A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba mi is sajátos jelöléseket haszáluk.. A gómo számok A gómo egy L-alakú tájoló mszer volt, ami aptárkét, iráytkét és órakét is szolgált. A pitagoreusok a páratla számokat evezték gómookak. Az egymást követ égyzetszámok külöbségét (a páratla számok) ugyais gómo formába ábrázolhatjuk: Mivel a gómoszámok a páratla természetes számok, ezért a képlete G mide pozitív természetes számra, és a reprezetációjuk így éz ki: G = G = G = 5 G 4 = 7. A keretszámok k = 8 k = k = Észrevehet, hogy a keretszámok tulajdoképpe a 4-gyel osztható pozitív egész számokat jeletik. Az -edik keretszám képlete: k 4, mide természetes számra.. A téglalapszámok T = T = T = T 4 = 0 Észrevehet, hogy a téglalap számok képlete T ( ) és mit láti fogjuk, éppe a háromszög számokak duplájával egyelk, de általáosabba téglalap számak * evezzük az ( k) típusú számokat is, ahol k N. 4. A trapézszámok Értelmezés szerit egy, vagy több egymás utái természetes szám összege. Vagyis egyel szárú trapéz formájába elhelyezett kavicsok.
A szkebb értelembe vett trapézszámok (amikor csak két egymás utái számból állak) képlete szité a páratla számok képlete, hisze + (+)= +. Azoba az általáos képlete az (k) Tr ( k) k( k) ( k)... ( k( )), ahol és k tetszleges természetes számok. Észrevehet, hogy a trapézszámok felírhatók két háromszögszám külöbségekét, vagyis (... ) (... ( k ) k( k)... ( k ). A továbbiakba térjük át a szabályos sokszögek alapjá származtatott figuratív számok ismertetésére. 5. A sokszögszámok A sokszögszámok közül külöös fotossággal redelkezek a háromszögszámok, ézzük tehát ezeket. 5.. A háromszögszámok ( ) ( ) Mivel..., ezért az -edik háromszögszám képlete H. A sokszögszámok közül vitathatatlaul a legfotosabbak és leghaszálatosabbak a égyzetszámok, lássuk ezeket. 5.. A égyzetszámok A ma is haszálatos égyzetszám elevezés még a pitagoreusoktól származik. Ugyaakkor a matematikába egy újabb mvelet jelet meg, a hatváyozás. Jele esetbe aa: a, és az a -t égyzetszámak vagy teljes égyzetek evezzük (itt a * ). Az -edik égyzetszám képlete: N, *. 5.. Az ötszög és hatszög számok
Megfigyelve ezeket próbáljuk képletet szerkesztei az -edik k-szögszámra. Értelmezés szerit az els k-szögszám, a második k, a harmadik pedig a második k-szög határá és belsejébe megjelölt potok száma. Az -edik k-szögszám az (+)-edik szabályos k-szög határá és belsejébe megjelölt potok száma. Ha az -edik k-szögszámot S ( k) -val jelöljük, akkor S( k) ( k) H ( k ), vagyis S( k) [( k) ( k 4) ] ahol k,,. ( ) Tehát az -edik -szög szám képlete: S() ( ), az -edik 4-szögszámé () S(4), az -edik ötszögszámé S (5) ( ), az -edik hatszögszámé pedig S() (4 ) () és így tovább. A sokszögszámokak va úgyevezett geerátor függvéyük, amelyekbe az együtthatók k, 4, 5, esetbe íme redre a geerátor éppe az illet sokszögszámot jeletik. A x 4 xx ( ) 4 függvéyek: f( x) xx x 0 x... ; f4( x) x4x 9x x... x(x) 4 x(x) 4 f5( x) x5x x x... ; f ( x) xx 5x 8 x... A k-szög számok további figuratív formái a következk:. A középpotos sokszögszámok Ahogy a evük is mutatja, a középpotos sokszögszámok egymásba teleszkópikusa behelyezett hasoló szabályos sokszögek, és még a középpot is. Íme éháy típus: Jelöljük C -el a az -edik középpotos k-szögszámot ( a cetered= középpotos agol szó k, k alapjá). Akkor eek a képlete: C kh, ( ) k ugyais a középpot köré az (-)-edik háromszögszámak k darab példáyát helyezzük. Eek alapjá az ábrá látható középpotos, 4, 5, oldalú sokszögszámok képlete: ( ) C, C ( ), 5 ( C ), C ( ). Érdekes kapcsolatok a, 4, 5,, következk: C, C, C,, valamit a C H,, továbbá ha K jelöli az -edik köbszámot (lásd késbb), akkor mivel C, ( ) K K, ezért C, k K k. (összefoglaló például itt: [], [], [], [4]). A középpotos sokszögszámokak is va geerátor függvéyük, ézzük a k, 4, 5, eseteket: x x g x x x x ( ) 4 0 9... ; ( x) g x x x x 4( ) 5 5... ;
x x x 4x g5( x) xx x... ; g ( x) 7x9x 7 x... Ugyacsak a sokszögszámokkal kapcsolatosak a következk is: 7. A csillagszámok Ahogy a szabályos kovex sokszögekbl csillagsokszögek származtatható, úgy a sokszögszámokból is származtathatók csillag sokszögszámok is. Azoba itt úgy is értelmezhetük csillagszámokat, hogy egy sokszögszám oldalára kifele háromszögszámokat illesztük. Két esetet külöböztethetük meg aszerit, hogy a sokszögszám középpotos-e vagy sem. Ha em középpotos, akkor a legkisebb ilye sokszögszám amelyre háromszögszámokat illesztve csillagot kapuk éppe a égyzetszám. Illesszük tehát az N égyzetszám oldalaira kifelé 4 darab H háromszögszámot. Majd illesszük tehát az Négyzetszám oldalaira kifelé 4 darab H háromszögszámot, és így tovább. Ekkor az alábbi, 8, illetve 40 pöttybl álló figurális számokat kapjuk: ( ) Folytatva az eljárást, az -edik ilye figurális szám képlete 4 ( ). A második esetbe, amikor a sokszögszám középpotos, ézzük a következket. Például a középpotos háromszögszámok oldalaira kifele szité kogrues háromszögszámokat illesztük, akkor ameyibe em háromszögszámot kapuk, csillagszámhoz jutuk: Köye belátható, hogy ezeket a csillagszámokat úgy is tekithetjük, mitha a középpotos hatszögszám külsejére illesztettük vola háromszögszámokat: Éppe ebbl kifolyólag a képletkeresés is sokkal köyebb, ugyais egy ilye S szám éppe a középpotos hatszögszám, és a külsejé darab el háromszögszám. Képletese: 4
( ) S C, H. Érdekes összefüggés a csillagszám, C S H. a háromszögszám és a középpotos sokszögszám között:, S Csupá eze két példa alapjá belátható, hogy milye agy a csillagszámok szerkesztési lehetségeiek a száma, hisze csupá a sokszöget (középpotos sokszöget) kell változtatuk, ezért tehát megálluk itt. A továbbiakba rátérük a figurális számok térbeli reprezetációira. Elször is vegyük a em szabályos poliéderek esetét: 8. A k-gúla számok A -szög alapú gúlák a tetraéderek, ezeket kihagyjuk, mert a szabályos testek között tárgyaljuk. Következzeek tehát a k= 4 oldalú alappal redelkez gúlaszámok. G (4) = G (4) = 5 G (4) = 4 ( )() Észrevehet, hogy az -edik figurális szám képlete: G (4).... A k> 4 oldalú alap eseté pedig az -edik k-gúlaszámot jelöljük G (k)-val. Észrevehet, hogy G ( k) S ( k) S ( k)... S ( k), ahova beírva a k-szögszámokál lev képleteket, megkapjuk az ( ) -edik k-gúlaszám képletét: G( k) [( k) k5]; k, és k. 9. A poliéderszámok (Plátoi számok, v.ö. [5]) A poliéderszámok a síkbeli szabályos sokszögek alapjá szerkesztett sokszögszámokak a térbeli általáosításai. Míg azoba a síkba tetszleges oldalszámú sokszög létezik, addig a tére a szabályos térbeli testek száma véges, éspedig a következk: Tetraéder Hexaéder (Kocka) Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder Nyilvávalóa, hogy ezekbl kiidulva defieáljuk a térbeli poliéderszámokat. A háromszögszámokak a térbeli aalógjai a tetraéderszámok, kezdjük ezekkel. 9.. A tetraéderszámok. 5
Észrevehet, hogy t = H, t = H +H, t = H +H +H, és így tovább. Az -edik tetraéderszám kk ( ) ( )() ( ) ( )( ) képlete: t k. 9.. A köbszámok K = K = 8 K = 7 K 4 = 4 A köbszámok a égyzetszámokak a térbeli megfeleljük. A figurális számokból ered a köbszám elevezés is, így tovább bvül a hatváyozás: aaa : a, ahol a -t köbszámak evezzük (esetükbe a ). Az -edik köbszám képlete: K,. 9.. Az oktaéder számok O = O = O = 9 Észrevehet, hogy a képletéek megadása érdekébe a következ számolásokat kell elvégezük: ( ) () ( ) O (... ( ) ), * 9.-9.4. A dodekaéder és az ikozaéder számok Ezekek a számokak a térbeli reprezetációjuk már eléggé boyolultak ahhoz, hogy ábrázolhassuk ket. Ezért csupá a két számtípus képletét adjuk meg. ()() (5 5) D illetve I (v.ö. [5] ) A térbeli poliéder számok is lehetek középpotos figuratív számok is, továbbá a síkbeli sokszögszámok mitájára, a poliéder számokak is va geerátor függvéyük is. A két és háromdimeziós figuratív számokat tovább lehet általáosítai ha a dimeziószámot öveljük. Így például a síkbeli háromszögszám és a térbeli tetraéderszám 4D-s általáosítása a petatóp számok, amelyek sajátos politóp számok. ( )( )( ) 4 Az -edik petatóp szám képlete: P C, vagyis éppe az ötödik 4 biomiális együttható. Ezek szerit az -edik k-dimeziós tetraéderszám (k-szimplex) k képlete éppe Pk, C lesz.
Forrásayag: [] http://oeis.org/wiki/cetered_polygoal_umbers [] http://www.virtuesciece.com/cetered-polygoal.html [] http://e.wikipedia.org/wiki/cetered_umber [4] http://mathworld.wolfram.com/ceteredpolygoalnumber.html [5] http://oeis.org/wiki/platoic_umbers [] http://mathworld.wolfram.com/figuratenumber.html [7] http://e.wikipedia.org/wiki/category:figurate_umbers [8] http://e.wikipedia.org/wiki/figurate_umber [9] http://e.wikipedia.org/wiki/polygoal_umber [0] http://mathworld.wolfram.com/figuratenumber.html [] http://oeis.org/wiki/user:peter_luschy/figuratenumber [] http://www.whatabegiig.com/aspects/aspects_fn.htm [] http://bbs.sachia.pku.edu.c/stat/math_world/math/f/f.htm [4] http://www.biblewheel.com/gr/gr_figurate.php [5] [] Tuzso Zoltá: Hogya oldjuk meg aritmetikai feladatokat, Ábel kiadó, Kolozsvár, 0 7