A matematika természete a természet matematikája

Átírás

1 A matematika természete a természet matematikája A Bevezetés evezetése: mi és a minket körülvevő világ Földtől eloldja az eget a hajnal s tiszta, lágy szavára a ogarak, a gyerekek kipörögnek a napvilágra; a levegően semmi pára, a csilló könnyűség leeg! Az éjjel rászálltak a fákra, mint kis lepkék, a levelek. Kék, piros, sárga, összekent képeket láttam álmaiman és úgy éreztem, ez a rend egy szálló porszem el nem hiant. Most homályként száll tagjaiman álmom s a vas világ a rend. Nappal hold kél ennem s ha kinn van az éj egy nap süt ideent.... Akár egy halom hasított fa, hever egymáson a világ, szorítja, nyomja, összefogja egyik dolog a másikát s így mindenik determinált. Csak ami nincs, annak van okra, csak ami lesz, az a virág, ami van, széthull daraokra. Platóni testek: (az öt szaályos poliéder): tetraéder (tűz) hexaéder (föld) oktaéder (levegő) dodekaéder (világmindenség alakja) ikozaéder (víz) (József Attila: Eszmélet /részlet/) szaályszerűségek a világ leírása ezek segítségével a matematika, mint megannyi szakterület segédeszköze vegyészet, mérnöki de nemcsak: mathéma = tudomány (görög)? csillagászat, földrajz de nemcsak: geológia, otanika, orvostudomány de: festészet, szorászat, költészet, zene (!)

2 Bevezetés szaályszerűségek a rendkívül széles skála? : osztódás, hópelyhek, növények, idomok, olygók, csigaház, páfrány, növekedés! kis majom-nagy majom, kis párduc-nagy párduc a matematika ezek leírására? sorozatok? idő múlása 0 4 osztódás Fionacci? 0 Lucas? φ φ φ φ 4 φ számok? p q π Ludolph-féle szám? (Ludolph van Ceulen, 0-67; tizedesjegyig számolta ki a π-t, de maga a π elnevezés csak 79 óta Euler javaslatára) előállítása: Wallis 69, végtelen szorzatként: π n n =... 7 (n ) (n + ) Leiniz 67, végtelen összegként: π n+ = + ±... + ( ) 4 7 (n ) e Euler-féle szám? előállítása: φ φ=, előállítása: e = lim + (érd: n n a n = lim e n n a a + = + = n ) = 0 Előadás. A Fionacci-sorozat Leonardo Pisano Fionacci, 70-0: Itáliáól az ara világa került, megismerte az ara kultúrát és tudományokat; sokat foglalkozott az ara matematikával. A sorozat rekurzív képlete: a = a = a n = a n- a n-

3 nyulak? minden n-edik tag osztható n-nel: Bizonyítás: a n a n (a n osztója a n nek; a a osztója -nek) n n+ n+ n+ n+4 n+ a n a n+ (a n +a n+ ) (a n +a n+ ) (a n +a n+ ) (a n +a n+ ) lépcső Lépcsőn felfelé haladva, egyszerre csak egy vagy két lépcsőfokot lépve hányféleképpen juthatunk fel az n-edik lépcsőfokra? (Ahol állunk, az az -es lépcső.) fa növekedése (nyulak ) Hány pár nyúl származhat egyetlen pártól, ha két hónap alatt válnak ivarérettekké, és minden hónapan születik egy pár nyúl? 8 ugyanaz kicsien, mint nagyan (fraktálok) önhasonlóság: a sorozat definíciójáól következik a számtani sorozat szintén, DE! p-függő a mértani sorozat szintén, DE! q-függő egy (arányossági) tényező írja le őket tö is létezik előlük nem önhasonlóak, hanem p/q-hasonlóak (Megjegyzés: az a n = a n- a n- sorozat: nem teljesen önhasonló, alapú ettől eltekintve igen Fionacci-sorozat)

4 önhasonlóság nagyon gyakori a természeten (kis majom nagy majom) növények szárán a rügyek, levelek, ágak elhelyezkedése NEM VÉLETLEN, DE! A Fionacci-sorozaton túl (de vele mégis összhangan) más is leírja a jelenséget? a sorozat egymást követő tagjának hányadosai φ-hez tartanak számok φ?. Az aranymetszés és a Lucas-sorozat a φ előállítása, elnevezése: (90 évvel ezelőtt M. Barr javaslatára:) Pheidiasz-ról φ = az egyetlen (!) ilyen szám φ arany négyszög logaritmikus spirális az egyetlen olyan spirális, amely nem változtatja az alakját, miközen növekszik napraforgó (4 spirális fordul az egyik, a másik iránya; kise eseteken /4 vagy /; de ilyen pl. a dália is), csigaház az aranymetszés és a Fionacci-sorozat Mértani sorozat: a második tagtól kezdve ármely elem az előtte lévő és őt követő elem mértani középarányosa. Másképpen fogalmazva: a középső elem négyzete a vele közvetlenül szomszédos elemek szorzatával egyenlő. A Fionacci-sorozat esetén: a sorozat ármely elemének a négyzete (a másodiktól kezdve) a szomszédos elemek szorzatánál egyel kise vagy egyel nagyo. n a n a Lucas-sorozat rekurzív módon képezhető, de mértani is egyen: a + = = φ = : q a a φ = + φ φ = + φ φ φ = φ + φ st...

5 . Fraktálok definíció? önhasonló alakzatok ugyanaz kicsien, mint nagyan a nem egész dimenziójú alakzatok fa-fraktál, csigaház, hópehely, növekedés (!) olygók mozgása Pascal-háromszög? genetika: allélok?

6 Mellékletek. A hang Az emeri érzékelés olyan természetű, hogy az egymás után megszólaló hangokat akkor érzi azonos távolságra egymástól, ha az alaphangok aránya, és nem a különsége egyezik meg. Tö egyszerre megszólaló hang lehet konszonáns vagy disszonáns (kellemes vagy kellemetlen enyomást keltenek együtt). Két hang akkor konszonáns, ha a hangközük kis egész számok arányával írható le. Aszolút konszonáns: oktáv : Teljes konszonancia: kvint : kvart 4: Közepesen konszonáns: nagy terc :4 nagy szext : Konszonáns még ( hang):. Az e és /e előállítása 0, 0,,704 0,96 4,444 0,64,488 0,77 6,6 0,49 7,46 0,99 8,68 0,46 9,8 0,464 0,97 0,487,604 0,0,6 0,0,606 0, 4,67 0,4,E+06,788 0,67879 a dúr a moll : : és 4 6 : : hármashangzat.. A Fionacci-sorozat egymást követő tagjának hányadosai φ-hez tartanak,,6667 8,6,6,64 4,690,676 89,68

7 4. A Lucas-sorozat φ 0 φ,680 φ,680 φ 4,607 φ 4 6,84 φ,090 φ 6 7,944 φ 7 9,044 φ 8 46,9787 φ 9 76,0 φ 0,99. Allélok: AaBCc AaBCc ABC AABBCC AABBCc AABCC AABCc AaBBCC AaBBCc AaBCC AaBCc ABc AABBCc AABBcc AABCc AABcc AaBBCc AaBBcc AaBCc AaBcc AC AABCC AABCc AACC AACc AaBCC AaBCc AaCC AaCc Ac AABCc AABcc AACc Aacc AaBCc AaBcc AaCc Aacc abc AaBBCC AaBBCc AaBCC AaBCc aabbcc aabbcc aabcc aabcc abc AaBBCc AaBBcc AaBCc AaBcc aabbcc aabbcc aabcc aabcc ac AaBCC AaBCc AaCC AaCc aabcc aabcc aacc aacc ac AaBCc AaBcc AaCc Aacc aabcc aabcc aacc aacc A magas Minőség Dara növekedésű a alacsony. magas zöld sima 7 B zöld. magas zöld ráncos 9 hüvelyű sárga. magas sárga sima 9 C sima 4. magas sárga ráncos héjú c ráncos. alacsony zöld sima 9 6. alacsony zöld ráncos A, B, C: domináns allél 7. alacsony sárga sima a,, c: recesszív allél 8. alacsony sárga ráncos

8 6. Fraktálok

9 7. Az aranymetszés térgeometriája A legkülönlegese kapcsolat az ikoza- és az oktaéder között figyelhető meg. Az oktaéder egy ikozaédert rejt magáan oly módon, hogyha az oktaéder éleinek aranymetsző pontjait összekötjük egy ikozaédert kapunk eredményül. Hogy hogyan lehetséges ez, egyől előtűnik, ha a két test vázát vesszük szemügyre. Ha három aranytéglalapot speciális helyzete állítunk, azaz egymásra merőleges és egymást metsző helyzete hozunk, a kapott kereszt éppen egy ikozaédert eredményez. Eől a vázól pedig úgy jutunk el az oktaéder vázáig, hogy a téglalapokat négyzetekké egészítjük ki. Az aranytéglalap és a köré írható négyzet úgy helyezkednek el egymáshoz képest, hogy a négyzet oldalainak megfelelő aranymetsző pontjai határozzák meg a téglalap csúcspontjait. Eől a tényől, valamint aól, hogy a három egymást metsző négyzet egy oktaédert határoz meg, egyértelműen következik, hogy az oktaéder éleinek aranymetsző pontjai egy ikozaéder csúcspontjai lesznek. De vajon mi köze mindehhez a dodekaédernek? Ez a triumvirátus enne is megtalálható, csak még joan elrejtve. A dodekaéder és az ikozaéder között egy különleges kapcsolat van. Ez a két test egymásnak duálisa, ami azt jelenti, hogy az egyik lapközéppontjai a másik csúcspontjait határozzák meg. Tehát az ikozaéder csúcspontjai egy dodekaéder lapközéppontjait határozzák meg, ami azt jelenti, hogy a három aranytéglalap csúcsai ezúttal egy dodekaéder lapközéppontjaival egyeznek meg:

10 8. Pascal-háromszög

11 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 6 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 7 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 8 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 9 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

12 A matematika természete a természet matematikája A matematika természete a természet matematikája π n n =... 7 (n ) (n + ) Wallis π n n =... 7 (n ) (n + ) Wallis π = 4 + ±... + ( ) 7 n+ (n ) Leiniz π = 4 + ±... + ( ) 7 n+ (n ) Leiniz e = lim + n n n a a + = + = e = lim + n n n a a + = + = = 0 = 0 A Fionacci-sorozat és a Lucas-sorozat A Fionacci-sorozat és a Lucas-sorozat,,6667 8,6,6,64 4,690,676 89,68 φ 0 φ,680 φ,680 φ 4,607 φ 4 6,84 φ,090 φ 6 7,944 φ 7 9,044 φ 8 46,9787 φ 9 76,0 φ 0,99,,6667 8,6,6,64 4,690,676 89,68 φ 0 φ,680 φ,680 φ 4,607 φ 4 6,84 φ,090 φ 6 7,944 φ 7 9,044 φ 8 46,9787 φ 9 76,0 φ 0,99

13