Pénzügyi folyamatok folytonos időben

Pénzügyi folyamatok folytonos időben Kevei Péter 19. február 4.

Tartalomjegyzék 1. Martingálok 1.1. Diszkrét időben.......................... 1.1.1. Definíciók, alapvető tulajdonságok............ 1.1.. Megállási idő....................... 4 1.1.3. Tételek........................... 5 1.. Folytonos időben......................... 9 1..1. Definíciók és egyszerű tulajdonságok.......... 9 1... Egyenlőtlenségek..................... 1. Sztochasztikus integrál 13.1. Wiener-folyamat......................... 13.. A sztochasztikus integrál definíciója............... 17..1. Egyszerű folyamatok integrálása............. 17... A definíció kiterjesztése.................. 19.3. Itô-formula............................ 4.3.1. Itô-folyamatok...................... 4.3.. Az Itô-formula...................... 5.3.3. Többdimenziós Itô-folyamatok.............. 31.3.4. Alkalmazások....................... 3.4. Négyzetes változás és a Doob Meyer-felbontás......... 36.5. Mértékváltás............................ 37.5.1. A Wiener-folyamat karakterizációja........... 38.5.. Girsanov-tétel....................... 39 3. Folytonos idejű piacok 4 3.1. Piacok általában......................... 4 3.. Black Scholes modell....................... 45 3..1. Ekvivalens martingálmérték és az igazságos ár..... 46 3... A Black Scholes-formula................. 47 3..3. A CRR-formulától a Black Scholes-formuláig...... 48 4. Diffúziós folyamatok 51 4.1. Markov folyamatok általános elmélete.............. 5 4.1.1. Definíciók......................... 5 4.1.. Kolmogorov egyenletek.................. 55 4.1.3. Diffúziós folyamatok................... 58 4.. Sztochasztikus differenciálegyenletek.............. 6

Előszó A jegyzet a Szegedi Tudományegyetem Alkalmazott matematika MSc szakos hallgatói számára tartott Pénzügyi és kockázati folyamatok c. tárgy pénzügyi matematika részéhez készült. A tárgy keretében a diszkrét idejű értékpapírpiacok elméletét Gáll József és Pap Gyula Bevezetés a pénzügyi matematikába c. jegyzetének Opcióelmélet fejezete alapján tárgyaljuk. Jelen jegyzet a folytonos idejű piaci modellek elméletét tartalmazza. A sztochasztikus integrál elméletének kiépítésekor Karatzas és Shreve [5] jegyzetét követjük. Azonban egy heti órás tárgynál nem jut idő a sztochasztikus integrálás általános elméletének kiépítésére. Emiatt a bizonyításokat általában csak speciális esetben végezzük, és nem tetszőleges folytonos martingál, hanem csak a Wiener-folyamat, ill. Itô-folyamatok szerinti integrálást vezetjük be. Ugyanakkor hangsúlyozzuk, hogy a legtöbb tétel bizonyítása szerepel a jegyzetben. A pénzügyi matematika résznél sok helyen Elliott és Kopp Pénzpiacok matematikája [3] c. könyvét követjük, a diffúziós folyamatokat pedig Breiman [1] jegyzete alapján tárgyaljuk. A diszkrét idejű martingálok felépítését Csörgő Sándor [] jegyzetéből vettük át. A jegyzetben jónéhány feladat is található, melyek nagyrészt Karatzas és Shreve [5], Breiman [1] és Evans [4] jegyzetéből valók. A jegyzet írása a TÁMOP 4..4.A/-11-1-1-1 Nemzeti Kiválóság Program című kiemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg. Köszönöm szépen Major Péter értékes megjegyzéseit. 1

1. Martingálok 1.1. Diszkrét időben Ebben a fejezetben összefoglaljuk a diszkrét idejű martingálokra vonatkozó legfontosabb állításokat. Csörgő Sándor jegyzetét [] követjük. 1.1.1. Definíciók, alapvető tulajdonságok Legyen (Ω, A, P) egy valószínűségi mező, és ezen (F n ) n egy filtráció (azaz σ-algebrák monoton bővülő rendszere, F F 1... F n F n+1... A), és (X n ) n véletlen változók sorozata. Az (X n ) n sorozat adaptált az (F n ) filtrációhoz, ha minden n esetén X n mérhető F n szerint. Az (X n, F n ) sorozat martingál, ha (i) (X n ) adaptált az (F n ) filtrációhoz; (ii) E X n < minden n esetén; (iii) E[X n+1 F n ] = X n m.b. Az {X n, F n } sorozat szubmartingál (szupermartingál), ha (i), (ii) teljesül, és E[X n+1 F n ] X n (E[X n+1 F n ] X n ) m.b. minden n esetén. Vegyük észre, hogy (X n, F n ) pontosan akkor martingál, ha szubmartingál és szupermartingál. Továbbá, szubmartingál mínusz egyszerese szupermartingál, ezért minden szubmartingálokra bizonyított állítás megfelelője igaz szupermartingálokra, és martingálokra is. 1. Állítás. Legyen I véges vagy végtelen intervallum a számegyenesen, P{X n I} = 1 minden n esetén, ϕ : I R konvex függvény, ϕ(x n ) integrálható. (i) Ha (X n, F n ) martingál, akkor (ϕ(x n ), F n ) szubmartingál. (ii) Ha (X n, F n ) szubmartingál és ϕ monoton nemcsökkenő függvény, akkor (ϕ(x n ), F n ) szubmartingál. Bizonyítás. (i): A martingál definíciója és a feltételes várható értékre vonatkozó Jensen-egyenlőtlenség szerint ϕ(x n ) = ϕ (E[X n+1 F n ]) E [ϕ(x n+1 ) F n ], ami éppen az állítás. A (ii) bizonyítása hasonlóan megy.

1. Feladat. Lássuk be (ii) állítást! Véletlen változók egy (Z n ) sorozata előrejelezhető az (F n ) filtrációra nézve, ha minden n esetén Z n mérhető F n 1 szerint. Doob-felbontás. Legyen (X n, F n ) szubmartingál, F = {, Ω}. Ekkor létezik (M n, Z n ) sorozat, melyre X n = M n + Z n, ahol (M n, F n ) martingál, Z 1 =, Z 1 Z... m.b., és Z n előrejelezhető. Továbbá, ez az előállítás egyértelmű. Az állítás azt mondja, hogy a szubmartingálban benne levő driftet le tudjuk választani. Bizonyítás. Legyen Z 1 = m.b., és n esetén Z n = n k= E[X k X k 1 F k 1 ]. A szubmartingál definíciója szerint Z n m.b. monoton nemcsökkenő, hiszen Z n Z n 1 = E[X n X n 1 F n 1 ] m.b. Az előrejelezhetőség is világos. (Ezzel leválasztottuk a driftet.) Legyen M n = X n Z n. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban martingál. Ezzel a létezést beláttuk. Az egyértelműség bizonyítása a következőképp megy. Legyen {M n, Z n} egy, a feltételeknek eleget tevő sorozat. Ekkor a feltétel szerint Z 1 = = Z 1 m.b. Teljes indukcióval bizonyítunk. Tegyük fel, hogy n 1 esetén igaz az állítás, azaz Z n 1 = Z n 1 m.b., és M n 1 = M n 1 m.b. Ekkor Z n = E[Z n F n 1 ] előrejelezhetőség = E[X n M n F n 1 ] definíció = E[X n F n 1 ] M n 1 martingálság = E[X n F n 1 ] M n 1 indukciós feltétel = E[X n M n F n 1 ] martingálság = E Z n F n 1 ] definíció = Z n előrejelezhetőség. A (Z n ) folyamat az (X n, F n ) martingál növekvő folyamata. 3

1.1.. Megállási idő A τ : Ω N nemnegatív egész értékű (kiterjesztett) véletlen változó megállási idő az (F n ) filtrációra nézve, ha minden n esetén {τ n} F n. Vegyük észre, hogy a definícióban megengedjük, hogy τ pozitív valószínűséggel vegye fel a értéket. 1. Lemma. Az alábbiak ekvivalensek: (i) τ megállási idő; (ii) {τ > n} F n minden n esetén; (ii) {τ = n} F n minden n esetén. Bizonyítás. A bizonyítás a σ-algebra elemi tulajdonságain múlik.. Feladat. Bizonyítsuk be a lemmát! Legyen τ megállási idő az {F n } filtrációra. A τ előtti események σ- algebrája / pre-τ σ-algebra az formulával definiált σ-algebra. F τ = {A A : A {τ n} F n, n} 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy F τ valóban σ-algebra! Az F τ σ-algebra azt információt tartalmazza, amit éppen a τ megállási időig gyűjtünk össze. Legyen {X n } véletlen változók egy sorozata, τ megállási idő. Ekkor X τ az a véletlen változó, melyre X τ (ω) = X τ(ω) (ω), ω Ω.. Állítás. (i) Ha τ megállási idő, akkor τ mérhető F τ szerint. (ii) Ha τ k, akkor F τ = F k (azaz a jelölés konzisztens). (iii) Ha σ, τ megállási idők, akkor min{σ, τ} = σ τ és max{σ, τ} = σ τ is megállási idők. (iv) Ha σ τ m.b., akkor F σ F τ. (v) Ha {X n } adaptált és τ megállási idő, akkor X τ mérhető F τ szerint. Bizonyítás. A σ-algebra tulajdonságain múlik. 4. Feladat. Bizonyítsuk be az állítást! 4

1.1.3. Tételek Opcionális megállási tétel (Doob). Legyen (X n, F n ) szubmartingál, σ, τ megállási idők, σ τ m.b. Tegyük fel, hogy E X σ <, E X τ < és lim inf n {τ>n} X n dp =. Ekkor E[X τ F σ ] X σ m.b. A tétel feltételei mellett, ha {X n, F n } martingál, akkor E[X τ F σ ] = X σ m.b. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy τ korlátos, τ m. A szubmartingál és a feltételes várható érték definíciója szerint azt kell megmutatnunk, hogy minden A F σ eseményre (X τ X σ ) dp. Írjuk át az integrandust A τ X τ X σ = (X k X k 1 ) = k=σ+1 m I(σ < k τ)(x k X k 1 ) k= alakba. Vegyük észre, hogy A {σ < k τ} = (A {σ k 1}) {τ k 1} c. Itt a metszet első tagja F σ definíciója szerint F k 1 -mérhető, a második tagja pedig a megállási idő definíciója szerint, így a metszet maga is elem az F k 1 σ-algebrának. Ezt, feltételes várható érték és a szubmartingál definícióját használva A (X τ X σ )dp = = = m I(σ < k τ)(x k X k 1 )dp A k= m k= m k= A {σ<k τ} A {σ<k τ} (X k X k 1 )dp (E[X k F k 1 ] X k 1 ) dp, ami éppen a bizonyítandó. Az általános esetben a τ, σ megállási időkről át kell térni a τ n, σ n korlátos megállási időkre, és belátni, hogy a kimaradó tagok -hoz tartanak egy részsorozat mentén. Ezt nem bizonyítjuk, a részletekért lásd []. 1. Következmény. Ha E X τ < és lim inf n {τ>n} X n dp =, akkor ha 5

(i) {X n, F n } szubmartingál, akkor E[X τ F 1 ] X 1 m.b., és persze EX τ EX 1 ; (ii) {X n, F n } martingál, akkor E[X τ F 1 ] = X 1 m.b., és persze EX τ = EX 1. Fontos megjegyezni, hogy a tételben szereplő feltételek nem csupán technikai feltételek. Legyen S n egy egyszerű szimmetrikus bolyongás az egyenesen. Ő martingál a az általa generált természetes filtrációra nézve. Tudjuk, hogy az egydimenziós bolyongás rekurrens, ezért majdnem biztosan eléri az 1-et. Legyen az elérés időpontja τ. Ekkor τ megállási idő, és persze S τ 1 S =. Csak a lim inf n {τ>n} X n dp = feltétellel lehet baj, és valóban, ez nem teljesül. Doob maximál egyenlőtlensége. Legyen (X k, F k ) szubmartingál és legyen M n = max 1 k n X k. Ekkor tetszőleges k > esetén xp{m n x} X n dp EX n +, {M n x} ahol a + = max{a, } az a R szám pozitív részét jelöli. Bizonyítás. A második egyenlőtlenség nyilvánvaló, hiszen a bal oldalon X n változót integráljuk egy halmazon, a jobb oldalon pedig ugyanezt a változót integrálom ott, ahol az pozitív. Legyen σ n = min{min{k : X k x, k = 1,,..., n}, n}. Ekkor σ n megállási idő (HF), és persze σ n n. Vegyük észre, hogy {M n x} F σn. Az opcionális megállási tételt használjuk a σ = σ n, τ = n szereposztással. Így xp{m n x} X σn dp X n dp, {M n x} {M n x} ahol az első egyenlőtlenség a σ n definíciója miatt, a második pedig az opcionális megállási tétel miatt teljesül. Ezzel a tételt beláttuk.. Következmény. Ha (X k, F k ) szubmartingál és x >, akkor P{sup n X n x} 1 x sup EX n +. n Bizonyítás. Használjuk az előző tételt a monoton konvergenciatétellel kombinálva. 6

5. Feladat. Bizonyítsuk be az állítást! A maximál egyenlőtlenség következményeként belátjuk, hogy ha a szubmartingálra teljesül bizonyos integrálfeltétel, akkor a szuprémumra is. Ehhez szükségünk lesz az alábbi lemmára. Vegyük észre, hogy az lemmában szereplő egyenlőtlenség pontosan olyan típusú, mint amit a maximál egyenlőtlenség állít.. Lemma. Legyenek X, Y nemnegatív véletlen változók, melyekre P{X x} 1 Y dp, x >. x Ekkor tetszőleges p > 1 esetén EX p {X x} ( ) p p EY p. p 1 Bizonyítás. Felhasználjuk, hogy nemnegatív X változó esetén EX p = px p 1 [1 F (x)]dx, ahol F (x) = P{X x} az X véletlen változó eloszlásfüggvénye. Ez a Fubinitétel egyszerű alkalmazásával igazolható, hiszen EX p = X p dp = I {x<x(ω)} (x)px p 1 dxdp(ω) = Ω Ω px p 1 [1 F (x)]dx. Az állítás bizonyítása is hasonló, csak még a Hölder-egyenlőtlenséget is fel- 7

használjuk: EX p = = = Ω px p 1 [1 F (x)]dx px p 1 1 Y (ω)dp(ω) dx x {X x} px p I(X(ω) x)y (ω)dp(ω)dx Ω ( ) X(ω) Y (ω) px p dx dp(ω) = Y X p 1 p Ω p 1 dp p p 1 (EY p ) 1/p ( EX (p 1)q) 1/q = p p 1 (EY p ) 1/p (EX p ) 1/q, ahol p és q konjugált kitevők, azaz 1/p + 1/q = 1. átrendezve kapjuk az állítást. 3. Következmény. Az egyenlőtlenséget (i) Legyen (X k, F k ) n k=1 nemnegatív szubmartingál. Ekkor minden p > 1 esetén ( ) p p EMn p EX p p 1 n. (ii) Legyen {X k, F k } nemnegatív szubmartingál. Ekkor minden p > 1 esetén ( ) p p E sup Xn p sup EX n p 1 n. p n Mindkét állítást a p = speciális esetben alkalmazzuk. A (ii) pont szerint ha valamely p > 1 esetén sup n EX p n < akkor E sup n X p n <. Fontos látni, hogy ez nem igaz a p = 1 esetben, azaz sup n EX n < feltételből nem következik, hogy E sup n X n <. (Vegyük észre, hogy p/(p 1) amint p 1.) Martingál konvergenciatétel (Doob). Legyen (X n, F n ) n=1 szub- vagy szupermartingál, melyre K = sup n E X n <. Ekkor van olyan X véletlen változó, hogy X n X m.b., és E X K. A tételt nem bizonyítjuk, a bizonyítás megtalálható [] jegyzetben. 8

1.. Folytonos időben A folytonos idejű martingálok elméletét Karatzas és Shreve [5] jegyzete alapján dolgozzuk fel úgy, hogy ahol lehet a mértékelméleti bonyodalmakat elhallgatjuk, vagy éppen csak megemlítjük. 1..1. Definíciók és egyszerű tulajdonságok Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, és (F t ) t egy filtráció, vagyis σ-algebrák monoton növő sorozata. Ezen a ponton az időhorizont lehet véges vagy végtelen, azaz t [, T ] vagy t [, ). A továbbiakban mindig feltesszük, hogy az (F t ) t filtráció teljesíti a szokásos feltételeket, azaz (i) F tartalmazza a P-null halmazokat; (ii) (F t ) t jobbról folytonos, azaz s>t F s =: F t+ = F t. A következő definíciók a diszkrét időben látottak folytonos idejű megfelelői. Az (X t ) t folyamat (F t ) t -adaptált, ha X t mérhető F t szerint minden t esetén. Az (X t, F t ) t folyamat martingál, ha (i) az (X t ) t folyamat (F t ) t adaptált; (ii) E X t < minden t esetén; (iii) E[X t F s ] = X s m.b. minden t > s esetén. Az (X t, F t ) t szubmartingál (szupermartingál), ha (i) és (ii) teljesül, valamint (iii) teljesül az = helyett -t ( -t) írva. A τ : Ω [, ) véletlen változó megállási idő az {F t } t filtrációra nézve, ha minden t esetén {τ t} F t. A τ előtti események pre-τ σ- algebrájában azok az A A események vannak, melyekre A {τ t} F t teljesül, minden t esetén. 6. Feladat. A pre-τ σ-algebra tényleg σ-algebra. Ha (X t ) t sztochasztikus folyamat és τ egy megállási idő, akkor X τ (ω) = X τ(ω) (ω). (Ez a definíció nem csak megállási időre működik.) A következő állítás nyilvánvaló, a definíció azonnali következménye. Viszont nagyon fontos, a későbbiekben többször használjuk. 3. Állítás. Legyen (X t, F t ) t (szub-, szuper-) martingál. Ekkor tetszőleges t < t 1 <... < t N < beosztás esetén (X tn, F tn ) N n= diszkrét idejű (szub-, szuper-) martingál. 9

A következő állítás az előbb bevezetett fogalmakra vonatkozó egyszerű tulajdonságokat gyűjti össze, mint diszkrét időben. 4. Állítás. (i) Ha τ megállási idő, akkor τ mérhető F τ szerint. (ii) Ha τ t, akkor F τ = F t. (iii) Ha τ, σ megállási idők, akkor τ σ és τ σ is azok. (iv) Ha σ τ m.b., akkor F σ F τ. (v) Ha az {X t } t folyamat {F t } t -adaptált és jobbról folytonos, akkor X τ F τ - mérhető. 7. Feladat. Bizonyítsuk be a fenti állításokat! Megjegyzés. Folytonos időben minden bonyolultabb, mint diszkrét időben, a mérhetőséggel is vigyázni kell. Az (X t ) t folyamat (F t ) t -adaptált, ha X t mérhető F t -re nézve, t. Az (X t ) t (d-dimenziós) folyamat progresszív mérhető (F t ) t -re, ha minden t és A B(R d ) esetén {(s, ω) : s t, X s (ω) A} B([, t]) F t, ahol B a Borel-halmazokat jelöli a megfelelő alaphalmazon, pedig a szorzatσ-algebra. A későbbiekben a folyamat adaptáltsága nem lesz elég, a progresszív mérhetőség kell. Ez persze mindenütt el van kenve. Állítás. Ha (X t ) t adaptált és jobbról folytonos, akkor (X t ) t progresszív mérhető. Valójában az előző állítás (v) pontja helyett a következő, erősebb állítás is igaz (és ez az amit használunk). (v ) Ha (X t ) t (F t ) t -adaptált és jobbról folytonos, τ megállási idő, akkor az (X τ t ) t megállított folyamat progresszív mérhető. 1... Egyenlőtlenségek A következő tétel a diszkrét idejű Doob-féle maximál egyenlőtlenség folytonos megfelelője. 1. Tétel. Legyen (X t, F t ) t jobbról folytonos szubmartingál. 1

(i) Tetszőleges < S < T <, x > esetén (ii) Ha X t m.b. és p > 1, akkor ( E xp{ sup X t x} EX + T. S t T ) p sup X t S t T ( ) p p EX p T p 1. Bizonyítás. (i): Legyen n N rögzített, és F n = {S, T } {r 1,..., r n }, ahol {r 1, r,...} = Q (S, T ) az (S, T ) racionális számainak egy felsorolása. Legyen y < x rögzített. Ekkor {X t, F t } t Fn diszkrét idejű szubmartingál. (Ezt úgy kell érteni, hogy az előre rögzített n-re, az F n halmaz elemeit növekvő sorrendbe rendezem, és így indexelem a változókat és a σ-algebrákat.) Ezért Doob maximál egyenlőtlensége szerint A jobbról folytonosság miatt yp{sup t F n X t > y} EX + T. { sup X t > y} = n=1{sup X t > y}, S t T t F n és az unió monoton unió. Határátmenettel kapjuk, hogy yp{ sup X t > y} EX + T. S t T Végül y x adja az állítást. A (ii) rész hasonlóan bizonyítható, vagy használhatjuk a diszkrét esetnél felhasznált lemmát. 8. Feladat. Bizonyítsuk be (ii) állítást! Megjegyzés. Legyen (X t, F t ) t [, ) jobbról folytonos szubmartingál. A szubmartingálnak utolsó eleme az X véletlen változó, ha X mérhető az F = σ ( t F t ) σ-algebrára, E X < és minden t esetén E[X F t ] X t m.b. Az, hogy egy szubmartingálnak van utolsó eleme, az egy egyenletes integrálhatósági feltétel. Mi mindig valamilyen véges [, T ], T <, intervallumon dolgozunk. Itt értelmezett (X t ) szubmartingálnak definíció szerint van utolsó eleme, nevezetesen X T, ezért ez a feltétel a későbbiekben nem okoz gondot. 11

Opcionális megállási tétel. Legyen (X t, F t ) t jobbról folytonos szubmartingál, melynek van X utolsó eleme. Legyenek σ, τ megállási idők, hogy σ τ m.b. Ekkor E[X τ F σ ] X σ m.b. Bizonyítás. Vázlat. Tegyük fel, hogy τ korlátos, τ K. Legyen σ n (ω) = k/ n, ha σ(ω) [(k 1)/ n, k/ n ), és definiáljuk τ n -et hasonlóan. Ekkor σ n és τ n megállási idők minden n-re. Alkalmazzuk a diszkrét idejű opcionális megállási tételt az {X k/ n, F k/ n} szubmartingálra és a σ n, τ n megállási időkre. Eszerint tetszőleges A F σn eseményre E[X τn F σn ] X σn m.b., vagyis X A τ n dp X A σ n dp. Mivel σ n σ minden n esetén, így F σn F σ. Ezért minden A F σ eseményre X A τ n dp X A σ n dp. A jobbról folytonosság miatt X τn X τ és X σn X σ m.b. Az egyenletes integrálhatóságot használva innen (némi munkával) kapjuk, hogy X τ dp X σ dp, és ezt kellett igazolni. A A 9. Feladat. Mutassuk meg, hogy a tétel bizonyításában definiált σ n, τ n véletlen változók tényleg megállási idők! A szubmartingál konvergenciatételt a diszkrét időben sem bizonyítottuk, és most sem. Szubmartingál konvergenciatétel. Legyen (X t, F t ) t jobbról folytonos szubmartingál, melyre sup t EX t + <. Ekkor lim t X t = X m.b. határérték létezik, és E X <. A következőkben a Doob-felbontás folytonos analógját ismertetjük, bizonyítás nélkül. Megjegyzés. A folytonos idejű felbontás nem teljesül tetszőleges szubmartingálra, bizonyos egyenletes integrálhatósági feltételt kell feltenni. Véletlen változók egy D halmaza egyenletesen integrálható, ha minden ε > számhoz megadható egy K > érték, hogy minden X D esetén X dp < ε. X >K 1

Jelölje S a azon τ megállási idők halmazát, melyek 1 valószínűséggel kisebbek, mint a. Ha minden a > esetén az {X τ } τ Sa véletlen változók halmaza egyenletesen integrálható, akkor (X t ) DL. Doob Meyer felbontás. Legyen (X t, F t ) t jobbról folytonos szubmartingál, melyre (X t ) DL. Ekkor léteznek (M t ) és (A t ) folyamatok, hogy (M t ) martingál, (A t ) olyan adaptált folyamat, mely egy valószínűséggel monoton nemcsökkenő, és X t = M t + A t, t. Továbbá, az előállítás egyértelmű. A tételt nem bizonyítjuk. A bizonyítás alapötlete ugyanaz, mint az eddigieknél: vesszük egy egyre finomodó beosztását az időnek, alkalmazzuk a Doob-felbontást diszkrét időben, és belátjuk, hogy a határátmenet jól működik. Lásd [5] 1. fejezetét. Ha Y t martingál, akkor Yt szubmartingál, és így tartozik hozzá egy monoton növő, adaptált A t folyamat. Ezt az A t folyamatot az Y t martingál monoton növő folyamatának nevezzük. Jele Y t.. Sztochasztikus integrál A sztochasztikus integrálelméletet alapvetően a [5] jegyzet alapján dolgozzuk fel. Azonban itt minden nagyon általánosan és precízen van kidolgozva. A mérhetőségi problémákat teljesen kihagyjuk, a lokális martingálokat nem definiáljuk, és csak a Wiener-folyamat szerinti sztochasztikus integrált vezetjük be, nem pedig általános folytonos martingál szerintit. Ennek megfelelően a tételek bizonyítása általában nem a [5] jegyzetben szereplő, hanem az általunk tárgyalt speciális esethez igazított bizonyítás. Sok állítás és bizonyítás Elliott és Kopp [3] jegyzetéből való..1. Wiener-folyamat Ebben a részben összefoglaljuk a Wiener-folyamat legfontosabb tulajdonságait. A (W t ) t sztochasztikus folyamat Wiener-folyamat / Standard Brown Mozgás (SBM), ha (w1) W = m.b.; (w) független növekményű (azaz tetszőleges t < t 1 <... < t n esetén W t, W t1 W t,..., W tn W tn 1 függetlenek); (w3) W t W s N(, t s); 13

(w4) mintafolytonos (azaz P ({ω : W t (ω) folytonos függvénye t-nek}) = 1). A (W t ) Wiener-folyamathoz tartozó természetes filtráció F (W ) t = σ(w s : s t). Nyilván W t adaptált F t -re nézve. Ugyanakkor a sztochasztikus integrál definiálásához szükségünk lesz nagyobb filtrációra, ami több véletlent tartalmaz, mint a Wiener-folyamat. Akkor mondjuk, hogy (W t ) t Wienerfolyamat az (F t ) filtrációra, ha W adaptált (azaz W t F t mérhető), (w1), (w), (w4) teljesül, és W t W s független F s -től valahányszor t > s. A következő állításban a Wiener-folyamat néhány egyszerű tulajdonságát soroljuk fel. 5. Állítás. (i) Cov(W t, W s ) = min{s, t}; (ii) Y 1 (t) = W t+c W c, Y (t) = cw t/c, Y 3 (t) = tw 1/t is SBM. (iii) W t, Wt t, e σwt σ t folyamatok martingálok az {F t } filtrációra. Bizonyítás. (i) egyszerű számolás. (ii)-ben Y 1 és Y folyamatokra egyszerűen ellenőrizhető, hogy (w1) (w4) teljesül. Az Y 3 folyamatnál másképp érvelünk: ez nyilván Gauss-folyamat, és a várható érték és kovariancia függvénye megegyezik a Wiener-folyamat megfelelő függvényeivel. Mivel a várható érték és kovariancia függvény egyértelműen meghatározza a Gauss-folyamatot, így Y 3 is SBM. (iii) Megmutatjuk, hogy X t = exp{σw t σ t} martingál, a másik kettő bizonyítása hasonló, csak ennél egyszerűbb. Legyen < s < t. Ekkor E ] [exp{σw t σ t} F s = E ] [exp{σw s } exp{σ(w t W s ) σ t} F s σ σws = e t Ee σ(wt Ws), hiszen W s mérhető F s -re, ezért kihozható a feltételes várható értékből, és W t W s pedig független F s -től, így a feltételes várható értéke éppen a várható értéke. Egy Z standard normális momentumgeneráló függvénye Ee tz = e t /, és (w3) alapján W t W s = t sz eloszlásban, így a fenti kiemelt egyenlőség és éppen ezt kellett igazolni. σ σws = e t e σ (t s) σ σws = e s, 14

1. Feladat. Lássuk be részletesen a fenti állítás minden pontját! Mivel {W t } martingál, ezért {Wt } szubmartingál. A Doob Meyer-felbontás szerint így Wt = M t + A t alakban előáll, ahol M t martingál, A t pedig monoton nemcsökkenő. A fenti állítás (iii) pontja szerint Wt t martingál, ezek szerint, (a Doob Meyer-felbontás egyértelműsége alapján) M t = Wt t és A t = t. Ebben az esetben a monoton növő rész determinisztikus. Az alábbiakban az [a, b] intervallum egy Π n = {a = t < t 1 <... < t n = b} beosztásának finomságát Π n jelöli, azaz Π n = max{t i t i 1 : i = 1,,..., n}. A következő tételben a Wiener-folyamat négyzetes változását határozzuk meg.. Tétel. Legyen Π n = {a = t < t 1 <... < t n = b}, n = 1,,..., az [a, b] intervallum beosztásainak egy sorozata, hogy Π n. Ekkor n (W ti W ti 1 ) L b a. i=1 Bizonyítás. Nyilván feltehetjük, hogy [a, b] = [, 1]. Azt kell megmutatnunk, hogy ( n E (W ti W ti 1 ) 1). i=1 Vegyük észre, hogy 1 = n i=1 (t i t i 1 ). Ezt beírva, a négyzetre emelést elvégezve, és a várható érték linearitását felhasználva ( n E (W ti W ti 1 ) 1) = i=1 n E ([ (W ti W ti 1 ) (t i t i 1 ) ] [ (W tj W tj 1 ) (t j t j 1 ) ]). i,j=1 (1) Ha i j, akkor W ti W ti 1 és W tj W tj 1 függetlenek (w) alapján. Tehát ekkor a szorzat várható értéke a várható értékek szorzata, viszont E [ (W ti W ti 1 ) (t i t i 1 ) ] =. 15

Ezért (1) jobb oldalán szereplő vegyesszorzatok értéke, és így felhasználva, hogy W t W s N(, t s) kapjuk ( n n E (W ti W ti 1 ) 1) = E [ (W ti W ti 1 ) (t i t i 1 ) ] i=1 = i=1 [ n (Wti ) (t i t i 1 ) W E ti 1 1 ti t i 1 i=1 ahol Z standard normális. Mivel n (t i t i 1 ) Π n i=1 az állítást beláttuk. n = E(Z 1) (t i t i 1 ), i=1 n (t i t i 1 ) = Π n, i=1 Némi extra feltétel teljesülése mellett az L konvergencia helyett majdnem biztos konvergenciát is állíthatunk. Tudjuk, hogy L -beli konvergenciából általában nem következik a majdnem biztos konvergencia. Az viszont igaz, hogy L értelemben konvergens sorozatnak van majdnem biztosan konvergens részsorozata. Bizonyos feltételek mellett a m.b. konvergencia is teljesül. Egy elegendő feltétel a m.b. konvergenciára a n=1 Π n sor konvergenciája. Ez az első Borel Cantelli-lemma bizonyításából következik. 4. Következmény. Legyen Π n az [a, b] intervallum olyan beosztássorozata, melyre n=1 Π n <, vagy Π n egymásba skatulyázott. Ekkor n i=1 W t i W ti 1 m.b. Bizonyítás. Világos, hogy n i=1 (W ti W ti 1 ) sup W ti W ti 1 1 i n n W ti W ti 1. Ez előbbiek szerint a bal oldal 1 valószínűséggel konvergál (b a)-hoz, a jobb oldalon az első tényező pedig 1 valószínűséggel konvergál -hoz, hiszen a Wiener-folyamat 1 valószínűséggel folytonos, folytonos függvény pedig kompakt intervallumon egyenletesen folytonos. Ezek szerint az egyenlőtlenség csak úgy állhat fenn, ha a jobb oldalon levő második tényező végtelenben tart. Éppen ezt kellett belátni. 16 i=1 ]

Azaz a Wiener-folyamat egy valószínűséggel nem korlátos változású akármilyen kicsi intervallumon. Ennél sokkal erősebb állítás is igaz: 3. Tétel. A Wiener-folyamat m.b. sehol sem differenciálható. A tételt Paley, Wiener és Zygmund igazolták 1933-ban, később Erdős és Kakutani adtak rá egyszerűbb bizonyítást. A bizonyítás megtalálható a [] jegyzetben. A trajektóriák irregularitása miatt az X t dw t típusú integrált nem tudjuk trajektóriánként értelmezni, mint a Lebesgue Stieltjes-integrálok esetében... A sztochasztikus integrál definíciója Ebben a fejezetben bevezetjük a Wiener-folyamat szerinti integrálást. Mint a Riemann-, és a Lebesgue-féle integrálelméletben, itt is először az egyszerű folyamatok integrálját definiáljuk, majd határátmenettel általános esetben...1. Egyszerű folyamatok integrálása A következőkben a [, T ], T <, zárt intervallumon dolgozunk. Legyen W t SBM az {F t } filtrációra. Az {X t } egyszerű folyamat, ha n 1 X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + ξ i (ω)i (ti,t i+1 ](t), ahol = t < t 1 <... < t n = T a [, T ] intervallum egy partíciója, és ξ i F ti -mérhető véletlen változó. Tehát az X t egy olyan folyamat, amely minden egyes ω Ω esetén egy = t < t 1 <... < t n = T beosztáshoz tartozó lépcsős függvény, de a lépcsőfokok véletlenek. Vegyük észre, hogy a definícióban szereplő ξ i változó az intervallum bal végpontjához tartozó σ-algebrára nézve mérhető. Ez fontos, emiatt lesz adaptált a folyamat. (Sőt, később a 1. Példában megmutatjuk, hogy nem mindegy, hogy hol nézzük a folyamat értékét.) 11. Feladat. Mutassuk meg, hogy egy egyszerű folyamat adaptált! Egy egyszerű folyamat integrálját természetes definiálhatjuk. Legyen k olyan index, hogy t (t k, t k+1 ], ekkor I t (X) = t i=1 k 1 X s dw s = ξ i (W ti+1 W ti ) + ξ k (W t W tk ), t [, T ]. i= 17

Fontos látni, hogy az integrált minden t [, T ] esetén egyszerre definiáltuk. 4. Tétel. Legyenek X, Y egyszerű folyamatok. (Feltesszük, hogy az együtthatók négyzetintegrálhatóak.) (i) I t (X) folytonos martingál, I (X) = m.b. (ii) Tetszőleges t > s esetén [ ( t ) ] [ t ] E X u dw u F s = E Xudu F s ; s s az s = esetén EI t (X) = E t X udu. (iii) Az integrál lineáris, azaz I(αX + βy ) = αi(x) + βi(y ), α, β R. (iv) E sup t T ( t X udw u ) 4E T X udu. Bizonyítás. A (iii) állítás azonnal következik a definícióból (na jó, venni kell a két folyamathoz tartozó beosztások egy közös finomítását). A (iv)-es pont következik a Doob maximál egyenlőtlenségből, (ii)-ből és abból, hogy I t (X) martingál. Tehát maradt (i) és (ii). (i) A folytonosság világos, és az is, hogy I (X) = m.b. Belátjuk, hogy I t martingál. Legyen s < t, és s (t k, t k+1 ], t (t m, t m+1 ]. Ekkor t k 1 X u dw u = ξ i (W ti+1 W ti ) + ξ k (W s W tk ) i= + ξ k (W tk+1 W s ) + m 1 i=k+1 ξ i (W ti+1 W ti ) + ξ m (W t W tm ). A jobb oldal első sorában szereplő változók mind F s mérhetőek, és az összeg éppen s X udw u. A második sorban szereplő tagokra pedig, i k + 1, a toronyszabály szerint E[ξ i (W ti+1 W ti ) F s ] = E [ ] E[ξ i (W ti+1 W ti ) F ti ] F s = E [ ] ξ i E[W ti+1 W ti F ti ] F s = E[ξ i F s ] =. 18

Az első és az utolsó taggal ugyanígy kell elbánni. Ezzel beláttuk a martingálságot. (ii) Legyen s, t mint az előbb. Láttuk, hogy t s X u dw u = ξ k (W tk+1 W s ) + m 1 i=k+1 Ezt négyzetre emelve, és feltételes várható értéket véve E[ξ i (W ti+1 W ti )ξ j (W tj+1 W tj ) F s ] ξ i (W ti+1 W ti ) + ξ m (W t W tm ). alakú tagok összegét kapjuk (t, s esetén értelemszerűen módosítva). Megmutatjuk, hogy i j esetén ez =. Valóban, ha i < j, akkor ismét a toronyszabály alapján E[ξ i (W ti+1 W ti )ξ j (W tj+1 W tj ) F s ] = E [ E[ξ i (W ti+1 W ti )ξ j (W tj+1 W tj ) F tj ] F s ] =. Mivel a vegyesszorzatok feltételes várható értéke, ezért a vegyesszorzatok várható értéke is mind, és így [ ( t E = E [ s X u dw u ) F s ] ξ k(w tk+1 W s ) + m 1 i=k+1 ξ i (W ti+1 W ti ) + ξ m(w t W tm ) F s ] Egy tag várható értéke megint a toronyszabály szerint E[ξ i (W ti+1 W ti ) F s ] = E [ E[ξ i (W ti+1 W ti ) F ti ]F s ] = E[ξ i (t i+1 t i ) F s ] = E [ ti+1 t i X udu F s ],. ahol az utolsó egyenlőségnél X definícióját is használtuk. éppen a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk. Összeget véve... A definíció kiterjesztése Egyszerű folyamatra definiáltuk az integrált. Ezután megmutatjuk, hogy általánosabb folyamatok közelíthetőek egyszerű folyamatokkal, és a sztochasztikus integrált folytonossági megfontolásokkal definiálhatjuk. Ha visszagondolunk, a Riemann-, és a Lebesgue-integrál definíciója is hasonlóan ment. A 19

kiterjesztés kulcsa a (ii) tulajdonság, ami azt mutatja, hogy a sztochasztikus integrál, mint leképezés az adaptált folyamatok halmazából a folytonos martingálok halmazába, izometria. Legyen T H = {(X t ) : F t -adaptált, és E Xudu < }. Ezen H-beli folyamatok osztályára terjesztjük ki a definíciót. Az alábbi lemma szerint ezek a folyamatok közelíthetőek egyszerű folyamatokkal. 3. Lemma. Tetszőleges (X t ) H-beli folyamathoz létezik {(X n t )} n egyszerű folyamatok sorozata, hogy T lim E (X s Xs n ) ds =. n Bizonyítás. Az állítást csak abban a speciális esetben bizonyítjuk, ha X folytonos és korlátos. Ekkor legyen X n t (ω) = X (ω)i {} (t) + n 1 k= X kt n (ω)i ( kt n, (k+1)t n ] (t). Világos, hogy ezek egyszerű folyamatok, hiszen X adaptáltsága miatt X kt/ n mérhető F kt/ n szerint. Mivel folytonos függvény kompakt halmazon egyenletesen is folytonos, így m.b. T Xu n X u dt. Mivel X korlátos, ezért Lebesgue majoráns konvergenciatétele szerint adódik az állítás. Legyen X H, és {X n } n a lemma szerinti sorozat. 4. Tétel (iv) szerint ( t ) T E sup (Xu n Xu m )dw u 4E (Xu n Xu m ) du. t [,T ] A jobb oldal a lemma szerint tart -hoz, és ezért a bal oldal is, így létezik olyan {n k } részsorozat, hogy ( t ) E sup (X n k+1 u X n k u )dw u k. () t [,T ]

Innen az első Borel Cantelli-lemma alkalmazásával kapjuk, hogy I(X n k ) I(X), egyenletesen [, T ]-n m.b. Mivel I(X n k ) folytonos, az egyenletes konvergenciából kapjuk, hogy I(X) is folytonos. Azt kell még megmutatnunk, hogy I(X) nem függ a részsorozattól. A () egyenlőtlenségben m határátmenettel adódik, hogy E sup (I t (X) I t (X n )) 4E t [,T ] T (X u X n u ) du, ahonnan látjuk, hogy I(X) valóban nem függ a részsorozattól. Most megmutatjuk, hogy I(X) martingál. Legyen s < t. Azt kell belátni, hogy E[I t (X) F s ] = I s (X) m.b. Tetszőleges n esetén E[I t (X) F s ] I s (X) L E[I t (X) I t (X n ) F s ] L + E[I t (X n ) I s (X n ) F s ] L + I s (X n ) I s (X) L, ahol X L = EX. A jobb oldalon álló összeg második tagja =, hiszen I(X n ) martingál, az első és a harmadik tag pedig tetszőlegesen kicsivé tehető, ha n elég nagy. Tehát I(X) valóban martingál. Ezzel beláttuk, hogy X H esetén I t (X) = t X u dw u sztochasztikus integrál definiálható, és a folyamat folytonos martingál. Megmutatható, hogy (I t (X)) t teljesíti a 4. Tételben állított tulajdonságokat. Megjegyezzük, hogy az integrál definíciója a H halmazról a bővebb H = {(X t ) : F t -adaptált és T X udu < m.b.} halmazra is kiterjeszthető, és a 4. Tétel érvényben marad. 1. Példa. Az t W sdw s közelítő összege. Rögzített ε [, 1] esetén tekintsük az n 1 ( S ε (Π) = εwti+1 + (1 ε)w ) ( t Wti+1 W ) i t i i= integrál közelítő összeget. Ha folytonos függvényt integrálunk, akkor tudjuk, hogy a Riemann-féle integrál közelítő összeg a Riemann-integrálhoz konvergál 1

akárhogy is választjuk az osztópontot. A sztochasztikus integrálelméletben nem mindegy az osztópont választása. Megmutatjuk, hogy lim S ε(π) L = 1 ( Π W t + ε 1 ) t. (3) Korábban már láttuk, hogy a Wt t folyamat martingál, azaz a fenti limesz pontosan az ε = esetben lesz martingál, ami éppen a bevezetett klasszikus Itô-féle integrálhoz tartozó közelítő összeg. A sztochasztikus integrálelméletben az ε = 1/ a Fisk Stratonovich-féle integrált, a ε = 1 pedig a backward Itô integrált adja. Tehát (3) alapján azt kapjuk, hogy ezért a t W s dw s = W t t. Most rátérünk (3) bizonyítására. Mivel εw ti+1 + (1 ε)w ti = W t i+1 + W ti n 1 (W ti+1 W ti ), és i= + i= ( ε 1 ) (Wti+1 W t i ), n 1 (Wt i+1 W összegek határértékét kell meghatároznunk. Az első ezek közül a Wienerfolyamat négyzetes változása (. Tétel) szerint L -ben konvergál t-hez, míg a második összeg egy teleszkopikus összeg, értéke Wt. Ezzel beláttuk (3) formulát.. Példa. Legyen X egyszerű folyamat, W SBM. Legyen ζ s t (X) = t s X u dw u 1 Megmutatjuk, hogy Y t = e ζt martingál. Mivel X egyszerű folyamat, ezért t s t i ) X udu, ζ t = ζ t. n 1 X t = ξ I {} (t) + ξ i I (ti,t i+1 ](t), ahol ξ i F ti -mérhető. Így, ha s (t k, t k+1 ], t (t m, t m+1 ], akkor ζ s t = ξ k (W tk+1 W s ) ξ k (t k+1 s) + i= m 1 i=k+1 [ ] ξ i (W ti+1 W ti ) ξ i (t i+1 t i ) + ξ m (W t W tm ) ξ m (t t m). (4)

A ζ s mérhető F s -szerint, így E[e ζt F s ] = e ζs E[e ζs t Fs ], tehát a martingálsághoz azt kell igazolni, hogy E[e ζs t Fs ] = 1. Ezt a toronyszabály ismételt alkalmazásával látjuk be. A (4) összegben az utolsó tag kivételével mindenki F tm -mérhető, és [ { } ] E exp ξ m (W t W tm ) ξ m (t t m) F tm = e ξ m (t tm) E [exp{ξ m (W t W tm )} F tm ]. A jobb oldalon a második tényező kitevőjében ξ m mérhető F tm szerint, a W t W tm pedig független ettől a σ-algebrától, ezért (a precíz állításhoz ld. következő feladatot) a várható érték úgy számolható, mintha ξ m érték konstans lenne. A standard normális karakterisztikus függvényének alakjából tudjuk, hogy Ee λz = e λ, és mivel W t W tm N(, t t m ), így E [exp{ξ m (W t W tm )} F tm ] = e ξ m (t tm). Összegezve azt kaptuk, hogy [ ] E exp{ξ m (W t W tm ) ξ m (t t m)} F tm = 1. Ezután a toronyszabály ismételt alkalmazásával, előbb az F tm 1, majd F tm,..., σ-algebrára véve a feltételes várható értéket egyesével lefejthetők a tényezők, és minden tényező értéke 1. Ezzel az állítást beláttuk. Majd az Itô-formula segítségével általánosabb X folyamatok esetén is megmutatjuk, hogy Y egy martingál, és kielégít bizonyos sztochasztikus differenciálegyenletet. 1. Feladat. Az előző feladatban az maradt függőben, hogy ha X, Y olyan véletlen változók, hogy X mérhető a G σ-algebrára, Y pedig független tőle, akkor E[h(X, Y ) G] = h(x, y)df (y), ahol F az Y eloszlásfüggvénye. 3

.3. Itô-formula.3.1. Itô-folyamatok Legyen (Ω, F, P) valószínűségi mező, (F t ) filtráció, W t SBM erre a filtrációra. Az (X t ) folyamat Itô-folyamat, ha ahol X F -mérhető; X t = X + t K, H F t -adaptált folyamatok; K s ds + T K u du <, T H s ds < m.b. t H s dw s, (5) Az t K sds rész a folyamat korlátos változású része, az t H sdw s pedig a folyamat martingál része. A következő lemma mutatja az elnevezés jogosságát. 4. Lemma. Ha M t = t K sds folytonos martingál, ahol T K s ds < m.b., akkor M t. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy T K s ds C m.b., valamilyen C-re. Csak ebben az esetben bizonyítunk. Ekkor a [, T ] intervallum egy tetszőleges Π n = { = t < t 1 <... < t n = T } beosztássorozatára n 1 E i= (M ti+1 M ti ) E sup i n 1 CE sup i n 1 T M ti+1 M ti K s ds M ti+1 M ti, amint Π n hiszen folytonos függvény kompakt halmazon egyenletesen is folytonos, ezért sup i n 1 M ti+1 M ti m.b., és a korlátosság miatt a Lebesgue majoráns konvergencia tétel adja az állítást. Másrészt s < t, ezért E(M t M s ) = EM t + EM s E (E[M t M s F s ]) = EM t EM s, n 1 E (M ti+1 M ti ) = E(Mt M ) = EMt. i= 4

Az előzőek szerint tehát EM t = minden t-re, amiből következik az állítás. 5. Következmény. Az Itô-folyamatok (5) előállítása egyértelmű. Bizonyítás. Hát persze, ha akkor t K s ds + t t H s dw s = (K s L s )ds = t t L s ds + t (G s H s )dw s. G s dw s, A jobb oldalon a sztochasztikus integrál tulajdonságai alapján egy folytonos martingál áll, ezért a bal oldal is az. Na de az előző lemma szerint ez csak a konstans martingál lehet, amiből adódik az egyértelműség. A továbbiakban használni fogjuk a dx t = K t dt + H t dw t jelölést. Hangsúlyozzuk, hogy ez csak egy jelölés, ami megkönnyíti a formalizmust, nem pedig definíció vagy állítás. Mi csak a Wiener-folyamat szerinti integrált vezettük be..3.. Az Itô-formula Ezek után belátjuk az Itô-formulát. Itô-formula (1944). Legyen X t = X + t K sds + t H sdw s Itô-folyamat, és f C kétszer folytonosan differenciálható függvény. Ekkor f(x t ) = f(x ) + t f (X s )dx s + 1 t f (X s )H s ds. A tétel szerint f(x t ) is egy Itô-folyamat, melynek (5) előállítása t ( f(x t ) = f(x ) + f (X s )K s + 1 ) t f (X s )Hs ds + f (X s )H s dw s. 5

Bizonyítás. Csak abban az esetben bizonyítunk, amikor f kompakt tartójú, sup s,ω K s (ω) < K, sup s,ω H s (ω) < K valamely K-ra. Vegyünk egy Π = { = t < t 1 <... < t m = T } partíciót. A Taylor-formula szerint f(x t ) f(x ) = m [ f(xtk ) f(x )] tk 1 k=1 m = f (X tk 1 )(X tk X tk 1 ) + 1 m f (η k )(X tk X tk 1 ) k=1 k=1 m tk m tk = f (X tk 1 ) K s ds + f (X tk 1 ) H s dw s k=1 t k 1 k=1 t k 1 + 1 m f (η k )(X tk X tk 1 ) k=1 = I 1 + I + I 3, ahol η k (ω) az X tk 1 (ω) és X tk (ω) közt van. Az I 1 taggal könnyű dolgunk van, hisz az integrál trajektóriánként definiált és f és X t folytonos, így I 1 = m k=1 tk f (X tk 1 ) K s ds t k 1 t f (X s )K s ds, m.b., (6) amint Π. Az I már egy sztochasztikus integrál. Írjuk az integrált I = m k=1 tk t f (X tk 1 ) H s dw s = t k 1 m f (X tk 1 )I (tk 1,t k ](s)h s dw s k=1 alakba. Innen látjuk, hogy ( E t f (X s )H s ) m f (X tk 1 )I (tk 1,t k ](s)h s ds, k=1 amint Π, hiszen rögzített ω esetén az integrandus pontonként -hoz tart az X és f folytonossága miatt, a korlátossági feltételeink szerint pedig Lebesgue majoráns konvergencia tétele használható. Ekkor a 4. Tétel (ii) pontja szerint I = t m k=1 f (X tk 1 )I (tk 1,t k ](s)h s dw s L 6 t f (X s )H s dw s, (7)

amint Π. Azt kell még belátni, hogy I 3 1 t f (X s )H s ds. Ezt több lépésben tesszük. Először is, I 3 -ban szereplő mennyiséget (X tk X tk 1 ) = = ( tk ( tk + t k 1 K s ds + K s ds t k 1 ( tk t k 1 H s dw s tk ) + t k 1 H s dw s ) tk ) t k 1 K s ds tk t k 1 H s dw s alakban írjuk. Megmutatjuk, hogy az első két tag hozzájárulása az összeghez. Valóban, egyrészt a K s (ω) korlátossága miatt ( m ) tk m f (η k ) K s ds t k 1 f K (t k t k 1 ), m.b., (8) k=1 (a továbbiakban a konvergenciát Π esetén értjük). Másrészt az M t = t H sdw s jelölést bevezetve m k=1 tk tk f (η k ) K s ds t k 1 f K k=1 H s dw s t k 1 m (t k t k 1 ) sup M tk M tk 1 1 k m k=1 = f K t sup M tk M tk 1, m.b., 1 k m hiszen M t = t H sdw s egy folytonos martingál, így trajektóriánként egyenletesen is folytonos. Az I 3 -ból maradt a ( m tk f (η k ) H s dw s t k 1 k=1 ) (9) 7

összeg. Először belátjuk, hogy η k -t kicserélhetjük X tk 1 -re. Véve a különbséget m [f (η k ) f (X tk 1 )](M tk M tk 1 ) k=1 sup f (η k ) f (X tk 1 ) 1 k m m (M tk M tk 1 ). Az első tényező tart -hoz m.b., hiszen X t folytonos. Ez, és a Cauchy Schwartz-egyenlőtlenség alapján m E [f (η k ) f (X tk 1 )](M tk M tk 1 ) k=1 E sup (f (η k ) f (X tk 1 )) 1 k m k=1 ( m ) E (M tk M tk 1 ). k=1 (1) Az első tényező tart -hoz a korlátosság és a m.b. konvergencia miatt, a második tényező pedig 6K az alábbi lemma szerint. 5. Lemma. Legyen (M s ) folytonos, korlátos martingál a [, t] intervallumon, sup s,ω M s (ω) K, és Π = { = t < t 1 <... < t m = t} egy beosztás. Ekkor ( m ) E (M ti M ti 1 ) 6K 4. i=1 Bizonyítás. Ez egy nagy számolás. A négyzetet kifejtve ( m ) E (M ti M ti 1 ) i=1 m = E(M ti M ti 1 ) 4 + i=1 i j E(M ti M ti 1 ) (M tj M tj 1 ). Az E[(M t M s ) F s ] = E[M t M s F s ], s < t, 8

azonosság többszöri alkalmazásával E(M ti M ti 1 ) (M tj M tj 1 ) i j m 1 = m 1 = m 1 = m i=1 j=i+1 m i=1 j=i+1 m i=1 j=i+1 E(M ti M ti 1 ) (M tj M tj 1 ) E [ E[(M ti M ti 1 ) (M tj M tj 1 ) F tj 1 ] ] E(M ti M ti 1 ) (M t j M t j 1 ) m 1 = E(M ti M ti 1 ) (Mt Mt i ) i=1 A másik tag pedig m 1 K E(M ti M ti 1 ) i=1 m 1 = K E(Mt i Mt i 1 ) K 4. i=1 m E(M ti M ti 1 ) 4 4K E i=1 Ezzel a lemmát beláttuk. Összegezve, az I 3 -ból a m E(M ti M ti 1 ) = 4K E(Mt M ) 4K 4. i=1 m f (X tk 1 )(M tk M tk 1 ) k=1 összeg maradt. Megmutatjuk, hogy m k=1 f (X tk 1 )(M tk M tk 1 ) L 1 Mivel X és f folytonos, így m tk f (X tk 1 ) Hs ds t k 1 k=1 9 t t f (X s )H s ds. (11) f (X s )H s ds m.b.

ezért elég megmutatni, hogy ( m f (X tk 1 ) (M tk M tk 1 ) k=1 tk t k 1 H s ds ) L. A 4. Tétel (ii) pontja szerint E [ ( ) ] tk (M tk M tk 1 ) F tk 1 = E H s dw s F tk 1 t k 1 = E [ tk és emiatt a ( m ( E f (X tk 1 ) (M tk M tk 1 ) k=1 t k 1 H s ds F tk 1 tk kifejtésében a vegyesszorzatok várható értéke. Így ez k=1 tk ] t k 1 H s ds ), )) m = E f (X tk 1 ) ((M tk M tk 1 ) Hs ds k=1 t k 1 [ m m tk f E (M tk M tk 1 ) 4 + E (M tk M tk 1 ) Hs ds k=1 k=1 t k 1 ( m ) tk ] + E Hs ds k=1 t k 1 [ m ] f E (M tk M tk 1 ) 4 + K te sup (M tk M tk 1 ) + K 4 t Π. 1 k m Itt a harmadik tag, a második tagban sup M tk M tk 1 m.b., 1 k m hiszen M t majdnem biztosan folytonos, ezért a korlátosság miatt a négyzet várható értéke is. Az első tagra pedig a Cauchy Schwartz-egyenlőtlenség 3

és az 5. Lemma szerint [ m m ] E (M tk M tk 1 ) 4 E (M tk M tk 1 ) sup M tk M tk 1 1 k m k=1 k=1 [ m E k=1 (M tk M tk 1 ) ] E sup 1 k m 6K E sup M tk M tk 1 4, 1 k m M tk M tk 1 4 ahol az utolsó konvergenciánál ismét a folytonosságot használtuk. Összegezve a (6 11) konvergenciák között van L 1, L és majdnem biztos. Mivel minden korlátos, ezért mindhárom konvergenciából következik az L 1 konvergencia. Tehát azt kaptuk, hogy f(x t ) f(x ) = L 1 m [f(x tk ) f(x tk 1 )] k=1 t f (X s )dx s + 1 t f (X s )H s ds. Az L 1 konvergenciából következik, hogy van olyan részsorozat, amin m.b. konvergencia teljesül. Mivel a bal oldal és a jobb oldal is folytonos, ebből az következik, hogy a két folyamat nem megkülönböztethető. Ezzel az állítást beláttuk. Hasonlóan igazolható az Itô-formula alábbi, kicsit általánosabb alakja, melyben az f függvény nemcsak a tér-, hanem az időparamétertől is függhet. Általánosabb Itô-formula. Legyen X t Itô-folyamat és f C 1,. Ekkor f(t, X t ) = f(, X ) + + 1 t t t s f(s, X s)ds + x f(s, X s)h s ds. x f(s, X s)dx s.3.3. Többdimenziós Itô-folyamatok A következőkben bevezetjük a többdimenziós Itô-folyamatokat. 31

A W = (W 1, W,..., W r ) egy r-dimenziós Brown-mozgás, ha a komponensei függetlenek, és minden komponens egy SBM. Az (X t ) egy d-dimenziós Itô-folyamat, ha az i-edik komponense X i t = X i + t K i sds + r j=1 t H i,j s dw j s, (1) ahol T Ki s ds <, T (Hi,j s ) ds < m.b., és K i, H i,j F t -adaptált folyamatok, i = 1,,..., d, j = 1,,..., r. Többdimenziós Itô-formula. Legyen (X t ) egy többdimenziós Itô-folyamat, (1) formula szerint, és f : R 1+d R, f C 1,. Ekkor f(t, X 1 t,..., X d t ) = f(, X 1,..., X d ) + + + 1 d i=1 t d i,j=1 t t x i f(s, X 1 s,..., X d s ) dx i s s f(s, X1 s,..., X d s ) ds x i x j f(s, X 1 s,..., X d s ) r k=1 Hs i,k Hs j,k ds..3.4. Alkalmazások Az Itô-formulára nézünk néhány alkalmazást. 3. Példa. Parciális integrálás I. Legyen (X, Y ) kétdimenziós Itô-folyamat X t = X + Y t = Y + t t K s ds + L s ds + t t H s dw s G s dw s, ahol K, L, H, G olyanok amilyennek lenniük kell. Ekkor t X s dy s = X t Y t X Y t Y s dx s t H s G s ds. Vegyük észre, hogy a hagyományos parciális integrálási formulában (amikor tehát X, Y determinisztikus, korlátos változású függvények) nem szerepel az utolsó tag. 3

A bizonyításhoz alkalmazzuk az Itô-formulát az (X, Y ) folyamatra, és az f(x, y) = xy függvényre. Ekkor a (1) formula szerinti szereposztás: Mivel f x r = 1, d =, K 1 s = K s, K s = L s, H 1,1 s = H s, H,1 s = G s. = y, f y = x, f x = f y =, és f x y = f y x X t Y t = X Y + t Y s dx s + ami rendezés után éppen az állítás. t = 1, így X s dy s + 1 t H s G s ds, 4. Példa. Parciális integrálás II. Egy kicsit módosítjuk az előző példát. Legyen W egy W -től független SBM, és (X, Y ) kétdimenziós Itô-folyamat X t = X + Y t = Y + t t K s ds + L s ds + t t H s dw s G s d W s, ahol K, L, H, G olyanok amilyennek lenniük kell. Ekkor t X s dy s = X t Y t X Y t Y s dx s. Ennek bizonyítása ugyanúgy megy, mint az előbb. Vegyük észre, hogy itt d = r =, és a két folyamatot különböző Wiener-folyamat hajtja meg, ezért nem jelenik meg az extra tag. 5. Példa. Korábban már meghatároztuk az W s dw s sztochasztikus integrál értékét (1. Példa). Most meghatározzuk az Itô-formula segítségével. A Wiener-folyamat Itô-folyamatként való reprezentációja K s, H s 1. Legyen f(x) = x. Az Itô-formula szerint W t = W + t Ezt átrendezve kapjuk a már ismert t W s dw s + 1 W s dw s = W t t t ds. formulát. Innen azt is rögtön látjuk, hogy Wt t martingál, hiszen minden sztochasztikus integrál martingál (na nem mintha a direkt bizonyítás bonyolult lett volna). 33

6. Példa. A. Példa folytatása. Legyen ζ s t = t s X u dw u 1 t ahol X t adaptált folyamat. Ekkor Z t = e ζt Z t = 1 + t s X udu, ζ t = ζ t, kielégíti a Z s X s dw s sztochasztikus differenciálegyenletet. (Ezt a formulát használni fogjuk a Girsanov-tétel bizonyításánál.) A fenti sztochasztikus differenciálegyenletet differenciálegyenletes jelöléssel dz t = Z t X t dw t, Z = 1, alakba írható. A ζ folyamatot Itô-folyamatként felírva ζ t = t 1 X udu + t Legyen f(x) = e x, ekkor az Itô-formula szerint t t X u dw u. Z t = e ζt = 1 + e ζs dζ s + 1 e ζs Xs ds t ( = 1 + e ζs 1 ) X s ds + X s dw s + 1 = 1 + = 1 + t t e ζs X s dw s Z s X s dw s, t amint állítottuk. Azt is rögtön látjuk, hogy Z t martingál. e ζs X s ds 13. Feladat. Legyen ζ t mint fent. Mutassuk meg, hogy a Y t = e ζt folyamat kielégíti a sztochasztikus differenciálegyenletet! dy t = Y t X t dt X t Y t dw t, Y = 1, 7. Példa. Exponenciális Brown-mozgás. Legyen µ R, σ >. Oldjuk meg a dx t = µx t dt + σx t dw t (13) 34

sztochasztikus differenciálegyenletet! Az X t Itô-folyamatként való felírása X t = X + t µx s ds + t Az f(x) = log x függvénnyel felírva az Itô-formulát t σx s dw s. 1 log X t = log X + (µx s ds + σx s dw s ) + 1 X s ) = log X + σw t + (µ σ t. Innen kapjuk, hogy X t = X e σwt+ ( µ σ t 1 X s σ X s ds ) t, (14) innen az elnevezés. A differenciálegyenletes alakból azt is látjuk, hogy ez pontosan akkor martingál, ha a korlátos változású rész, azaz µ =. Vegyük észre, hogy ez a megoldás nem teljes, hiszen a logaritmus függvény nem kétszer folytonosan deriválható, a -ban nem definiált. Így az előbbi gondolatmenet csak segít megtalálni a megoldást. 14. Feladat. Igazoljuk az Itô-formula segítségével, hogy (14) valóban megoldása (13) differenciálegyenletnek! (A feladat egy konstruktívabb megoldása az, hogy felírjuk az Itô-formulát egy általános f függvénnyel, majd megválasztjuk úgy az f-et, hogy minél egyszerűbb egyenletet kapjunk. Az f(x) = log x választás esetén a martingál részben az integrandus a konstans függvény lesz.) 15. Feladat. Az Itô-formula alkalmazásával igazoljuk, hogy Y (t) = e t/ cos W t martingál! 16. Feladat. Mutassuk meg, hogy és t t W s dw s = 1 3 W 3 t W 3 s dw s = 1 4 W 4 t 3 t t W s ds, W s ds. 35

17. Feladat. Legyen W = (W 1,..., W r ) r-dimenziós SBM, r, és legyen R a W hossza, azaz R t = r (W i ). Igazoljuk, hogy R t teljesíti a Ez a sztochasztikus Bessel-egyenlet, és R t a Bessel- differenciálegyenletet! folyamat. i=1 dr t = r 1 R t dt + r i=1 Wt i dwt i R t.4. Négyzetes változás és a Doob Meyer-felbontás Ebben a fejezetben vázlatosan megvizsgáljuk a négyzetes változás és a Doob Meyer-felbontás kapcsolatát. A kapott eredmények segítségével az Itô-formulát kimondjuk általános szemimartingálokra. Persze ezeket az eredményeket nem bizonyítjuk. A sztochasztikus integrál tulajdonságainál láttuk, hogy [ ( t ) ] [ t E X u dw Fs u = E Xudx ] Fs, ami éppen azt jelenti, hogy az ( t ) X u dw u s t s X udu (15) folyamat martingál. Mivel t X udw u martingál, így a négyzete szubmartingál, amire alkalmazhatjuk a Doob Meyer-felbontást, mely szerint tetszőleges szubmartingálból leválaszthatunk egy monoton növő részt, hogy martingált kapjunk. A (15) formula szerint a ( t ) t ( t ) t X u dw u = Xudu + X u dw u Xudu felbontás pont egy monoton növő folyamat és egy martingál összegére bontja a szubmartingált. Ezek szerint az I t (X) = t X udw u martingál monoton növő folyamata t X u dw u = I(X) t = Xudu. t 36

Másrészt az Itô-formula bizonyításánál láttuk (a (11) formula éppen azt állítja), hogy n ( ti ) t L X u dw 1 u Xudu, amint Π. t i 1 i=1 Ez éppen az I t (X) martingál négyzetes változása. (A fogalmat csak a Wienerfolyamatra definiáltuk, de értelemszerűen tetszőleges folyamatra kiterjeszthető.) Ezzel beláttuk a következőt: 5. Tétel. Tetszőleges X t Itô-folyamat monoton növő folyamata és négyzetes változása megegyezik, azaz ( I(X) t = lim Iti (X) I (X)) ti 1, Π ahol a jobb oldalon a határérték L 1 -értelemben definiált. A sztochasztikus integrál általánosabb folyamatok esetén is definiálható, nem csak Itô-folyamatokra. Egy X t folyamat szemimartingál, ha előállítható X t = M t + A t, alakban, ahol M t martingál, A t pedig egy korlátos változású folyamat. A 4. Lemma megfelelőjéből következik, hogy a szemimartingálok definícióbeli előállítása is egyértelmű. Az is világos, hogy minden Itô-folyamat szemimartingál. A fenti tétel segítségével az Itô-formula alábbi változata igazolható. Itô-formula szemimartingálokra. Legyen X t = M t + A t folytonos szemimartingál, ahol A t korlátos változású folyamat, M t pedig martingál, és legyen f C. Ekkor f(x t ) = f(x ) + t f (X s )dx s + 1 t f (X s )d M s..5. Mértékváltás A diszkrét idejű piacok elméletében láttuk mennyire fontos az ekvivalens martingálmérték, ugyanis ez alapján tudtunk árazni. Jelen fejezet célja, hogy megértsük hogy változik egyes folyamatok dinamikája ha megváltoztatjuk a mértéket, vagy másképpen, hogyan vezessünk be olyan mértéket, ami szerint a folyamatunk martingál lesz. 37