Útvoala száma, reurzív számlálással Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Napjaiba is gyara találozhatu olya feladatoal, ahol azt ell megszámolu, hogy adott potból, vagy potoból iidulva, adott feltétele mellett háyféleéppe juthatu el egy mási potba, vagy potoba. Eze feladattípuso egy mási változata az, amior azt ell megszámlálu, hogy adott feltétele mellett, háyszor olvasható i egy szó, egy adott betűelredezésből. Természetese, eze feladattípuso a ombiatoria tárgyörébe tartoza, de a továbbiaba éppe arra aaru rávilágítai, hogy az említett feladattípuso hogya oldható meg az elemi és a gimáziumi osztályoba is, továbbá rávilágítu a feladatoa a ombiatoriai hátterére is. Így mide bizoyal soal érdeeltőbbe és vozóbba végezhetjü a ombiatoria taítását, aár már isebb osztályoso eseté is. 1. példa A melléelt ábrá egy úthálózat látható. Jacsi, az A potba levő A laásától idulva, a B potba levő isolába a lehető legrövidebb úto aar eljuti. Háyféleéppe teheti ezt meg? Megoldás: Reméytele lee az összes uta bejárása, hisze mit láti fogju, ez em is evés. Aélül ellee megállapítau ezt, hogy e ellje egyeét megszámoli a lehetőségeet. 1.a ábra B Először is vegyü észre, hogy az A potból a B potba vezető legrövidebb uta éppe azo amelye éppe 6 vízszites és 4 függőleges rácsszaaszból álló töröttvoala, amelyee ezdőpotja A, végpotja pedig B. A feladat érdését úgy is átfogalmazhatju, hogy háyféleéppe juthatu az A potból a B-be, ha csa jobbra vagy lefele haladhatu az úthálózato. A melléelt (1. b) ábrá az egyes rácspotora írt számo azt mutatjá, hogy az illető rácspotra ( a jobbra vagy lefelé feltétellel) háy út visz. Az első sor, illetve első oszlop rácspotjaira 1-et ell íru. Mide mási rácspotra, a özvetleül felette vagy előtte levő rácspotoról juthatu, ezért ide az előtte és felette levő ét szám összege erül. Így aptu az 1.b ábrá látható számoat, miszerit iderül, hogy Jacsi éppe 210-féle legrövidebb úto juthat el a laásától az isolába. 2. példa A Ugyaaz a érdés, mit az előbbi példáál csupá azzal a változtatással, hogy Jacsi bármelyi útvoalat is választja, midegyi esetbe át ell meie az XY- al jelölt hído, ebbe a sorredbe. Megoldás: Az XY rácsszaaszo áthaladó uta számát a övetezőépe határozzu meg: Az 1. b ábra szerit az A-ból az X-be éppe 5 út vezet. Az X és Y özött csa 1 út vezet, továbbá az Y-ból 1.b ábra a B-be éppe 6 út vezet (ézzü meg az 1.b ábra első 3 sorából és 2.a ábra B első 3 oszlopából álló téglalap jobb alsó saráál levő 6-ost). Tehát az A-ból az XY szaaszo eresztül a B-be potosa 6 5=30 legrövidebb út vezet. 3. példa A melléelt 3.a ábrá egy téglalap alaú földparcella látható. Ee A mezőjéből egy atoa lőszert ell szállítso a B mezőbe, a lehető legrövidebb úto. Lépie csa a szomszédos mezőre lehet jobbra vagy lefelé, azoba a -val jelölt mezőet aláaáztá. Háyféle épe juthat el a atoa legrövidebb úto az A mezőből a B mezőbe aélül, hogy aára lépe? A X 3.a ábra Y B
Megoldás: Szité az előző példá helyzetébe vagyu azzal a ülöbséggel, hogy ezúttal az ottai rácspotoa most a mező ( a iségyzete), az élee való lépése most a mezőről mezőre való lépés felel meg. Aárcsa az 1. példa eseté is, most is megjelöljü, hogy ha csa jobbra vagy lefele lépü egyi mezőről egy szomszédos mezőbe, háy út is vezet oda. Eze számát a melléelt 3.b ábrá láthatju a megfelelő mezőbe beírva. Eze szerit a atoa potosa 10+7=17 legrövidebb úto juthat el az A potból a B potba. 3.b ábra 4. példa Az alábbi három satáblá redre egy bástya (B), egy irály (K) illetve egy futó (F) aar eljuti az X- el jelölt mezőbe. B K F A 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 4 4 3 3 7 0 3 7 7 0 3 3 10 B X X X 4.1.a ábra 4.2.a ábra 4.3.a ábra Mide esetbe az illető bábú lépési szabálya szerit úgy ell ee lépie, hogy mide lépése özelebb vigye a célhoz. Háyféle épe juthata el az egyes bábú a célhoz? Megoldás: Az előző példa mitájára ezúttal is, az egyes mezőbe írt számo azt mutatjá, hogy odáig háy út visz. B 1 K F 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 1 1 2 1 1 4 1 3 6 7 6 3 1 1 3 3 1 1 5 10 16 19 16 10 4 1 4 6 4 1 1 6 45 51 45 30 15 10 10 5 1 7 141 126 90 25 15 1 8 357 35 4.1.b ábra 4.2.b ábra 4.3.b. ábra A 4.1.b- 4.3.b ábrá alapjá a bástya 8, a irály 357, a futó 25-féle épe érhet a célba. 5. példa Háyféle épe olvasható i a MATLAP szó az alábbi esete midegyiébe, ha mide esetbe az illető ábrá látható M betű()-ből ell iiduli, és a látható P betű()-be ell érezi. Lépi csa özvetle szomszédos mezőre lehet jobbra vagy lefele, az 5.6.a ábra eseté balra is léphetü, az 5.7.a ábra eseté pedig fölfelé is (amior lehetséges). M A T L M A T M A T M A T L A A T L A T L A P M A T L A P T L A P T L A A P T L A P L A P P 5.1.a ábra 5.2.a ábra 5.3.a ábra 5.4.a ábra
5.5.a ábra 5.6.a ábra 5.7.a ábra Megoldás: Mielőtt megoldaá a feladatoat vegyü észre, hogy azo ívül, hogy a betű ülöböző alazatoba vaa írva, az egyes esete özött az a léyeges ülöbség, hogy eseteét: egy M betűből egy P betűbe érezü; egy M betűből több P betűhöz érezü; több M betűből idulva több P betűhöz érezü vagy több M betűből idulva egy P betűhöz érezü. Az egyes mezőbe írt számoat az előző példá mitájára apju: M 1 1 1 M 1 1 M 1 1 M 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 3 3 M 2 2 2 2 2 1 3 6 10 1 3 6 3 6 2 4 6 8 1 4 10 3 5.1.b ábra 5.2.b ábra 5.3.b ábra 5.4.b ábra 5.5.b ábra 5.6.b ábra 5.7.b ábra Tehát a MATLAP szó, az egyes esetebe, 10, 10, 3+6+3=12, 8+2=10, 1+5+10+10+5+1=32, 63, 31+16+31+16=94 (lásd az 5.6.b ábra alsó ét soráa özepét) módo olvasható i. 6. példa Ugyaaz a érdés mit az előző példa mid a 7 feladata eseté csa ezúttal, mide lépésél iráyt ell változtati! Megoldás: Az 5.1, 5.2 és 5.3 feladato eseté midhárom esetbe éppe 1-szer olvasható i. Az 5.4 eseté egyszer sem olvasható i, az 5.5 feladat eseté 2-szer, az 5.6 feladat eseté szité 2-szer (a 4. sor egy-egy M betűjéből idulva), az 5.7 feladat eseté pedig 4-szer olvasható i (a 4. és 8. sor ét-ét M betűjéből idulva). 7. példa Háyféle épe olvasható i a övetező elredezésebe a FELADAT szó, ha csa lefelé, és rézsút balra, illetve rézsút jobbra haladhatu? 7.1.a ábra 7.2.a ábra 7.3.a ábra Megoldás: Az előzőebe alalmazott számozási módszert alalmazzu figyelembe véve, hogy most három iráyba léphetü. Azoat a mezőet, amelyere em lépü (tehát fölöslegese), besötétítettü, az érezési mezőet aár csa eddig is- eyhé áryéoltu.
7.1.b ábra 7.2.b ábra 7.3.b ábra Tehát a FELADAT szó az egyes esetebe 1+6+15+20+15+6+1=64, 20 illetve 121 módo olvasható i. Érdemes megjegyezi, hogy az érdelődő Olvasó öye alothat a dolgozatba bemutatottahoz hasoló feladatoat, ha választ valamilye szót, alazatot amibe a betűet elhelyezi, és lépési szabályt, esetleg egyéb iötéseet. Végezetül álljo itt egy, az előbbiehez hasoló, de mégis ülöös feladat: 8. példa Az alábbi módo helyeztü el a FŐISKOLA féyrelámját: Háyféle épe villahat fel a FŐISKOLA 8 betűje, ha mide betű étféle szíbe villahat fel és a legfelső betűből iidulva midig a ivilágosodó betű alatti sorba levő, a hozzá legözelebbi ét betű özül az egyi villa fel? A feladat megoldását (és a 2 7 2 8 eredméyt) a [7]-be is megtalálhatju (215. oldal). A bemutatott témaör iráti érdelődő Olvasó az [1]-[8] öyvebe még további feladatoat talál. A feladato ombiatoriai háttere Soual megeshetett, hogy a [8]-ba, az-az a régi X. osztályos algebra taöyv 59. oldalá, a faultatív részét megjelölt A C számo mértai értelmezése rész fölött esetleg öye átsilottu. Ez azért lee sajálatos, mert az 1. példa megoldása éppe a 6 6 C4+ 6 = C10 = 210mértai alalmazása. Ha ebbe a példába a vízsztites soro (em a voala!) számát (-)-a, a függőleges oszlopo (em a voala!) számát -a vesszü, aor az A-ból a B-be vezető legrövidebb uta száma éppe C( ) + = C. Ameyibe a soro és oszlopo számát fölcseréljü, aor a C + ( ) = C alapjá szimmetria miatt, mér- tai úto is belátható a C = C úgyevezett iegészítő ombiációs éplet.ezt jobba megértjü (vagy éppe ezért is em ell csodálozu), hogy ha megfigyeljü az 5. példa 5.1.a és 5.2.a feladatait, ahol az eredméy midét esetbe 10. Érdemes azt is észreveü, hogy az 1. példa (és így az 5.1.a és 5.2.a példa is) megoldható az úgyevezett ismétléses permutációval. Az 1. példa eseté mide legrövidebb út eresése eseté egy iolvasáshoz 4 lépést lefelé, 6 lépést jobbra ell teü. A lehetősége 4,6 10! számát lllljjjjjj betű permutációi adjá, ami épletese: P 4 + 6 = = 210 a már ismert 4! 6! eredméy. (Ismeretes, hogy!=1 2 3, és 0!=1). Ezáltal azt is feleleveíthettü, hogy, C = P is igaz. Az előbbie alapjá tehát az 5.1.a és 5.2.a eseté a megoldáso száma éppe
3,2 2,3 5! P5 = P5 = = 10. Fotosa tartju ihagsúlyozi, hogy ez utóbbi ét esetbe, az 1. 3! 2! példával elletétbe, itt a rácspoto a iséyzete özéppotjaia felele meg. A iolvasadó MATLAP szó ugya 6 betűből áll, de mivel eze a rácspoto, így a özöttü levő egyeéti egymás utái távolságo összege csa 5. Az 5.1.a feladat eseté jobbra 3 betűöz va, míg lefele 2 betűöz. Az 5.2.a feladat eseté fordítva. Ezért alalmaztu az ismétléses permutációt, a már leírt számora. A 3., 5. és 7. példa egyes feladataia a megoldásába megfigyelhettü, hogy a melléelt ábrá látható úgyevezett Pascal-féle háromszög számai jelete meg. Ee egyi sajátossága az, hogy egyes számai, a fölötte levő bal- illetve jobb szomszéd számo összege. Továbbá az is ismert téy hogy az egyes soro számai éppe az (a+b) 0, (a+b) 1, -------------------------------------------- (a+b) 2, (a+b) 3, (a+b) 4, (a+b) 5, (a+b) 6 úgymod ifejtésébe az egyes tago együtthatói. Ily módo az úgyevezett Newto biomiális éplet hiáyába, a X. osztályál isebb osztályos tauló is iszámíthatjá az (a+b) ifejtését, csupá a Pascal háromszög segítségével (természetese, ha em túl agy szám). Az előbbi, Pascal-féle háromszög egyes sorába szereplő számoat még biomiális együtthatóa is evezzü, épletese eze C -val egyelőe (ezt még ( ) módo is jelö-! li), és a X. osztályba a éplettel számolju i.! ( )! Az 5.5.a feladat megoldása apcsá megjegyezzü, hogy a lehetősége számát az úgyevezett ismétléses variációval is megaphatju. A iolvasási lehetősége száma 5, i V 2 =2 5 =32, ugyais az M-től a P-ig 5 lépésbe juthatu el, mide lépésél 2-féle választási lehetőségü va, a ét iráy. Befejezésül megjegyezzü, hogy az érdelődő Olvasó még so számos ombiatoriai összefüggésre buahat, amelye a bemutatott feladatohoz apcsolódhata. Szairodalom [1] Róa Sádor: Kombiatoria, Tóth Köyveresedés, Debrece, 2001 (15.-17. old.) [2] Boifert Domoos: Néháy tipius problémaszituáció matematiából, Mozai Otatási Stúdió, Szeged, 1994 (188.-190. old.) [3] Dr. Ier Jáos: Meddig juthatu el az általáos isolába a ombiatorius godolodás fejlesztésébe? A Matematia Taítás, 3/1984 (65.-68. old.) [4] ABACUS 2002 decemberi száma, 3. oldal [5] Bartha Gábor és társai: Matematia feladatgyűjteméy I. a özépisolá taulói számára (Másodi iadás), Taöyviadó, Budapest, 1988 (345.-347. old.) [6] Gádor Edréé és társai: Összefoglaló feladatgyűjteméy matematiából, Taöyviadó, Budapest, 1984 (464. old.) [7] Bereczi Tibor és társai: Matematia feladatgyűjteméy az általáos épzéshez, a taítóépző főisolá számára, Taöyviadó, Budapest, 1996 (82.-86. od) [8] C. Năstăsescu és társai: Matematia taöyv a X. osztály számára (algebra), E.D.P. Bucureşti 1990 taöyv 59. old.