JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, december 27. Regensburg, Bajorország, november 15.)

Átírás

1 SZABÁLYOS TESTEK

2 JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, december 27. Regensburg, Bajorország, november 15.) Német matematikus és csillagász, aki felfedezte a bolygómozgás törvényeit, amiket róla Keplertörvényeknek neveznek. Széles körűen foglalkozott más megfigyelésekkel is, köztük optikával. Az 1596-ban kiadott könyvében, a Mysterium Cosmographicumban (Das Weltgeheimnis) Kepler az akkor ismert hat bolygó pályáját az öt platóni testtel hozta kapcsolatba.

3 KEPLER PLÁTÓNI MODELLJE Johannes Kepler, amikor még körpályákban gondolkodott, úgy gondolta, hogy az akkor ismert hat bolygót (Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz) hordozó szférák (gömbök) közé a szabályos testek rakhatóak be sorban. Ezzel megmagyarázható volt az is, hogy a bolygók száma miért pont hat. Legbelül foglalt helyet az oktaéder, ezt követte az ikozaéder, majd a dodekaéder, a tetraéder és végül a kocka.

4 KEPLER PLÁTÓNI MODELLJE Úgy gondolta, hogy az egyes bolygópályák gömbjei között a kocka, a tetraéder, az oktaéder, a dodekaéder és az ikozaéder tartja a távolságot. Ebben a művében jelenik meg az a gondolat, hogy a bolygókat egy a Napból kiáradó erő tartja pályájukon. Ezt azzal indokolta, hogy ez az erő a Naptól távolabb gyengébb, ezért mennek lassabban a távoli bolygók. Ez az első eset, hogy valaki a bolygók mozgását valamilyen fizikai hatással próbálta magyarázni. A későbbiekben született Kepler törvények azonban módosították ezt a bolygómodellt.

5 SZABÁLYOS TESTEK Definíció: A szabályos testek vagy platóni testek a geometria területén olyan konvex testeket jelentenek, melyek oldalait egybevágó szabályos sokszögek határolják, minden lapszögük egyenlő és a csúcsalakzataik is egybevágók. A 3 dimenziós térben öt szabályos test létezik. Két dimenzióban végtelen sok szabályos sokszög létezik. Euler tétel: Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak száma c. Ekkor fennáll a következő egyenlőség: c + l = e +2

6 TETRAÉDER Oldallapok száma: 4 Oldallapok fajtája: Szabályos háromszög Élek száma: 6 Csúcsok száma: 4

7 HEXAÉDER Oldallapok száma: 6 Oldallapok fajtája: Négyzet Élek száma: 12 Csúcsok száma: 8

8 OKTAÉDER Oldallapok száma: 8 Oldallapok fajtája: Szabályos háromszög Élek száma: 12 Csúcsok száma: 6

9 DODEKAÉDER Oldallapok száma: 12 Oldallapok fajtája: Szabályos ötszög Élek száma: 30 Csúcsok száma: 20

10 IKOZAÉDER Oldallapok száma: 20 Oldallapok fajtája: Szabályos háromszög Élek száma: 30 Csúcsok száma: 12

11 SZABÁLYOS TESTEK Csúcsok száma (c) Oldallapok száma (l) Tetraéder Hexaéder Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder c+l Élek száma (e) Euler tétel: Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak száma c. Ekkor fennáll a következő egyenlőség: c + l = e +2 Az Euler tétel következménye: több szabályos test nem létezik, csak ez az öt.

12 ARKHIMÉDÉSZI TESTEK

13 ARKHIMÉDESZI TESTEK Definíció: Az arkhimédészi testek (Arkhimédész-féle poliéderek) sokszimmetriájú, félig szabályosnak is nevezett, konvex testek. Két- vagy többféle szabályos sokszög alkotja a lapjaikat, és csúcsalakzataik is egybevágók (de már nem mindig szabályosak, mint az fönnáll a szabályos testekre). Különböznek tehát a platóni vagy szabályos testektől.

14 CSONKÍTOTT TETRAÉDER Oldallapok száma: 8 Lapok fajtája: 4 háromszög 4 hatszög Élek száma: 18 Csúcsok száma: 12

15 KUBOKTAÉDER Oldallapok száma: 14 Lapok fajtája: 8 háromszög 6 négyzet Élek száma: 24 Csúcsok száma: 12

16 CSONKÍTOTT HEXAÉDER Oldallapok száma: 14 Lapok fajtája: 8 háromszög 6 nyolcszög Élek száma: 36 Csúcsok száma: 24

17 CSONKÍTOTT OKTAÉDER Oldallapok száma: 14 Lapok fajtája: 6 négyzet 8 hatszög Élek száma: 36 Csúcsok száma: 24

18 ROMBIKUBOKTAÉDER Oldallapok száma: 26 Lapok fajtája: 18 négyzet 8 háromszög Élek száma: 48 Csúcsok száma: 24

19 CSONKÍTOTT KUBOKTAÉDER Oldallapok száma: 26 Lapok fajtája: 12 négyzet 8 hatszög 6 nyolcszög Élek száma: 72 Csúcsok száma: 48

20 PISZE HEXAÉDER (2 KIRÁLIS ALAK) Oldallapok száma: 38 Lapok fajtája: 6 négyzet 32 háromszög Élek száma: 60 Csúcsok száma: 24

21 IKOZIDODEKAÉDER Oldallapok száma: 32 Lapok fajtája: 12 ötszög 20 háromszög Élek száma: 60 Csúcsok száma: 30

22 CSONKÍTOTT DODEKAÉDER Oldallapok száma: 32 Lapok fajtája: 12 tízszög 20 háromszög Élek száma: 90 Csúcsok száma: 60

23 CSONKÍTOTT IKOZAÉDER Oldallapok száma: 32 Lapok fajtája: 12 ötszög 20 hatszög Élek száma: 90 Csúcsok száma: 60

24 ROMBIKOZIDODEKAÉDER Oldallapok száma: 62 Lapok fajtája: 12 ötszög 20 háromszög 30 négyzet Élek száma: 120 Csúcsok száma: 60

25 CSONKÍTOTT IKOZIDODEKAÉDER Oldallapok száma: 62 Lapok fajtája: 12 tízszög 20 hatszög 30 négyzet Élek száma: 180 Csúcsok száma: 120

26 PISZE DODEKAÉDER Oldallapok száma: 92 Lapok fajtája: 80 háromszög 12 ötszög Élek száma: 150 Csúcsok száma: 60 Forrás:

27 Euler tétel: Legyen a P konvex (vagy egyszerű) poliéder éleinek száma e, a lapjainak száma l és a csúcsainak száma c. Ekkor fennáll a következő egyenlőség: c + l = e +2 ARKHIMÉDÉSZI TESTEK Csúcsok száma (c) Oldallapok száma (l) c+l Élek száma (e) Csonkított tetraéder Kuboktaéder Csonkított hexaéder Csonkított oktaéder Rombikuboktaéder Csonkított kuboktaéder Pisze hexaéder Ikozidodekaéder Csonkított dodekaéder Csonkított ikozaéder Rombikozidodekaéder Csonkított ikozidodekaéder Pisze dodekaéder

28 TESTEK DUÁLISAI Minden poliédernek létezik egy duálisa, amikor a lapok és a csúcsok kölcsönösen fölcserélődnek. Minden szabályos platóni test duálisa egy másik platóni test, így ezek a testek duális párokba rendezhetők. A tetraéder önmagával alkot duális párt (duálisa egy másmilyen állású tetraéder). A kocka duálisa az oktaéder. A dodekaéder duálisa az ikozaéder.

29 TESTEK DUÁLISA

30 MOST PEDIG KEPLER MUNKÁSSÁGÁNAK FIZIKAI RÉSZÉRE TÉRÜNK ÁT