Fejezetek a Matematika
|
|
- Csaba Kozma
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2013 október 25
2 Az ókori Görögország matematikája 2 rész
3 Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló
4 Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló az AD szakasz egyenletesen forog az A pont körül
5 Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló az AD szakasz egyenletesen forog az A pont körül a DC szakaszt egyenletesen mozog a DA szakasz mentén
6 Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló az AD szakasz egyenletesen forog az A pont körül a DC szakaszt egyenletesen mozog a DA szakasz mentén a szakaszok metszéspontjainak mértani helye a kvadratrix vagy Hippiász-féle görbe
7 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője
8 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője
9 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője
10 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg
11 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt
12 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt matematikus, orvos, csillagász, jeles szónok, filozófus és geográfus (vö: Endoxosz)
13 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt matematikus, orvos, csillagász, jeles szónok, filozófus és geográfus (vö: Endoxosz) görbe vonalak segítségével megoldotta a kockakettőzés problémáját
14 Knidoszi Eudoxosz: az irracionálisok megszeĺıdítője kb 400-ban született és 53 éves korában halt meg Taraszi Arkhütasz tanítványa volt matematikus, orvos, csillagász, jeles szónok, filozófus és geográfus (vö: Endoxosz) görbe vonalak segítségével megoldotta a kockakettőzés problémáját a kimerítés módszere (Euklidész XII), arányelmélet (Euklidész V)
15 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere
16 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere
17 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere
18 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere
19 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester )
20 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester ) a klasszikus kor matematikájának enciklopedikus összefoglalása az ELEMEK című művében
21 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester ) a klasszikus kor matematikájának enciklopedikus összefoglalása az ELEMEK című művében A geometriához nem vezet királyi út
22 Alexandria Euklidész: a geometria legismertebb görög mestere a platóni iskola híve, Alexandriában tanított ( a legnagyobb iskolamester ) a klasszikus kor matematikájának enciklopedikus összefoglalása az ELEMEK című művében A geometriához nem vezet királyi út Kétségtelen, hogy Euklidész nem nagy matematikus (BL van der Waerden)
23 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz)
24 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII)
25 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn
26 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források
27 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források a legrégibb teljes kézirat a X századból való és a Vatikáni Könyvtárban őrzik
28 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források a legrégibb teljes kézirat a X századból való és a Vatikáni Könyvtárban őrzik az Elemek tizenhárom könyvből áll
29 Alexandria Euklidész: Elemek a hasonló jellegű munkák sorában az utolsó (vö: Hippokratész, León, Theudiosz) több szerző műveiből álĺıtotta össze: Theaitetosz (X és XIII), Eudoxosz (V és XII) eredeti kézirat nem maradt fenn jelentősek a görög nyelvű kommentárok: alexandriai Heron, Papposz (III sz), Proklosz (IV sz); a tőlük származó töredékek és a későbbi arab fordítások hiteles források a legrégibb teljes kézirat a X századból való és a Vatikáni Könyvtárban őrzik az Elemek tizenhárom könyvből áll elődeitől eltérően nem elégszik meg azzal, hogy feltételezi tételeinek igaz voltát, hanem bizonyítja is őket
30 Alexandria Euklidész: Elemek
31 Alexandria Euklidész: Elemek Az Oxyrhynchus papyrus (POxy I 29), benne Euklidesz Elemeinek részleteivel
32 Alexandria Euklidész: Elemek Az Oxyrhynchus papyrus (POxy I 29), benne Euklidesz Elemeinek részleteivel Az Elemek arab nyelvű fordítása
33 Alexandria Euklide sz: Elemek Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
34 Alexandria Euklide sz: Elemek Re szlet Bath-i Adelard ( ) latin nyelvu fordı ta sa nak elo lapja bo l Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
35 Alexandria Euklide sz: Elemek Re szlet Bath-i Adelard ( ) latin nyelvu fordı ta sa nak elo lapja bo l Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l Az Elemek elso angol nyelvu fordı ta sa nak elo lapja (1570) 3 A Go ro go k (II)
36 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók:
37 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része
38 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság
39 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság
40 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság D 11 : Tompaszög az, amelyik nagyobb a derékszögnél
41 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság D 11 : Tompaszög az, amelyik nagyobb a derékszögnél
42 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Megállapítások/definíciók: D 1 : Pont az, aminek nincs része D2 : A vonal szélesség nélküli hosszúság D 11 : Tompaszög az, amelyik nagyobb a derékszögnél D23 : Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak és mindkétoldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak
43 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok:
44 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható
45 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható
46 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak
47 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak
48 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak A1 : Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők
49 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak A1 : Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők
50 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak A1 : Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők A8 : Az egész nagyobb a résznél
51 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Posztulátumok: Axiómák: P1 : Követeltessék meg, hogy minden pontból minden ponthoz legyen egyenes húzható P5 : És hogy ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak A1 : Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők A8 : Az egész nagyobb a résznél
52 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek:
53 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek:
54 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T5 : Az egyenlőszárú háromszögeknek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással, és ha meghosszabbítjuk az egyenlő oldalakat, akkor az alap alatt egymással egyenlő szögek keletkeznek ( Pons Asinorum )
55 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T5 : Az egyenlőszárú háromszögeknek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással, és ha meghosszabbítjuk az egyenlő oldalakat, akkor az alap alatt egymással egyenlő szögek keletkeznek ( Pons Asinorum )
56 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T5 : Az egyenlőszárú háromszögeknek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással, és ha meghosszabbítjuk az egyenlő oldalakat, akkor az alap alatt egymással egyenlő szögek keletkeznek ( Pons Asinorum ) T 29 : Ha párhuzamos egyeneseket metsz egy egyenes, akkor egymással egyenlő váltószögek keletkeznek, és a szemközti belső szöggel egyenlő külső szög keletkezik, és ugyanazon az oldalon (együtt) két derékszöggel egyenlő belső szögek keletkeznek (V Posztulátum)
57 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T5 : Az egyenlőszárú háromszögeknek az alapon fekvő szögei egyenlők egymással, és ha meghosszabbítjuk az egyenlő oldalakat, akkor az alap alatt egymással egyenlő szögek keletkeznek ( Pons Asinorum ) T 29 : Ha párhuzamos egyeneseket metsz egy egyenes, akkor egymással egyenlő váltószögek keletkeznek, és a szemközti belső szöggel egyenlő külső szög keletkezik, és ugyanazon az oldalon (együtt) két derékszöggel egyenlő belső szögek keletkeznek (V Posztulátum)
58 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek:
59 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek:
60 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T47 : A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével (Pitagorasz-tétel)
61 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T47 : A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével (Pitagorasz-tétel)
62 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T47 : A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével (Pitagorasz-tétel) T 48 : Ha egy háromszögben az egyik oldalra emelt négyzet egyenlő a háromszög másik két oldalára emelt négyzetek összegével, akkor derékszög a háromszög másik két oldala által közrefogott szög (a Pitagorasz-tétel megfordítása)
63 Alexandria Euklidész: Elemek, I könyv Tételek: T47 : A derékszögű háromszögekben a derékszöggel szemközti oldalra emelt négyzet egyenlő a derékszöget közrefogó oldalakra emelt négyzetek összegével (Pitagorasz-tétel) T 48 : Ha egy háromszögben az egyik oldalra emelt négyzet egyenlő a háromszög másik két oldalára emelt négyzetek összegével, akkor derékszög a háromszög másik két oldala által közrefogott szög (a Pitagorasz-tétel megfordítása)
64 Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek:
65 Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek:
66 Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek: T1 : Ha van két szakasz, és az egyiküket valahány részre osztjuk, akkor a két szakasz által közrefogott téglalap egyenlő a fölosztatlan szakasz és az egyes részek által közrefogott téglalapok összegével
67 Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek: T1 : Ha van két szakasz, és az egyiküket valahány részre osztjuk, akkor a két szakasz által közrefogott téglalap egyenlő a fölosztatlan szakasz és az egyes részek által közrefogott téglalapok összegével
68 Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek: T1 : Ha van két szakasz, és az egyiküket valahány részre osztjuk, akkor a két szakasz által közrefogott téglalap egyenlő a fölosztatlan szakasz és az egyes részek által közrefogott téglalapok összegével T4 : Ha egy egyenesszakaszt tetszőlegesen kettéosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt négyzet egyenlő az egyes részekkel szerkesztett négyzeteknek meg a két rész által közrefogott téglalap kétszeresének összegével
69 Alexandria Euklidész: Elemek, II könyv (geometriai algebra) Tételek: T1 : Ha van két szakasz, és az egyiküket valahány részre osztjuk, akkor a két szakasz által közrefogott téglalap egyenlő a fölosztatlan szakasz és az egyes részek által közrefogott téglalapok összegével T4 : Ha egy egyenesszakaszt tetszőlegesen kettéosztunk, akkor a teljes szakaszra emelt négyzet egyenlő az egyes részekkel szerkesztett négyzeteknek meg a két rész által közrefogott téglalap kétszeresének összegével
70 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek:
71 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek:
72 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad
73 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad
74 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad III T20 : Egy körben a középponti szög kétakkora, mint a kerületi, ha e szögek ugyanazon íven nyugszanak
75 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad III T20 : Egy körben a középponti szög kétakkora, mint a kerületi, ha e szögek ugyanazon íven nyugszanak
76 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad III T20 : Egy körben a középponti szög kétakkora, mint a kerületi, ha e szögek ugyanazon íven nyugszanak IV T15 : Írjunk adott körbe egyenlő oldalú és egyenlő szögű hatszöget
77 Alexandria Euklidész: Elemek, III-IV könyv (elemi geometriai) Tételek: III T 2 : Ha egy körön választunk két tetszőleges pontot, akkor a pontokra illeszkedő szakasz a körön belül halad III T20 : Egy körben a középponti szög kétakkora, mint a kerületi, ha e szögek ugyanazon íven nyugszanak IV T15 : Írjunk adott körbe egyenlő oldalú és egyenlő szögű hatszöget
78 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz)
79 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket
80 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra
81 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra
82 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra a b = c ma < nb = mc < nd, d ma = nb = mc = nd, ma > nb = mc > nd
83 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) V könyv (Eudoxosz) V D5 : Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az első a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsőnek és a harmadiknak az ugyanannyiszorosai, a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlők, vagy egyszerre kisebbek megfelelően párosítva őket Azaz, bármely m és n természetes számokra a b = c ma < nb = mc < nd, d ma = nb = mc = nd, ma > nb = mc > nd Tíz láb tíz hüvelyk az tízszer annyi, mint egy láb egy hüvelyk (Agustus De Morgan, )
84 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága)
85 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika)
86 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok)
87 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet)
88 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet) X könyv (az irracionálisok ókori elmélete, Eudoxosz és Theaitetosz)
89 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet) X könyv (az irracionálisok ókori elmélete, Eudoxosz és Theaitetosz) Euklidesz e könyvben összegzi az összes olyan szakaszra vonatkozó ismeretet, amelyek (modern terminológiával) megadhatók, mint a ± b, ahol a, b összemérhető szakaszok (Agustus De Morgan)
90 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) VI könyv (alakzatok hasonlósága) VII könyv (aritmetika) VIII könyv (aritmetika sorozatok) IX könyv (aritmetika számelmélet) X könyv (az irracionálisok ókori elmélete, Eudoxosz és Theaitetosz) Euklidesz e könyvben összegzi az összes olyan szakaszra vonatkozó ismeretet, amelyek (modern terminológiával) megadhatók, mint a ± b, ahol a, b összemérhető szakaszok (Agustus De Morgan) X27 Függelék Mutassuk meg, hogy a négyzetekben az átló lineárisan összemérhetetlen az oldallal
91 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) XI-XIII könyvek (térgeometria)
92 Alexandria Euklidész: Elemek (V-XIII könyvek) XI-XIII könyvek (térgeometria) a XIII könyv vélhetően Theaitetosz eredményeit tartalmazza, két fő témája: (1) A szabályos sokszögek tulajdonságai, az aranymetszés; (2) Hogyan írhatjuk be adott gömbbe az 5 szabályos testet
93 Szürakuszai Arkhimédész
94 Szürakuszai Arkhimédész
95 Szürakuszai Arkhimédész
96 Szürakuszai Arkhimédész
97 Szürakuszai Arkhimédész az ókori matematikusok legnagyobbika
98 Szürakuszai Arkhimédész az ókori matematikusok legnagyobbika kiváló mérnök a matematika alkalmazása a természetes világra
99 Szürakuszai Arkhimédész az ókori matematikusok legnagyobbika kiváló mérnök a matematika alkalmazása a természetes világra hozzá kötjük a π szám felfedezését, < π < 3 1 7
100 Szürakuszai Arkhimédész az ókori matematikusok legnagyobbika kiváló mérnök a matematika alkalmazása a természetes világra hozzá kötjük a π szám felfedezését, < π < gömbökre vonatkozó munkái különösen érdekesek (A gömbről és a hengerről)
101 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról,
102 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről,
103 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről,
104 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés,
105 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról,
106 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról, Az úszó testekről,
107 Szürakuszai Arkhimédész ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról, Az úszó testekről, Homokszámítás és a
108 Szürakuszai Arkhimédész Johan Ludvig Heiberg ( ) ismert könyvei (amelyek csak későbbi példányokban maradtak meg): A síkok egyensúlyáról, A parabola területéről, A gömbről és a hengerről, A körmérés, A csigavonalakról, a konoidokról és szferoidokról, Az úszó testekről, Homokszámítás és a A módszer
109 Szürakuszai Arkhimédész
110 Szürakuszai Arkhimédész
111 Szürakuszai Arkhimédész
112 Szu rakuszai Arkhime de sz Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
113 Szu rakuszai Arkhime de sz Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
114 Szu rakuszai Arkhime de sz Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
115 Szu rakuszai Arkhime de sz Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
116 Szu rakuszai Arkhime de sz Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 3 A Go ro go k (II)
117 Szürakuszai Arkhimédész
118 Szürakuszai Arkhimédész ΣP 2 + ΣO 2 = ΣA 2 + ΣO 2 = AO 2 = AΣ AΓ, (ΣP 2 + ΣO 2 ) : ΣN 2 = (AΣ AΓ) : AΓ 2 = AΣ : AΓ
1 Euklidesz az Akadémián tanulhatott, de Alexandriában dolgozott I.e. 2 A klasszikus kor után élt, de annak szellemében írta könyveit
Euklidesz: Elemek. Az előzmények. A klasszikus kor matematikája. Az első enciklopédia Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. október 13. Előzmények 1. 1 Euklidesz az Akadémián tanulhatott, de Alexandriában
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenA görög klaszikus kor.
Történeti áttekintés. Történeti mérföldkövek A görög klaszikus kor. Logisztika (aritmetika) és számelmélet. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 4. A folyammenti kultúrák hanyatlása a II.
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenAz Ókori Görög Matematika 2.
A klasszikus kor iskolái. A klasszikus kor iskolái. Az Ókori Görög Matematika 2. A klasszikus kor iskolái Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. október 6. Eleai Iskola. 1 Parmenidesz, Zenon, Leukipposz,
RészletesebbenMiért érdekes a görög matematika?
2016. március Tartalom 1 Bevezetés 2 Geometria 3 Számelmélet 4 Analízis 5 Matematikai csillagászat 6 Következtetések Bevezetés Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenMTB1005 Geometria I előadásvázlat
MTB1005 Geometria I előadásvázlat Az abszolút geometria axiómarendszere 0. A geometria axiomatikus felépítéséről Egy axiómarendszer nem definiált alapfogalmakból és bizonyítás nélkül elfogadott állításokból
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenJavítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenMinden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.
1. 1. Név: NEPTUN kód: Tanult középiskolai matematika szintje: közép, emelt szint. Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. A feladatlap üresen
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenFejezetek a Matematika
Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2012. szeptember 14. A történelem előtti idők A Lebombói csont (kb. i.e. 35000, Afrika) Az Ishangói csont
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenGeometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.
Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális
RészletesebbenBÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY III. forduló MEGOLDÁSOK
1. Gondoltam egy négyjegyű számot. Az első két számjegy 3, az utolsó kettőé pedig 7, és a középső két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Melyik számra gondolhattam? Határozd meg az összes lehetőséget!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
RészletesebbenMennyiségtan. A négyszögekről tanultak összefoglalása. A polgári fiúiskola I. osztályában. (Egy összefoglalás szempontjai a szaktanár részére.
rendszeresebb tanítása. 11 Nemcsak lélektani és logikai szempontok szólnak e mellett a tanmenet mellett, hanem a gyakorlatiasság, vagy a gimnáziumi tantervi utasítások szavával élve, az életközelség" kívánalmai
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenProgramozási nyelvek 2. előadás
Programozási nyelvek 2. előadás Logo forgatás tétel Forgatás tétel Ha az ismétlendő rész T fok fordulatot végez és a kezdőhelyére visszatér, akkor az ismétlések által rajzolt ábrák egymás T fokkal elforgatottjai
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenEUKLIDÉSZ ÉLETE ÉS MUNKÁSSÁGA AZ ELEMEK
SZAKDOLGOZAT EUKLIDÉSZ ÉLETE ÉS MUNKÁSSÁGA AZ ELEMEK Vezetőtanár: Nagy Márta egy. adjunktus Készítette: Kondor Edit V. matematika tanár informatikus könyvtáros Debreceni Egyetem Természettudományi Kar
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenDiszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenA logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.
LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenA GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
Részletesebben8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
RészletesebbenOrbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA
Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA A matematikai feladatok egy része olyan szellemi erőfeszítést igénylő rejtvényként fogható fel, amelynek megoldása jóleső érzést (sikerélményt) biztosít. Fokozott mértékben
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenSZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenMatematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenXVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenTelepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember
MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenBabeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.
A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RészletesebbenA húrnégyszögek meghódítása
A húrnégyszögek meghódítása A MINDENTUDÁS ISKOLÁJA Gerőcs lászló A HÚRNÉGYSZÖGEK MEGHÓDÍTÁSA Akadémiai Kiadó, Budapest ISBN 978 963 05 8969 7 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
Részletesebben