Bán Tamás: Aranymetszés és asztrológia

Átírás

1 Bán Tamás: Aranymetszés és asztrológia A án a Fészek Művészklubban elhangzott előadás szerkesztett változata.

2 Mi is az aranymetszés? Először az aranymetszés szépségét, tökéletességét, művészi és tudományos vonatkozásait szeretném bemutatni, majd az előadás második felében annak asztrológiai alkalmazását. Isteni arány, amely kozmikus szépséget fejez ki.

3 Aranymetszés Euklidész Elemek című könyvében, mint szélső és közbülső arány szerepel. Ezt az időszakot megelőzően már Platónnak is ismernie kellett, hiszen az 5 platóni test egyike, a dodekaéder szabályos ötszögekkel határolt test. Márpedig az ötszög szerkesztéséhez elengedhetetlen ismerni az aranymetszés szabályait. Vannak ismeretek arról, hogy az ötszög ismerete jóval korábbi időkre nyúlik vissza. A XII. században élt matematikus, Fibonacci egy különleges számsort szerkesztett, amelyeknek két egymást követő tagjának hányadosa megfelelt az aranymetszés arányának. A szabályos ötszögből előállítható pentagram (ötágú csillag) minden szára az aranymetszés szabályai szerint metsződik. Ezért tekintik sokan a pentagramot még ma is a legtökéletesebb alakzatnak. Luca Pacioli az aranymetszés szépségeit könyvben is megfogalmazta, könyvéhez az illusztrációkat Leonardo da Vinci készítette. Kepler is csodálattal emlékezett meg erről az isteni arányról, a végtelen folyamatú újjánemzés isteni szabályát látta benne.

4 Aranymetszés A XIX. században fogalmazódtak meg azok az alapelvek, amelyek szerint az élővilágra, annak megjelenési formáira, növekedési ütemére is érvényesek az aranymetszés szabályai. A művészetek különböző ágaiban is fellelhető ennek a harmonikus aránynak a jelenléte, így a különösen a festészetben, az építészetben, a műalkotásokban, a költészetben, a drámairodalomban, a zenében, a filmművészetben. A tudomány területéről is lehet példát felhozni. Például Eddington és Dirac elméletét. Az 1920-as években atomszerkezeti vizsgálatok során megmérték a színképvonalak távolságát. Meghatározták ennek finomszerkezeti állandóját, aminek a reciproka 137,04 értékre adódott. (Érdekes, hogy ha a kört, azaz 360 o -ot az aranymetszés arányszámával osztjuk, akkor 222,5 értéket kapunk. A másik része a körnek ,5=137,5. Ez a szám kísértetiesen hasonlít a finomszerkezeti állandóra.) Eddington az 1/137-et mindenre alkalmazhatónak tekintette.

5 Aranymetszetek előállítása Eme rövid áttekintés után nézzük meg közelebbről ezt az isteni arány -t. A szerkesztése roppant egyszerű. 2.ábra. Rajzoljunk egy négyzetet, majd az egyik oldal felező pontját kössük össze az egyik szemközti csúccsal. Ezzel a távolsággal rajzoljunk kört a négyzet fölé és a kör négyzetoldalt is magában foglaló átmérőjén megjelennek az aranymetszésnek megfelelő arányú szakaszok.

6 Aranymetszetek előállítása Egy adott szakaszt is feloszthatunk az aranymetszés szabályai szerint. 2.ábra. A felosztandó szakaszt tekintsük 1 egységnyinek. A szakasz egyik végpontján emeljünk merőlegest a szakaszra és egy fél egységet mérjünk rá. Az így kapott végpontot kössük össze a szakasz másik végpontjával. Ezzel egy derékszögű háromszöget nyertünk, amelynek egyik befogója 1, míg a másik ½ egységnyi. A ½ egységgel húzzunk egy körívet az átfogóig, majd a felosztandó szakasz másik végpontjából ettől a ponttól egy körívvel feloszthatjuk a kívánt arányban a szakaszt.

7 Vegyük észre, hogy a 72 fokos szög (quintil) a világév egy napjának időtartamával azonos. Az ötszög, a pentagram a klasszikus tercier direkciókkal lehet összefüggésben. Gondoljunk az 5 fok egyenlő 1 év direkciós kulcsra. Aranymetszetek előállítása Euklidesz Elemek c. művében, amit egyébként az általunk is jól ismert Campanus fordított le latinra, az aranymetszés arányát szélső és közbülső arány -nak nevezi. Ebben részletesen magyarázza, hogy miként lehet olyan egyenlőszárú háromszöget szerkeszteni, amelynek szögei 36 és 72 fokosak. Azt is bemutatja, hogy ilyen háromszögekkel lehet szabályos ötszöget előállítani.

8 Aranymetszetek előállítása Az aranymetszés arányát az alábbi módon is megkaphatjuk. 3.ábra. Szerkesszünk egységnyi oldalú négyzetet, majd a 2.ábra szerint a négyzet egyik oldalának felezőpontjától a szemközti csúcsig tartó sugárral egy félkörívet rajzolunk. A félkörív és a négyzet meghosszabbított oldala által kimetszett két pontban merőlegest állítva egy téglalaphoz juthatunk. Ennek a téglalapnak a rövidebb oldala 1, míg a hosszabbik négyzetgyök 5. A négyzet oldalának és balról-jobbról megmaradó szakaszok aránya 1,618.

9 A végtelenszer ismételhető isteni arány Nézzük a következő érdekes példát. Rajzoljunk egységnyi oldalú kis négyzetet, majd egy másikat mellé. Ezután a két négyzet oldal fölé a következőt. Ezt követően pedig mindig a hosszabbik oldal fölé a következőt. A kapott téglalapok oldalainak aránya egyre pontosabban közelíti meg az aranymetszést. Látható, hogy az aranymetszés arányszámmal végtelenszer ismételhető, mindig hasonló alakzatok jönnek létre. Ugyanez figyelhető meg a természetben is, az élőlények növekedésekor. Campanus de Novara csodálatosnak, míg Kepler ezt nevezte isteni metszet -nek, és kijelentette: Ez a mértani arány lehetett, úgy vélem, a Teremtő ideája a hasonlónak hasonlóból való nemződésének bevezetésére.

10 Aranyspirál A 4.ábra szerint egymásra rajzolt arany téglalapokban található négyzetekbe negyed-köríveket rajzolva kapunk egy spirált, amelynek minden szelvénye éppen 1,618-szor lesz szélesebb az előzőnél, vagyis aranyspirált kaptunk. (A geometriában ezt nevezik logaritmikus spirálnak.) Zeising (1854) szerint: a természet növekedése elsősorban ötszögekben megy végbe. Ez a természet quincunksza, azaz az 5-ös szám szerint ritmikusan visszatérő levélsorrend, amely már Leonardo da Vincit is foglalkoztatta. Ezért lett az ötszög és a pentagaram az életerő jelévé, és Platon az ötszögből keletkező dodekaédert nevezte a világmindeség jelképévé.

11 Aranymetszés az emberi testben Az aranymetszés szerinti arányokat Le Corbusier az emberi test felépítésében is megtalálta. 6.ábra. A kar felemelésével nyert magasságnak éppen a felezőpontjában található a köldök. A kar felemelése nélkül pedig az aranymetszés arányai érvényesülnek több testrészen is (lásd az ábrán). Az is elgondolkodtató, hogy kezeinken 3 ujjperc, 5 ujj található, vagyis a Fibonacci féle számsorozat tagjai.

12 Arányok a természetben Herakleitosz: a világ nem kaotikus halmaz, hanem kozmosz, rend Még az olykor szembetűnő határozatlanságoknak, véletleneknek is megvannak a maguk okai. Miért van a rózsának éppen öt csészelevele? A szirmoknál és a porzóknál is megfigyelhető az 5-ös tagozódás (vagy ennek többszörösei): rózsa, muskátli, árvácska, levendula, bodza, mályva, szegfű, ibolya, harangvirág. A levélállásoknál hasonló szabályszerűség figyelhető meg. A levélállás egy spirális gyűrű mentén alakul folyamatosan. A levélképletekkel sűrűn megrakott növényeken, amilyen az ananász termése, a fenyőtoboz vagy a napraforgó, az aranyspirál figyelhető meg az egymás melletti levélelemek sorában.

13 Arányok a természetben Az egymás utáni levélkezdemények, a szárcsomók (a szórt levélállású növényeknél) elhelyezkedése mint láttuk spirális mentén történik. Ezekre a spirálisokra jellemzők az úgy nevezett állandó divergencia szögek, amik az őszirózsánál 135 o, a kövirózsánál 138 o, az erdei-, jegenye- és feketefenyő tobozánál 137 o 8. Emlékezzünk a színképvonalaknál ismertetett finomszerkezeti állandóra. Az ötkarú tengeri csillag pentagramot formáz. A Nautilus nevű polipfélénél a kanyarulatok az aranymetszés szerint növekednek, vagyis aranyspirális alakja van és a belső szelvényei is aranyspirál szerint alakulnak. De ugyanilyen aranyspirál figyelhető meg a macskák karmain, a papagájok csőrén, a hód metszőfogán, az elefántagyaron is.

14 Történeti áttekintés Phytagorasz (ie. VI. sz.) és tanítványai, követői a pitagoreusok már ismerték és alkalmazták az ötszög szerkesztését és a pentagramot. Írásos formában azonban Platon (i.e. V. sz.) művében találkozhatunk vele az un. Platóni testek között. A platóni testek, azok a szabályos testek, amelyeknek minden éle, szeglete és lapja egybevágó. Öt ilyen test van: a tetraéder (négy darab szabályos háromszög alkotja), a hexaéder (hat darab négyzetlap határolja = dobókocka), az oktaéder (nyolc darab szabályos háromszög alkotja), a dodekaéder (tizenkét darab szabályos ötszög határolja) és végül az ikozaéder (20 darab szabályos háromszög határolja). Tetraéder Oktaéder Ikozaéder

15 Történeti áttekintés Ezek a szabályos testek megfeleltek a négy elemnek, valamint az univerzumnak. A tetraéder felszíne a legkisebb, az ikozaéderé a legnagyobb, ezért a tetraéder mint a szárazság képviselője lett a tűz jelképe, és az ikozaéder a nedvesség képviselője a víz jelképe. A kocka, a hexaéder, amely szilárdan áll az alapjain, lett a föld elem jelképe. Az oktaéder, amelyik szabadon forog a két átellenes csúcsát tartva, a levegőé. A dodekaéder pedig az Univerzum megtestesítője, oldalait a zodiákus tizenkét jegyének megfeleltetve. Érdekességek: Ha a dodekaéder lapközéppontjait megfelelően kötjük össze, három egymást metsző aranytéglalapot kapunk Ugyanígy kapunk aranytéglalapokat, ha az ikozaéder megfelelő csúcsait kötjük össze. Ha a kocka egyik csúcsát és a szomszédos lapok szemközti csúcsait összekötjük, egy tetraédert kapunk. Hasonlóan találhatunk oktaédert a tetraéderben és oktaédert a kockában.

16 A pentagram szépségei Az ötszög átlói úgy metszik egymást, hogy mindegyik a másik átlót az aranymetszés szerint osztja fel. A pitagoreusok a pentagramot az egészség szimbólumának tekintették. Egyetlen vonallal lehet megrajzolni, s ekkor egy újabb ötszög keletkezik. Mágikus jel volt. Sokáig az ördögűzés jelképe volt. Mezopotámiában már ie. IV. évezredből származó vázadíszek között találtak ötszögcsillaghoz hasonló ábrákat. Indiában is alkalmazták díszítő elemként a pentagramot. Egészségóvó jelképnek tekintették. Láz és kígyómarás ellen védő amulettként még manapság is használják. A zsidó kultúrában a hexagram alakú Dávid-csillag mellett a pentagram alakú Salamon-csillag is ismert. Az egyiptomiak szimbolikájában is megtalálható, a lét titokzatosságának jelképeként. Itáliai és görög példák is találhatók az ötszög díszítőelemként történt alkalmazására. A keresztény szimbolikában is alkalmazták az ötszöget és a pentagramot. A gyóntatószék fölé helyezett ötlevelű rózsa a hallgatás jele volt. A kelta papok és a driudák a tökéletességet látták benne és a rontástól és boszorkányoktól óvó szimbólumként alkalmazták.

17 A pentagram szépségei A Jelek Könyve szerint: az egy-vonással leírható pentagram a legrégibb emberi jelek közé tartozik. Különböző időkben mást és mást jelentett. A pitagoreusok pentalphának nevezték, a kelták boszorkánylábnak, Salamon gyűrűjének, s a középkorban lidérckeresztnek is. A druidáknál az Istenség jele, s a zsidóknál Mózes öt könyvét jelenti. A néphitben a démonok elleni védőjelképpen s ily értelemben az üdvösség zálogául is szerepel. A boldog visszatérés jelének is magyarázták s ezért amulettül is szolgált. Eredetileg a babiloniaknak volt varázsformulája. Az ember mikrokozmoszának, a testet és a lelket összekapcsoló fluidumnak, az ötödik lényeg -nek, azaz a quinta essentiának szimbólumát látták benne a középkorban a tekintélyes alkimisták. Nettesheimi Agrippa ( ) e szerint ábrázolta az emberi alakot. 8.ábra. Paracelsus ( ) szerint két csodálatos jelnek engedelmeskedik minden lélek: az anyag makrokozmoszának, azaz a hatszögnek és a mikrokozmosz mindenek között leghatalmasabb jelének, a pentagramnak.

18 Az aranymetszés és a művészetek Luca Pacioli írta le elsőként az isteni arány és a festészet elmélete közötti kapcsolatot ( ), amely műhöz Leonardo da Vinci rajzolta az illusztrációkat. Kepler figyelt fel a Fibonacci-számsorozat és az isteni arány összekapcsolhatóságára. Magasztalta az isteni arányt. Ezt az arányt használta Gallilei, de még Newton is a klasszikus arányelméleti problémák kezelése során. Arisztotelész: A szép legfőbb formái: a rend, az arányosság és a pontos határoltság...

19 Az aranymetszés és a művészetek A görög építészetben (pl. homlokzat frontszélesség és magasság aránya), de leginkább a festészetben találkozhatunk tudatos, vagy ösztönös alkalmazásával (Leonardo: Mona Lisa, az Utolsó vacsora, Dürer, Csontváry stb.) Vitányi Iván: az egyenlőtlen részekre való bontásnak sajátos módja az aranymetszés. Maga az aszimmetria mindig mozgást, drámaiságot fejez ki. Tipográfusok régebben a könyvlapok oldalarányait, illetve a könyvlapok és a szövegtükör arányait az aranymetszés szerint alakították ki.

20 Az aranymetszés és a művészetek

21 Az aranymetszés és a művészetek

22 Az aranymetszés és a művészetek A költészetben, a zenében, színpadi művekben, filmekben alkalmazták, s sok helyen még ma is tanítják (pl. TV stúdióban, kameragyakorlatok során, kompozíciós alapismeretek keretében). A versírásban egy-egy sor vagy szakasz ritmikai tagolása a versek általános akusztikai hangulatát határozza meg. A verses, vagy prózai alkotások egészének érzelmi súlypontjait a kompozíciós arányok jelölik ki. A drámai cselekmény során a feszültség egy bizonyos ponton maximálissá erősödik, s e szerint tagolódhat két vagy több részre a kompozíció. Általános igazság, hogy több idő kell a bonyodalom kezdetétől a konfliktus kirobbanásáig, mint innen a befejezésig. Bartók zenéjében következetes, tudatosságra valló rendszerként valósul meg az aranymetszés alkalmazása a komponálásban.

23 Aranymetszés a krisztallográfiában Penrose-féle csempézés Penrose brit matematikus ben fedezte fel a sík nem periodikus parkettázásának a sík teljes kitöltésének lehetőségét, éspedig az aranymetszés szabályainak egy sajátos alkalmazásával. A felfedezése során egy aranyrombusz -ból indult ki. Ennek szögei 72 és 108 fokosak. A hosszabbik átlót az aranymetszés arányában osztjuk fel, majd az így kapott pontot összekötjük a rombusz két másik csúcsával. Figyeljük meg a szögeket. Ílyen módon két síkidomot kapunk: sárkányés dárdahegy formájút.

24 Aranymetszés a krisztallográfiában A rombusszal persze periodikusan lehet csempézni a síkot, de most az a cél, hogy nem periodikusan fedjük le a síkot. A következő ábrákon látható, hogy nem periodikusan ezekkel a dárda és sárkány alakzatokkal tökéletesen le lehet fedni a síkot. 10.ábra. (Megjegyzés: a sárkány és a dárda felezésével további új nagy sárkány állítható elő.) A kirakott elemekkel az ötszörös szimmetriát lehet megvalósítani. Kitölthető-e a tér hézagmentesen bármelyik platonikus testtel? A kockával, igen. Ez könnyen belátható. A tetraéderrel és az oktaéderrel közösen szintén. A Penrose-csempézés analógiájára a térkitöltésnek is van ötszimmetriájú megoldása. Olyan testekkel (romboéderekkel), amelyek lapjai mind rombuszok, éspedig aranyrombuszok.

25 Aranymetszés a krisztallográfiában Az 1950-es években fedeztek fel olyan kristályszerkezeteket, amelyek hasonlóan épültek fel a romboéderek által kitöltött tér vázához. Ezek nem szimmetrikus szerkezetek, amit korábban teljesen kizártnak tartottak. A kristályokat eddig a legszimmetrikusabb struktúráknak hitték, ugyanúgy megtalálhatók a cukorban vagy a sóban, mint a gyémántban vagy a kvarcban ben fedezték fel ezt a lehetetlennek tartott ötszimmetriájú struktúrát egy alumínium-magnézium (Al 6 Mn) vegyületben (Dany Schetmann). A krisztallográfiában régóta egyfajta dogmának számított, hogy a kristályok csak 2, 3, 4 vagy 6-szoros forgásszimmetriával rendelkezhetnek. 5, 7, vagy 8-szorossal soha. Hasonló, nem periodikus szerkezeteket fedeztek fel hamarosan más ötvözetekben is.

26 Aranymetszés az asztrológiában A módszer hasonlatos a Bonati-eljáráshoz. Francesco Bonati szerint csak azok a csillagok bírnak döntő hatással, amelyek a horoszkóp kiemelkedő, fontos helyén állnak: ha a Meridiánon (X. vagy IV. ház csúcsán), vagy a Horizonton (I. vagy VII. ház csúcsán), vagy a Nappal együtt a horoszkópnak egy fontos helyén sugároznak. Egy születés csak akkor történhet meg, ha a négy sarkalatos pont egyike: A Nap és valamelyik bolygó felezőpontján áll, miközben a Napot nem érheti ártalmas sugárzás a Marstól, vagy a Szaturnusztól. Amennyiben a Nap sértve van, úgy: a négy sarokpont egyike a Nap, a Hold, vagy egy bolygóval kerül konjunkcióba. Bonati a felezőpontokat tekintette a rendszere alapjának. Az aranymetszéses eljárásnál éppen az aranymetszés arányát vesszük figyelembe.

27 Aranymetszés az asztrológiában Mint az előadás első részében már taglaltuk, Luca Paciloli 1509-ben könyvet írt erről az isteni arányról, amit maga Leonardo Da Vinci illusztrált. Az asztrológiában alkalmazott aranymetszést sokan harmonikus metszetek néven használják. Az aranymetszés eljárását alkalmazhatjuk pontatlan születési idő kiigazítására, illetve egy ismert Asc, MC-vel rendelkező horoszkóp ellenőrzésére. A szabályok a következők: A születés csak akkor tud létrejönni, ha a négy sarokpont (kentrák: Asc, MC, Desc, IC) egyike azon az ekliptikai ponton halad át, amelyet a Nap-Hold, a Hold-Jupiter, a Nap- Szaturnusz vagy a horoszkóp legfontosabb bolygói közt adódó kétoldali ívhossz aranymetszet-pontja metsz ki. Az aranymetszéssel nyert ívhosszakat fel kell mérni azon bolygóktól mindkét irányban, amelyeknek az ívhosszát figyelembe vettük. Minden pont, amely a négy sarokpont közelébe kerül, felhasználható a korrigálásra.

28 Aranymetszés az asztrológiában Kivétel a szabály alól: amennyiben ezek az aranymetszéssel nyert pontok egyike sem alkalmas a korrekcióra (nem esnek egyik sarokpont közelébe sem), úgy megnézzük, hogy nem áll-e bolygó a négy sarokpont közelében. Amennyiben igen, úgy ezen a bolygóval kerül konjunkcióba a sarokpont. Általában több aranymetszéssel nyert pont kerül a négy sarokpont közelébe, ezért képeznünk kell a korrekcióra használt pontok számtani középértékét, s így fogjuk megkapni a végleges sarokpontot. Nézzünk erre egy példát!

29 Aranymetszés az asztrológiában Mme Curie horoszkópja köré rajzoltunk egy kört, amin megmutatjuk, hogyan számítjuk ki az aranymetszéssel kapott ívhosszakat. Először vetítsük ki a radix Nap, Hold, Jupiter és Szaturnusz bolygókat a külső körre (ezeket nagyobbra rajzoltuk). Képezzük először a Nap- Szaturnusz aranymetszés-pontjait. A Nap-Szaturnusz bolygó egymástól vett távolsága 10 o 43. Értelemszerűen a másik irányban mért távolság éppen: o 43 =349 o 17. Ezt a két ívhosszat kell felosztanunk az aranymetszés arányában. A 2.ábrán láthatjuk, hogy ha egységnyi szakaszt felosztunk, akkor az egyik metszet 0,618, míg a másik 0,382 nagyságú lesz.

30 Aranymetszés az asztrológiában Tehát semmi más dolgunk nincs, mint a két ívhosszat megszorozzuk ezzel a két számmal: a./ 0,618 x 10 o 43 =0,618 x 10,717=6,623=6 o 37 0,382 x 10 o 43 =0,382 x 10,717=4,094=4 o 06 Ellenőrzés: 6 o o 06 = 10 o 43 b./ 0,618 x 349 o 17 =0,618 x 349,283=215,857=215 o 51 0,382 x 349 o 17 =0,382 x 349,283=133,426=133 o 26 Ellenőrzés: 215 o o 26 = 349 o 17 Ezeket a távolságokat mindkét radix-bolygótól mindkét irányban felmérve összesen 4 pontot fogunk kapni. Ezek közül két pont az MC közelében található, ezért ezeket felhasználjuk majd a korrekcióhoz. Ugyanígy járunk el a többi két-két bolygó közötti aranymetszetek kiszámításánál. A fok és perc értékek átszámítását tizedes törtté és vissza elkerülhetjük egy táblázat

31 Aranymetszés az asztrológiában

32 Aranymetszés az asztrológiában Amennyiben elkészítettük az összes fontos bolygó (fentieken kívül még a születési uralkodó, az Asc közelében lévő bolygó, a legerősebb bolygó stb. jöhet még szóba) között páronként az aranymetszési pontokat és a sarokpontok közelébe esőket kiválasztottuk, akkor képezzük ezek középértékét (Asc-re számítva külön, MC-re számítva külön) és így megkapjuk a korrigált Asc és MC új értékét. A befejező művelet a kapott érték alapján a születési időpont korrigálása. Ehhez semmi másra nincs szükségünk, mint egy a születési helyre érvényes háztáblázatra, majd szokott módon kiszámítjuk a greenwichi időt, majd a helyi időt. Remélem, hogy az aranymetszetek isteni volta nem csak a régi nagy gondolkodók és csillagászok, asztrológusok, művészek képzeletét ragadta meg, hanem a tisztelt jelenlévő hallgatóságét is.