Az Ókori Görög Matematika 2.
|
|
|
- Lilla Horváth
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A klasszikus kor iskolái. A klasszikus kor iskolái. Az Ókori Görög Matematika 2. A klasszikus kor iskolái Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet október 6. Eleai Iskola. 1 Parmenidesz, Zenon, Leukipposz, Demokritosz (tanítványok sora). 2 Zenon aporiái a mozgásról az empirikus és a deduktív megismerés ellentéte. 1 Achilleus és a teknősbéka, a mozgás lehetetlensége, ha az folytonos. 2 A stadion paradoxon, a repülő nyíl áll minden pillanatban, azaz a mozgás akkor is lehetetelen, ha azt diszkrét folyamatnak tekintjük. 3 Hatásuk a matematika deduktív tudománnyá válására: a váltás fő oka. (Szabó Árpád) Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 1 / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 2 / 27 Az Athen-i iskolák 1. Áttekintés. 1 A görög demokrácia virágkora. 2 A 480-ban kezdődő perzsa háború: 1 Xerxesz kezdeti sikerei: Thermopyla, Athen; 2 görög ellentámadás: Szalamisz (Themisztoklesz), Plataia ban létrejött a Deloszi-szövetség a perzsák ellen: 1 adófizetés a közös háborúkra, a kassza őrzése, 2 a klasszikus görög kultúra virágkora, Athén dominanciája a kultúra minden területén. 4 A fontosabb iskolák: 1 Szofisták. 2 Akadémia. 3 Lyceum. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 3 / 27 Szofisták. 1 Az oktatott (művelt) diszciplinák: filozófia, grammatika, retorika, dialektika (= a vitatkozás tudománya), erkölcstan, geometria (matematika), csillagászat (+csillagjóslás). 2 Egyik fő cél: a geometria (a matematika) segítségével a világ (az univerzum) megismerése. 3 A 3 nevezetes szerkesztési probléma: kockakettőzés (a Delosz-i probléma ), szögharmadolás, a kör négyszögesítése. 4 Anaxagorasz fölvetései, problémái. 1 a Nap nem istenség, hanem egy izzó gömb; majdnem akkora, mint a Peloponesszosz félsziget; 2 a Holdnak nincs saját fénye, hideg földgolyó, emberek is élhetnek rajta. 5 Ezen és más hasonló tanításáért Periklész népszerűsége hanyatlásakor bebörtönözték istentelenség vádjával. 6 A legendák szerint a börtönben foglalkozott a kör négyszögesítésével, amely a kor egyik népszerű problémája volt. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 4 / 27
2 Szofisták. Szofisták. Arisztophanész: Madarak S megmérem az egyenes rúddal, hogy a Kör négyszögű legyen, tudod; s középen Piac feléje, mint központba, sok Egyenes út vigyen s mint sugarak, Lövelljenek szét a kerek piacról Mindenfelé. (Arany J. fordítása) Erőfeszítések szerkesztési problémák megoldására. 1 Szögharmadolás: az eliszi Hippiasz quadratrixe. 2 A kör négyszögesítése: Anaxagorasz próbálkozásai, a khioszi Hippokratesz holdacskái. 3 Kockakettőzés: Archytasz, Hippokratesz, Eudoxos és sokan mások. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 5 / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 6 / 27 Az eliszi Hippiasz quadratrixe. Quadratrix Konstrukció 1 Az AB szakaszt állandó sebességgel derékszöggel elforgatjuk: AD. 2 A B pontbeli érintőt állandó sebességgel eltoljuk az AD helyzetig. 3 A sebességek aránya olyan, hogy egyszerre indítva egyszerre érik el a véghelyzetet. 4 Egy adott időpontban AB AD -be, BC B C helyzetbe jut, metszéspontjuk E. Ezen pontok összessége a QUADRATRIX. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 7 / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 8 / 27
3 A quadratrix egyenlete. 1 A definiáló mozgások egyenletes volta miatt: Az eljárás. 2 3 Az y = E H és a = BA jelölésekkel Φ π/2 = E H BA. 4 Φ π/2 = y a 5 Ha x = AH, akkor az egyenlet 6 = y = aφ 2 π y = 2a π arctan y πy, vagy y = x tan x 2a. 1 Legyen E H = 2H H, H az y harmadolópontja. 2 A B H C egyenes párhuzamos AD-vel, L-ben metszi a görbét. 3 Álĺıtjuk, hogy LAD = Φ/3. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október 6. 9 / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Az eljárás. 1 Ugyanis 2 Mivel LAD π/2 = H H = y a 3a. A khioszi Hippokratesz 1. 1 Inkább pitagoreus, mint szofista, de Athenben élt az V. század második felében. Elemeket írt, amely elveszett. 2 Egyesek szerint a deduktív matematika egyik előfutára volt, de ez erősen kétséges. 3 Elsősorban a két körív által határolt alakzatok, az ún. holdacskák négyszögesítésével foglalkozott. 4 Legegyszerűbb eredménye: Φ π/2 = y a y = 2a π Φ LAD π/2 = 2aΦ 3aπ = 2Φ 3π, 3 tehát LAD = Φ 3. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 A befogók fölötti holdacskák összege egyenlő a háromszöggel. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27
4 A khioszi Hippokratesz 2. A bizonyítás. A khioszi Hippokratesz 3. Egy további négyszögesítés: 1 A háromszög köré írt körének fele kétszerese a befogó fölé írt félkörnek. 2 Így a nagy negyedkör egyenlő egy kis félkörrel. 3 Vonjuk ki mindkettőből a befogó fölötti körszeletet, az egyenlőség továbbra is fönnáll. 4 Kaptuk, a holdacska egyenlő a háromszög felével, azaz egy egyenesekkel határolt alakzattal. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Álĺıtása. A szimmetrikus trapéz, amely egy szabályos hatszög fele, egyik oldalára emelt félkör és az oldalakon levő holdacskák együtt megadják a trapéz területét. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Bizonyította-e álĺıtásait? Bizonyította-e álĺıtásait? Eudemosz véleménye. A holdacskák kvadratúráját, amely a körrel való rokonságuk miatt különleges alakzatoknak tűnnek, először Hippokratesz írta le, s kifejtése helyesnek találtatott.... Először az alapokat vezette meg, s az ehhez szükséges tételeket álĺıtotta föl, pl. azt, hogy A hasonló körszeletek úgy aránylanak egymáshoz, mint alapjuk négyzetei. Ezt úgy bizonyította be, hogy megmutatta, az átmérők négyzetének aránya ugyanaz, mint a köröké. Mert amilyen a körök aránya, olyan a hasonló szeleteké is. hasonló szeletek azok, amelyek a körnek ugyanakkora részét képezik. Kétségek 1. A pirossal szedett kijelentés (a körökre vonatkozó) éppen Euklidesz XII.2. Tétele, de azt először Eudoxos bizonyította, az általa bevezetett eszközök, módszerek nélkül a menyiségek általános elmélete nélkül az lehetetlen. Kétségek 2. A pitagoreusok arányelméletét biztosan ismerte, de az csak összemérhető mennyiségekre vonatkozott. A nem összemérhető (az irracionális) esethez szükség van Eudoxos (legalább 50 évvel későbbi) elméletére. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27
5 Bizonyította-e álĺıtásait? Akadémia Hippokratesz bizonyítási technikája. 1 Nem elégszik meg a vizuális bizonyítékokkal: 1 nem elégszik meg szerkesztésekkel, 2 bizonyítani igyekszik, hogy a külső ív hosszabb a belsőnél. 3 Ezt nem tudta korrekten elvégezni, de nem is az a legfontosabb, hanem 4 az igény az ilyen álĺıtások bizonyítására. 2 Ő számolt először korrekten egyenlőtlenségekkel, aminek igazi jelentősége később jelentkezik. 1 Eudoxos: a körbe és a kör köré írt sokszögek különbsége tetszőlegesen kicsivé tehető. 2 Euler kezdetleges gondolatmenetei. A leghosszabb ideig fönnálló ókori görög iskola. I.e. 387 körül alapította Platon, és I.sz. 529-ben záratta be II. Jusztinianusz. Előfutárok. Kürénei Theodorosz és a tarrentumi Archytasz (két pitagoreus), akik megismertették a matematikával Platont, megalapozták a pitagoreus dominanciát az iskolában matematikából. Ismertebb tagok még... Menaechmosz, Dinosztratosz, (IV. sz), Theaitetosz ( ). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Akadémia Akadémia A tagok. DE a klasszikus kor minden valamirevaló matematikusa hosszabb-rövidebb időt töltött itt, mielőtt saját iskolát alapított volna Így például Eudoxos, aki az antikvitás 3 legnagyobb matematikusának egyike (Theaitetosz és Archimedesz mellett). A kürenei 1 Platon Theaitetosz című dialógusában beszélget az agg Theodorosz az ifjú Theaitetosszal. 2 Theaitetosz rövid összefoglalója a hallottakról. 1 A mi Theodoruszunk itt fölrajzolt (írt?) valamit, ami négyzetek oldalaira vonatkozik. 2 Megmutatta, hogy a három és az öt lábnyi esetben, hogy azok hosszukat tekintve nem nem mérhetők az egy lábnyival. 3 Így elővett minden egyes esetet egészen tizenhét lábig. Ennél valami megakasztotta. 3 Az összemérhetőség fogalma szakaszokra vonatkozik (Euklidesz X.), ezért a három-, öt lábnyi azon négyzetek oldalát jelenti, amelyek területe három-, öt négyzetláb. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27
6 Kérdések. Hogyan szerkesztett Theodorosz? Miért 17-ig haladt? Válaszok. 1 Mivel a görögöknél az, amit nekünk pl. a 3 jelent nem szám, hanem CSAK egy hosszúság (egy mennyiség), ezért inkább w 3, w 5,..., w 17 -et írunk. 2 Vélhetően 3, 5,..., 17 egységnyi területű téglalapokat alakított azonos területű négyzetekké (Elemek I.14.) Az igazi kérdés: hogyan derítette ki, hogy w 3, w 5,..., w 17 -nek nincs közös mértéke w 1 -gyel. 1 Ugyanazon aritmetikai (számelméleti) módszerrel, ahogy korábban Archytasz igazolta w 2 összemérhetetlenségét az egységgel (irracionalitását). 2 Ha pl. w q összemérhető w 1 -gyel, akkor valamely m, n számokra 3 m 2 = qn 2, 4 és az Elemek VII. könyve alapján ebből q négyzetszám volta adódna ugyan, de ez nem valószínű, mert Theodorosz geométer volt. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Geometriai bizonyítás. Az alap: Elemek X.2. Ha két nem egyenlő mennyiség esetén a kisebbiket a nagyobbikból való váltakozó kivonásánál a maradék sohasem lesz mérhető az előzővel, akkor e mennyiségek összemérhetetlenek. Ennek alkalmazását valószínűsíti az is, hogy az eseteket egyenként vizsgálta. Az aritmetikai út korábban láttuk is egyszerre intézte volna el az összeset. A geometriai utat követve minden egyes esetet külön kell vizsgálni, mert mások a kivonások. Megjegyzés. Vélhetően a folyamat végtelen voltát nem bizonyította Theodorosz, csak utalhatott rá, hogy a maradék soha sem tűnik el. Anderhub egy érdekes ábrája (1941). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27
7 Platon 1 Szívesen hivatkozik a matematikára mint az egzakt következtetések mintapéldájára. 2 A matematikában egzakt következtetések lehetségesek annak ellenére, hogy 1 nem látható, hallható (megfogható) dolgokról szól, hanem ideális objektumokról, 2 olyanokról, amelyek csak a gondolkodásunkban léteznek. 3 Ezek megfogalmazásakor vélhetően a négyzet átlója és oldala kölcsönös összemérhetetlenségének bizonyítására gondolhatott. Platon, Állam 510 D - E Bizonyára azt is [tudod], hogy mindig csak látható alakokkal dolgoznak, s beszédeikben is ezzel foglalkoznak, holott pedig gondolataik igazi tárgyai nem ezek az alakok, hanem azok, amikhez ezek hasonĺıtanak: magának a négyszögletű testnek [helyesen: négyzetnek!] s magának az átmérőnek [helyesen: átlónak!] a kedvéért folytatják elmélkedéseiket, nem pedig azért az átmérőért [átlóért], amelyet lerajzolnak... Közben azokat a fogalmakat keresik, amelyeket másképpen, mint ésszel, senki meg nem látott. Szabó Miklós fordítása Pollák György korrekciójával. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27 Megjegyzés. Platon biztos abban, hogy a matematikusok egyetértenek vele: a látható szakaszokra értelmetlen az a kérdés, hogy van-e közös mértékük: egy hajszál vastagsága mindkét megrajzolt szakaszra egész számszor mérhető föl. Az összemérhetőség kérdésének kizárólag képzelt tehát absztrakt szakaszok esetén van értelme. Tehát Theodorosz sem hivatkozhatott a szemléletre négyzet oldalai összemérhetetlenségének bizonyításánál. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) Klasszikus kor október / 27
Fejezetek a Matematika
Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2013 október 25 Az ókori Görögország matematikája 2 rész Éliszi Hippiász (kb 420 körül): az egyik szögharmadoló
A görög klaszikus kor.
Történeti áttekintés. Történeti mérföldkövek A görög klaszikus kor. Logisztika (aritmetika) és számelmélet. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 4. A folyammenti kultúrák hanyatlása a II.
(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
1 Euklidesz az Akadémián tanulhatott, de Alexandriában dolgozott I.e. 2 A klasszikus kor után élt, de annak szellemében írta könyveit
Euklidesz: Elemek. Az előzmények. A klasszikus kor matematikája. Az első enciklopédia Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. október 13. Előzmények 1. 1 Euklidesz az Akadémián tanulhatott, de Alexandriában
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Bevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
Hatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x
10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét
2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
Miért érdekes a görög matematika?
2016. március Tartalom 1 Bevezetés 2 Geometria 3 Számelmélet 4 Analízis 5 Matematikai csillagászat 6 Következtetések Bevezetés Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA
Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA A matematikai feladatok egy része olyan szellemi erőfeszítést igénylő rejtvényként fogható fel, amelynek megoldása jóleső érzést (sikerélményt) biztosít. Fokozott mértékben
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Az I.e. II. évezred. Az Ókori Görög Matematika 1. Kezdetek, az első iskolák. A folyammenti kultúrák hanyatlása.
Történeti áttekintés. Az I.e. II. évezred. Az Ókori Görög Matematika 1. Kezdetek, az első iskolák Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 29. A folyammenti kultúrák hanyatlása. Az évezred
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
A TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Érdekes szerkeszthetőségi feladatok. elemi szerkesztéseknek nevezzük (euklideszi szerkesztés).
Érdekes szerkeszthetőségi feladatok A vonalzóval és körzővel végezhető szerkesztéseket a következő alapszerkesztésekből tehetjük össze: 1) 2 egyenes metszéspontjának meghatározása, 2) egyenes és kör metszéspontjainak
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Milyen messze van a faltól a létra? Milyen messze támasztotta le a mester a létra alját a faltól?
A kerámia szigetelő a padlótól számítva négy méter magasan van. A kihúzott létra hossza öt méter. Milyen messze van a faltól a létra? Milyen messze támasztotta le a mester a létra alját a faltól? Bármely
Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Geometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)
Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) A foglalkozáson olyan bizonyításokkal, okoskodásokkal foglalkozunk, amelyekből kapott eredmények a józan eszünknek és az eddigi matematikai
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
Modern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Koordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez
1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, december 27. Regensburg, Bajorország, november 15.)
SZABÁLYOS TESTEK JOHANNES KEPLER (Weil der Stadt, 1571. december 27. Regensburg, Bajorország, 1630. november 15.) Német matematikus és csillagász, aki felfedezte a bolygómozgás törvényeit, amiket róla
1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben
Elérhető pontszám: 30 pont
MEGOLDÓKULCS: Elérhető pontszám: 30 pont Dr. Enyedy Andor Református Általános Iskola, Óvoda és Bölcsőde 3450 Mezőcsát Szent István út 1-. 5.osztály DÖNTŐ 016.március 18. 1. Írj a számok közé megfelelő
projektív geometria avagy
A probléma eredete. Előzmények. Egy művészetből született tudomány, a projektív geometria avagy Hogyan lett a barackmagból atommag? Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. november 17. A képzőművészeti
Hasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Érdekes geometriai számítások 10.
1 Érdekes geometriai számítások 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet [ 1 ], ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más
2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Egybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
TANMENET. Matematika
Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
SZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
Számalakzatok Sorozatok 3. feladatcsomag
Számalakzatok Sorozatok 3. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 13 18 év négyzetszámok háromszögszámok teljes indukció különbségi sorozatok Az ókori görögök szívesen játszottak a pozitív egész számokkal,
Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
Matematika 6. osztály Osztályozó vizsga
Matematika 6. osztály Osztályozó vizsga 1. Számok és műveletek 1. A tízes számrendszer Számok írása, olvasása, ábrázolása Az egymilliónál nagyobb természetes számok írása, olvasása. Számok tizedestört
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
Hraskó András, Surányi László: spec.mat szakkör Tartotta: Hraskó András. 1. alkalom
1. alkalom 1. Beszínezzük a koordináta-rendszer rácspontjait. Egyetlen szabályt kell betartanunk: az (a;b) pontnak ugyanolyan színűnek kell lennie, mint az (a-b;a) és az (a;b-a) pontnak (a és b egész számok).
Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
Koordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY III. forduló MEGOLDÁSOK
1. Gondoltam egy négyjegyű számot. Az első két számjegy 3, az utolsó kettőé pedig 7, és a középső két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Melyik számra gondolhattam? Határozd meg az összes lehetőséget!
Érdekes pitagoraszi számokról
Érdekes pitagoraszi számokról Tuzson Zoltan Ebben a dolgozatban különböző érdekes tulajdonsággal rendelkező pitagoraszi számhármasokról, szám négyesekről és szám n-esekről írtam. A leírtak alapján is beláthatjuk,
Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam
015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
Pitagorasz tételhez elıkészítı problémafelvetı, motiváló feladatok
Pitagorasz tételhez elıkészítı problémafelvetı, motiváló feladatok 1.Területre vonatkozó feladat: Egy négyzet alakú halastó négy sarkán egy-egy fa áll. Kétszer akkorára akarják növelni a halastó területét
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév Kezdők I II. kategória II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy kört
A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building.
A manzárdtetőről Az építőipari tanulók ácsok, magasépítő technikusok részére kötelező gyakorlat a manzárdtetőkkel való foglalkozás. Egy manzárd nyeregtetőt mutat az. ábra.. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_
I. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Középpontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
MEGOLDÁS ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ
5. osztály Jelölje a 20-as és az 50-es közötti számokat a és b, a 20-as és a 80-as közöttieket c és d, az 50-es és a 80- as közöttieket pedig e és f. Ekkor tudjuk, hogy a+ b= 130, c+ d = 100 és e+ f =