Erdősné Németh Ágnes. Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa. INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1

Átírás

1 Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 1

2 LOGO versenyfeladatok II., III., IV. kategória feladatai közt mindig szerepel valamilyen parkettázás Feladatminták Ötlet: szabályos sokszögekkel INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 2

3 Szabályos parkettázás A sík olyan egyrétegű, hézagmentes lefedése, ahol minden csúcspontban ugyanannyi szabályos sokszög találkozik és a csúcsok egymásba mozgatásakor a parketta invariáns. Azaz minden csúcspont környezete ugyanúgy néz ki és bármely csúcsot el tudunk mozgatni egymásba, a látvány nem változik. INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 3

4 Szabályos sokszögek egy típust Tipp: melyikkel lehet? Háromszög, négyzet gyorsan jön lehet-e mással? méhek Próbálkozás Háromszög Négyzet Ötszög? Hatszög Hétszög? Nyolcszög? INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 4

5 Egy típust pusú szabályos sokszögb gből Egy csúcs:számelméletileg vizsgálva a problémát, osztópárok felírása a 360 fokra: 360*1 1* *2 120*3 90*4 72*5 60*6 45*8 40*9 36*10 30*12 24*15 20*18 2*180 3*120 4*90 5*72 6*60 8*45 9*40 10*36 12*30 15*24 18*20 Szabályos sokszögek belső szögei: (n-2)*180 o /n 60 o, 90 o, 108, 120 o, 128,57, 135, 140, 144, 147,2727, 150,. INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 5

6 Több típus t is lehet Hány szabályos sokszög találkozhat egy csúcspontban? Belső szög konvex =>minimum 3 szögtartomány Legkisebb belső szög a szabályos háromszögé =>maximum 6 Harmad, negyed, ötöd illetve hatodfokú parkettákról beszélhetünk, attól függően, hány sokszög találkozik egy-egy pontban Hányféle szabályos parkettázás létezik? TIPP INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 6

7 Harmadfokú parketták o o o (a 2) 180 (b 2) 180 (c 2) = a b c = a b c o a,b,c 3; a,b,c Ζ a b c INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 7

8 Harmadfokú parketták = a b c b + c = 6 b=7 => c=42 a=3 => => b=8 => c=24 b=9 => c=18 b=10 => c=15 b=11 => c nem egész b=12 => c=12 a=4 => b=5,6,7,8 => c=20, 12, nem egész, 8 a=5 => b=5,6 => c=5, nem egész a=6 b=6 c=6 INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 8

9 Harmadfokú parketták {3, 7, 42} {3, 8, 24} {3, 9, 18} {3, 10, 15} {3, 12, 12} {4, 5, 20} {4, 6, 12} {4, 8, 8} {5, 5, 10} {6, 6, 6} INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 9

10 Negyedfokú parketták = 1 a,b,c,d 3; a b c d a,b,c,d Ζ a b c d 4 megoldást kapunk {3, 3, 4, 12} nem jó {3, 6, 3, 6} {3, 4, 4, 6 } {4, 4, 4, 4} INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 10

11 Ötödfokú parketták = a b c d e 2 a,b,c,d,e 3; a,b,c,d,e Ζ a b c d e 2 megoldást kapunk {3, 3, 3, 3, 6} {3, 3, 3, 4, 4} INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 11

12 Hatodfokú parketták Egyetlen megoldás van Így mind a 11 lefedést előállítottuk INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 12

13 Matematika Geometriai probléma - algebrai eszközök Algebrai megoldás - nem mind felel meg Teljes megoldás További problémákat vet fel Matematikailag: Térbeli megfelelő Algoritmikusan: Geometriai transzformáció, amire invariáns INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 13

14 WINGEOM program Geometriai szerkesztések Lefedések Ingyenes, letölthető Könnyű használni INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 14

15 Sokszög g rajzolása Imagine-ben Eljárás háromszögrajz ismétlés 3 [előre 100 jobbra 360/3] Vége Először lépkedéssel, majd konkrét értékekkel, majd paraméteresen Eljárás sokszögrajz :oldalhossz :oldalszám :szin ismétlés : oldalszám [előre : oldalhossz jobbra 360/: oldalszám] színezés :szin Vége INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 15

16 Parkettarajzolás Imagine-ben Egy alapelem, mozgás, következő alapelem. Egy sor megrajzolása (ismétlés) Vissza a sor elejére MOZGÁS, újabb sor megrajzolása És itt jön elő a geometriai transzformáció Meg kell keresni az invariáns elemet és a mozgást INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 16

17 Gyerekek munkái Peti Marci : síklefedés2 5 9 sárga kék 50 Sík2 9 sárga kék 50 A2 sárga kék : síklefedés 5 9 piros kék : síklefedés3 3 6 "sárga "kék "piros : síklefedés8 5 5 "sárga "kék "piros : síklefedés "sárga "kék "piros Patti : lefedes1 "sárga "kék : lefedes "sárga "piros Márk Egy eljárás: nincs alapelem, sor : a4848 "piros "sárga : a "piros "kék 6 4 Kis trükkös 33336: a "zöld "kék 3 5 INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 17

18 Nem szabályos sokszöggel parkettázás INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 18

19 PENROSE csempék Nem periodikus csempézés INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 19

20 Linkek IMAGINE Dr. Kosztolányi József: Egy kutatási program általános iskolásoknak, POLYGON 1991, június WINGEOM A sík parkettázása a Wingeom programmal Penrose csempézések Az aranymetszés síkgeometriája Reimann: Parketták a geometria szemszögéből INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 20

21 Parkettázás s szabályos sokszögekkel Erdősné Németh Ágnes Batthyány Lajos Gimnázium Nagykanizsa agi@microprof.hu INFO SAVARIA április 23. Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa 21