Hidrodinamikai Problémák. Gilányi Gergely Tamás

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hidrodinamikai Problémák BSc Szakdolgozat Gilányi Gergely Tamás Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Sigray István M szaki Gazdasági Tanár ELTE Analízis Tanszék Budapest, 01

2 .

3 Tartalomjegyzék Bevezet 5 1. Stacionárius Áramlások Ideális folyadékok áramlása Cirkuláció és a uxus Áramvonal Nyomás Felhajtóer Hasonló áramlások Instacionárius áramlások Kontinuitási Tétel A jellemz k lokális és konvektív megváltozása Euler-Egyenlet Gyorsulás Euler-Egyenlet Bernoulli-Egyenlet Az Aramvonal program A feladat deniálása Elemzés Input paraméterek Implementáció Absztrakt Program Tesztelés III

4 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek Sigray Istvánnak, aki érdekes ötleteivel, szakmai tanácsaival, és kérdéseimre adott kielégít válaszaival el segítette ennek a dolgozatnak a létrejöttét. Szeretnék még köszönetet mondani évfolyamtársaimnak a sok ötletért, jegyzetért, és az egész éves bíztatásért. Emellett szeretnék köszönetet mondani Brian Coxnak, aki érdekes el adásaival felkeltette az érdekl désemet a Fizika több érdekes ágazata iránt. IV

5 Bevezet A szakdolgozatomban hidrodinamikai feladatokkal, kérdésekkel, és problémákkal fogok foglalkozni. A hidrodinamika egy alapvet fontosságú ága a zikának, mivel ez a tudományág hozzásegít minket ahhoz, hogy megértsük a természet számos érdekes jelenségét. A hidrodinamika érdemben kapcsolja össze az eddig tanult zikai jelenségeket a matematikai ismereteinkkel. Felmerülhet a kérdés az olvasóban, hogy mivel is foglalkozik maga a hidrodinamika? Legegyszer bben úgy lehetne megfogalmazni, hogy a folyadékok mozgásának és egyéb tulajdonságainak a leírásával foglalkozik. Ha picit b vebben szeretnénk a kérdésre a választ megfogalmazni, akkor mindenképp meg kell még említenünk azt, hogy a folyadékáramlások modellezése mellett a levezetett tételeknek, törvényeknek a gyakorlati felhasználásával is foglalkozik a hidrodinamika. Jogos kérdése lehet az olvasónak, hogy milyen gyakorlati felhasználásai lehetnek a hidrodinamikának? Milyen való életbeli haszna lehet ennek az érdekes tudományágnak? Az egyik legismertebb felhasználása ennek (amir l szerintem már mindenki hallott) az a repülés. Emellett számos felhasználása van még például az orvostudományban (véráramlási modellek megalkotásában), a gyógyszerészetben folyadékkromatográf készülékek m ködése is elengedhetetlen lenne a hidrodinamika nélkül, és persze nem lehet elfeledkezni a mérnöki felhasználhatóságáról sem. A dolgozatomban két fajta áramlástani modellel fogunk megismerkedni A Stacionárius síkáramlási modell, ahol az áramlás tényez i nem függnek az id t l, és az áramlás síkban történik Az Instacionárius térbeli áramlási modellel, ahol az áramlás tényez i függnek az id t l, emellett az áramlás a térben megy végbe. Miután megismerkedtünk ezzel a két modellel a harmadik fejezetben a Stacionárius áramlások egy nagyon fontos tulajdonságának (az áramvonalnak) grakus ábrázolására készített programommal (és annak dokumentációjával) fognak megismerkedni. 5

6 1. fejezet Stacionárius Áramlások Ebben a fejezetben stacionárius síkáramlásokról fogunk levezetni állításokat, zikai tulajdonságokat, érdekes jelenségeket. Felmerül az emberben a kérdés, hogy mit is jelent az, hogy egy áramlás sikáramlás, vagy hogy egy áramlás stacionárius? Erre a két kérdésre az alábbi két deníció egyszer választ tud adni: Deníció. Egy áramlás síkáramlás, ha létezik az áramláshoz egy olyan sík, amire a mer leges sebességkomponens értéke 0, és ezzel a síkkal párhuzamos síkokban az áramlás képe azonos. Azaz v z = 0 és vx z = vy z = 0. Stacionárius áramlásban a jellemz k nem függenek az id t l, így a sebességterét a v = v(r) alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér minden egyes (x 0, y 0 ) pontjában adott koordináta-rendszerb l nézve id ben nem változnak. Formálisan: Legyen D R egy tartomány Deníció. Egy áramlás Stacionárius, ha minden (x, y) D pont sebességvektora független az id ponttól. Ekkor létezik (u(x, y), v(x, y)) : D R vektortér, amely minden ponthoz a sebességvektort rendeli hozzá. 6

7 Ideális folyadékok áramlása Stacionárius Áramlások 1.1. Ideális folyadékok áramlása Jelent s különbség van a cseppfolyós és légnem közegek között viszont, ha áramlástani feladatok megoldása szempontjából tekintjük ezeket a közegeket, akkor jelent s hasonlóságot tapasztalunk. Ezért vezettük be a folyadék gy jt fogalmat, amely segít nekünk különböz halmazállapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüggések meghatározásában. A valóságos folyadékok áramlásának modellezésére bevezetjük az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb tulajdonságai a következ k: 1. homogén. Súrlódásmentes 3. Összenyomhatatlan Deníció. Egy áramlás ideális, ha stacionárius, örvénymentes, forrás-nyel mentes Deníció. Egy áramlás forrás-nyel mentes, ha tetsz leges görbék által határolt résztartományán az egységnyi id alatt be és ki áramló folyadék egyenlege 0. Legyen (x 0, y 0 ) D és h > 0 olyan, melyekre [x 0 h, x 0 + h] [y 0 h, y 0 + h] D. Tegyük fel, hogy u, v C 1 (D) és, hogy h és a folyadékáramlás iránya az pozitív. Ekkor a négyzet függ leges oldalain kiáramló folyadék mennyisége: u(x 0 + h, y 0 + t)dt u(x 0 h, y 0 + t)dt = u(x 0 + h, y 0 + t) u(x 0 h, y 0 + t)dt = = h(u(x 0 + h, y 0 + t 1 ) u(x 0 h, y 0 + t 1 )) = 4h u x (x 0 + t, y 0 + t 1 ), t 1, t (, h). A négyzet vízszintes oldalain kiáramló folyadék mennyisége: v(x 0 + t, y 0 + h)dt v(x 0 + t, y 0 h)dt = v(x 0 + t, y 0 + h) v(x 0 + t, y 0 h)dt = = h(v(x 0 + t 3, y 0 + h) v(x 0 + t 3, y 0 h)) = 4h v y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ), 7

8 Ideális folyadékok áramlása Stacionárius Áramlások t 3, t 4 (, h) Megjegyzés. Az egyenl ségnél felhasználtuk a Lagrange-féle középérték tételt. Mivel az egységnyi id alatt be és ki áramló folyadék egyenlege nulla, ezért a következ összefüggés igaz: Ami ekvivalens azzal, hogy ekkor, ha h akkor: ( u 0 = 4h x (x 0 + t, y 0 + t 1 ) + v ) y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ). u x (x 0 + t, y 0 + t 1 ) = v y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ), u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ). Ami az els Cauchy-Riemann egyenletre emlékeztet minket Deníció. Egy áramlás örvénymentes, ha a görbék által határolt résztartományain az összcirkuláció 0. A cirkuláció mértéke a vízszintes oldalakon a következ : u(x 0 +t, y 0 +h)dt+ u(x 0 +t, y 0 )dt = u(x 0 +t, y 0 +h)+u(x 0 +t, y 0 )dt = = h( u(x 0 + t 3, y 0 + h) + u(x 0 + t 3, y 0 h)) = 4h u y (x 0 + t 1, y 0 + t ) t 1, t (, h). A cirkuláció mértéke a függ leges oldalakon a következ : v(x 0 + h, y 0 + t)dt v(x 0 h, y 0 + t)dt = v(x 0 + h, y 0 + t) v(x 0 h, y 0 + t)dt = = h(v(x 0 + h, y 0 + t 3 ) v(x 0 + h, y 0 + t 3 )) = 4h v x (x 0 + t 4, y 0 + t 3 ), t 3, t 4 (, h). 8

9 Cirkuláció és a uxus Stacionárius Áramlások Az összcirkuláció 0, akkor: ( 0 = 4h u y (x 0 + t 1, y 0 + t ) + v ) x (x 0 + t 4, y 0 + t 3 ), ami akkor és csak akkor igaz, ha u y (x 0 + t 1, y 0 + t ) = v x (x 0 + t 4, y 0 + t 3 ), h esetén u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Ez pedig a második Cauchy-Riemann egyenletetre emlékeztet minket. Precízen legyen f(z) := f(x + iy) = u(x, y) i v(x, y) Következmény. Erre az f-re teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek Állítás. Legyen D R = C tartomány. Legyen D egy ideális folyadékáramlás, amelyet az (u(x, y), v(x, y)) vektormez ír le. Ekkor f(z) holomorf (reguláris) D-n. 1.. Cirkuláció és a uxus Legyen D C egy tartomány, legyen D-n egy olyan ideális áramlás, amelyet f(x + iy) = u(x, y) iv(x, y)) ír le Deníció. Legyen : [a, b] D rektikálható görbe. Egy áramlás uxusa(-n) alatt azt értjük, hogy egységnyi id alatt mennyi folyadék áramlik egyik bal partjáról a jobb partjára. Legyen dz egy innitezimális (parányi) íve -nak, ekkor i dz egy ugyanilyen hosszú, de rá mer leges vektor. Ekkor a szakaszon áthaladó uxus idz és f(z) skaláris szorzata, azaz (f, idz) = (u iv, dy idx) = u dy v dx = u dy v dx = Ifdz. A teljes uxus tehát a -n megegyezik u dy v dx = I f(z)dz. 9

10 Cirkuláció és a uxus Stacionárius Áramlások 1... Deníció. A cikuláció alatt zikailag azt értjük, hogy -t az áramlás mennyire szeretné negatív irányba forgatni. A uxushoz hasonlóan levezethet a innitezimális ívének a cirkulációja is: (f, dz) = (u iv, dx + idy) = u dx + v dy = Rfdz. Innen a teljes menti cirkulációt a következ integrál adja meg u dx + v dy = R f(z)dz Állítás. Ha f holomorf D tartományon, akkor u(x, y) = Rf(x + iy) és v(x, y) = If(x + iy) módon deniált vektormez höz ideális folyadékáramlás tartozik. Bizonyítás: -n, akkor A Cauchy-alaptétel szerint, ha f holomorf egy zárt görbe belsejében és f(z)dz = 0. Forrás-nyel mentesség miatt int-ban mindig ugyanannyi folyadéknak kell lennie, tehát a uxusnak egyenl nek kell lennie a 0-val. I f(z)dz = 0. Az örvénymentesség miatt a cirkulációnak mentén nullának kell lennie, ami ugyan csak következik a Cauchy-alaptételb l, mivel R f(z) = 0. 10

11 Áramvonal Stacionárius Áramlások 1.3. Áramvonal Deníció. Legyen D C tartomány, (u, v) olyan vektormez, amelyik az ideális áramláshoz tartozik. Azt mondjuk, hogy : [a, b] D görbe áramvonal, ha sima és (t) = (u((t)), v((t))). Az áramvonal olyan sima görbe, amelynek bármilyen kis darabján a uxus 0. Legyen -nak egy kis darabja ( : [a, b] D), akkor a uxus a mentén I f(z)dz = I(F ( (b)) F ( (a))), ha f-ek F primitív függvénye egy környezetében. F létezik, ha -nak elég kicsi az átmér je. Ekkor az áramvonal egyenlete: IF (z) = const Nyomás Legyen D C tartomány, ekkor minden z 0 D-beli folyadékrészecskére nyomás hat, melynek iránya mer leges az objektum síkjára.(jele p(z)) z 0 = x 0 + i y 0 = (x 0, y 0 ) és h > 0 olyan, melyekre [x 0 h, x 0 + h] [y 0 h, y 0 + h] D. Ekkor a négyzetre ható er t a következ egyenletek írják le: A bal függ leges oldalra ható er : A jobb függ leges oldalra ható er p(x 0 h, y 0 + t)dt. p(x 0 + h, y 0 + t)dt. A kett összege: p(x 0 h, y 0 + t) p(x 0 + h, y 0 + t)dt = = h (p(x 0 h, y 0 + t 1 ) p(x 0 + h, y 0 + t 1 )) = 4h ( p x (x 0 + t, y 0 + t 1 )), 11

12 Nyomás Stacionárius Áramlások t 1, t (, h). A alsó vízszintes oldalra ható er : A fels vízszintes oldalra ható er : p(x 0 + t, y 0 h)dt. p(x 0 + t, y 0 + h)dt. A kett összege: p(x 0 + t, y 0 h) p(x 0 + t, y 0 + h)dt = = h (p(x 0 + t 3, y 0 h) p(x 0 + t 3, y 0 + h)) = 4h ( p y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 )), t 4, t 3 (, h). Egy testre ható er a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemz zikai mennyiség Deníció. Az er vektormennyiség, amire igaz az F = I I, ahol a t t impulzusváltozás gyorsaságát értjük. alatt az A jelölések miket fel fogunk használni a következ k: F : az er m: a tömeg a: a gyorsulás ρ: a s r ség I: impulzus V : térfogat 1

13 Nyomás Stacionárius Áramlások Newton második törvénye szerint, ha feltesszük, hogy a tömeg állandó, akkor az er képlete: F = I t ahol a tömeg képlete logikusan: = (m v) t m = ρ V = ρ 4h. = m v t = m a, Kis átrendezéssel az alábbi egyenletet nyerhet a gyorsulásra: a(x, y) = F m = 1 ( ρ p x (x 0 + t, y 0 + t 1 ), p ) y (x 0 + t 3, y 0 + t 4 ). Ha h 0, akkor t 1, t, t 3, t 4 0 Ekkor (x 0, y 0 )-ban a gyorsulás a(x 0, y 0 ) = 1 ( ρ p x (x 0, y 0 ), p ) y (x 0, y 0 ). Legyen (t) áramvonal, melyre (0) = (x 0, y 0 ) Ekkor az áramvonal deníciója szerint: (t) = (u((t)), v((t))) (t) = (u ((t)) (t), v ((t)) (t)) (t) = (x(t), y(t)) x (t) = u(x(t), y(t)) y (t) = v(x(t), y(t)) (t) = (u(x(t), y(t)), v(x(t), y(t))) (0) : (0) = (x 0, y 0 )-beli gyorsulás. ( u (t) = x (x(t), y(t)) x (t) + u y (x(t), y(t)) y (t), v x (x(t), y(t)) x (t)+ + v ) y (x(t), y(t)) y (t) = ( = u u ) u v v (x(t), y(t)) + v (x(t), y(t)), u (x(t), y(t)) + v (x(t), y(t)). x y x y A Cauchy Riemann egyenletek ( u (t) = (( u u x + v v x = v y x ) miatt ez egyenl a következ vel: ) (x(t), y(t), 13 ( u u y + v v ) ) (x(t), y(t) = y

14 Felhajtóer Stacionárius Áramlások = 1 (( u x + v x = 1 ( f x ) ( ) ) u (x(t), y(t), y + v (x(t), y(t) = y ) f (x(t), y(t)), (x(t), y(t)) y Az egyenl ség igaz, mivel (u + v )(x(t), y(t)) = f (x(t), y(t)). Ebb l következik, hogy az (x 0, y 0 ) pontbeli gyorsulás: a(x 0, y 0 ) = 1 ( ) f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ). Ami egyenl az F segítségével kiszámolt egyenlettel. m ( ) 1 f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ) = 1 ( ρ p x (x 0, y 0 ), p ) y (x 0, y 0 ). Ebb l átrendezéssel a következik, hogy. és ρ f x ρ f y = p x = p y. Amib l egy integrálás után pont a Bernoulli törvényét kapjuk: p(z) = ρ f (z) + c Felhajtóer A felhajtóer áramló közegbe helyezett testre ható er nek az a komponense, ami mer leges az áramlás irányára. Azért nevezzük felhajtóer nek, mert leveg nél nehezebb testek (például repül gépek) felemelkedését és leveg ben maradását a felhajtó er tervszer kihasználásával érhetik el. Legyen D C tartomány, amiben egy ideális folyadékáramlás zajlik, melyre Létezik egy R > 0 {z : z > R} D. Ehhez a D-hez f : D C tartozik. lim z f(z) létezik és véges. 14

15 Felhajtóer Stacionárius Áramlások Legyen : [a, b] D rektikálható, pozitív irányítású egyszer zárt görbe, ami áramvonal. Ekkor a felhajtó er re igaz, hogy: F = i p(z)dz = i ρ f (z)dz = ρ i f (z)dz. Mivel áramvonal, ezért paraméterezhetjük a (t) = (u((t)), v((t))) = f((t)) b b f (z)dz = f ((t)) (t)dt = f((t)) f((t)) f((t))dt = a a b b f((t)) f((t) dt = f((t)) (t)dt = f(z) dz. Ebb l következik, hogy a a F = ρ i f(z) dz = f(z) dz f(z) dz. z =R+ɛ Mivel f reguláris z > R-en ezért f Laurent-sorba fejthet z > R-en. f(z) = a n z n. i= g(z) = f( 1 z ) = i= a n z n. lim z 0 g(z) = lim z f(z) létezik és véges, ekkor g-nek megszüntethet szingularitása van 0-ban, ami ekvivalens azzal, hogy n N-re a n = 0. 0 f(z) = a n z n. i= 0 f (z) = b n z n. i= Innen a b 1 = a 0 a 1. A reziduum tétel szerint ekkor az integrál értéke: f(z) dz = π b 1 = 4 π a 0 a 1. z =R+ɛ 15

16 Hasonló áramlások Stacionárius Áramlások Ebb l azonnal adódik az Innen F = ρ i 4πi a 0 a 1 = ρ i πi = z =R+ɛ 4πi a 0 a 1 = ρ i a 0 πi a 1. f(z)dz = f(z)dz, ami pont megegyezik (deníció szerint) a cirkuláció és a uxus összegével a áramvonal mentén. Viszont a uxus (I f(z)dz) nulla, mivel áramvonal. Tehát πia 1 = πia 1 = cirkulációval. Emellett f(z) Laurent-sora miatt a 0 = lim z f(z). a 0 = lim z f(z) = lim z (u(z) iv(z)) = sebességgel( -ben). Ebb l következik, hogy F = iρ sebesség cirkuláció Következmény. -ra a sebességre mer leges er hat, ezt nevezzük felhajtóer nek Hasonló áramlások Deníció. Legyen D 1, D C tartomány, ϕ : D 1 D konform bijekció. Legyen D -n olyan áramlás, amelyet az f : D C reguláris függvény ír le. Ekkor azt mondjuk, hogy a D 1 -ben lev áramlás hasonló a D -belihez (ϕ szerint), ha t az f ϕ ϕ írja le Tétel. Legyen z 0, ω 0 C, ϕ : B(z 0, ɛ) C konform és ϕ(z 0 ) = ω 0. Legyen D 1 = Ḃ(z 0, ɛ), D = ϕ(ḃ(z 0, ɛ)). Tegyük fel, hogy D 1 -ben és D -ben hasonló áramlás zajlik, amelyet egy g : D 1 C és f : D C reguláris függvények írnak le. Ekkor, ha g-nek z 0 -ban k-adrend pólusa van, akkor f-nek a ω 0 -ban szintén k-adrend pólusa van. Ezenkívül a k = res [g(z)] z=z0 = [f(ω)] ω=ω0 is igaz. Bizonyítás: Mivel hasonló áramlásról van szó, ezért g = f ϕ ϕ. Innen Res [g(z)] z=z0 = 1 πi g(z)dz = 1 πi (f ϕ)(z) ϕ (z)dz = = 1 πi z z 0 =ɛ z z 0 =ɛ z z 0 =ɛ f(ω)dω = Res [f(ω)] ω=ω0. 16

17 Hasonló áramlások Stacionárius Áramlások Innen már csak azt kell bebizonyítanunk, hogy f pólusának a rendje ω 0 -ban k. Ehhez felhasználjuk, hogy = 1 πi z z 0 =δ k = 1 πi z z 0 =δ g (z) g(z) dz = (f ϕ(z)) (ϕ ) (z) + f ϕ(z) ϕ (z) dz = f ϕ(z) ϕ (z) Innen az integrálösszeg második tagja hasonló módon zérus, mint az el z bizonyításnál, tehát az integrál = 1 πi z z 0 =δ (f ϕ(z)) ϕ (z) dz = 1 f ϕ(z) πi ϕ( z z 0 =δ) Ami éppen azt jelenti, hogy f pólusának a rendje ω 0 -ban k. f (ω) dω = k. f(ω) 17

18 . fejezet Instacionárius áramlások Ebben a fejezetben az instacionárius térbeli áramlások sajátosságaiba fogunk bepillantást nyerni. Le fogunk vezetni érdekes zikai jelenségeket (törvényeket), amik felhasználása nagyon sokat segít más tudományágak hatékony m ködésében például az orvostudományban, a gyógyszerészeti kutatásokban és még sok hasonló számottev tudományágban. Mit is jelent az, hogy egy áramlás instacionárius? Erre a következ deníció nyújthat nekünk kielégít választ!.0.. Deníció. Egy áramlás instacionárius(id függ ), ha a jellemz i, úgymint a sebesség, a nyomás és a s r ség függ az id t l is. Egy instacionárius (id függ ) áramlás sebességterét az alábbi v = v(r, t) alakú vektortér írja le..1. Kontinuitási Tétel A kontinuitási tétel azt a zikai alapelvet fejezi ki, miszerint a tömeg nem keletkezhet és nem is t nhet el. Tekintsünk egy áramló közegben lév rögzített zárt A felületet, amelyen a folyadék átáramlik. Els lépésként írjuk fel mennyivel több folyadék áramlik ki, mint be ezen az A felületen: ρvda. A 18

19 A jellemz k lokális és konvektív megváltozása Instacionárius áramlások Emellett nyilvánvaló, hogy a többletkiáramlás csak a térfogatban lev folyadékmennyiség rovására, azaz a s r ség csökkenése mellett mehet végbe. Az A felület által határolt V térfogatban lev folyadék változását a következ integrál adja meg: ρ t dv. V Mivel a da felületi normális kifelé mutat ezért, ha az els integrál értéke pozitív(azaz fogy a folyadékmennyiség a V térfogatból), akkor a második integrálnak negatívnak kell lennie mégpedig úgy, hogy a két integrál összege zérus legyen. Ekkor a Gauss-Osztrogradszkijtétel segítségével alakítsuk át térfogati integrállá az els integrált, és tegyük egyenl vé a második integrál ellentettjével: ρvda = Ez a folytonossági tétel integrál alakja. A V div(ρv)dv = V ρ t dv. Kis átrendezés után (gyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük el az integrálást) a következ igaz: V ( ) ρ t + div(ρv) dv = 0. Ez az integrál csak akkor lehet zérus minden V térfogat esetén, ha maga az integrandus nulla. Ebb l következik a folytonossági tétel dierenciált alakja: ρ t + div(ρv) = 0. Ebb l az egyenletb l a második tag felbontható a szorzat deriválási szabálya szerint: ρ t + v grad(ρ) + ρ div(v) = 0... A jellemz k lokális és konvektív megváltozása Tekintsünk egy folyadékrészt az áramlásból. Legyen a folyadékrész áramlási sebessége v. Jellemezze egy P pontban az áramlási sebességet a v vektor, és a s r ség hely szerinti változását pedig grad(ρ) vektor. A kérdés, hogy dt id elteltével hogyan változik az áramló folyadékrész s r sége! A dρ s r ségdierencia két okra vezethet vissza: 19

20 Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások I Mivel a s r ség függ az id t l, ezért a s r ség a P pontban a s r ségváltozás dt id alatt dρ l = ρ t dt. II Az áramló folyadékrészecske az áramló közeggel együtt dt id alatt ds = vdt utat tesz meg (mivel v = ds dt ), és egy olyan P 1 pontba jut, ahol a s r ségváltozás pontosan dρ k = grad(ρ)ds = grad(ρ) dt. dρ l -nek csak akkor van szerepe, ha instacionárius áramlásról van szó. Ez a s r ségváltozás akkor is végbemenne, ha a közeg nem áramolna, mivel csak a nyomás id beni változásáról van szó. Ezért ezt a dp l -et a s r ség lokális megváltozásának nevezzük. A dρ k s r ség változás oka a térfogat elmozdulása, eláramlása egy olyan pontba, ahol a s r ség eltér, ezért a dρ k -t a s r ség konvektív megváltozásának nevezzük. Tehát a folyadékrész s r ségének dt id tartam alatti teljes megváltozása: dp = dρ l + dρ k = dρ l = ρ dt + grad(ρ) vdt. t Ebb l következik dt-vel osztás után a következ egyenlet: dρ dt = dρ dt + v grad(ρ). Ebb l következik tehát, hogy a kontinuitási tétel els két tagja megegyezik dp -vel, ami a dt folyadékrész s r ségének az id szerinti teljes megváltozását fejezi ki..3. Euler-Egyenlet.3.1. Gyorsulás Egy folyadékrész gyorsulása felírható az el z fejezethez hasonlóan. Egy (v x, v y, v z ) skalártérrel leírható jellemz dt id re való megváltozását leírhatjuk a lokális és konvektív megváltozás összegének segítségével: ahol D a derivált tenzort jelenti. dv dt = dv dv + v grad(v) = dt dt + Dv, Ezen meggondolás alapján a folyadékrész gyorsulása két részb l áll: I a dv dt lokális gyorsulásból. II a Dv konvektív gyorsulásból. 0

21 Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások A lokális gyorsulás akkor nem zérus, ha az áramlás instacionárius, azaz a sebességtér függ a t id t l is. A konvektív gyorsulás akkor létezik, ha a folyadéktér sebességének nagysága és az iránya az áramlás irányában változik. Bontsuk fel a D derivált tenzort: D = D + (D D ). Ebb l a konvektív gyorsulás a következ : a k = Dv = D v + (Dv D v). Innen D v pontosan Emellett (D D )v: D v = grad( v ). (D D )v = rot(v) v = v rot(v). Innen ha behelyettesítünk a folyadékrész gyorsulása:.3.. Euler-Egyenlet a = dv dt = v t + grad(v ) v rot(v). A folyadékrészecskék mozgására (mint egyik el z fejezetben megállapítottuk) er hat. A folyadékrészecskékre általában két fajta er hat, a súlyer és a folyadékrész felületén ható er. Ha a közeg súrlódásmentes, akkor a felületre csak a mer leges nyomásból származó er hat. Vegyünk egy da alapterület ds hosszúságú csövet, amelynek tengelye párhuzamos a grad(p) vektorral. Legyen az alapon lev nyomás p a cs végén lev nyomás p+dp. Ekkor a cs re ható nyomásból származó er t a következ egyenlet írja le: Ez ellentétes f a ds "tengely" vektorral. df p = da dp ds ds. Mivel grad(p) és ds azonos irányú, és emellett dp = grad(p) ds ezért dp = grad(p) ds. Innen ρ s r séggel való szorzás és osztás után: df p = 1 ρ grad(p) ds ρ da ds ds. 1

22 Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások Miután p ds da = dm és grad(p) ds = grad(p) Ezért, ha mindkét oldalt leosztjuk ds dm-el, akkor pontosan az egységnyi tömegre ható nyomóer t kapjuk meg: df p dm = 1 ρ grad(p). Az egységnyi tömegre ható er t az er tér g vektorral fejezhetjük ki. df g dm = g. Innen következik Newton második törvénye szerint, hogy: dv dt = g 1 ρ grad(p). Ezt az összefüggést nevezzük Euler-egyenletnek.(természetesen a súrlódási er elhanyagolása mellett).3.1. Megjegyzés. A hidrosztatika alapegyenletét az Euler-egyenletb l kapjuk úgy, hogy mivel a hidrosztatikai feladatoknál a folyadékunk az nem gyorsul, így az Euler egyenlet bal oldala zérus. A hidrostatikai feladatoknál az Euler-egyenlet még a valóságos(súrlódásos) folyadékok esetén is pontos értéket ad, mivel hirdosztatika a folyadékok nyugvó állapotát feltételezi, így nem léphetnek fel csúsztató feszültségek. A hidrosztatika alapegyenlete a következ (kis átrendezés után): grad(p) = g ρ. Ha az el z fejezetben levezetett egyenletet felhasználjuk, akkor az Euler egyenlet egy vektoriális alakját kapjuk ( ) v v t + grad v rot(v) = g 1 ρ grad(p). Ha feltesszük, hogy a s r ség a nyomás függvénye akkor ρ = ρ(p). Mivel grad(p) a nyomás hely szerinti változását jelenti(p és p 0 között), ezért a láncszabály alkalmazásával: 1 ρ(p) grad(p) = grad p p 0 dp ρ(p) dp.

23 Bernoulli-Egyenlet Instacionárius áramlások.4. Bernoulli-Egyenlet El z fejezetben levezettük az Euler-egyenletet, ami kapcsolatot teremt a folyadékgyorsulás és a folyadékrészecskékre ható er között. Gyakorlatban az Euler-egyenlet megoldásának egy igen hatékony módja a ( ) v v t + grad v rot(v) = g 1 ρ grad(p) egyenlet tagjainak az áramlási tér két pontját összeköt vonal menti integrálása. Ez az alábbi módon néz ki: b a v b t ds + a ( v grad ) b ds a v rot(v) = b a gds b a 1 ρ grad(p)ds. Ezt az egyenletet nevezik az általános Bernoulli-egyenletnek. Vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételek teljesülése esetén hozható az egyenlet egyszer bb alakra! ha az áramlás stacionárius, akkor az integrálás els tagja 0, mivel v t = 0. a második integrál egyszer en hozható kellemesebb alakra a gradiens deníciója szerint: b a ( ) v grad ds = v (b) v (a). a harmadik integrál kiszámolása nehézséget okozhatna nekünk, ezért ha Bernoulli egyenlettel szeretnénk számolni általában törekszünk a zérussá tételére ami a következ esetekben következik be: ha v = 0. ha rot(v) = 0 azaz az áramlás örvénymentes. ha áramvonalon integrálunk. ha ρ állandó, akkor p(b) p(a). Ha a s r ség függ a nyomástól is, akkor az utolsó ρ integrál meg az el z fejezet végén található összefüggés szerint átírható alakra. p p 0 dp ρ(p) dp 3

24 3. fejezet Az Aramvonal program Ebben a fejezetben egy általam készített programról fogok írni. Ezt a programot a Matlab programozási nyelvben írtam. A Matlab a The MathWorks által kifejlesztett programrendszer, ami els sorban numerikus számolásokra, függvények ábrázolására lett kifejlesztve A feladat deniálása Az Aramvonal program célja egy függvény áramvonalának a lehet legvalóságh bb ábrázolása beleértve, hogy az áramvonalunk folytonos legyen és a program által kiszámolt és ábrázolt pontok relative (elhanyagolható különbséggel) a valóságos helyükön legyenek. Ehhez a program felhasznál egy Fuggveny nevezet segédprogramot, amibe a felhasználónak megkell adnia egy f függvényt, aminek az áramvonalát ki szeretné rajzoltatni, emellett meg kell adnia a felhasználónak ennek a függvénynek a primitív függvényét, és az IF (z) deriváltját. Az áramvonal egyenlete a következ : IF (z) = c. F (z) az f(z) függvény primitív függvénye, a c az egy konstans érték. Az F (z) = d + c i egyenlet megoldására Newton-módszert használ a program. Megoldásnak tekintünk olyan z-t, melyre IF (z) c < 0.. 4

25 Elemzés Az Aramvonal program 3.. Elemzés A program során lehet ségünk van megadni egy téglalap tartományt egy es mátrix segítségével, egy c konstans értéket, és egy h random tömb hosszt. A téglalap tartományból véletlenszer komplex számokat generálunk (h darabot), ezeket oszlopvektor adatszerkezetben tároljuk a további felhasználás érdekében. Egy ciklus segítségével az alprogramot többször is alkalmazva megkonstruálunk egy S oszlopvektort, amibe az alprogram által kiszámolt jó pontok kerülnek. A meglév pontok segítségével konstruálunk még az implicit egyenletet kielégít pontokat iteráció segítségével. Ezeket a pontokat hozzávesszük a meglév S oszlopvektorunkhoz. A végs S komplex oszlopvektorunkat a tagok valós részük és képzetes részük segítsévével kirajzoljuk Input paraméterek A program futtatásához az alábbi bemen adatokra van szükségünk az Aramvonal programhoz: C - -es mátrix, aminek elemei a téglalaptartomány csúcspontjait jelentik. c - valós szám, ami az implicit egyenletben lev c konstans értéke. h - a véletlen komplex oszlopvektorunk hossza. További bemen adatokra van szükségünk az alprogramhoz, amit a sablon alprogram megfelel részeinek az átírásával adhatunk meg. Az F (z) helyére a f(z) függvény(keresett függvény áramvonalának) a primitív függvényét kell beírni. Az (IF (z)) helyére az F (z) primitív függvényünk képzetes részének a deriváltját kell beírni. 5

26 Implementáció Az Aramvonal program 3.4. Implementáció A f program feladata: Az input paraméterek ellen rzése. Véletlenszer h hosszú oszlopvektor generálása az input tartományból. A téglalaptartomány hosszabb oldalának a meghatározása. Iterációs lépés amelyben meghívjuk a fuggveny.m alprogramot. Egy másik iterációs lépés amiben a meglev pontokhoz jó pontokat adunk hozzá. Az áramvonal kirajzolása beépített plot alprogram segítségével. Outputként a talált pontok kiírása. Az alprogram feladata: Megvizsgálni, hogy a random komplex tömb elemei kielégítik-e az adott komplex egyenletet. Ha nem elégítik ki, akkor Newton-módszer alkalmazásával IF (z) c = 0 gyökeit keressük meg. Ellen rz lépés: ha megfelel a talált gyök, akkor elmentjük egy sorvektorban. 6

27 Absztrakt Program Az Aramvonal program 3.5. Absztrakt Program aramvonal(c, c, h) S, L, J := empty k := random(h, 1), l := random(h, 1) K = k + i l t := max( C(1, 1) + C(1, ), C(, 1) + C(, ) ) S := fuggveny(k, c, t) [m, n] := Size(S) j=1 to n < 5000 k := random(h, 1), l := random(h, 1) K = k + i l S = [S, fuggveny(k, c, t)] SKIP [m, n] = size(s) J := S h:=1 to 00 i:=1 to n L(i) := J(i) + J(i)/ J(i) S := [S, L] J := L plot(r(s), I(S)) return(s) 7

28 Absztrakt Program Az Aramvonal program fuggveny(k, c, t) [m, n] = size(k), S := empty S = [S, K(i)] i:=1 to m IF (K(i)) = c zj = K(i) (IF (K(i))) > 0. j:=1 to 15 (IF (K(i))) > 0. and zj < t zj = zj + i ((c IF (zj))/(if (K(i))) SKIP F (zj) c < 0. S = [S, zj] SKIP Return(S) SKIP 8

29 Tesztelés Az Aramvonal program 3.6. Tesztelés Üres inputra. Bet inputra. Nem megfelel dimenziójú téglalap inputra. Többdimenziós h, vagy c inputra. Hibás inputon a program hibaüzenetet ír ki jelezve, hogy melyik inputtal voltak problémák. A programot teszteltem az f(z) = z függvényre az alábbi inputtal: C=[-5,5;-5,5]. c=4. h=1000. Ezekre a bemen paraméterekre a következ áramvonalat rajzolta ki a program: 3.1. ábra. f(z) = z függvény áramvonala 9

30 Tesztelés Az Aramvonal program A programot emellett teszteltem az f(z) = 1 z függvényre is az alábbi inputtal: C=[-5,5;-5,5]. c=4. h=1000. Itt a következ áramvonalat rajzolta ki a program: 3.. ábra. f(z) = 1 z függvény áramvonala 30

31 Irodalomjegyzék [1] Halász Gábor, Kis Hidrodinamika [] Lajos Tamás, Az Áramlástan Alapjai [3] Sigray István, Komplex függvénytan el adás jegyzet [4] Dr. Író Béla, H - és Áramlástan [5] Wikipédia, [6] L.M. Milne Thomson, Theorical Aerodinamics 31