KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tárgyakból legalább elégséges vizsgajegye va. A szigorlat írásbeli és szóbeli részből áll. A szigorlato megkövetelt elméleti ayagot 29 tételből álló jegyzékbe foglaltuk össze. A szigorlat írásbeli része csak gyakorlati feladatok megoldását követeli meg. Az írásbeli megoldadó feladatok száma és az azokra kapható potszámok meyisége változhat, azokat mide írásbeli sorá külö közöljük. Egy kb. 100 feladatból álló feladat sort bocsátuk a hallgatók redelkezésére, melyekből mide egyes szigorlati írásbeli sorá legalább két feladat fog szerepeli (esetleg a beük szereplő adatok apróbb módosításával). Az írásbeli dolgozatot 40%-ál alacsoyabb szite teljesítő hallgatók elégtele, míg a 40-54%-ra teljesítő hallgatók elégséges osztályzatot kapak. Az írásbeli dolgozatot legalább 55%-ra teljesítő hallgatók számára közepes, legalább 70%-ra teljesítő hallgatók számára jó osztályzatot ajáluk meg, amelyet azoba a szigorlat szóbeli részé módosítai lehet. Jeles osztályzat a legalább 85%-ot teljesítő hallgatóak adható. (Kivételese 50%-os írásbeli eseté is megegedett a szóbeli, eek feltétele, hogy a szigorlat által felölelt égy tatárgyból legalább háromba legye jó vagy jeles osztályzata a hallgatóak.) A szigorlat szóbeli részé a 29-es tételjegyzékből egyetle tételt kell kötetle előadásba ismerteti. A szóbeli vizsgát is tevő hallgatók szigorlati jegyébe az írásbeli és szóbeli eredméyét is beleszámítjuk, így a végső eredméy elégségestől jelesig bármi lehet. Egyebekbe a taulmáyi és vizsgaszabályzat redelkezései érvéyesek. A szigorlati mitafeladatok a következők: Példatár I-II. kötet: 132, 159, 162, 172, 895, 898, 900, 903, 914, 920, 936, 938, 944, 946, 1006, 1158, 1171, 1177, 1182, 1199, 1200, 1203, 1208, 1210, 1215, 1235, 1344, 1353, 1367, 1384, 1458, 1465, 1486. Példatár III. kötet: 240, 290, 297, 303, 318, 325, 327, 373, 376. Példatár IV. kötet: 3, 10, 31, 38, 51, 55, 86, 114. Példatár V. kötet: 13, 18, 45, 85, 87, 109, 116, 121, 132, 165, 167, 174, 178, 222, 224, 227. Valószíűségelmélet és matematikai statisztika példatár: 24, 33, VI, 53, 57, 73, 81, 84, 85, 100, 109, 110. Operációkutatás: kétfázisú szimplex módszer, duál szimplex módszer, hozzáredelési feladat, szállítási feladat, hátizsák feladat, kétszemélyes zéróösszegű játékok.
Módszertai szigorlat tételei 2014. tavaszi félév [1] Komplex számok algebrája. Poliomok. (A komplex számok értelmezése, ábrázolása (Gauss-sík). Algebrai-, trigoometrikus- és expoeciális alak. Műveletek algebrai-, illetve trigoometrikus alakba megadott komplex számokkal. Gyökvoás. Poliomok gyökei. Az algebra alaptétele. Gyöktéyezős alak. Valós együtthatós poliom gyökei.) [2] A determiás fogalma. Determiásokra voatkozó tételek. [3] Mátrixok algebrája. (Műveletek (traszpoálás, összeg, számszoros, szorzat) értelmezése, műveleti tulajdoságok.) Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai. (A sajátérték ill. a sajátvektor defiíciója és meghatározása). [4] Lieáris egyeletredszerek elmélete. A megoldhatóság vizsgálata. (Lieáris egyeletredszer általáos alakja. Az m= speciális esetre voatkozó állítás. Az általáos eset vizsgálata: a Gaussféle kiküszöbölési eljárás; a megoldhatóságra és a megoldás előállítására voatkozó tétel. A megoldáshalmaz szerkezete: homogé, ihomogé egyelet.) [5] Valós számok. (A valós számok struktúrája: A valós számok egy axiómaredszere (testaxiómák, redezési axiómák, teljességi axióma); a bizoyos részhalmazai (,, Θ, Θ * ); a teljességi axióma következméyei (szuprémum elv, az archimédeszi- és a Cator-tulajdoság, gyökvoás). Kapcsolat Θ és között. A valós számok kibővített halmaza.) Számsorozatok. (A valós sorozat fogalma. Elemi tulajdoságok: korlátosság, mootoitás, idexsorozat, részsorozat. Mide valós sorozatak va koverges részsorozata. Koverges sorozat és sorozat határértékéek a fogalma. Ekvivales átfogalmazás. A határérték egyértelmű. Diverges, + -hez és -hez divergáló sorozat értelmezése. (Példák.) A kovergecia kapcsolata a korlátossággal, illetve részsorozatok kovergeciájával. Műveletek koverges sorozatokkal. A közrefogási elv. Mooto és korlátos sorozat kovergeciája. A Bolzao Weierstrass-féle kiválasztási tétel. A kovergecia egy szükséges és elégséges feltétele: a Cauchy-féle kovergecia kritérium. Nevezetes sorozatok (a geometriai sorozat; 1 k 1 ; ( a ) +, ahol a>0; ( ) ;, ahol a k, a>1; a!, ahol a Θ;! határértéke.) [6] Egyváltozós függvéyek lokális tulajdoságai: határérték, folytoosság. Korlátos és zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai. (Számhalmaz torlódási potjáak fogalma és jellemzése. (Példák.) Függvéy határértékéek egységes értelmezése. Speciális esetek. Egyoldali határértékek értelmezése és kapcsolata a határértékkel. Határértékek meghatározásához haszálható tételek: egyértelműség, átviteli elv, műveletek, közrefogási elv. Nevezetes határértékek: hatváyfüggvéyek, poliomok, racioális törtfüggvéyek, trigoometrikus si x függvéyek, lim. Potbeli folytoosság értelmezése. A folytoosságra voatkozó átviteli x 0 x elv. Szakadási helyek. Műveletek folytoos függvéyekkel. Halmazo vett folytoosság értelmezése. Kompakt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai: a Weierstrass és a Bolzao-tétel.) [7] Egyváltozós függvéyek differeciálhatósága. Műveletek differeciálható függvéyek körébe. Középérték-tételek. Beroulli-L Hospital-szabály. (Számhalmaz belső potjáak értelmezése. A potbeli derivált fogalma, szemléletes és fizikai jeletése. A deriválhatóság egy
ekvivales átfogalmazása: lieáris közelítés. Az éritő értelmezése. Az egyoldali derivált fogalma, kapcsolata a deriválhatósággal. Kapcsolat a folytoosság és a deriválhatóság között. Műveletek és a deriválhatóság: számszoros, összeg, szorzat, háyados, összetett függvéy, iverz függvéy. Középérték-tételek: Rolle, Lagrage, Cauchy. L Hospital-szabályok.) [8] Egyváltozós függvéyek Taylor-poliomja, Taylor-formula a Lagrage-maradéktaggal, Taylor-sor. [9] Többváltozós függvéyek: határérték, folytoosság, deriválhatóság. (Szemléltetés. Határérték, folytoosság. Kompakt (korlátos és zárt) halmazo foytoos függvéyek tulajdoságai. Parciális deriváltak. Iráymeti derivált, totális derivált. Lácszabály. Pozitív homogé függvéyek, Euler tétele. éritősík.) [10] A függvéyvizsgálat feladata és módszerei. (Lokális övekedés, csökkeés, szélsőérték fogalma, és kapcsolata a potbeli deriválttal. Mootoitás, szigorú mootoitás feltételei itervallumo. Lokális szélsőértékekre voatkozó tételek: elsőredű szükséges feltétel; elsőredű elégséges feltétel; másodredű elégséges feltétel; magasabbredű elégséges feltétel. Kovexitás, kokávitás fogalma és feltételei itervallumo. Iflexiós pot. Aszimptoták értelmezése és meghatározása.) [11] Függvéy szélsőértékéek fogalma, a szélsőérték meghatározására szolgáló módszerek. (Lokális és globális szélsőértékek (elsőredű szükséges feltétel, másodredű elégséges feltétel). Feltételes szélsőérték (szükséges feltétel, elégséges feltétel).) [12] Lieáris tér, bázis. (A lieáris tér defiíciója, legfotosabb példák. Lieáris függőség és függetleség. Véges dimeziós és végtele dimeziós terek, bázis. Az euklideszi tér defiíciója, legfotosabb példák. Vektorok hossza (ormája), alapvető tulajdoságai (Cauchy Buyakovszkij-féle egyelőtleség). Vektorok szöge, ortogoalitás. A skaláris szorzat, illetve a orma adott bázisba, illetve ortoormált bázisba. Bázistraszformáció, ortogoális bázistraszformáció (ortogoális mátrixok).) [13] A Riema-féle itegrálfogalom értelmezése. Feltételek Riema-itegrálhatóságra. A Riema-itegrál tulajdoságai. (Korlátos és zárt itervallumo értelmezett korlátos függvéy Riema-itegrálhatóságáak értelmezése (itervallum felosztása; alsó, illetve felső közelítő összegek; Darboux-féle alsó-, illetve felső itegrál). Példa em itegrálható függvéyre. Műveletek itegrálható függvéyekkel (számszoros, összeg, szorzat, háyados). Az itegrál itervallum szeriti additivitása. Folytoos, illetve mooto függvéy itegrálható. Egyelőtleségek. Középérték-tételek.) [14] Egyváltozós függvéyek primitív függvéyéek meghatározására szolgáló módszerek. (A Newto Leibiz-tétel. Az itegrálfüggvéy fogalma és tulajdoságai. Parciális itegrálás, itegrálás helyettesítéssel.) [15] Többváltozós függvéyek itegrálása ormál tartomáyoko. Itegráltraszformáció. (A határozott itegrál értelmezése. Az itegrál kiszámítása téglalapoko (téglatesteke), illetve ormáltartomáyoko. Kettős itegrálok traszformációja. Az általáos tétel. Speciális eset: polártraszformáció. Az + e x 2 dx meghatározása. [16] Az itegrálszámítás geometriai alkalmazásai. (A határozott itegrál alkalmazásai (terület, ívhossz, forgástest térfogata, felszíe).) [17] Improprius itegrál.
[18] Numerikus sorok. (Végtele számsor fogalma, kovergeciája, összege. Sorokra voatkozó Cauchy-féle kritérium. A kovergecia egy szükséges feltétele. Műveletek koverges sorokkal. Pozitív tagú sorok értelmezése, és a kovergeciájukra voatkozó tételek: a részletösszegek sorozatáak korlátossága, az összehasolító kritérium, a Cauchy-féle gyökkritérium, a d Alembert-féle háyados kritérium. Leibiz-típusú sor fogalma és kovergeciája. Abszolút- és feltételese koverges sorok fogalma és a koverges sorokkal való kapcsolata. Tizedes törtek. 1 1 1 1 ( 1) Nevezetes sorok: geometriai,.) 2 = 1 = 1 = 1 = 0! = 1 [19] Differeciálegyeletek. (A differeciálegyelet fogalma. Osztályozás. Az elsőredű explicit differeciálegyelet általáos alakja. általáos megoldás. Kezdetiérték-probléma. Szétválasztható változójú egyeletek (az általáos megoldás és kezdetiértékprobléma megoldásáak az előállítása). Elsőredű lieáris egyeletek (az általáos megoldás és kezdetiérték-probléma megoldásáak az előállítása). Olya hiáyos másodredű differeciálegyeletek, amelyekbe maga az ismeretle függvéy em szerepel (az általáos megoldás és kezdetiérték-probléma megoldásáak az előállítása). álladó együtthatós másodredű homogé lieáris differeciálegyeletek megoldása. ) [20] Valószíűség, feltételes valószíűség. (Kombiatorikai alapfogalmak. Eseméyalgebrai alapfogalmak. A valószíűség axiómái. A valószíűség számítás klasszikus képlete. Visszatevés élküli és visszatevéses mitavétel. Valószíűségek meghatározása geometriai módszerekkel. Elletett eseméy valószíűsége. Két eseméy külöbségéek valószíűsége. Tetszőleges eseméyek összegéek a valószíűsége. Poicaré tétele. A feltételes valószíűség defiíciója. Szorzási szabály. Teljes valószíűség tétele. Bayes-tétel. Eseméyek függetlesége, és teljese függetlesége.) [21] Valószíűségi változók és jellemzőik. (Eloszlásfüggvéy, sűrűségfüggvéy, várható érték, szórás. Traszformált valószíűségi változó eloszlása. Lieárisa traszformált valószíűségi változó várható értéke, szórása. Biomiális eloszlás, hipergeometrikus eloszlás, Poisso eloszlás, egyeletes eloszlás, expoeciális eloszlás, ormális eloszlás és ezek jellemzői. A ormális eloszlásból származtatott eloszlások.) [22] Több valószíűségi változó együttes eloszlása. (Diszkrét együttes valószíűség eloszlás leírása. Folytoos együttes valószíűség eloszlás eloszlás- és sűrűségfüggvéye. Peremeloszlás és feltételes eloszlás fogalma és jellemzői. Valószíűségi változók függetlesége. Kovariacia és korrelációs együttható és azok tulajdoságai. Függetle valószíűségi változók összegéek, szorzatáak és háyadosáak az eloszlása. Valószíűségi változók összegéek várható értéke, szórása. Szorzat várható értéke. Feltételes várható érték. Regresszió.) [23] Csebisev-egyelőtleség. Nagy számok törvéyei. (A Csebisev-egyelőtleség és a agy számok törvéyeiek külöböző alakjai. Határeloszlás tételek.) [24] A kétfázisú szimplex módszer. (A lieáris programozás feladata. Stadard alakra traszformálás. A megegedett bázismegoldás fogalma. A bázist elhagyó vektor kiválasztási szabálya. A lexikografikus kiválasztási szabály. A szimplex tábla traszformáció képletei. Az első fázis feladata és a megoldására lehetséges kimeetelek.) [25] A módosított szimplex módszer. (Az explicit bázis iverz módszer iterációs lépései. A módosított szimplex módszer árazó vektora és aak számítási módja. A BTRAN és FTRAN traszformációk jeletése és végrehajtásuk módja.)
[26] A duál szimplex módszer. (A közöséges és a duál szimplex módszer léyege. A duál szimplex módszer kiválasztási szabálya és traszformációs képletei.) [27] A szállítási feladat és megoldó algoritmusa. A szállítási feladat, mit lieáris programozási feladat. A szállítási feladat egy megoldó algoritmusa. A szállítási feladat duálisa. [28] A hozzáredelési feladat és megoldó algoritmusa. (A hozzáredelési feladat. A Kőig- Egerváry tétel. A hozzáredelési feladat megoldása magyar módszerrel.) [29] A lieáris programozás dualitás-elmélete. A lieáris programozási feladat primál alakja. A primál feladat duális párja. A dualitás tétel. Az általáosított duál megfeleltetés szabályai. A dualitás tétel alkalmazása a kétszemélyes, zéróösszegű játékok elméletébe. Budapest, 2014. február 7. Dr. Szátai Tamás egyetemi taár