3. A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLE ALAPJAI Ebbe a függelébe azoat a valószíűség-elméleti alapfogalmaat foglalju össze, amelyere a mérése iértéeléséhez szüség va. A 3.. alfejezet a területe teljese ezdő számára észült. A ésőbbie a területet ismerő számára is haszos ismétlés lehet. Figyelmeztetjü azoba az Olvasót, hogy a rövidség edvéért itt számos egyszerűsítésre éyszerülü, tehát ee a függelée a taulmáyozása em helyettesíti a valószíűség-elmélet alapos megtaulását. Az irodalom redívül gazdag magyar yelve is []. Az irodalomjegyzé csa példaéppe ajál éháy öyvet. 3.. Alapfogalma Eseméy és valószíűség A valószíűség defiíciója Amior ísérletet végzü, aa imeetele legtöbbször em jósolható meg biztosággal, mert a véletletől függ. A valószíűség-elmélet tárgya az ilye ísérlete elemzése. Ha csa egyetle ísérletet végzü, aa imeeteléről alig lehet valamit modai, viszot az elmélet ijeletései egyre megbízhatóbbá vála, ahogy egyre többször ismételjü meg a ísérletet. Úgy is fogalmazhatu, hogy a valószíűség-elmélet a véletle tömegjeleségeel foglalozi. A ísérlet mide lehetséges imeetelét elemi eseméye evezzü. Példá elemi eseméyere: ét ocával való dobásor a ét ocá apott számoból alotott számpár: (, 3), (5, ) stb.; bridge-osztásor a égy ézbe levő 3 3 lap együttese; céllövésor a golyó becsapódási helyée a céltábla özéppotjától való távolsága; lottóhúzásor a ijövő számötös; radioatív bomlásor az s alatt elbomlott atomo száma. Az összes lehetséges elemi eseméye együttesét teitsü az Ω halmaz elemeie. Ω részhalmazait eseméyee evezzü. ermészetese mide elemi eseméy egybe eseméy is. Együttesüet eseméytére evezzü. Példá eseméyere: ét ocával való dobásor a ét ocá apott szám egymással egyelő: {(, ); (, ); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)}; 45
bridge-osztásor egy ézbe va mid a égy ász; céllövésor a 0-es ör, vagyis a golyó becsapódási helyée a céltábla özéppotjától való távolsága isebb, mit a 0-es ör sugara; lottóhúzásor 5 darab égytalálatos szelvéy va; radioatív bomlásor az s alatt elbomlott atomo száma isebb, mit 000. A defiícióból yilvávaló, hogy az Ω eseméy biztosa beövetezi. Ezért ezt biztos eseméye evezzü. Ω valódi részhalmazai a ísérletee csa egy részébe öveteze be. együ fel, hogy ísérletet végeztü, és az A eseméy -szor övetezett be. A / háyadost relatív gyaorisága evezzü. Azt tapasztalju, hogy erőse igadozi, amíg icsi, de öveedésével stabilizálódi, és egy határértéhez tart. Ezt illusztrálju a 3.. ábrá: 5000- re a relatív gyaoriság gyaorlatilag stabilizálódi 0,7 özelébe. Ezt a határértéet evezzü valószíűsége: pa = lim. (3.) Egy ülö fejezetet igéyele a overgecia természetée elemzése, így ettől el ell teiteü. Midössze ayit jegyzü meg, hogy ezt az összefüggést a agy számo törvéyée evezzü, amelye több változata létezi. relatív gyaoriság 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 log 3.. ábra. A relatív gyaoriság overgeciája a valószíűséghez (p = 0,7) Azt az eseméyt, amelyre a valószíűség voatozi, (3.) mitájára argumetumét jelöljü, ha szüséges. Boyolulta defiiálható eseméye valószíűségét a övetezőéppe is jelölhetjü: { } p = P r R0, A fet említett egyszerűsítése egyie, hogy így defiiálju a valószíűséget. A moder valószíűség-elmélet egésze másépp özelíti meg a dolgot. Az alábbia megértéséhez azoba elégséges lesz a (3.) éplet szeriti defiíció. A overgecia jellegét a ésőbbiebe még megvilágítju. 46
ahol R 0 a 0-es ör és r a céltáblába fúródó golyó helyée a sugara. Ezzel aa az eseméye a valószíűségét írtu fel, hogy a céllövőe 0-es ört sierült lőie. Függetle és egymást izáró eseméye Az eseméyeel apcsolatba meg ell ismeredü éháy fogalommal. Kimodu továbbá éháy alapvető tételt de bizoyítás élül. A és B egymást izáró eseméye, ha özös részü az üres halmaz. Más szóval egyszerre em övetezhete be. Ha a ocadobásba az egyes ocáo ijött számoat i-vel és j-vel jelöljü, aor a övetező ét eseméy izárja egymást: A= { i+ j 4 } és B { i j } = + 0. Nem zárja i egymást viszot a övetező ét eseméy: A= { i+ j 4 } és B { i j } ahol egész szám. Közös részü ugyais em üres: { } = + =, (3.) AB =, ; 3, ;, ; 3,. (3.a) Eze utá i tudju modai a övetező tételt: 3.. ÉEL. Ha A és B egymást izáró eseméye, pa ( + B) = pa + pb. (3.3) Ha em egymást izáró, a tétel módosul: pa ( + B) = pa + pb pab. (3.3a) A 3.. ÉEL általáosítható tetszőleges számú, egymást pároét izáró eseméyre. Számu lehet megszámlálhatóa végtele is. Azt az eseméyt, amelybe A em övetezi be, felülhúzással jelöljü. Mivel az A eseméy vagy beövetezi, vagy sem, A+ A = Ω, A 3.. ÉEL szerit ebből viszot az adódi, hogy = = pa pω pa pa. (3.3b) A övetező alapvető fogalom az eseméye függetlesége: 3.. DEFINÍCIÓ. Az A és B eseméyeet aor modju függetlee, ha pab = pa pb. (3.4) E defiíció szerit tehát függetle eseméye együttes beövetezésée a valószíűségét megapju, ha ülö-ülö való beövetezésü valószíűségét összeszorozzu. Az eseméye általába em függetlee. Ezért szüségü va a feltételes valószíűség fogalmára: 47
3.. DEFINÍCIÓ. Az A eseméye a B eseméyre voatozó feltételes valószíűségét a övetező éplet adja meg: pab pb pab =. (3.5) Az itt szereplő pab feltételes valószíűség fogalmát egy példával világítju meg. eitsü a (3.) szerit defiiált eseméyeet. Az együttes beövetezésüet jelető eseméyt (3.a)-ba felírtu. Nos, a érdéses feltételes valószíűséget szité a (3.) határértéel defiiálju, de az ott szereplő -be csa azoat a ísérleteet számítju bele, amelyebe a B eseméy beövetezett. -ba természetese azoat a ísérleteet számolju bele, amelyebe az A eseméy is beövetezett. Nagyo gyara öyebb a feltételes valószíűséget iszámítai, mit az együttes beövetezését. Ezért haszos a (3.5) éplet. Végül megjegyezzü, hogy függetle eseméyere voatozóa a feltételes valószíűség a feltétel élüli valószíűséggel egyezi meg. (3.4) alapjá ugyais írhatju: pab pb pab pa = = pb pb Azoos valószíűségű elemi eseméye = pa. Levezetü egy haszos összefüggést, amely aor érvéyes, amior az elemi eseméye száma véges és valószíűségü azoos. Ha az Ω halmaz elemeie a száma N, aor az egyes elemi eseméye p 0 valószíűségére a 3.. ÉEL általáosítása szerit feáll: Np p 0 = Ω =, amiből p0 =. N Ha az A eseméyt alotó elemi eseméye száma K, aor ugyaezzel a megfotolással apju: Szavaba: pa K = Kp0 =. (3.6) N 3.. ÉEL. Ha az elemi eseméye száma véges, és valószíűségü azoos, aor bármely eseméy valószíűségét megadja a edvező eseméye és az összes eseméye számáa (vagyis K, illetve N) háyadosa. 48
Nézzü például a (3.) szerit defiiált eseméye valószíűségét! Az összes eseméye száma: N = 36. Az A eseméyt a övetező elemi eseméye alotjá: { } A =, ;, ;, 3 ;, ;, ; 3,, amelye száma K = 6, tehát (3.6) alapjá 6 pa= = 36 6. Köye megszámlálhatju, hogy a B eseméy számára edvező eseméye száma K = 8, tehát (3.6) alapjá 8 pb = = 36. A fogalma jobb megértése céljából vizsgálju meg, hogya teljesül a feltételes valószíűség defiíciójául szolgáló (3.5) összefüggés. (3.a) szerit az AB együttes eseméy számára a edvező esete száma K = 4, vagyis 436 pab = = 9. Ugyaezt özvetleül is megaphattu vola. Ha ugyais Ω-t leszűítjü B-re, aor eze az összes eseméye száma már csa 8. Az eze a részhalmazo az A eseméy számára edvező elemi eseméye száma (3.a) alapjá 4. Így a feltételes valószíűség 4/8 = /9. Geometriai valószíűség A geometriai valószíűség roo az előző szaaszba tárgyaltaal. Legyee az elemi eseméye egy véges területű pothalmaz potjai. Feltesszü, hogy a ísérletbe mide pot azoos valószíűséggel jö i. Ezt potosabba is meg ell fogalmazu: ha az A eseméye megfelelő alazat területe t(a), aor A beövetezésée a valószíűsége t A pa =. (3.7) Ez a geometriai valószíűség fogalma. Erre voatozóa a 3.a. és 3.b. ábrá szemlélteti az egymást izáró eseméyeet és a feltételes geometriai valószíűséget. Az előbbi ábráról leolvasható, hogy az (A + B) pothalmaz területe a ét terület összege, tehát valószíűségü (3.7) szerit összeadódi. Az is látszi az ábráról, hogy eseméye halmazelméleti összeadása a VAGY logiai apcsolata felel meg: vagy A, vagy B övetezi be. A mási ábráról viszot az látszi, hogy a halmazelméleti szorzás az ÉS logiai apcsolatot jeleti: mid A, mid B beövetezi Az együttes beövetezés p(ab) Az alábbia öye átvihető egy- vagy háromdimeziós alazatora is. A szemléletesség edvéért választottu a síbeli pothalmazoat. 49
valószíűsége a ét pothalmaz özös részée a területével aráyos. A feltételes valószíűséget így a övetezőéppe foghatju fel: feltéve, hogy a ísérlet imeetele által iválasztott pot a B halmazba esi, eressü az A eseméy beövetezésée a valószíűségét. Eor (3.7)-be szerepét p(b), a (A) területét pedig p(ab) játssza. Ezzel adódi (3.5). Ω Ω A A p(a+b)=p(a)+p(b) B pab pb () pab = AB B 3.a. ábra. Egymást izáró eseméye geometriai valószíűsége 3.b. ábra. Feltételes geometriai valószíűség szemléltetése Valószíűségi változó, eloszlásfüggvéy Amior méréseet végzü, a ísérlet valamilye fiziai meyiség mérését jeleti. A ísérlet imeetétől függőe a mérés eredméye más és más lehet. A mérés mide elemi eseméyhez egy vagy több számot redel hozzá. A mérése iértéelése szempotjából tehát alapvető ee a hozzáredelése ismerete. Így jutu el a valószíűségi változó fogalmához, amelyet a mérésebe játszott szerepéél általáosabba határozu meg: 3.3. DEFINÍCIÓ. A valószíűségi változó az Ω eseméytére értelmezett mérhető 3 függvéy. A fogalmat ét példával világítju meg a fetie özül: Amior ét ocával való dobásor az (i, j) számpár jö i, eze bármilye függvéye valószíűségi változó, például i + j, i/j stb. Céllövés esetébe az Ω eseméyteret a céltábla potjai alotjá. A céllövő szempotjából a legfotosabb valószíűségi változó a golyó becsapódási potjáa a tábla özéppotjától való r távolsága. Gyara beleesü abba a fogalmazási hibába, hogy em ülöböztetjü meg az elemi eseméyeet a valószíűségi változó hozzáju redelt értéétől. Mérése esetébe ez gyara megbocsátható pogyolaság. Vegyü példáa a szoba hőmérséletée a mérését. Ha a mérést többször megismételjü, általába ülöböző eredméyeet apu, tehát a mért hőmérsélet a véletletől függ. Hajlamosa vagyu az elemi eseméye Ω halmazát a apott hőmérséletértéeel azoosítai. udju persze, hogy em erről va szó. Némi godolodás utá azoba belátju, hogy ebbe az esetbe em is olya 3 A mérhető függvéy fogalmát a ésőbbiebe határozzu meg. 50
öyű az elemi eseméyeet defiiáli, hisze azo számos téyező együttesét jeleti természetese attól függőe, hogya végeztü a mérést: mior mértü, yitva volta-e az ablao, milye a hőmérő potossága, volt-e fűtés, stb. Ha eze a téyező mid szerepet játszaa a mérés iértéelésébe, ell törődü az elemi eseméye potos defiíciójával. Elleező esetbe az említett pogyolaság megbocsátható. A valószíűségi változó legfotosabb jellemzője az eloszlásfüggvéy: 3.4. DEFINÍCIÓ. A valószíűségi változó F(x) eloszlásfüggvéye aa a valószíűsége, hogy a változó ξ értée isebb x-él: = { < x} Fx P ξ. (3.8) A apcsos zárójele belül szereplő reláció ijelöli az Ω eseméytér egy részhalmazát. Ezeet a valószíűségi változó ívóhalmazaia evezzü, amelye defiíció szerit magu is eseméye. A 3.3. DEFINÍCIÓba szereplő mérhetőség azt jeleti, hogy a ívóhalmazohoz x mide értééél ell tudi valószíűséget defiiáli. Nagyo ehéz matematiai feladat emmérhető halmazt ostruáli, így a mérése iértéelésébe midig feltesszü, hogy a szereplő valószíűségi változó mérhető függvéye. Ebbe a jegyzetbe evés ivételtől elteitve általába görög betűel jelöljü a valószíűségi változóat, az eloszlásfüggvéy változóját pedig egy ei megfelelő lati betűvel, mit ezt (3.8)-ba is tettü. A defiícióból övetezi, hogy egy eloszlásfüggvéy midig mooto övevő. Ami folytoosságát illeti, ez függ a valószíűségi változó jellegétől. A miet érdelő esetebe a valószíűségi változó étfélé lehete: diszrét és folytoos változó. 3.5. DEFINÍCIÓ. A ξ valószíűségi változó diszrét, ha értéei csa a megszámlálhatóa so x szám valamelyie lehet ( =,,...). Ebbe az esetbe az eloszlásfüggvéy ét szomszédos x özötti itervallumba álladó, de az x = x potoba ugrása va. Az ugrás agyságát p -val jelöljü, ami aa a valószíűségét adja meg, hogy a ξ = x eseméy beövetezze: p { x } = P ξ =. (3.9a) Diszrét eloszláso esetébe tehát az eloszlásfüggvéyt a övetezőéppe írhatju fel: Fx = P p. (3.9b) x : < x Be lehet láti, hogy ez függvéy balról folytoos. 5
0,04 0,035 0,03 0,05 p 0,0 0,05 0,0 0,005 0 70 80 90 00 0 0 30 x 3.3. ábra. Diszrét eloszlás grafioja A folytoos valószíűségi változó fogalmát legegyszerűbb a diszrét eloszlásoból iidulva meghatározi. Ebbe Gyegyeo és Hicsi [] godolatmeetét övetjü. 4 A 3.3. ábrá egy diszrét eloszlásra ábrázoltu a p valószíűségeet a változó értéészletét alotó x értée függvéyébe. Az ábrá látható poto egy folytoos görbévé látszaa összeolvadi. Ezt a övetezőéppe tudju matematiailag is megfogalmazi. Kijelölü egy [x, x+dx) itervallumot, és összegezzü az ebbe eső x értéehez tartozó valószíűségeet. Legye f(x) eze átlagértée: p = f( x) d x. x : x < x+ dx Ha az x értée mide határo túl sűrűsöde az x-tegelye, aor ezzel eljutu a folytoos valószíűségi változó fogalmához. Az f(x) függvéy a ξ valószíűségi változó sűrűségfüggvéye. Ha a 3.3. ábrá látható potoat egy folytoos görbével ötjü össze, aor az F(x) eloszlásfüggvéy ee -től x-ig terjedő része alatt alatti területet adja meg. Így jutu a övetező defiícióhoz: 3.6. DEFINÍCIÓ. A ξ valószíűségi változó folytoos, ha eloszlásfüggvéye felírható az = Fx ftdt x itegrál alajába. 5 (3.0a) 4 Ez a godolatmeet azoa szól elsősorba, ai még em szerezte ellő jártasságot az itegrálo területé. 5 A valószíűség-elméletbe eél jóval általáosabba defiiáljá a folytoos eloszlásoat. Az itt adott defiíció valójába a totálfolytoos valószíűségi változó defiíciója. Az Olvasótól elvárt matematiai előismeretere való teitettel egyszerűsítettü a defiíciót. 5
Az Ω halmaz eor vagy egy (véges vagy végtele) itervallum, vagy ilyee egyesítése. (3.0a)-ból övetezi, hogy az f(x) sűrűségfüggvéy az eloszlásfüggvéy deriváltja: Fx f( x) = d. (3.0b) dx A továbbiaba hacsa lehet először a diszrét változó alapjá fogju a fogalmaat bevezeti, és csa ezutá adju meg ezee a folytoos eloszlásora voatozó megfelelőit. A 3.5. és 3.6. DEFINÍCIÓból övetezi, hogy lim x + Fx =, hisze F(+ ) aa a valószíűségét jeleti, hogy ξ egyáltalá felvesz valamilye valós értéet, ami yilvávalóa a biztos eseméyel azoos. Korábbi öszszefüggései alapjá ez a övetezőt is jeleti. Diszrét valószíűségi változó esetébe p = = illetve folytoos valószíűségi változó esetébe +, (3.a) f( x) d x =. (3.b) Várható érté és szórás Egy diszrét valószíűségi változó értéét -szer megmértü. együ fel, hogy az x érté l -szor jött i. Ha, aor defiíció szerit l p = lim. Vegyü a apott eredméye átlagát: lx ξ =. Az összegzés itt mide, a mérésebe előforduló értéére iterjed. Ee a meyisége mellett vett határértéét evezzü a ξ valószíűségi változó várható értéée: ( ξ) a = M = lim ξ = = p x. (3.a) 53
Folytoos valószíűségi változó esetébe aalóg megfotolásoal a övetező defiíciót apju a várható értére: + a = M ξ = xf x d x. (3.b) Ezebe a defiícióba természetese feltételezzü, hogy a végtele összeg, illetve itegrál overges. A várható értéet gyara egyszerűe csa átlagértée evezzü, hisze ee a határértée. Az M(...) jelölés is erre utal: mea agolul átlagot jelet. 6 Mivel a valószíűségi változóa az egyes ísérletebe apott értée az átlagtól eltérhet, szüség va egy olya jellemzőre is, amely ee a agyságát jellemzi. Első ötletét erre ézefevő a (ξ a) ülöbség átlagát választai. Mit öye belátható, ez mide esetbe zérus. Nem zérus azoba a ülöbség égyzetée az átlaga, amelyet szóráségyzete evezü: σ ( ξ) ( ) = D = x a p = illetve folytoos valószíűségi változó esetébe σ + ( ξ) = D = x a f x d x., (3.3a) (3.3b) A szóráségyzet mellett haszálatos még a variacia vagy a diszperzió ifejezés is. 7 Négyzetgyöét szórása evezzü, szoásos jelölése σ. A feti defiícióba hallgatólagosa ismét feltettü, hogy a fellépő itegrálo, illetve öszszege overgese. Ha (3.3)-ba a égyzetes téyezőt ifejtjü, egyszerűe levezethetjü a [ ] ( ξ) ( ξ ) ( ξ) D = M M (3.4) összefüggést. Mivel a szóráségyzet midig pozitív, azt is iolvashatju ebből a épletből, hogy egy valószíűségi változó égyzetée az átlaga agyobb, mit a változó átlagáa a égyzete. Egyszerűe beláthatju, hogy a várható érté és a szórás aráyosa változi, ha a valószíűségi változót egy c álladóval beszorozzu: M ( cξ) = cm( ξ) = ca és D D cξ = c ξ = c σ. A szórás az eloszlásfüggvéy haszos jellemzője, amelyet meghatározi a mérése iértéelésée özpoti feladata. Ebbe az alfejezetbe csa a 6 Számos más yelve is m az első betű: moyee (fracia), Mittelwert (émet), medio (spayol) stb. 7 Az utóbbira utal a D (...) jelölésbe a D betű. 54
Csebisev-egyelőtleséget idézzü, amely azt fejezi i, hogy a várható értétől a szóráshoz épest agy eltérése em valószíűe: 3.3. ÉEL. Ha a ξ valószíűségi változó várható értée a, szórása σ, aor tetszőleges pozitív λ-ra feáll, hogy P{ ξ a > λσ} λ. (3.5) A tételt diszrét valószíűségi változóra látju be, de érvéyes folytoos valószíűségi változó esetébe is. (3.3a) alapjá írhatju: ( x a) p p P{ a } σ = λσ = λσ ξ > λσ = : x a > λσ Ebből egyszerűe övetezi a bizoyítadó tétel. Ha λ-t úgy választju meg, hogy λσ = ε legye, aor az egyelőtleség a σ P{ ξ a > ε} ε. (3.5a) alara hozható. Gyara ebbe az alajába alalmazzu. Magasabb mometumo A (3.) és (3.3) épleteel defiiált várható érté, illetve szóráségyzet általáosításaét defiiálhatu további mometumoat. Diszrét valószíűségi változó -edi mometuma M = M ξ = = x p, (3.6a) ha ez a sor overges. A (3.3) épleteel defiiált szóráségyzet ú. cetrális mometum, amelye természetes általáosítása a [ ] ( ) C = M ξ a = x a p = (3.6b) -edi cetrális mometum, ha ez a sor overges. Ugyaezee a meyiségee a defiícióját öye vihetjü át folytoos eloszlásora is: és + M = M ξ = x f x d x (3.6c) + [ ] C = M ξ a = x a f x d x, (3.6d) 55
ha eze az itegrálo léteze. öbbváltozós eloszláso 8 Együttes eloszlásfüggvéy Az eddigieet általáosíthatju több valószíűségi változó esetére. Jelöljü ezeet ξ, ξ,..., ξ -vel. Az egyszerűség edvéért midegyiről feltesszü, hogy folytoosa. Nem ooz ehézséget a diszrét változó esetére való áttérés. Együttes eloszlásfüggvéyüet (3.8) mitájára defiiálju: 3.7. DEFINÍCIÓ. A ξ, ξ,..., ξ valószíűségi változó együttes eloszlásfüggvéyét a övetező éplet adja meg: (,,, ) = P { <, <,, < } Fx x x ξ x ξ x ξ x. (3.7) Deriváltja az együttes sűrűségfüggvéy [vö. (3.0b)]: (,,, ) f x x x (,,, ) Fx x x = x x x. (3.8) A sűrűségfüggvéye a övetező értelmet lehet adi. Jelöljü i az - dimeziós térbe egy dv = dx dx...dx ifiitezimális térfogatelemet, és eressü aa a valószíűségét, hogy a (ξ, ξ,..., ξ ) számo által a térbe ijelölt pot ebbe esi. (3.8) szerit ezt első redbe az (,,, ) = (,,, ) f x x x dv f x x x dx dx dx ifejezés adja meg, ahol x = ξ, x = ξ,..., x = ξ. Amior a geometriai valószíűséget defiiáltu, feltételeztü, hogy ez a valószíűség függetle a (ξ, ξ,..., ξ ) pottól. Ha tehát a redelezésre álló térfogat V Ω, aor (3.7) szerit a geometriai valószíűség dv/v Ω, ami azt jeleti, hogy eor az együttes sűrűségfüggvéy f( x, x,, x ) =. VΩ Ezt az eloszlást egyeletes eloszlása evezzü. Nyilvávaló, hogy csa aor tudju értelmezi, amior Ω térfogata véges. A defiícióból övetezi, hogy az együttes sűrűségfüggvéye Ω-ra vett itegrálja. együ fel, hogy ismerjü a (ξ, ξ,..., ξ ) valószíűségi változó együttes sűrűségfüggvéyét, de egyiü (például ξ ) számura érdetele. Hogya lehet ebből a maradé ( ) valószíűségi változó együttes sűrűségfüggvéyét iszámítai? Ha az eloszlásfüggvéybe x helyére + -t helyettesítü, aor a (3.7) szerit függetle ξ értéétől, és végeredméybe 8 eitve, hogy ebbe a jegyzetbe a többváltozós eloszláso özül többyire csa a Gausseloszlásra (lásd alább) va szüség, amely folytoos eloszlás, a fogalmaat folytoos valószíűségi változóra defiiálju. 56
(ξ,..., ξ ) eloszlásfüggvéyévé váli. A sűrűségfüggvéy teitetébe ez az x változó szerit való itegrálást jelet: + (,, ) = (,,, ) f x x f x x x d x. Az ilye típusú itegráloat a femaradó (ξ,..., ξ ) változó perem-sűrűségfüggvéyée evezzü. Az eseméye függetleségére voatozó defiíciót egyszerűe átvihetjü a valószíűségi változóra is: 3.8. DEFINÍCIÓ. A ξ, ξ,..., ξ valószíűségi változóat függetlee evezzü, ha együttes eloszlásfüggvéyü a övetezőéppe botható téyezőre: (,,, ) F x x x = F x F x F x. (3.9a) (3.8)-ból övetezi, hogy eor az együttes sűrűségfüggvéy is hasolóéppe botható téyezőre: (,,, ) f x x x = f x f x f x. (3.9b) Várható érté és szórás Az egyes valószíűségi változó várható értéét és szórását az egyetle valószíűségi változó esetére haszált meghatározáso szerit defiiálhatju. (3.b) mitájára ξ i várható értée (átlaga): + + + a = M ξ = x f x, x,, x dx dx d x, (3.0a) i i i (i =,,..., ). Hasolóa defiiálhatju a szóráségyzetet is: + + + σ i D ( ξ ) = = = xi ai f x, x,, x dxdxd x, i (3.0b) (i =,,..., ). Egyszerűe belátható, hogy ez egybe ξ i perem-eloszlásáa az átlaga, illetve szóráségyzete is. Ez az észrevétel azt jeleti, hogy egyetle változó várható értéée és szórásáa a meghatározásához elegedő a miet érdelő változót egyedül megfigyeli, hisze a többi változó hatása bee va a perem-eloszlásba. Kovariacia öbbdimeziós eloszláso esetébe fellép a ovariacia, amely egyetle változó esetébe értelemszerűe em defiiálható. 57
3.9. DEFINÍCIÓ. A ξ i és ξ j valószíűségi változó ovariaciáját a + + cov ( ξ i, ξ j) M [ ( ξ i ai)( ξ j aj) ] + = = = xi ai x j aj f x, x,, x dxdxd x (3.) éplet adja meg. Nyilvávaló, hogy i = j eseté a ovariacia azoos a szóráségyzettel. i j eseté viszot a ovariacia émi felvilágosítást ad a ét változó függetleségére voatozóa. Feáll ugyais az 3.4. ÉEL. Ha a ξ i és ξ j valószíűségi változó függetlee, ovariaciáju eltűi. Helyettesítsü (3.9b)-t (3.)-be: + + + ( ξ ξ ) cov, i j = = xi ai x j aj f x, x,, x dxdxdx = + + = xi ai x j aj f xi, x j dxidxj = + + = xi ai xj a j fi xi f j x j dxidxj = + = x a f x dx x a f x dx = 0. + i i i i i j j j j j A tétel megfordítása em érvéyes: ét valószíűségi változó ovariaciája úgy is eltűhet, hogy azo em függetlee. A ovariacia agyságát orlátozza az 3.5. ÉEL. A ξ i és ξ j valószíűségi változó ovariaciájáa abszolút értée em lehet agyobb, mit szórásu szorzata: cov ξ, ξ σ σ. (3.) i j i j Legye ξ = ξ a és η = ξ i i tetszőleges valós számértée mellett feáll a j a. Nyilvá eor M( η) M( ξ) 0 D ξ λη = D ξ λm ηξ + λ D η, j = = 0. λ egyelőtleség. Ee a polioma a determiása yilvá emegatív, vagyis 58
( ηξ) ( ξ) ( η) M D D, amit a tétel állítja. Egyelőség aor és csa aor állhat fet, ha va olya λ, amelyre ξ λη = ostas. A most bizoyított tételt Schwarz-féle egyelőtlesége evezzü. 9 A ovariacia és a szóráso ( ξ i ξ j) r = cov, σσ i j háyadosát orrelációs együtthatóa evezzü. A 3.5. ÉEL szerit r abszolút értée em lehet agyobb -él. Feltételes sűrűségfüggvéy (3.5) alapjá defiiálhatju a feltételes sűrűségfüggvéyt. eitsü ét valószíűségi változót: ξ és η. Együttes sűrűségfüggvéyü f(x, y). η peremsűrűségfüggvéye + = f y f x, y d x. A 3.. DEFINÍCIÓ alalmazásához az A és B eseméye legyee a övetező: { ξ d } és B = { y < y+ y} A= x < x+ x Defiíció szerit P AB f x, y x y η d. = d d és P B = f y d y. A (3.5) szeriti feltételes valószíűség ezzel így írható: P ( AB) f( y) f( y) f x, y dd x y f x, y = = dx = f ( xη = y) dx. dy Eze alapul az 3.0. DEFINÍCIÓ. A ξ valószíűségi változóa az η valószíűségi változóra voatozó feltételes sűrűségfüggvéye ( y) (, ) f( y) f x y f xη = =. (3.3) 9 A tételt so emzet teiti magáéa: a fraciá Cauchy-ról, az oroszo Buyaovszijról evezté el, ami em csoda, hisze levezetése ayira egyszerű, hogy többe is megaphattá egymástól függetleül. Így Cauchy-Schwarz-Buyaovszij-féle egyelőtlesége ellee evezü. Az egyszerűség edvéért a legrövidebb evű szerzőt választottu. 59
A feltétel jelölését éha egyszerűsítjü: f ( x y ). Vetori jelölésmód A többdimeziós eloszláso esetébe éyelmes a vetori jelölésmód. A ξ, ξ,..., ξ valószíűségi változóat a ξ H vetor ompoeseie teitjü. Hasolóa az x és a vetoroba egyesítjü az (x, x,..., x ), illetve az (a, a,..., a ) változóat. Ezeel a jelöléseel a (3.0a) éplete az egyszerűbb a M ξ H xf x d x (3.4) = = alaba írható fel. Itt az itegrált az f(x) függvéy teljes értelmezési tartomáyra i ell terjesztei. Ha az itegrálási tartomáy más, aor azt értelemszerűe jelöljü. A ξ H vetor ét ompoese özött a (3.)-be defiiált ovariaciát mide lehetséges (i, j) idexpárra épezzü, és a apott ovariaciáat a B ovariaciamátrix (i, j) elemée teitjü: = cov ξ, ξ. (3.5) B ij i j Ha szüséges, a ovariaciamátrix B jelöléséhez idexbe tütetjü fel, melyi véletle vetorhoz tartozi. A defiícióból övetezi, hogy B szimmetrius. A vetori jelölésmód segítségével megmutatju, hogy eél több is igaz: 3.6. ÉEL. Mide ovariaciamátrix pozitív szemidefiit, szimmetrius, vagyis tetszőleges z vetorra feáll, hogy z Bz 0. (3.6) (3.) szerit ξ i és ξ j ovariaciája a ( ξi ai)( ξ j aj) szorzat várható értée. H H Ez a szorzat azoba teithető a ( ξ a)( ξ a) diád (i, j) elemée is. Ebből övetezi, hogy a (3.5) éplet vetori alaja B = M ( H a)( H a) ξ ξ, (3.7) amire sűrű hivatozu ebbe a jegyzetbe. A z ( a) H ξ salárszorzat zérus várható értéű valószíűségi változó bármilye ostas 0 z vetor esetébe. Négyzetée várható értée em lehet egatív: H [ ( )] M H H ξ ( ξ )( ξ ) 0 M z a = z a a z = 0 Ebbe az összefüggésbe a ostas azt jeleti, hogy em valószíűségi változó. 60
= z ( )( ) a a z= z M ξ H ξ H Bz. Éppe ezt ellett bizoyítai. raszformált változó várható értée és ovariaciája Mérése iértéeléseor a özvetleül mért meyiségeből további valószíűségi változóat számítu i, más szóval traszformálju őet. Az alábbiaba a lieáris traszformációat teitjü, vagyis meghatározzu a traszformált meyisége várható értéét és ovariaciamátrixát. Írju a traszformációt az H H η = Aξ alaba. Várható értéét (3.4)-ből apju: H H b = M η = M Aξ = Axf x dx = A xf x d x = Aa. (3.8) Hasolóa egyszerű iszámítai a traszformált változó ovariaciamátrixát. (3.7) alapjá írhatju: H H BH η = M A( ξ a)( ξ a) A = = AM ( H )( ) a H ξ ξ a A = ABH A. ξ (3.9) Ha A aa az U mátrixa a traszpoáltja, amely (.3) szerit a ovariaciamátrixot diagoálisra traszformálja, aor az η H vetor ompoesei orrelálatlao. Mit fetebb említettü, ez em feltétleül jelet függetleséget is. Az A traszformációs mátrixról em szüséges iötü, hogy égyzetes legye. Szélső esetbe lehet aár egy vetor is. Az imét apott éplete alapjá fotos tételeet bizoyíthatu be, ha A = ω = (,,, ). Eor a trasz- H formáció egyetle valószíűségi változót eredméyez: η = H H ω ξ= ξi. i= (3.8) alapjá érvéyes az 3.7. ÉEL. Valószíűségi változó összegée a várható értéét tagoét lehet épezi: Mξi = M( ξi ). (3.30) i= i= η szóráségyzetét (3.9) alapjá számíthatju i. Az eredméyt em írju fel az általáos esetbe. Fotos tételt apu azoba függetle valószíűségi vál- 6
tozóra. Ebbe az esetbe ugyais a ovariaciamátrix diagoális. Feáll tehát az 3.8. ÉEL. Függetle valószíűségi változó összegée a szóráségyzetét tagoét lehet épezi: D ξi = D ( ξi ). (3.3) i= i= Fotos hagsúlyozi, hogy ez a tétel csa függetle (potosabba: orrelálatla) valószíűségi változóra érvéyes. 3.. Nevezetes eloszláso Ebbe az alfejezetbe olya ismert eloszláso sűrűségfüggvéyét, továbbá várható értéét és szórását adju meg, amelye a mérése iértéelésébe fotos szerepet játszaa. Először az egydimeziós eloszlásoat teitjü, majd áttérü a többdimeziós eloszlásora. Az utóbbi ört leszűítjü a többdimeziós Gauss-eloszlásra. Egydimeziós eloszláso Egyeletes eloszlás A geometriai valószíűséggel apcsolatba már utaltu az egyeletes eloszlásra. Aor modju, hogy a ξ valószíűségi változó egyeletes eloszlású a [0, θ] itervallumba, ha sűrűségfüggvéye f ( x), ha 0 x θ, = θ 0 ha x < 0, vagy x > θ. (3.3) Az egyeletes eloszlás gyarabba fordul elő, mit godolá. Mideesetre arról evezetes, hogy a mérése iértéelésére általába idolgozott módszere sorra csődöt modaa, amior a mért adato egyeletes eloszlásúa. Ee oa abba rejli, hogy a valószíűségi változóa az a tartomáya, ahol a sűrűségfüggvéy 0-tól ülöbözi, függ θ-tól. θ általába ismeretle paraméter, és a mérést gyara azért végezzü, hogy értééről felvilágosítást apju. etszőleges ξ valószíűségi változót lehet egyeletes eloszlásúvá traszformáli. Érvéyes ugyais az 3.9. ÉEL. Legye a ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéye F(x). Eor F(ξ) egyeletes eloszlású valószíűségi változó a [0, ] itervallumba. Jelöljü F(ξ) eloszlásfüggvéyét Φ(x)-szel. Eor defiíció szerit feáll: P ( ξ) { } P ξ { } [ ] Φ x = F < x = < F x = F F x = x, 6
ahol a felső idexszel az iverz függvéyt jelöltü. Ee alapjá F(ξ) sűrűségfüggvéye azoosa. Mivel F(ξ) felső határa, ezzel a tételt bebizoyítottu. A (3.) és (3.3) éplete alapjá egyszerűe apju az egyeletes eloszlás várható értéét és szóráségyzetét: és ( ξ) M( ξ) θ θ = x dx = θ θ D θ = x 0 0 dx θ =. θ (3.33a) (3.33b) Biomiális eloszlás Legye p az A eseméy valószíűsége. A ísérletet -szer megismételjü. - val jelöljü azoa a ísérletee a számát, amelyebe A beövetezi. A valószíűségi változó eloszlása a biomiális eloszlás. Egyszerűe iszámíthatju aa p valószíűségét, hogy A potosa -szor övetezi be, amihez az is ell, hogy A potosa ( )-szor e övetezze be. Egy ilye ísérletsorozat valószíűsége p ( p). Az elvégzett ísérlet eredméye darab ige -ből és ( ) darab em -ből áll aszerit, hogy az A eseméy beövetezett-e vagy sem. Mivel a eresett p valószíűség szempotjából özömbös eze sorredje, a feti valószíűséget meg ell szorozi a edvező ísérletsorozato számával: p p p =. (3.34) Egyszerűe beláthatju, hogy várható értée és szóráségyzete és M = p (3.34a) p( p) D =. (3.34b) A biomiális eloszlás alapjá meg tudju világítai a (3.) épletbe szereplő határérté jellegét. Ott említettü, hogy a valószíűség-elmélet moder megfogalmazásába ez a határérté em több, mit a valószíűség meghatározására szolgáló mérési utasítás. Magát a valószíűséget ettől függetleül defiiáljá, de ee levezetése meghaladá jegyzetü ereteit. Nos, tegyü fel, hogy egy ilye defiíció létezi. A 3.3. ÉELbe imodott Csebisevegyelőtleség (3.5a) alaja alapjá eor írhatju: 63
p( p) D P p > σ = = ε ε ε ε Ebből övetezi a lim P p > ε = 0 határérté. Ezt a fajta overgeciát evezzü sztochasztius overgeciáa: ahogy a ísérlete száma ő, egyre valószíűtleebbe az olya ige em sorozato, amelyebe a relatív gyaoriság egy előírt ε-ál jobba eltér a valószíűségtől. A biomiális eloszlása ét özelítő alaja érdemel említést: a Poissoelozslás és a Gauss-eloszlás. Poisso-eloszlás Rögzítjü az a = p várható értéet, miözbe. Meg lehet mutati, hogy eor p határértée p = e a. a!. (3.35) Ezt evezzü Poisso-eloszlása. Jellegzetessége, hogy várható értée és szóráségyzete azoos: M D = = a. (3.35a) Gauss-eloszlás A biomiális eloszlás mási határértée a Gauss- vagy ormáleloszlás, amelye a sűrűségfüggvéye ahol f x ( x a) = exp πσ σ, (3.36) M( ξ ) = a és ( ξ) D = σ. (3.36a) Ez az eloszlás a mérése iértéelésébe alapvető szerepet játszi, ezért ebbe a jegyzetbe soszor találozu vele. öbbdimeziós Gauss-eloszlás A többdimeziós eloszláso özül csa a többdimeziós Gauss-eloszlással foglalozu. Ha a L ξ vetor várható értée, illetve ovariaciamátrixa 64
M( H L L ξ ) = a és BL = M ( ξ a)( ξ a ξ ) a L ξ vetor sűrűségfüggvéye ahol f ( x) = C exp ( x a) BL ( x a) 0 [ det( BL ξ )] ( π) / [ det( BL ξ )] C 0 = = / / ( π), (3.37a), (3.37) ξ /. (3.37b) A sűrűségfüggvéy defiíciójához fel ell tételezü, hogy a ovariaciamátrix ivertálható. E szaasz végé visszatérü a sziguláris ovariaciamátrix esetére. A 3.9. ÉEL szerit függetle valószíűségi változó ovariaciája eltűi, de ee a megfordítása em feltétleül érvéyes. Nos, Gauss-eloszlás esetébe a ovariacia eltűése függetleséget jelet. Ezt a övetezőéppe láthatju be. Ha a ovariaciá eltűe, aor a B ovariaciamátrix diagoális: B L ξ = diag σ i, B L ξ amit (3.37)-be helyettesítve apju az f x = exp π / ( ) σ i i= = diag, σ i ( xi ai) i= ( ) = xi ai exp i= πσ σ i i σ i = (3.37c) sűrűségfüggvéyt. Az itt szereplő téyező az egyes valószíűségi változó ülö-ülö vett sűrűségfüggvéyei. A most bizoyított ijeletést egy tétel formájába is imodju: 3.0. ÉEL. Gauss-eloszlású valószíűségi változó aor és csa aor függetlee, ha ovariaciamátrixu diagoális. Befejezésül megbeszéljü, mi a helyzet aor, amior a ovariaciamátrix sziguláris. Ez azt jeleti, hogy va olya emzérus z vetor, amelyre z Bz ami csa úgy lehetséges, hogy = 0, 65
z H ξ= ostas, vagyis a valószíűségi változó em lieárisa függetlee. Ha a B mátrix ragja, az ilye z vetoro özött lehet ( ) darab lieárisa függetlet találi. Írju fel ezt általáosa is: létezi egy olya [ ( ) redű] Z, mátrix, amelyre Z ξ= H ostas, és ragja ( ). Ez azt jeleti, hogy a ξ H vetor lehetséges értéei em tölti i a teljes -dimeziós teret, haem aa csa egy ( )-dimeziós alterét. = 3 és = eseté, például, ez azt jeleti, hogy a ξ H vetor em a teljes térbe, haem csa egy sío változhat. Egyébét ez a sí a z vetorra merőleges. Ha az f(x, x, x 3 ) sűrűségfüggvéyt ee elleére három változó függvéyée teitjü, vagyis háromdimeziós dv = dx dx dx 3 térfogatelemere voatoztatju, aor a sűrűségfüggvéy azoosa 0. Síbeli alazatora voatozó térbeli itegrálo ugyais eltűe. Levohatju tehát azt a öveteztetést, hogy a sűrűségfüggvéy em defiiálható, amior B sziguláris. Ebbe az esetbe a ξ H vetor ompoeseie a számát csöeteü ell. A.3. DEFINÍCIÓ szerit B-e va egy emsziguláris -adredű almátrixa. A ξ H vetora ehhez tartozó ompoesei már lieárisa függetle valószíűségi változó, amelyere értelmezhető a sűrűségfüggvéy. A femaradó ( ) darab valószíűségi változót az előbbieel i lehet fejezi, tehát ráju voatozóa bármilye meyiséget (várható értéet, ovariaciát, valószíűségeet stb.) i lehet számítai. Ee részleteibe azoba em megyü bele. 3.3. A Gauss-eloszlásból származtatott eloszláso A mérése iértéeléseor több olya valószíűségi változóval va dolgu, amelye a Gauss-eloszlásból származtatható. A mérésiértéelés irodalmába három eloszlás játszi ülööse fotos szerepet: χ -eloszlás, Studet-eloszlás és Fisher-eloszlás. Egy egyedi, a ϕ-eloszlás jelei meg a 9. fejezetbe tárgyalt potelhagyásos módszer alalmazásaor. χ -eloszlás Ha (ξ, ξ,..., ξ ) függetle Gauss-eloszlású valószíűségi változó, amelye várható értée 0, szórása, aor defiíció szerit χ i= = ξi. (3.38) Ee a valószíűségi változóa a sűrűségfüggvéye 66
( x) = ahol Γ(x) az ú. gammafüggvéy: x Γ x e, (3.38a) x t Γ x = t e d t. (3.39) 0 A (3.38)-ba megjeleő tago számát a χ -eloszlás szabadsági foáa evezzü. χ várható értée és szóráségyzete: M( χ ) = és D χ =. (3.38b) Studet-eloszlás Legye ξ egy 0 várható értéű és szórású, Gauss-eloszlású valószíűségi változó, amely függetle χ -től. Eor a t = ξ χ (3.40) háyadost Studet-törte evezzü. Sűrűségfüggvéye s ( x) = várható értée és szórása π + Γ + Γ M( t ) = 0 és ( t ) x +, (3.40a) D =, >. (3.40b) A (3.40a) sűrűségfüggvéy ugya értelmezhető = -re és = -re is, de ezebe az esetebe em létezi a szórás. -et a Studet-eloszlás esetébe is a szabadsági foo számáa evezzü. Fisher-eloszlás A Fisher-eloszlás ét, egymástól függetle χ -változó háyadosa: Sűrűségfüggvéye F m m = χ χ m. (3.4) 67
m+ x Γ m fm ( x) = m m Γ Γ x + m várható értée és szóráségyzete M( F m ) = és ( F ) m m+ D m m = + m ( )( 4),. (3.4a) (3.4b) ϕ-eloszlás A ϕ-háyados emléeztet a Fisher-háyadosra: ϕ m = m χ χ m, (3.4) ahol χ m és χ egymástól függetle χ -változó. A Fisher-háyadoshoz épest az egyetle ülöbség a számlálóba szereplő égyzetgyö. Boyolultsága miatt em írju fel a sűrűségfüggvéyét, sem várható értéét és szórását. *3.4. Korrelációs ellipszoid A orrelációs ellipszoid haszos segédeszöz véletle vetoro összehasolításába. 3.. DEFINÍCIÓ. Ha M( ξ H ) = a, a ξ H véletle vetor orrelációs ellipszoidját azoa az x vetoroa a végpotjai alotjá, amelye ielégíti az ( x a) B ( x a) = (3.43) H ξ egyeletet. A orrelációs ellipszoid evezetessége, hogy felületé a sűrűségfüggvéy álladó. Ez özvetleül belátható a többdimeziós Gauss-eloszlás (3.37) szeriti defiíciója alapjá. Legye Ω H egységvetor, és számítsu i az Ω H ξ H valószíűségi változó szóráségyzetét: r H H H H H H H H = D ( Ω ξ) = MΩ ( ξ a)( ξ a) Ω = Ω B HΩ. (3.44) ξ Megmutatju, hogy a orrelációs ellipszoid tetszőleges x potjához lehet találi olya Ω H vetort, hogy x a = r. Megfotolásaiat a 3.4. ábrá lehet yo- 68
mo öveti, amely ét változó ( = ) esetébe mutatja az ellipszoidot (az ábrá ellipszist). Legye U az az uitér mátrix, amely a B ξ H mátrixot főtegelyre traszformálja: diag σ = BH = U BHU, BH = UBHU. (3.45) η A B η H diagoális mátrix az H H η= U ( ξ a) főátlóba levő σ i ( η ) i ξ = D, i =,,..., ξ η vetor ovariaciamátrixa. A eleme a B ξ H mátrix sajátértéei. A traszformált oordiátaredszerbe tehát a (3.43) szeriti felület egyelete y B η y = =, (3.46) σ i= y i i ahol y az eredeti x vetor traszformáltja: y = U ( x a). sajátvetorai, tehát y ompoesei az ( x a ) Az U mátrix oszlopai B ξ H vetora a sajátvetorora vett vetületei. A 3.4 ábrá θ-val jelöljü az u sajátvetora az eredeti x oordiátategellyel bezárt szögét. Ezzel a jelöléssel az U mátrix elemei a övetező: Ha az amivel cosθ siθ U =. siθ cosθ x a vetor polárszöge ϕ (az ábrá ics jelölve), aor x a = r cos ϕ siϕ, ( ϕ θ) ( ϕ θ) y = U ( x a) = = cosθ siθ cosϕ cos r r. siθ cosθ siϕ si Az u és u vetoro által ifeszített oordiátaredszer az eredetihez épest θ szöggel va elforgatva az óramutató járásával elletétes iráyba. Utóbbi épletüből látszi, hogy ( x a) és y ugyaazt a vetor jelöli, de ompoesei egymáshoz épest elforgatott oordiátaredszerebe vaa ifejezve. Ugyaez az állítás érvéyes az -dimeziós térbe is. 69
x y y ω y σ σ θ x a x 3.4. ábra. Korrelációs ellipszis A (3.46) egyelet szerit az y i σ i háyadoso egy egységvetor ompoesei. Jelöljü ezt ω H -val: ω i = yi σ i, i =,,...,. Az y vetor hosszúságáa H H y y = σ i ω i = ω BH ηω i= égyzete (3.44) aalógiájára az ω H η H valószíűségi változó szóráségyzete. Legye H H Ω = U ω, illetve H H ω = U Ω. A fetie aalógiájára Ω H és ω H ugyaazt a vetort jelöli, de ompoesei egymáshoz épest elfogatott oordiátaredszerebe vaa ifejezve. A orrelációs ellipszoid x potjához redeljü az H Ω egységvetort. (3.45) egyelet alapjá r H H H H H H = x a x a = y y = ω BHω=Ω UBHU Ω=Ω BHΩ. η η ξ Ezzel igazoltu feti állításuat: az ellipszoid x potjához vezető sugár r hoszsza megegyezi az Ω H ξ H valószíűségi változó szórásával. H ω (és így Ω H ) iráya mit a 3.4. ábrá látszi y-hoz épest el va forgatva, ha a σ i sajátértée em mid azoosa. Kivétele a sajátvetoroal párhuzamos y vetoro, mert esetübe ω H y. Most bizoyított állításu alapjá megérthetjü, mit jeletee a B ξ H ovariaciamátrix sajátértéei: σ i az u H i ξ valószíűségi változó szóráségyzete. eitü ét azoos dimeziójú véletle vetort, modju α H -t és β H -t, amelye várható értée azoos, és megszeresztjü orrelációs ellipszoidjuat. Ha azt találju, hogy α H -é teljes egészébe bee va β H -éba, aor ez azt je- 70
H leti, hogy tetszőleges Ω egységvetorra voatozóa H H Ω α szórása isebb, mit Ω H β H -é. Közyelve szólva ezt úgy is ifejezhetjü, hogy α H mérése mide teitetbe potosabb, mit β H -é. Amior a orrelációs ellipszoido átmetszi egymást, ülöböző Ω H -ra H H Ω α és Ω H β H szórása özötti reláció egymástól eltérőe lehete. A orrelációs elleipszoid további alalmazását láthatju az 4.4. alfejezetbe. 7