alkalmazása Írta: Bárdits Anna Matematika BSc, Elemző szakirány Keleti Tamás

Átírás

1 A Riemann-féle zéta-függvény néhány alkalmazása Írta: Bárdits Anna Matematika BSc, Elemző szakirány Témavezető: Keleti Tamás Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 24

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. A Riemann-féle zéta-függvény -nél nagyobb valós számokon A függvény definíciója A függvény konvergenciája -nél nagyobb valós s-ekre A függvény Euler-féle reprezentációja A prímek reciprokösszege A Riemann-féle zéta-függvény értékei pozitív páros számokra 3.. Függvénysorok egyenletes konvergenciája, Fourier-sorok A bázeli probléma A függvény értékei pozitív páros s-ekre A függvény kiterjesztése a komplex számok pozitív félsíkjára Komplex függvénytani eszközök A függvény -nél nagyobb valós részű s-ekre A függvény -nál nagyobb valós részű s-ekre A függvény kiterjesztése a teljes komplex síkra A Gamma függvény A Mellin transzformáció A Theta függvény A függvény kiterjesztése a komplex síkra és a függvényegyenlet A prímszámtétel és a Riemann-hipotézis 3 2

3 . Bevezetés Bernard Riemann 859-ben írta Az adott számnál kisebb prímszámok száma című mindössze 8 oldalas, de annál nagyobb hatású dolgozatát, amelyben a híressé vált Riemann-hipotézisnek nevezett sejtését is megfogalmazta. A sejtés első ránézésre egymástól távoli fogalmakat kapcsol össze - a prímszámokat és egy komplex függvény gyökeit. A Riemann-sejtés bizonyítása nemcsak önmagában lenne nagy eredmény, hanem sok más belőle következő állítás is bebizonyosodna []. A fontosságát jól érzékelteti a következő David Hilbertnek tulajdonított idézet: Ha ezer éves álomból ébresztenének, az első kérdésem az lenne, hogy sikerült-e bebizonyítani a Riemann-hipotézist? [, 5.o.]. Marcus du Sautoy A prímszámok zenéje című ismeretterjesztő könyvében a Riemann-hipotézist a prímszámok látszólag zajos felszíne alatti harmóniaként jellemzi [9]. A dolgozatban arra teszek kísérletet, hogy minél jobban meghalljam ezt a harmóniát, minél jobban megismerjem a Riemann-féle zéta-függvényt, és kapcsolatát a prímszámokkal. A dolgozat első felében a Riemann-féle zéta-függvényt a valós számokon fogjuk vizsgálni, és a segítségével több prímszámokra vonatkozó tételt is belátunk. Ezután fokozatosan a komplex sík egyre nagyobb részére értelmezzük a függvényt. Végül röviden bemutatjuk a prímszámtételt és a Riemann sejtést, és hogy hogyan állnak kapcsolatban a Riemann-féle zéta-függvénnyel. 3

4 2. A Riemann-féle zéta-függvény -nél nagyobb valós számokon Ebben a fejezetben Riemann-féle zéta függvényt csak valós számokra vizsgáljuk, ebben a formában már Euler is foglalkozott vele a 8. században. 2.. A függvény definíciója Először definiáljuk a függvényt -nél nagyobb valós s-ekre. 2.. Definíció. A Riemann-féle zéta függvényt a következő végtelen sorral definiáljuk: ζ(s) := n s, ahol s -nél nagyobb valós szám A függvény konvergenciája -nél nagyobb valós s- ekre Most megmutatjuk, hogy a definíciónk értelmes, hiszen n s konvergens minden -nél nagyobb valós s-re. Ehhez az integrálkritériumot használjuk Tétel. [6] Legyen a egész szám, és legyen f monoton csökkenő és nemnegatív függvény az [a, ) félegyenesen. A f(n) végtelen sor akkor és n=a csak akkor konvergens, ha az f(x)dx improprius integrál konvergens. a Először kiszámoljuk az f(x) = x s függvény -től végtelenig vett integrálját: [ ] x x s s+ b dx = lim = b s + s lim ( b s+ ) b = ( ) = s s. () Az () egyenlőség jobb oldalán álló minden s > -re valós szám, tehát s x s konvergens minden s > -re. Ilyen s-ek esetén f monoton csökkenő nemnegatív függvény [, ) félegyenesen, ezért a 2.2 tétel szerint f(n) = n s is konvergens. 4

5 2.3. A függvény Euler-féle reprezentációja A következőkben bevezetjük a zéta-függvény Euler-féle reprezentációját. Az Euler-féle reprezentációból jól látható, hogy a függvény szoros kapcsolatban áll a prímszámokkal Tétel. [2] Bármely s > -re ζ(s) = ( p s ), ahol p a prímeken p fut végig. Bizonyítás. ([2] alapján.) Mivel és ezért Máshogy írva: ζ(s) = ζ(s)2 s = ζ(s) ζ(s)2 s = ( 2 s )ζ(s) = n s, (2n) s, n s n s = n 2 (2n) s. p n p>2 n s. (2) Tehát a (2) egyenlőség jobb oldalán csak páratlan n-ekre szummázunk. Ezek az n-ek éppen azok a természetes számok, melyeknek minden prímosztója nagyobb 2-nél. Az előző gondolatmenetet folytatva szorozzuk meg a (2)-es egyenletet 3 s -nel: ( 2 s )ζ(s)(3 s ) = n s (3 s ). (3) Vonjuk ki a (3) egyenlőséget (2)-ből: ( 2 s )ζ(s)( 3 s ) = ( 2 s )( 3 s )ζ(s) = n 2 n s n 2 n 2,n 3 (3n) s n 2 n s = p n p>3 n s. 5

6 Tehát jobb oldalon csak a 2-vel és 3-mal nem osztható n-ekre szummázunk, melyek azok a természetes számok, melyeknek csak 3-nál nagyobb prímosztói vannak. Ha az előzőeket folytatjuk 5-tel, 7-tel és így tovább P tetszőlegesen nagy prímszámig, akkor a következőt kapjuk: ( 2 s )( 3 s )( 5 s )...( P s )ζ(s) = n s, p n p>p ahol az utolsó szumma azokon az n-eken fut végig, melyeknek csak P-nél nagyobb prímosztói vannak. Most belátjuk, hogy n s tart -hez, ahogy P tart végtelenhez, amelyhez felhasználjuk, hogy n s = + n s. A n=p p n p>p p n p>p n p n p>p n s sor a konvergens n s sor farokösszege, tehát tart -hoz ahogy P tart végtelenhez. Mivel p n p>p n n s < -hoz, ahogy P tart végtelenhez. Tehát n=p n s, ezért p n p>p n lim ( P 2 s )( 3 s )( 5 s )...( P s )ζ(s) = ( p s )ζ(s) = p n s is tart ζ(s) = p ( p s ) A prímek reciprokösszege A következőkben belátjuk, hogy a prímek reciprokösszege divergens. Ez azt jelenti, hogy a prímek reciprokai lassan csökkenek, vagyis a prímek viszonylag sűrűn helyezkednek el - például sűrűbben, mint a négyzetszámok, melyek reciprokösszege konvergens, hiszen n s minden s > -re, tehát s = 2-re is konvergens. Ehhez először egy erősebb állítást látunk be: 6

7 2.4. Tétel. Az N-nél nemnagyobb prímek reciprokösszegének alsó korlátja p N p > log log N π2 6, ahol N tetszőleges -nél nagyobb egész szám, és p a prímeken fut végig. Bizonyítás. [3] alapján. állításokat: (i) N n > log N A bizonyításhoz fel fogjuk használni a következő (ii) ζ(2) = π2 6 (iii) log x = x + x2 2 + x x + x2, ha x 2 A (ii) állításra a következő fejezetben adunk bizonyítást (lásd 3.8 Tétel). Az (i) állítás bizonyítása. [3] log N < log(n + ) = N+ N x dx < n+ n N x dx < n. Az (iii) állítás bizonyítása. A bizonyításhoz először keressük meg az f(x) = Taylor-sorát a = pontban: log x f(a) + f (a)! log( a) + (x a) + f (2) (a) 2! (x a) 2 + f (3) (a) (x a) 3... = 3! ( a) ( a) 2 (x a) + +! 2! 2( a) 3... = 3! + ( ) 2 x2 x3 x + ( ) + ( ) = x + x2 2 + x Ha x (, ), akkor a Taylor-sora elő is állítja is állítja a függvényt [6, 8.46 Példa], tehát ha a tétel feltétele szerint x, akkor 2 log x = x + x2 2 + x

8 Tehát azt kell belátnunk, hogy x + x2 2 + x x + x2, vagyis x x x2. Az egyenlőtlenség baloldalát felülről becsülve x = -del a következőt kapjuk: 2 x x x2 4 ( ) 2 + x2 2 5 ( ) Emeljünk ki x 2 -et: ( x ) Becsüljük felülről a zárójelben szereplő kifejezést: x 2 ( ), melyet a következőképpen is írhatunk a mértani sor összegképlete szerint: ( ) /2 x 2 = x 2. /2 Vagyis azt kaptuk, hogy amit be akartunk látni. x x x2, Most már nekikezdhetünk a 2.4 tétel bizonyításának. Először definiáljuk a következő szorzatot: A N = ( + p + p + 2 p ), 3 p νp p N ahol N > egész, p az N-nél nemnagyobb prímeken fut végig, és p νp N < p νp+. Bármely N kanonikus alakjában csak nála nemnagyobb prímek szerepelhetnek legfeljebb akkora kitevővel, mint A N egyes tényezőiben. Tetszőleges n N (egyértelműen) előállítható ezen prímhatványok szorzataként. Tehát 8

9 ha elvégezzük A N képletében a szorzást, akkor biztosan megkapjuk minden n N szám reciprokát, tehát Az (i) állítást alkalmazva A N N n. A N > log N. (4) Ezután felső becslést keresünk A N -re. Az A N tényezőiben szereplő mértani sorozatokat összegezzük: ( ) νp+ A N = p <. (5) p N p p N p Vagyis a (4) és az (5) egyenlőtlenségekből következik, hogy: log N < p N p Vegyük mindkét oldal logaritmusát: log log N < log. p N p A jobboldalt (iii) állítás segítségével felülről becsülve: log log N < p N A (ii) állításból következik, hogy p N p p + p N p 2. > log log N π2 6. (6) 2.5. Következmény. A prímek reciprokösszege divergens, vagyis p =, ahol p végigfut a prímeken. p Ez rögtön következik az előző tételből, hiszen a (6) egyenlőtelenség jobb oldala tart a végtelenhez, ahogy N, vagyis a prímek reciprokösszege divergens. 9

10 3. A Riemann-féle zéta-függvény értékei pozitív páros számokra Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy ζ(2) = π2. A négyzetszámok reciprokaiból álló végtelen sor összegének meghatározását bázeli problémának is 6 nevezzük, és Johann Bernoulli és Euler egymástól függetlenül már a XVI- II. század elején megoldotta. A fejezet második felében azt is megmutatjuk, hogy nemcsak 2-re, hanem bármilyen pozitív páros s-re meg tudjuk határozni a Riemann-féle zéta-függvény értékét. Ehhez először meg kell ismerkednünk a függvénysorok egyenletes konvergenciájának fogalmával és a Fourier-sorokkal. A fejezetben szereplő tételek és definíciók (ha másként nem jelezzük) a [6] forrásból származnak. 3.. Függvénysorok egyenletes konvergenciája, Fouriersorok A következő tételekre és definíciókra van szükségünk a fejezetben: 3.. Definíció. Legyenek f, f 2... a H halmazon értelmezett valós értékű függvények. Azt mondjuk, hogy az (f n ) függvénysorozat egyenletesen konvergál az f : H R függvényhez, ha minden ɛ > -hoz van olyan n, hogy f n (x) f(x) < ɛ minden x H-ra és minden n n -ra Definíció. Tegyük fel, hogy f n = f a H halmazon. Azt mond- juk, hogy a f n függvénysor egyenletesen konvergens H halmazon, ha az s n = n f i függvényekből álló függvénysorozat egyenletesen konvergál az f i= függvényhez H-n Tétel. Tegyük fel, hogy vannak olyan a n valós számok és van olyan n index, hogy a a n végtelen sor konvergens, és f n (x) a n minden x H és n n esetén. Ekkor a f n függvénysor egyenletesen konvergál a H halmazon Tétel. Tegyük fel, hogy a következő sor egyenletesen konvergens R-en: a + (a n cos nx + b n sin nx). (7)

11 Ha a sor összege f(x), akkor f folytonos, és fennállnak az a = 2π a n = π 2π 2π f(x)dx, (8) f(x) cos nxdx (9) és 2π b n = f(x) sin nxdx () π összefüggések Megjegyzés. Nemcsak [, 2π] intervallumon integrálhatunk, hanem bármely 2π hosszúságú intervallumban. Ez abból következik, hogy ha f periodikus p > szerint és integrálható [, p] intervallumban, akkor minden [a, a + p] hosszúságú intervallumban is integrálható, és a+p a fdx = p fdx. () Ha ugyanis (k ) a kp ahol k egész, akkor f periodicitása miatt kp fdx = p fdx és a a (k )p a+p a (k )p fdx = fdx, kp tehát ha összeadjuk a két egyenletet, éppen () -et kapjuk Definíció. Tegyük fel, hogy f : R R periodikus 2π szerint és integrálható [, 2π]-ben. A (8), a (9) és a () formulák által definiált számokat f Fourier-együtthatóinak, a segítségükkel leírt (7) sort pedig f Fourier sorának nevezzük Tétel. Legyen f : R R folytonos és 2π szerint periodikus. Ha f Fourier-sora egyenletesen konvergens R-en, akkor az összege minden pontban f(x)-szel egyenlő.

12 3.2. A bázeli probléma Az előző alfejezetben látottakat felhasználva már be tudjuk látni a következő tételt: 3.8. Tétel. A Riemann-féle zéta függvényre teljesül, hogy ζ(2) = π2 6. Bizonyítás. Legyen f az a 2π szerint periodikus függvény, amelyre f(x) = (2kπ x) 2 minden x [2kπ, 2kπ + ]-re, (k Z). Látható, hogy f páros függvény. Most kiszámoljuk f Fourier-sorának együtthatóit. A b n együtthatók -val egyenlőek, hiszen a 3.5 megjegyzés szerint bármilyen 2π hosszúságú intervallumban integrálhatunk, vagyis b n = π π π x 2 sin nxdx. A jobboldalon egy páratlan függvényt integrálunk egy origóra szimmetrikus intervallumon, tehát az integrál értéke. Így elég az a n együtthatókat kiszámolni. Ha n =, akkor a = 2π π π x 2 dx = 2π [ x 3 3 ] π π = π2 3. Ha pedig n >, akkor kétszer parciálisan integrálva: a n = π π π x 2 cos nxdx = π [ x 2 = + 2 πn 2 [x cos nx]π π 2 πn 2 ] π sin nx 2 n π πn π π cos nxdx = 2 n 2 ( )n + 2 n 2 ( )n 2 n 3 [sin nx]π π = ( ) n 4 n 2. Vagyis f Fourier sora π ( ) n 4 cos nx. n2 π π x sin nxdx 2

13 Tekintsük most f Fourier sorát π helyen. π ( ) n 4 π2 cos nπ = n ζ(2). Mivel a függvény folytonos, és Fourier-sora egyenletesen konvergens a 3.3 tételt a n = 4 n 2 -tel alkalmazva, ezért f-et a 3.7 tétel miatt Fourier sora minden pontjában előállítja. Vagyis Átrendezve kapjuk, hogy amivel beláttuk a tételt. π 2 = π ζ(2). ζ(2) = π2 6, A 3.8 tételt az előző fejezetben is felhasználtuk. Érdekességként megmutatjuk, hogy segítségével újabb egyszerű bizonyítást adható arra, hogy végtelen sok prím létezik. A bizonyításban fel fogjuk használni, hogy π 2 irracionális, de ezt nem bizonyítjuk a dolgozatban. A 2.3 és a 3.8 tételekből következik, hogy ( p 2 ) = ζ(2) = π2 6. p Ha véges sok prím van, akkor bal oldalon egy racionális számnak kell állnia. Viszont π 2 /6 irracionális, így ellentmondásra jutottunk, tehát végtelen sok prím létezik. [8] 3.3. A függvény értékei pozitív páros s-ekre A következőkben képletet adunk ζ(s) értékére minden pozitív páros s-re. Ezt ismét a szükséges tételek és definíciók leírásával kezdjük Tétel. Tegyük fel, hogy f n = f egyenletesen a H R halmazon. Ha az f n függvények folytonosak az a H pontban H-ra szorítkozva, akkor f is folytonos a-ban H-ra szorítkozva. 3.. Tétel. Tegyük fel, hogy f n = f egyenletesen az [a, b] intervallumon. Ha f n integrálható [a, b]-ben minden n-re, akkor f is integrálható [a, b]-ben, és b b f(x)dx = f n (x)dx. a a 3

14 3.. Tétel. Legyenek az f n függvények differenciálhatóak a korlátos I intervallumban, és tegyük fel, hogy (i) f n = g egyenletesen az I intervallumon, és (ii) létezik legalább egy x I pont, amelyre az f n (x ) végtelen sor konvergens. Ekkor az f n függvénysor egyenletesen konvergál I-n. Ha f n = f, akkor az f függvény differenciálható, és f (x) = g(x) minden x I-re. Azaz ( ) f n (x) = f n(x) Tétel. Létezik polinomoknak egy egyértelműen meghatározott B (x), B (x)... sorozata a következő tulajdonságokkal: B (x), továbbá B n(x) = B n (x) és B n(x)dx = minden n > -ra. Ezeket a polinomokat Bernoulli-polinomoknak nevezzük, a B n = n!b n () számokat pedig Bernoulli számoknak. Az első néhány Bernoulli polinom: B (x) =, B (x) = x 2, B 2(x) = 2 x2 2 x + 2 Emellett szükségünk lesz f függvényre, mely 2π szerint periodikus és amelyre f(x) = x2 4 π 2 x + π2 (2) 6 minden x [, 2π]-re. Most kiszámoljuk f Fourier-sorának együtthatóit: a = 2π = 2π 2π x 2 4 π 2 x + π2 6 dx = [ ] x 3 2π 2π 2 πx2 4 + π2 6 x 2π 3 3π 3 + π 3 3 =. 4

15 A b n együtthatók kétszer parciálisan integrálva: b n = π 2π ( x 2 4 π 2 x + π2 6 ) sin nxdx = [( x 2 πn 4 π ) ] 2π 2 x + π2 cos(nx) + 6 πn = + [( x πn 2 2 π ) ] 2π sin nx 2 πn 2 = + [cos nx]2π 2πn3 =. És végül a n együtthatók n > -ra: a n = π 2π ( x 2 4 π 2 x + π2 6 ) cos nxdx 2π = [( x 2 πn 4 π ) ] 2π 2 x + π2 sin(nx) 6 πn = + [( x πn 2 2 π ) ] 2π cos nx + 2 πn 2 = πn π + [sin 2 nx]2π 2πn3 = n 2 Vagyis az f függvény Fourier-sora cos nx n π 2π sin nxdx 2 2π ( x 2 π 2 ) cos nxdx ( x 2 π 2 ) sin nxdx cos nxdx A függvényt mindenütt előállítja Fourier-sora a 3.7 tétel szerint, hiszen a függvény folytonos és Fourier-sora egyenletesen konvergens, ami a 3.3 tételt a n = n 2 -tel alkalmazva látható. Tehát x 2 4 π 2 x + π2 6 = cos nx n 2 (3) minden x [, 2π]-re. Ennek segítségével fogjuk belátni a következő tételt. 5

16 3.3. Tétel. Minden x [, ]-re és minden k pozitív egész számra és B 2k+ (x) = ( ) k B 2k (x) = ( ) k ahol B n (x) az n-edik Bernoulli polinomot jelöli. 2 sin 2nπx (2nπ) 2k+ (4) 2 cos 2nπx, (5) (2nπ) 2k Bizonyítás. Helyettesítsünk x helyére 2πx-et a (3) egyenlőségben: x 2 x + 6 = cos 2nπx π 2 n 2 (6) minden x [, ]-re. Bal oldalon B 2 (x) kétszerese van, tehát a (5) egyenlőség teljesük k = -re. Most tekintsük a 2 sin 2nπx (2πn) 3 sort, mely a 3.3 tétel miatt (a n = 2 (2πn) 3 -t alkalmazva) egyenletesen konvergens, és a sor összege (jelöljük f-fel) a 3.9 tétel szerint mindenütt folytonos. Tagonként deriválva a sort megkapjuk a (6) egyenlőség jobb oldalának felét. Ez a sor egyenletesen konvergens, x = -ra teljesül a 3. tétel (ii) kritériuma is, így f deriváltja B 2 (x) minden x [, ]-re. A harmadik Bernoulli polinom deriváltja B 2 (x), így f(x) = B 3 (x) + c. Most megmutatjuk, hogy c =. Az f-et definiáló sor tagonként integrálható a 3. tételből következően. Mivel [, ]-en a sor minden tagjának integrálja, ezért azt kapjuk, hogy = fdx = (B 3 (x) + c)dx = c = c, ugyanis B 3 (x) integrálja definíció szerint a [, ] intervallumon. Ezzel beláttuk, hogy f(x) = B 3 (x), vagyis a (4) egyenlőség teljesül k = -re. A fenti gondolatmenetet megismételve 2 cos 2nπx (2πn) 4 sorra azt kapjuk, hogy a sor összege B 4 (x). Az eljárást folytatva pedig minden pozitív egész k-ra beláthatjuk a (4) és a (5) egyenlőségeket. 6

17 Ennek segítségével már könnyen képletet adhatunk a zéta-függvény értékeire pozitív páros k-k esetén Tétel. minden k egészre. k (2π)2k ζ(2k) = ( ) 2(2k)! B 2k Bizonyítás. Helyettesítsünk (5)-be x = -t: amivel be is láttuk a tételt. B 2k (2k)! = ( )k 2 (2nπ) 2k ζ(2k) = ( ) k B 2k(2π) 2k, 2(2k)! A Riemann-féle zéta-függvény értéke az első néhány páros számra tehát ζ(2) = π2 6 ζ(4) = π4 9 ζ(6) = π6 945 ζ(8) = π Vagyis a ζ(2k) alakú számok π 2k racionális többszörösei, és mint ilyenek, irracionálisak minden k-ra, hiszen π 2k irracionális. Arról sokkal kevesebbet tudunk, hogy páratlan egész számok esetén milyen értékeket vesz fel a függvény. Azt a 7-es években sikerült bizonyítani, hogy ζ(3) irracionális, azonban máig megoldatlan, hogy ζ(5), ζ(7), stb. irracionálisak-e, és zárt alakot sem sikerült találni. Azt is tudjuk, hogy ζ(2k + ) alakú számok között végtelen sok irracionális van. 7

18 4. A függvény kiterjesztése a komplex számok pozitív félsíkjára Ahhoz, hogy a függvény bonyolultabb alkalmazásait is be tudjuk mutatni, nem elég az egynél nagyobb valós számokra értelmeznünk. Ezért először kiterjesztjük az -nél nagyobb valós részű komplex számokra. Ehhez már meg kell ismerkednünk a komplex függvénytan bizonyos fogalmaival, amelyeket [2] és [4] forrás alapján mutatunk be. 4.. Komplex függvénytani eszközök A komplex változós függvények esetén a komplex sík valamely H részhalmazának minden pontjához hozzárendelünk egy a komplex síkon lévő pontot. Legyenek z = x + yi és w = u + iv komplex számok, ekkor így írhatjuk ezt le: w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). A valós differenciálszámítás mintájára f(z) függvényt differenciálhatónak mondjuk z pontban, ha f(z + z) f(z ) lim z z határértéke létezik és véges. Ezt az értéket f(z) függvény z helyen vett differenciálhányadosának nevezzük, és f (z )-lal jelöljük. 4.. Definíció. Ha egy f(z) függvény egy T tartomány minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy az f(z) T -ben analitikus Tétel. Ha f(z) függvény a T tartományon analitikus, akkor ott akárhányszor is differenciálható, sőt a tartomány tetszőleges a pontja körül Taylor sorba fejthető: f (n) a f(z) = (z a). n! n= Tehát a Taylor-sor segítségével tudunk analitikus függvényeket értelmezni, és ezzel bizonyos f(x) valós változós függvényeket természetes módon kiterjeszthetünk komplex változókra. Például értelmezni tudjuk a komplex kitevőre emelést. Ennek bemutatásához Taylor-sorba fejtjük e x, sin x és cos x függvényeket a körül: e x x n = n!, n= Az analitikus helyett a holomorf kifejezést is szokták használni. 8

19 és sin x = cos x = n= ( ) n x 2n+ (2n + )! ( ) n x 2n. (2n)! n= Ha x helyére ix-et írunk e x körüli Taylor-sorában, a következőt kapjuk: e ix = + ix + (ix)2 2! + (ix)3 3! + (ix)4 4! + (ix)5 5! + (ix)6... 6! = + ix x2 2! ix3 + x4 3! 4! + ix5 x6 5! 6!... ) ) = ( x2 2! + x4 4! x6 6!... + i (x x3 3! + x5 5!... = cos x + i sin x. Ennek segítségével fogjuk definiálni a komplex kitevőre emelést Definíció. Legyen z = x + iy komplex szám. Ekkor e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y). Ezzel egy új alakját is nyertük a komplex számoknak, hiszen re iϕ az origótól r távolságra az x tengellyel ϕ szöget bezáró komplex számot jelöli A függvény -nél nagyobb valós részű s-ekre Vizsgáljuk most meg a Riemann-féle zéta-függvényt bizonyos komplex s-ekre, legyen a Riemann által használt jelölés szerint s = σ + it Állítás. ζ(s) = n s konvergens minden Re(s) = σ > -re. Bizonyítás. ζ(s) = n s = n s = n σ e itlog(n) = n σ. n σ+it = n σ n it Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy e itlog(n) abszolút értéke, hiszen az egységkörön helyezkedik el. Tehát ζ(s) n σ = n, σ amelyről pedig az. Tételben beláttuk, hogy konvergens σ > -re. 9

20 4.3. A függvény -nál nagyobb valós részű s-ekre Ezután a komplex sík még nagyobb részére kiterjesztjük a definíciónkat, amihez még meg kell ismerkednünk néhány fogalommal Definíció. Ha a T tartományon analitikus f és a T 2 tartományon analitikus f 2 függvények a T T 2 = t tartományon megegyeznek, akkor f 2 az f függvénynek a t tartományon keresztül a T 2 tartományba történő analitikus folytatása.[7] Ez a fogalom nagyon fontos lesz a dolgozat során, mert ennek segítségével fogjuk majd értelmezni a Riemann-féle zéta-függvényt s = pont kivételével a teljes komplex síkon Definíció. Ha az f(z) függvény analitikus a z pont egy pontozott környezetében (azaz amelyhez z pontot magát nem számítjuk hozzá), akkor azt mondjuk, hogy a z pont az f(z) függvény izolált szingularitása. Az f(z) függvényt ebben az átlyukasztott környezetében úgynevezett Laurent-sorba fejthetjük: f(z) = c n (z z ) n. Az izolált szingularitásokat a következőképpen osztályozzuk, a függvény z körüli Laurent-sorának együtthatóinak segítségével:. A z pontot f függvény megszüntethető szingularitásának nevezzük, ha a z körüli Laurent-sorában minden n < index esetén c n =. A z izolált szingularitás akkor és csak akkor megszüntethető, ha a lim z z f(z) határérték létezik és véges. Ebben az esetben a Laurent-sor Taylor sorrá egyszerűsödik, és a z beli határérték a sor konstans tagjával egyenlő (c ). Vagyis ha alkalmazzuk az f(z ) = c kiterjesztést, akkor f függvény z teljes környezetében analitikussá válik. 2. A z pontot f függvény k-adrendű pólusának nevezzük, ha a függvény z körüli Laurent-sorában c k, de c n = minden n > k esetén. A z pont f(z)-nek akkor és csak akkor k-adrendű pólusa, ha f(z) előállítható a következő alakban: f(z) = g(z) (z z ) k, ahol g(z) a z pont teljes környezetében analitikus, és g(z ). 2

21 3. A z pontot f függvény lényeges szingularitásának nevezzük, ha z szingularitás nem megszüntethető, és nem is k-adrendű pólus. A dolgozatban az első két típussal fogunk találkozni. Még két tételre van szükségünk, mielőtt kiterjeszthetjük a függvényt a pozitív komplex félsíkra, s = pontot leszámítva Tétel. [2, Theorem 8.2.] Legyen S C nyílt halmaz, F : S C függvény, és F N : S C S-en F -hez egyenletesen konvergáló függvénysor. Ha minden F N analitikus, akkor F is analitikus Tétel. [2, Theorem 8.2.] Legyenek a < b valós számok, és f komplex értékű, (a, b) intervallumon deriválható függvény. Ekkor a<n b f(n) = b ahol {t} t törtrészét jelöli. a f(t)dt + b a {t}f (t)dt f(b){b} + f(a){a}, 4.9. Tétel. [2] A Riemann-féle zéta-függvénynek van analitikus folytatása az {s C Re(s) >, s } halmazra. A kiterjesztett függvénynek s = -ben izolált szingularitása van, amely elsőrendű pólus. Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy Re(s) >. Ekkor a 4.8 tétel miatt Az összeg első tagja N N n=2 N n = s [ ] t s+ N t dt = s s + N t dt + s s{t} t dt. s+ = N s+ s + s +. Ha N tart végtelenbe, akkor N s+, mivel Re(s) >. Tehát az összeg első tagja konvergens. Az összeg második tagja is konvergens, ahogy N, mert s{t} t dt s+ s dt <. tσ+ Ez azt is mutatja, hogy ζ(s) = + n+ n n=2 s{t} dt abszolút konvergens, tehát t s+ n = s s s {t} dt. ts+ 2

22 . Lemma. Az Bizonyítás. Legyen ahol f n (s) = n+ n {t} t s+ dt függvény analitikus Re(s) > -n. {t} I(s) = f n (s), t s+ dt. Megmutatjuk, hogy bármely δ > -ra (a) Az I(s) sor egyenletesen konvergens Re(s) = σ > δ-n. (b) Minden f n analitikus Re(s) = σ > δ-n. Ha ezek igazak, akkor a 4.7 tétel miatt igaz a lemma. Először bebizonyítjuk (a)-t: N I(s) f n (s) = N N f n (s) f n (s) = n=n+ N+ [ t σ dt = tσ+ σ (N + ) σ. σ n=n+ ] amelynek abszolút értéke kisebb, mint δ(n+) δ, amely -hoz tart. Tehát beláttuk, hogy I(s) egyenletesen konvergens. Ezután belátjuk (b)-t: N+ f n (s + h) f n (s) h = n+ n {t} t s+h+ dt h n+ n {t} t s+ dt = h n+ n {t} t s+ ( ) t dt. h Fejtsük Taylor-sorba körül t h -t. t h = e h log t = h log t + f(h, t), ahol Tehát f n (s + h) f n (s) h f(h, t) = O((h log t) 2 ). = n+ n {t} t s+ ( log t + h f(h, t) ) dt. 22

23 Átrendezve az egyenlőséget kapjuk, hogy f n (s + h) f n (s) h + n+ n {t} log tdt = ts+ Vegyük mindkét oldal abszolút értékét: n+ f n (s + h) f n (s) {t} + log tdt h ts+ = n n+ n n+ n n+ n n+ n n+ n {t}f(h, t) ht s+. {t}f(h, t) ht s+ {t}f(h, t) ht s+ dt dt {t}f(h, t) dt ht σ+ f(h, t) ht dt σ+ A jobb oldal tart -hoz, ahogy h, hiszen f(h, t) = O((h log t) 2 ). Vagyis fn(s+h) fn(s) határértéke véges, tehát f h n analitikus. Ezzel beláttuk (b)-t. Tehát értelmezni tudjuk a zéta függvényt Re(s) >, s -re is a következőképpen: ζ(s) := s s {t} dt. ts+ Az is látszik, hogy s = -ben a függvénynek elsőrendű pólusa van. 5. A függvény kiterjesztése a teljes komplex síkra Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a Riemann-féle zéta-függvénynek analitikus folytatása van a teljes komplex síkra, kivéve s = pontot. A Riemann által megtalált zéta függvényre vonatkozó függvényegyenlet bizonyítására a Riemann második bizonyítása néven ismert módszert használjuk. A fejezetben lévő definíciók, tételek és bizonyítások, ha másként 23

24 nem jelezzük a [] forrásból származnak. Ahhoz, hogy a Riemann-féle zéta függvényt kiterjeszthessük a teljes komplex síkra, meg kell ismerkednünk a Gamma és a Theta függvénnyel illetve a Mellin transzformációval. Az összes szükséges tételt kimondjuk, de nem bizonyítunk mindent precízen. 5.. A Gamma függvény 5.. Definíció. A Gamma függvényt a következőképpen definiáljuk s C Re(s) > -ra: Γ(s) = e t t s dt. Belátható, hogy a függvény jól definiált ezekre az s-ekre, a dolgozatban ezt nem mutatjuk meg. A következőkben bemutatjuk a Gamma függvény néhány tulajdonságát Tétel. A Gamma függvényre teljesül a következő függvényegyenlet: Γ(s) = sγ(s + ). (7) Bizonyítás. Γ(s + ) = e t t s dt. (8) Parciálisan integrálva a (8) egyenlőség jobb oldalát kapjuk, hogy Γ(s + ) = [ e t t s] e t st s dt. (9) A (9) egyenlőség jobboldalának első tagja (lim t e t t s ) e s. Mivel e s = és a L Hospital szabály ismételt alkalmazásával látható, hogy lim t e t t s =, ezért Γ(s + ) = e t st s dt = s e t t s dt = sγ(s) Következmény. A Γ(s) függvény analitikusan folytatható a teljes komplex síkra, leszámítva s =,, 2,... pontokat, ahol elsőrendű pólusai vannak. 24

25 Bizonyítás. A (7) egyenlőséget használva ki tudjuk számolni a függvény értékeit < Res -ra, kivéve s = -ra. Ezzel a függvényt analitikusan folytattuk a Re(s) > félsíkra, leszámítva s = -t, ahol elsőrendű pólusa van a függvénynek. Ezt nyilván végtelen sokszor megismételhetjük, így a teljes komplex síkra kiterjeszthetjük a függvényt kivéve s =,, 2... elsőrendű pólusokat Tétel. A Gamma függvényre teljesül a következő függvényegyenlet: 5.5. Következmény. Az síkon. Γ(s)Γ( s) = Γ(s) sin πs = π π sin πs. Γ( s) analitikus a teljes komplex Bizonyítás. A Γ( s) függvénynek elsőrendű pólusai vannak s =, 2, 3... helyeken, de ezeken a helyeken sin πs -t vesz fel, így -nek ezeken a helyeken Γ(s) megszüntethető szingularitásai vannak A Mellin transzformáció 5.6. Definíció. Legyen f : [, ) R folytonos függvény. Ekkor az f függvény Mellin transzformáltja g(s), melyet a következőképpen definiáljuk: g(s) := olyan s-ekre, ahol az integrál konvergens. f(t)t s dt Ebből rögtön látszik, hogy e t függvény Mellin transzformáltja Γ(s). A következő állítást fel fogjuk használni a Függvényegyenlet bizonyításakor: 5.7. Állítás. Az e ct függvény Mellin transzformáltja c s Γ(s). Bizonyítás. g(s) = e ct t s dt. Ebből u = ct helyettesítéssel kapjuk, hogy g(s) = e u ( u c ) du c = e u u s c s+ = c s Γ(s). 25

26 5.3. A Theta függvény 5.8. Definíció. A Theta függvényt a következőképpen definiáljuk -nál nagyobb valós t-kre: θ(t) := e πn2t. n= 5.9. Megjegyzés. A theta függvényt a következőképpen is írhatjuk: θ(t) = + 2 e πn2t. Ez könnyen látható, hiszen a sor n-edik és n-edik tagja megegyezik a négyzetre emelés miatt, a sor n = -dik tagja pedig. 5.. Tétel. Theta függvény teljesíti a következő függvényegyenletet: θ(t) = t θ(/t). 5.. Állítás. Minden -hoz elég közeli t-re (t ): θ(t) < e C/t t valamely C > -ra. Vagyis elég kicsi t-re t /2 és θ(t) közel vannak egymáshoz. Bizonyítás. Az 5.9 megjegyzést és az 5. tételt használva: θ(t) = t (θ(/t) ) t = 2 e πn2 /t. t Tegyük fel, hogy t elég kicsi,és így teljesül rá, hogy t > 4e /t és e 3π/t < /2. Ekkor θ(t) < t 4 e/t 2 ( e π/t + e 4π/t + e 9π/t +... ) < ( 2 e( π)/t + e 3π/t + e 8π/t... ) < ( 2 e (π )/t ) < ( ) 2 e (π )/t 2 = e (π )/t. Tehát elég kicsi t-re C = π -gyel teljesül az egyenlőtlenség. 26

27 5.4. A függvény kiterjesztése a komplex síkra és a függvényegyenlet Az előző alfejezetekben összegyűjtött eszközök segítségével ki tudjuk terjeszteni a Riemann-féle zéta-függvényt a teljes komplex síkra s = pont kivételével Tétel. A ζ(s) függvény analitikusan kiterjeszthető a teljes komplex síkra, kivéve s = -et, ahol elsőrendű pólusa van. Bizonyítás. Tekintsük a theta függvény Mellin transzformáltját: θ(t)t s dt. Ahogy t tart végtelenhez, úgy θ(t) -hez konvergál, hiszen a szumma összes tagja n = kivételével gyorsan tart felé. A következő hibatagot vezetjük be, hogy megmutassuk, hogy az integrál mindkét végpontján konvergens: φ(s) := (θ(t) )t s/2 dt + (θ(t) t ) t s/2 dt Azért használtunk s/2-t, mert a későbbiekben így tudjuk majd megkapni ζ(2s) helyett ζ(s)-t. Megmutatható, hogy φ(s) analitikus a teljes komplex síkon, de ezt a dolgozatban nem bizonyítjuk. Először tegyük fel, hogy 27

28 Re(s) > és tekintsük φ(s) képletében szereplő második tagot: (θ(t) t ) t s/2 dt = θ(t)t s/2 dt t (s 3)/2 dt = = = = 2 = 2 [ t θ(t)t s/2 (s )/2 dt (s )/2 n= ] e πn2t t s/2 dt 2 s t s/2 dt + 2 [ t e πn2t t s/2 s/2 dt + s/2 e πn2t t s/2 dt 2 s ] e πn2t t s/2 dt + 2 s 2 s. 2 s Tehát φ(s) = = 2 (θ(t) )t s/2 dt + 2 e πn2t t s/2 dt + 2 e πn2t t s/2 dt + 2 s 2 s e πn2t t s/2 dt + 2 s 2 s A e πn2t t s/2 függvénysor egyenletesen konvergens, ezért 3. tétel miatt φ(s) = 2 = 2 e πn2t t s/2 dt + 2 e πn2t t s/2 dt + 2 s 2 s e πn2t t s/2 dt + 2 s 2 s 28

29 minden Re(s) > -re. Az 5.7 állítást c = πn 2 -tel és s = s/2-vel alkalmazva kapjuk, hogy: φ(s) = 2 ( s (πn 2 ) s/2 Γ 2) + 2 s 2 s, tehát Vagyis ( s ) 2 φ(s) = π s/2 Γ ζ(s) + 2 s s. ( ζ(s) = πs/2 Γ( s) 2 φ(s) s ) s 2 (2) minden Re(s) > re. Mivel és φ(s) analitikusak a teljes komplex Γ(s) síkon, ezért a jobboldalnak csak s = -ban és s = -ben lehet szingularitása. Viszont s = -ban a szingularitás megszüntethető, hiszen π s/2 Γ( s 2 ) s = és az 5.2 tételt felhasználva látható, hogy: πs/2 2 s 2 Γ( s 2 ), π s/2 2 sγ( s) = πs/2 s 2Γ( s + ) 2Γ() Vagyis a (2) egyenlőség jobb oldalán álló függvény analitikus a komplex síkon s = -et leszámítva, ahol elsőrendű pólusa van. Ezzel analitikus folytatást találtunk ζ(s)-nek. Az függvény analitikus folytatását felhasználva megmutatható, hogy teljesül a következő tételben szereplő függvényegyenlet Tétel. Legyen Ekkor minden s C, s -re. ( s Λ(s) := π s/2 Γ ζ(s). 2) Λ(s) = Λ( s) Bizonyítás. Felhasználva, hogy ( s ) 2 φ(s) = π s/2 Γ ζ(s) + 2 s + s = Λ(s) + s + s, 29

30 látható, hogy és Λ(s) = 2 φ(s) s s Λ( s) = φ( s) 2 s s. Tehát azt kell belátnunk, hogy φ(s) = φ( s). helyettesítést alkalmazzuk: φ(s) = = = (θ(t) )t s/2 dt + ( θ ( θ (θ(t) t ) t s/2 dt ( ) ) u s/2+ ( u 2 )du u ( ) ) u s/2 du + u Az 5. tételt felhasználva: φ(s) = = ( θ ( uθ(u) ) u s/2 du + ( u ( θ(u) u ) u ( s)/2 du + ) ( θ Ehhez φ(s)-nél t u ( ) ) u u s/2+ ( u 2 )du u ) u u s/2 du. ( uθ(u) u ) u s/2 du (θ(u) ) u ( s)/2 du = φ( s). Ezzel beláttuk a tételt. 3

31 6. A prímszámtétel és a Riemann-hipotézis A kiterjesztett zéta-függvényt egyik legfontosabb alkalmazása a prímszámtétel bizonyításához kötődik. A prímszámtételt Legendre és Gauss is megsejtette a 8. század végén, de bizonyítani csak Riemann eredményeinek felhasználásával sikerült több, mint száz évvel később. 6.. Tétel (Prímszámtétel). [3] Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor π(x) lim x x =, log x azaz π(x) és x log x aszimptotikusan egyenlők. x Vagyis x-ig körübelül prímszám van. Ahhoz, hogy megmutassuk, log x hogy hogyan áll kapcsolatban a prímszámtétel a Riemann-féle zéta-függvénnyel, ha másként nem jelöljük, az [] forrást fogjuk használni. Először is definiáljuk a következő, függvényt: ψ(x) = log p, p m x ahol a szumma végigfut az összes olyan prímhatványon, ami nem nagyobb x-nél. Csebisev mutatta meg a 9.században, hogy a következő állítás ekvivalens a prímszámtétellel: ψ(x) lim x x =, hiszen ψ(x) = p x log p log x log x = π(x) log x. log p p x Riemann adott formulát ((2)-es egyenlőség) arra, hogy hogyan állnak kapcsolatban ζ(s) gyökei a ψ(x) függvénnyel, melyet H. von Mangoldt bizonyított 895-ben. Megmutatható, hogy a negatív páros valós számokra a Riemann-féle zétafüggvény -t vesz fel, ezeket triviális gyököknek nevezzük. Szintén belátható, hogy ezeken a gyökökön kívül csak a Re(s) sávban lehetséges, hogy ζ(s) =, ezeket az s-eket nem triviális gyököknek nevezzük. Jelölje ρ a Riemann-féle zéta-függvény nemtriviális gyökeit. Ekkor azokra az x > - ekre, melyek nem prímhatványok: ψ(x) = x ρ x ρ ρ ζ () ζ() 2 log( x 2 ), (2) 3

32 ahol a szumma a nem triviális gyökökön fut végig [5, (2.6) egyenlőség]. Tehát a Riemann-féle zéta-függvény gyökeiből következtetni tudunk a prímszámok eloszlására. A prímszámtételt Hadamard és de la Valleé Poussin egymástól függetlenül bizonyította 896-ban. A bizonyításhoz meg kellett mutatniuk, hogy ζ(s) ha Re(s) =. Lássuk most a Riemann-hipotézist: 6.2. Sejtés (A Riemann-hipotézis). [] A ζ(s) függvény minden nem triviális gyökének valós része /2-del egyenlő. A sejtéssel ekvivalens a következő állítás, melyet Schoenfeld bizonyított 976-ban []: ψ(x) x < x log 2 x. 8π A Riemann-hipotézis erősebb állítás, mint a prímszámtétel, tehát ha igaz, pontosabb képet kapunk a prímszámok eloszlásáról. A sejtés szerepel a Hilbert által 9-ban kiadott problémák, illetve a 2-ben kiadott milleniumi problémák között is. Az empirikus eredmények eddig alátámasztották a Riemann-hipotézist, hiszen 24-ig 3 számú nem triviális gyököt találtak az Re(s) = /2 által meghatározott kritikus egyenesen, (és nyilván egyet sem azon kívül). Az is bizonyított, hogy végtelen sok gyök található a kritikus egyenesen. A sejtést azonban a mai napig nem sikerült bizonyítani, és sokan a matematika legfontosabb megfejtetlen problémájának tartják []. 32

33 Hivatkozások [] P. Borwein, S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, Springer, New York, 28. [2] G. Everest, T. Ward, An Introduction to Number Theory, Springer- Verlag, London, 25. [3] Freud Róbert, Gyarmati Edit, Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 26. [4] Hanka László, Zalai Miklós, Komplex függvénytan, Műszaki Kiadó, Bolyai könyvek, Budapest, 23. [5] A. Ivić, The Riemann Zeta-Function - Theory and Applications, Dover Publications, New York, 23. [6] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera Analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 27. [7] Pach Zs. Pálné, Komplex függvénytan, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 22, jegyzetek/59 Pach Zs. Palne Komplex Fuggvenytan.pdf, letöltve: [8] M. Th. Rassias, Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory: In the Spirit of the Mathematical Olympiads, Springer, New York, 2. [9] M. Sautoy, A prímszámok zenéje, Park Könyvkiadó, Budapest, 24. [] L. Schoenfeld, Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II, Mathematics of Computation 3 (34): , 976. [] A. Steigert, Riemann s second proof of the analytic continuation of the Riemann Zeta function, lar-forms/riemanns second proof.pdf, letöltve: [2] Szőkefalvi-Nagy Béla, Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó, Budapest, 979. [3] Wikipedia, Divergence of the sum of the reciprocals of the primes, of the sum of the reciprocals of the primes#third letöltve: