Véges ponthalmazok legrövidebb hálózatai Kábelrakás kis költséggel

Átírás

1 Véges ponthalmazok legrövidebb hálózatai Bessenyei Mihály U.M. Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék (Szabó Gréta egyetemi hallgatóval közös munka alapján) Medve Matektábor, Pusztafalu, július 19.

2 Legrövidebb hálózat a négyzethez Feladat Négy település egy négyzet csúcsaiban helyezkedik el. Kössük össze a településeket Ethernet kábellel a lehet legkevesebb költséggel!

3 Legrövidebb hálózat a négyzethez zikus módra Analógia egy dimenzóval magasabb néz pontból Meghatározandó az egységkocka éleire fölfeszül minimális felszín felület. A megoldást a kocka élhálózatának szappanos vízbe merítésével modellezhetjük. A kapott konguráció eredeti síkbeli problémánkra az alábbi elrendez dést (topológiát) sejteti:

4 Legrövidebb hálózat a négyzethez zikus módra A lokalitási elv Kérdés még a kapott topológia elhelyezkedése (geometriája). Ehhez elegend ismerni, hogy a csomópontokban milyen szög alatt futnak be az élek. Ha az el bbi elhelyezkedés valóban minimum, akkor bármelyik csomópont kis környezetében is minimumot szolgáltat. Kérdés tehát, hogy három pont hogyan köthet össze legrövidebb hálózattal. Toricelli asztala Egy asztal lapjára három lyukat fúrunk, melyeken azonos hosszúságú zsineget f zünk át. Az asztallap fölött a zsinegeket összecsomózzuk, majd a csomópontot és a lelógó zsinegvégeket is azonos súllyal terheljük. Energiaminimum elve: a zsinegek összhossza az asztalon minimális. Newton II. törvénye: a csomópontban az élek szöge 2π/3. Vagyis: három pont legrövidebb hálózatát (optimális kongurációját) az úgynevezett izogonális pont felvételével nyerjük.

5 Legrövidebb hálózat a négyzethez matematikus módra Ha ABC olyan háromszög, melynek minden szöge kisebb, mint 2π/3, akkor a PA + PB + PC érték az izogonális pont választása mellett minimális. Az egységnégyzet négy csúcsát összeköt legrövidebb hálózat az el bb látott lényegében egyértelm konguráció. Ennek teljes hossza Bizonyítás A hálózat olyan fagráf, melynek minden éle egyenes szakasz. Lokalitás elv el ször: alappontból egy és csak egy él indulhat. Lokalitás elv másodszor: csomópontban három él fut össze. Fagráfban c = e + 1, így két csomópont beiktatása szükséges.

6 Véges ponthalmaz legrövidebb hálózata Ha H véges síkbeli ponthalmaz, G(V, E) ennek legrövidebb hálózata, akkor G(V, E) conv(h) és H V ; G(V, E) olyan fagráf, melynek élei egyenes szakaszok; minden alappontból legfeljebb három él indul; minden csomópontból pontosan három él indul; élek csak V pontjaiban találkozhatnak és legalább 2π/3 szögben. Továbbá, ha H térbeli halmaz, akkor a föntiek mellett még az is teljesül, hogy a csomópontból induló három él közös síkban van. Végezetül, a csomópontok száma legalább kett vel kevesebb az alappontok számánál.

7 Legrövidebb hálózat a szabályos ötszöghöz A szabályos ötszög legrövidebb hálózata az a lényegében egyértelm en meghatározott fagráf, melynek élei egyenes szakaszok, az alappontok foka egy, három darab három fokú csomópontot tartalmaz, és az élek páronként azonos szög alatt találkoznak.

8 Legrövidebb hálózat a szabályos hatszöghöz Megengedett kongurációk Szabályos hatszög legrövidebb hálózatában vagy minden alappontból egy él indul, vagy két alapponttól eltekintve mindegyikb l kett. Az els esetben négy csomópont beiktatása szükséges, és lényegében két ilyen kon- guráció létezik:

9 Legrövidebb hálózat a szabályos hatszöghöz A szabályos hatszög legrövidebb hálózatát a kerület mentén haladó, egy oldalt nem tartalmazó töröttvonal származtatja:

10 Legrövidebb hálózat a szabályos tetraéderhez A szabályos tetraéder legrövidebb hálózata az a lényegében egyértelm en meghatározott fagráf, melynek élei egyenes szakaszok, az alappontok foka egy, két darab három fokú csomópontot tartalmaz, és az élek páronként azonos szög alatt találkoznak. Ennek teljes hossza 2/2 3/3.

11 Irodalom Cockayne, E. J., On the Steiner problem, Canad. Math. Bull., 10 (1967), Gilbert, E. N. and Pollak, H. O., Steiner minimal trees, SIAM J. Appl. Math., 16 (1968), 129. Hwang, F. K. and Richards, D. S. and Winter, P., The Steiner tree problem, Ann. Discrete Math., 53 (1992), North-Holland Publishing Co., Amsterdam. Jarník, V. and Kössler, O., 0 minimálních grafech obsahujících n daných bodu, ƒas. P stování Mat., 63 (1934) Korte, B. and Ne²et il, J., Vojt ch Jarnik's work in combinatorial optimization, Discrete Math., 235 (2001), 117. Melzak, Z. A., On the problem of Steiner, Canad. Math. Bull., 4 (1961), Pólya Gy., Indukció és analógia, Gondolat Kiadó, Budapest, 1988.