Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kristóf Panna Ideális áramlások Riemann-felületeken Szakdolgozat Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Sigray István Analízis Tanszék Budapest, 203
Tartalomjegyzék Bevezet iii. Áramlások síktartományon.. Az ideális áramlások és a holomorf függvények kapcsolata............. Forrás-nyel mentesség............................2. Örvénymentesség............................. 2..3. Konklúzió................................. 3..4. Cirkuláció és uxus............................ 3.2. Áramvonal..................................... 5.2.. Az áramvonal fogalma.......................... 5.2.2. Hasonló áramlások............................ 6.2.3. Fontosabb példák áramvonalra..................... 6 2. Áramlások kompakt Riemann-felületeken 4 2.. A Riemann-felületek............................... 4 2... Alapfogalmak............................... 4 2..2. A Riemann-felületek fogalma...................... 7 2..3. Kompakt Riemann-felületek....................... 7 2..4. A korábban bevezetett fogalmak Riemann-felületeken......... 7 2.2. Gömb....................................... 8 2.2.. Általános tételek a gömbön....................... 9 2.2.2. Konkrét áramlások a gömbön...................... 9 2.3. Tórusz....................................... 20 2.4. További felületek................................. 22 3. Áramvonalak kirajzolása tóruszon 24 3.. Az alapprogram.................................. 24 3.2. Javítás az irány korrekciójával.......................... 25 3.2.. Hibabecslés................................ 26 3.2.2. További fejlesztési lehet ségek...................... 28 3.3. Az elliptikus változat............................... 30 3.4. A 3-dimenziós változat.............................. 30 3.5. A Weiersrass-féle függvényhez tartozó áramvonal kirajzolása........ 3 3.5.. Közelítés deníció alapján........................ 32 3.5.2. Közelítés segédfüggvények segítségével................. 33 Irodalomjegyzék 39 i
Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni a témavezet mnek, Sigray Istvánnak, hogy el adóként lelkes magyrázataival bevezetett az analízis általam eddig tanult legszebb részébe, a komplex függvénytanba, majd témavezet ként rengeteg türelemmel segítette a munkámat. ii
Bevezet A dolgozatom tárgya a kétdimenziós ideális áramlások vizsgálata komplex függvénytan segítségével, amely téma több szempontból is érdekes: egyrészt, egy valós problémát vizsgálhatunk a komplex függvények eleganciájával, másrészt szemléletes képet kaphatunk az amúgy nehezen elképzelhet komplex függvényekr l. Az els fejezetben áttekintjük az ehhez kapcsolódó fogalmakat síkban, majd megnézzük, hogyan festenek bizonyos alapvet függvények áramvonalai. A következ fejezetben el ször egy dierenciálgeometriai bevezet során megismerkedünk a Riemann-felületekkel, utána pedig a kompakt Riemann-felületeken zajló áramlásokat vizsgáljuk meg néhány szempontból. Részletesebben csak a gömbbel és a tórusszal foglalkozunk. Végül megismerkedünk néhány általam írt (illetve továbbfejlesztett) programmal, amelyek tetsz leges áramvonalat képesek kirajzolni síkban illetve tóruszon, ezen kívül megkíséreljük a függvényhez tartozó áramvonalakat kirajzolni ezekkel a programokkal, amihez két különböz közelítést is kipróbálunk. iii
. fejezet Áramlások síktartományon Ebben a fejezetben D R 2 C tarományon zajló áramlásokat vizsgálunk (ahol x + iy (x, y)). (Lásd: [], [2], ill. néhány megjegyzés [3] alapján.).. Deníció. Ideális áramlás Legyen D R 2 tartomány. Egy ezen történ áramlás ideális, ha az alábbiak teljesülnek:. id ben stacionárius, azaz bármely (x 0, y 0 ) D pontban a sebességvektor id ben állandó, tehát léteznek u(x, y) és v(x, y) : D R függvények, hogy az (u(x, y), v(x, y)) : D R 2 vektormez minden ponthoz a pontbeli sebességvektort rendeli. Ezekr l a függvényekr l azt is feltesszük, hogy folytonosan dierenciálhatóak. 2. forrás-nyel mentes (vagy összenyomhatatlan), azaz a tartomány belsejében nem t nik el és nem is keletkezik folyadék, tehát minden egyszer zárt görbéb l egységnyi id alatt (területben mérve) ugyanannyi folyadék áramlik ki, mint be. 3. örvénymentes, azaz minden egyszer zárt görbe mentén a cirkuláció = 0 (vagyis a görbét összességében nem forgatja az áramlás). (A természetben ilyenek valóban létrejöhetnek pl. szivárgó áramlás esetén (pl. homokban), illetve áramvonalas testek körüli áramláskor.) A továbbiakban ezekkel fogunk foglalkozni... Az ideális áramlások és a holomorf függvények kapcsolata Vizsgáljuk meg, mit is jelentenek ezek a feltételek az u és v koordinátafüggvényekre nézve.... Forrás-nyel mentesség Ez tehát azt jelenti, hogy minden egyszer zárt γ görbére (intγ D) a határon kilép el jeles folyadémennyiség (uxus) = 0. Ezért bármely, a tengelyekkel párhuzamos oldalú négyzeten igaz ez, tehát nézzünk egy tetsz leges ilyet: legyen (x 0, y 0 ) D, h > 0 olyan, melyre [x 0 h, x 0 + h] [y 0 h, y 0 + h] D. Ekkor egységnyi id alatt a négyzet függ leges oldalain kiáramló folyadék mennyisége: h h h h u(x 0 +h, y 0 +t)dt u(x 0 h, y 0 +t)dt = (u(x 0 + h, y 0 + t) u(x 0 h, y 0 + t)) dt =... h h
.. Az ideális áramlások és a holomorf függvények kapcsolata 2 a folytonosság miatt alkalmazhatjuk az integrál-középértéktételt, tehát t [ h, h], hogy: = 2h (u(x 0 + h, y 0 + t ) u(x 0 h, y 0 + t )) =... a dierenciálhatóság miatt alkalmazhatjuk a Lagrange-féle középértéktételt, tehát t 2 ( h, h), hogy: = 4h 2 u x (x 0 + t 2, y 0 + t ). A vízszintes oldalain kiáramló folyadék hasonlóan, t 3, t 4 [ h, h], hogy: h h azaz h h v(x 0 +t, y 0 +h)dt v(x 0 +t, y 0 h)dt = (v(x 0 + t, y 0 + h) v(x 0 + t, y 0 h)) dt = h h = 2h (v(x 0 + t 3, y 0 + h) v(x 0 + t 3, y 0 h)) = 4h 2 v y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ). Mivel az id egység alatt kiáramló folyadék összesen 0, ezért ( u 0 = 4h 2 x (x 0 + t 2, y 0 + t ) + v ) y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ) u x (x 0 + t 2, y 0 + t ) = v y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ) így, ha h 0 + 0, akkor (mivel t, t 2, t 3, t 4 0) (.) u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 )..2. Megjegyzés. A fentit átrendezve: u x (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ) = 0 azt kapjuk, hogy a forrás-nyel mentesség éppen azt jelenti, hogy bármely pontban a divergencia = 0. (Ez önmagában a GaussOsztrogradszkij-tételb l is levezethet.)..2. Örvénymentesség A fentihez hasonló gondolattal írjuk fel a cirkulációt ugyanezen négyzet peremén (azaz, hogy az áramlás mennyire szeretné forgatni a négyzetet negatív irányba). A cirkuláció mértéke a vízszintes oldalakon: h h u(x 0 +t, y 0 +h)dt+ h h u(x 0 +t, y 0 h)dt = ismét integrál- és Lagrange-középértéktétellel, t, t 2 [ h, h], hogy: h h h h (u(x 0 + t, y 0 + h) u(x 0 + t, y 0 h)) dt =... 2h (u(x 0 + t, y 0 + h) u(x 0 + t, y 0 h)) = 4h 2 u y (x 0 + t, y 0 + t 2 ). A függ leges oldalakon pedig hasonlóan t 3, t 4 [ h, h], hogy: h h v(x 0 +h, y 0 +t)dt+ v(x 0 h, y 0 +t)dt = ( v(x 0 + h, y 0 + t) + v(x 0 h, y 0 + t)) dt = h h = 2h ( v(x 0 + h, y 0 + t 3 ) + v(x 0 h, y 0 + t 3 )) = 4h 2 v x (x 0 + t 4, y 0 + t 3 ).
.. Az ideális áramlások és a holomorf függvények kapcsolata 3 azaz Mivel a cirkuláció összesen 0, ezért ( u 0 = 4h 2 y (x 0 + t 2, y 0 + t ) v ) x (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ) így, ha h 0 + 0, akkor v x (x 0 + t 2, y 0 + t ) = u y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ) (.2) v x (x 0, y 0 ) = u y (x 0, y 0 )..3. Megjegyzés. A fentit átrendezve: v x (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = 0 azt kapjuk, hogy az örvénymentesség éppen azt jelenti, hogy bármely pontban a rotáció = 0. (Ez a Greentételb l is levezethet.)..3. Konklúzió Legyen f(z) = f(x + iy) := u(x, y) iv(x, y) (tehát u + iv konjugáltja), ekkor az. és.2 egyenletek a következ alakot öltik: (.3) és u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) (.4) v x (x 0, y 0 ) = u y (x 0, y 0 ) amelyek éppen a Cauchy-Riemann egyenletek, tehát igaz az alábbi:.4. Tétel. Legyen D R 2 C tartomány. Legyen D-n egy olyan ideális áramlás, amit az (u(x, y), v(x, y)) vektormez ír le. Ekkor f(z) = f(x + iy) := u(x, y) iv(x, y) holomorf D-n. Megfordítva, ha f holomorf D-n, akkor az u(x, y) := Ref(x + iy) v(x, y) := Imf(x + iy) módon deniált (u,v) vektormez höz ideális áramlás tartozik..5. Megjegyzés. A [] jegyzetben a tételbeli f konjugáltját jelöli a szerz f-fel, melyet így antiholomorf függvénynek nevez. Itt a továbbiakban is a fenti jelöléshez ragaszkodunk, tehát f mindig a holomorf függvényt jelöli, f pedig az áramlást leíró függvényt. Ahhoz, hogy precízebben lássuk a megfordítás bizonyítását, vizsgáljuk meg még egyszer a cirkuláció és a uxus fogalmát a tételbeli jelölések tükrében...4. Cirkuláció és uxus Legyen D C tartomány. Egy D-n történ áramlást írjon le az f(x + iy) = u(x, y) iv(x, y). Legyen γ : [a, b] D rektikálható, (pozitív irányítású) Jordan-görbe.
.. Az ideális áramlások és a holomorf függvények kapcsolata 4 Fluxus A uxust deniálhatjuk úgy, hogy egységnyi id alatt mennyi folyadék áramlik át γ bal partjáról a jobb partjára. Ez pozitív irányítású Jordan-görbénél (gyelembe véve a Jordan-féle görbe tételt) éppen azt jelenti, hogy a görbe belsejéb l a külseje felé (el jelesen) mennyi folyadék áramlik. (Tehát itt a görbére mer leges irányú komponenst kell gyelembe venni, ahogy a négyzetnél is tettük.).6. Állítás. A fenti feltételekkel γ uxusa = Im γ f(z)dz. Bizonyítás: Mivel γ rektikálható, γ f(z)dz közelíthet a görbét közelít, függ leges és vízszintes szakaszokból álló töröttvonal-sorozaton vett integrálokkal. Egy tetsz leges vízszintes szakaszon: γ = (x 0 + t, y 0 ) b b f(z)dz = f(x 0 + t, y 0 ) dt = (u(x 0 + t, y 0 ) iv(x 0 + t, y 0 )) dt γ a a tehát b Im f(z)dz = v(x 0 + t, y 0 )dt, γ a ami a vízszintes szakaszokon valóban a uxust jelenti. Egy függ leges szakaszon: γ 2 = (x 0, y 0 + t) b b f(z)dz = f(x 0, y 0 + t) idt = (iu(x 0, y 0 + t) + v(x 0, y 0 + t)) dt γ 2 a a tehát b Im f(z)dz = u(x 0, y 0 + t)dt, γ a ami viszont a függ leges szakaszokon valóban éppen a uxus..7. Megjegyzés. Meggondolható, hogy ha a szakaszok paraméterezése γ irányában történik, akkor a fenti képletet nem befolyásolja, hogy a és b közül melyik a nagyobb (tehát a szakasz felfelé vagy lefelé, ill. jobbra vagy balra mutat). Cirkuláció A cirkuláción tehát azt értjük, mennyire forgatná a mez a görbét negatív irányba. (Tehát itt a görbe irányába es komponenst kell gyelembe venni.).8. Állítás. γ cirkulációja = Re γ f(z)dz. Bizonyítás: A fentihez hasonlóan itt is függ leges és vízszintes szakaszokkal közelítünk. Tehát egy vízszintes szakaszon: γ = (x 0 + t, y 0 ) b Re f(z)dz = u(x 0 + t, y 0 )dt γ a ami itt éppen a vonal menti integrál (negatív irányban), azaz a szakaszra es cirkuláció. Egy függ leges szakaszon: γ 2 = (x 0, y 0 + t) b Re f(z)dz = v(x 0, y 0 + t)dt γ 2 a ami itt szintén a szakaszra es cirkuláció. A jobb és bal fogalmakat mindig γ irányába állva értelmezzük.
.2. Áramvonal 5.9. Megjegyzés. A fenti.7 megjegyzés itt is igaz. Következmény Tegyük fel, hogy f holomorf D-n. Ekkor a Cauchy Alaptétel miatt tetsz leges γ egyszer zárt görbére (ha intγ D, akkor) γ f(z)dz = 0, tehát Im γ f(z)dz = Re γ f(z)dz = 0. Tehát a cirkuláció és a uxus is 0, azaz ideális áramlásról beszélünk. Ezzel az.4 tételbeli megfordítás részt is bizonyítottuk..2. Áramvonal.2.. Az áramvonal fogalma Áramvonal alatt egy képzeletbeli részecske pályáját értjük..0. Deníció. Legyen D C tartomány, (u, v) olyan vektormez, amely ideális áramláshoz tartozik. Azt mondjuk, hogy γ : [a, b] D görbe áramvonal, ha γ sima, és γ (t) = (u(γ(t)), v(γ(t)))... Állítás. γ áramvonal akkor és csak akkor, ha a uxusa = 0 bármilyen kis darabján. Bizonyítás: A sebesség γ irányába mutat, így a mer leges komponens, és ezáltal annak görbe menti integrálja is 0. Legyen γ a γ egy kis darabja (a és b végpontokkal), ekkor a uxus γ mentén: Im f(z)dz = Im (F (γ (b)) F (γ (a))), γ feltéve, hogy létezik az f-nek F primitív függvénye γ egy kis környezetében (ez f simasága miatt D belsejében mindenhol lokálisan teljesül, így elég, ha γ átmér je elég kicsi)..2. Következmény. Az áramvonal egyenlete (bármely pont kis környezetében): ahol c konstans. Im (F (z)) c.3. Megjegyzés. Ebb l az egyenletb l nem derül ki az áramvonal paraméterezése id szerint, de még az iránya sem. A primitív függvényre úgy is gondolhatunk a tétel alapján, hogy az áramvonalakat vízszintes egyenesekbe képzi. Érdemes megnézni, mik azok a vonalak, amelyeket viszont a függ leges egyenesekbe képez, tehát amire Re (F (z)) c, ezeket ekvipotenciális vonalaknak nevezzük. (Az elnevezés magyarázata: az F komplex potenciál valós részét szokás potenciálnak nevezni. Egy potenciálfüggvény egy adott pontban reguláris, ha a hozzá tartozó 2 komplex potenciál véges és komplex dierenciálható a pontan.) Ahol F lokálisan konform leképezés, ott ezek a vonalak mer legesek lesznek az áramvonalakra. Ha f-et megszorozzuk i-vel, akkor a primitív függvény is szorzódik, tehát az f-hez tartozó ekvipotenciális vonalak 2 Egy u harmonikus függvényhez az értelmezési tartomány minden pontjának egy környezetében additív konstans erejéig egyértelm en létezik olyan v harmonikus társa, hogy együtt u + iv holomorf függvényt alkotnak.
.2. Áramvonal 6 éppen i f áramvonalai lesznek 3. Ez alapján tehát párba állíthatók az áramlások, alább fogunk erre példákat látni. Az áramvonalak nem határozzák meg egyértelm en az áramláshoz tartozó vektormez t, csak az iránymez jét. Viszont ideális áramlások esetén (ahogy [] fogalmaz): ha azonban adott iránymez höz létezik antiholomorf vektormez, akkor az lényegében egyértelm en meg van határozva. Valóban, két, ugyanazt az iránymez t meghatározó antiholomorf függvény hánydosa pozitív antiholomorf függvény volna, és mint ilyen, konstans. Tehát az áramláshoz tartozó holomorf függvények is egymás (pozitív, valós) konstansszorosai..2.2. Hasonló áramlások.4. Deníció. Legyen D, D 2 C tartomány, φ : D D 2 konform bijekció. Vegyünk D 2 -n olyan ideális áramlást, ami az f : D 2 C holomorf függvényhez tartozik. Ekkor azt mondjuk, hogy a D -ben zajló áramlás hasonló a D 2 -ben zajlóhoz, ha az függvényhez tartozik. f φ φ.5. Megjegyzés. (F φ) = f φ φ (ahol F az f primitív függvénye)..6. Deníció. Legyen D, D 2 C tartomány, z 0 D, B(z 0, ε) D, φ : B(z 0, ε) D 2 konform. Vegyünk D 2 -n egy ideális áramlást, ami az f : D 2 C holomorf függvényhez tartozik, és B(z 0, ε)-n egy olyat, ami az f φ φ függvényhez tartozik. Ekkor a D - beli áramlást z 0 egy környezetében és a D 2 -ben zajló áramlást φ(z 0 ) egy környezetében lokálisan hasonlónak nevezzük (φ szerint)..7. Megjegyzés. Ahol F lokálisan konform, ott tehát az áramlás lokálisan hasonló egy valós konstanshoz tartozó áramláshoz..8. Tétel. Legyen D, D 2 C tartomány, z 0 D, w 0 D 2. A D -beli áramláshoz a g : D C, a D 2 -belihez pedig az f : D 2 C függvény tartozzon. Tegyük fel, hogy a z 0 környezetében zajló áramlás lokálisan hasonló a w 0 környezetében zajlóhoz. Ekkor, ha g-nek k-szoros zérushelye van z 0 -ban, akkor f-nek k-szoros zérushelye van w 0 -ban..9. Tétel. Legyen z 0 C, w 0 C, φ : B(z 0, ε) C konform, φ(z 0 ) = w 0, D = Ḃ(z 0, ε), D 2 = φ(ḃ(z 0, ε)). Tegyük fel, hogy D -ben és D 2 -ben hasonló áramlás zajlik, melyek a g : D C ill. f : D 2 C függvényekhez tartoznak. Ekkor, ha g-nek z 0 -ban k-adrend pólusa van, akkor f-nek w 0 -ban szintén k-adrend pólusa van. Továbbá: Res[g(z)] z=z0 = Res[g(w)] w=w0.2.3. Fontosabb példák áramvonalra Lássuk néhány konkrét függvénytípus áramvonalát. Az els néhány példában D = C. (Az ábrák az utolsó fejezetben bemutatott aramlas programmal készültek.). f(z) = c = a + bi( 0), (ekkor u(x, y) = a, v(x, y) = b) F (z) = c z = (a + bi)z = ax by + i(bx + ay) 3 Angolul az ilyen, az eredetire mer leges áramlást conjugate ow-nak hívják (ld. [3]).
.2. Áramvonal 7 tehát az áramvonalak egyenlete: bx + ay = d Így az áramvonalak egyenesek (melyek irányvektora c). 2. f(z) = z n (n N) azaz f(re iφ ) = r n e inφ = r n (cos nφ + i sin nφ), (ekkor u(re iφ ) = r n cos nφ, v(re iφ ) = r n sin nφ) F (z) = zn+, azaz F (z) = n + n + rn+ (cos(n + )φ + i sin(n + )φ) tehát az áramvonalak egyenlete: n + rn+ sin(n + )φ = c, azaz r n+ sin(n + )φ = d.20. Példa. Spec. n = -re: f(z) = z, ekkor F (z) = 2 z2, tehát tehát az áravonalak: c = 2 r2 sin φ cos φ = (r sin φ)(r cos φ) = Imz Rez, ˆ ha r = 0: a 0 pont, különben: ˆ ha Imz = 0 vagy Rez = 0: a valós és a képzetes tengely 0-ból induló négy félegyenese, melyek nem tartalmazzák a 0-t, különben: ˆ leoszthatunk a valós résszel, így azt kapjuk, hogy az y = c x alakú hiperbolák mind áramvonalak. A vektormez : u(re iφ ) = r cos φ = Rez, v(re iφ ) = r sin φ = Imz (minden pontban z), ez alapján az áramvonalak iránya: a valós tengely félegyenesei a végtelen felé, a képzetes tengely félegyenesei pedig a 0 felé mutatnak. Ebb l folytonosság alapján látszik, hogy merre mutatnak a hiperbolák. 6 4 2 0 2 4 6 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0.. ábra. f(z) = z 3 áramvonalai Általános esetben hasonló képet kapunk: a 0 önmagában áramvonal (ezt n-edrend stagnációs pontnak mondjuk, ami tehát f-nek n-edrend zérushelye), 2n+2 darab, 0- ból kiinduló félegyenes (ahol a k.-nak a valós tengellyel bezárt szöge kπ n+ ) 2n+2 részre
.2. Áramvonal 8 osztja a síkot, és minden részben egy sereg hiperbola lesz. Az egyenesek irányítása: a valós tengely pozitív fele mindig áramvonal és mindig a végtelen felé van irányítva, innent l váltakozva követik egymást a 0 felé és a kifelé irányított félegyenesek.. Alkalmazás. Így néz ki egy ( π n+ szög ) sarokban az áramlás, ha a beáramló anyag (a végtelenben) az egyik fallal párhuzamosan érkezik. 3. f(z) = z n (n N) Ugyanazok lesznek az áramvonalak mint fent, csak az irányításuk megfordul. 2 0 2 3 2 0 2 3 4. f(z) = i z n (n N).2. ábra. f(z) = z áramvonalai és ekvipotenciális vonalai i z n = (εz) n, ahol ε n = i. Tehát az el z esethez hasonló ábrát kapunk, csak π 2n-el elforgatva pozitív irányba a 0 körül (azaz, például az t metsz hiperbolák szimmetriatengelye lesz a valós tengely). Ezek az áramvonalak éppen az f(z) = z n -hez tartozó áramlás ekvipotenciális vonalai, és a stagnációs pontot kivéve (ott ugyanis F = f = 0, így nem konform) mer legesek annak áramvonalaira..2. Megjegyzés. Mivel pozitív egész kitev j hatványfüggvények összegeként minden holomorf függvény el áll, és a pozitív valós konstans szorzó nem befolyásolja az áramvonalakat, D = C esetén a fentiek összegeként már minden ideális áramlás áramvonal-képe el állítható. Azonban ha meromorf függvényeket is megengedünk, akkor már a negatív hatványfüggvényekre is szükségünk van. Az alábbi függvények esetén tehát D = C 0. 5. f(z) = z azaz f(r(cos φ + i sin φ)) = r (cos( φ) + i sin( φ)), (ezért a vektormez t ez írja le: f(r(cos φ + i sin φ)) = r (cos φ + i sin φ) ) F (z) = log z, azaz F (r(cos φ + i sin φ)) = log r + iφ (ami minden pont körül lokálisan létezik), tehát az áramvonalak egyenlete: φ c, így az áramvonalak a 0-ból kiinduló félegyenesek. A vektormez alapján a végtelen felé mutatnak. Számoljuk ki a uxust egy görbén, aminek a belsejében van a 0 (pl. az egységkörön): Im dz = 2π z z =0
.2. Áramvonal 9 Tehát a 0-ban 2π er sség uxus keletkezik, így azt mondjuk, hogy ez egy 2π er sség pontforrás. 6. f(z) = z Ugyanazok lesznek az áramvonalak, csak az irányításuk megfordul. Ezt 2π er sség pontnyel nek nevezzük. 7. f(z) = i z azaz f(r(cos φ + i sin φ)) = i r (cos( φ) + i sin( φ)) = r ( sin( φ) + i cos( φ)), (ezért a vektormez t ez írja le: f(r(cos φ + i sin φ)) = r ( sin(φ) + i cos(φ)) ) F (r(cos φ + i sin φ)) = i(log r + iφ) = φ + i log r Tehát az áramvonalak egyenlete: log r c, ezek 0 középpontú körök. A vektormez alapján negatív irányításúak. Most számoljuk ki a cirkulációt egy görbén, aminek a belsejében van a 0 (pl. az egységkörön): Re z = 0 i dz = 2π z Ez pedig egy 2π er sség ún. pontörvény. Ha egy negatív valós számmal szorozzuk f-et, akkor az örvény a másik irányba fog forogni. 5 4 3 2 0 2 3 4 4 2 0 2 4.3. ábra. f(z) = i/z áramvonalai és ekvipotenciális vonalai Ezek az áramvonalak éppen a fenti forrás vagy nyel ekvipotenciális vonalai (így, mint látjuk, mer legesek rájuk)..22. Megjegyzés. A pontforrást, pontnyel t és pontörvényt egységesen nevezhetjük komplex forrásnak. Pozitív valós konstans szozó hatására az er sségük ugyanennyivel szorzódik. 8. f(z) = a+bi z = a z + b i z (a, b R, a, b 0)tehát két komplex forrás összege, melyek közül az egyik (a el jelét l függ en) forrás vagy nyel, a másik (b el jelét l függ en negatív vagy pozitív irányú) örvény. Az áramvonalak egyenlete: c = aφ+b log r, azaz
.2. Áramvonal 0 r = e c aφ b (tehát például a < 0, b < 0 esetén ha φ-t egyenletesen növelve haladunk az áramvonal mentén akkor a 0-tól való távolság exponenciálisan csökken). Így az áramvonalak logaritmikus spirálok lesznek. (Itt tehát az a+bi z és a b+ai z áramvonalai ellentétes irányba fognak forogni, és mer legesek lesznek egymásra.) 2. Alkalmazás. Így fog kinézni például egy lefolyó közelében az (ideális) áramlás. 9. f(z) = z 2 Ezt a szemlélet kedvéért állítsuk al a következ módon: tudjuk, hogy: ( 2d z d ) = 2d z + d 2d z 2 d 2 z 2 (d 0) Így vegyük a z d ( 2d -nek megfelel forrást d-ben, és a z+d pozitív konstanstól eltekinthetünk), ezek összegének primitív függvénye: F (z) = log z d z + d -nek megfelel nyel t d-ben tehát az áramvonalakon arg z d z+d = c, tehát (a kerületi szögek tétele miatt) az áramvonalak azok a körívek lesznek, melyeknek két végpontja d és d, és a középpontja rajta van a két pont által alkotott szakasz felez mer legesén (ami itt éppen a képzetes tengely), illetve a két pontra fektetett egyenes (azaz a valós tengely) három darabja: a ( d, d) szakasz, és a (, d) és (d, ) félegyenesek (ami tekinthet az el bbi körök határhelyzetének, mikor a középpont a végtelenbe ér). Az áramvonalak a forrástól a nyel felé lesznek irányítva (a két félegyenes pedig jobbra). Képzeljük hát el, hogy ezek a pontok közelednek egymás felé, amint d 0, közben végig körívek kötik össze ket, és a két pont által alkotott szakasz az ket kiegészít körökben egy húr. Amikor d a 0-ba ér, a húrból érint lesz és még mindig egy (egymást a 0 pontban érint ) sereg kör fogja összekötni a pontot önmagával, melyek középpontjai a képzetes tengelyen lesznek. Szintén folytonossági okokból a fels félsíkban fekv körök pozitív, az alsó félsíkban fekv k pedig negatív irányúak lesznek. Ezt dipólusnak nevezzük. 0. f(z) = i z 2 Ez tehát a fentinek a párja lesz, az áramvonalak éppen mer legesek a fenti dipóluséra. Ebb l is átgondolható, hogy ugyanazt az ábrát kapjuk, csak π/2-vel elforgatva a 0 körül. Ezt is megkaphatnánk akár a fentihez hasonló módon, itt két (a forrás ill. a nyel áramvonalaira mer leges), ellentétes irányú örvényt közelíthetünk egymás felé, itt végig körök lesznek az áramvonalak (leszámítva a képzetes tengelyt).. f(z) = z n (n N) Általános esetben a fentihez hasonló módszerrel megkapható az ún. mulipólus 0 összerej komplex források határértékeként. Ezeknek tehát a uxusa és a cirkulációja 0 (ami abból is látszik, hogy létezik az egész kipontozott síkon a potenciálfüggvény). Ezek összegeként tehát minden, Laurent-sorral el állítható függvényhez tartozó áramlást megkaphatunk. Meggyelhetjük, hogy uxust illetve cirkulációt ezek közül csak a komplex forrás generál, vagyis a Laurent-sorban a -. fokú tag, annak er ssége és fajtája pedig az együtthatótól függ. Tehát:
.2. Áramvonal 6 4 2 0 2 4 6 6 4 2 0 2 4 6.4. ábra. f(z) = z 2 áramvonalai és ekvipotenciális vonalai 6 4 2 0 2 4 6 6 4 2 0 2 4 6.5. ábra. f(z) = z 3 áramvonalai.23. Állítás. Szingularitásban a komplex forrás er ssége = 2π-szer a reziduum. Végül tekintsük az alábbi érdekes példát:.24. Példa. f(z) = z 2 + v (ahol v egy pozitív valós konstans). (Fizikailag: egy dipólust megfújunk egy tengelyével párhuzamos konstans széllel, az áramvonal körök küls (szingularitástól távolabbi) részének irányában) azaz F (z) = 2 z + vz F (r(cos φ + i sin φ)) = (cos( φ) + i sin( φ)) + vr(cos φ + i sin φ) 2r tehát az áramvonalak: 2r sin( φ) + vr sin(φ) = 2r sin(φ) + vr sin(φ) = (vr 2r ) sin(φ) = c
.2. Áramvonal 2 Vizsgáljuk meg a c = 0-hoz tartozó áramvonalakat! Két eset lesz: ˆ ha sin φ = 0, azaz z valós: tehát a valós tengely áramvonal ˆ ha vr 2r = 0 vr = 2r r2 = 2v ami pedig egy 0 középpontú kört jelent pl. v = 2 esetén az egységkört. (Itt használjuk, hogy v pozitív.) 3 2 0 2 3 4 5 4 3 2 0 2 3 4.6. ábra. f(z) = z 2 + v áramvonalai (áramlás kör körül) (Valójában ezek több részre lesznek osztva, melyek különböz irányba vannak irányítva.) A fenti kör-áramvonalon belül az áramlás inkább a dipólusra hasonlít (a középpont felé haladva egyre inkább), a körön kívül pedig a konstansra (a végtelenbe tartva egyre inkább). Ahol a kör metszi a valós tengelyt, ott kialakul egy-egy másodrend stagnációs pont (melyek egymáshoz képest éppen ellentétesen lesznek irányítva). 3. Alkalmazás. Ez az áramlás éppen egy kör alakú akadály körüli ideális áramlás lesz (ahol az akadály pereme a kör alakú áramvonalnál van). Ez azért fontos, mert megfelel (konform) transzformációval ennek segítségével tetsz leges áramvonalas alakzat körüli áramlást le lehet írni (illetve meghatározni, mikor lesz egy alakzat áramvonalas). Belátható, hogy az egységkör körüli áramlásokhoz (ahol feltesszük, hogy a végtelenben véges határértéke van a sebességnek, és az egységkör áravonal) csak az ilyen alakú függvények tartoznak: f(z) = a 0 + a z a 0, ahol a z 2 tisztán képzetes. A természetben ilyen áramlás nem jön létre, az áramló anyag viszkozitása miatt. 4.25. Megjegyzés. Ha v negatív (illetve együtthatójával azonos el lel ), akkor más z 2 lesz az áramkép, pl.f(z) = + v esetén az áramvonalak az.7 ábrán láthatók. Itt is két z 2 stagnációs pont lesz. 4 B vebben, szép illusztrációkkal ld.: http://www.grc.nasa.gov/www/k-2/airplane/dragsphere.html
.2. Áramvonal 3 2 0 2 2 0 8 6 4 2 0 2 4.7. ábra. f(z) = z 2 + v áramvonalai
2. fejezet Áramlások kompakt Riemann-felületeken 2.. A Riemann-felületek 2... Alapfogalmak Ld. [4], az alábbi deníciók részben szó szerinti idézetek. 2.. Deníció. Legyen adott egy M topológikus tér. Az M-et egy m-dimenziós topológikus sokaságnak mondjuk (m ), ha teljesülnek rá az alábbi feltételek: () Az M egy Hausdor-féle topológikus tér. (2) Az M megszámlálható bázisú. (3) Az M tetsz leges pontjának van olyan nyílt környezete, amely homeomorf az R m euklideszi térrel. 2.2. Megjegyzés. Az alábbiakban R m szerepel, azonban mi egyrészt egydimenziós, másrészt komplex sokaságokkal fogunk foglalkozni. A fogalmak általánosabb megértése végett azonban több dimenzióban mondjuk ki a deníciókat, az értelmezés komplex esetben pedig a legtöbb helyen egyértelm, ahol kell, ott bevezetünk értelemszer en új fogalmakat. Térképezések 2.3. Deníció. Legyen adott az m-dimenziós M topológikus sokaság egy U nyílt részhalmazán egy olyan φ : U R m leképezés, ahol φ(u) egy nyílt halmaz R m -ben és φ egy homeomorzmust ad U és φ(u) között. Ez esetben az (U, φ) párt az M egyik térképének mondjuk. (Az U-t térképtartománynak, a φ-t pedig térképezésnek nevezzük.) 2.4. Deníció. Az M topológikus sokaság atlaszán az M térképeinek egy olyan A = {(U β, φ β ) β B} rendszerét értjük, amelyre fennáll β B U β = M. 2.5. Deníció. Legyenek (U, φ) és (V, ψ) térképei az M topológikus sokaságnak. Azt mondjuk, hogy ezek egymással C -kompatibilisek, amennyiben teljesül az alábbi két feltétel egyike: () A térképtartományok diszjunktak, azaz U V = (2) U V és a ψ φ : φ(u V ) R m R m, φ ψ : ψ(u V ) R m R m leképezések C -osztályúak. Eml.: két topologikus tér homeomorf, ha létezik köztük mindkét irányban folytonos bijekció. 4
2.. A Riemann-felületek 5 Komplex esetben hasonlóan deniálhatjuk ezt a fogalmat, ott viszont elég feltennünk, hogy a megfelel leképezések holomorfak. Erre vezessük most be a holomorf-kompatibilis kifejezést. 2.6. Deníció. Azt mondjuk, hogy topológikus sokaság egy A atlasza C -osztályú, ha A bármely két térképe C -kompatibilis. Komplex esetben itt nevezzük az atlaszt holmorfnak, ha bármely két térképe holomorfkompatibilis. 2.7. Deníció. Az topológikus sokaság egy C -osztályú A atlaszát teljesnek nevezzük, ha tetsz leges (U, φ) térképére teljesül a következ két feltétel egyike: () (U, φ) A (2) Az A atlaszban van olyan térkép, amely nem C -kompatibilis az (U, φ) térképpel. Komplex esetben tehát azt a holomorf atlaszt nevezzük teljesnek, amely már nem b víthet tovább a többivel holomorf-kompatibilis térképekkel. Sima függvény dierenciálja dierenciálható sokaságokon 2.8. Deníció. Legyen M egy topológikus sokaság és A egy teljes C -osztályú atlasza M-nek. Ekkor az (M, A) párt dierenciálható sokaságnak vagy sima sokaságnak nevezzük. 2.9. Deníció. Az M dierenciálható sokaságon értelmezett f : M R függvényt sima függvénynek nevezzük, ha tetsz leges (U, φ) térkép esetén az f φ : φ(u) R függvény C -osztályú (/holomorf). Az M sokaságon értelmezett sima függvények halmazát jelölje F (M). (Komplex esetben használhatjuk a holomorf függvény kifejezést is.) 2.0. Deníció. Érint vektoron az M sima sokaság valamely p pontjában egy olyan v p : F (M) R leképezést értünk, amelyre tetsz leges α, β R és f, g F (M) esetén fennállnak az alábbi összefüggések: () v p (αf + βg) = α v p (f) + β v p (g), (2) v p (fg) = v p (f) g(p) + f(p) v p (g) 2.. Megjegyzés. A pontbeli érint vektorok vektorteret alkotnak a megfelel m veletekkel, ezt a teret a p pontban jelölje T p M. Továbbá T M az M összes érint vektorának a halmazát jelölje T M, ezt az M sokaság érint nyalábjának is nevezzük. A v p (f) számot az f F (M) függvény v p érint vektor szerinti deriváltjának is mondjuk. Ha a sokaság éppen az (R m, id), akkor az érint vektorok megfelelnek az iránymenti deriválásnak, mert ez teljesíti a fenti () és (2) deriválási szabályokat. 2.2. Deníció. Legyen adott egy f : M R sima függvény az M sokaságon. Valamely p M pontban tekintsük azt a df(p) : T p M R leképezést, amelyet a df(p)(v) = v p (f) összefüggés ír le tetsz leges v T p M esetén. Ekkor df(p) egy lineáris formát (pontosabban egy -formát) ad a T p M érint téren. Az így kapott df(p) lineáris formát az M sokaságon vett f sima függvény p pontbeli dierenciáljának nevezzük. 2.3. Megjegyzés. Tehát df : T M R, ahol df(p) = df Tp M : T p M R a fenti módon. Ha egy g sima függvény nem a teljes M sokaságon, hanem csak a p M pont egy nyílt környezetén van értelmezve, akkor is deniálható a p-beli dg(p) : T p M R dierenciál.
2.. A Riemann-felületek 6 (Komplex esetben a deníció értelmes annyi módosítással, hogy df(p) : T p M C képez.) Ez már független lesz a térkép megválasztásától. 2.4. Állítás. (C, id) esetben, ha df(z 0 ) : T z0 M C minden v-hez ugyanazt rendeli, akkor valóban az f függvény z 0 -beli dierenciálhányadosát adja vissza. Bizonyítás: Legyen f(z) = f(x+iy) = u(x+iy)+iv(x+iy) = u(x, y)+iv(x, y), z 0 = x 0 +iy 0. El ször lássuk be, hogy f(x + iy 0 ) f(x 0 + iy 0 ) f(x 0 + iy) f(x 0 + iy 0 ) (2.) lim és lim T z0 M. x x 0 x x 0 y y 0 i(y y 0 ) Szétbontva (2.2) u(x + iy 0 ) + iv(x + iy 0 ) u(x 0 + iy 0 ) iv(x 0 + iy 0 ) lim = u x x 0 x x 0 x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) és (2.3) u(x 0 + iy) + iv(x 0 + iy) u(x 0 + iy 0 ) i(x 0 + iy 0 ) lim = v y y 0 i(y y 0 ) y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ). A u és v mint R 2 R 2 függvények parciális deriváltjai (mint speciális iránymenti deriváltak) teljesítik a v z0 -ra vonatkozó feltételeket, tehát elemei T z0 M-nek. Mivel T z0 M vektortér, ezeknek a fenti két lineáris kombinációja is T z0 M, amivel beláttuk a 2.-t. f(x+iy Tehát, ha a df(z 0 ) konstans, akkor lim 0 ) f(x 0 +iy 0 ) f(x x x0 x x 0 = lim 0 +iy) f(x 0 +iy 0 ) y y0 i(y y 0 ), amib l (2.2 és 2.3 egyenl sége miatt) következnek a Cauchy-Riemann egyenletek, tehát f f(z) f(z dierenciálható z 0 -ban, azaz a közös érték csak a lim 0 ) z z0 (z) (z 0 ) komplex derivált lehet. További fogalmak 2.5. Deníció. Legyen (M, A) és (N, B) m-, ill. n-dimenziós dierenciálható sokaságok. A µ : M N folytonos leképezést simának nevezzük, ha minden olyan (U, φ) A és (V, ψ) B térképek esetén, melyre µ(u) V teljesül, a ψ µ φ : φ(u µ (V )) R m R n leképezés C -osztályú. 2.6. Deníció. Legyen I egy nyílt intervallum az R-ben (amelyet úgy tekintünk, mint az R egy nyílt részsokaságát). Egy σ : I M sima leképezést az M dierenciálható sokaság egy sima görbéjének mondunk. 2.7. Deníció. Az M sokaságon vett vektormez n egy olyan Y : M T M leképezést értünk, ahol bármely p M pontban fennáll Y (p) T p M. 2.8. Deníció. Tekintsünk az M sokaságon egy Y vektormez t és egy f F (M) függvényt. Ez esetben értelmezni lehet az Y f : M R leképezést, amelyre igaz Y f(p) = Y (p)(f) (p M). Az M egy Y vektormez jét simának mondjuk, ha tetsz leges f F (M) esetén az Y f : M R függvény dierenciálható. Deniálható egy σ : I M sima görbe t I helyen vett σ(t) érint vektora. Ez alapján: 2.9. Deníció. Az M dierenciálható sokaságon legyen adott egy Y sima vektormez. A σ : I M sima görbét az Y integrálgörbéjének mondjuk, ha tetsz leges t I helyen fennáll σ(t) = Y (σ(t)). Ezt az áramvonal értelmezésénél használhatjuk. Deniálható továbbá a vonalmenti integrálnak megfelel fogalom is.
2.. A Riemann-felületek 7 2..2. A Riemann-felületek fogalma 2.20. Deníció. m-dimenziós komplex sokaságnak nevezünk egy olyan A atlasszal ellátott topológikus sokaságot, ahol az A minden térképe a {z C m : z < }-ra (azaz az m-dimenziós nyílt egységkörlapra) képez, és az atlasz bármely két térképe holomorfkompatibilis. [5] 2.2. Deníció. Riemann-felületnek nevezünk egy egydimenziós komplex sokaságot. [6] 2.22. Megjegyzés. Tehát egy Riemann-felület minden pontjának minden környezete választható a komplex egységkörlappal homeomorfnak. 2.23. Példa. A komplex sík maga egy Riemann-felület (f(z) = z térképezéssel). Hasonlóan, C minden nyílt részhalmaza is Riemann-felület, így a síktartományok is ennek a speciális esetének tekinthet k. 2.24. Deníció. M és N Riemann-felületek között értelmezett f : M N függvény holomorf, ha M atlaszának minden g térképére, és N atlaszának minden h térképére, a h f g : C C térképezés holomorf (az értelmezési tartománya minden pontjában).[6] 2.25. Deníció. Két Riemann-felület konform ekvivalens, ha létezik köztük holomorf bijekció, melynek az inverze is holomorf.[6] 2.26. Megjegyzés. Valójában az inverzr l felesleges feltennünk, hogy holomorf, mert ez következik a többib l. 2..3. Kompakt Riemann-felületek Ld. [6], [3] Most csak azokkal a felületekkel foglalkozunk, melyek kompaktak. Ezek tehát zártak lesznek, ezen kívül sima módon beágyazhatóak R 3 -ba, és ott korlátosak. 2.27. Deníció. Egy kompakt felület g génuszú, ha g azon egymást nem metsz egyszer zárt görbéknek a maximális száma, amelyek mentén szétvágva a felületet a felület összefügg marad. Felhasználjuk a következ t: 2.28. Állítás. Bármely g génuszú zárt felület homeomorf egy olyan gömbbel, amelynek g füle 2 van. Ezt g génuszú normálfelületnek nevezzük. Ezeket fogjuk sorra vizsgálni. g = esetén ez a tórusz, egyébként pedig g-lyukú tóruszként képzelhetjük el a felületet. 2..4. A korábban bevezetett fogalmak Riemann-felületeken A fent bevezetett, illetve további bevzethet fogalmak segítségével a síktartományon használt fogalmaink mind átvihet k Riemann-felületekre. Azonban a komplex függvénytan síkban megismert tételeit itt el vigyázatosan kell alkalmaznunk. Például, mivel nem teljesül a Jordan-féle görbe tétel, nem mondhatjuk, hogy egy görbe belsejében. Ám, ha sikerül holomorf térképezést találni, akkor például a felületen holomorf függvények síktartományon is azok lesznek (és hasonlóan minden lényeges tulajdonságuk örökl dik). Így bámely olyan egyszer zárt görbe esetén, amely két részre osztja a felületet, és létezik olyan térkép, mely az egyik rész minden pontját tartalmazza, ezt a részt a görbe belsejének tekintve alkalmazhatjuk az ismert tételeinket, például a Reziduum-tételt. 2 Fül alatt azt értjük, hogy a gömbb l kivágunk két körlapot, és ezen körökhöz odaragasztjuk egy folytonosan deformált henger (vagyis cs ) két végét. A ragasztás értelmezhet kompatibilis térképekkel is.
2.2. Gömb 8 2.2. Gömb Els ként nézzük a 0 génuszú felületet, azaz a Riemann-gömböt. A gömb pontjait sztereograkus vetítés segítségével megfeleltethetjük a C = C-nek. Ez megfelel térképezés lesz, mert homeomormus. Ezenkívül tudjuk, hogy ha az értelmezési tartományból kivesszük a végtelent, akkor holomorf (és bijekció), ebb l következik, hogy a kilyukasztott gömb konform-ekvivalens a komplex számsíkkal. (Nevezzük a 0 képét déli, a végtelen képét északi saroknak. Válasszunk olyan vetítést, hogy az Egyenlít az egységkörnek feleljen meg, így néhány dologról könnyebb lesz beszélni. Ezt megtehetjük, hiszen a gömb mérete a komplex síkhoz képest tetsz leges.) Ez a térképezés hasznos lesz, mert a szögtartás miatt a görbék által bezárt szögekre vonatkozó síkbeli meggyeléseink is átvihet k a gömbre. 2.29. Megjegyzés. Mivel a gömbön minden tartományhoz létezik t tartalmató térkép (például egy, nem tartománybeli pontot a végtelenbe képez sztereograkus projekció), ezért bámely olyan egyszer zárt görbe esetén, amely két részre osztja a felületet, bármelyik részt a görbe belsejének tekintve alkalmazhatjuk az ismert tételeinket. Elég tehát a végtelenben való viselkedést külön vizsgálni. Ehhez célszer bevezetni a következ kényelmesen használható deníciót: 2.30. Deníció.. Az f : C C függvény dierenciálható a z 0 pontban, ha f(z 0 ) és mint C C függvény dierenciálható z 0 -ban. 2. Az f : C C függvény dierenciálható a -ben, ha f(z 0 ) és az f z függvény dierenciálható a 0-ban. Ha f(z 0 ) =, akkor f(z) dierenciálható z 0 -ban, ha f(z) dierenciálható a fenti értelemben. Belátható, hogy ez összeegyeztethet az eddigi fogalmainkkal. (Hasonlóan deniálhatjuk a folytonosságra is.) 2.3. Megjegyzés. Mivel az z geometriailag az inverzió konjugáltja, ezért egy megfelel gömbön ez éppen két f körre: az egyenlít re és a valós tengelynek megfelel f körre való tükrözésnek (azaz összesen egy 80 fokos forgatásnak) felel meg. 2.32. Deníció. A végtelen r sugarú környezete alatt értsük a { K r ( ) = {C B /r (0)} = z C : z > } r körküls t. Ezek alapján a végtelen egy pontozott környezetében holomorf f függvényt el állíthatunk a Laurent-sorával, ami megegyezik f z -nek a 0 körüli Laurent-sorával. f z = a n z n f(z) = a n z n Ez alapján mondhatjuk, hogy az f szingularitása a végtelenben: ˆ Megszüntethet, ha f(z) = 0 a nz n (azaz 0 z ), ekkor a végtelenben a függvényértéket (folytonossági alapon) deniálhatjuk a 0 n -ként. ˆ k-adrend pólus (k>0), ha f(z) = k a nz n, ekkor a végtelenben az f reziduumát deniálhatjuk a -ként. ˆ Lényeges szingularitás, ha f(z) = a nz n, és minden k N-re létezik n > k, hogy a n 0 a n
2.2. Gömb 9 2.2.. Általános tételek a gömbön 2.33. Tétel. Ha f : C C holomorf függvény, akkor f c konstans. Bizonyítás: Mivel f holomorf, ezért folytonos is az egész C-n. Viszont C kompakt (mivel a gömb az, és a transzformációnk homeomorzmus, tehát megtartja ezt a tulajdonságot). Kompakt halmazon pedig minden folytonos függvény korlátos, tehát C-n is korlátos, így a Liouville-tétel miatt konstans is. 2.34. Következmény. Tehát, ha egy ideális áramlás olyan, hogy az F komplex potenciál C- n holomorf, akkor ez a konstans 0 áramlás (azaz nem mozdul meg semmi). (Ha f holomorf, akkor ez fennáll.) 2.35. Tétel. Minden f : C C meromorf függvény reziduumainak az összege 0. Bizonyítás: Mivel a meromorf függvényben csak izolált szingularitásokat engedünk meg, van olyan pont, aminek egy környezetében nincs szingularitás, tehát vehetünk egy olyan szereograkus projekciót, amely ezt a pontot képzi a végtelenbe. Így a végtelennek lesz egy olyan környezete, ahol a függvény holomorf, tehát lesz olyan egyszer zárt görbe, amelynek a síkon a belseje minden szingularitást tartalmaz, tehát a Reziduum-tétel szerint ezen a görbén az integrál = 2πi (a reziduumok). Másrészt, ha a görbe másik oldaláról választjuk a vetít pontot, akkor a görbe egyetlen szingularitást sem fog tartalmazni, tehát a Cauchy Alaptétel miatt ezen az integrál 0. Tehát a reziduumok összege 0. Hasonlóan beláthatjuk a következ t is (mely amúgy könnyen láthatóan ekvivalens a fentivel): 2.36. Állítás. Ha egy egyszer zárt görbe 3 egyik oldalán a reziduumok összege r, akkor a másik oldalán r. Bizonyítás: Irányítsuk a görbét tetsz legesen. Ekkor, mikor az egyik részt vizsgáljuk, akkor a síkon pozitív irányítású lesz a görbe, mikor a másikat, akkor pedig negatív. Így a görbén vett integrál éppen ellentétes lesz, tehát a Reziduum-tételt alkalmazva következik az állítás. 2.37. Megjegyzés. Ez zikailag azt jelenti, hogy a görbe egyik oldalán lév komplex források összer ssége egyenl a másik oldalán lév k -szeresével, azaz amennyi anyag termel dik az egyik oldalon, azt a másik oldalon el kell nyelni és hasonlóan a cirkulációval. 2.38. Tétel. Ha f(z) pólusrendjeinek az összege k, akkor a hozzá tartozó áramlásban a stagnációs pontok összrendje k 2. 2.2.2. Konkrét áramlások a gömbön Nézzük, milyen lesz az áramlás a végtelenben a síkon megismert esetekben. Ismét az áramvonalakat vizsgáljuk.. f(z) = c 0. Nézzük, hová viszi a gömbön az áramvonalakat a sztereograkus projekció. Tudjuk, hogy az egyeneseket és köröket körökbe képzi, illetve illeszkedéstartó. Ezek felhasználásával: az áramvonalak olyan körök lesznek, melyeknek pontja az északi sark, továbbá mindegyiknek a középpontja rajta lesz egy f körön (ami átmegy az északi és a déli sarkon, és mer leges az áramvonalakra). Mivel nem metszhetik egymást, ez csak egy dipólus áramképe lehet. 3 Amely tehát két részre osztja a gömböt
2.3. Tórusz 20 Ezt úgy is megkaphatjuk, hogy F (z) = cz, tehát a végtelenben úgy néz ki, mint F ( z ) a 0-ban, azaz mint a -hez tartozó áramlás a 0-ban, ami egy dipólus. A további z 2 függvényeknél ezt a módszert fogjuk alkalmazni. 2. f(z) = z n (n N), ekkor F ( z ) = n+, tehát a (n+)(n+2) függvényhez tartozó z n+ z n+2 áramkép a 0-ban: ez egy multipólus, mégpedig n + 2-edrend. (Valójában a fenti konstans is ennek speciális esete.) Tehát 2n+2 db. az északi és a déli sarkon találkozó, váltakozva irányított félf körív bontja a gömböt ugyanennyi részre, és minden részben az északi sarkból kiinduló, kagylóformájú áramvonalsereg helyezkedik el. 3. f(z) = z (n N, n > ), a fentib l már látható, hogy itt n 2-edrend 0-hely lesz. n n = 2 esetén: F (z) = 2z, F ( z ) = z 2, tehát sem szingularitás, sem zérushely nem lesz a végtelenben. 4. f(z) = a z (a C)Ez a 0-ban egy komplex forrást jelent, tehát a 2.37 megjegyzés alapján számíthatunk rá, hogy a végtelenben is egy komplex forrás van (örvény esetén örvény, forrás/nyel esetén nyel /forrás, illetve ezek kombinációja), és az er ssége -szerese a 0-ban lev nek. Tehát a R, azaz forrás/nyel esetén az áramvonalak az északi és a déli sarkot összeköt félf körök, melyek mind egy irányba mutatnak; tisztán képzetes a, azaz örvény esetén pedig (az el bbiekre mer leges) koncentrikus körök, melyek középponjai az északi és déli sarkok, és mind egy irányba forognak. Ha pedig általános logaritmikus szingularitás, akkor ellentétes irányban csavarodó, hasonló görbék, melyek a síkbeli logaritmikus spirálnak felelnek meg. 5. f(z) = + z 2 2 Most pedig lássuk, milyen lehet az egységkör körüli áramlás a gömbön. Mire is számítunk szemléletesen? Az egységkörön belül nyilván a síkbeli esethez hasonlóan dipólushoz fog hasonlítani, a körön kívül pedig a végtelenbe tartva egyre inkább a konstansra. Ám ami a 0 közelében konstans, az a végtelenben dipólus, így az egységkör külsejéhez tartozó félgömbön is a belsejéhez hasonló áramlásra számíthatunk. Valóban, mivel F (z) = ( 2 z + z) = F ( z ), ezért a 0-ban és a végtelenben ugyanolyan alakúak lesznek az áramvonalak, csak (a deriválás során belép -es szorzóból is láthatóan) ellentétes irányúak lesznek, tehát az áramkép az egyenlít re szimmetrikus lesz. Két darab másodrend stagnációs pont is lesz, a síkbeli esethez hasonlóan. 2.3. Tórusz Az génuszú felület (azaz az egyfül gömb) tehát a tórusz. Ezt megkaphatjuk egy tetsz leges téglalap szemközti oldalainak összeragasztásával (ahol a ragasztást itt holomorfkompatibilis térképekkel deniálhatjuk), de tetsz leges paralelogrammából is el állítható ugyanígy. S t, ezáltal konform-ekvivelens felületet kapunk egy génuszú felülethez. Térben egy téglalap esetén ezt a ragasztást így képzelhetjük el: tekintsük a következ tórusz-paraméterezést (x, y, z) = ( (R + r cos(β)) cos(α), (R + r cos(β)) sin(α), r sin(β) ) ahol R, r adott (r,r R, 0 < r < R), α, β [0, 2π]. Azaz ezt a pontot rendeljük a az α + iβ komplex számhoz, tehát a téglalap minden élét egy körré hajtogatjuk. (Ennek mint transzformációnak az inverze alkalmas térképezésnek is.)
2.3. Tórusz 2 Síkban az összeragasztást úgy érhetjük el, hogy periodizálunk: tegyük fel, hogy a paralelogramma egyik csúcsa a 0, az ebb l kiinduló két szomszédos él másik végpontjai legyenek az ω és ω 2 komplex számok. Ezek lesznek a komplex periódusok, melyekb l képezhetünk egy L = {nω + mω 2 : n, m Z} periódus-hálót, melynek tehát bármely elemével eltolva a periódus-paralelogramma egy pontját, visszakerülünk ugyanabba a pontba. 2.39. Deníció. Elliptikus függvénynek nevezzük az olyan f : C C meromorf függvényt, amelyre igaz, hogy minden z C-re, minden ω L esetén f(z + ω) = f(z). Tulajdonságok: ˆ elliptikus függvény komplex deriváltja is elliptikus függvény, ugyanazokkal a periódusokkal ˆ azonos periódusú elliptikus függvények tetsz leges racionális kifejezése is elliptikus függvény, ugyanazokkal a periódusokkal. A továbbiakban felhasználjuk, hogy minden holomorf, illetve meromorf függvény a tóruszon megkapható kétszeres periodikus holomorf, illetve meromorf függvény ilyen módon értelmezett faktorizáltjaként. Elég lesz tehát ezeket vizsgálni a tóruszon zajló áramlásokhoz. A periódus-paralelogrammát (mely tehát tartalmazza a 0-t és az ebb l kiinduló oldalt, de a többi csúcsot és élet nem) a továbbiakban jelöljük T -vel. 2.40. Megjegyzés. Itt már nem igaz, hogy minden egyszer zárt görbe két részre osztja a felületet. Például a periódus-paralelogramma két nem párhuzamos élének megfelel görbék még együtt sem vágják szét több részre a tóruszt (ezek mentén felvágva azt éppen a nyílt paralelogrammához jutunk). Bizonyítható viszont, hogy ezek pozitív egész lineáris kombinációjaként minden ilyen tulajdonságú görbe el áll, aszerint, hogy melyik irányba hányszor kerüli meg a tóruszt (ahol az összeadást a két görbe megfelel összef zéseként értelmezzük, valamint két görbét ekvivalensnek tekintünk, ha a felületb l ki nem lépve folytonosan egymásba deformálhatók). Vizsgáljuk meg, hogy a gömbön kimondott tételek megfelel i hogyan hangzanak a tóruszon. 2.4. Tétel. Ha f a T szerint kétszeresen periodikus holomorf függvény, akkor f c konstans. Bizonyítás: vegyük hozzá T -hez a paralelogramma többi élét és csúcsát, ezt a kiegészített változatot nevezzük K-nak, ez kompakt. Mivel f minden pontban dierenciálható, ezért folytonos, tehát K-n korlátos. Így T -n is, azaz az egész komplex számsíkon holomorf és korlátos, ezért a Liouville-tétel szerint konstans. Itt f = c 0-hoz tartozó áramlás is lehetséges. Valójában tetsz leges f c C függvényhez tartozik áramlás, melyek áramvonalai a tóruszon zártak lesznek, és nem osztják két részre azt. Tehát ha egy ilyen áramvonal véges, akkor el áll a 2.40 megjegyzésben említett módon. (Az utolsó fejezetben ezeket ábrázolni is fogjuk.) Most tekintsük a meromorf, vagyis az elliptikus függvényeket. 2.42. Tétel. Minden elliptikus függvény reziduumainak az összege 0 (minden periódusparalalogrammában). Bizonyítás: Legyen f(z) elliptikus függvény (ω, ω 2 ) perióduspárral. Mivel K kompakt, ezért K-ban a pólusok száma véges (mivel izolált szingularitások). Tehát választhatjuk a periódus-téglalap egy olyan eltoltját a számításainkhoz, amely éleinek egy környezetében nincs pólus.
2.4. További felületek 22 Most integráljunk a periódus-paralelogrammán, mint γ görbén. A periódusok miatt a szemköztes oldalakon az integrálnak azonos irányítás mellett meg kell egyeznie, ám a görbe (tetsz leges) irányítása során a két szemben fekv oldalon ellenkez irányban haladunk végig, így az összegben az integrálok éppen kiejtik egymást. Tehát a Reziduum-tétel felhasználásával: 0 = 2πi γ f(z)dz = z 0 Int(γ) [Rezf(z)] z=z0 Tehát ha van els rend pólusa f-nek, akkor legalább kett van. Azaz, ha van az áramlásban komplex forrás, akkor leglább kett van, mint eddig. 2.43. Tétel. Egy elliptikus függvénynek T -ben ugyanannyi zérushelye van, mint pólusa (mindkett t multiplicitással számolva). Például, ha egy forrás és egy nyel van a felületen, akkor biztosan van két stagnációs pont is. Láttuk, hogy ha egy elliptikus függvénynek csak egy pólusa van, az legalább másodfokú. Nézzük hát azt a függvényt, aminek minden periódus-paralelogrammában csak egy másodrend pólusa van: (ld. [9]) (2.4) (z) = z 2 + ( ) (z + mω + nω 2 ) 2 (mω + nω 2 ) 2 n 2 +m 2 0 ahol ω ill. ω 2 a két (komplex) periódus, n és m Z. Ez az ún. Weierstrass-féle függvény. Err l belátható, hogy valóban kétszeresen periodikus. Ezzel tanulságos módszert látunk elliptikus függvények el állítására, ugyanis itt végs soron minden periódusparalelogrammába elhelyeztünk egy másodrend pólust, és ezeket adtuk össze (úgy, hogy a konstans az összegben 0 legyen). A fenti esethez hasonlóan itt is két zérushelyet kapunk. További tulajdonságait tárgyaljuk majd a következ fejezetben. Ez alapján f(z) = (z) c (0 < c R) függvényhez tartozó áramlást elképzelhetjük úgy, mint sok henger közötti ideális áramlást (mint mondjuk egy megáradt (ideális) folyó egy szabályosan ültetett erd ben). 2.44. Megjegyzés. Kitér : henger-periodikus áramlások vizsgálata Gruber József ötlete alapján. Hasonló módon, ha csak egy irányban periodizálunk, akkor lehet ség nyílik hengerperiodikus áramlások vizsgálatára. Egy háromdimenziós példa: tegyük fel, hogy egy ventilátor lapátjai körben szimmetrikusan helyezkednek el, és egyetlen ilyen körül ismerjük az áramlást. Viszont minden lapát körüli áramlás hat a szomszédjára. Egyenesítsük ki megfelel transzformációval a feladatot, és nézzük helyette egy egyenesen végtelen sokszor eltolt példányát a (transzformált) egyetlen lapát körüli áramlásnak, így ezek összegeként egyszer bben meghatározhatjuk az áramlás transzformált változatát, mint ha hengeren dolgoznánk. 2.4. További felületek Belátható, hogy bármely g génuszú normálfelület térképezhet egy 2g-szöggé, aminek a megfelel oladalit megfelel irányítással összeragasztva kapjuk az absztrakt felületet 4-dimenzióban. A bizonyításhoz használhatjuk például azt a tételt, hogy egy g génuszú
2.4. További felületek 23 kompakt Riemann-felületen az olyan görbék száma, melyeknek egy közös pontja van, és nem bontják fel a felületet két diszjunkt részre, 2g. Általánosságban is igaz a a fenti két felületre kimondott tétel: 2.45. Tétel. Egy M kompakt Riemann-felületen minden f : M C holomorf függvény konstans. A stagnációs pontokról mondhatjuk általánosságban: 2.46. Tétel. Legyen M egy g génuszú kompakt Riemann-felület és legyen F : M C meromorf leképezés. Ha F -hez, mint komplex potenciálhoz tartozó áramlásnak k pólusa van, és azok mind els rend ek, akkor a stagnációs pontok rendjeinek az összege 2k + 2g 2.