tematika szigorlat, analízis tételek Műszaki inormatika szak, esti tagozat. Komple számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, eponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között.. Sorozatok Sorozat deiníciója, monotonitás, korlátosság. A sorozatok konvergenciája, a konvergencia és korlátosság kapcsolata. A végtelen határérték deiníciója. Nevezetes sorozatok konvergenciája. 3. Függvények. A üggvény deiníciója, értelmezési tartomány, értékkészlet. Injektív, szürjektív, bijektív üggvények. Zérushely, monotonitás, szélsőérték, alak, korlátosság, periodicitás, paritás értelmezése. Inverzüggvény, létezésének eltételei, meghatározási módja. 4. Függvények. Elemi üggvények ábrázolása és jellemzése. Függvény határértéke és olytonossága. Elemi üggvényvizsgálat. 5. Dierenciálszémítás. A dierencia- és dierenciálhányados deiníciója, geometriai jelentése. Dierenciálási szabályok. Elemi üggvények dierenciálhányadosai. A dierenciál ogalma. 6. Dierenciálszámítás. A dierenciálszámítás alkalmazásai. Érintő egyenlete. Középértéktételek. L Hospital szabály. Monotonitás, szélsőérték, alak, inleió. Teljes üggvényvizsgálat. 7. Integrálszámítás. Primitív üggvény. Integrálási szabályok. Elemi üggvények primitív üggvények. Integrálási módszerek: a b, α,, g[ ] integrálása, parciális integrálás, résztörtekre bontás, helyettesítéses integrál. 8. Integrálszámítás. Határozott integrál. Téglányközelítés, Newton-Leibniz szabály. Alkalmazások: terület-, térogat-, ívhossz számítás. Improprius integrál. 9. Dierenciálegyenletek. A dierenciálegyenletek deiníciója, kategorizálás. Szétválasztható változójú dierenciálegyenletek. Elsőrendű, lineáris, homogén dierenciálegyenletek.. Dierenciálegyenletek. Elsőrendű, lineáris, inhomogén dierenciálegyenletek. Állandó variálás módszere, próbaüggvény módszer. Másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén és inhomogén dierenciálegyenletek.. Dierenciálegyenletek 3. A Laplace-transzormáció deiníciója, tulajdonságai. Elemi üggvények Laplace-transzormáltja. Dierenciálegyenletek megoldása Laplace-transzormációval.. Sorok. Végtelen numerikus sorok. A konvergencia szükséges és elégséges eltételei. Nevezetes numerikus sorok. 3. Sorok. Függvénysorok. Hatványsorok, konvergencia tartomány, konvergencia sugár.taylor-sor. Taylor-sor maradéktagjának első becslése. 4. Sorok 3.. Fourier-sor. Taylor-sor, Fourier-sor konvergenciája. 5.Kétváltozós üggvények. Értelmezési tartomány. Az első- és másodrendű parciális derivált. Gradiens. Teljes dierenciál. Érintősík egyenlete, hibaszámítás. 6. Kétváltozós üggvények. Integrálszámítás téglalap- és normáltartományon. Geometriai jelentés, terület- és térogatszámítás.
. Komple számok Algebrai alak, trigonometrikus alak, eponenciális alak. Műveletek, áttérés az egyes alakok között. Algebrai alak Az a bi alakú számokat, ahol a és b valós számok, i pedig olyan szám, amelyre i - ún. képzetes egység, komple számoknak nevezzük. A komple számokat általában z-vel jelöljük z a bi. Az - 4 3 egyenlet diszkriminánsa: 6-5 -36 negatív. Helyettesítsük be a 3i számot ahol i -. 4 i 9i - 8 - i 3 4-9 - 8 3. Ha számogalmunkat kibővítjük ilyen alakú számokkal, akkor a másodokú egyenletnek mindig van megoldása. Műveletek z l z a b i a b i a a b b i Két komple szám egyenlő, azaz z z, ha a a és b b. Összeadás: tagonként összeadjuk a valós és a képzetes tagokat. z l z a b i a b ia a b b i Pl.: z l 3 - i, z 4 3i, z l z 7 i Kivonás: mindenben megegyezik az összeadással, csak a műveleti jel helyett -. z l - z a b i - a b i a - a b - b i Pl.: z l 5 i, z 3i, z l - z 4 - i. Szorzás: a tagokat ormálisan összeszorozzuk i -. z l *z a b ia b i a a - b b a b b a i Pl.: z l 3i, z 4 5i, z l *z 4-3 5 5 3 4i -7 i. z * z 8 i i - 5 8-5 i -7 i Osztás: a törtet bővítjük a nevező konjugáltjával, így a nevezőben mindig valós számot kapunk. z a bi aa bb ba ab i z a bi a b a b Tulajdonságai Kommutativitás: z z z z, zz zz Asszociativitás: z z z3 z z z3 Disztributivitás: z z z3 zz zz3 A hatványozás: z n z*z..z. Értelmezhető a törtkitevős hatvány, azaz m z n is komple szám. Konjugált: a z a bi komple szám konjugáltján az a - bi komple számot értjük, és ezt z -vel ill. a bi -vel jelöljük.
Láttuk, hogy 3i kielégíti másodokú egyenletünket.d < esetén a gyököt úgy kapjuk meg, hogy a másodokú egyenlet megoldó képletében a gyökös részt d d d i alakban írjuk el eltételezzük.hogy d <. Az i képzetes egység az másodokú egyenletnek a gyöke. n n Megjegyzés.. Minden n-edokú an an... a a * egyenletnek pontosan n számú gyöke van. Az algebra alaptétele.. A komple gyökök párban ordulnak elő. 3. A * megoldására nem tudunk képletet adni. 4. A komple számok a jelenségek leírásában nagyon ontosak. Abszolút érték: a z a bi komple szám abszolút értékén a a b valós számot értjük, és ezt z -vel, ill a bi -vel jelöljük. Ez a szám a komple szám nagysága, hossza. z z n n Megjegyzés:. z z z z. z 3. z z ; zl z esetén is lehetséges, z z hogy zl z. Az azonos, r nagyságú komple számok egy r sugarú körön helyezkednek el. A komple szám geometriai ábrázolása Az a bi komple szám valós és képzetes része egy a, b pontot jelöl ki a koordinátarendszerben. A pontok halmaza a komple számsík, az valós tengely, y képzetes tengely. Az tengelyt éppen ezért valós tengelynek, az y tengelyt képzetes tengelynek nevezzük. Az a,b pont a síkon egy helyvektort jelent. Ennek az r hossza az a,b pontnak az origótól mért távolsága r a b, azaz r z. A komple számot ábrázoló vektornak az tengellyel bezárt ϕ szögét a tg ϕ b / a egyenlőségből kapjuk meg, azaz ϕ arctgb / a. Trigonometrikus alak 3
z a bi rcos ϕ isin ϕ, ahol r z, ϕ arctgb / a. a r*cos ϕ, b r*sin ϕ Műveletek z r cos ϕ isin ϕ és z r cos ϕ isin ϕ Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z * z r * r cos ϕ ϕ isin ϕ ϕ z r Osztás: cos φ ϕ i sin φ ϕ z r Hatványozás: z n r n cos nϕ i sin nϕ Pl.: z 5cos π /3 i sin π /3, z4 54cos 4 π /3 i sin 4 π /3. n n ϕ πk ϕ πk Gyökvonás: z r cos i sin, ahol k,,,..., n n n Egy komple számnak n db n-dik gyöke van. Eponenciális alak z a bi re ϕi, ahol r z és ϕ arctgb / a. Pl.: Irjuk el a 4-4i komple számot eponenciális alakban! Megoldás: 4 4 3 4 tg ϕ -4/4 -, ϕ - π/4 arctg- -π /4. 4-4i eponenciális alakja: 4 iπ / 4 e. Műveletek iϕ iϕ z r e és z r e Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. i ϕ ϕ iπ / 4 iπ / 3 i π / 4π /3 iπ / Szorzás: z * z r * r * e Pl.: z e ; z 3e. zz 6e 6e. Osztás: z r i ϕ ϕ * e z r Pl.: o o i85 i5 6 ;. z o i6 iπ /3 z e z e 3e 3e. z Hatványozás: iπ / 5 5 5 i5π / 5 iπ n n inϕ z r e Pl.: z e ; z e 3e. ϕ kπ i n n n Gyökvonás: z r * e, ahol k,,,..., n Összeüggés a trigonometrikus és az eponenciális alak között: re ϕi rcos ϕ i sin ϕ 4
. Sorozatok Sorozat deiníciója, monotonitás, korlátosság. A sorozatok konvergenciája, a konvergencia és korlátosság kapcsolata. A végtelen határérték deiníciója. Nevezetes sorozatok konvergenciája. A számsorozat ogalma Sorozaton olyan üggvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza vagy annak részhalmaza. Számsorozatnak az olyan sorozatokat nevezzük, melyeknek üggvényértékei valós számok. Az an üggvényértéket a n -nel jelöljük és n-edik általános tagnak nevezzük. Az an értékkészlete tehát a, a, a 3,..., a n,... a, a,..., a n... helyett gyakran a,a,...,a n,...-t írunk. Jelölések még: a n, a n, a n an. Egy sorozat általános tagját a n -ként adjuk meg, és megadjuk azt a üggvényt, mely a sorozat elemeit előállítja. Mivel a sorozat értelmezési tartománya diszkrét számokat tartalmaz, ezért a sorozat is diszkrét pontok halmazaként ábrázolható. Korlátosság Korlátosnak nevezzük a sorozatot, ha alulról és elülről egyaránt korlátos. Műveletek: a ca n ca n b a n b n a n b n c a n b n a n b n a n an d eltéve, hogy b n nem. bn bn Megjegyzés. a n - b n a n -b n a n - b n. Sorozat határértéke Egy valós számsorozat határértéke az A valós szám, ha A bármely környezetén kívül a sorozatnak legeljebb véges sok eleme van. Ezzel ekvivalens: az a n határértéke A, ha bármely ε > -hoz létezik olyan n N szám, hogy a n - A < ε, ha n > n azaz A - ε < a n < A ε, ha n > n. n küszöbszám, hibakorlát. Azt mondjuk, hogy az a n sorozat konvergál vagy tart az A-hoz és az a n A, lima n A, lim A szimbólumok valamelyikével jelöljük. a n n Ha van véges határérték, akkor konvergens sorozatról beszélünk, ha nincs, akkor divergens a sorozat. 5
A deinícióból következik, hogy minden sorozatnak legeljebb egy határértéke lehet. Az is könnyen belátható, hogy minden konvergens sorozat korlátos. Torlódási pont DEFINÍCIÓ. Az A számot a sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha A bármely környezetében a sorozat végtelen sok eleme helyezkedik el. TÉTEL. Bármely sorozatnak legeljebb egy határértéke lehet. Megjegyzés. Ha a sorozat elemeinek halmaza korlátos, akkor a sorozat korlátos. Ilyenkor van: sup{a n n N}, ill. in{a n n N}. A sorozat torlódási pontjának nevezzük azt a B számot, melynek tetszőlegesen szűk környezetében a sorozat végtelenül sok eleme helyezkedik el. Végtelen sorozat esetén ez nem eltétlenül jelenti azt, hogy az említett tartományon kívül csak véges számú elem található, ugyanis vannak olyan sorozatok, melyeknek több torlódási pontjuk van. Kimondható, hogy a konvergens sorozatoknak csak egy torlódási pontjuk lehet, és az a határértékkel azonos. Végtelenhez tartó sorozatok A végtelen mint határérték Az a n határértéke plusz végtelen, ha bármely k R számhoz létezik olyan n N küszöbszám, hogy n > n esetén a n > k. Tágabb értelemben konvergens. Jelölés : a n ; a n vagy lim a n - lim a n - Vannak olyan számsorozatok, amelyeknél a n, ha n Ezeket a sorozatokat végtelenbe tartó divergens sorozatoknak nevezzük. Végtelenhez tartó sorozatok esetén kimondható, hogy tetszőleges k számhoz mindig létezik olyan n küszöbszám, amelynél a n > k, ha n > n. Végtelenhez tartó sorozat esetén azt mondjuk, hogy a sorozat tágabb értelemben konvergens. Műveletek konvergens sorozatokkal Konvergens sorozatok alapműveletei TÉTEL. Legyen a n korl. b n. Akkor a n b n. TÉTEL. Ha lim a n A lim b n B, akkor lim a n b n A B; lim a n - b n A - B; lim a n b n AB; a n A lim ; B bn B Következmények lim c c. 6
k k Ha lim a n A, akkor a A. lim 3 lim ; A an lim an A 4 lim c a n c lim a n n Részsorozat konvergenciája Ha a n véges vagy végtelen sok tagját elhagyjuk, akkor a maradék részsorozat. Állítás: konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens és azonos a határértékük. Ha valamely sorozat konvergens és határértéke A, akkor bármely részsorozata is konvergens, és határértéke szintén A. Rendőrelv Ha lim a n lim b n A és valamely n -től kezdve igaz, hogy a n c n b n, akkor c n is konvergens, és lim c n A. Konvergens sorozat gyöke Minden nemnegatív sorozatra igaz, hogy Polinomtörtek p a pn a pn lim q b n b n q q p q... a... b a b p q, ha p q. k lim k a A, ha lima A. n n Ha a számlálóban a legmagasabb hatvány alacsonyabb, mint a nevezőben, akkor a határérték. Ha p>q, akkor a sorozat nem konvergens. Sorozat monotonitása DEFINÍCIÓ. Az a n számsorozat növekedő szigorúan növ., ha a n < a n, nem csökkenő tágabb értelemben növ., ha a n a n, csökkenő szigorúan csökk., ha a n > a n, nem növekedő tágabb értelemben csökk., ha a n a n, ennáll minden n N re. TÉTEL.. Ha a n szigorúan monoton növekedő, és a ha a n korlátos, akkor a n konvergens és határértéke a első határa, azaz lima n sup {a n n N}. b ha nem korlátos, akkor lima n.. Ha a n szigorúan monoton csökkenő, és a korlátos, akkor lima n in {a n n N} b ha nem korlátos, akkor lima n -. 7
Hároméle lehetőség van a monotonitás vizsgálatára:. Behelyettesítve n-t illetve n-t közvetlenül igazoljuk az egyenlőtlenséget.. Azt vizsgáljuk, hogy az n-dik tagból az n-dik tagot kivonva mindig pozitív negatív számot kapunk-e. 3. Az n-dik és az n-dik tag hányadosát vizsgáljuk, hogy minden n értékre nagyobb-e kisebb-e -nél. Valamely monoton sorozat vagy korlátos, vagy /- végtelenhez konvergál. Nevezetes sorozatok határértéke lim q n q > q q < q - divergens, nincs határértéke. n n k k lim ; általános alakban : lim. Az e szám eredete kb,7: n e n-dik gyök határértéke n Minden pozitív a számra igaz: lim a. a> lim n n. Bernoulli egyenlőtlenség: a entiek igazolására az k n használható el, amely tetszőleges n-re és k-ra igaz. n e n*k egyenlőtlenség 3. Függvények. A üggvény deiníciója, értelmezési tartomány, értékkészlet. Injektív, szürjektív, bijektív üggvények. Zérushely, monotonitás, szélsőérték, alak, korlátosság, periodicitás, paritás értelmezése. Inverzüggvény, létezésének eltételei, meghatározási módja. A üggvény vagy más néven parciális leképezés a matematika egy olyan absztrakt ogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, olytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló ogalmak általános leírására szolgál. Egy üggvény értékek egy H halmazának melyet az értelmezési tartományának nevezünk minden egyes eleméhez egyetlen y kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik: 8
y, ahol : y, ahol vagy A üggvény ogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két üggvényt akkor tekintünk egyenlőknek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes eleméhez a két üggvény ugyanazt az értéket rendeli. Szabatos matematikai ogalmazásban, üggvényen általában úgynevezett jobbról egyértelmű hozzárendelést értünk. A üggvény ogalma tehát a reláció más néven: hozzárendelés ogalmának olyan speciális esete; melyben bármely adott dologhoz legeljebb egy dolgot rendelünk hozzá. Ha ezen elül megköveteljük azt is, hogy a üggvény minden ilyen dologhoz legalább egy dolgot hozzárendeljen, azaz ha a reláció bármely adott dologhoz pontosan egy dolgot rendel hozzá, akkor üggvény helyett totális üggvényről illetve parciális leképezés helyett relációról beszélünk. Legyen X és Y tetszőleges nem üres halmazok. Ha az X halmaz minden eleméhez az Y halmaz egy és csak egy elemét rendeljük egyértelmű hozzárendelés, akkor az X halmazon egy üggvényt deiniálunk. Értelmezési tartomány: a kiindulási halmaz X halmaz jele: D Értékkészlet: az Y halmaz azon elemeinek halmaza, melyeket hozzárendeltünk X valamely eleméhez. Jele: R Injektív, szürjektív, bijektív üggvények Injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egyértelmű leképezésnek, vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a üggvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megeleltetéssel, mely a bijektív üggvény. A ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív üggvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve üggvényeket, amelyeknél a leképezés [üggvény] értékkészlete megegyezik a leképezés [üggvény] érkezési halmazával, azaz egy : A B leképezés [üggvény] pontosan akkor ráképezés, ha minden elemnek létezik őse a leképezés [üggvény] mellett. Zérushely Egy üggvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan értéke, melyre. A üggvény graikonjának a zérushelyen közös pontja van az tengellyel. Monotonitás 9
Az R R üggvényt az X D halmazon monoton növekvőnek nevezzük, ha bármely, X, < esetén is teljesül. Az R R üggvényt az X D halmazon monoton csökkenőnek nevezzük, ha bármely, X, < esetén is teljesül. Szigorúan monoton üggvény esetén az egyenlőség nem megengedett. Konstans üggvény esetén dönthetünk, hogy a üggvényünk monoton növekvő vagy csökkenő NEM szigorúan. Lokális- és az abszolút szélső értékhely Legyen tetszőleges üggvény, és H része értelmezési tartományának. Azt mondjuk, hogy a H az -nek H ra nézve szigorú abszolút maimumhelye minimumhelye, ha minden H a esetén <a >a. Ha az egyenlőséget megengedjük, akkor tágabb értelemben vett abszolút maimumhelyről minimumhelyről beszélünk. A maimumhely és minimumhely közös neve szélsőértékhely. Ha mást nem mondunk, H alatt az értelmezési tartományt értjük. Az a D az üggvénynek lokális maimumhelye minimumhelye, ha a-nak van olyan K környezete, hogy -nek az a a K D halmazra nézve abszolút maimumhelye minimumhelye. Függvények alakja A üggvények alakja lehet egyenes, amikor a üggvény elírható ab ormában. Ezt jobban nem magyarázzuk. Pl. A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól ókusz- vagy gyújtópontoktól való távolságának különbsége állandó. A bal oldali képen látható. Pl. ln A parabola azon pontok mértani helye a síkban, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól ókuszpont, vagy gyújtópont és egy ezen a ponton át nem haladó adott egyenestől direktri, vezéregyenes. A jobb oldali képen látható. Pl.
Korlátosság - Az R R üggvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k R, hogy bármely D esetén k. - Az R R üggvényt elülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan k R, hogy bármely D esetén k. Ha az üggvény alulról és elülről is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük. Periodicitás Az y üggvény periodikus, ha létezik egy olyan a> szám, hogy bármely értékre és bármely egész k számra igaz, hogy k*a. Vagyis a üggvényből kiemelhető olyan üggvényérték, amely a szakaszonként ismétlődik. Az a szakaszt a üggvény periódusának nevezzük. Pl. sin, cos, tg, ctg Paritás Az R R üggvényt páros üggvénynek nevezzük, ha minden D esetén - D és - is teljesül. Az R R üggvényt páratlan üggvénynek nevezzük, ha minden D esetén - D és - - is teljesül. Az összetett illetve inverz üggvény Az és g üggvény összetételén azt a og szimbólummal jelölt üggvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya D g minden olyan pontja, ahol g D és ogg. Az a külső és g a belső üggvény. Az inverz üggvény vagy másnéven inverz leképezés alatt olyan üggvényt illetve leképezést értünk, amelyhez létezik egy : X Y üggvény úgy, hogy az - inverz üggvény egy y-hoz azt az egyetlen -et rendeli, melyhez az y-t rendelte, tehát - : Y X, melyre: y. Függvény inverze csak kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések esetén lehetséges, azaz olyan üggvények esetén, amelyek különböző -ekhez különböző y-okat rendelnek, máskülönben nem teljesülne a enti egyértelműségi kitétel. Hasonlóképpen leképezés inverze csak kölcsönösen egyértelmű ráképezések esetén lehetséges, azaz olyan leképezések esetén, amelyek különböző - ekhez különböző y-okat rendelnek és minden amelyeknél minden y elemhez létezik úgy, hogy y. Az inverz meghatározási módja: Legegyszerűbben úgy lehet, ha megvizsgáljuk a üggvényünk értelmezési tartományát. Ahol nincs értelmezve ott az inverz sem lesz, hiszen az inverz
üggvényünk értelmezési tartománya az eredeti üggvényünk értékkészlete. Miután ezt megtettük az eredeti üggvényünkben helyére y-t helyettesítünk, majd kiejezzük y-t. 4. Függvények. Elemi üggvények ábrázolása és jellemzése. Függvény határértéke és olytonossága. Elemi üggvényvizsgálat. Ábrázolja és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett a üggvényt a >, illetve < a <! Az a üggvény jellemzése: a >, illetve < a < esetén Értelmezési tartomány: Értékkészlet:C:\Users\Hkoko\Deskto p\matekszigor\tetelsor\uggveny_et_ ek.html Zérushelye: Szélsőértéke: Menete: Korlátos: Páros vagy páratlan: Periodikus: Folytonos: Inverz üggvénye: R y a R Nincs Nincs a > esetén monoton nő; < a < esetén monoton csökken. Nem Alulról igen Egyik sem Nem Igen A logaritmus üggvény Ha a> pl. : Ha a< pl. -:
Ábrázolja és jellemezze a logaritmus üggvényt! Az log a üggvény jellemzése: a >, illetve < a < esetén Értelmezési tartománya: R Értékkészlete: y log a R Zérus helye: Szélsőértéke: Nincs Menete: a > esetén monoton nő; < a < esetén monoton csökken Korlátos: Nem Páros vagy páratlan: Egyik sem Periódikus: Nem Folytonos: Inverze: Igen Az eponenciális üggvény Ha a> pl. : Ha <a< pl. /: Ábrázolja és jellemezze a sinus és cosinus üggvényeket! Az cos üggvény jellemzése: Értelmezési tartománya: R Érték készlete: y cos R y [-;] Zérushelye: π / kπ ; k Z Szélsőértéke: Maimum: y ; k π ; k Z 3
Minimum: y -; π kπ ; k Z Menete: Monoton nő, ha π k π π k π ; k Z Monoton csökken, ha k π π k π ; k Z Korlátos: Igen. - cos Páros vagy páratlan: Páros, cos- cos Periódikus: Igen. A periódus hossza: p π Folytonos: Igen Inverze Nincs Az sin üggvény jellemzése: Értelmezési tartomány: R Érték készlet: y sin R y [-;] Zérushelye: kπ ; k Z Szélsőértéke: Maimum: y ; π / kπ ; k Z Minimum: y -; 3π / kπ ; k Z Menete: Monoton nő, ha -π / kπ π / k π ; k Z Monoton csökken, ha π / k π 3π / k π; k Z Korlátos: Igen. - sin Páros vagy páratlan: Páratlan, sin- -sin Periódikus: Igen. A periódus hossza: p π Folytonos: Igen Inverz üggvénye: Nincs 4
A határérték vizsgálata olyamán azt vizsgáljuk, hogyan viselkedik a üggvény az értelmezési tartomány egy bizonyos pontján, illetve akkor, ha a üggetlen változó a végtelenhez tart. Válasszuk az értéket a-hoz tetszőleges közel az értelmezési tartományban. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan viselkedik az üggvény ezen értékekre. Előordulhat, hogy az ilyen -ekre amelyek tehát az a helyhez tetszőlegesen közel lettek választva az értékek egy jól meghatározott A szám közelébe esnek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az üggvénynek az a helyen létezik határértéke és az A-val egyenlő. Határérték a végesben Heine-éle deiníció Akkor mondjuk, hogy üggvénynek a helyen A határértéke, ha:. az üggvény a bármilyen környezetében értelmezett, de nem szükséges, hogy a üggvény a-ban is értelmezett legyen;. a-hoz tartó bármely n konvergens sorozat esetén a üggvényértékek A-hoz konvergálnak. Cauchy-éle deiníció Akkor mondjuk, hogy üggvénynek a helyen A határértéke, ha bármely pozitív ε-hoz megadható olyan pozitív δ szám, amelynél ha benne van a-nak δ sugarú környezetében de azzal nem egyenlő, akkor:. értelmezve van helyen;. benne van A szám ε sugarú környezetében. Egyoldali határérték Akkor mondjuk, hogy üggvénynek a helyen A bal oldali határértéke, ha:. értelmezve van a bal oldali környezetében B környezet; 5
. bármely B-beli, a-hoz konvergáló sorozat esetén a üggvényérték A-hoz konvergál. A jobb oldali határérték hasonlóképpen deiniálható. Amennyiben a bal és a jobb oldali határértékek egy adott pontban léteznek és egyenlőek, akkor a üggvénynek az adott ponton van határértéke, és az egyenlő a közös bal és jobb oldali határértékekkel. Ha a bal és jobb oldali határértékek nem egyeznek meg, akkor a üggvénynek az adott ponton nincs határértéke. Ilyen pl. az Y SGN üggvény is. Határérték a végtelenben Ha [k, intervallumban értelmezett üggvény értéke bármely, k-ból -hez tartó n sorozat esetén konvergál A-hoz, akkor a üggvény végtelenben vett határértéke A. Vagyis nagyon nagy értékekre az üggvényértékek egy jól meghatározott A számérték közelébe kerülnek. Ez az értelmezés mind pozitív, mind negatív végtelen határértékre igaz. Műveletek határértékekkel Ha és g üggvényeknek az a pontban létezik határértéke, akkor ezen üggvények összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának is létezik határértéke, az alábbiak szerint: lim a g lim a lim a g lim a -g lim a - lim a g lim a *g lim a * lim a g lim a / g lim a / lim a g Hányadosok esetén van két megszorítás:. lim a g <> illetve g <> ;. ha a hányados " / " vagy " / " típusú határértéket adna, akkor a törtet addig kell rendezni, míg véges értéket nem kapunk. Függvények olytonossága Valamely üggvény a pontban akkor olytonos, ha:. értelmezve van a pontban,. létezik véges határértéke a pontban, 3. a pontban vett határértéke megegyezik az a-beli üggvényértékkel. 6
Nyilvánvalóan nem sok értelme van a olytonosság végtelenben való vizsgálatának. Ha üggvény a pontban olytonos, akkor azt mondjuk, hogy a pont az üggvény olytonossági helye. Ha üggvény olytonos a pont valamely környezetében, de magában a-ban nem, akkor a pont a üggvény szakadási helye. pl: Signum v. SinX/X Fontosabb üggvénytípusok Racionális egész üggvények Polinomüggvények. Ha nem tartalmaznak n-nél nagyobb kitevőt, akkor n-edokú polinomüggvényeknek nevezzük őket. Az értelmezési tartomány minden pontján olytonosak. Racionális törtüggvények: két polinomüggvény hányadosa. Irracionális üggvények: olyan üggvények, melyekben a gyökvonás művelete is szerepel. Inverz üggvények: üggvény inverze az a - üggvény, melynél - Egy üggvény akkor és csak akkor invertálható egy adott tartományban, ha abban a tartományban szigorúan monoton. Ekkor inverze is szigorúan monoton, és monotonitásának iránya megegyezik az eredeti üggvénnyel. Graikusan az invertálást úgy végezhetjük el, hogy az eredeti üggvényt tükrözzük az y egyenesre derékszögű koordinátarendszerben. Elemi üggvényvizsgálat pontjai 7
Függvényvizsgálat Az elemi üggvények tulajdonságait elhasználva elemi úton vizsgálhatók azok a üggvények, amelyek valamely alapüggvény transzormációjaként előállíthatók. Például: páros*páros vpáros v. páratlan*páratlan vpáros v. A tulajdonságok nagyrészét említettem az előző tételben, arra nem térnék vissza. Dierenciálszámítás segítségével vizsgálható üggvénytulajdonságok: Monotonitás Ha az üggvény a; b intervallumon dierenciálható, és ezen az intervallumon a deriváltüggvénye pozitív negatív, akkor a; b-n szigorúan monoton növekvő csökkenő. Konveség, konkávság Ha az üggvény a; b intervallumon kétszer dierenciálható, és második deriváltüggvénye ezen az intervallumon pozitív negatív, akkor a a; b-n konve konkáv. Szélsőérték Ha az üggvény a; b intervallumon dierenciálható, és az intervallum egy pontjában szélsőértéke van, akkor igaz, hogy Ez a eltétel, szükséges, de nem elégséges. Ha az üggvény a; b intervallumon dierenciálható és az intervallum egy pontjában a deriváltja, és ebben a pontban a derivált előjelet vált, akkor pontban a üggvénynek helyi szélsőértéke van. Tétel: n n pozitív természetes szám üggvény minden valós helyen deriválható, és A bizonyítást teljes indukcióval végezzük: n esetén igaz az állítás: Tegyük el, hogy n-re igaz az állítás, és mutassuk meg, hogy n-re is igaz. Az indukciós eltétel: Mivel n n, használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt: 8
n-ről n-re bizonyítottuk a ormula helyességét, tehát minden pozitív természetes kitevőre is igaz. 5. Dierenciálszámítás. A dierencia- és dierenciálhányados deiníciója, geometriai jelentése. Dierenciálási szabályok. Elemi üggvények dierenciálhányadosai. A dierenciál ogalma. A dierenciahányados a üggvénygörbe egy szelőjének meredekségét adja meg. Ha a dierenciahányadosnak az a helyen létezik véges határértéke, akkor ezt a határértéket nevezzük az üggvény a helyhez tartozó dierenciálhányadosának. A dierenciálhányados a görbe érintőjének meredekségét adja. Dierencia: Az -a különbséget hívjuk dierenciának. Dierenciál: Egy üggvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a üggetlen változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. A üggetlen változó dierenciáljának az a különbséget nevezik. 9
Ha egy üggvény értelmezési tartomány valamely részhalmazának minden pontjában dierenciálható, akkor azt mondjuk, hogy a üggvény dierenciálható ezen a halmazon, és az intervallum pontjaihoz rendelt dierenciálhányadosokat az üggvény dierenciálhányados üggvényének, röviden deriváltjának nevezzük. Függvénygörbe adott pontjának érintője egyenletének meghatározása: P ; y y y m - y 4, P ; me m 4 az egyenlet : y 4 vagyis y 4 8 Dierenciálási szabályok, elemi üggvények deriváltjai 3 Deriválási szabályok
A dierenciálhányados deiníciója alapján adjuk meg a következő üggvények deriváltját: a : R R c g c c A g üggvény tart a -hoz a konstansüggvény deriváltja,. b : R R g A g üggvény tart az -hez a üggvény deriváltja,. c : R R g Tudjuk, hogy, így A g üggvény tart -hoz ;. d : R R Ha > : g Ha < < g Az helyen a g dierenciahányados-üggvénynek nincs határértéke mivel a jobb- és baloldali derivált és, nem egyenlőek, így ott a üggvény nem is deriválható. ezt lejjebb igazoljuk 4. oldal
3. Összeg, szorzat és hányados deriváltja Az és -ban dierenciálható üggvények. Adjuk meg az üggvény -beli deriváltját! g [ ] [ ] Különbség deriváltja: g [ ] Adjuk meg az üggvény -beli deriváltját! g [ ] [ ] Sejtés: n n n- Teljes indukciós bizonyítás: n -re igaz: eltételezzük, hogy n k-ra igaz: k k k- és megvizsgáljuk, hogy n k -re igaz-e: k k k k k k- k k k k k k Szorzás konstanssal: c c c c Adjuk meg az üggvény -beli deriváltját a szorzat deriváltjának elhasználásával! Szorzat deriváltja:
3 4 Szinusz- és koszinuszüggvény Írjuk el az sin üggvény -hoz tartozó különbségihányados-üggvényét! g cos sin sin cos sin sin ld. gvtábla Mivel sin cos Írjuk el az cos üggvény -hoz tartozó különbségihányados-üggvényét! g sin sin sin sin cos cos sin cos sin 5 Összetett üggvény deriváltja sin Ez a üggvény leírható két, egymásba ágyazott üggvényként: sin A üggvény deriváltja: sin cos ezt az összeüggést nem bizonyítjuk. ] [ 6 Eponenciális üggvény deriváltja -hez biz.: utolsó o. cos -hoz, mivel cos -hoz -hez biz.: utolsó o.
n Az a n sorozat monoton növekvő és korlátos, vagyis konvergens is, határértéke n e,78, ami a természetes logaritmus alapja. biz.: utolsó oldal lim n e n n biz.: utolsó oldal Írjuk el az e üggvény -hoz tartozó különbségihányados-üggvényét! e e e e e g e e e e pl. e ln e ln ln mivel összetett üggvényként deriváljuk 7 Logaritmus deriváltja Írjuk el az ln üggvény -hoz tartozó különbségihányados-üggvényét! g ln ln ln ln ln e e ln ln ln ln ln e ln ln ln e e ln ln ln lg ln mivel / ln konstans ln ln ln ln 4
Hányados deriváltja: 5