Sinka Szabolcs. Szakdolgozat Matematika BSC Alkalmazott Matematikus Szakirány. Sigray István

Átírás

1 EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Sinka Szabolcs Ideális áramlás Szakdolgozat Matematika BSC Alkalmazott Matematikus Szakirány Témavezető: Sigray István Analízis tanszék Budapest, 2015

2 Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás Bevezetés i ii 1. Klasszikus áramlástanbeli alapfogalmak 1 2. Az áramlástan komplex függvénytani diszkussziója Lokális jellemzés Pozitív hatványok Globális jellemzés Negatív hatványok Nyomás és felhajtóerő Euler-egyenlet Bernoulli-egyenlet Felhajtóerő A Navier-Stokes-egyenlet A mozgásegyenlet A Navier-Stokes-egyenlet Az ideális áramlások és a Navier-Stokes-egyenlet Hasonló áramlások Lokális hasonlóság

3 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Sigray Istvánnak, hogy türelemmel, magyarázatokkal és rengeteg konzultációs lehetőséggel segítette munkámat. Ezenfelül szeretnék köszönetet mondani Édesanyámnak, aki nélkül nem jutottam volna oda, hogy ez a szakdolgozat megszülethessen. i

4 Bevezetés Ebben a dolgozatban a klasszikus áramlástannak néhány nevezetes eredményét fogom vizsgálni több szemszögből. Mivel az áramlástan a fizika része, ezért valamilyen szinten elkerülhetetlen, hogy ne foglalkozzunk fizikai alapfogalmakkal ahhoz, hogy megfelelően tudjuk felépíteni az áramlástan alapösszefüggéseit. Természetesen nem célja a dolgozatnak, hogy minden részletre figyelve építse fel az áramlástan alaptörvényeit. Ezért a dolgozat elején minden fontosabb fizikai alapfogalmat és szemléletmódot definiálok, hogy a fizikai összefüggések és meggondolások is érthetőek legyenek. Az áramlástant is, mint a mechanika sok részét, vektoranalízissel vizsgáljuk. A dolgozat nagy részében viszont komplex függvénytani felépítési módot fogok bemutatni. Ettől függetlenül megkerülhetetlen, hogy tisztában legyünk a vektoros tárgyalásmóddal, sőt, bizonyos részekben csak arra fogok támaszkodni. Ezért a dolgozat elején megmutatom a vektoros tárgyalásmód alapjait is. Ezután tapasztalni fogjuk, hogy természetesen ugyanazt az eredményt kapjuk, csak kettő különböző megközelítésből. Felmerül a kérdés, hogy miért kell nekünk egyáltalán két megközelítést alkalmazni? Habár manapság a komplex függvénytani tárgyalásmódot felváltotta a numerikus tárgyalásmód, nem felejthetjük el hogy, sok alapösszefüggés a komplex függvénytani megközelítésből adódott. Történelmileg meg volt a jelentősége a komplex tárgyalásmódnak. Amikor még nem voltak nagy teljesítményű számítógépek, akkor sok gyakorlati problémát (például alkalmas szárnyprofil tervezést) komplex függvénytani módszerekkel vizsgáltak. Igaz, hogy ma nincs akkora jelentősége a komplex felépítésnek, mint régen, de talán éppen ezért fontos, hogy összekössük fejben, hogy nem csak egy irányból lehet az áramlástant megközelíteni. Nagyon is fontos meglátásokat kapunk, ha látjuk magunk előtt a vektoros tárgyalásmódot és a komplex tárgyalásmódot. Talán mégjobban értékelni tudjuk, hogy ma hol tartunk ennek a nagyon fontos területnek a tárgyalásában. Nem célja a dolgozatnak az sem, hogy azokat az összefüggéseket levezesse, amiknek a való életben nagy jelentősége volt (például a szárnyprofilok). A dolgozat célja, hogy csupán az alapösszefüggéseket és a komplex gondolkodásmódot kösse össze a klasszikus (vektoros) gondolkodásmóddal. Talán manapság, a számítógépes módszerek idejében a legfontosabb, hogy ne felejtsük el és hogy ne kényelmesedjünk el túlságosan. ii

5 1. fejezet Klasszikus áramlástanbeli alapfogalmak Az első fontos megjegyzés, hogy a mechanikában megszokott módtól eltérően jellemezzük a folyadékokat. Fizikai tanulmányainkból emlékezhetünk, hogy a szilárd testek mozgását úgy jellemezzük, hogy a test egy vagy esetleg több pontjának a helyét adjuk meg az idő függvényében. Ez azért kényelmes, mert általában megadható egy ilyen függvény és ennek a függvénynek az első deriváltja adja a test sebességfüggvényét, míg a második deriváltja adja a gyorsulásfüggvényét. Ha esetleg mégis ilyen módon szeretnénk vizsgálni a folyadékrészecskéket, akkor megjelöljük a t = 0 időponthoz tartozó kezdőhelyzetüket (ez legyen r 0 kezdővektorral meghatározva) és az idő (t) függvényében megadjuk a folyadékrészecskék helyét. Jelöljük ezt r = r(r 0, t) vektorral. Innen kapjuk, hogy az r vektor első és második deriváltja adja a sebességvektort és a gyorsulásvektort. Ezt a leírási módot nevezzük Lagrange-féle leírási módnak. Ez a leírási mód nem bizonyult hatékonynak a történelem során. Egyszerűen ez a modell, habár helyes, nehezen kezelhető és nem lehet vele hasznos összefüggésekre jutni vagy csak nagyon nehezen. Ezért az áramlástan egy kicsit kilóg a mechanika többi részéből. Az áramlástanban más leírási módot alkalmazunk. Legyen adva a folyadékrészecskék sebessége az idő és hely függvényében: v = v(r, t). Tehát a sebességtér egy vektortérrel írható le. Ezt a leírási módot nevezzük Euler-féle leírási módnak. Felmerül a kérdés, hogyan lehet egy ilyen függvényből kiindulni a vizsgálataink során? Hogyan bírunk egy ilyen függvényt meghatározni? Nem véletlen, hogy az áramlástan a mai napig erősen kísérleti alapú. Ha szélcsatornába helyezünk egy vizsgálni kívánt testet és a levegőt megfestjük, hogy lássuk hogyan áramlik a test körül a levegő, akkor megkapjuk a test körüli áramvonalakat (természetesen precízen, műszerekkel is mérünk, nem csak szemmel). Ezekből az áramvonalakból tudunk következtetni a sebességtérre. Teljesen lényegtelen, hogy milyen hatékony numerikus módszereket használunk áramlások vizsgálatára, mindig ellenőrizni kell szélcsatornában a számolásaink eredményét. Kezdetben igyekszünk mindig a legegyszerűbb használható modellból kiindulni. További egyszerűsítésekkel élhetünk, nevezetesen, hogy sokszor a sebességtér az időtől sem függ. Ezeket az áramlásokat stacionárius áramlásnak nevezzük. Ebben a dolgozatban csak stacionárius áramlásokkal foglalkozunk. 1

6 Definíció (Stacionárius áramlás). Az áramlást leíró sebességvektorok nem függnek az időtől. Ezt azt jelenti, hogy például a sebességteret a v = v(r) függvény írja le, azaz csak a helytől függ a sebességtér. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az áramlás részecskéinek sebessége az időben állandó, vagyis nem gyorsulnak. Annak ellenére, hogy ez egy erős megkötés, nagyon sok gyakorlati alkalmazása van ennek az egyszerű modellnek és mint később látni fogjuk alapösszefüggéseink ezzel a feltételezéssel kaphatók. Egy másik, a fizikában is, de az áramlástanban kifejezetten fontos fogalom a cirkuláció: Definíció (Cirkuláció). Legyen adott egy G zárt Jordan görbe belseje. Legyen v a sebességtér. Ekkor a cirkuláció: Γ = m2 v dr, ahol Γ mértékegysége: [ G s ]. A cirkulációt arra használjuk, hogy megvizsgáljuk az áramlási tér (vektortér) örvényességi tulajdonságait. Ez azért fontos, mert vannak olyan vektormezők (egy nem áramlástani példa a gravitációs tér) amelyben bármely zárt görbe mentén haladunk, a vektormező cirkulációja nulla. Ezeket az erőtereket (vektortereket) konzervatív erőtereknek hívjuk és különleges szerepet játszanak a fizikában. Többféleképpen is megfogalmazható, hogy mit jelent a konzervatív erőtér, de a leghasznosabb, hogy egy konzervatív erőtérben két pont közötti munka nem függ a pontok között megtett úttól, csak a két ponttól. Ekkor például a cirkuláció egy zárt görbe mentén nulla. Harmadik nagyon fontos fogalom amire szükségünk lesz és folyamatosan használjuk a dolgozat során a fluxus Definíció (Fluxus egy zárt görbén). Legyen v a sebességtér és egy G zárt, sima görbe. Legyen n a kifelé mutató, görbére merőleges egységvektor a C pontjaiban. Ekkor v fluxusa C-n: Φ = < v, n > dr G A fluxus szemléletes jelentése az áramlástanban: egységnyi felületen áthaladó folyadékmennyiség. Látni fogjuk a dolgozat során, hogy nagy segítségünkre lesz ez a fogalom, mert sok fontos és hasznos összefüggést tudunk vele levezetni. A vizsgálandó esetekben élni kell két alapfeltevéssel. A folyadék idális és örvénymentes Definíció (Ideális folyadék). Kontinuum (nem molekuláris) szerkezetű, súrlódásmentes, összenyomhatatlan (állandó sűrűségű) folyadék. Felmerül a kérdés, hogy miért kell ilyen erős megkötésekkel élnünk az áramlástani vizsgálataink során? Mint a természettudományokban általában, valami kezdetleges modellból indulunk ki, amit tudunk használni. Erre építünk egy elméletet és ha ez megfelel a valóságnak, akkor megpróbáljuk általánosítani. Ez itt sincs máshogy, a való élet mutatja, hogy az ideális folyadék fogalma kielégítő sok gyakorlati (mérnöki) és elméleti (fizikai) probléma megoldására. Az ideális folyadék fogalmára építve, vizsgálatainkat bővítve, egyre közelebb kerülünk a valóságos folyadékok leírásához Definíció (Örvénymentes áramlás). Legyen v az áramlás sebességvektora. Ha az áramlás örvénymentes, akkor rot(v) = 0. Az utolsó definíció, amire szükségünk lesz az áramvonal definíciója. 2

7 Definíció (Áramvonal). Olyan görbe, amelynek deriváltja minden pontban megegyezik az áramlást leíró sebességvektorral az adott pontban. Emlékeztetőül, az áramlástanban azért érdemes áramvonalakkal dolgozni, mert ezt tudjuk mérni laborkörülmények között (szélcsatornában). Vizsgálatainkban még elő fog fordulni egyszerű feszültséganalízis. Mivel ez a szilárdságtan tárgya és nagyon tág témakör, ezért ezt csak az adott fejezetben és csak kis mértékben fogjuk felhasználni. A megfelelő fejezetekben meg lesz említve egy rövid magyarázat, hogy miért az adott modell lett felhasználva. 3

8 2. fejezet Az áramlástan komplex függvénytani diszkussziója Mint a fentiekből látható, ha áramlástani problémákkal foglalkozunk, akkor egy vektormezőből indulunk ki. Emiatt klasszikusan vektoranalízist használunk áramlástani problémák megoldására. Ebben a dolgozatban egy más megközelítést is fogunk használni. Tudjuk, hogy minden komplex szám ábrázolható egy vektorként egy koordináta rendszerben, aminek az egyik tengelye a valós, a másik tengelye a képzetes része a számnak. Ezt felhasználva, megtehetjük, hogy a komplex számhoz tartozó vektor lesz a ponthoz tartozó sebességvektor. Matematikailag ez a következőt jelenti. Vegyünk egy D síkbeli tartományt és egy ezen értelmezett f = f(z) komplex függvényt. Ezt a függvényt vektormezőnek képzeljük el, mégpedig a következő módon. Legyen z D és f(z) komplex számot reprezentáló vektor jelentése az éppen ebben a pontban tartózkodó folyadékrészecske pillanatnyi sebessége. Így illeszkedünk az intuitív képhez és megteremtettük a matematikai hátteret, amivel jellemezni is tudjuk az áramlást Lokális jellemzés A jellemzést a mechanikában (fizikában) már megszokott módon végezzük.tekintsünk egy infinitezimálisan kicsi négyzetet a koordináta síkon, amin keresztül megy a folyadék. Erre a négyzetre számoljuk ki a fluxust és a cirkulációt. Ha a folyadék összenyomhatatlan, akkor ennek a négyzetnek a területén adott idő alatt ugyanannyi folyadék folyik be, mint amennyi kifolyik belőle. A fluxus definíciója miatt, az oldalakon átfolyó vízmennyiség meghatározásához elegendő csak a sebességvektorok négyzet oldalaira merőleges kompenénsét nézni. Ha tehát a következő jelöléseket használjuk: f(z) = u(x, y) + iv(x, y) és z = x + iy, akkor az ábra és a fluxus definínciója alapján 4

9 h u(x h 0 h, y 0 + t)dt + h u(x h 0 + h, y 0 + t)dt h v(x h 0 + t, y 0 h)dt + h v(x h 0 + t, y 0 + h)dt = h u(x h 0 + h, y 0 + t) u(x 0 h, y 0 + t)dt + h v(x h 0 + t, y 0 + h) v(x 0 + t, y 0 h)dt = 2h(u(x 0 +h, y 0 +ξ 1 ) u(x 0 h, y 0 +ξ 1 ))+2h(v(x 0 +ξ 2, y 0 +h) v(x 0 +ξ 2, y 0 h)) = 4h 2 u x (x 0 + ξ 3, y 0 + ξ 1 ) + 4h 2 v y (x 0 + ξ 2, y 0 + ξ 4 ) h < ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4 < h Az integrálok eltüntetésénél felhasználtuk az integrálszámítás középértéktételét és a parciális deriváltak megjelenésénél felhasználtuk a Lagrange-féle középértéktételt. Ha feltesszük hogy a parciális deriváltak folytonosak, akkor, mivel a kiáramló és a beáramló folyadék összege nulla, kapjuk a végeredményt: u x + v y = 0 Az előzőhöz hasonlóan vizsgálható a négyzet forgatása, cirkulációja is. Könnyen látható, hogy a forgatáshoz csak az oldalakkal párhuzamos komponenseket kell figyelembe venni. h u(x h 0+t, y 0 h)dt+ h v(x h 0+h, y 0 +t)dt+ h h u(x 0 +t, y 0 +h)dt+ h h v(x 0 h, y 0 + t)dt = h h u(x 0+t, y 0 h) u(x 0 +t, y 0 +h)dt+ h h v(x 0+h, y 0 +t) v(x 0 h, y 0 +t)dt = 2h(u(x 0 + ξ 1, y 0 h) u(x 0 + ξ 1, y 0 + h) + 2h(v(x 0 + h, y 0 + ξ 2 ) v(x 0 h, y 0 + ξ 2 )) = 4h 2 v x (x 0 + ξ 3, y 0 + ξ 1 ) 4h 2 u y (x 0 + ξ 2, y 0 + ξ 4 ) h < ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4 < h Ebből következik, hogy a vektormezőnk rotációmentes is, azaz valóban örvénymentes: v x u y = 0 Ez a fenti két egyenlet az u és a v függvényekre felírt Cauchy-Riemann egyenletek. Az eredményeket így foglalhatjuk össze: az f vektormező által meghatározott áramlás akkor és csak akkor lesz összenyomhatatlan közeg örvénymentes áramlása, ha f(z) reguláris függvény Definíció (Antiholomorf függvény). Legyen f komplex függvény. Ha f(z) reguláris akkor f(z) antiholomorf. A következő két példában látható két áramlás, amire nem teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek és emiatt nem lehetnek összenyomhatatlan közeg örvénymentes áramlásai. A harmadik példa viszont egy ideális áramlást leíró függvény. 5

10 1. Legyen f(z) = z. Ekkor f(z) = z nem reguláris, hisz nem teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek. A függvény sugárirányban táguló áramlást ír le. Az ábrán egy elemi részecske áramvonala látható különböző pontokból kiindulva. A pontok: (0, 0); (0, 0.1); (0.3, 0.1); (-0.5, 0.1); (-0.5, -0.4); (0.1, -0.5); (0.1,-0.3) (0.1;-0.1) 2. Legyen f(z) = iz egy origó körül örvénylő mozgást ír le. f(z) = iz, amire szintén nem teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek. A kezdőpontok melyből indul az elemi részecske: (0.5, 0.5); (-1.5, 1) 3. Legyen f(z) = z. Ekkor f(z) = z, így erre a függvényre már teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek. A pontok melyből az áramvonalak indulnak: (0.2, 2); (-0.2, -1); (-1.6, 2); (1, -1.6) 6

11 Tudjuk, hogy valós értékű reguláris függvény csak konstans lehet (Cauchy-Riemann egyenletek csak így teljesülnek). Erre mostmár lehet egy szemléletes képünk is: ha a sebesség mindenütt azonos irányú, akkor az áramlás olyan, hogy a párhuzamos rétegek egymás mellett haladnak (transzlációt végeznek). Ha egy rétegen belül változna a sebesség, akkor tágulna vagy zsugorodna a folyadék, ami ellentmondana az összenyomhatatlanságnak.. Ha pedig a szomszédos rétegek különböző sebességgel haladnának, akkor örvények keletkeznének Pozitív hatványok A következőkben az egész síkon divergencia- és rotációmentes f(z) = z m fügvényekkel foglalkozunk, ahol m 0 egész. Ha most az eddiektől eltérően, egy pont pályáját az idő függvényében z = z(t) írja le, akkor: dz dt = zm hiszen fizikából tudjuk, hogy a hely függvény deriváltja a sebesség függvényt adja. Ez a differenciálegyenlet szétválasztható, a megoldáshoz azonban z m komplex primitív függvényére van szükségünk, amiről tudjuk hogy nem létezik. Mivel az áramlástanban áramvonalakkal dolgozunk, ezért tetszőleges pozitív függvénnyel beszorozhatjuk a vektormezőnket. Ezzel a vektorok irányát és az általuk megadott iránymezőt nem változtatjuk meg, így az áramvonalakat definiáló feltételt sem. Ebből könnyen bizonyítható, hogy z m és az z m vektormezőknek ugyanazok az áramvonalai, hiszen: ( 1 x+iy )m = ( x iy x 2 +y 2 ) m = ( 1 x 2 +y 2 ) m (x iy) m Itt kivételt képez a z m vektormező konstans 0 áramvonala. Emiatt z = 0-át m-edrendű stagnációs pontnak nevezzük. Más áramvonala azonban, mivel a differenciálegyenlet egyértelmű, nem futhat 7

12 0-ba és nem is indulhat ki onnan, ezért tekinthetjük a 0-val kipontozott síkot. Jelöljük a z m vektormező új időváltozóját τ-val. Ekkor a fenti meggondolások miatt vizsgáljuk dz = dτ z m. differenciálegyenletet. A jobboldal itt már holomorf, de emiatt lehet megoldani az egyenletet a változók szétválasztásával: z m dz = 1 dz m+1 = d( z m+1 m+1 ) = 1 dτ m+1 dτ dτ z m+1 = τ + c m+1 z = z(τ) = m+1 m + 1 m+1 τ + c ahol c tetszőleges komplex konstans és z(τ) pedig az eredeti z(t) görbe irányítástartó átparaméterezése. Legyen m = 1. Ekkor elvégezve a következő számításokat, kapjuk, hogy Ebből a következő egyenletrendszerhez jutunk (x + iy) 2 = z 2 = 2τ + C = 2τ + α + iβ x 2 y 2 + 2xyi = 2τ + α + iβ A második egyenletből átrendezéssel látjuk, hogy 1. x 2 y 2 = 2τ + α 2. 2xy = β y = β 2 ami egy hiperbolának az egyenlete. Már csak arról kell meggyőződnünk, hogy az x R valóban teljesül. Ezt az első egyenletbe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük β2 4 x 4 β2 4 1 x 1 + x 2 = 2τ + α x 2 = (2τ + α)x2 x 4 (2τ + α)x 2 β2 4 = 0 Ami x 2 -re egy másodfokú egyenlet. Alkalmazva a megoldóképletet x 2 1,2 = 2τ+α± (2τ+α) 2 +β 2 2 A diszkrimináns nemnegatív a négyzetek miatt. Azt is látjuk, hogy a gyökjel előtt csak a pozitív előjelnek van értelme, hisz ha negatívat választjuk, akkor x 2 -re egy negatív számot kapnánk, de teljesülnie kell, hogy x R. Tehát, ha D-vel jelöljük a diszkriminánst, a végeredmény a következő x 2 = 2τ+α+ D 2 x = ± 2τ+α+ D 2 8

13 Ezek szerint valóban teljesül, hogy x R és megkaptuk a hiperbolákat a megfelelő síknegyedekben. Ha C R, akkor β = 0 és így az egyenletrendszer második egyenletéből kapjuk, hogy ez a valós és a képzetes tengely. Az alábbi ábrán van vázolva a jelenség Globális jellemzés Legyen adott egy γ D irányított görbe. Számoljuk ki a rajta áthaladó fluxust. Fluxus definíciójából tudjuk, hogy kell egy, a görbére merőleges vektor. Ha dz egy infinitezimális íve γ görbének, akkor a idz az ugyanilyen hosszú, a görbére merőleges vektor, ami a dz-nek π 2 -vel való elforgatottja. A szakaszon áthaladó fluxus ezen vektor és f(z) skaláris szorzata: < f, idz >=< u + iv, dy idx >= vdx + udy = Ifdz Felhasználjuk, hogy f = u iv, dz = dx + idy Ebből kapjuk, hogy fdz = udx + uidy ivdx + vdy = udx + vdy + uidy ivdx. A teljes fluxus így a következő: γ vdx + udy = I γ fdz 9

14 Mivel a folyadék összenyomhatatlan, ezért minden zárt γ-ra ez az integrál nulla minden egyszeresen összefüggő tartományon. Legyen z 0 D kezdőpont, ekkor: z z 0 vdx + udy = I z z 0 fdz =: V (z) az úttól függetlenül z jóldefiniált függvénye, ezt nevezzük áramlásfüggvénynek. Ennek a gradiense az integrandus: V = v, x V = u. y Egy V(z)=konstans szintgörbe bármely két, z 1 és z 2 pontját összekötő γ ívén a fluxus: ami pontosan az áramvonalakra teljesül. I γ fdz = V (z 2) V (z 1 ) = 0 Matematikailag ez csakis úgy képzelhető el, ha a szintvonal minden szakaszára If dz = 0 vagyis fdz = f dz dz 2 valós és f dz a szintvonal tehát valóban megegyezik az áramvonallal. Innen származik V(z) elnevezése. Analóg módon kiszámolható az általános γ görbe infinitezimális ívének a cirkulációja: < f, dz >=< u + iv, dx + idx >= udx + vdy = Rfdz és a teljes γ menti cirkuláció: γ udx + vdy = R γ fdz Ha ez az integrál független az úttól, akkor z z 0 udx + vdy = R z z 0 fdz =: U(z) egy egyértelmű függvényt határoz meg, amelynek a gradiense maga az f(z) sebességvektor: U x innen jön U(z) sebességpotenciál elnevezése. = u, és U y = v Ha U(z) szintvonalainak minden dz infinitezimális ívére fdz tisztán képzetes, akkor < f, dz >= 0 és így f dz. Ezek a szintvonalak tehát az áramvonalak merőleges trajektóriái. Ha mindkét fenti integrál független az úttól, akkor maga az fdz komplex integrál is az és így γ definiálhatjuk: 10

15 z z 0 fdz =: F (z) = U(z) + iv (z) komplex függvényt. Erre teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek, azaz F (z) reguláris, másrészt, F (z) = f(z). F (z) neve: komplex potenciál. F (z)-t sokszor kényelmesebb használni az áramlás leírására mint f(z)-t magát. Beláttuk, hogy a komplex integrál úttól való függetlenségének szükséges és elégséges feltétele a primitív függvény létezése. Ha pedig azt is felhasználjuk, hogy: γ vdx + udy = I γ fdz, γ udx + vdy = R γ fdz integrálok úttól való függetlenségének szükséges és elégséges feltételei a v y = u x, u = v y x egyenletek, akkor egyrészt visszakapjuk a lokális feltételet, a vektormező divergencia-és rotációmentességét és levezettük a Cauchy integráltételt a valós integráltételekből Negatív hatványok Az előző részben fontos volt, hogy egyszeresen összefüggő tartományon végeztük a vizsgálatokat. Ha például vesszük az f(z) = 1 z függvényt az origóban kipontozott síkon, akkor láthatjuk hogy ez antiholomorf, konjugáltjának origó körüli integrálja mégsem tűnik el: 1dz = 2πi z =r z például a Cauchy integrálformulát felhasználva. Ezt láthatjuk az ábrából is. Az ábrán az f(z) = 2+3i z sebességmezőben a különböző pontokból indított elemi részecske áramvonalai láthatók, amik egy logaritmikus spirált alkotnak. A pontok: (0.1, -0.1); (0,-1); (1,0). A sebesség minden pontban merőleges a körvonalra és nagysága 1 r, hiszen 11

16 1 = 1 = x+iy = x z x iy x 2 +y 2 + i x 2 +y 2 x 2 +y 2 1 = = 1 (x 2 +y 2 ) 2 x 2 +y 2 r y x 2 +y 2 és ebből már látható, hogy a fluxus 2πr 1 r = 2π, viszont a cirkuláció 0. Azaz, az origóban 2π fluxus keletkezik. Ezt nevezzük pontforrásnak. Hasonlóan számolhatjuk, például az f(z) = 1 z vagy az f(z) = i z általánosan, azaz legyen f(z) = A z, A C függvényt is. Vizsgáljuk ezeket Nevezzük ezt 2πA erősségű pontforrásnak. A pontforrás valós része a pontban keletkező előjeles fluxus, míg a képzetes része a cirkuláció. Ha ennek az ábráját akarjuk meghatározni, akkor az előző részben taglalt komplex potenciál elméletet használjuk. A primitív függvény F (z) = fdz = Adz = A log z z ami áramvonalat vízszintes egyenesre képez, azaz A log z = τ + c ( < τ < ) Ha most z = re iφ alakban keressük a megoldást, akkor kapjuk, hogy ami a következő egyenletrendszerhez vezet log r + iφ = τ + α + iβ 1. log r = τ + α 2. φ = β Könnyen látható az első egyenletből, hogy az ekvivalens r = e τ+α és ezt összevetve a második egyenlettel vaóban egy logaritmikus spirált kapunk a komplex síkon, amit az előző ábra is mutat. Tekinstünk most egy forrást és egy ugyanolyan erősségű nyelőt: f(z) = 1 1 z a, F (z) = log z a z b z b Ha a komplex potenciál képzetes része állandó, azaz arg z a z b és b-n átmenő körvonalak vagy egyenesek. ahol a, b R állandó, akkor ezek a vonalak az a-n 12

17 A fenti ábrán a = 1 és b = 1 választással láthatóak a különböző pontból indított elemi részecske áramvonalai. A pontok: (2,4); (-4, 1); (-3, 0); (-5, -2); (-5, -1.6); (-5, -1); (-5, -0.6); (-5, -0.2); (-5, -0.1) Ha most a = δ, b = δ és f(z) = 1 ( 1 1 ) = 1 2δ 1 (δ 0) 2δ z δ z+δ 2δ z 2 δ 2 z 2 Azaz, az előbbi áramvonalak határhelyzete az áramvonalakat origóban érintő körök lesznek. Ezt nevezzük dipólusnak. Ezt szemlélteti az alábbi ábra. Az áramvonalak kezdőpontjai: (-10, 9); (-5, 8); (-2, -7); (-7, 0); (-8, -4); (-8, -6) 13

18 3. fejezet Nyomás és felhajtóerő Célunk az áramlástan egyik alapegyenletét levezetni, a Bernoulli-egyenletet. Ahhoz, hogy ezt az egyenletet megkapjuk, először az úgynevezett Euler-egyenletet kell levezetnünk. Az eddiegtől kicsit eltérve, az Euler-egyenletet a klasszikus áramlástani eszközökkel vezetjük le, utána visszatérünk a komplex tárgyalásmódra, hogy megkapjuk a Bernoulli-egyenletet Euler-egyenlet Feltesszük hogy a folyadék surlódásmentes (van a valóságban is olyan folyadék, ami viszkózus, de jó közelítéssel elhanyagolható a surlódás hatása). Newton II. axiómáját fogjuk használni a levezetésnél, miszerint egy folyadékrészecskére ható erők eredője megegyezik a folyédrészecske impulzusának deriváltjával. Az ábrán egy kinagyított, elemi folyadékrészecske látható, amint az áramlási térben mozog. Alkalmazzuk Newton II. törvényét erre a folyadékrészecskére. Könnyen meggondolható, hogy honnan jön a külső erők eredője: 1. a folyadékrész felületén keletkezhet feszültség 2. az áramlási térből származó nyomásból 14

19 3. a gravitációs erőtérből. A mechanikában megszokott módon a folyadékrész felületén keletkező feszültségeket felbontjuk a felületre merőleges erőt okozó húzófeszültségekre (σ) és a felülettel párhuzamos erőt okozó csúsztatófeszültségekre (τ). Mivel egy surlódásmentes közegben nincsenek τ feszültségek és σ = p (hiszen csak a nyomásból származhat felületre merőleges húzófeszültség), ezért csak a gravitációból származó erőt és a nyomásból származó erőt kell számítanunk. Először határozzuk meg a nyomásból származó, y tengellyel párhuzamos eredő erőt, df p,y -t. Az ábrából látható, hogy ha a nyomás az y = 0 síkon p, akkor az y + dy síkon p + p y dy. Ekkor tehát df p,y = pdxdz (p + p p dy)dxdz = dxdydz. y y Most térjünk rá a gravitációs mezőből származó erőre. Nekünk most még csak az y irányú komponense kell ennek az erőnek. df g,y = ρ g y dxdydz, ahol g y a térerősség vektor y irányú komponense Alkalmazva Newton II. törvényét, kapjuk, hogy ρ dxdydz dvy dt = ρ dxdydz g y p y dxdydz ahol a bal oldal megegyezik a folyadékrészecske impulzusának deriváltjával, a jobb oldal pedig a részecskére ható erők eredője. Ha most mindkét oldalt elosztjuk a folyadékrész tömegével, akkor kapjuk, hogy: dv y dt = g y 1 p. ρ y Ezt a gondolatmenetet analóg módon elvégezhetjük az x és z irányban is. Az így kapott három egyenletet, felfoghatjuk mint egy vektoregyenlet három komponensét, azaz végül: amit Euler-egyenletnek nevezünk. dv = g 1gradp dt ρ 3.2. Bernoulli-egyenlet Most térjünk rá a Bernoulli-egyenlet levezetésére. Itt már komplex függvénytani eszközöket fogunk használni. Írja le a pont helyét a z = z(t) függvény és a sebességteret az f(z) függvény. Ekkor dz = f(z) dt Számoljuk ki a gyorsulást, amit megkapunk úgy, hogy a helyfüggvényt kétszer deriváljuk, azaz: kihasználva, hogy f(z) reguláris. a = d2 z dt 2 = df dz = df f dz dt dz Az Euler-egyenlet bal oldalán a sebesség deriváltja áll, ezért beírhatjuk a most kapott eredményünket az Euler-egyenletbe és a következő összefüggést kapjuk: 15

20 gradp = g ρ df dz f Itt dz-vel skalárisan szorozva és integrálva, majd komplex alakra térve: p(z) p(z 0 ) = z z 0 < grad p, dz > +c = R z z 0 grad pdz = (U(z) U(z 0 )) ρr z df fdz = (U(z) U(z z 0 dz 0)) ρr f(z 0 wdw f(z 0 ahol U(z) a z ponthoz tartozó potenciális energia és az utolsó lépésben a w = f(z) reguláris függvénnyel helyettesítettünk. A jobb oldal független az úttól, hiszen ha w = u + iv, akkor és ebből kapjuk: amit Bernoulli-törvénynek nevezünk. R b wdw = b udu + vdv = b 2 a 2 a a 2 p = p(z) = ρ 2 f(z) 2 + p(0) + (U(z) U(z 0 )) 3.3. Felhajtóerő Mivel a folyadékban p(z) nyomás uralkodik, a dz infinitezimális szakasz jobb oldala a bal oldalára p dz nagyságú erővel hat, ami a dz-re merőleges, pidz. Így a γ görbe jobb oldala a bal oldalára i pdz erővel hat. γ Ebbe beírva a Bernoulli-egyenletet (tekintsünk most el a konstansoktól) kapjuk, hogy i pdz = i ρ γ 2 γ f 2 dz Most tekintsük úgy γ görbét, hogy az áramlás és γ pontjai sem bírnak bejutni a int γ-ba. Legyen az áramlás f(z) divergencia-és rotációmentes. Ha feltesszük hogy f(z) folytonosan kiterjeszthető γ-ra, akkor z γ-ra, ahol f(z) 0, f(z) párhuzamos lesz γ z-beli érintőjével, ahol az létezik, azaz ívhossz szerint majdnem mindütt. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy f(z)dz valós, f(z)dz = f(z)dz, ami persze f(z) = 0 esetén is fennáll. Az erőt tehát így számoljuk ki: i ρ 2 γ f 2 dz = i ρ ffdz = i ρ f 2 dz = i ρ f 2 dz. 2 γ 2 γ 2 γ Amint látható, az átalakítás végén egy holomorf függvényt kell a görbe mentén integrálnunk. Legyen ext γ. = Ω (beleértve -t is). Tételezzük fel, hogy f(z) reguláris Ω véges pontjaiban és a pontozott környezetében pedig a Laurent sora. Ekkor f(z) = a n n=0 z n 16

21 f(z) 2 = a a 0a 1 z +... és ha ezt elég nagy sugarú körön integráljuk, akkor z =R f 2 dz = 4πia 0 a 1 Felhasználva, γ-n vett integrált közelíthetjük Ω-ban futó görbén vett integrállal, majd alkalmazva a Cauchy Integráltételt, ez megegyezik γ-n vett integrállal. Az erőre így 2πρa 0 a 1 adódik. Itt a 0 jelentése a -beli sebesség, úgy képzelhetjük, mint az akadály megjelenése előtti konstans sebességet. Ismét a Cauchy Integráltételt felhasználva kapjuk, hogy γ fdz = z =R fdz = 2πia 1 Ez az eredmény összhangban van, azzal, hogy -ben nem keletkezhet fluxus, hisz a γ-n vett integrál valós, ugyanis f(z)dz és értéke a γ menti cirkuláció. Ebből kapjuk Kutta-Zsukovszkij eredményét, miszerint erő=-i sűrűség sebesség cirkuláció Ha például a -beli sebesség pozitív, a γ menti cirkuláció negatív, akkor felfelé ható erőt kapunk. A fizika szemszögéből, negatív cirkuláció γ felett nagyobb sebességet jelent, és emiatt a nyomás felette kisebb lesz, min alatta (Bernoulli-törvény). Ez a felhajtóerő tartja fenn a repülőgépet a levegőben. 17

22 4. fejezet A Navier-Stokes-egyenlet Most rátérünk a valóságos közegek áramlására. A valóságos közegek surlódásosak, azaz a deformációsebességgel arányos csúsztatófeszültség keletkezik bennük. Mielőtt rátérnénk a súrlódásos közegek alapegyenletére, a Navier-Stokes-egyenletre, a teljesség igénye nélkül felvázoljuk a levezetését A mozgásegyenlet Az áramló közegre kétféle erő hat: 1. a tömegre ható térerősség 2. a felületen ható, a szomszédos folyadérészekről átadódó erő Ezeknek az erőknek az eredője fogja megváltoztatni a közeg mozgásmennyiségét. egységnyi tömegű folyadékrészre Newton második törvényét: Írjuk fel egy dv dt = g + F ahol g az egységnyi tömegre ható gravitációs erő és F az egyégnyi tömegű folyadékrész felületén ható erők eredője. Vegyünk egy elemi folyadékrészt (egységkockát). A folyadékrész felületén (a nyomásból származó) a felületre merőleges húzófeszültség és a felülettel párhuzamos csúsztatófeszültség is keletkezik. 18

23 Ha a feszültségek az egységkocka átellenes felületein egyenlőek lennének, akkor nem hatna erő a folyadékrészre. Ezért a τ csúsztatófeszültségek és a σ húzófeszültségek a térben általában változnak. Ebből a változásból származik az elemi folyadékrészt gyorsító eredő erő. Határozzuk meg a kockára ható, x irányban fellépő eredő erőt, majd osszuk el a kocka tömegével. Így megkapjuk az egységnyi tömegre ható F erő x komponensét: F x = 1 ρdxdydz [ (σ x(x + dx) σ x (x))dydz + (τ xy (y + dy) τ yx (y))dxdz + (τ zx (z + dz) τ zx (z))dxdy ] ahol a kocka tömege ρdxdydz. Az indexek sorrendjének jelentése: első annak a síknak a normálisa, amelyen az adott feszültség ébred, a második a feszültség iránya. Figyelembe véve, hogy és beírva az előző egyenletbe, kapjuk, hogy: σ x (x + dx) = σ x (x) + σx x dx F x = 1 ρ ( σx x + τyx y + τzx z ) Jelöljük Φ-vel a feszültségtenzort, amelynek mátrixa: σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy τ xz τ yz σ z Az előző két egyenletből látható, hogy az egységnyi tömegű folyadékre ható F erő előáll: F = 1 Φ ahol = [ ρ x y Végeredményben a mozgásegyenlet a következő alakot ölti: dv = g + 1Φ dt ρ ] vektor. z Fontos megjegyezni, hogy a mozgásegyenlet levezetésénél nem kötöttünk ki semmit a közeg jellemzőire vonatkozóan, tehát minden közegre érvényes az összefüggés. Az egyenletet csak akkor lehet használni, ha tudjuk a feszültségállapotot, azaz 3 húzó- és 6 csúsztatófeszültséget. Itt nem térünk ki, arra milyen összefüggések vannak a feszültségek között. Csak megjegyzésként (és a lehetőségek szerint a teljességre törekedve) a következő módon kapjuk a végeredményt. A mozgásegyenlet legáltalánosabb alakját felírva kapunk három egyenletet. Ehhez hozzáveszünk még egy áramlástani egyenletet, a folytonossági tételt, egy egyenletet ami a sűrűség, nyomás és hőmérséklet kapcsolatát fejezi ki és még egy egyenletet, ami a viszkozitás és a hőmérséklet között teremt kapcsolatot. Hetedik egyenletnek az energiaegyenletet használjuk. Ekkor, hét ismeretlen és hét egyenlet áll rendelkezésre, tehát elvileg megoldható a probléma. Analitikus megoldás azonban csak egyszerű esetekben ismert. A mozgásegyenlet három egyenlete közül például az x koordináta irányában a következő alakot ölti 19

24 p g x 1 + 1( ρ x ρ x (2µ vx x 2 3 v x v + v x t x + v x y vx + v y z vx µ div v) + y z = (µ( vy x + vx y ) + z (µ( vx z + vz x )))) 4.2. A Navier-Stokes-egyenlet élünk. Mivel az előbb kapot egyenletrendszerünket nem tudjuk általánosan megoldani, egyszerűsítésekkel Tételezzük fel, hogy µ és ρ állandó, tehát az áramló közeg dinamikai viszkozitása és sűrűsége állandó. Figyelembe véve, hogy ha a sűrűség állandó, akkor a folytonossági tétel értelmében div v = 0. Ekkor a mozgásegyenlet a következő alakra hozható: µ (2 2 v x + 2 v x + 2 v y + 2 v x + 2 v z ) = ν( 2 v x + 2 v x + 2 v x ) + ν ( vx + vy ρ x 2 y 2 x y z 2 z x x 2 y 2 z 2 x x y + vz z ) Az egyenlet jobb oldalán álló második tag a div v x szerinti deriváltja, amely most zérus és ezzel felírható a következő egyenletrendszer v x t v y t v z t v + v x x + v x y vx + v y z vx z v + v y x + v x y vy y v + v z x + v x y vz y + v z vy z + v z vz z p = g x 1 + ν( 2 v x ρ x x 2 = g y 1 p + ν( 2 v y ρ y x 2 = g z 1 p + ν( 2 v z ρ z x v x y v y y v z y v x ) z v y ) z v z z 2 ) A négy ismeretlen (v x, v y, v z és p) meghatározásához szükséges a három komponensegyenlet és a negyedik egyenlet a folytonosság tétele, amely most ρ =áll esetén alakú. v x + vy x y + vz z = 0 Ezt az egyenletrendszert nevezzük Navier-Stokes-egyenletnek. Észrevehető, hogy felírható az egyenletrendszer egy egyenletben is, vektoros alakban Ha kifejtjük az utolsó tagot a dv = v v2 + grad v rot v = g 1grad p + ν v dt t 2 ρ v = grad div v rot rot v szerint és felhasználjuk, ismét hogy div v = 0, kapjuk, hogy dv = g 1 grad p ν rot rot v dt ρ Ebből az egyenletből kiolvasható az áramlás örvényessége és a súrlódás között kapcsolat. Potenciális áramlás (azaz rot v = 0) és állandó örvényességű áramlás esetén a súrlódásnak nincsen szerepe. Ekkor a Navier-Stokes-egyenlet átmegy az Euler-egyenletbe Az ideális áramlások és a Navier-Stokes-egyenlet Most vizsgáljuk meg milyen eredményt kapunk, ha a Navier-Stokes-egyenletet az ideális folyadékra írjuk fel. Először csak nézzük mondjuk x irányban az egyenlet alakját majd analóg módon felírjuk a többi irányt is. 20

25 dv x dt = vx t v + v x x + v x y vx + v y z vx z p = g x 1 + ν( 2 v x ρ x x v x y v x z 2 ) Ha ideális a folyadék, akkor a következő egyszerűsítéseket tehetjük 1. Stacionáris áramlás: v t = 0 2. ν = 0 3. örvénymentes: vds = 0 4. összenyomhatatlan: dρ = 0, azaz ρ=állandó Ezeket beírva a fenti egyenletbe kapjuk, hogy dv x dt v = v x x + v x y vx + v y z vx z = g x 1 ρ p x Innen már analóg módon felírhatóak a többi irányban is az egyenletek. Az y irányban dv y dt v = v y x + v x y vy y + v z vy z = g y 1 p ρ y és a z irányban dv z dt Tovább szűkítve a feltételeket v = v z x + v x y vz y v y = 0 v z = 0 + v z vz z = g z 1 p ρ z és megkapjuk az Euler-egyenletet. Nézzük most az egyváltozós esetet, ekkor v x dv x dx dp = 1 + g ρ dx x amit ha átrendezünk dv v x x + 1 dp dx ρ dx g x = 0 Tehát ezzel a feltételekkel az egységnyi tömegre ható erők áramvonal menti változásának összege nulla. Ha megoldjuk a differenciálegyenletet 2 v 1 x dvx dp 2 g dx ρ 1 dx 1 x = 0 vx ρ p 2 1 g x 2 1 = 0 v 2 x 2 v 2 x ρ (p 2 p 1 ) (U(x 2 ) U(x 1 )) = 0 v 2 x 2 v 2 x ρ (p 2 p 1 ) + (gz 1 gz 2 ) = 0 Folytonos áramvonal és zárt rendszer esetén kapjuk a Bernoulli-egyenletet v ρ p + g z=áll Innen leolvasható hogy a Bernoulli-egyenlet megkapható a mozgási energia, a nyomási energia és a helyzeti energia összegéből. 21

26 5. fejezet Hasonló áramlások Vizsgáljuk meg, mikor nevezhetünk két áramlást hasonlónak. A gyakorlati intuíciónk szerint, akkor lehet két áramlás hasonló, ha az áramvonalaik hasonlítanak egymásra. Ezt az intuíciót kell matematikai formában megfogalmaznunk. Legyenek D és D 1 konform ekvivalens tartományok és legyen a w = Φ(z) függvény, amelyik D D 1 -ből képez és legyen ennek inverze a z = Ψ(w), ami D 1 D-be képez. Mindkét leképezés konform és ők valósítják meg a konform ekvivalenciát. Ekkor, ha adott egy f(z) vektormező (áramlás) a D tartományon, akkor ezt a vektormezőt átvihetjük D 1 -be. Már csak azt kell meghatározni, hogyan vigyük át ezt a vektormezőt, hogy a kívánt eredményt kapjuk. Először megpróbálunk egy egyszerű helyettesítést. Ha csak f(ψ(w)) = f 1 (w) helyettesítést alkalmazunk, akkor nem feltétlen a megfelelő végeredményt kapjuk. Ez a következő példán látható. Vegyük az f(z) = 1 z vektormezőt és legyen z = Ψ(w) = iw Ekkor a helyettesítés után kapjuk, hogy De f(z) forrás volt, még f 1 (w) pontörvény. f 1 (w) = ī w A fenti egyszerű példán látható, hogy valamivel nehezebb dolgunk van abban, hogy egy f(z) vektormezőt átvigyünk a D 1 tartományra. Most úgy próbáljuk meg definiálni f 1 (w)-t, hogy a konform leképezések az áramvonalakat vigyék egymásba. Tehát úgy próbáljuk meghatározni f 1 (w)- t, hogy az áramvonalakat szögtartóan képezzük egymásba. Vizsgáljunk D-ben egy pontot és annak z(t) pályáját (ahol t az időváltozó). Ekkor Newton II. törvénye alapján a pont pályáját leíró függvényt meghatározza a dz = f(z) dt 22

27 differenciálegyenlet. A z(t) függvény D 1 -beli képe definíció szerint w(t) = Φ(z(t)) és ez kielégíti a dw dt = Φ (z) dz = dt Φ (z)f(z) = f(ψ(w)) Ψ (w) differenciálegyenletet. Ennek a differenciálegyenletnek a jobb oldala általában nem antiholomorf. De ha beszorozzuk a pozitív Ψ (w) 2 függvénnyel a jobb oldalt, -ez nem változtatja az áramvonalak alakját- akkor a gyakorlati intuíciónak megfelelő definíciót kapunk, hiszen f 1 (w) = f(ψ(w))ψ (w) már antiholomorf (itt felhasználtuk a komplex számok körében érvényes összefüggést, miszerint z 2 = zz). Egyedül az időfüggvények nem lesznek ekvivalensek, hiszen a részecskék mozgása időben nem felel meg egymásnak, a két tartományban más az idő számítása. Vizsgálataink után, akkor mostmár kimondhatjuk a hasonló áramlások definícióját Definíció (Hasonló áramlás). Legyen D tartomány és legyen rajta értelmezve egy f(z) vektormező. Hasonlóan legyen adott D 1 tartomány és f 1 (w) vektormező. Az f(z) és f 1 (w) vektormezők által meghatározott áramlásokat hasonlónak mondjuk, ha létezik olyan z = Ψ(w): D 1 D konform leképezés, amellyel f 1 (w) = f(ψ(w))ψ (w), vagy analóg módon létezik olyan w = Φ(z): D D 1 konform leképezés, amellyel f(z) = f 1 (Φ(z))Φ (z), ahol w a z inverze. Nézzünk egy példát. Legyen Ψ(w) = 1 w Az f(z) vektormező -beli viselkedését akarjuk megvizsgálni. A fenti definíció alapján, a -beli viselkedést a f( 1 w ) w 2 függvény 0-beli viselkedése írja le. Ezek szerint, a konstans sebességű áramlás a végtelenben dipólus és nem megszüntethető szingularitás. Ha felírjuk f(z)-t a körüli Laurent sor alakban, kapjuk, hogy Ebből a fenti transzformációval Tehát a -beli szinguláris rész f( 1 w ) 1 w 2 f(z) = a n n= z n = n= a nw n 2 1 n= és akkor reguláris végtelenben, ha a n = 0 ( < n 1). A konstant áramlás ezek szerint a -ben dipólus és nem megszüntethető szingularitás. Ezek alapján a -beli reziduumot így értelmezzük: a n z n Res z= f(z) = Res w=0 ( f( 1 w ) 1 w 2 ) = a 1 23

28 és ha ezt még megszorozzuk 2π-vel, akkor kapjuk az ottani forráserősséget. Mindent összegezve f 1 (w) = f(z) dz dw, és f 1(w)dw = f(z)dz és ezek a holomorf differenciálok lesznek a konform leképezésre invariánsak. Tetszőleges γ D görbére a helyettesítés γ f(z)dz = Φ(γ) f(ψ(w))ψ (w)dw = Φ(γ) f 1(w)dw így invariáns marad a fluxus és a cirkuláció is és így a komplex potenciál is ahol z = Ψ(w), w = Φ(z). F (z) = z z 0 fdz = w w 0 f 1 dw = F 1 (w) Másként fogalmazva a komplex potenciál transzformálódik közvetlen helyettesítéssel és az integrál miatt egy konstansban eltérés lehet. Természetesen így is definiálhattuk volna a hasonlóságot, úgy hogy figyelembe vesszük, hogy a potenciálfüggvény nem mindig egyértékű és általában csak egyszeresen összefüggő résztartományon lehet globálisan értelmezni. Könnyen látható hogy a reziduum is megmarad, hiszen ha a helyettesítéses integrálásban a γ egy z 0 D izolált szingularitás körüli kis vonal, akkor a w 0 = Φ(z 0 ) jelöléssel kapjuk hogy Res z=z0 f(z) = 1 f(z)dz = 1 f 2πi γ 2πi Φ(γ) 1(w)dw = Res w=w0 f 1 (w) ahol felhasználtuk a Reziduum tételt Lokális hasonlóság Most egy kicsit más fajta hasonlóságot is megvizsgálunk. Tételezzük fel, hogy van két áramlásunk és válasszunk ki egy-egy pontot ezekben az áramlásokban (ezek a pontok lehetnek akár izolált szingulitások is). Ha ennek a két pontnak alkalmas környezetére megszorítva a két áramlás hasonló, akkor a két áramlás a pontokban lokálisan hasonlónak mondjuk. Az általánosság megszorítása nélkül mindig az origóban való viselkedéseket hasonlítjuk össze, ha lokális hasonlóságot akarunk vizsgálni. A bizonyítás nélkül közöljük a végeredményt. Ha f(z) reguláris az origóban, akkor két áramlás akkor és csak akkor hasonló lokálisan, ha a megfelelő pontokban a stagnáció rendje megegyezik. Ha pólus szingularitás lép fel, akkor a pólusok rendjének és a reziduumoknak a megegyezése elegendő feltétele a lokális hasonlóságnak. Az alábbi ábrán két lokálisan hasonló függvény látható. A bal oldali az f(z) = z 2 + z a jobb oldali a g(z) = z. A két függvény az origóban lokálisan hasonló. A pontok amikből indulnak az áramvonalak: (0.1; 0.2), (0.05; -0.2), (-0.1; 0.2), (-0.05; -0.2), (-0.2; -0.6) 24

29 25

30 Irodalomjegyzék [1] Halász Gábor, Kis Hidrodinamika, Komplex függvénytani füzetek VII. [2] Lajos Tamás, Az áramlástan alapjai [3] George B. Thomas, Maurice D. Weirm, Joel Hass, Frank R. Giordano, Thomas-féle Kalkulus 3. [4] Az internetes forrás én lévő állapotban értendő. Minden ábra MATLAB programmal készült. 26