Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)
|
|
- Csilla Kozma
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás) A foglalkozáson olyan bizonyításokkal, okoskodásokkal foglalkozunk, amelyekből kapott eredmények a józan eszünknek és az eddigi matematikai ismereteinknek homlokegyenest ellentmondanak. sak néhány példa ízelítőül: Megmutatjuk, hogy minden szám: egyenlő a saját kétszeresével, nagyobb önmagánál, illetve, hogy bármely két szám egyenlő.( Tehát például 1 = -1 (???)) Megeshet, hogy 1 =, és hogy 5 13 = 8? Lehet, hogy 45 0 = 60 0? ( Ha igen, akkor viszont a 3 = 4 egyenlőség is igaz!!!) ebizonyítjuk, hogy: ármely háromszög egyenlő szárú, illetve van olyan háromszög, amely belső szögeinek összege nagyobb nál. Egy derékszög nagyobb önmagánál. Egy trapéz két párhuzamos oldala hosszának összege 0. (Mit szólna ezekhez a szegény jó öreg Euklides?) Lehet az, hogy: Egy összeg értéke függ a tagok csoportosításától? Egy szakasz hossza egyszerre egyenlő -vel és -vel? Egy pont területe egyenlő egy kör területével? Vagy a fenti állítások mégsem igazak, csak mi okoskodtunk hibásan, vagy elhamarkodott következtetéseket vontunk le? Valószínű, ez utóbbi igaz, a felsoroltak kivétel nélkül úgynevezett matematikai paradoxonok. Ezek világába kalauzol el a közösen eltöltött 90 perc. 1
2 1.) ármely szám egyenlő a saját kétszeresével. Legyen a = b / a a = ab / - b a b = ab- b ( a + b )( a b ) = b( a b ) / : (a b) a + b = b, amiből a = b miatt b = b, ami az állítás volt..) ármely két különböző szám egyenlő. a.) Első bizonyítás: Legyen a,b és c pozitív és a = b + c, ekkor nyilván a > b a = b + c / ( a b ) a ab = ab + ac b bc / ac a ab ac = ab b bc a ( a b c ) = b ( a b c ) / : ( a b c ) a = b, holott a > b volt. b.) Második bizonyítás: Legyen a,b R és a + b = c / ( a b ) a b = ac bc / +b ac + c a - ac+ c = b bc + b ( a c ) = ( b c ) / a c = b c / + c a = b, ami az állítás volt. a b c. Ekkor 3.) Minden természetes szám egyenlő a rákövetkezőjével. Legyen n N + tetszőleges! ( n 1) n n 1 / (n+1 ) n 1 ( n 1) n / n( n +1 ) n 1 ( n 1) n 1 nn 1 n nn 1 / 4 n 1 n 1 ( n 1) n 1 n 1 n n n n 1 n 1 n 1 n / n 1 n 1 1 n 1 n / n n 1 n
3 4.) ármely szám nagyobb önmagánál. Legyen a,b > 0 olyan, hogy a > b / b ab > b / a ab a > b a a( b a ) > ( b a)( b + a ) / : ( b a ) a > b + a Mivel b pozitív volt, így a nagyobb bármely, nála nagyobb b + a számnál. 5.) 8 1 > > / log(1/) 3 log(1/) > log(1/) log(1/) 3 > log(1/) (1/) 3 > (1/) 1 1 > ) 1 = Ismert trigonometrikus azonosság, hogy cos Ezért cos x 3/ 1 sin x 3/ 3 Ebből cos x 1 sin x 3/ cos Ezt négyzetre emelve 3 x 3 x 1 sin / +3 3 / 1 sin x 3 3 cos x 3 1 sin x 3/ 3 Legyen most x =, ekkor cos = -1 és sin = 0, így ( ) = ( 1 3/ + 3 ), azaz = 4, tehát = 4, azaz 1 =. x 3
4 Geometriai problémák 7.) Van olyan háromszög, melynek belső szögösszege nagyobb nál. Legyen k 1 és k két egyenlő sugarú, egymást metsző kör. Húzzuk meg az A metszéspontból kiinduló A és A átmérőiket. Ekkor a Thales-tétel miatt AM = AN = De ekkor az AMN háromszög szögösszegére AMN + ANM + NAM = NAM > adódik. A k 1 K 1 Azaz van olyan háromszög, melynek belső szögösszege nagyobb nál. Sőt! Egy egyenesre ( ) két különböző pontjában ( M és N ) emelt merőlegesek metszik egymást! K M N k 8.) 8 = b.) ábra a.) ábra Az a.) ábrán lévő 8 x 8 as négyzetet az ábra szerint átdarabolhatjuk a b.) ábrán lévő téglalappá. Ezért területük egyenlő, azaz 8 =
5 9.) ármely háromszög egyenlő szárú. 1.izonyítás. (trigonometrikus bizonyítás): E / b b a a / D Az A háromszög A és oldalait hosszabbítsuk meg D = vel és E = A val az ábrán látható módon. Ekkor a külsőszög-tétel miatt EA = AE = D = D = /. Az AD és AE háromszögekben írjuk fel a sinustételt: sin A A sin / / és A c sin sin Ezekből, azaz sin sin, sin sin amiből, tehát =, ezért a háromszög egyenlő szárú. sin A A sin.izonyítás ( elemi geometriai bizonyítás): D Legyen G a szög szögfelezőjének és az A oldal felező merőlegesének a metszéspontja. ( tételezzük most fel. hogy G a háromszög belsejében van! ) ocsássunk G ből merőlegeseket a háromszög A és oldalaira, ezek talppontjai legyenek D és F. Ekkor a GD és a GF háromszögek egybevágók, mivel szögeik páronként egyenlők és G oldaluk közös. Ezért DG = GF. Kössük most össze G-t A-val és -vel. Ekkor nyilván AG = G. De GD = GF is teljesült, így a GDA és GF háromszögek is egybevágók. A GD és GF háromszögek egybevágóságából D = F (*) míg a GDA és GF háromszögek egybevágóságából DA = F (**) (*)-ot és (**)-ot összeadva D + DA = D + F, azaz A =, tehát háromszögünk egyenlő szárú. ( ráadásul ezt az okoskodást pld. az A szög szögfelezőjére megismételve A = A adódna, tehát a háromszög azaz bármely háromszög szabályos lenne! ) Nyilván, nem biztos, hogy G a háromszög belsejében van, a további lehetőségeket az alábbi ábrák veszik számba. G A E F 5
6 A fenti okoskodás azonban ezekben az esetekben is helytálló. F A D G D A F G D F A G 10.) Egy derékszög egyenlő egy tompaszöggel ( Azaz a derékszög nagyobb önmagánál ) Húzzunk -ből egy -vel egyenlő E szakaszt, és szerkesszük meg A és DE felezőmerőlegeseit! D Ekkor AD = = E, mert E-t úgy szerkesztettük, PA = P és PD = PE, mert P a felezőmerőlegesek metszéspontja, ezért az APD és EP háromszögek egybevágók. Mivel egybevágó háromszögek megfelelő szögei G egyenlők, így DAP = EP De DAP = és EP = , ezért A 90 0 = DAP = EP = P Tehát 90 0 = ( > 90 0 ) E 6
7 11.) 45 0 = 60 0, azaz 3 = 4. Szerkesszünk az A szabályos háromszög A oldalára befelé egy AD egyenlőszárú derékszögű háromszöget, és vegyük fel a oldalon azt az D E E pontot, amelyre E = D. Az AD szakasz felezőpontja legyen F, az EF F egyenes A egyenessel való metszéspontja G. A GD és GE szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontja K. G A Mivel KA = KD = KE, és D = E, a KD és KE háromszögek egybevágók. Emiatt KD = KE. K De ekkor KD KA = KE KA is igaz kell, hogy legyen. Azonban KD KA = AD = 45 0, míg KE KA = A = tehát 45 0 = 60 0, melyet 15 tel osztva 3 = 4 adódik! 1.) Két különböző hosszúságú szakasz egyenlő. Tekintsük az A háromszöget és legyen PQ A. Ekkor A PQ, hiszen szögeik páronként egyenlők. Emiatt A PQ A P, amiből P Q A P A PQ ( A PQ ) A A P A P PQ A A PQ PQ A + A P PQ ; A A PQ A P A A PQ A P PQ PQ mindkét oldalon kiemelve A A A P A PQ PQA P PQ A : A P A PQ kapjuk, hogy A = PQ. 7
8 13.) Egy szakasz egyenlő egy nála kisebb szakasszal. Mielőtt a feladathoz hozzáfognánk, értelmezzük egy kicsit a cosinustételt: Írjuk fel a cosinustételt az hegyesszögre: a b c bccos. A b cos mennyiség geometriai jelentéssel bír, nevezetesen egyenlő a b = A oldal A oldalra eső TA merőleges vetületének a hosszával. Ezért kimondhatjuk a következő tételt: a b c T A Tétel: A háromszögben bármely, hegyesszöggel szemben lévő oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegéből kivonva ezek közül az egyik oldal és a másik előzőre eső merőleges vetületének kétszeres szorzatát. Most a feladat: Tekintsünk egy olyan A háromszöget, amelyben az A hegyesszög, és >! Ekkor nyilván A < A kell, hogy legyen. Vegyük fel a D pontot úgy, hogy AD = legyen. Ekkor A AD, mert szögeik páronként egyenlők, ezért területeik aránya t A. t D AD Másrészt E a két háromszög közös magassága, így t A A. t AD AD A D E A Ezekből. Ennek mindkét oldalát szorozva D tel és osztva A vel kapjuk, hogy D AD D. A AD Alkalmazzuk most az előző tételt -re és D -re: A A A AE A AD AD AE. A AD A A Innen A AE AD AE A AD A A A A AD A A AD AD A, amiből (*) A AD A AD és innen a számlálók egyenlősége miatt a nevezők is egyenlők, azaz A = AD. + AE ; ( A + AD ) Ezért az A szakasz hossza egyenlő az általa valódi részként tartalmazott, tehát tőle rövidebb AD szakasz hosszával! 8
9 14.) Egy trapéz alapjainak az összege 0 val egyenlő. Hosszabbítsuk meg az A alapot EA = c- vel és a D alapot F = a-val az ábra szerint! Húzzuk meg továbbá az A átlót, valamint az EF és D szakaszokat! Legyen AG = z, GK = y és K = x! Ekkor AK DK, mert szögeik páronként egyenlők, ezért D K c x, azaz. A KA a y z Ugyanígy az EAG és FG háromszögek hason- AE AG c z lósága miatt, tehát. F G a y x Innen c x z, azaz a y z y z x z. y z y x A a A a A a Használjuk fel, hogy ha, akkor. b b b c x z x z c Ezért 1, azaz 1, tehát c a, a y z y x z x a azaz a c 0, tehát az AD trapéz alapjainak összege 0! z y G D c a F x K E c A a 15.) Egy pont ugyanakkora, mint egy vonal?! Húzzuk meg az AD négyzet D átlóját, illetve körül az A negyedkörívet! Húzzunk a négyzet belsejében bárhol egy -vel párhuzamos HE szakaszt! Az FH háromszög derékszögű, így H F HF. (*) De HE = és = F miatt HE = F, valamint H = HG, ezért (*) ból HG HE HF HG HE HF, azaz T kék kör = T körgyűrű. Ha most HE t elkezdjük mozgatni felé, akkor a kék körből a pont lesz, a körgyűrűből viszont középpontú, HE= sugarú kör! Mivel viszont az előbbiek szerint a kék körnek HE bármely helyzetében ugyanakkora a területe, mint a körgyűrűnek, így azt kapjuk, hogy egyetlen pont ugyanakkora területű, mint egy kör! ( Ráadásul a körgyűrűből a sugarú kör kerülete lesz, a kék körből viszont egy pont!) Vagy mégsem? D E F G A H 9
10 A határgörbék görbék határértéke, a határgörbék hossza Def: Határgörbének nevezzük az olyan görbéket, amelyek sokszögek végtelen sorozatainak, mint alakzatok sorozatának a határértékei. 1.Példa: Egy körbe írt szabályos sokszögek végtelen sorozatának határgörbéje az adott kör. n = 4 n = 8 n = 16 n = 3 Tudjuk, hogy a szabályos sokszögek egyben húrsokszögek és így a köré írt kör középpontjából n db. egyenlőszárú háromszöggé darabolhatók át, amelyek szárszöge alapjainak összege megegyezik az n - szög K n területével. n és amely háromszögek n Könnyen bizonyítható, hogy lim K n = R = K kör, ugyanis ha R a kör sugara, akkor a sinustételből a n R sin, ahol a n a körbe írt szabályos n-szög oldala, azaz a sokszög kerülete n sin n sin n kn n R sin R R, ahol n és n 0 n n n n, ha n. n sin x Ezért felhasználva a x 1 határértéket: k R x 0 n n Ebben az esetben tehát teljesül, hogy a határgörbe (ív)hossza megegyezik a görbék (ív)hosszainak határértékével. Ez azonban legalábbis látszólag nem mindig van így. 10
11 1.) Feladat: L 1 L L 3 Tekintsük az egységnyi befogójú derékszögű háromszöget. Írjunk ebbe egy törött vonalat a bal alsó csúcstól kezdve, mégpedig: felfelé haladjunk 1/4 egységet, utána jobbra 1/ et, majd felfelé is 1/ -et, jobbra ismét 1/ -et végül felfelé 1/4 -et. Ezt a töröttvonalat jelöljük L 1 gyel. A következő lépésben kétszerezzük meg a lépések számát, a kapott töröttvonal legyen L, majd újra kétszerezve a lépések számát L 3 stb. Folytassuk az eljárást a végtelenségig. Az ábrák szerint a törött vonalak határgörbéje a háromszög átfogója, amelynek. Ezek szerint a törött vonalak hosszának határértéke. Másrészt: a lépcső piros és a zöld vonalainak összege bármely lépcső esetén a háromszög befogói hosszának összegével, azaz -vel egyenlő. Így a határgörbe hossza. Most mi az igazság? 11
12 .) Feladat: Szerkesszünk egy A átmérőjű kört, legyen ez a görbe G 1. Szerkesszük meg most azt a görbét, amely két, egyenként A/ átmérőjű körből áll, és tekintsük ezt egyetlen, 8-as alakú görbének, ahol a bejárást az ábra mutatja. Legyen ez a görbe G. A c, ábrán lévő görbe legyen G 3, a d, ábrán lévő G 4 és így tovább. Folytassuk ezt a végtelenségig, minden lépésben kétszerezve a körök számát. Így egy olyan görbesorozathoz jutunk, amelynek határgörbéje az A szakasz, amelynek hossza A, hiszen minden esetben A-ból elmegyünk -be és onnan vissza A-ba. Ezek szerint a határgörbe hossza, tehát a görbék hosszának határértéke A. Igaz ez? Másfelől: r 1 = d 1 r = d k 1 = r 1 = d 1 és k = r = d Ezért k 1 + k = d 1 + d = ( d 1 + d 1 ) Tehát az előző feladatban: lim G i lim k A i i Akkor most menyi is a határgörbe ívhossza? 1
13 3. Feladat: Írjunk egy R sugarú körbe négyzetet, és ennek oldalaira kifelé szerkesszünk félköröket! ( a.) ábra ) Legyen a négy félkör alkotta görbe G 1. Szerkesszünk most a körbe egy szabályos nyolcszöget, ugyancsak írjunk félköröket az oldalaira. Legyen a nyolc félkör alkotta görbe G. Folytassuk a végtelenségig a sokszögek oldalszámának kétszerezését, kapjuk a G 3, G 4 stb.. végtelen görbesorozatot. Ennek a görbesorozatnak a határgörbéje végtelen kicsi sugarú félkörökből áll, nem is tudjuk megkülönböztetni az eredeti R sugarú körtől. Ezek szerint a határgörbe hossza R. Vagy mégsem? 13
14 1.) A hópehelygörbe: Patológikus görbék Van-e olyan görbe, amelynek hossza végtelen, de mégis véges területet határol? G 1 G G 3 G 5 Azt hogy ennek a görbeseregnek minden tagja véges területet határol, könnyen beláthatjuk, hiszen egyek görbe sem lép ki az eredeti háromszög köré írt köréből, tehát bármelyik görbe által határolt terület kisebb a köré írt kör területénél. A görbék kerülete: A G 1 kerülete 3 egység. Ezt az első lépésben 1-gyel növeltük, hiszen minden oldalon 1/3-dal nőtt a törött vonal hossza, így G hossza 3 +1 ( = 4 ). A harmadik lépésben ezt megint 1/3 ával növeltük, így G 3 kerülete: /3, G 4 é , stb, tehát a határgörbe hossz a n... nyilván ( + ) hez tartó végtelen sor összege. 14
15 .) Van-e olyan görbe, amelyik teljesen kitölt egy síkidomot? ( Waclav Sierpinski, lengyel ) Nem könnyen, de bizonyítható, hogy a sokszögsorozat határgörbéje a négyzet minden pontján áthalad, ezért teljesen kitölti a négyzetet. 15
16 Görbék önmagukkal való metszéspontjáról Definícó: Tekintsünk egy g görbét. Ha ennek valamely pontja körüli bármilyen kicsi sugarú kör a görbét egy helyen metszi, úgy az a pont végpont.( P ) két helyen metszi, akkor az egy belső vagy általános pont. ( Q ) három vagy több helyen metszi, akkor önmagával való metszéspont. ( R vagy S ) 3.) Van-e olyan görbe, amelyik önmagát minden pontjában metszi? ( Sierpinski, ) A kapott görbe minden pontja kivéve az eredeti háromszög csúcsait metszéspont az előbbi értelemben. 16
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z
146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró
RészletesebbenXVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály
. feladat: Szupercsiga egy függőleges falon mászik felfelé. Első nap 4 cm-t tesz meg, éjszaka cm-t visszacsúszik. Második napon 9 cm-t tesz meg, éjszaka 4 cm-t csúszik vissza, harmadik napon 6 cm-t mászik,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenTelepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenSíkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.
Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = + ; a b y
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenOktatási Hivatal. A döntő feladatai. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]
OKTV 7/8 A öntő felaatai. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz a fenti feltételeknek?.
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenA lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
RészletesebbenOktatási Hivatal. A döntő feladatainak megoldása. 1. Feladat Egy kifejezést a következő képlettel definiálunk: ahol [ 2008;2008]
OKTV 7/8 A öntő felaatainak megolása. Felaat Egy kifejezést a következő képlettel efiniálunk: 3 x x 9x + 7 K = x 9 ahol [ 8;8] x és x Z. Mennyi a valószínűsége annak hogy K egész szám ha x eleget tesz
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenGeometriai transzformációk
Geometriai transzformációk 11 elemi geometriafeladat 10. és DG Matektábor 2016. október 6. Röviden a transzformációkról Tengelyes tükrözés 10. és ( DG Matektábor) Geometriai transzformációk 2016. október
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
Részletesebben1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD
1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,
RészletesebbenKOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)
KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenA TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenIV. Vályi Gyula Emlékverseny november 7-9.
IV. Vályi Gyula Emlékverseny 997. november 7-9. VII. osztály LOGIKAI VERSENY:. A triciklitolvajokat a rendőrök biciklin üldözik. Összesen tíz kereken gurulnak. Hány triciklit loptak el. (A) (B) 2 (C) 3
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenInteraktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
RészletesebbenNem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenGeometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenA 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)
Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan
RészletesebbenSorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK
Sorozatok határértéke VÉGTELEN SOROK Végtelen valós számsor: Definíció: Az a n sorozat tagjaiból képzett a 1 + a 2 + + a n + végtelen összeget végtelen valós számsornak, röviden sornak nevezzük. Sor részletösszegei:
Részletesebben