Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24

Átírás

1 Hányféleképpen válthatom föl a pénzemet? Szittyai István Németh László Gimnázium, Hódmezővásárhely december 8. SZTE Bolyai Intézet Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24

2 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

3 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

4 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

5 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

6 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

7 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = egy 5-ös: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség: 5 = ; 5 = ; 5 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

8 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = egy 5-ös: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség: 5 = ; 5 = ; 5 = egy sem: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

9 Bevezető probléma Pénzváltás 1. probléma: pénzváltás Hányféleképpen válthatok föl egy 20 euróst 1,2,5 és 10 eurósokra? Megoldás: esetszétválasztás aszerint, hogy hány 10-est használok föl: ha kettőt, akkor egy lehetőség van: 20 = ha egyet, akkor a maradék 10 eurót kell előálĺıtani 1,2,5 eurósokból két 5-ös: 1 lehetőség: 20 = egy 5-ös: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség: 5 = ; 5 = ; 5 = egy sem: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet sem: 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 2 / 24

10 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

11 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

12 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

13 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

14 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

15 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség ha nullát: 20 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 11 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

16 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség ha nullát: 20 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 11 lehetőség Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

17 Bevezető probléma Pénzváltás folyt. A 20-ast hányféleképpen válthatom föl 1,2,5 eurósokra: hány 5-öst használok ha négyet: 20= ; 1 lehetőség ha hármat: 5 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 3 lehetőség (ld. fent) ha kettőt: 10 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 6 lehetőség ha egyet: 15 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 8 lehetőség ha nullát: 20 eurót kell fölváltani 1,2-esekre, 11 lehetőség Ez összesen 40 lehetőség. (HF: fölsorolni az összeset! :) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 3 / 24

18 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

19 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Egy n pozitív egész szám partícióján egy n = a 1 + a a k előálĺıtást értünk, ahol az összeadandók pozitívak, sorrendjük lényegtelen és egy szám többször is szerepelhet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

20 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Egy n pozitív egész szám partícióján egy n = a 1 + a a k előálĺıtást értünk, ahol az összeadandók pozitívak, sorrendjük lényegtelen és egy szám többször is szerepelhet. Általában nemnövekvő sorrend, pl. 12 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

21 Alapfogalmak A partíció A partíció fogalma Ha létezne 1-től 20-ig mindenféle címlet, akkor 626 lehetőség van. Egy n pozitív egész szám partícióján egy n = a 1 + a a k előálĺıtást értünk, ahol az összeadandók pozitívak, sorrendjük lényegtelen és egy szám többször is szerepelhet. Általában nemnövekvő sorrend, pl. 12 = Sok helyen előfordulhatnak! (számítástudomány, fizika, genetika, stb.) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 4 / 24

22 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

23 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

24 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

25 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

26 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

27 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

28 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

29 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

30 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

31 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 n 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

32 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 n 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

33 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 = 2 n 1 n 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

34 Alapfogalmak Felbontások Egy kis kitérő Ha sorrend lényeges, akkor fölbontásnak (ang: composition) szokás nevezni. pl. 4 = = = = = 1+3 = 3+1 = 2+2 Ezek száma könnyen meghatározható: ( ) ( n 1 n 1 c(n) = ) ( ) n 1 = 2 n 1 n 1 miért lehet lényeges a sorrend egy összegben?? pl. ha egyforma dolgokat kapunk, nem mindegy, ki kap, ki nem és ki mennyit kap! Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 5 / 24

35 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

36 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

37 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Nem nehéz megmutatni, hogy p(n) F (n), az n. Fibonacci szám Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

38 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Nem nehéz megmutatni, hogy p(n) F (n), az n. Fibonacci szám Euler évekig foglalkozott vele, egyik legszebb eredménye: p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

39 Alapfogalmak A partíció-függvény A partíció-függvény Definition Az n N szám partícióinak száma: p(n) Philippe Naude levele Euler-hez (1740): p(n) =? Képlet?? Mekkora? (növekszik, de milyen gyorsan?) Nem nehéz megmutatni, hogy p(n) F (n), az n. Fibonacci szám Euler évekig foglalkozott vele, egyik legszebb eredménye: p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +... De partitione numerorum, Szentpétervári Akadémia, 1750 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 6 / 24

40 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

41 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

42 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

43 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

44 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

45 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = = = = =... 7 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

46 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = = = = = = = = = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

47 Alapfogalmak A partíció-függvény A p(n) értékei: n partíciók p(n) = = = = = = = = = = = = = = = Néhány további érték: p(10) = 42, p(20) = 627, p(100) = , p(200) = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 7 / 24

48 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

52 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagram (vagy Young-? A partíciók ábrázolása: pöttyökkel, pl. a 12 = ábrázolása: vagy 12 = ? konjugált diagramok, konjugálás. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 8 / 24

58 Alapfogalmak Ferrers Ferrers-diagramok n = 8-ig Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 9 / 24

59 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

60 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

61 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

62 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

63 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

64 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) 6 Nyilván p(n 1) = 1, mennyi a p(n 2) értéke? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

65 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) 6 Nyilván p(n 1) = 1, mennyi a p(n 2) értéke? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

66 Alapfogalmak Feladatok Feladatok 1 Mi a konjugáltja az ill. az partícióknak? 2 p(n m db tag) = p(n a legnagyobb tag m) 3 p(n egyenlő tagok) = n osztóinak száma. 4 p(n különböző ptlan tagok) = p(n önkonjugált) 5 (Euler): p(n ptlan tagok) = p(n különböző tagok) 6 Nyilván p(n 1) = 1, mennyi a p(n 2) értéke? n Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 10 / 24

67 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

68 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

69 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

70 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

71 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

72 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

73 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

74 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es x = (x 2 ) 2 2 db 2-es Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

75 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es x = (x 2 ) 2 2 db 2-es x 4... = (x 4 ) 1 1 db 4-es 4 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

76 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény, formális hatványsor Definition {a n } a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 + 7x x Mi az együtthatója x n -nek? Éppen p(n)!! x = (x 1 ) 4 4 db 1-es x 1 x 3... = (x 1 ) 1 (x 3 ) 1 1 db 1-es, 1 db 3-as x 2 x = (x 1 ) 2 (x 2 ) 1 2 db 1-es, 1 db 2-es x = (x 2 ) 2 2 db 2-es x 4... = (x 4 ) 1 1 db 4-es 4 De! Végtelen sok tényező, mindegyikben végtelen sok tag... :-( Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 11 / 24

77 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

78 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

79 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 1 x 1 1 x x 3... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

80 Ötszögszámok és rekurzió Generátorfüggvények Generátorfüggvény (folyt.) Minden tényezőben egy végtelen (formális) mértani sor áll. Tudjuk: ezért: 1 + q + q 2 + q = 1 1 q (1 + x + x 2 + x )(1 + x 2 + x )(1 + x 3 + x 6 + )... = = 1 1 x 1 1 x x 3... = Nevező? (végtelen sok tényező, de mind kéttagú!) = 1 (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 12 / 24

81 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

82 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

83 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Mitől függ a megmaradó tagok előjele? Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

84 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Mitől függ a megmaradó tagok előjele? ±x n annyiszor fordul elő, ahányféleképpen n kül. tagokra partícionálható Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

85 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Az Euler-féle ötszög-tétel (1 x)(1 x 2 ) = 1 x x 2 + x 3 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 ) = 1 x x 2 + x 4 + x 5 x 6 (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 ) = 1 x x 2 + 2x 5 x 8 x 9 + x (1 x)(1 x 2 )... (1 x 22 ) A = (1 x x 2 +x 5 +x 7 x 12 x 15 +x ) A (a jobboldalon a kíırt tagok már nem változnak!) Mely kitevők maradnak meg és melyek nem? Mitől függ a megmaradó tagok előjele? ±x n annyiszor fordul elő, ahányféleképpen n kül. tagokra partícionálható páros számú tényező poz. előjel; ptlan számú tényező neg. előjel Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 13 / 24

86 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Ötszögszámok Ötszögszámok és általánosított ötszögszámok: k(3k 1), k N 2 k(3k ± 1), k N 2 1, 5, 12, 22, 35, 51,... illetve 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57,... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 14 / 24

87 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Ötszögszámok Ötszögszámok és általánosított ötszögszámok: k(3k 1), k N 2 k(3k ± 1), k N 2 1, 5, 12, 22, 35, 51,... illetve 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57,... (HF: vezessük le a képletet!) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 14 / 24

88 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Euler ötszögtétele Theorem Az ált. ötszögszámok kivételével minden n szám ugyanannyiféleképpen partícionálható páros számú, mint páratlan számú tagra. Az ötszögszámok esetén a különbség ±1, mégpedig 1, ha k páros és 1, ha k páratlan. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 15 / 24

89 Ötszögszámok és rekurzió Ötszögszámok, -tétel Euler ötszögtétele Theorem Az ált. ötszögszámok kivételével minden n szám ugyanannyiféleképpen partícionálható páros számú, mint páratlan számú tagra. Az ötszögszámok esetén a különbség ±1, mégpedig 1, ha k páros és 1, ha k páratlan. Corollary Az Euler-féle hatványsorban csak azok a hatványok nem tűnnek el, amelyeknek kitevője ált. ötszögszám. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 15 / 24

90 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = 1 (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

91 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3... ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... ) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

92 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3... ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... ) = 1 ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x x 2 + x 5 + x 7 x 12 x ) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

93 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Ötszögtételből rekurzív képlet p(0) + p(1)x + p(2)x = (1 x) (1 x 2 ) (1 x 3... ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x) (1 x 2 ) (1 x 3 )... ) = 1 ( p(0) + p(1)x + p(2)x ) ((1 x x 2 + x 5 + x 7 x 12 x ) = 1 Az azonos kitevőjű hatványok együtthatói egyenlők, ebből: p(n) p(n 1) p(n 2) + p(n 5) + p(n 7)... (... + ( 1) k p n k(3k 1 ) ( + ( 1) k p n k(3k + 1 )... = Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 16 / 24

94 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

95 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

96 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

97 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

98 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

99 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 p(0) 1+p(3) ( 1)+p(4) ( 1)+p(5) = 0 p(5) = p(4)+p(3) p(0) = 7 Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

100 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 p(0) 1+p(3) ( 1)+p(4) ( 1)+p(5) = 0 p(5) = p(4)+p(3) p(0) = 7 Theorem (Euler) p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +...(?) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

101 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt A rekurzív képlet alkalmazása p(0) 1 = 1 p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) = 0 p(1) = p(0) = 1 p(0) ( 1) + p(1) ( )1 + p(2) = 0 p(2) = p(1) + p(0) = 2 p(1) ( 1) + p(2) ( 1) + p(3) = 0 p(3) = p(2) + p(1) = 3 p(2) ( 1) + p(3) ( 1) + p(4) = 0 p(4) = p(3) + p(2) = 5 p(0) 1+p(3) ( 1)+p(4) ( 1)+p(5) = 0 p(5) = p(4)+p(3) p(0) = 7 Theorem (Euler) p(n) = p(n 1) + p(n 2) p(n 5) p(n 7) + p(n 12) +...(?) Hatékony algoritmus: n 1,5 -nel arányos a kiszámítási ideje. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 17 / 24

102 Ötszögszámok és rekurzió A kettő együtt Leonhard Euler ( ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 18 / 24

103 Képletek és egyebek A HR-formula A KÉPLET Theorem (Hardy-Ramanujan; Rademacher) ( p(n) = 1 π A k (n) k d sinh π k 2 dx ahol k=1 A k (n) = (h;k)=1 0 h k ( x 1 24 ) (x 1 24 ω h,k e 2πinh/k ) ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 19 / 24

104 Képletek és egyebek A HR-formula A KÉPLET Theorem (Hardy-Ramanujan; Rademacher) ( p(n) = 1 π A k (n) k d sinh π k 2 dx ahol k=1 A k (n) = Csúnya, de legalább gyors! :-) (h;k)=1 0 h k ( x 1 24 ) (x 1 24 ω h,k e 2πinh/k ) ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 19 / 24

105 Képletek és egyebek A HR-formula A KÉPLET Theorem (Hardy-Ramanujan; Rademacher) ( p(n) = 1 π A k (n) k d sinh π k 2 dx ahol k=1 A k (n) = (h;k)=1 0 h k ( x 1 24 ) (x 1 24 ω h,k e 2πinh/k ) ) Csúnya, de legalább gyors! :-) Bizonyítás: (Hans Rademacher, 1937) 12 oldal... (komplex függvénytannal és egyéb szépségekkel:) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 19 / 24

106 Képletek és egyebek A HR-formula G.H.Hardy ( ) és S.A.Ramanujan( ) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 20 / 24

107 Képletek és egyebek A HR-formula G.H.Hardy ( ) és S.A.Ramanujan( ) The Man Who Loved Numbers Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 20 / 24

108 Képletek és egyebek A HR-formula G.H.Hardy ( ) és S.A.Ramanujan( ) The Man Who Loved Numbers Turán Pál: Egy különös életút, Ramanujan, I. rész, II.rész, Középiskolai Matematikai Lapok, 27(1977), 49-54, Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 20 / 24

109 Képletek és egyebek Aszimptotika Monotonitás, korlátosság, határértékek Theorem p(n) < p(n + 1) < 2p(n) és p(n) < F (n) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 21 / 24

110 Képletek és egyebek Aszimptotika Monotonitás, korlátosság, határértékek Theorem p(n) < p(n + 1) < 2p(n) és p(n) < F (n) Theorem lim n p(n+1) p(n) = 1 és lim n (p(n + 1) p(n)) = (hasonlóan, mint pl. az a n = n k sorozat(ok).) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 21 / 24

111 Képletek és egyebek Aszimptotika Monotonitás, korlátosság, határértékek Theorem p(n) < p(n + 1) < 2p(n) és p(n) < F (n) Theorem lim n p(n+1) p(n) = 1 és lim n (p(n + 1) p(n)) = (hasonlóan, mint pl. az a n = n k sorozat(ok).) Theorem lim n n p(n) = 1 Összehasonĺıtás: (aranymetszés) lim n n F (n) = τ( 1, 618) Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 21 / 24

112 Képletek és egyebek Aszimptotika 2. Aszimptotikus formula Definition (aszimptotikus egyenlőség) a(n) b(n) ha a(n) b(n) 1 midőn n Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 22 / 24

113 Képletek és egyebek Aszimptotika 2. Aszimptotikus formula Definition (aszimptotikus egyenlőség) a(n) b(n) ha a(n) b(n) 1 midőn n Example (Stirling-formula; prímek száma) ( n ) n n! 2nπ π(x) x e ln x Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 22 / 24

114 Képletek és egyebek Aszimptotika 2. Aszimptotikus formula Definition (aszimptotikus egyenlőség) a(n) b(n) ha a(n) b(n) 1 midőn n Example (Stirling-formula; prímek száma) ( n ) n n! 2nπ π(x) x e ln x Theorem (Hardy-Ramanujan) (szubexponenciális :-) p(n) eπ 2n/3 4n 3 n = 100-ra 0, , de n = re már 0, Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 22 / 24

115 Függelék Irodalom Fölhasznált és ajánlott irodalom I G. E. Andrews, K. Eriksson Integer Partitions Cambridge University Press, P. Hajnal Összeszámlálási alapfeladatok Polygon Jegyzettár, N. J. Vilenkin Kombinatorika Műszaki Könyvkiadó, és persze internetes források, pl. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 23 / 24

116 Függelék Irodalom KÖSZÖNÖM A FIGYELMET! Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 24 / 24