Folyadékáramlás leírása komplex függvénytani eszközökkel és modellezése Matlab programmal

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Leipold Péter Zoltán Folyadékáramlás leírása komplex függvénytani eszközökkel és modellezése Matlab programmal BSc Szakdolgozat Témavezet : Sigray István Analízis Tanszék Budapest, 2017

2

3 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném kifejezni köszönetemet és tiszteletemet mindenkinek, aki hozzájárult a diplomamunkám elkészüléséhez. Mindenekel tt szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Sigray Istvánnak, aki a hasznos ötletein, útmutatásain és a felmerül kérdésekre adott készséges válaszain felül a türelmével és rugalmasságával is értékes segítséget nyújtott. Szeretném megköszönni a szakdolgozat kinyomtatásában és bekötésében nyújtott segítségét édesapámnak, Leipold Zoltánnak. Szeretnék továbbá köszönetet mondani az egész családomnak, a barátaimnak és az évfolyamtársaimnak, akik pozitív hozzáállásukkal átlendítettek engem a nehezebb napokon. 2

4 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Motiváció A szakdolgozat célja Történeti áttekintés Elmélet Elméleti bevezetés A uxus és a cirkuláció Az áramvonalak A nyomás kiszámítása Jelölések Számolás egy kis négyzeten A gyorsulás A nyomás képlete A felhajtóer kiszámítása a Kutta-Zsukovszkij-tétel Áramlás két akadály körül, megvalósítás Matlab programmal Az akadályok - elmélet Akadály az áramlásban Két akadály megvalósítása Az áramlás modellezése A szimbolikus számolás nehézségei a komplex logaritmusfüggvény A numerikus számolás hibája A program megalkotása A numerikus számolás hibájának kezelése A stagnációs pontok kiszámítása Az inputparaméterek megválasztása A programkód Megjegyzések Az áramlás kirajzolása és az eredmények értelmezése Áramlás két akadály körül Áramlás egy akadály körül

5 Különböz inputparaméterekkel kapott eredmények összehasonlítása Két akadályra ható felhajtóer Irodalomjegyzék 30 4

6 1. fejezet Bevezetés 1.1. Motiváció A témám kiválasztása során legf képpen egy dolgot tartottam szem el tt: szerettem volna az adott kereteken belül egy minél gyakorlatiasabb, a való életb l is táplálkozó példákat felsorakoztató témakörrel foglalkozni. Már középiskolás koromban is a matematikának legf képp az a része érdekelt, ahol az elméletet könnyen át lehetett ültetni a gyakorlatba, így kézenfekv nek éreztem a matematika és a zika határterületén mozgó problémák tárgyalását a szakdolgozatomban. A programozási feladat beleillik ebbe a koncepcióba. A segítségével az els re barátságtalannak t n elmélet rendkívül szemléletessé válik, az áramlások tanulmányozása pedig egy új szemszögb l válik lehetségessé A szakdolgozat célja A szakdolgozatom témája a hidrodinamika, a folyadékáramlások vizsgálata. A diplomamunka els felének az alapvet elméleti matematikai és zikai háttér ismertetése a célja. Megismerkedünk a témához kapcsolódó fogalmak deníciójával, és megmutatjuk, hogy a komplex függvénytan segtíségével hogyan lehet matematikailag leírni ezeket, milyen összefüggések teljesülnek rájuk. Behatóbban megvizsgáljuk, hogy milyen er hat egy folyadékáramlásban elhelyezett akadályra, illetve miként lehet kiszámolni azt. A szakdolgozat második részében szeretnénk olyan áramlásokat modellezni, amelyekben két komplex függvénytani eszközökkel deniált akadály van elhelyezve. A körülöttük zajló áramlásról szeretnénk képet kapni egy program segítségével. Meggondoljuk, hogy milyen szoftver a legalkalmasabb a feladatra, áttekintjük a program megalkotásának matematikai szempontból fontos részeit. A modellezés eredményeként kapott ábrákat megvizsgáljuk, és összehasonlítjuk ket egymással. Végül megpróbál- 5

7 juk az elméleti részben bemutatott képleteket alkalmazva kiszámolni az akadályokra ható felhajtóer t Történeti áttekintés A komplex számok létrejöttének a történelem során alapvet en egy f motivációja volt: a gyökvonás m velete kivezet a valós számok halmazából, így negatív számok négyzetgyökét nem tudták értelmezni. Már az els században az ókori görög matematikus, Hérón egyik munkájában is el került egy csonkakúp térfogatának kiszámítása során - látszólag egy hibából adódóan - egy negatív szám, melyb l gyököt kell vonni, bár ezt akkor egyszer en az ellentettjére cserélte. [4] A komplex számok valódi kialakulása azonban csak a 16. században történt meg, amikor egy igen fontos és kézzel fogható probléma, a harmadfokú egyenlet megoldása során futottak bele negatív számokba a gyökjel alatt. Az x 3 + px + q = 0 általános alakú harmadfokú egyenlet ekkor megalkotott megoldóképletében, a Cardanoformulában ugyanis éppen abban az esetben kell negatívból gyököt vonni, amikor az egyenletnek három valós megoldása van. Szükségszer vé vált a számfogalom kiterjesztése, deniálni kellett egy számot, amely négyzetgyöke egy negatív számnak. Ez lett az i, melyre deníció szerint igaz, hogy i 2 = 1. A komplex függvénytan kifejl désére egészen a 19. század els feléig-közepéig kellett várni, ekkor tevékenykedett a tudományág több nagy alakja, többek között Georg Friedrich Bernhard Riemann és Augustin Cauchy. [5] 6

8 2. fejezet Elmélet Ebben a fejezetben a komplex függvénytan hidrodinamikai alkalmazásáról lesz szó. Az alapvet fogalmak deniálása után több fontosabb tétel kerül kimondásra, melyek közül néhánynak a bizonyítását is áttekintjük. Szó lesz továbbá a zikai jelenségek mögött megbúvó matematikáról, illetve zikai adatok sebesség, nyomás, uxus, cirkuláció kiszámításáról. A fejezetben Halász Gábor Kis hidrodinamika cím jegyzetéb l, valamint Sigray István Hidrodinamika komplex függvénytani eszközökkel cím el adásából vannak részek feldolgozva Elméleti bevezetés A komplex számsík bijektíven megfeleltethet R 2 -nek, például z = a + ib-t (a, b R) megfeleltetve (a, b) R 2 -nek. Így tehát tekinthetünk C-re egy R 2 -tel izomorf vektortérként (ezáltal a függvényeire vektormez kként), a sík tartományaira pedig a komplex számsík részeiként. 1. Deníció. D C tartomány, f : D R C vektormez, f(z, t) a t id pillanatban a z pontban tartózkodó részecske sebessége. Ekkor f áramlás. 2. Deníció. Ha az áramlás id ben állandó, azaz f nem függ t-t l, akkor stacionárius áramlásról beszélünk. 3. Deníció. Egy áramlás forrás-nyel mentes, ha tetsz leges görbék által határolt résztartományán egységnyi id alatt ugyanannyi folyadék áramlik be, mint ki. A további vizsgálódás során stacionárius folyadékáramlásokkal fogunk foglalkozni. Feltesszük továbbá azt is, hogy a folyadék összenyomhatatlan, örvénymentes és forrásnyel mentes. Tekintsünk egy ilyen f(z) sebességvektor-mez t f(x + iy) = u(x, y) iv(x, y) 7

9 alakban, ahol u és v folytonosan dierenciálható és u(x, y) iv(x, y) holomorf D-n (utóbbi tulajdonság ekvivalens a forrás-nyel mentességgel). A továbbiakban deniálunk néhány fontos, f-et jellemz számot, és megvizsgáljuk, hogy miként lehet kiszámítani ket adott f vektormez ben zajló áramlás esetén A uxus és a cirkuláció 4. Deníció. Az egységnyi felületen egységnyi id alatt átáramló folyadékmennyiséget uxusnak nevezzük. Egy egyszer görbén a uxus kiszámításához számoljuk ki, hogy egy kicsi (ezáltal egy szakasznak tekinthet ), dz = (dx+idy) ívén mennyi folyadék halad át. Ehhez ismernünk kell f(z) vektormez a szakaszra mer leges komponensének nagyságát. Világos, hogy ekkor a szakaszon átáramló folyadék mennyisége a mer leges komponens, szorozva dz-vel. idz mer leges dz-re, f(z) idz-vel párhuzamos komponense ekkor a két vektor skalárszorzata: (f(z), idz) = (u + iv, dy idx) = v dx + u dy = I(f(z)dz), tehát a teljes íven a uxus: v dx + u dy dz = I f(z) dz. 5. Deníció. Cirkulációnak nevezzük azt, hogy -t mennyire szeretné az áramlás negatív iránya forgatni. A cirkuláció kiszámtása nagyon hasonlóan történik, a dz íven most egy másik skalárszorzatot kell kiszámolnunk: (f(z), dz) = (u + iv, dx + idy) = u dx + v dy = R(f(z)dz), tehát a teljes íven a cirkuláció: u dx + v dy dz = R f(z) dz.[3] Ezen a ponton érdemes megemlíteni a Cauchy-féle integráltételt, amely azt mondja ki, hogy egy egyszeresen összefügg tartományon értelmezett komplex deriválható függvény zárt görbe mentén vett vonalintegrálja 0. A fentiek alapján a tételnek az a zikai jelentése, hogy egy ilyen függvény által meghatározott áramlásban egy zárt görbe mentén a uxus és a cirkuláció is 0. 8

10 Az áramvonalak 6. Deníció. Legyen D C tartomány, (u, v) az eddig megszokott módon deniált vektormez. Ekkor azt mondjuk, hogy : [a, b] D görbe áramvonal, ha sima és (t) = (u((t)), v((t))). Az áramvonal zikai jelentése egy olyan sima görbe, amelynek bármely kis darabján a uxus 0, azaz I f(z) dz = I(F ( (b)) F ( (a))), ahol : [a, b] D egy kis darabja, F pedig f primitív függvénye egy kis környezetében. F létezik, ha átmér je elég kicsi. Ekkor az áramvonal egyenlete: IF (z) = konstans.[1] 2.2. A nyomás kiszámítása Jelölések A további számolás során el forduló zikai mennyiségeknél a hagyományos jelöléseiket használjuk: m: tömeg F : er a: gyorsulás ρ: s r ség p: nyomás Számolás egy kis négyzeten Szeretnénk kiszámolni, hogy az f(x + iy) = u(x, y) iv(x, y) áramlás pontjaiban mekkora a nyomás (p(z)). Kihasználjuk, hogy a folyadékot, amiben az áramlás zajlik, összenyomhatatlannak tekintjük, és egy kicsi [x 0 h, x 0 +h] x [y 0 h, y 0 +h] négyzetre ható er t számoljuk ki. Képzeljük a négyzetet a tengelyekkel párhuzamosnak. Az er vízszintes komponensét (F x ) a négyzet bal és jobb oldalára ható er k összege adja. Mivel az er vektormennyiség, az el jel az irányt jelenti: a négyzet belsejéb l kifele, vagy a külsejéb l befele mutat a nyomóer. F x = h h (x 0 h, y 0 + t) dt 9 h h (x 0 + h, y 0 + t) dt.

11 Összevonva, és középértéktételt alkalmazva: F x = 2h(p(x 0 h, y 0 + t 1 ) p(x 0 + h, y 0 + t 1 )) = 4h 2 p x (x 0 + t2, y 0 + t 1 ). Teljesen hasonló módon kapjuk a függ leges komponenst, F y -t: F y = h h A gyorsulás Newton második törvénye szerint (x 0 + t, y 0 h) dt h h (x 0 + t, y 0 h) dt F y = 4h 2 p y (x 0 + t3, y 0 + t 4 ). F = m a. A kis négyzet homogén anyagnak tekintend, így a tömegét kifejezhetjük a s r ségével és a térfogatával ami jelen esetben a négyzet területe. tehát m = ρ 4h 2, a = F ρ 4h 2. Az er helyébe behelyettesítve a kiszámolt formulát és egyszer sítve adódik a gyorsulásvektor: a = 1 ( p ρ x (x 0 + t 2, y 0 + t 1 ), p ) y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ). Ha h tart 0-hoz, akkor t i -k is tartanak 0-hoz. Ekkor feltéve, hogy p folytonosan dierenciálható, a = 1 ( p ρ x, p ) y adódik A nyomás képlete Hogy p(z)-re még szebb képletet kapjunk, tegyük fel, hogy (t) áramvonal átmegy z 0 = (x 0, y 0 ) ponton, és (0) = z 0. Mivel a gyorsulás kifejezhet az út id szerinti második deriváltjával, a(x 0, y 0 ) = (t) következik. Legyen (t) = (u((t)), v((t))), 10

12 ezt kell még egyszer deriválni, hogy (t)-t kapjuk. Számolhatunk koordinátánként: a láncszabály szerint t (u((t))) = u ((t)) (t). (t)-t behelyettesítve, és a Cauchy-Riemann egyenleteket alkalmazva kapjuk, hogy az els koordináta egyenl -vel. 1 2 ( u 2 y Teljesen hasonló módon jön ki, hogy ) v2 ((t)) + x ((t)) = t (v((t))) = 1 2 f 2 y ((t)). Ekkor a(x 0, y 0 ) = (t) miatt t = 0 esetén a = 1 ( ) f 2 2 x, f 2, y ezt összevetve a gyorsulásra korábban kapott képlettel 12 f 2 x ((t)) következik, tehát p x = ρ 2 f 2 x ; p y = ρ 2 f 2 y p(x, y) = p(z) = ρ 2 f 2 + c.[2] 2.3. A felhajtóer kiszámítása a Kutta-Zsukovszkijtétel Legyen D C tartomány, : [a, b] D pozitív irányítású Jordan-görbe. A kérdés az, hogy mekkora er hat az áramlásban elhelyezett zárt görbére? Tekintsük egy a = t 0 < t 1 < < t n = b felosztását. A görbére ható felhajtóer megegyezik a befelé ható er vel, amit ki lehet számítani a (t j 1 ) (t j ) ívekre befelé ható er k összegeként. A befelé ható er a görbére nehezed nyomásból fakad. Tudjuk, hogy a nyomóer kiszámítható a nyomás és a nyomott felület szorzataként, azaz a hagyományos jelölésekkel F = p A. Mivel a nyomást az eddigiek alapján egy pontban tudjuk csak kiszámolni, így a teljes ívre a nagyságát az ív egy (ξ j )) pontjára ható nyomás és az ív hosszának szorzataként 11

13 számolhatjuk (középértéktételt felhasználva). Az ív hosszát a kezd - és végpont különbségével közelítjük. Az er iránya az ívre mer legesen, befelé mutat, így (a pozitív irányítás miatt) egy i-vel való szorzást produkál. Tehát így F = F j p((ξ j )) ((t j ) (t j 1 )) i, n F j p((ξ j )) ((t j ) (t j 1 )) i j=1 i p(z) dz, amint a felosztás egyre nomodik. Behelyettesítve a nyomásra korábban kiszámolt képletet: F = iρ 2 f 2 (z) dz, a konstansokat kihozva F = iρ 2 f 2 (z) dz. Ez kiszámolható, ha reguláris függvény, például egy áramvonal. Ekkor (t) = (u((t)), v((t))) sin(u + iv)((t)) f((t)). Kihasználva a komplex vonalintegrál denícióját, valamint az iménti egyenl séget, b b b f 2 (z) dz = f 2 ((t)) (t) dt = (f f)((t)) f((t)) dt = f (f 2 ((t))) dt adódik. így a f 2 (z) dz = b a (f f 2 )((t)) dt = F = iρ 2 a b a f 2 (z) dz. (t) f 2 ((t)) dt = ( # ) a f 2 (z) dz, A továbbiakban ennek a képletnek a zikai jelentését vizsgáljuk meg. Ehhez feltesszük, hogy ext D és lim z f(z) létezik és véges. Ekkor f(z) Laurent-sora elég nagy R és z > R esetén 0 f(z) = a n z n, továbbá Mivel f 2 (z) = f 2 (z) dz = n= 0 n= z =R >R 12 b n z n. f 2 (z) dz,

14 így a reziduum tétel szerint 0 f 2 (z) dz = b n z n dz = b 1 z 1 dz = 2πi b 1. z =R z =R n= Világos, hogy b 1 = 2 a a 1, mivel f(z) Laurent-sorát négyzetre emelve 1 z konstans tag és 1 szorzataként jöhet létre. Tehát z f 2 (z) dz = 4πi a 0 a 1, csak a ezért F = iρ 2 4πi a 0 a 1 = ρ 2π a 0 a 1. Mivel a 0 = lim z f(z) = lim z (u(z) iv(z)), a 0 a sebesség határértéke a végtelenben. Kihasználva, a Cauchy-alaptételt, valamint, hogy f(z) dz áramvonal, így a uxusa 0, tehát az integrál tisztán valós, a 1 = 2π f(z) dz = 1 z =R 2πi f(z) dz, vagyis a 1 = 1 2πi x cirkuláció és a 1 = 1 2πi x cirkuláció. Mindent behelyettesítve adódik, hogy F = i x s r ség x sebesség x cirkuláció, ez a Kutta-Zsukovszkij tétel. [2] 13

15 3. fejezet Áramlás két akadály körül, megvalósítás Matlab programmal Ebben a fejezetben az eddig látott elméletet ültetjük át a gyakorlatba: elhelyezünk két darab akadályt az áramlásban. A már ismertetett tételek segítségével meggondoljuk, hogy hogyan nézhet ki egy ilyen áramlás, egy matematikai programcsomaggal modellezzük azt, és megvizsgáljuk az eredményt Az akadályok - elmélet 7. Deníció. Legyenek D 1, D 2 C tartományok, g : D 1 C, f : D 2 C áramlások, φ : D 1 D 2 konform bijekció. Ekkor azt mondjuk, hogy g hasonló f -hez, ha g = f φ φ Tétel. Legyen z 0, ω 0 C, φ : B(z 0, ɛ) C konform és φ(z 0 ) = ω 0. Legyenek továbbá D 1 = Ḃ(z 0, ɛ), D 2 = φ(ḃ(z 0, ɛ)) tartományok, g : D 1 C, f : D 2 C reguláris, hasonló függvények. Ekkor, ha g-nek z 0 -ban k-adrend pólusa van, akkor f -nek is k-adrend pólusa van ω 0 -ban, továbbá k = Res[g(z)] z=z0 = Res[f(w)] z=z0. [1] Bizonyítás A hasonlóság deníciója alapján g = f φφ, így Res[g(z)] z=z0 = 1 2πi g(z) dz = 1 2πi (f φ)(z) φ (z) dz z z 0 =ɛ átváltunk ω szerinti integrálásra: 1 2πi (f φ)(z) φ (z) dz = 1 2πi z z 0 =ɛ z z 0 =ɛ z z 0 =ɛ f(ω) dω = Res[f(ω)] z=z0. A bizonyítás második része a pólus rendjér l szól, k képletében g(z)-t behelyettesítjük, használva a szorzat deriválásának szabályát, illetve a láncszabályt: k = 2πi 1 g (z) g(z) dz = 2πi 1 (f φ)(z) (φ ) 2 (z) + (f φ)(z) φ (z) dz (f φ)(z) φ (z) z z 0 =δ z z 0 =δ 14

16 Kihasználjuk, hogy az integrál második tagja 0, ekkor 1 2πi (f φ)(z) φ (z) dz = 1 (f φ)(z) 2πi z z 0 =δ Tehát f pólusának a rendje ω 0 -ban éppen k.[1] φ( z z 0 =δ) f (ω) f(ω) dω = k. 8. Deníció. Két áramlást egy-egy (akár izolált szingularitási) pontjukban akkor mondunk lokálisan hasonlónak, ha a pontok alkalmas nyílt környezetére megszorítva azokat hasonlóak lesznek Állítás (Lokális hasonlóság tétele). A pólusok rendjének és a reziduumoknak a megegyezése elégséges feltétele a lokális hasonlóságnak. A bizonyítás hosszadalmas és nehéz, ezért azt részletesen nem nézzük meg. A bizonyítás alapvet en az implicit függvénytételre támaszkodik Tétel (Implicit függvénytétel). Legyen H(z, s) folytonos és mindkét változója szerint reguláris függvény (z 0, s 0 ) C x C egy kis környezetében. Ha H(z 0, s 0 ) = 0, H s (z 0, s 0 ) 0, akkor z 0 egy elég kis környezetében létezik S(z) reguláris függvény, amelyre H(z, S(z)) = 0, S(z 0 ) = s 0. Az ötlet az, hogy ha egy ügyesen megválasztott függvényre belátjuk, hogy teljesülnek a tétel feltételei, akkor meggondolható, hogy következik egy olyan φ függvény létezése, mint ami a hasonlóság deníciójában van Akadály az áramlásban A g(z) = A z függvénynek az origóban els rend pólusa van. z =r A z = 2πA a konjugáltjának az origó körüli körön vett vonalintegrálja. Ekkor g(z) 2πA er sség forrás. Ennek valós része az origóban keletkez uxus, képzetes része a cirkuláció. [3] Legyen A tisztán képzetes, ekkor az origóban keletkez uxus 0, tehát létezik olyan görbe a pólus körül, melyen nem áramlik át folyadék. Mivel egy áramvonalnak bármely kis részén 0 folyadék áramlik át, így ez a görbe egy áramvonal, ami záródik a pont körül. Ez a zárt áramvonal tekinthet egy akadálynak az áramlásban. 15

17 Két akadály megvalósítása Legyen f(z) olyan, hogy f(z) = α z a + β z b + c. Ekkor f(z)-nek els rend pólusa van a-ban és b-ben. A lokális hasonlóság tétele szerint ekkor az a-beli pólus kis környezetében az áramlás hasonló g(z) = α -hez, hiszen z a pólusaik rendje és a reziduumaik is megegyeznek. Ha α tisztán képzetes, akkor a pólus körül van záródó áramvonal, ami hasonlóan az el bbihez felfogható úgy, mint egy akadály az áramlásban. Természetesen mindkét pólus esetén elmondható a gondolatmenet, így megkapható a két akadály Az áramlás modellezése A bevezetésben már taglalt feladat megvalósításához módot kell találni arra, hogy képet kaphassunk az f által meghatározott vektormez ben zajló áramlásról. A legkézenfekv bb megoldás az, ha a program inputként f függvény paramétereit kapja, outputként pedig egy 2 dimenziós (így a komplex számsíknak megfeleltethet ) ábrát ad vissza, mely tartalmazza az akadályokat, az áramlás stagnációs pontjait (azokat a pontokat, ahol a vektormez értéke 0), valamint néhány célszer en megválasztott ponton áthaladó áramvonalat. A feladat tehát ezen objektumok kiszámítása, a szoftver kiválasztása során ezt kell gyelembe venni A szimbolikus számolás nehézségei a komplex logaritmusfüggvény Az áramvonalak pontos meghatározása érdekében kézenfekv lenne egy szimbolikus matematikai szotvert használni. Az ok, amiért ez nem lehetséges, az áramvonalak kiszámításának matematikai nehézsége. Láttuk, hogy egy áramvonalat az I(F (z)) = c egyenlet ad meg, ahol F = f és c konstans. α F (z) = f(z) dz = z a + β + c dz = α log(z a) + β log(z b) + cz + C z b Állítás. A komplex exponenciális függvény nem invertálható egyértelm en. Bizonyítás Ahhoz, hogy egy olyan logaritmusfüggvényt lehessen deniálni, mely a komplex exponenciális függvény inverze, utóbbinak injektívnek kellene lennie. Ez 16

18 azonban triviálisan nem igaz, hiszen tetsz leges w komplex szám esetén e w = e w+2πi. A hagyományos értelemben vett logaritmusfüggvény tehát nem m ködik komplex számok esetén, ezért egy olyan kell deniálni, ami egyértelm. 9. Deníció (Komplex logaritmusfüggvény). A log(z) = log z +i arg(z) végtelen érték függvény. Ha z-t megszorítjuk I(z) > 0-ra, akkor log(z) = log z +i arg(z) egyérték függvény és log (z) = 1 z. Más részr l az I(F (z)) = c egyenlet megoldása is túl nehéz A numerikus számolás hibája A numerikus matematikai programok egyik egyértelm hátránya a szimbolikusakkal szemben a pontosság. El bbiek nem tudnak tökéletesen pontos értéket kiszámítani minden esetben, ilyenkor kerekítenek, ami hibával jár. Az áramvonalak numerikus közelítése a következ képp történik: a vektormez egy adott pontjából indulva a hozzá tartozó vektor irányába lépünk, majd az újabb pontból az ahhoz tartozó vektor irányába, s így tovább. Könnyen látható, hogy egy kis kerekítési hiba sok lépés után (az újabb hibákkal összeadódva) rossz eredményt adhat. Szépen szemlélteti a jelenséget az a példa, amikor az áramvonal kör alakú (például egy pólus közelében). Ekkor a vektormez a körvonal minden pontjában érint irányú vektort tartalmaz. Így ha a pontbéli vektor irányába lépünk, akkor lekerülünk a körvonalról, ezáltal az áramvonalról is, és a pontsorozat egy növekv csigavonalat fog leírni. 17

19 3.3. A program megalkotása A következ pontokban a programkód létrehozásához szükséges matematikai megfontolásokat, számolásokat ismerhetjük meg A numerikus számolás hibájának kezelése A hibát teljes egészében nem lehet eltüntetni, csupán a nagyságát tudjuk csökkenteni. A cél az, hogy közel maradjunk az áramvonalhoz. Az ötlet az, hogy a lépéseknek apróknak kell lenniük. A w pontból ne w + f(w), hanem w + f(w) M pontba lépjünk, ahol pl. M = Minél nagyobb M, annál közelebb marad a kapott pontsorozat az áramvonalhoz ábra. A bels kék vonalnál M = 10000, a pirosnál M = 1000, a feketénél M = 200. Látható, hogy míg az els majdnem pontosan a kiindulási pontba ér vissza, a másik kett nél a kisebb M érték miatt már igen jelent s a hiba. Természetesen még egy nagyon nagy M sem szünteti meg a korábban példaként említett jelenséget, mely során kör alakú áramvonal helyett növekv csigavonalat kapunk a numerikus számolás eredményeként, csupán a csigavonal átmér je növekszik lassabban. 18

20 A stagnációs pontok kiszámítása A stagnációs pont deníciója alapján az f(z) = 0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel egy komplex szám akkor és csak akkor 0, ha a valós és a képzetes része is 0, elhagyhatjuk a konjugálást. Kibontva f(z)-t: α z a + β z b + c = 0. A nevez kkel szorozzunk fel, majd rendezzük az egyenletet: α(z b) + β(z a) + c(z a)(z b) = 0 cz 2 + (α + β ca cb)z αb βa + cab = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével megkapjuk a keresett pontokat: z 1 = cb + ca α β + (α + β ca cb) 2 4c( αb βa + cab) 2c z 2 = cb + ca α β (α + β ca cb) 2 4c( αb βa + cab) 2c Egy ilyen hosszú képlet esetén a számolás helyességér l úgy gy z dhetünk meg, ha a Viéte-formulák szerint kiszámoljuk a gyökök összegét, illetve szorzatát, és ellen rizzük, hogy az eredményekre stimmelnek-e. 19

21 Az inputparaméterek megválasztása A program megalkotásának egyik legfontosabb fázisa az, hogy eldöntsük, mely paraméterekkel hívjuk meg a programot. Mivel a vektormez nk f(z), ahol f(z) = α + β +c, mindenképpen szükség van az α, β, a, b, c paraméterekre. Megválasztásuk z a z b során észben kell tartanunk, hogy α és β tisztán képzetesek a és b az áramlás els rend pólusai, k határozzák meg az akadályokat c olyan, hogy az áramlás sebessége a végtelenben c, mivel lim z f(z) = c Meg kell adnunk továbbá, hogy mely pontokon áthaladó áramvonalakat rajzoljuk ki. Ezeket a pontokat nem muszáj inputparaméterként beolvasni, a programon belül is ki lehet számolni. A végeredmény szempontjából érdekesek (ahogy azt kés bb látni is fogjuk) a stagnációs pontok közelében, illetve az akadályok között futó áramvonalak. Szükség van a lépésszám beolvasására is, ez azt fogja megadni, hogy az áramvonalak kirajzolása során hányszor tesszük meg a korábban már taglalt lépést, mely során az adott pontból a hozzá rendelt vektor irányába lépünk, a vektor nagyságának egy kis hányadával. 20

22 A programkód 21

23 22

24 Megjegyzések A program a The MathWorks Matlab R2006a numerikus matematikai programcsomagjával készült. Mivel a Matlabban történ programozásban el z leg nem voltam igazán jártas, program megalkotása során az el zetes tervezés helyett inkább a folyamatos tesztelést tartottam els dleges szempontként szem el tt Az áramlás kirajzolása és az eredmények értelmezése Ebben a szakaszban kielemezzük a program által kirajzolt áramlást: megnézzük közelebbr l és távolabbról az akadályok körül futó áramvonalakat, összehasonlítunk különböz bemeneti értékekkel kapott ábrákat, és megvizsgáljuk, hogy mi mondható el a két akadályra ható felhajtóer r l. Megnézzük továbbá azt az esetet is, amikor csak egy akadály található az áramlásban. A program tesztelése során sokat kellett próbálkozni különböz inputparaméterek megadásával, hogy szép ábrák szülessenek. A szép ábrát visszaadó értékek viszonylag sz k intervallumokon mozogtak. Ennek oka a korábban már taglalt pontatlansága a numerikus számolásnak. A következ ábrák tehát a komplex síkon az f(z), ahol f(z) = α z a + β z b + c vektormez által meghatározott áramlást ábrázolják, különböz bemeneti paraméterek esetén. 23

25 Áramlás két akadály körül A tesztelések során a következ paraméterek igen szép eredményt adtak: α = i β = 2i a = 1 b = 3 c = 1 i n = ábra. f(z) (f(z) = i + 2i + 1 i) vektormez ben zajló áramlás (áramlás két z 1 z 3 akadály körül) A stagnációs pontokhoz közel futó áramlások szorosan megkerülik az akadályokat. Az akadályok között futó áramvonal különböz irányból, a stagnációs pontokkal ellentétes oldalon kerüli ki a két akadályt. 24

26 A következ ábrán jól látható az áramlás iránya, amit a függvény c paramétere határoz meg, mivel lim z (f(z)) = c. A bemeneti értékek: α = i β = 2i a = 1 b = 3 c = 1 i n = Csak n-et növeltük meg, hogy az áramvonalak hosszabban kirajzolódjanak, így az akadályok nagyobb környezetér l kapunk képet ábra. c = 1 i, ekkor az áramvonalak iránya c = 1 + i vektor iránya, ez csak az akadályok közelében változik meg lokálisan. 25

27 Áramlás egy akadály körül Vizsgáljuk f(z)-t a következ paraméterekkel: α = 0 β = 2i a = 1 b = 0 c = 1 i n = Ekkor f(z) = β + c, ami annak felel meg, hogy csak egy akadály van az áralásban. z 3.4. ábra. f(z) = 2i +1 i Egy akadály körül hasonlóan viselkednek az áramvonalak, z mint kett esetén: a stagnációs ponthoz közeliek szorosan megkerülik az akadályt. 26

28 Különböz inputparaméterekkel kapott eredmények összehasonlítása Ebben az alszakaszban azt fogjuk vizsgálni, hogy egy-egy paraméter megváltoztatása milyen hatással van az áramlás képére. Összehasonlítási alapként kirajzoljuk az áramlást az eddig használt paraméterekkel: α = i β = 2i a = 1 b = 3 c = 1 i n = Ehhez képest gyeljük meg, hogy milyen eltérést okoznak a megváltozott bemeneti értékek. Három esetet vizsgálunk meg. f(z) képlete f(z) = α z a + β z b + c is jól mutatja, hogy az öt paraméterb l kett -kett (α és β valamint a és b) hasonló zikai jelentést hordoz, így ezeket a párokat nem fogjuk külön esetekként kezelni, hanem csak az egyiket nézzük meg. 27

29 3.5. ábra. A bal fels ábrán f(z) = i + 2i + 1 i, a jobb fels n a = 5, a bal alsón z 1 z 3 α = 5i, a jobb alsón pedig c = 5 5i, valamint n = A jobb fels ábrán az egyik akadály helyét változtattuk meg más a paraméter megadásával. Az áramlás képe nagyon hasonló az eredetihez, de az akadályok között futó áramvonal sokkal közelebb ér a stagnációs pont közelében haladó áramvonalhoz, majdnem megegyeznek. Bal alsó ábra (mely a látszat ellenére nem egy kortárs m vészeti alkotás): α megnövelésével a vektormez ben található vektorok nagysága változik. Ez els sorban az által leírt akadály közelében, mivel ott z a kicsi, így nagy, és α α z a z a α változtatásával jelent sen változik jelent sen megváltoztatta az áramlás képét. A két akadály közti szakasz felez pontjából induló áramvonal záródott a bal oldali akadály körül. Jobb alsó ábra: itt az látszik, hogy nem sikerült létrehozni az akadályokat, mivel a (fekete csillagokkal jelölt) szingularitások körül nem záródtak az áramvonalak. Ennek oka az, hogy túl nagy a sebessége az áramlásnak: c itt ötszöröse az eddigi értéknek, ez volt az oka annak is, hogy a kirajzoláshoz elég volt az eddigi érték tizedrésze, n = Érdemes megjegyezni, hogy az alsó két ábra esetén az áramlás sebessége alapvet en nagyobb, így a numerikus számolás is nagyobb hibát produkál. 28

30 3.5. Két akadályra ható felhajtóer Az elméleti fejezetben beláttuk a felhajtóer kiszámítására alkalmas Kutta-Zsukovszkij tételt. Most azt a kérdést szeretnénk körüljárni, hogy milyen módon lehet kiszámítani az áramlásunkban elhelyezett két akadályra ható er t, és mik a buktatói ennek. Az lenne a legjobb, ha ki tudnánk számolni, hogy mekkora er hat a két akadályra külön-külön. A Kutta-Zsukovszkij-tétel bizonyítása során a ( # ) -tel jelölt képlet alkalmazható. A továbbiakat nem használhatjuk, hiszen nem teljesülnek a szükséges feltételek. A képletben f 2 (z) dz kiszámítása az érdekes. f 2 (z) = α 2 (z a) + 2αβ 2 (z a)(z b) + 2αc z a + β2 (z b) + 2βc 2 z b + c2. Számoljuk ki az a középpontú akadályra ható felhajtóer t: ehhez egy a körüli görbén kell integrálnunk. Ha belsejében nincs benne b pont, akkor a jobb oldal utolsó három tagja reguláris int()-n, azaz az integráljuk 0. f 2 (z) dz = α 2 (z a) + 2αβ 2 (z a)(z b) + 2αc z a dz. Használjuk a Reziduumtételt! [ α 2 + 2αβ z a ] + 2αc(z a) f 2 z b (z) dz = 2πi Res (z a) 2 z a ( f 2 (z) dz = 2πi lim α 2 + 2αβ z a ) + 2αc(z a) z a z z b ( ) f 2 (z b) (z a) (z) dz = 2πi lim 2αβ + 2αc z a (z b) 2 ( ) 2αβ f 2 (z) dz = 2πi a b + 2αc Az akadályra ható felhajtóer ekkor F = 2πi iρ ( ) 2αβ 2 a b + 2αc. Amennyiben α és β tisztán képzetes, a és b is tisztán képzetes és c valós, úgy ( F = πρ 2αβ ) a b 2αc, és a másik akadályra a felhajtóer (teljesen hasonlóan számolva): ( F 2 = πρ 2αβ ) b a 2βc. Tehát ebben az esetben az akadályokra ható mindkét er a képzetes tengellyel párhuzamos, mivel tisztán képzetesek. Minden nap egy alma és a doktor alma. 29

31 Irodalomjegyzék [1] Gilányi Gergely Tamás (2012), Hidrodinamikai problémák [2] Sigray István, Hidrodinamika komplex függvénytani eszközökkel el adás 2016/2017/2 félév [3] Halász Gábor, Kis hidrodinamika [4] Nahin, Paul J. (2007), An Imaginary Tale: The Story of 1, Princeton University Press, ISBN [5] Wikipedia 30