A híres Riemann-sejtés
|
|
|
- Gizella Fehér
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz
2 A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
3 A Riemann-sejtés története Bernhard Riemann német matematikus fogalmazta meg 859-ben Bernhard Riemann
4 A Riemann-sejtés története Bernhard Riemann német matematikus fogalmazta meg 859-ben Hilbert 8. problémájaként egyike a 20. századot meghatározó matematikai kérdéseknek Bernhard Riemann
5 A Riemann-sejtés története Bernhard Riemann Bernhard Riemann német matematikus fogalmazta meg 859-ben Hilbert 8. problémájaként egyike a 20. századot meghatározó matematikai kérdéseknek A Clay Mathematics Institute 2000-ben egymillió dollárt ajánlott fel az első megoldó(k)nak
6 A n s alakú összegek Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
7 A n s alakú összegek Tekintsük a következő végtelen összeget: = n 2
8 A n s alakú összegek Tekintsük a következő végtelen összeget: = Öszegezzük az első N tagot: N = 00 esetén N = 000 esetén N = 0000 esetén N = esetén n 2
9 A n s alakú összegek Tekintsük a következő végtelen összeget: = Öszegezzük az első N tagot: N = 00 esetén N = 000 esetén N = 0000 esetén N = esetén Úgy tűnik, hogy a fenti összeg "közelít" egy (.645 körüli) értéket, ezt fogjuk a végtelen összeg eredményének nevezni. n 2
10 A n s alakú összegek Nem minden végtelen összeg közelít egy számhoz: =
11 A n s alakú összegek Nem minden végtelen összeg közelít egy számhoz: = = n
12 A n s alakú összegek Nem minden végtelen összeg közelít egy számhoz: = = n = ( ) n+ =??? Ezen összegekhez egyelőre nem tudunk értéket rendelni.
13 A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = vizsgálta először. n s típusú összegeket Euler
14 A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = n s vizsgálta először. Megmutatta, hogy: n = π2 2 6 n 4 = π4 90 típusú összegeket Euler
15 A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = n s vizsgálta először. Megmutatta, hogy: n = π2 2 6 n 4 = π4 90 típusú összegeket Euler Azt is észrevette, hogy köze van a prímszámokhoz: ( ) ( ) ( ) ( ) n = s + 2 s + 3 s + 5 s + 7 s
16 A n s alakú összegek Az + 2 s + 3 s + 4 s +... = n s vizsgálta először. Megmutatta, hogy: n = π2 2 6 n 4 = π4 90 típusú összegeket Euler Azt is észrevette, hogy köze van a prímszámokhoz: ( ) ( ) ( ) ( ) n = s + 2 s + 3 s + 5 s + 7 s Egyelőre azonban csak s > esetén definiált terjeszti ki ezt a definíciót.. Riemann n s
17 Komplex számok Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
18 Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i.
19 Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i. Pl. 3 = 3 = 3i
20 Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i. Pl. 3 = 3 = 3i Komplex számok: a + bi alakú számok, ahol a, b tetszőleges valósak. (Pl. 3 2i, 2 + 3i, 4i, 42, stb.)
21 Komplex számok A valós számok hiányossága: negatív számból nem lehet gyököt vonni. A megoldás: "új" szám, jele: i. Pl. 3 = 3 = 3i Komplex számok: a + bi alakú számok, ahol a, b tetszőleges valósak. (Pl. 3 2i, 2 + 3i, 4i, 42, stb.) Számolás: i 2 = szabállyal 4i (3 2i) = 2i + 8i 2 = 8 2i
22 Komplex számok Ábrázolás: számegyenes helyett számsíkon
23 A Riemann-függvény Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
24 A híres Riemann-sejtés A Riemann-függvény A Z (s) = P ns bármely s > valós szám esetén értelmezett,
25 A híres Riemann-sejtés A Riemann-függvény A Z (s) = P ns bármely s > valós szám esetén értelmezett, sőt, bármely olyan s = a + bi esetén is, melyre a >.
26 A Riemann-függvény A Z(s) = n s bármely s > valós szám esetén értelmezett, sőt, bármely olyan s = a + bi esetén is, melyre a >. Riemann kiterjeszti úgy, hogy a kapott grafikon minél "simább" legyen
27 A Riemann-függvény A Z(s) = n s bármely s > valós szám esetén értelmezett, sőt, bármely olyan s = a + bi esetén is, melyre a >. Riemann kiterjeszti úgy, hogy a kapott grafikon minél "simább" legyen: megszületik a ζ(s) Riemann-függvény, bármely s esetén értelmezett.
28 A Riemann-függvény
29 A Riemann-függvény A Riemann-sejtés fő kérdése: mely s-re lesz ζ(s) = 0?
30 A Riemann-függvény A Riemann-sejtés fő kérdése: mely s-re lesz ζ(s) = 0? Triviális zéróhelyek: negatív, páros egészek Riemann-sejtés: a többi zéróhely + bi alakú 2
31 A Riemann-függvény A Riemann-sejtés fő kérdése: mely s-re lesz ζ(s) = 0? Triviális zéróhelyek: negatív, páros egészek Riemann-sejtés: a többi zéróhely + bi alakú 2
32 A Riemann-függvény Az ún. kritikus egyenes környezete (0 < a <, 30 < b < 30):
33 A Riemann-függvény Az ún. kritikus egyenes környezete (0 < a <, 30 < b < 30): Ismert, hogy minden nemtriviális zéróhely a 0 < a < kritikus sávba esik.
34 A Riemann-függvény és a n s Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
35 A Riemann-függvény és a n s Amikor Z(s) = n s értelmezett, akkor ζ(s) = Z(s).
36 A Riemann-függvény és a n s Amikor Z(s) = n s értelmezett, akkor ζ(s) = Z(s). És amikor nem? Pl. s = esetén ζ( ) =. Lehet, hogy 2 = =? n 2
37 A Riemann-függvény és a n s Amikor Z(s) = n s értelmezett, akkor ζ(s) = Z(s). És amikor nem? Pl. s = esetén ζ( ) =. Lehet, hogy 2 = =? n 2 Tegyük fel, hogy értéket adtunk az végtelen összegnek: S =? S =
38 A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S =
39 A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = S =
40 A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = S = S = S
41 A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = S = S = S = 2S =
42 A Riemann-függvény és a n s Egy segédszámítás: S = S = S = S = 2S = = S = 2
43 A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 =
44 A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = S 2 =
45 A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = S 2 =
46 A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = S 2 = S 2 =
47 A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = S 2 = S 2 = = 2
48 A Riemann-függvény és a n s És egy másik: S 2 = S 2 = S 2 = = 2 = S 2 = 4
49 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S =
50 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 =
51 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 = S S 2 =
52 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 = S S 2 = = 4( )
53 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 = S S 2 = = 4( ) = 4S 4S = S S 2
54 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 = S S 2 = = 4( ) = 4S 4S = S S 2 = 3S = S 2
55 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 = S S 2 = = 4( ) = 4S 4S = S S 2 = 3S = S 2 = S = S 2 3 = 2
56 A Riemann-függvény és a n s Következhet S: S = S 2 = S S 2 = = 4( ) = 4S Azaz 4S = S S 2 = 3S = S 2 = S = S 2 3 = 2 n = = 2 "valóban"!
57 A Riemann-sejtés és a prímszámok Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok 4 A Riemann-függvény 5 A Riemann-függvény és a n s 6 A Riemann-sejtés és a prímszámok
58 A Riemann-sejtés és a prímszámok Kérdés a prímekről: (Gauss) Hány prímszám van 000-ig? És 0000-ig? ig? n-ig?
59 A Riemann-sejtés és a prímszámok Kérdés a prímekről: (Gauss) Hány prímszám van 000-ig? És 0000-ig? ig? n-ig? π(n) := n-nél nem nagyobb prímek száma. π(000) = 68, π(0000) = 229, π(00000) = 9592.
60 A Riemann-sejtés és a prímszámok Kérdés a prímekről: (Gauss) Hány prímszám van 000-ig? És 0000-ig? ig? n-ig? π(n) := n-nél nem nagyobb prímek száma. π(000) = 68, π(0000) = 229, π(00000) = Képlet nincsen π(n)-re, de tudjuk becsülni: π(n) n 2 ln t dt
61 A Riemann-sejtés és a prímszámok π(n) vs n 2 dt : ln t ææ æææææ ææ ææææ ææææææææææææææ æææææææææææææææ æææ ææææææ ææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææ æææ æææææ æ ææææ æ
62 A Riemann-sejtés és a prímszámok π(n) vs n 2 dt : ln t ææ æææææ ææ ææææ ææææææææææææææ æææææææææææææææ æææ ææææææ ææ ææææææææææææææææææææææææææææææ æææ æææ æææææ æ ææææ æ "Kis" n-ekre nem túl nagy az eltérés. Ha Riemann-sejtés igaz, akkor soha nem túl nagy.
63 A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90)
64 A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976)
65 A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van ig?
66 A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van ig? dt = = ln t
67 A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van ig? dt = = ln t Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a fenti közelítés hibája legfeljebb 0 20 ln = , azaz 8π
68 A Riemann-sejtés és a prímszámok Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor π(n) és n 2 dt eltérése ln t legfeljebb nagyságrendileg n ln n. (Koch, 90) n 2657 esetén legfeljebb n ln n 8π +. (Schoenfeld, 976) Hány prím van ig? dt = = ln t Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a fenti közelítés hibája legfeljebb 0 20 ln = , azaz 8π π(0 20 )
69 A Riemann-sejtés és a prímszámok Köszönöm a figyelmet!
A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma
A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok
A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió
Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Prímszámok statisztikai analízise
Prímszámok statisztikai analízise Puszta Adrián 28. április 18. Kivonat Munkám során a prímszámok és a páros prímek eloszlását, illetve különbségét vizsgáltam, majd ebből következtettem a véletlenszerű
A Dirichlet-tétel. Matematika BSc szakdolgozat. Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék. Szerző: Körmendi Kristóf
A Dirichlet-tétel Matematika BSc szakdolgozat Szerző: Körmendi Kristóf Témavezető: Dr. Waldhauser Tamás Algebra és Számelmélet Tanszék Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet 2009 Bevezetés Az analitikus
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
A matematika legszebb kihívásai
A matematika legszebb kihívásai Szegedy Balázs, MTA Rényi intézet 2018. február 21. Matematika és szépség Mi a matematika? Matematika és szépség Mi a matematika? A matematika azon állítások gyüjteménye
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk
Akkor én most bölcsész vagyok?! Avagy: híd, amit matematikának hívunk Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi tavasz Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Egyetemi tavasz 2013. 2013.04.20.
Logika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
FELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
alkalmazása Írta: Bárdits Anna Matematika BSc, Elemző szakirány Keleti Tamás
A Riemann-féle zéta-függvény néhány alkalmazása Írta: Bárdits Anna Matematika BSc, Elemző szakirány Témavezető: Keleti Tamás Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös
Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
Modern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt
2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Waldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően
Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.
A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és
Abszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...
Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus
Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
Matematikus mesterszak. ELTE TTK jan. 22.
Matematikus mesterszak ELTE TTK 2019. jan. 22. Miért menjek matematikus mesterszakra? Lehetséges válaszok: 1. Mert érdekel a matematika. 2. Mert szeretnék doktori fokozatot szerezni. 3. Mert külföldre
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
Logika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
Fermat kongruencia-tétele, pszeudoprímszámok
Fermat kongruencia-tétele, pszeudoprímszámok Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2005. december 15. Bolyai János születésének napja 1. Fermat kongruencia-tétele A kínai matematikusok már K. e. 500 körül
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
Szittyai István december 8. SZTE Bolyai Intézet. Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók , Bolyai, Szeged 1 / 24
Hányféleképpen válthatom föl a pénzemet? Szittyai István Németh László Gimnázium, Hódmezővásárhely 2012. december 8. SZTE Bolyai Intézet Szittyai István (NLG, Hmvh) Partíciók 2012.12.08, Bolyai, Szeged
b, b > 0 racionális szám, hogy a
3. A lánctörtek alkalmazásai. 3.. Diofantikus approximáció. Alapkérdés: Mennyire jól közelíthetők az irracionálisok racionális számokkal? Megjegyzés. Mindenek előtt azt kell tisztázni, hogy mit jelent
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Szubkonvex becslések automorf L-függvényekre
Szubkonvex becslések automorf L-függvényekre és alkalmazásaik Harcos Gergely Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet http://www.renyi.hu/ gharcos/ 2012. február 14. Magyar Tudományos Akadémia Áttekintés
illetve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz
A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
MATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű
8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
SZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
XI. PANGEA Matematika Verseny I. forduló 9. évfolyam
1. Tekintsük a következő két halmazt: F = {11-nél nem nagyobb prímszámok} és G = {egyjegyű páratlan pozitív egészek}. Az alábbi halmazok közül melyiknek van a legkevesebb eleme? A) F B) G C) F G D) F G
2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
5. feladatsor megoldása
megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös
Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja
2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Kártyázzunk véges geometriával
Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Egyetemi tavasz, 2016 Tartalom Dobble Véges geometria Dobble újratöltve SET Kérdések Hogy tudunk ilyen kártyákat konstruálni? 8 helyett más
3. A megoldóképletből a gyökök: x 1 = 7 és x 2 = Egy óra 30, így a mutatók szöge: 150º. 3 pont. Az éves kamat: 6,5%-os. Összesen: 2 pont.
. 3650 =,065 0000 Az éves kamat: 6,5%-os I.. D C b A a B AC = a + b BD = b a 3. A megoldóképletből a gyökök: x = 7 és x = 5. Ellenőrzés 4. Egy óra 30, így a mutatók szöge: 50º. írásbeli vizsga 05 3 / 007.
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Diszkrét matematika. Gyakorlati feladatsor. 1. Bevezetés: halmazok és függvények. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!
Diszkrét matematika Gyakorlati feladatsor. Bevezetés: halmazok és függvények.. Legyen A = {x N x páros}, B = {x N x > 4}, valamint C = {x N x < 6}. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!
Milyen a modern matematika?
Milyen a modern matematika? Simonovits Miklós Milyen a modern matematika? p.1 Miért rossz ez a cím? Nem világos, mit értek modern alatt? A francia forradalom utánit? Általában olyat tanulunk, amit már
1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása