt is bizoyítjuk. Ezek utá a közismert, általáosított Pitagorasz-tételt (az úgyevezett kosziusztételt) is kiterjeszthetjük aalógiával az általáos tetraéderbe is. Midezek bemutatása a sík- és a térmérta aalóg fogalmaival és aalóg bizoyítási eljárásaival törtéik. Abstract I the followig paper we are goig to poit out that the well-kow Pythagorea theorem has a so called trigoometric form too, which has its spatial aalog also, ad we are goig to prove it i the rectagular tetrahedro. Furthermore we ca see that the altitude theorem which appears i the Pythagorea group of theorems also has its spatial aalog ad it will also be proved i the rectagular tetrahedro. After that the wellkow geeralized Pythagorea theorem, (the so called cosie theorem) with aalogy ca be exteded to the geeral tetrahedro too. The presetatio of all these thigs will be doe with the aalog cocepts of the plae ad space geometry ad with aalog methods. * * * A 6 MOZAIK KIADÓ z []-be a következõkrõl olvashatuk: Ha ABCD egy D-be derékszögû tetraéder, és az oldallapok területei t A = t(bcd), t B = t(dac), t C = t(abd), t D = t(abc), akkor érvéyes a td = ta + tb + tc, ami em más, mit a Pitagorasz-tételek a térbeli aalógja a derékszögû tetraéder eseté. Ezt elõször Jea Paul de Gua de Malves bizoyította 783-ba, így a Gua-féle tételek evezik (v.ö. []). Ezt szereték más szemszögbõl is megvilágítai. A továbbiakba legyeek redre a, b, c egy ABC háromszög megfelelõ oldalaiak a hossza, A, B, C a megfelelõ szögeiek a mértékszáma, A = 90 és x valamelyik hegyesszögéek a mértékszáma. Ekkor:. Tétel: A következõ három kijeletés egyeértékû: a) a = b + c b) si x + cos x = c) cos B + cos C =. Bizoyítás: b C A a x c. ábra B
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA A bizoyítás azoali, mert b + c = a b c + = si x + cos x =. a a Továbbá ha x Œ{B, C}, akkor, mivel sib = cosc, illetve sic = cosb, ezért si x + cos x = cos B + cos C =. Most bizoyítai fogjuk, hogy az. Tétel c) formájáak is va aalógja a tetraéderbe.. Tétel: Egy ABCD, D-be derékszögû tetraéderbe igaz, hogy: cos AB + cos BC + cos CA =, ahol XY az XY élhez tartozó tetraéderbeli lapszög mértékét jelöli. Bizoyítás: Az. ábra jelöléseit haszálva felírható, hogy si x = = (i), valamit b b a b + c c c cos x = = (ii). Ha si x + cos x = a b + c a Pitagorasz-tétel egy más alakja, és a Pitagorasztétel aalógja érvéyes a derékszögû tetraéderbe is, akkor mi lee eek a formuláak az aalógja a derékszögû tetraéderbe? Szem elõtt tartva az (i), (ii) összefüggéseket és a td = ta + tb + tc aalóg Pitagorasz-tételt, ésszerûek tûik, hogy defiiáljuk a következõ törteket: t () A t at =, bt () = B, ta + tb + tc ta + tb + tc t ct () = C. ta + tb + tc Az aalóg Pitagorasz-tétel értelmébe yilvávaló, hogy a (t) + b (t) + c (t) =. Nézzük csak most az a(t), b(t), c(t) jeletéseit. A b x z D C E a y c F. ábra B A. ábrát követve felírható, hogy cos DF xy AB = ahol DF = és CF x + y CF = x y + y z + z x x + y, és ezek szerit xy cos AB = = x y + y z + z x t = C = ct (). t + t + t A B C Teljese hasolóa kapjuk, hogy t bt () = B = cos CA, t + t + t és A B C t at () = A = cos BC. t + t + t A B C Ezek alapjá tehát az aalóg Pitagorasz-tétel trigoometriai alakja a következõ: cos AB + cos BC + cos CA =. Ugyacsak az []-be olvashatuk a magasságtétel aalógjáról is, de azt is olvashatjuk, hogy az aalóg forma csak speciális derékszögû tetraéderbe teljesül. A továbbiakba a magasságtétel egy ekvivales alakjáak az aalógját keressük meg és igazoljuk, hogy ez mide derékszögû tetraéderbe igaz. 3. Tétel: A következõ három kijeletés egyeértékû: a) m = p q b c b) m = a c) + = b c m ahol m az A-ból húzott magasság, p a c befogó vetülete az a átfogóra, q pedig a b befogó vetülete az a átfogóra. MOZAIK KIADÓ 7
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március Bizoyítás: m b c = p q m = a a b c m =. a Továbbá b c m = a + c = b b c m a = b c m + =. b c m A továbbiakba igazoljuk, hogy a 3. Tétel c) formájáak is va aalógja a tetraéderbe. 4. Tétel: Egy ABCD, D-be derékszögû tetraéderbe igaz, hogy: + + =, a b c m ahol a = AD, b = BD, c = CD és m a D pot távolsága az ABC síktól. Bizoyítás: C Következze most a Pitagorasz-tétel általáosítása, és eek aalógja az általáos tetraéderbe. A Pitagorasz-tétel általáosítása em derékszögû háromszögekre a következõ: ha az ABC általáos háromszög megfelelõ oldalaiak a hoszszát a, b, illetve c-vel, a megfelelõ szögeiek a mértékét A, B, C-vel jelöljük, akkor igaz, hogy: a = b + c - b c cosa ( ) b = c + a - c a cosb ( ) c = a + b - a b cosc (3 ) A tételt még kosziusztételek is evezik, és egyik legegyszerûbb bizoyítása az úgyevezett vetületek tételével törtéik, miszerit: a = b cosc + c cosb ( ) b = c cosa + a cosc ( ) c = a cosb + b cosa (3 ) A bizoyítása azoali: A c c b A a D m T b 3. ábra Az ábra jelöléseit követve, mivel DT ^ AB, CD ^ AB, ezért DE ^ AB. Ha a síkbeli aalóg tételt (3. Tétel c)) alkalmazzuk az ABD és ECD derékszögû háromszögekre, akkor felírható, hogy: + = és + =, a b DE DE c m ahoa kiküszöbölve az + + = adódik. a b c m E DE B -et, éppe B a 4. ábra mivel BD = c cosb és DC = b cosc, továbbá a BD és DC vetületekre érvéyes, hogy BD + DC = a, ezért máris az ( ) összefüggés adódik. A kosziusztétel bizoyítása pedig így törtéik: szorozzuk meg az ( )-et a-val, a ( )-et b-vel és a (3 )-et c-vel. Ezutá felírjuk, hogy a - b - c = (abcosc + accosb) - - (bccosa + abcosc) - (accosb + bccosc) = = -bccosa, vagyis az ( ) bizoyított. A továbbiakba az általáosított Pitagorasztételt fogjuk aalógiával kiterjesztei az általáos tetraéderbe. Ebbõl a célból, akár csak az C 8 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA elõbb is, hamarabb a vetületek tételét bizoyítjuk a tetraéderbe is. Legye tehát ABCD egy általáos tetraéder, és O a D potak a vetülete az ABC síkra. A D O 5. ábra Jelölje XY az XY élhez tartozó tetraéderbeli lapszög mértékét. Akkor bizoyítható a következõ eredméy: 5. Tétel (vetületek tétele a tetraéderbe): Ha t A = t(bcd), t B = t(dac), t C = t(abd), t D = t(abc), akkor t cos cos cos A = tb CD+ tc BD+ td BC () t cos cos cos B = ta CD+ tc AD+ td AC () t cos cos cos C = ta BD+ tb AD+ td AB (3) t = t cos BC + t cos AC + t cos AB (4) D A B C Bizoyítás: Az 5. ábrát követve felírható, hogy t(obc) = t(dbc) cos BC vagyis t(obc) = = t A cos BC és hasolóa t(oca) = t B cos AC, t(oab) = t C cos AB. Tehát most a síkbeli BD és DC vetületek helyett az aalóg t(oab), t(obc), és t(oca) vetületterületeket haszáljuk. És mivel felírható, hogy t D = t(abc) = t(oab) + t(obc) + t(oca). Ezért máris megkaptuk a (4)-es összefüggést. Teljese hasolóa bizoyítható a másik három összefüggés is. Ezek utá a síkbeli kosziusztétel bizoyításáak mitájára bizoyítjuk a következõket. B C 6. Tétel (kosziusztétel a tetraéderbe): Egy ABCD általáos tetraéderbe, az elõzõ jelöléseket haszálva igaz, hogy: t cos A = tb + tc + td tbtc AD t t cos AC t t cos AB (.) BD CD t cos B = tc + td + ta tctd AB t t cos BD t t cos BC (.) AC DA t cos C = td + ta + tb tdta BC t t cos AC t t cos BC (.3) DB AB t cos D = ta + tb + tc tatb CD t t cos BD t t cos AD (.4) AC AB Bizoyítás: A vetülettételbe az ()-et t A -val, a ()-t -t B -vel, a (3)-at -t C -vel, a (4)-et pedig -t D -vel szorozva és a megfelelõ oldalakat tagokét összeadva éppe az (.) összefüggést kapjuk. Teljese hasolóa bizoyítjuk a másik három összefüggést is. Belátható, hogy ha az ABCD tetraéder derékszögû a D-be, akkor cos AD = cos BD = = cos CD = 0 és akkor az elõbbi (.4) összefüggés így alakul: t = t + t + t D A B C és ez em más, mit a Pitagorasz-tétel aalógja a derékszögû tetraéder eseté, amit az []- be is és a [4]-be is megtaláluk, és ezúttal általáosítottuk. Irodalom [] Dr. DarvasiGyula: Az aalóg pitagoraszi tételcsoport, MaTa /00, 3 5. [] http://e.wikipedia.org/wiki/ De_Gua's_theorem [3] Da Brazei és társai (986): Plaul si spatiul Euclidia. Editura Academiei RSR, Bucuresti [4] Fitos László (984): Aalóg tételek és feladatok a sík- és térgeometriába. Taköyvkiadó, Budapest MOZAIK KIADÓ 9
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március Dr. Darvasi Gyula Egy általáos geometriai módszer a hatváyösszegek meghatározására Kivoat Ebbe a cikkbe megismertük egy geometriai módszert, amely az k + k +... + k összegekre mide k és pozitív egész szám eseté egységese alkalmazható. Ehhez az k, k,..., k oldalú téglalapokat egymás alá helyezzük el, majd az így elõálló lépcsõs alakzatot kiegészítjük egy ( + ) k oldalú téglalappá. Az összegképletek azáltal kaphatók, hogy eek a téglalapak a területét két külöbözõ módo határozzuk meg. Abstract I this article we became acquaited with a geometrical method that ca be adopted for the sums k + k +... + k i the case of all positive itegers k ad uiformly. It eeds to arrage the rectagles of the form k, k,..., k below each other ad the to complete the arisig stepped figure to a rectagle of the form ( + ) k. The sum formulae ca got by determiig the area of this rectagle i two differet ways. * * * A z elsõ természetes szám pozitív egész kitevõjû hatváyaiból álló összegek képleteiek geometriai meghatározására éháy kitevõ eseté számos mód ismeretes, jóllehet éppe az jelethet problémát, hogy azok em általáos érvéyûek ([] 6 8, 49 55, 60 6, [3] I/69 70, 77 8, 84 89, 90, 9, II/83, 86 89, 93). Az alábbiakba egy olya geometriai módszert mutatuk be, amely révé rekurzióval bármely hatváyösszegre voatkozó képlet elõállítható ([]). Eze leírás sorá az k + k +... + k öszszeget S k ()-el jelöljük, ahol k ŒZ +. Az S k () képletéek rögzített k eseté törtéõ meghatározásához képezzük egy lépcsõs alakzatot darab olya téglalapból, melyek redre k, k,..., k típusúak, s így azok területeiek összege éppe S k ()-el egyelõ. (.,. és 3. ábrák. Az. ábra teljese aráyos, viszot a. és 3. ábráko a lépcsõk hosszai helyszûke miatt torzulak.) Ezt a lépcsõs alakzatot r [(r + ) k - r k ] típusú téglalapokkal, ahol r és r ŒZ, kiegészítjük egy ( + ) k típusú téglalappá, amelyek területét kétféleképpe kiszámítva juthatuk célhoz. Midezt az alábbiakba a k Œ{,, 3} esetekre részletezzük.. eset: k = (. ábra) ( + ) = S () + [( r + ) r] r = r = = S () + r = S (), r = ahoa ( + ) S() =. (Megjegyezzük, hogy az. ábrá lévõ elredezés az elõbbi számolást mellõzve is célra vezet, de ez az út a továbbiakba már em járható.) +. ábra ( r+ ) r r 0 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA ( r + ) r r ( + ). ábra ( r + ) 3 r3 3 3 r 3 ( + ) 3 3. ábra. eset: k = (. ábra) ( + ) = S () + [( r + ) r ] r = ahoa = S () + r = r = (r + ) r = 3S () + S (), ( + ) S( ) ( + )(+ ) S() = =. 3 6 3. eset: k = 3 (3. ábra) ( + ) 3 3 3 = S 3 () + [( r + ) r ] r = r = = S 3 () + (3r + 3r + ) r = r = = 4S 3 () + 3S () + S (), ahoa 3 ( + ) 3 S( ) S( ) ( + ) S3() = =. 4 Általáosa tekitve ez az eljárás az k k k k r = ( + ) = S ( ) + [( r+ ) r ] r egyeletre vezet, ahoa adott k > 3 eseté az S k ()-re keresett képlet rekurzióval megkapható, miközbe kotrollkét jól felhaszálható a [4]-be lévõ összeállítás. Irodalom [] Darvasi Gyula: Eie adere eiheitliche geometrische Methode zur Bestimmug der Potezsummeformel. Praxis der Mathematik, 996/, 8 8. [] Matusik Edia: Összegképletek szemléletes bizoyítása. Szakdolgozat, ELTE Matematika Itézet, 0. [3] Roger B. Nelse: Proofs without words I, II. The Mathematical Associatio of America, 993, 000. [4] http://www.sztaki.hu~keri/math/psum.htm MOZAIK KIADÓ
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március Rigler Adrás Az elsõ égyzetszám összege vajo lehet-e égyzetszám? Kivoat Az elsõ égyzetszám összege, az = esete kívül, akkor, és csak akkor lehet maga is égyzetszám, ha = 4. Ezzel az értékkel ( + ) (+ ) 4 5 49 = = 6 6 = 4 5 49 = 4900 = 70 = y s(4 ). Summary The sum of the first squared umbers ( > ) is itself a squared umber, if, ad oly if, = 4. With this value ( + ) (+ ) 4 5 49 = = 6 6 = 4 5 49 = 4900 = 70 = y s(4 ). * * * A válasz: ige. Az elsõ égyzetszám összegét az ( + ) (+ ) = s ( ) 3 kifejezésbõl kaphatjuk meg. Eek kapcsá felmerülhet a kérdés, hogy ez az s( ) összeg, az = triviális esete kívül, vajo lehet-e maga is égyzetszám? Ha ige, akkor keressük meg azokat az -él agyobb számokat, amelyekkel az s( ) összeg égyzetszám lesz. Elsõkét vegyük észre, hogy az összegképlet számlálójába az ( + ) szorzat midig páros, (az és az + téyezõk közül tehát csak az egyik téyezõ lehet páros szám), a + alakú téyezõ viszot, paritásától függetleül, midig páratla. Mivel a számlálóba lévõ téyezõk egymást közt relatív prímek (és ezt köyû igazoli), ezért közülük midig csak az egyikük osztható -vel, 3-mal, vagy midkettõvel. A feltett kérdés eldötéséhez, a szóba jöhetõ számok ( > ) megtalálásához megvizsgálom az szám tulajdoságaitól függõ alábbi 6 esetet, amelyek közül az elsõ három esetbe az szám, a második három esetbe pedig az + alakú szám a páros szám.. eset: Legye az szám 3-mal is, és -vel is osztható egész szám, vagyis az téyezõ legye = 6 x alakú páros szám. Ekkor az + és a + alakú téyezõkek redre + = = 6 x + és + = x + alakú számokak kell leiük, midkette páratlaok és egyikük sem osztható 3-mal.. eset: Legye az szám 3-mal em osztható, = x alakú páros egész szám, az + = = x + alakú páratla téyezõ viszot legye 3-mal osztható, vagyis + = x + = 3 ( u + ) = 6 u + 3 = = 6 u + + = (3 u + ) + alakú szám. Ebbõl x-re, vagyis az téyezõre x = (3 u + ) =, és így + -re + = (3 u + ) + = u + 5 adódik. Az elvárásokak megfelelõe, a mostai esetbe, a + = u + 5 alakú szám em osztható -vel és 3-mal sem. 3. eset: Legye az szám 3-mal em osztható, = x alakú páros egész szám, és most a MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA + = x + alakú páratla téyezõek legye a 3 osztója, így a + = x + = 3 ( u + ) = = 6 u + 3 = 6 u + + = (3 u + ) + alakú számból x-re x = 3 u + adódik. Vegyük észre, hogy ebbe az u-val jelölt számak páratla számak, vagyis u = w + alakú számak kell leie, így az = x = 3 u + = 3 ( w + ) + = = 6 w + 4 = (3 w + ) alakú páros számmal + -re + = (3 w + ) + = 6 w + 5, a + alakú téyezõre pedig + = (3 w + ) + = 4 (3 w + ) + = w + 9 = 3 (4 w + 3) adódik. Az elvárásokak megfelelõe a mostai esetbe az + = 6 w + 5 alakú páratla szám em osztható -vel, 3-mal sem. 4. eset: Legye az + téyezõ + = x alakú páros szám, és az = x - alakú páratla szám pedig legye 3-mal osztható, azaz = x - = 3 ( u + ) alakú páratla egész szám. Így x-re: x = 3 ( u + ), azaz az + alakú páros számra + = 3 ( u + ) + = = 6 u + 4 = (3 u + ), a + alakú páratla téyezõre pedig + 3 ( u + ) + = = 6 ( u + ) + = u + 7 adódik. Az elvárásokak megfelelõe a mostai esetbe a + = u + 7 alakú páratla szám em osztható 3-mal. 5. eset: Legye az + alakú téyezõ -vel és 3-mal is osztható egész szám, vagyis + legye + = 6 x alakú egész szám. Ekkor az téyezõ = 6 x - alakú páratla, a + alakú téyezõ pedig + = x - alakú páratla szám lesz, és egyikük sem osztható 3- mal. 6. eset: Legye az + alakú téyezõ -vel osztható, de 3-mal em osztható, + = x alakú páros szám. Ekkor az téyezõek = x - alakú, a + alakú téyezõek pedig + = 4 x - alakú páratla számak kell leie. Mivel most a 3-mal osztható téyezõ a + alakú szám, ezért + = 4 x - = 3 ( u + ) = = 6 u + 3 = 6 u + 4 - = (3 u + ) - alakú páratla számak kell leie. Ebbõl a 4 x = 6 u + 4 fi x = 3 u + kifejezéshez jutuk, amelybõl x párossága miatt látható, hogy az u-val jelölt számak u = w alakú páros számak, vagyis a x alakú téyezõek x = 6 w + alakú páros számak kell leie. Eek felhaszálásával az = 6 w +, az + = 6 w + = (3 w + ), és a + = w + 3 = 3 (4 w + ) alakú téyezõkhöz jutuk. Az. eset vizsgálata ( + ) (+ ) Az. esetbe az = s ( ) kifejezés számlálójába lévõ téyezõk redre 6 = 6 x, + = 6 x +, és + = x + alakú számok. Vajo az ilye alakú téyezõkkel az ( + ) (+ ) 6 x (6 x + ) ( x+ ) = = 6 6 = x (6 x + ) ( x + ) = s( ) lehet-e égyzetszám? Tegyük fel, hogy ige; vagyis az ( + ) (+ ) = x (6 x+ ) ( x + ) 6 szorzat égyzetszámot ad. Mivel az x, a 6 x + és a x + alakú téyezõk egymás közt relatív prímek, ezért a szorzatuk akkor, és csak akkor lehet égyzetszám, ha e téyezõk redre x = u, 6 x + = 6 u + = = ( b + ) = 4 b(b + ) + MOZAIK KIADÓ 3
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március és x + = u + = = ( c + ) = 4 c (c + ) + alakú égyzetszámok. Ekkor viszot a 6 x = 4 b (b + ) és x = 4 c (c + ) egyelõségekek teljesüliük kell, amelyek elosztásával a c ( c+ ) c c+ = = ( ) b ( b+ ) b b+ kifejezésbõl azoal látszik, hogy a c > b relációak teljesülie kell. De az is látható, hogy a c c + > > és > > b b + relációkak is teljesüliük kell, sõt még az is biztos, hogy c >. A c = eset elletmodásra vezet, ugyais c = eseté b (b + ) = ( + ) fi b (b + ) = 3 adódik, ami egész b számmal sohasem állhat fe, hisze az egyelõség bal oldala páros, a jobb oldala viszot páratla. Ez az elletmodás yilvá azt jeleti, hogy c = eseté ( ) egész számokkal em állhat fe. Ezért a c számak -él agyobb számak kell leie. c Mivel a > > relációak is teljesülie kell, b ezért a b szám em lehet a c számak az osztója. A = kifejezésbõl ezért arra kö- c ( c + ) b ( b + ) vetkeztethetük, hogy a b szám csak a c + c számak lehet az osztója. A + = r jelölés b bevezetésével erre az egész r számra biztosa igaz, hogy r >, hisze c > b, ezért az r számra az r reláció biztosa teljesül. A c + = b r értéket ( )-ba írva c ( c + ) c b r c r c = = = = r b ( b+ ) b ( b+ ) b+ b+ adódik. Az r reláció kapcsá felmerül, hogy az r > eset egyáltalá szóba jöhet-e? A válasz: em. Ha ugyais r > vola, akkor a c c c = r miatt a téyezõre < b + b + b + adóda, amelybõl c < b + következe, márpedig ez a reláció c > b miatt lehetetle. Ez az elletmodás yilvá arra utal, hogy az r szám -él agyobb egész szám em lehet, ezért csak az r = eset jöhet szóba csak. Ekkor c viszot a + = r = kifejezésbõl b c + = b fi c = b - adódik. Ezt az értéket ( )-ba írva c ( c + ) ( b ) ( b + ) = = = b ( b+ ) b ( b+ ) ( b ) b b = = b ( b+ ) b+ b+ = b b = adódik, így c = b - miatt a c = 3-hoz jutuk. Mivel ezekkel az értékekkel 6 x = 4 b (b + ) = 4 és x = 4 c (c + ) = 48, ezért ezekbõl x-re, x = 4, és ezzel a keresett téyezõkre = 6 x = 4, + 5 és + = 49 adódik. Az így elõállt téyezõkkel, a várakozásak megfelelõe, az s( ) öszszegre ( + ) (+ ) 4 5 49 = = 6 6 = 4 5 49 = 4900 = 70, vagyis égyzetszámot kapuk. Összegzés: Ezzel azt kaptuk, hogy = 4 eseté az elsõ 4 egész szám égyzetéek az összege maga is égyzetszám, amelyek értéke 4900 = 70. Eek kapcsá felmerülhet, hogy az = 4 megoldás vajo uicitív-e vagy sem, azaz létezek-e olya további > számok, amelyekkel az s( ) összeg megit csak égyzetszám lesz. A válasz: ilye tulajdoságú további (> ) számok em létezek, azaz = 4 az egyetle olya szám, amellyel az s( ) összeg maga is égyzetszám. 4 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA A. eset vizsgálata ( + ) (+ ) A. esetbe az = s ( ) kifejezés számlálójába fellépõ téyezõk redre 6 = x = (3 u + ), + = x + = = (3 u + ) + = 6 u + 3 = 3 ( u + ) és + = x + = (3 u + ) + = = 4 (3 u + ) + = u + 5 alakúak. Ezekkel ( + ) (+ ) = 6 (3 u+ ) 3 ( u+ ) ( u+ 5) = = 6 = (3 u+ ) ( u+ ) ( u+ 5) = s( ). Vajo a mostai téyezõk szorzata lehet-e égyzetszám? Tegyük fel, hogy ige! Mivel a 3 u +, u + és u + 5 alakú téyezõk egymás közt relatív prímek, ezért a szorzatuk akkor, és csak akkor lehet égyzetszám, ha e téyezõk maguk is égyzetszámok. Látható, hogy a 3 u + téyezõ paritását az u szám paritása határozza meg, de a u + és a u + 5 alakú páratla téyezõk paritása viszot u-tól függetle, ezért eze két utóbbi, égyzetszámak godolt szám tulajdoságait vizsgálom meg elõször. Ha a u + alakú páratla téyezõ égyzetszám lee, akkor u + = ( b + ) = 4 b (b + ) + alakú lee, és ebbõl u = 4 b (b + ) fi u = b (b + ) adóda, amelybõl látható, hogy eek az u számak páros számak kell leie. Ha a u + 5 alakú páratla téyezõ is égyzetszám (ezt várom!), akkor u + 5 = ( c + ) = 4 c (c + ) + alakba írható, és ebbõl u + 5 = 4 c (c + ) + fi 3 u + = c (c + ) adódik. Vegyük észre, hogy eze utóbbi egyelõség csak páratla u számmal állhat fe, és ez a következméy elletmod az elõbb kapott páros u-ak, az u = b (b + ) alakú páros kifejezések. Ez yilvá azt jeleti, hogy a u + és a u + 5 alakú téyezõk egyidejûleg em lehetek égyzetszámok, vagyis a. eset feltételei mellett az elsõ égyzetszám s( ) összege em lehet égyzetszám. A 3. eset vizsgálata ( + ) (+ ) A 3. esetbe az = s ( ) kifejezés számlálójába fellépõ téyezõk redre 6 = (3 w + ), + = 6 w + 5 és + = 3 (4 w + 3) alakúak, így ezekkel az ( + ) (+ ) = 6 = (3 w+ ) (6 w+ 5) (4 w+ 3) = s( ) kifejezéshez jutuk. Mivel a 3 w +, 6 w + 5, és 4 w + alakú téyezõk egymás közt relatív prímek, ezért a szorzatuk akkor, és csak akkor lehet égyzetszám, ha e téyezõk maguk is égyzetszámok. Látható, hogy a 3 w + téyezõ paritását a w szám paritása határozza meg, de a 6 w + 5 és a 4 w + 3 alakú páratla téyezõk paritása w-tõl függetle. Ezért eze két utóbbi, égyzetszámak godolt szám tulajdoságait vizsgálom meg elõször. Ha a 6 w + 5 alakú páratla téyezõ égyzetszám lee, akkor 6 w + 5 = ( b + ) = 4 b (b + ) + alakú lee, és ebbõl 6 w + 4 = 4 b (b + ) fi 3 w + = = b (b + ) adóda. Vegyük észre, hogy eze utóbbi egyelõség csak páros w számokkal állhat fe. Ha a 4 w + 3 alakú páratla téyezõ is égyzetszám (ezt várom!), akkor 4 w + 3 = ( c + ) = 4 c (c + ) + MOZAIK KIADÓ 5
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március alakba írható, és ebbõl 4 w + = 4 c (c + ) fi w + = c (c + ) adódik. Ez az egyelõség viszot egész számokkal sohasem teljesülhet, hisze a bal oldala páratla, jobb oldala viszot páros. Ez az elletmodás yilvá azt jeleti, hogy a 6 w + 5 és 4 w + 3 alakú téyezõk egyidejûleg em lehetek égyzetszámok, vagyis a 3. eset feltételei mellett az elsõ égyzetszám s( ) összege em lehet égyzetszám. A 4. eset vizsgálata ( + ) (+ ) A 4. esetbe az = s ( ) kifejezés számlálójába fellépõ téyezõk redre: 6 = 3 ( u + ), + = (3 u + ) és + = 6 ( x + ) + alakúak, így ezekkel az ( + ) (+ ) = 6 = ( u+ ) (3 u+ ) ( u+ 7) = s( ) kifejezéshez jutuk. Mivel a u +, 3 u +, és u + 7 alakú téyezõk egymás közt relatív prímek, ezért a szorzatuk akkor, és csak akkor lehet égyzetszám, ha e téyezõk maguk is égyzetszámok. Látható, hogy a 3 u + téyezõ paritását az u szám paritása határozza meg, de a u + és a u + 7 alakú páratla téyezõk paritása u-tõl függetle, ezért eze két utóbbi, égyzetszámak godolt szám tulajdoságait vizsgálom meg elõször. Ha a u + alakú páratla téyezõ égyzetszám lee, akkor u + = ( a + ) = 4 a (a + ) + alakba írható, és ebbõl u = 4 a (a + ) fi u = a (a + ) adóda. Vegyük észre, hogy eze utóbbi kifejezés csak páros u számmal állhat fe, vagyis az egyelõség teljesüléséhez az u számak páros számak kell leie. Ha a u + 7 alakú páratla téyezõ is égyzetszám (ezt várom!), akkor u + 7 = ( c + ) = 4 c (c + ) + alakba írható, és ebbõl u + 6 = 4 c (c + ) fi 6 u + 3 = c (c + ) adódik. Vegyük észre, hogy az utóbbi egyelõség elletmodást mutat: a bal oldala páratla, jobb oldala viszot páros. Ez az elletmodás yilvá azt jeleti, hogy a u + és a u + 7 alakú téyezõk egyidejûleg em lehetek égyzetszámok, vagyis a 4. eset feltételei mellett az elsõ égyzetszám s( ) összege em lehet égyzetszám. Az 5. eset vizsgálata ( + ) (+ ) Az 5. esetbe az = s ( ) kifejezés számlálójába fellépõ téyezõk redre: 6 = 6 x -, + = 6 x és + = x - alakúak, így ezekkel az ( + ) (+ ) = 6 = (6 x ) x ( x ) = s( ) kifejezéshez jutuk. Mivel a 6 x -, x, és x - alakú téyezõk egymás közt relatív prímek, ezért a szorzatuk akkor, és csak akkor lehet égyzetszám, ha e téyezõk maguk is égyzetszámok. Ha a 6 x - alakú szám páratla égyzetszám lee, akkor 6 x - = ( a + ) = 4 a (a + ) + alakú lee, és ebbõl 6 x = 4 a (a + ) + fi 3 x = a (a + ) + adóda. Vegyük észre, hogy eze utóbbi kifejezés csak páratla x számmal állhat fe. 6 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA Ha a x - alakú páratla téyezõ is égyzetszám (ezt várom!), akkor x - = ( c + ) = 4 c (c + ) + alakba írható, és ebbõl x = 4 c (c + ) + fi 6 x = c (c + ) + adódik. Vegyük észre, hogy eze utóbbi egyelõség elletmodást mutat: ez az egyelõség egész számokkal em állhat fe, hisze az egyelõség bal oldala páros, a jobb oldala viszot páratla. Ez az elletmodás yilvá azt jeleti, hogy a 6 x - és x - alakú téyezõk egyidejûleg em lehetek égyzetszámok, vagyis az 5. eset feltételei mellett az elsõ égyzetszám s( ) összege em lehet égyzetszám. A 6. eset vizsgálata ( + ) (+ ) A 6. esetbe az = s ( ) kifejezés számlálójába fellépõ téyezõk redre 6 = 6 w +, + = (3 w + ) és + = 3 (4 w + ) alakúak, így ezekkel az ( + ) (+ ) = 6 = (6 w+ ) (3 w+ ) (4 w+ ) = s( ) kifejezéshez jutuk. Mivel a 6 w +, 3 w +, és 4 w + alakú téyezõk egymás közt relatív prímek, ezért a szorzatuk akkor, és csak akkor lehet égyzetszám, ha e téyezõk maguk is égyzetszámok. Látható, hogy a 3 w + alakú téyezõ paritása, w paritásától függ, ezért vizsgálataimat a 6 w + és 4 w + alakú, égyzetszámokak godolt páratla téyezõk vizsgálatával kezdem. Ha ezek midkette égyzetszámok leéek, akkor felírásuk és redezésük utá a 6 w + = ( a + ) = 4 a (a + ) + fi 6 w = 4 a (a + ) fi 3 w = a (a + ), és a 4 w + = ( c + ) = 4 c (c + ) + fi 4 w = 4 c (c + ) fi w = c (c + ) fi 3 w = 3 c (c + ) kifejezésekhez jutuk. Az utóbbi két kifejezés azt mutatja, hogy teljesülésükhöz a w számak páros számak kell leie. Páros w számmal viszot, a 3 w + alakú téyezõek is páratla számak kell leie. A cél érdekébe, ezt a 3 w + alakú, tehát páratlaak godolt téyezõt is egy páratla szám égyzetekét írom fel (ezt várom!), így a 3 w + = ( b + ) = 4 b (b + ) + fi 3 w = 4 b (b + ) kifejezéshez jutok. Ezutá felmerül a kérdés, hogy a 3 w = a (a + ), 3 w = 4 b (b + ) és 3 w = 3 c (c + ) (**) egyelõségek egyidejûleg teljesülhetek-e? Az elsõ két következméy összehasolításából 3 w = a (a + ) = 4 b (b + ) fi a (a + ) = b (b + ) (***) adódik. Vegyük észre, hogy eze utóbbi kifejezés formailag megegyezik a ( )-ál említett egyelõséggel, de itt az a > b viszoy áll fe; ezért ( ) alatti egyelõség biztosa, és csak is akkor teljesül, ha a = 3 és b =. Ezekkel az értékekkel ( )-ból a w számra, w = 8 adódik. Ezzel a w értékkel azoba, a 3 w = 3 c (c + ) kifejezésbõl, 8 = c (c + ) adódik. Eze utóbbi egyelõség viszot egész c számokkal sohasem állhat fe, tehát a 4 w + alakú téyezõ biztosa em lehet égyzetszám. Ez pedig yílvá azt jeleti, hogy a 6 w +, 3 w + és 4 w + alakú téyezõk egyidejûleg em lehetek égyzetszámok, vagyis a 6. eset feltételei mellett az elsõ égyzetszám s( ) összege em lehet égyzetszám. MOZAIK KIADÓ 7
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március Az, + és + alakú téyezõk tulajdoságaiak összefoglaló táblázata E téyezõk tulajdoságaiak gyors feltárásához, a táblázat kitöltési logikájáak a megértéséhez midig a két ige választól kell eliduli, és a yíl majd megmutatja a továbbhaladás iráyát. tulajdoságai + tulajdoságai + tulajdoságai Esetek Osztható-e kettõvel? Alakja Osztható-e hárommal? Alakja Osztható-e kettõvel? Alakja Osztható-e hárommal? Alakja Osztható-e kettõvel? Alakja Osztható-e hárommal? Alakja. eset Ige 6 x Ige 6 x Nem 6 x + Nem 6 x + Nem x + Nem x +. eset Ige x 3 ( u + ) - = = (3 u + ) Nem x 3 ( u + ) - = = (3 u + ) Nem x + 3 ( u + ) Ige x + = = 3 ( u + ) Nem 4 x + 6 ( u + ) - = = u + 5 Nem 4 x + 6 ( u + ) - = = u + 5 3. eset Ige x 3 u + = = 3(w + ) + = = (3 w + ) fi Nem x (3 w + ) = = 6 w + 4 Nem x + (3w + ) + = = 6 w + 5 Nem x + (3w + ) + = = 6 w + 5 Nem 4 x + 4 (3w + ) + = = 3 (4 w + 3) Ige 4 x + = = 3 ( u + ) = = 6 u + 3 = = (3u + ) + 4 (3w + ) + = = 3 (4 w + 3) 4. eset Nem x - 6 u + 3 = = 3 ( u + ) Ige x - = = 3 ( u + ) = = 6 u + 3 = 3 ( u + ) Ige x 6 u + 4 = = (3 u + ) Nem x 6 u + 4 = = (3 u + ) Nem 4 x - u + 7 Nem 4 x - u + 7 5. eset Nem 6 x - Nem 6 x - Ige 6 x Ige 6 x Nem x - Nem x - 6. eset Nem x - 6 w + Nem x - 6 w + Ige x 3 u + = = 3 w + = = 6 w + = (3 w + ) Nem x = 6 w + = = (3 w + ) Nem 4 x - w + 3 = = 3 (4 w + ) Ige 4 x - = = 3 ( u + ) = = 6 u + 3 = = 6 u + 4 - = = (3u + ) - w + 3 = = 3 (4 w + ) 8 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA Tuzso Zoltá A Sturm-módszer és alkalmazása Kivoat Ebbe a dolgozatba olya egyelõtleségek bizoyításával foglalkozuk, amelyekbe kettõél több változó va, és az egyelõtleségbe szimmetrikusa helyezkedek el. Emellett a változók még valamilye feltételt (öszefüggést) is teljesíteek. Az egyelõtleségek általába a mérta, trigoometria, algebra és a matematikai aalízis határterületé helyezkedek el, ezért elemi bizoyításuk em köyû. A dolgozatba bemutatott Sturm-módszerrel az említett feltételes egyelõtleségek köyûszerrel és elemi módo bizoyíthatók. A módszer csak algebrai eszközökre támaszkodik és a léyege az, hogy álladó összeg (vagy szorzat) mellett valamely kétváltozós kifejezés változását követjük, miközbe a változókat úgy közelítjük egymáshoz, hogy az összegük (illetve a szorzatuk) álladó maradjo. A változások megfigyelésébõl, meghatározva az egyik változó értékét, újrakezdjük az eljárást, de ezúttal - változó eseté. Véges ilye lépés utá az eljárásuk véget ér. A módszer léyegét és hatékoyságát megoldott feladatok segítségével szemléltetjük. Abstract I this paper we deal with the proof of such iequalities, which have more tha two variables ad which are situated symmetrically i the iequality. Beside this the variables fulfil some kid of coditio (relatio), too. The iequalities are usually situated o the borderlad of Geometry, Trigoometry, Algebra ad Mathematical Aalysis, that s why their elemetary proof is ot easy. With the Sturm method preseted i this paper the previously metioed coditioal iequalities ca be easily proved with elemetary methods. The method relies oly o algebraic tools ad its importace is that beside costat sum or product we follow the chagig of some expressio with two variables, while we are approachig the two variables to each other i such a way that their sum or product to be costat. From the observatio of the chages, defiig the value of oe variable, we restart the procedure, but this time with the case of - variable. After fiite such steps our procedure is over. We are goig to illustrate the importace ad efficiecy of the method with the help of solved problems. S * * * zámtala szélsõérték probléma megoldása, vagy egyelõtleség bizoyítása agyo gyakra már a matematikai aalízis eszközeire szorítkozik, mit például a Jese-, Hölder-féle egyelõtleség, deriváltak stb. A Sturm-módszerrel számos ilye úgymod az algebra, mérta, trigoometria, és aalízis határá elhelyezkedõ feladat elemi eszközökkel oldható meg. A módszert fõleg változót tartalmazó, szimmetrikus kifejezések eseté alkalmazhatjuk, amikor az ismeretleek valamilye kikötések vagy feltételek teszek eleget. MOZAIK KIADÓ 9
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március A módszer léyege rövide: álladó összeg (vagy szorzat) mellett valamely kétváltozós kifejezés változását követjük, miközbe a változókat úgy közelítjük egymáshoz, hogy az összegük (illetve a szorzatuk) álladó maradjo. A változások megfigyelésébõl meghatározva az egyik változó értékét, újrakezdjük az eljárást, de ezúttal - változó eseté. Véges sok ilye lépés utá az eljárásuk véget ér. A módszer léyegét a következõ feladatok segítségével jobba megérthetjük. A módszer kezdetét a következõ két feladat jeleti.. Alkalmazás: Ha x, y ŒR és x + y = S álladó, akkor a P(x, y) = x y szorzat a) övekszik, ha az Ωx - yω külöbség csökke, b) csökke, ha az Ωx - yω külöbség övekszik. Bizoyítás: Nyilvá feltehetõ, hogy x < y, ekkor létezik olya e > 0 amelyre e < y - x. Így az x + e és y - e számok közelebb vaak egymáshoz, mit az x és y számok, az x < x + e < < y - e < y elredezés miatt. Mivel e < y - x, mideképpe e < y - x (i). Ekkor P(x + e, y - e) - P(x, y) = e(y - x - e) > 0, és ezért az a) állítás igaz. Az x - e és y + e számok yilvá távolabb vaak egymástól, mit az x és y számok. Az x - e < x < y < y + e elredezés miatt, hisze x - y < 0, mégikább x - y < e (ii). Ekkor felírható, hogy P(x - e, y + e) - P(x, y) = = e(x - y - e) < 0, és ezért a b) állítás is igaz.. Alkalmazás: Ha x, y ŒR + és x y = P, akkor az S(x, y) = x + y összeg a) csökke, ha az Ωx - yω külöbség csökke, b) övekszik, ha az Ωx - yω külöbség övekszik. Bizoyítás: Nyilvá feltehetõ, hogy 0 < x < y, ekkor létezik olya k >, amelyre y k <. Így x a kx és y számok közelebb vaak egymáshoz, k y mit az x és y számok, a 0 < x < kx < < y elredezés miatt. Mivel < k <, ezért mi- k y x y deképpe < k < (iii). x Ekkor Skx, y k - S(x, y) = x k (k - ) y k x < 0, ezért az a) állítás igaz. A b) állítás bizoyítása is hasoló, ott a k Œ(0, ) feltételt kell figyelembe vei. A továbbiakba terjesszük ki az elõzõ tulajdoságokat a klasszikus számtai- és mértai közepek közötti egyelõtleség bizoyítására. 3. Alkalmazás: Ha mide eseté x, x,..., x ŒR +, akkor feáll az x + x +... + x xx... x egyelõtleség. Bizoyítás: Feltételezzük, hogy 0 < x x... x, és legye P(x, x,..., x ) = x x... x, valamit x + x +... + x = S álladó bármely eseté. Rögzítsük az x 3, x 4,..., x értékeket, és az x, x változó marad. Tehát x + x = S - (x 3 + x 4 +... + x ) álladó. Az. Alkalmazás alapjá, ha az x - x külöbség csökke, akkor a P(x, x,..., x ) szorzat övekszik. De x, ezért az x - x külöbség ak- S S kor csökke a legtöbbet, ha éppe x =. S Tehát Px (, x,..., x) P, x,..., x. () S ( ) S Továbbá x + x3 +... + x = S =. Az elõbbiek mitájára rögzítsük az x 4, x 5,..., x 0 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA számokat, az x, x 3 pedig legye változó. Tehát ( ) S az x + x3 = ( x4 + x5 +... + x) álladó. Továbbá az x 3 - x csökkeése a P(x, x,..., x ) szorzat övekedését idézi elõ. ( De ) x S :( ) = S, így az elõzõek S alapjá azt kapjuk, hogy P, x,..., x S S P,, x3,..., x. () Köye belátható, hogy ha tovább folytatjuk az eljárást, akkor végül is Px x x P = S S S S (,,..., ),,..., adódik, ami éppe a bizoyítadó egyelõtleséget jeleti. Megjegyzések: A bizoyítottakból megállapíthatók, hogy:. Ha az x + x +... + x = S összeg álladó, akkor a P(x, x,..., x ) = x x... x szorzat akkor a legagyobb, ha x = x = =... = x.. Ha az x x... x = P szorzat álladó, akkor az S(x, x,..., x ) = x + x +... + x összeg akkor a legkisebb, ha x = x = =... = x. xi i = 4. Alkalmazás: Ha x, x,..., x 0 és = p, akkor i = π si xi si. Bizoyítás: A szimmetria miatt feltételezhetõ, hogy 0 x x... x (). Rögzítsük az x 3, x 4,..., x értékeket, így x + x = S álladó (), ahol S i i = 3 = p x. Legye továbbá E(x, x,..., x ) = = si xi. Közelítsük az x, x értékeket úgy, i = hogy az összegük S maradjo. Két ilye érték tehát x + e és x - e, ahol 0 < e < x - x. Ekkor E(x + e, x - e, x 3,..., x ) - E(x, x,..., x ) = = [ cos( x x e ) cos( x x ) ] si xi i = 3 (3). De 0 < x - x - e < x - x < p, ezért cos(x - x - e) > cos(x - x ), tehát a (3) sorába levõ külöbség pozitív. Tehát, ha x - x csökke, és x + x = S álladó, akkor E(x, x,..., x ) övekszik. Az () és xi i = = p alapjá, x p (ellekezõ esetbe x + x +... + x > p lee). Tehát a () feltétellel, az x - x távolság a legkisebb, ha x = p. Így E(x, x,..., x ) p E, x,..., x. Most az x x 3... x, x + x 3 +... + x = ( ) p és x + x 3 = S (álladó) feltétel mellett megismételjük az eljárást p és hasolóa kapjuk, hogy E, x,..., x p p E,, x3,..., x. Még ( - )-szer megismételve az eljárást, végül is a lácszabály alapjá azt kapjuk, hogy E(x, x,..., x ) p p p p E,,..., = si, vagyis éppe amit bizoyítai akartuk. i = 5. Alkalmazás: Ha x, x,..., x 0 és xi = x, akkor i = ( + x) ( + x). Bizoyítás: Feltételezzük, hogy 0 x x... x (). Rögzítsük az x 3, x 4,..., x értékeket, így x x = P () álladó, ahol P = x : (x 3 x 4...x ). Legye E(x, x,..., x ) = = ( + xi), k > és x k <. Ekkor kx kö- x i = i MOZAIK KIADÓ
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március x zelebb va az számhoz, mit az x az x - k x höz, és < k <. Tehát felírható, hogy: x x Ekx (,, x3,..., x) Ex (, x,..., x) = k x x ( ) = k k ( + xi) < 0. k x = i 3 Tehát, ha az x, x értékeket úgy közelítjük egymáshoz, hogy a szorzatuk P = x x álladó marad, az E(x, x,..., x ) kifejezés csökke. A xi = x és az () alapjá biztosa igaz, hogy i = x x. Tehát az x - x külöbség a legkisebb, ha x = x, így E(x, x,..., x ) E(x, x,..., x ). Az eljárás ismételt alkalmazásával, a lácszabály alapjá azt kapjuk, hogy E(x, x,..., x ) E(x, x,..., x) = ( + x). Ezzel tulajdoképpe a ( + xi) + xi i = i = egyelõtleséget igazoltuk. A továbbiakba bizoyos megszorításokkal szorzatok legkisebb, vagy összegek legagyobb értékét vizsgáljuk. 6. Alkalmazás: Határozzuk meg az S(x, y, z) = x + y + z összeg maximumát, ha 3 x, y, z 0, és x y z =. 3 Megoldás: Feltételezzük, hogy 0 < x y z. Rögzítsük a z értékét és x, y maradjo változó. Ekkor x y = álladó. Ha az y - x külöbség z övekszik, akkor az S(x, y, z) összeg csökke. Az y - x külöbség aál agyobb, miél ki- 4 sebb az x értéke. Mivel x = =, yz 3 3 9 4 ezért x = a legkisebb elérhetõ érték. Így 9 4 4 Sx (, y, z) S, y, z = + y+ z. Ezúttal most 9 9 9 y z =, és a z - y külöbség övekedésével 4 9 9 3 az y + z összeg csökke. Mivel y = =, 4z 3 4 3 ezért y = a legkisebb elérhetõ érték. De ekkor az y z = alapjá z =, tehát S(x, y, z) 9 3 4 4 3 3 4 3 3 3 S,,. 9 = 9 + + = 9 7. Alkalmazás: Ha x, y, z 0 és x + y + + z =, akkor yz + zx + xy. x+ y+ z+ 4 Bizoyítás: A feladatot átírva azt kapjuk, hogy: xy + yz + zx xyz + +. x + y + z + 4 Ha most alkalmazzuk az x +, y +, z + értékekre a számtai és a harmoikus közepek közötti egyelõtleséget, akkor 3 + + x + y+ z+ x + + y+ + z+ 4 = 3 3 9 vagyis + +. Így ha x, y, z 0 x+ y+ z+ 4 és x + y + z =, elegedõ bizoyítai, hogy 9 Ex (, y, z) = xy+ yz+ zx xyz. (*) 4 4 MOZAIK KIADÓ
03. március A MATEMATIKA TANÍTÁSA Feltételezzük, hogy 0 < x y z (), és rögzítsük a z értékét. Tehát x + y = - z (álladó) (). Közelítsük az x < y értékeket egymáshoz úgy, hogy közbe az összeg változatla maradjo. Ekkor tehát E( x + e, y e, z) E( x, y, z) = 9 = ey ( x e) z, (**) 4 ahol 0 < e < y - x. Eek alapjá: 4. Ha z <, a (**) külöbség pozitív, így 9 E(x, y, z) akkor övekszik, ha az x és az y közeledik egymáshoz. Az x + y + z = és () miatt x, a () alapjá az x legközelebb va az y-hoz, ha x =. Tehát 3 3 Ex (, y, z) E, y, z, ahol y+ z = és 3 3 y z. Hasolóa y : =, így az y 3 3 a legközelebb áll a z-hez, ha y =, ezért 3 z =. 3 Tehát E, y, z E,, =. 3 3 3 3 4 4. Ha z >, akkor a (**) külöbség egatív, így E(x, y, z) akkor övekszik, ha x-et 9 és y-t távolítjuk egymástól, persze x + y = = - z álladó marad. Az () és () miatt az x = 0, az y-tól a legtávolabbi értéket adja. Így E(x, y, z) E(0, y, z) = yz, ahol y + z = és y z. Most az y-t és a z-t közelíteük kell egymáshoz. De y miatt a legközelebbi y érték a z-hez, az y =, ahoa z =. Tehát E(0, y, z) E 0,,. = 4 szerit E(x, y, z) maximális, ha Ezek x = y = z = MOZAIK KIADÓ 3 3 vagy x = 0, y = z =, és a szimmetria miatt, eek a cirkuláris permutációi. 8. Alkalmazás: Határozzuk meg az E(u, v, w) = ( + u)( + v)( + w) kifejezés legkisebb értékét, ha uvw,, 0, 7 6 és u + v + w =. Megoldás: Feltételezzük, hogy 0 u v w 7 (). Rögzítsük a w-t, legye u < v, miközbe u + v = - w álladó (). Közelítsük egy- 6 máshoz az u-t és a v-t úgy, hogy az összegük maradjo álladó. Ekkor felírható, hogy E(u + e, v - e, w) - E(u, v, w) = = e( + w)(v - u - e) > 0, ami azt jeleti, hogy E(u, v, w) övekszik, így a miimum meghatározásáál ez em segít. Távolítsuk hát az u-t és a v-t úgy, hogy az öszszegük maradjo álladó. Ekkor az u + v = = - w és () feltételek mellett a v-tõl a legtávolabbra esõ u érték em 0, hisze u = 0 eseté v + w = lee, ahoa w lee, ami 7 elletmod a w feltételek. Mivel 6 - u = v + w 7 7 +, ezért 6 6 8 u, így u = a megfelelõ. 8 7 Ekkor Eu (, v, w) E, v, w, v w 8 8 7 7 és v+ w = = (3). További csökketés 8 8 végett a w és v közötti távolságot ismét öveli
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 03. március kell. Mivel 7 7 7 7 v = w v, ezért v = 8 6 6 6 a legközelebbi v érték a w-hez, és a (3) alapjá 7 w =. Tehát E, v, w 6 8 E 7 7,, 8 6 6 = 9 3 =. 8 6 Ezek szerit E(u, v, w) akkor a legkisebb, ha 7 u =, v = w = és eek a cirkuláris permutációi. 8 6 A módszer jobb elmélyítése végett az érdeklõdõ Olvasóak a következõ feladatok megoldását javasoljuk:. Ha x, x,..., x Œ[0, ] és i = xi = S, ak- kor S ( xi). + S i =. Ha x, x,..., x > 0, és ( ) x( x ). i i i = 3. Ha x, x,..., x Œ(0, ) és xi =, akkor i =. x i xi =, akkor i = i = Ameyibe x, x,..., x Œ(0, ), akkor az egyelõtleség fordított iráyú. 6. Ha x, x,..., x > 0 és i = + +. xi S xi = S, akkor i = 7. Ha x, y, z 0 és x + y + z =, akkor 7 5( x + y + z ) + 8 xyz. 3 8. Ha x, y, z 0 és x + y + z =, akkor 7 0 xy + yz + zx xyz. 7 3 9. Ha x, y, z, 6 és x + y + z = 4, határozzuk meg az F(x, y, z) = xyz kifejezés leg- kisebb értékét. Forrásayag: [] Mircea Gaga (99): Teme si probleme de matematica. Editura Tehica, Bucuresti, 7 3. [] L. Paaitopol és társai (996): Egyelõtleségek (magyarra fordította Adrás Szilárd). Gil Köyvkiadó, Zilah 4. Ha x, x,..., x Œ(0, ), akkor x. > i i = i = ( x ) > i 5. x, x,..., x >, és i =. x + x i xi = x, akkor i = 4 MOZAIK KIADÓ