/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris menniségeknek, számoknk megdott szbál szerint tábláztb rendezett hlmz 3 Jelölése: = 3 3 3 33 Négzetes mátri: oln mátri, melben sorok és oszlopok szám megegezik Oszlopmátri: = 3 T Sormátri: = [ ] 3 b) Műveletek mátriokkl: Mátri trnszponáltj: tükrözés főátlór mátri főátlóját z zonos indeű elemek lkotják T = = ( ) ( ) Mátriok összedás, kivonás: csk zonos méretű mátriok dhtók össze, ill vonhtók ki egmásból + B= C = ; B b b = b b ( ± b) ( ± b ) ( ± b ) ( ± b ) b b c c + B= ± = = b b c c ( ) -gk Trni Gábor
/0 Mátri szorzás (sor-oszlop kombináció): = B C, ( b + b ) ( b + b ) ( b + b ) ( b + b ) b b = b b b = c, b b + b c b = = ( b b ) c + T T B= d, ( ) ( ) b b [ ] = ( b + b ) ( b + b ) = [ d d] b b c) Különleges mátriok: 0 Egségmátri: E = 0 Tuljdonság: E = E = z egségmátriszl történő szorzás nem változttj meg megszorzott mátriot T Szimmetrikus mátri: ij = ji, hol i, j =,,3, mátri elemei megegeznek főátlór vett tükörképükkel 3 éldául: = 3 5 7 7 8 =, zz T Ferdeszimmetrikus mátri: =, zz ij = ji, hol i, j =,,3, mátri bármelik eleme megegezik főátlór vett tükörképének mínusz egszeresével Ebből következik, hog főátlóbn csk zérus elemek lehetnek 0 5 éldául: = 5 0 0 -gk Trni Gábor
3/0 Vektorok skláris, kétszeres vektoriális és didikus szorzt: Vektor: iránított geometrii, vg fiziki menniség, mi jellemezhető iránnl, ngsággl, mértékegséggel ) Vektorok skláris szorzt: Skláris szorzás értelmezése: b = b cosα, hol α vektorok áltl bezárt szög skláris szorzás kiszámítás mátriszorzássl: b b = z b = b + b + zbz b z szorzás eredméne eg skláris menniség b) Vektorok kétszeres vektoriális szorzt: ( b) c, vg ( b c ) Kiszámítás kétféleképpen lehetséges: - két vektoriális szorzásnk kijelölt sorrendben történő elvégzésével, - kifejtési szbálll: b c = b c b c b c = b c c b ( ) ( ) ( ), ill c) Vektorok didikus szorzt: Legen dott z, b és c tetszőleges vektor Két vektor didikus szorztánk jelölése: b, elnevezése:diád Két vektor didikus szorztát szorzás tuljdonságink megdásávl értelmezzük: - didikus szorzás és skláris szorzás sszocitív (csoportosíthtó, zz szorzások elvégzésének sorrendjét felcserélhetjük): ( b) c = ( b c), - diád skláris szorzás szempontjából nem kommuttív (nem mindeg, hog eg diádot jobbról vg blról szorzunk sklárisn eg vektorrl, mert más eredmént kpunk) c ( b) ( b) c H szorzás fent leírt összefüggéseket kielégíti szorzás didikus Két vektor didikus szorztánk kiszámítás jobbsodrású, derékszögű koordinát rendszerben b b b z b = b b b z = b b b z b b b z z z z z -gk Trni Gábor
4/0 3 Tenzorok előállítás: ) Tenzorok értelmezése és tuljdonsági: Tenzor: homogén, lineáris vektor-vektor függvén áltl megvlósított leképezés (hozzárendelés) w = f v = T v v hozzárendelés w Ov T tenzor tetszőleges v vektorhoz w képvektort rendeli hozzá Ow b) Tenzor előállítás jobbsodrtú, derékszögű descrtesi koordinát-rendszerben: Tenzor megdás: - tenzor koordinátáivl (mátriávl) és - koordinát rendszerrrel történik Tenzor koordinátáink jelölése mátrib rendezve: T T T z T T T3 - T T T T z T T T = = 3 z Tz Tz T zz T3 T3 T 33 - Tenzor előállítás: Legen ismert három értékpár: i = f( i ), = i + j+ zk, j b= f ( j ), b = bi + bj + bk, z k c= f ( k ), c= ci + cj+ czk T= i + b j+ c k tenzor didikus előállítás: tenzor mátri: b c T b c = z z bz c z -gk Trni Gábor
5/0 3 Tenzor előállítás: r i 4j m dott: = ( + ) r O r Feldt: ) zon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriból helvektoroknk koordinátrendszer O kezdőpontjár tükrözött vektorit állítj elő b) Előállítni zt z r vektort, mel z vektor origór vett tükörképe r ) tenzor előállítás: Síkbeli esetben tenzort két értékpárj htározz meg: i = i, j b= j két értékpárból tenzor: T= ( i + b j) tenzor mátri: 0 T = 0 b) z origór tükrözött r képvektor meghtározás: 0 r = T r = = 0 4 4 r = i j m -gk Trni Gábor
6/0 3 Tenzor előállítás: r = 8i + j m, ϕ= 60 dott: r ϕ r Feldt: ) zon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriból helvektorok z tengel körül ϕ szöggel elforgtott vektorit állítj elő b) Előállítni zt z r vektort, melet z r vektor ϕ szöggel történő elforgtásávl kpunk ) tenzor előállítás: b j ϕ ϕ diádok kiszámítás: r i Síkbeli esetben tenzort két értékpárj htározz meg: i = ( cosϕ i + sinϕj ), j b= ( sinϕ i + cosϕj ) T= i + b j két értékpárból tenzor: 0 cosϕ 0 i = [ 0 ] = =, 0 sin ϕ 0 b 0 b 0 sinϕ b j = [ 0 ] = = b 0 b 0 cosϕ tenzor mátri: cosϕ sin ϕ 0,5 0,866 T = = sin ϕ cos ϕ 0,866 0,5 b) z elforgtott r vektor meghtározás: cosϕ sin ϕ 0,5 0,8668,68 r = T r = = = sin ϕ cos ϕ 0,866 0,5 7,98 r =, 68i + 7,98 j m -gk Trni Gábor
7/0 33 Tenzor megdás (tiszt nírás): dott: z ábrán jelölt egségni hosszúságú négzet [ m] Feldt: ) dj meg nnk leképezésnek tenzorát, mel z egségni oldlú négzetet szggtott vonlll megrjzolt tégllpb viszi át b) Htározz meg szimmetri pont képét Megoldás: z egségvektorok képei és tenzor kiszámítás: i = i ; j b = j, T = i + b j = i i + j j 0 i = = 0 0 = = 0 i [ 0] j j [ 0 ] leképezés tenzor tehát: 0 0 T i i j j = + = + = 0, 0 (, ) 0 T = 0 négzet szimmetri-középpontjánk képe: r = i + j m Ebből tégllp szimmetri-középpontjánk képe: 0 v T r T = [ r] = =, 0 4 v = i + m 4 -gk Trni Gábor
8/0 34 Tenzor megdás (egszerű nírás): dott: z ábrán jelölt egségni hosszúságú négzet γ Feldt: ) dj meg nnk leképezésnek tenzorát, mel z egségni oldlú négzetet szggtott vonlll megrjzolt prlelogrmmáb viszi át b) Htározz meg z pont képét [ m] Megoldás: z egségvektorok képei és tenzor kiszámítás: i = i ; j b = γ i + j, T = i + b j = i i + ( γ i + j) j = = i i + γ i j + j j j γ b i 0 i = = 0 0 0 0 = = 0 i [ 0] ; j j = [ 0 ] = ; i j [ 0 ] leképezés tenzor tehát: γ T i i γi j j j γ = + + = + + = 0 0 (, ) H r = ( i + j) m γ T = 0 (z pont), kkor r = Ez esetben leképezése: γ + γ v = T r T [ r] = = 0, zz v = ( + γ ) j + j m -gk Trni Gábor
9/0 35 Vektor dott iránú összetevője dott: z és b vektor = ( i + j k ) m ; b = ( i + 4 j + k) m Feldt: b α b Htározz meg b vektornk z vektorrl párhuzmos (b ), vlmint z rr merőleges (b ) összetevőit! b Megoldás: Keressük b = b + b összefüggésnek megfelelő vektorokt z ábrából láthtó: b = b cosα, vektor pedig b = b e, hol e z vektor irán-egségvektor, tehát e = Meghtározás: e Most már: b cosα b b b e ( b cosα) e = = = b e cosα e = e = = hol = + + ( ) = 9, és b = ( + 8 ) = 7 Behelettesítés után tehát: b = ( b) b = 7 9 7 4 4 b = i + j k 9 9 9 m Mivel b = b + b, ebből b = b b, zz 7 4 4 b = ( i + 4 j + k) i + j k 9 9 9 3 b = i + j + k 9 9 9 m -gk Trni Gábor
0/0 Másik megoldás: ( b) b b b = = ( ) b ( b ) = illetve b b = Tehát b vektornk z vektorrl párhuzmos, vlmint z rr merőleges összetevői: ( b) b = = ( b) Megjegzés:, b = ( b) = ( b ) = ( ) b = b, ( b) b = = ( b) b = ( ) E b ( b) = ( ) E b ( ) b = b b Tehát: b = b b = b hol = ( ), illetve E hol -gk Trni Gábor