94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya, aztá a természetes számok szorzásával Erre épült késő az egész számok összeadása, kivoása, szorzása, majd ugyaezek a műveletek racioális, valós és komplex számokra Ugyacsak a műveletek körée sorolhatók a (pozitív) valós számok hatváyozása, a mátrixok összeadása, a mátrixok szorzása, függvéyek összetétele, halmazok egyesítése, metszete, vektorok összeadása, st Késő láti fogjuk, hogy műveletek értelmezhetők tetszőleges halmazo is, ilye érteleme műveletek tekithető például a fizikáa izoyos részecskék találkozásakor végemet fúzió, kémiáa izoyos reakciók, iológiáa a kereszteződések, st Vizsgáljuk meg, hogy mi a közös a fete felsorolt műveleteke Elsősora midig megadtuk, hogy milye halmazo értelmeztük a műveletet Például a természetes számok összeadása külöözik a racioális számok összeadásától, legfelje ayit modhatuk, hogy a egy részhalmazá, az halmazo az összeadás megegyezik a természetes számok összeadásával (lásd késő: idukált művelet) Tehát fotos az, hogy kikössük: milye halmazo értelmezzük a műveletet Az elő említett műveletek midegyike a kitütetett halmaz tetszőleges két eleméek egyértelműe megfeleltet egy harmadikat Például: a) Természetes számok összeadásakor, a 34, számok összege 3 4 = 7, modhatjuk, hogy a ( 34, ) számpárak megfeleltetük az összeadás műveletével egy számot az halmazól Általáa, a, -re az ( a, ) a megfeleltetés írható fel ) Valós számok kivoásakor is hasolóa járuk el, csak más a kitütetett halmaz és a megfeleltetési szaály Például, 8 eseté a (, 8) valós számpárak a kivoás műveletével megfeleltetjük a 8 = 3 valós számot c) Halmazok egyesítése Mivel ee az esete a művelet két halmazak feleltet meg egy harmadikat, a kitütetett halmaz egy halmazcsalád, általáa az X em üres halmaz részhalmazaiak a családja, vagyis a P ( X ) Tehát az M, N P ( X) halmazokra az ( MN, ) redezett halmazpárak megfeleltetjük az M N P ( X) halmazt: ( MN, ) M N P ( X) A megfeleltetés egyértelmű d) m -es mátrixok összeadása Ee az esete a kitütetett halmaz az ( ) Az AB M ( ) mátrixok eseté ( AB, )-ek megfeleltetjük az M m,, m, A B M m, ( ) mátrixot: ( AB, ) A B Mm, ( ) e) A H halmazo értelmezett, értékeit H -ól vevő függvéyek összetétele Most a kitütetett halmaz az f : H H típusú függvéyek halmaza Jelöljük ezt a halmazt H H -al Tehát, f H f g H eseté az (, ) H g H függvéyt Például, ha H, f g redezett párak megfeleltetjük az = f, g :, f ( x ) = x és
Műveletek 95 g( x) = x, x, akkor ( f, g ) f g és ee az esete ( f g) ( x) = g( x) = A megfeleltetés most is egyértelmű x A feti példákól kitűik, hogy a művelet tulajdoképpe egy függvéy, ϕ : M M M, ahol M a kitütetett halmaz Értelmezés Legye M egy em üres halmaz A tetszőleges ϕ : M M M függvéyt az M halmazo értelmezett első műveletek evezzük Az értelmezés alapjá a ϕ első művelet mide ( xy, ) M M redezett ϕ elempárak megfeleltet egyetle M -eli elemet: ( xy, ) ϕ ( xy, ) M Általáa ϕ helyett a,,, :,,,,, st jeleket szoktuk haszáli Ha a művelet additív, akkor a jelölést, ha multiplikatív, akkor a jelölést haszáljuk Az elői a) példa eseté a természetes számok halmazá értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Hasolóa, az -e értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Most már yilvávaló a külöség a természetes számok és a valós számok halmazá értelmezett összeadás között: két külööző függvéyről va szó, viszot a függvéy leszűkítése -re megegyezik a függvéyel Általáa helyett egyszerűe csak a jelt írjuk, ha em áll fe az összetéveszthetőség veszélye A c) példa eseté : P( X) P( X) P ( X), ( MN, ) M N Megjegyzések A első művelet általáosítja az eddig tault sajátos műveletek töségét, viszot például a mátrixok szorzását em Valóa, a XI osztálya taultak alapjá egy m -es mátrixot összeszorozhatuk egy k -s mátrixszal és eredméykét egy m k -s mátrixot kapuk, viszot két m -es mátrixot csak akkor tuduk összeszorozi, ha m = Ezek alapjá általáa a mátrixok szorzását em értelmezhetjük ϕ : M M M függvéykét Ezért a továiaka, ha a mátrixok szorzását tekitjük mit műveletet, akkor csak az -es mátrixok halmazá foguk dolgozi, ahol : "": M ( ) M ( ) M ( ), vagy "" : M ( ) M ( ) M ( ) Ez a hia feloldható, ha a műveletet még általáosaa értelmezzük: em ϕ : M M M típusú függvéykét, haem ϕ = ( M M, M, R) típusú relációkét, ahol R = {(( x, y), z) ( M M) M ( x, y) ϕ z } Az ( xy, ) és z elemek akkor vaak ϕ relációa, ha az x és y elemeke elvégezhető a művelet és aak eredméye z A mátrixok szorzását értelmezheték a következő módo Legye M az összes mátrixok halmaza, típusuktól függetleül A megszokott mátrixszorzást jelölje a művelet Két M -eli mátrixól alkotott ( AB), pár szorzatát csak akkor képezhetjük, ha A és B összeszorozhatók, ezért M -e a
96 Műveletek szorzást a ϕ = ( M, M, R) reláció jellemzi, amely szerit az ( AB, ) és A B típusú elemek lehetek csak relációa, és csak akkor, ha A B elvégezhető A következőke eltekitük ettől az észrevételtől és első művelet alatt midig egy ϕ : M M M függvéyt foguk értei Mivel a első művelet egy jól értelmezett függvéy, a művelet eredméye mide xy, M eseté egyértelmű Ha ϕ : M M M egy művelet, akkor a ϕ ( xy, ) = xϕy M elemet a művelet eredméyéek evezzük, mide x, y M-re 3 A első műveletet szokás iáris első műveletek is evezi (mivel két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet) 4 A első művelet két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet, tehát az eredméy is midig az M halmaza va Ie adódik a első jelző Értelmezhetük külső műveletet is, lásd például a Vektorterek paragrafust Addig viszot művelet alatt midig első műveletet foguk értei 5 A műveletet azért értelmezzük az M M Descartes szorzato, mert léyeges az elemek sorredje Legye például : a valós számok kivoása ( 35, ) 3 5= és ( 53, ) 5 3=, tehát a művelet eseté fotos, hogy milye sorrede írtuk a számokat: 5 3 3 5 (a kivoás em kommutatív) Az eddigi példák már ismert műveletek voltak A következő példáka új műveleteket vezetük e a) Összeadás mod és szorzás mod R -e Jelöljük R = : R {0,,,, } Értelmezzük az összeadást és a szorzást R -e: : R R R, x y : = az ( x y) -ak -el való osztási maradéka, xy, R; -el az egész számok -el való osztási maradékaiak halmazát, ahol : R R R, x y : = az xy -ak -el való osztási maradéka, xy, R Vegyük észre, hogy az elői műveletek jól értelmezettek, mert két tetszőleges R -eli elem összege és szorzata mo d egyértelmű és R -e va Például, R -e az összeadást 5 és a szorzást az alái tálázatokkal jellemezhetjük (lásd késő: művelettála) 0 3 4 0 3 4 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0 3 4 0 0 3 4 3 4 0 0 4 3 3 3 4 0 3 0 3 4 4 4 0 3 4 0 4 3 ) Összeadás és szorzás -e Az I fejezete evezettük a faktorhalmazt Értelmezzük az összeadást és szorzást -e: : xy, x y : = x y,, ; :, x y : = x y, xy,
Műveletek 97 Általáa a és helyett a és jelöléseket haszáljuk, ha egyértelmű, hogy melyik műveletről va szó Így például az x y esetée a yilvá -eli összeadást jelet, míg az x y kifejezése az összeadás a szokásos összeadás - e Vizsgáljuk meg, hogy jól vaak-e értelmezve az elői műveletek: egyértelmű-e az eredméy és -ől va-e? Az eredméy -e va az értelmezés alapjá Vizsgáljuk az egyértelműséget Meg kell ézzük, hogy az x és y osztályok két külööző reprezetására, az x, x x és y, y y egész számokra teljesül-e az x y = x y egyelőség Mivel x, x x kl, úgy, hogy x = k x és x = l x és hasolóa a, úgy, hogy y = a y, y = y Így x y = k a x y, vagyis ( x y ) ( x y) = ( a k), ahol a k, tehát ( x y ) ( x y) és így x y Az x y(mod ) ekvivalecia relációk azo tulajdosága alapjá, hogy ha u ~ v, akkor u osztálya megegyezik v osztályával, írhatjuk, hogy x y = x y Hasolóa, x y = x y, tehát x y = x y, vagyis az összeadás -e egyértelmű Hasolóa igazolható, hogy a szorzás is egyértelmű Az elői jelöléseket haszálva, xy = ( k x)( a y) = ( ak ky ax) xy, tehát xy xy= ( ak ky ax), ahol ak ky ax, vagyis xy ( mod) Megjegyzés Ha elkészítjük a 5 xy művelettáláit, észrevesszük, hogy az összeadás művelettálája megegyezik az R -eli összeadás művelettálájával, ha em vesszük 5 figyeleme, hogy a -eli elemeket 0,,, 3, 4 -pal jelöltük Hasoló összefüggés 5 áll fe a szorzásra is c) Permutációk szorzása S -e H Legye H = { 3,,,, } és jelöljük S -el a H -ak azt a részhalmazát, amely { : ijektív} csak a ijektív függvéyeket tartalmazza: S = f H H f Legye σ S A σ függvéyt megadhatjuk egy kétsoros tálázat segítségével: 3 σ = σ() σ( ) σ( 3) σ( ) Mivel σ ijektív függvéy, ezért a σ(), σ( ),, σ( ) elemek párokét külöözek tehát az,,, számok egy permutációját alkotják Ez a permutáció jellemzi a σ függvéyt, ezért S elemeit -ed fokú vagy -ed redű permutációkak szoktuk evezi Az elői észrevétel alapjá S -ek! eleme va Mivel a ijektív függvéyek összetétele ijektív, és az összetétel egyértelmű, értelmezhetjük a S S S műveletet (a függvéyösszetétel S -e): :
98 Műveletek στ eseté ( σ τ)( k) : = σ τ( k), k =,, S ( ) Például, S elemei a következő permutációk: 3 3 σ = 3, σ 3, 3 =, 3 σ = 3 3 3 σ = 4 3, 3 σ, σ 3 = 5 3 = 6 3 A függvéyösszetételt S -e a permutációk szorzásáak szokás evezi Megoldott feladatok Vizsgáljuk meg, hogy az alái megfeleltetések műveletek-e a megadott halmazo? x y a) xy,, ( xy, ) x y: = ; x y ) xy,, ( xy, ) x y: = ; c) xy,, ( xy, ) x y: = xy; d) xy,, ( xy, ) x y: = xy; e) z, z, ( ) z, z z z : = z z, ahol a és műveletek redre a megfelelő halmazo értelmezett összeadás és szorzás Megoldás Meg kell vizsgáluk, hogy a megfeleltetések ϕ : M M M típusú függvéyek-e? x y x y a) Mivel xy, eseté értelmezett, egyértelmű és, valóa művelet -e x y ) Létezik olya xy,, hogy, ezért a megfeleltetés em lesz x y 3 művelet -e Például x = és y = -re = c) x = és y = -re xy =, tehát em lesz művelet -e d) Mivel xy, eseté xy egyértelmű, a megfeleltetés valóa művelet lesz -o e) Ee az esete azért em lesz művelet, mert a megfeleltetés em egyértelmű (vagyis em lesz - értelmezett, értékeit -ől vevő függvéy, csak most más okól, mit az eddigi ellepéldáka: a felvett értékek -e maradak, csak éppe em leszek egyértelműek) Például x =, y = i -re x y = i = ± i
Műveletek 99 Az elői példák alapjá, ha egy megfeleltetésről azt kívájuk elleőrizi, hogy művelet-e, akkor meg kell vizsgáluk, hogy ϕ : M M M típusú függvéy-e, ahol M a kitütetett halmaz Ez általáa két lépése törtéik: ) Egyértelmű-e az eredméy? ) Az eredméy az M halmaza va-e? A halmaza értelmezzük az x y műveletet úgy, hogy xyzt,,, eseté teljesüljeek az alái feltételek: a) ( x y) ( z t) = ( x z) ( y t) ; ) x x = ; c) x = x Számítsuk ki 7 43 -mat Megoldás Ha a)-a y = x és t = értékeket helyettesítük, kapjuk, hogy x ( x x) z ( xz) = x, xz, Felhaszálva a ) és c) feltételeket, következik, hogy z = xz, x, z Az utói összefüggése x -et x x -szel z helyettesítve, kapjuk, hogy z x =, xz,, vagyis a művelet potosa a x 7 szokásos osztás a halmaza Tehát 7 43 = 43 Műveletekre ézve zárt részhalmazok Idukált művelet Vizsgáljuk a :, a : = a, a, műveletet Ha a és tetszőleges zérótól külööző természetes számok, akkor a = a = a a a, -szer tehát a, -ra a és azt modjuk, hogy az halmaz zárt (stail) részhalmaza -ak a műveletre ézve Hasolóa, a, eseté em áll fe az a összefüggés, mert például a =, = -ra = a, tehát em stail részhalmaza -ak a műveletre ézve A feti észrevételek alapjá a művelet leszűkítése az halmazra szité művelet lesz, jelöljük ezt a műveletet -gyel, :, x y = x y, x, y Azt modjuk, hogy a művelet a művelet -ra való leszűkítése, vagy a által idukált művelet -a Mivel em stail részhalmaza -ak -ra ézve, ezért em idukál műveletet -o Értelmezés Adott az M halmazo egy ϕ művelet Az M -ek egy H részhalmaza a ϕ műveletre ézve zárt (vagy stail) részhalmaza az M -ek, ha xy, H ϕ ( xy, ) H
00 Műveletek Ha H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, akkor a H halmazo értelmezhetük egy ϕ műveletet a következőképpe: ϕ : H H H, ϕ ( xy, ) : = ϕ ( xy, ), xy, H A ϕ műveletet a ϕ művelet H -ra voatkozó leszűkítéséek, vagy a ϕ által H -a idukált műveletek evezzük Példák A :, ( a, ) a műveletre ézve,,,, stail részhalmazai -ek Az idukált műveletek potosa a megfelelő számhalmazo értelmezett összeadások leszek : Az ":":, ( a, ) a: műveletre ézve stail részhalmaza -ak, mert két zérótól külööző racioális szám háyadosa racioális Az idukált művelet a zérótól külööző racioális számok osztása A halmaz em stail részhalmaza -ak, mert -a az osztás em első művelet 3 A "" : műveletre ézve = z z páratla stail { } részhalmaza -ek, mert két páratla szám szorzata páratla, viszot például H = z z < 0 em stail részhalmaz { } 4 Az : műveletre ézve (függvéyek összetétele) az U = { f f ( 0) = 0} részhalmaz stail részhalmaza -ek, mert f, g U f ( 0) = 0, g( 0) = 0 ( f g) () 0 = f ( g() 0 ) = 0 f g U 3 Műveletek tulajdoságai Az,,,, számhalmazoka végzett és műveletek eseté megszoktuk, hogy izoyos tulajdoságok midig teljesülek Így em merül fel kérdés például akkor, amikor -e azt írjuk, hogy 3 5 = 0, holott visszatekitve a műveletek értelmezésére, a c-t em értelmeztük, csak a -t Tehát, ha a c-t akarjuk értelmezi, el kell döteük, hogy milye sorrede végezzük el a két műveletet: először elvégezzük az ( a ) -t és az eredméyhez hozzáadjuk a c -t, tehát a c = (a ) c, vagy máskét járuk el, a ( c)- hez adjuk alról az a -t: a c = a ( c) Valós számok összeadásáál ez midegy, mert az összeadás asszociatív: ( a ) c = a ( c), ac,, Viszot ha tekitjük a, a : = a műveletet, akkor a c-ek ics értelme, mert c c c c c a c = a c = a =a és a ( c) = a = a és általáa a a ( ) ( ) c : Hasolóa megszoktuk, hogy az a = egyelőség midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a kifejezést, tehát a = a c = c, c és ugyaez feáll a szorzásra is Vajo tetszőleges művelet eseté, ha : M M M, a,, a, M úgy, hogy a = és a =, akkor feáll-e az a a = összefüggés?
Műveletek 0 A válasz igelő, a művelet értelmezése alapjá: mivel a művelet jól értelmezett aa, =, = = függvéy, ezért az ( ) egyelőségől (a és a a feltétel szerit) ( ) következik a ( aa, ) = (, ) összefüggés (mert a megfeleltetés egyértelmű), ami potosa az a a = összefüggést jeleti Ezt a tulajdoságot evezzük a helyettesítés törvéyéek, és eől következek azok a tulajdoságok, hogy egyelet midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a számot, az egyeletet szorozhatjuk ugyaazzal a számmal, az egyelőség változása élkül Ugyaakkor láttuk, hogy valós számok eseté a szorzás kommutatív, vagyis a,, a = a, viszot ez a tulajdoság mátrixok szorzására, vagy függvéyek összetételére em érvéyes A következőke általáosa tárgyaljuk a műveletek éháy tulajdoságát 3 Asszociativitás Az elői példa alapjá adott M halmaza értelmezett : M M M művelet eseté az a,, c M elemekre a c -ek általáa ics értelme, mert em midegy, hogy milye sorrede végezzük el a műveleteket: általáa ( a ) c a ( c) Értelmezés A : M M M, ( xy, ) x yműveletet asszociatív műveletek evezzük, ha ( a ) c = a ( c), a,, c M eseté Asszociatív művelet eseté ármilye (, ac, ) M M M számhármasra elletmodásmetese eszélhetük az a c elemről, értelmezés szerit a c : = ( a ) c = a ( c), tehát a zárójeleket elhagyhatjuk Példák asszociatív és em asszociatív műveletre,,,, -e az összeadás és szorzás asszociatív műveletek Az X em üres halmaz eseté P ( X )-e az egyesítés, a metszet és a szimmetrikus külöség asszociatív műveletek (lásd az I fejezetet) 3 M ( ) -e az összeadás és a szorzás asszociatív műveletek, a XI osztálya taultak alapjá E 4 E -e a függvéyek összetétele asszociatív művelet Az utói tulajdoságot igazoljuk: legyeek f, gh, : E Etetszőleges függvéyek x E eseté (( f g) h)( x) = ( f g) ( h( x) ) = f [ g( h( x) )] = [( )( )] ( ( ))( ) = f g h x = f g h x, tehát ( f g) h = f ( g h) 5 R -e az összeadás mod és a szorzás mo d asszociatív műveletek Bizoyítás Mivel az összeg maradéka egyelő a maradékok összegéek maradékával, tetszőleges a,, c R eseté a ( c) = a ( c) osztási maradéka -el ; ( a ) c = ( a ) c osztási maradéka -el
0 Műveletek Viszot -e az összeadás asszociatív, tehát a ( c) = ( a ) c, ezért az - el való osztási maradékuk is megegyezik, tehát ( a ) c = a ( c) Hasolóa igazolható a szorzás asszociativitása is 6 -e az összeadás és szorzás asszociatív A izoyítást ugyaúgy végezzük el, mit R -e y 7 -e az x y : = x, xy, műveletre y y ( x y) z x z = z = x, xyz,, és y z y z x ( y z) = x = x, xyz,, 4 Tehát z 0 eseté ( x y) z x ( y z) és így a művelet em asszociatív Megoldott feladatok Igazoljuk, hogy az :, a : = a a, a, függvéy egy em asszociatív művelet -e Bizoyítás valóa művelet, mert a, eseté a a és a egyértelmű (vagyis a függvéy jól értelmezett) Igazoljuk, hogy em asszociatív Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a ( c c) a c c = = ac a ac a c c és ( a ) c = ( a a ) c = ac ac c a a c Az a ( c) = ( a ) c egyelőség csak akkor teljesül, ha ac a ac a c c = ac ac c a a c Ez ekvivales az ac = c egyelőséggel, ami em teljesül mide a,, c eseté (em áll fe például a = és c = eseté) Így a művelet em asszociatív Igazoljuk, hogy a :, a : = a a művelet asszociatív Megoldás Köye elleőrizhető, hogy valóa művelet Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a c c a ac ac = = a c ( a ac c) ac és ( a ) c = ( a a) c = a a c ac c ac = = a c ( a ac c) ac, tehát a ( c) = ( a ) c, ac,, 3 Az m valós paraméter mely értékeire lesz a :, a : = a a m, a, művelet asszociatív? Megoldás ac,, eseté a ( c) = a ( c c m) = ac a ac am a c 4 4c m m = = ac ( a ac c) ( m ) a 4 4c 3m ;
Műveletek 03 ( a ) c = ( a a m) c = = ac ( a ac c) 4a 4 ( m c ) 3m Az ( a ) c = a ( c) egyelőség csak akkor teljesülhet mide a,, c eseté, ha m = 4, tehát m = Mit láttuk, tetszőleges művelet eseté em áll móduka három elem szorzatáak az értelmezése És így ehéz haszálható elméletet kidolgozi a műveletről és a halmazról, amelye értelmezett a művelet Ahhoz, hogy három elemet össze tudjuk szorozi, szükségük va az asszociativitásra Viszot ha égy elem szorzatát kell kiszámoluk, akkor asszociatív művelet eseté is, ismét tö lehetőség va: a c d = a ( c d), vagy a c d = ( a c) d, vagy a c d = ( a ) ( c d)? Ezért az asszociativitás ismét keveset árula el a halmazo értelmezett műveletről, ha a c d em lee egyértelmű A következő tétel értelmée az asszociativitás elégséges feltétel ahhoz, hogy az a a a kifejezés egyértelmű legye, tetszőleges \{ 0,, } eseté Tétel Ha egy asszociatív művelet M -e, akkor az a a kifejezés egyértelműe meghatározott,, 3 és a, a,, a M eseté Bizoyítás A matematikai idukció módszerét alkalmazzuk = 3 -ra az a a kifejezés egyértelmű az asszociativitás miatt a 3 Ha elfogadjuk, hogy m eseté a a a egyértelmű, eseté, a M i ahol i =,, akkor az a a a kifejezés összes lehetséges kiszámolása az m ( a a a ) ( a am a ) j j m esetre vezetődik vissza, ahol j {,,, m} Az idukciós feltétel szerit midkét zárójel egyértelmű, így csak azt kell igazoli, hogy tetszőleges j, j {,,, m} -re ( a a a ) ( a a ) = ( a a ) ( a a ) () j j m j j m Feltételezhetjük, hogy j < j Ekkor az A= a a a, B = a a, j j j C = a a jelöléseket evezetve és felhaszálva, hogy az idukciós feltevés j m szerit A, B és C egyértelműek, () ekvivales az ( A B) C = A ( B C) összefüggéssel, ami teljesül az asszociativitás miatt, tehát a matematikai idukció elve alapjá, és a M, i =, eseté a a a egyértelmű 3 Kommutatív műveletek i Értelmezés Az M halmaza értelmezett műveletet kommutatívak evezzük, ha a, M eseté a = a Példák kommutatív és em kommutatív műveletre Az,,,, halmazoka a szorzás és összeadás kommutatív műveletek
04 Műveletek Az M ( ) halmaza a mátrixok összeadása kommutatív, viszot a mátrixok szorzása em kommutatív 3 Az -e értelmezett függvéyösszetétel em kommutatív Ezt egy ellepélda segítségével igazoljuk Legye f, g :, fx ( ) = 3x és gx ( ) = x ( f g) ( x) = 3x, valamit ( g f) ( x) = ( 3x) = 9x, tehát f g g f, vagyis az összetétel em kommutatív -e 4 R -e a és műveletek kommutatív műveletek 5 -e a és műveletek kommutatív műveletek 6,,, -e a kivoás em kommutatív művelet 7 Legye Ox y egy síkeli koordiátaredszer Értelmezzük a síkeli potok halmazáa a következő műveletet: :, eseté ( x, y ) ( x, y ): = ( x x,y y ) ( x, y ), ( x, y ) eseté ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x x, y y ) ( x, y ) ( x, y ) kommutatív, írhatjuk, hogy x, y, x, y ( ) ( ) Mivel a valós számok összeadása = = =, tehát az így értelmezett összeadás a síkeli potok halmazáa kommutatív művelet Megjegyzések A 7 példáa értelmezett művelet megegyezik a síkeli szaad vektorok összeadásával, amivel már találkoztatok a IX osztálya Az asszociativitás és kommutativitás örökletes tulajdoságok, vagyis ha ϕ : M M M egy művelet és H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, valamit ϕ a ϕ által H -a idukált művelet, akkor ϕ asszociativitásáól ϕ következik asszociativitása és ϕ kommutativitásáól következik ϕ kommutativitása A izoyítást csak a kommutativitásra végezzük el xy, H, ϕ ( xy) = ϕ( xy, ) (), Viszot ϕ kommutatív és xy, H xy, M, tehát írhatjuk, hogy ϕ( xy, ) = ϕ(y, x) H (), mert y, x H () és () alapjá ϕ(,) xy ϕ (, yx) ϕ (, yx), vagyis ϕ kommutatív művelet H -a = = Ez a megjegyzés a következőke sokat fog köyítei az egyes tételek izoyításá, illetve feladatok megoldásá, segítségével izoyos eseteke hivatkozhatuk az asszociativitás (kommutativitás) örökletességére és em kell azt izoyítauk 33 Semleges elem A : művelet eseté tudjuk, hogy létezik egy 0 -val jelölt elem -e, amelyre feáll, hogy m eseté 0 m = m 0 = m és ez az elem az egyedüli, amely ezzel a tulajdosággal redelkezik 0-t a semleges eleméek evezzük a műveletre voatkozóa Hasolóa, a : műveletre
Műveletek 05 voatkozóa semleges elem, mert m = m = m, m Ugyaezek a megállapítások érvéyesek az számhalmazokra is 00 0 0 0 00 0 0 = 0 0 M ( ) -e a 0 = mátrix az összeadásra ézve és I a 00 00 szorzásra ézve semleges elem: 0 A= A 0 = A, A M ( ) ; I A= A I = A, A M ( ) Eltekitve a kitütetett halmaztól és művelettől, láthatjuk, hogy a semleges elem ugyaazzal a tulajdosággal redelkezik, ezért kézefekvő a következő általáosítás: Értelmezés Az e M elemet semleges elemek evezzük a : M M M műveletre ézve, ha x M eseté e x = x e = x Vegyük észre, hogy az értelmezés megegedi, hogy M -e egy adott műveletre ézve tö semleges elem is legye Bár eddigi tapasztalataik sorá ez em fordult elő, vizsgáljuk meg általáa a kérdést Feltételezzük, hogy ee, M két külööző semleges elem M -e, a : M M M műveletre ézve Az értelmezés alapjá e e -re írhatjuk, hogy e e = e (e semleges elem), valamit e e = e (e semleges elem), ahoa következik, hogy e = e, ami elletmodás, tehát M -e ha létezik semleges elem, akkor az egyértelmű Tehát kijelethetjük a következő tételt: Tétel Ha az M halmaza értelmezett műveletre voatkozóa létezik semleges elem, akkor csak egy ilye va Megjegyzések Az utói tétel egyelemű M halmaz eseté triviális, mert ee az esete egy művelet értelmezhető és aak potosa egy semleges eleme va Additív művelet eseté a semleges elemet zéruselemek evezzük, és 0-val jelöljük Multiplikatív művelet eseté a semleges elemet egységelemek evezzük, és -gyel jelöljük Ezek a jelölések em kötelezők, majd késő, a kétműveletes algerai struktúrákál lesz szerepük Általáa tetszőleges művelet eseté az e jelölést haszáljuk 3 Kommutatív művelet eseté az a e = e a összefüggés fölösleges, tehát modhatjuk, hogy e semleges elem, ha a M eseté a e = a 4 Általáa tetszőleges : M M M műveletre, ha e M úgy, hogy a e = a, a M, akkor azt modjuk, hogy e jooldali semleges elem Hasolóa értelmezhető a aloldali semleges elem is: Legye : M M M egy művelet Ha létezik e M úgy, hogy e a = a, mide a M eseté, akkor e -t aloldali semleges elemek evezzük Nyilvávaló, hogy ha a : M M M műveletre ézve létezik al- és jooldali semleges elem, és ezek megegyezek, akkor ez az elem egye semleges elem is a műveletre ézve M -e 5 Fotos kihagsúlyozi, hogy a semleges elemet milye műveletre ézve és milye halmaza tekitjük A művelet kihagsúlyozásáak fotossága yilvávaló, hisze
06 Műveletek például a valós számok szorzása és összeadása két külööző semleges elemmel redelkezik A halmaz kijelöléséek fotosságát az alái példa szemlélteti: x 0 x Köye elleőrizhető, hogy az A= 0 0 0 ( ) M x 3 x 0 x halmaz stail részhalmaza ( ) -ek a mátrixok szorzására ézve Míg M3 I 3 M3 ( ) -e a szorzásra ézve a semleges elem az I mátrix, addig az A halmazak em eleme, viszot létezik semleges eleme az idukált szorzásra ézve: 0 0 0 E = 0 0 0 0 = 0 0 Igazoljátok, hogy E A valóa semleges elem 0 0 0 Példák -e az összetevésre ézve az f :, f ( x) = x, x függvéy semleges elem X eseté P ( X )-e írhatjuk, hogy A= A = A, A P ( X) és B = X B = B X, B P ( X), tehát semleges elem az egyesítésre ézve és X semleges elem a metszetre ézve 3 -e semleges elem (zéruselem) az összeadásra ézve és 0 semleges elem (egységelem) a szorzásra ézve 4 -a az összeadásra ézve ics semleges elem = z z stail részhalmaza -ek a szorzásra ézve, és a szorzás által a 5 { } halmaza idukált műveletek ics semleges eleme ( ) 6 S -e a permutációk szorzására ézve létezik semleges elem: 3 e = 3, vagyis az idetikus permutáció Megoldott feladatok Taulmáyozzuk a aloldali, jooldali semleges elem, illetve a semleges elem létezését a következő műveletek eseté a) :, a : = a a ; ) :, a : = a a ; c) :, a : = a a; a d) : (, ) (, ) (, ), a : = ; a e) vektorok összeadása a tére; f) vektorok szorzása (vektorszorzat) a tére; g) szimmetrikus külöség P ( X )-e 3
Műveletek 07 Megoldás a) A művelet kommutatív, tehát a aloldali, illetve jooldali semleges elem megegyezik a semleges elemmel, ha az utói létezik Általáa úgy határozzuk meg a semleges elemet, illetve aak létezését, hogy feltételezzük, hogy létezik és ehelyettesítve e -t a művelet értelmezésée, kiszámoljuk a kokrét értékét Ha köze elletmodáshoz jutuk, akkor az idirekt izoyítás, vagy lehetetlere való visszavezetés (reductio ad asurdum) módszere alapjá em létezik semleges elem, ha pedig em, akkor a kapott érték lesz a semleges elem Ee az esete csak az a e = a, a összefüggést kell vizsgáluk, mert a művelet kommutatív, tehát ae a e = a, a, ha létezik az e semleges elem Átalakítva az elői összefüggést, kapjuk, hogy e( a ) = 0, a és eek az összefüggések e = 0 midig megfelel, ezért, felhaszálva a semleges elem egyértelműségét is, a műveletre ézve -e a semleges elem a 0 ) Ee az esete a művelet em kommutatív, tehát az a e = e a = a, a összefüggés szerit ae a e = ea e a = a kell teljesüljö mide a értékre, vagyis a e = e a, a, ami lehetetle, tehát ics semleges elem Vizsgáljuk meg a aloldali, illetve jooldali semleges elemek létezését Ha létezik jooldali semleges elem (e ), akkor az eleget tesz az a e j j összefüggések, mide a eseté, tehát ae a e = a, a, vagyis e = 0 jooldali semleges elem Baloldali semleges elem em létezik, mert az j ea e a= a, a e ( a ) = a, a összefüggést egyetle valós szám sem elégíti ki mide a eseté (Például a = -re, ics olya e valós szám amelyre 0 = e 0 = ) c) Hasoló a ) pothoz, tehát em létezik semleges elem -e a műveletre ézve, viszot e = 0 aloldali semleges elem és em létezik jooldali semleges elem d) Elő vizsgáljuk meg, hogy jól értelmezett-e a művelet Az egyértelműség yilvávaló, tehát csak azt kell elleőrizi, hogy tetszőleges a, (, ) eseté az a (, ) összefüggés teljesül-e Mivel ( a )( ) > 0, mide a, eseté, írhatjuk, hogy a a > 0, tehát a > ( a) A jo oldalo szereplő zárójel szigorúa pozitív, ha a, ( ), Tehát oszthatjuk az egyelőtleséget ( a) -vel, a és az >, a, ( ), összefüggést kapjuk a Hasolóa, az ( a) ( ) > 0, a, (, ) összefüggést felhaszálva, a kapjuk, hogy <, a, (, ) a A feti észrevételek alapjá jól értelmezett első művelet a ( ), itervallumo A művelet kommutatív, tehát elégséges a jooldali semleges elem létezését j j
08 Műveletek vizsgáli Feltételezzük, hogy e (, ) úgy, hogy a e = a, a (, ), a e vagyis = a, a (, ) Átalakítva az elői összefüggést, írhatjuk, hogy ae a e = a a e, a (, ) ea ( )= 0, a (, ), ahoa az e = 0 eredméyt kapjuk Tehát a (, ) halmaza a műveletre ézve a semleges elem a 0 e) A ullvektor yilvá semleges elem az összeadásra ézve, tehát e = ( 000,, ) = 0 f) Nem létezik semleges elem a vektorszorzatra ézve a tére (mert a szorzat midig merőleges a téyezőkre és így em lehet egyik téyezővel sem egyelő) g) Az üres halmaz semleges elem a szimmetrikus külöségre ézve P ( X )-e Határozzuk meg az m, paramétereket úgy, hogy az alái műveletre ézve legye -e semleges elem: :, a : = a a m m, a, Megoldás Ha létezik az e semleges elem, akkor kell teljesüljö az a e = e a = a összefüggés mide a eseté, tehát ae a me m = ea e ma m = a, a, ahoa az (m ) e = ( m ) a, a és () ea ( ) = a( m) m, a () összefüggéseket kapjuk ()-ől következik, hogy m =, tehát a () összefüggés szerit ea ( ) = a( ), a eseté Átalakítva ezt az összefüggést, az ae ( ) e= 0, a összefüggést kapjuk, ami csak akkor e = 0 teljesülhet, ha e = 0, tehát = 0 és e =, vagy = és e = Összefoglalva, a műveletre ézve -e csak akkor va semleges elem, ha = m és {, 0 } 34 Ivertálható elemek (szimmetrizálható elemek) Értelmezés Legye : M M M egy olya asszociatív művelet, amelyre ézve létezik M -e az e semleges elem Azt modjuk, hogy az a M elem ivertálható M -e a műveletre ézve, ha a M úgy, hogy a a = a a = e Ha létezik ilye a, akkor azt az a M szimmetrikusáak vagy iverzéek evezzük Tapasztalataik alapjá, ha egy adott asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve az a M elemek va iverze, akkor az egyértelmű Például -e az összeadásra ézve iverze, mert ( )= ( ) = 0, általáa pedig a ( a) = ( a) a = 0, a A szorzásra egyedül a 0 elemek ics a = a = a iverze és általáa a eseté a Mide a, illetve a eseté a ( a) és elemek egyértelműe meghatározottak Feltehetjük a kérdést, a hogy általáa, ha : M M M egy asszociatív, semleges elemmel redelkező
Műveletek 09 művelet és x M egy ivertálható elem M -ől, akkor létezhet-e x -ek két külööző iverze A választ a következő tétel adja meg: Tétel Ha az x M elemek x M szimmetrikusa a : M M M asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve, akkor x egyértelmű Bizoyítás Feltételezzük, hogy x M úgy, hogy x x = x x = x x = x x = e Írhatjuk, hogy x = x e = x ( x x ) = (x x) x = e x = x, vagyis x az x egyedüli iverze Megjegyzések Az asszociativitás az egyértelműség izoyításához szükséges Adjatok példát olya em asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre, amelyre ézve va olya x elem, amelyek tö iverze va! Additív művelet eseté az a M elem szimmetrikusát az a elletettjéek evezzük és általáa ( a) -val jelöljük Multiplikatív művelet eseté az a M szimmetrikusát a iverzéek evezzük és a -el jelöljük Tehát x ( x ) = ( x) x = 0 és x x = x x = 3 Az egységelem midig ivertálható, iverze ömaga 4 Kommutatív művelet eseté elégséges az x x = e feltétel 5 Ha x az x M szimmetrikusa a műveletre ézve, akkor x is ivertálható és ( x ) = x Példák, feladatok -e az összeadásra ézve egyedüli ivertálható elem a semleges elem, hasolóa a szorzásra ézve is -e az összeadásra ézve mide elem ivertálható: a ( a ), a ( a ) = ( a) a = 0 A szorzásra ézve csak a és ivertálhatók, midkettőek ömaga az iverze 3 -a az összeadásra ézve mide elem ivertálható, a szorzásra ézve pedig egyedül a 0 em ivertálható 4 M ( ) -e -ra ézve mide elem, -ra ézve pedig csak azok az A mátrixok ivertálhatók, amelyekre feáll a deta 0 összefüggés 5 X halmaz eseté P ( X )-e az egyesítésre ézve egyedül az ivertálható A metszetre ézve az egyedüli ivertálható elem ismét csak a semleges elem: az X 6 -e a függvéyösszetételre ézve csak a ijektív függvéyek ivertálhatóak 7 S -e mide permutáció ivertálható, mert ijektív függvéy és iverze is per- mutáció Megoldott feladatok Legye : M M M egy asszociatív, egységelemes művelet és x, y M két ivertálható elem, az x és y iverzekkel Igazoljuk, hogy ( x y) is ivertálható és ( x y ) = y x