Mincsovics M. E. Havasi Á. Haszpra T. MATEMATIKA 3 és MATEMATIKA 4 GY Földtudomány és Környezettan BSc hallgatók részére

Mincsovics M. E. Havasi Á. Haszpra T. MATEMATIKA 3 és MATEMATIKA 4 GY Földtudomány és Környezettan BSc hallgatók részére

áóéöüő Tartalomjegyzék I Matematika 3 7 Metrikus tér 9.. Elméleti összefoglaló.............................. 9.. Feladatok.....................................3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 3 Teljes metrikus tér 7.. Elméleti összefoglaló.............................. 7.. Feladatok.................................... 8.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 3 Vektortér, Lineáris leképezések 5 3.. Elméleti összefoglaló.............................. 5 3.. Feladatok.................................... 7 3.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 9 4 Normált tér 3 4.. Elméleti összefoglaló.............................. 3 4.. Feladatok.................................... 3 4.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 34 5 NT: Folytonos lineáris leképezések 37 5.. Elméleti összefoglaló.............................. 37 5.. Feladatok.................................... 38 5.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 39 6. minta zárthelyi 4 7 NT: határérték, folytonosság 43 7.. Elméleti összefoglaló.............................. 43 7.. Feladatok.................................... 44 7.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 46

TARTALOMJEGYZÉK 8 NT: differenciálszámítás I. 49 8.. Elméleti összefoglaló.............................. 49 8.. Feladatok.................................... 5 8.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 5 9 NT: differenciálszámítás II. 55 9.. Elméleti összefoglaló.............................. 55 9.. Feladatok.................................... 56 9.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 57 NT: differenciálszámítás III. 6.. Elméleti összefoglaló.............................. 6.. Feladatok.................................... 6.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 64 NT: integrálszámítás I. 69.. Elméleti összefoglaló.............................. 69.. Feladatok.................................... 7.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 7. minta zárthelyi 75 II Matematika 4 77 3 NT: Vonalintegrál II. 79 3.. Elméleti összefoglaló.............................. 79 3.. Feladatok.................................... 8 3.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 8 4 NT: Integrálszámítás III. 87 4.. Feladatok.................................... 87 4.. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 88 5 Többszörös integrálok I. 9 5.. Elméleti összefoglaló.............................. 9 5.. Feladatok.................................... 9 5.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 94 6 Többszörös integrálok II. 99 6.. Elméleti összefoglaló.............................. 99 6.. Feladatok.................................... 6.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 7 Komplex függvénytan I. 5

TARTALOMJEGYZÉK 3 7.. Elméleti összefoglaló.............................. 5 7.. Feladatok.................................... 6 7.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 7 8. minta zárthelyi 9 Komplex függvénytan II. 3 9.. Elméleti összefoglaló.............................. 3 9.. Feladatok.................................... 4 9.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 6 Komplex függvénytan III. 9.. Elméleti összefoglaló.............................. 9.. Feladatok.....................................3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... Komplex függvénytan IV. 5.. Feladatok.................................... 5.. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 7 Függvénysorozatok 3.. Elméleti összefoglaló.............................. 3.. Feladatok.................................... 3.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 34 3 Függvénysorok 39 3.. Elméleti összefoglaló.............................. 39 3.. Feladatok.................................... 4 3.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 4 4 Fourier-sorok 45 4.. Elméleti összefoglaló.............................. 45 4.. Feladatok.................................... 46 4.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.................... 47 5. minta zárthelyi 53 Irodalomjegyzék 55

Előszó Ez a példatár az Eötvös Loránd Tudományegyetemen tanuló földtudományi és környezettan alapszakos hallgatók matematikaképzésének 3. és 4. félévéhez készült. Ebben a két félévben sajátítják el a hallgatók a többváltozós függvények analízisének alapjait: a metrikus tér és a normált tér fogalmát, a többváltozós függvények differenciálszámításának az alapfogalmait, a vonalintegrálhoz és a többszörös integrálokhoz kapcsolódó legfontosabb ismereteket, a komplex függvénytan elemeit, valamint a függvénysorozatok és függvénysorok alapjait. Erre a jegyzetre azért volt szükség, mert az említett szakokon tanuló hallgatóktól elvárt matematikatudás sokhelyütt meghaladja a Bolyai könyvsorozat színvonalát, de az alkalmazott matematikusétól természetesen elmarad. (Megjegyezzük, hogy ez az elvárás teljesen összhangban van azzal, hogy például van olyan típusú meteorológus, akinek alig lesz szüksége matematikára, de van olyan is, aki gyakorlatilag alkalmazott matematikusként fog tevékenykedni a meteorológia területén!) Ilyen tudásszínvonalat megcélzó könyvvel pedig még nem találkoztunk. A példatárat úgy állítottuk össze, hogy pontosan kövesse a Matematika 3 és 4 tárgyak gyakorlatainak az utóbbi évek során kialakult anyagát. Ennek megfelelően a fejezetek száma megegyezik a két félév során tartott gyakorlati órák számával. Ahol szükséges, a fejezetek elején elméleti összefoglaló segíti a feladatok megoldásához szükséges ismeretek áttekintését. Ezután következnek a feladatok, az egyes gyakorlatokon belül is altémánként különbontva. Végül következnek a kidolgozott megoldások, eredmények és útmutatások. A feladatok több mint háromnegyed részéhez találunk valamit ezekben a részekben, és legtöbbször kidolgozott megoldást. Az egyes feladatoknál jelöli, ha van hozzá kidolgozott megoldás, jelöli, ha eredményt mellékeltünk, és a szimbólum jelzi, ha útmutatást találhatunk hozzá. Mindkét fejezet közepén és végén egy-egy minta zárthelyit is talál az olvasó a zárthelyi dolgozatokra való önálló felkészüléshez. A példatár elektronikus formátuma lehetővé teszi, hogy a pirossal kiemelt utalásokra kattintva a hivatkozott szövegrészre ugorjunk. A szöveget, ahol csak lehetett, a megértést segítő ábrákkal ill. animációkkal illusztráltuk. Természetesen ez a jegyzet sem csak saját feladatokat tartalmaz, hiszen a tárgyalt témák ősrégiek, számtalan könyv és feladatgyűjtemény foglalkozik velük, és mi is többől merítettünk. Metrikus és normált terekbe komolyabb betekintést ad [7]. Vektorterekről és lineáris leképezésekről (tisztán algebrai megközelítésben) bő ismereteket nyújt [3], jó bevezető [6], folytonos lineáris lekepezésekről pedig a már említett [7] könyvet ajánljuk. A differenciálszámítás részhez [] nyújt jó alapokat, [7] pedig komolyabb elméleti hátteret, továbbá [] nagyon precíz tárgyalást, [4] pedig nem csak ehhez a részhez kimeríthetetlen feladatgyűjtemény. Vonalintegrálokhoz és többszörös integrálokhoz [] nyújt jó alapo- 5

6 TARTALOMJEGYZÉK kat, []-tól precíz tárgyalást kapunk. A komplex függvénytanba az elnyűhetetlen [9] ad komolyabb betekintést, de elsőre a gyakorlatibb és könnyebb [5]-t ajánljuk. Függvénysorozatokhoz, függvénysorokhoz, Fourier-sorokhoz pedig a [8] könyvet tudjuk ajánlani, mint szórakoztató olvasmányt. Bízunk benne, hogy a példatárat haszonnal forgatják majd a hallgatók és az őket felkészítő gyakorlatvezetők egyaránt. Végezetül köszönetet szeretnénk mondani mindenkinek, aki megjegyzéseivel segítette a jegyzet fejlődését, továbbá Horváth Róbertnek a stílusfile-ért (amit kicsit átalakítottunk). Budapest,. A Szerzők

rész I Matematika 3 7

fejezet Metrikus tér Kulcsszavak: metrika, metrikus tér, környezet (gömb), belső pont, külső pont, határpont, nyílt halmaz, zárt halmaz, pontozott környezet, torlódási pont.. Elméleti összefoglaló Mindenki rendelkezik egy intuitív távolságfogalommal és ez a hétköznapokban többnyire jól is működik. A következőkben megmutatjuk, hogy lehetséges a távolság fogalmának definiálása és kezelése a matematika keretein belül is. Ismeretes, hogy két valós szám távolságán a különbségük abszolút értékét értjük. De szeretnénk, ha nem csak számok, hanem tetszőleges (matematikailag definiálható) objektumok távolságát is tudnánk mérni. Arra törekszünk, hogy ez a fogalom rendelkezzen az intuitív távolságfogalom fontos tulajdonságaival (így nem lesz idegen) és elég általános is legyen ahhoz, hogy sok dologra lehessen használni (pl. függvények távolságának mérésére). Megjegyezzük, hogy az intuitív távolságfogalom is sokféle: nem mindegy, hogy légvonalban, vagy úton kell eljutnunk az egyik helyről a másikba és mérhetjük időben, nem csak méterben, sőt akár útiköltségben is! Vizsgáljuk meg, hogy a valós számok esetén milyen természetes tulajdonságokkal rendelkezik a távolság fogalma! Észrevehetjük, hogy a távolság egy nemnegatív szám, amelyet két valós számhoz (azaz egy valós számpárhoz) hozzárendelünk. Két különböző szám távolsága pozitív, egy szám saját magától vett távolsága pedig nulla. Fontosnak gondoljuk továbbá, hogy egy a valós szám b valós számtól való távolsága ugyanakkora, mint a b szám a-tól való távolsága. Végül, három tetszőleges valós szám, a, b és c esetén az a c távolság nem lehet nagyobb, mint az a b és a b c távolságok összege. Ez alapján vezetjük be egy tetszőleges X halmazon a távolságfüggvény, más néven metrika fogalmát a következőképpen... Definíció. Legyen X egy tetszőleges nem üres halmaz, d pedig egy X X R + függvény, amely rendelkezik a következő három tulajdonsággal: d(x,y) = x = y d(x,y) = d(y,x) x,y X 9

FEJEZET. METRIKUS TÉR d(x,z) d(x,y)+d(y,z) x,y,z X (háromszög-egyenlőtlenség). Ekkor a d függvényt X-en értelmezett metrikának, a d(x,y) R + számot az x elem y elemtől vett távolságának, az (X, d) rendezett párt pedig metrikus tér nek (rövidítve: MT) nevezzük. Az R halmazon a d(x,y) = x y függvény valóban metrikát definiál, de nem ez az egyetlen lehetőség. Tetszőleges X halmazon a {, ha x = y d(x,y) =, ha x y képlet az ún. diszkrét metrikát definiálja. Ekkor (X, d)-t diszkrét metrikus térnek nevezzük. Metrikus térben értelmezhetjük a környezet (gömb) fogalmát, később ennek segítségével tudjuk majd definiálni sorozatok konvergenciáját... Definíció. Az (X,d) metrikus térben az x X elem r > sugarú környezetén (vagy x középpontú, r sugarú gömbön) azon x X elemek halmazát értjük, amelyekre d(x,x) < r. Jelölése: K r (x ). Minden metrikus térben értelmesek a környezeten alapuló (ún. topológiai) fogalmak is..3. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Az x X pont a H X halmaz belső pontja, ha x-nek van olyan környezete, amely csak H-beli pontot tartalmaz. A H halmaz belső pontjainak a halmazát inth jelöli. külső pontja, ha x-nek van olyan környezete, amely nem tartalmaz H-beli pontot. A H halmaz külső pontjainak a halmazát exth jelöli. határpontja, ha x minden környezetében van H-beli és nem H-beli pont is. A H halmaz határpontjainak a halmazát H jelöli. Ennek segítségével definiálhatjuk a zárt, illetve nyílt halmaz fogalmát..4. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. A H X halmaz nyílt, ha minden pontja belső pont; zárt, ha a komplementere (H C := X \H) nyílt halmaz. Vegyük észre, hogy ezek nem egymást kizáró fogalmak, egy halmaz, ha nem zárt, az nem jelenti azt, hogy nyílt és viszont. Bevezethetjük a pontozott környezet és a torlódási pont fogalmát is.

.. FELADATOK.5. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér. Az x X elem r > sugarú (ki)pontozott környezetén a K r (x ) \{x } halmazt értjük. Az x X pont a H X halmaz torlódási pontja, ha x minden kipontozott környezete tartalmaz H-beli pontot. A H halmaz torlódási pontjainak a halmazát H jelöli. Vegyük észre, hogy egy halmaz torlódási pontja nem feltétlenül eleme a halmaznak... Feladatok A, metrika, MT. Döntsük el, hogy a következő ρ függvények metrikát definiálnak-e R-en! a, ρ(x,y) = x + y ; b, ρ(x,y) = x y ; c, ρ(x,y) = xy ; d, ρ(x,y) = x y.. Lássuk be, hogy MT! a, (R, ); (R n,d k ), k =,,, ahol d k (x,y) = ( n i= x i y i k) k, illetve d (x,y) = max x i y i ; b, (C[a,b],d ), ahol C[a,b] az [a,b] intervallumon értelmezett folytonos függvények halmaza és d (f,g) = sup x [a,b] f(x) g(x) ; (C[a,b],d ), ahol d (f,g) = b a f(x) g(x) dx), (a < b); c, R ellátva a diszkrét metrikával. B, környezet (gömb). Ábrázoljuk az (R,d k ), k =,, MT-ekben a középpontú sugarú gömböket, vagyis K ()-t.. Szemléltessük ábrával, hogy milyen függvények tartoznak bele az azonosan, illetve az f(x) = x függvények sugarú környezetébe tehát K (), illetve K (x) szemléltetése a (C[a,b],d ), illetve a (C[a,b],d ) MT-ben. 3. Adjunk példát olyan MT-re és környezetekre, amelyekre a, K r (x) = K R (x) és R > r ; b, K r (x) K R (y) és R > r! C, topológiai alapfogalmak. Döntsük el, hogy a (R, ) MT-ben a következő halmazok zártak/nyíltak-e, illetve adjuk meg a torlódási, belső, külső és határpontjaik halmazát.

FEJEZET. METRIKUS TÉR a, R ; ; b, {,,...,n}; N ; { n : n N+ }; c, [a,b]; [a,b); (a,b); [a, ).. Adjuk meg az alábbi halmaz belső, külső, illetve határpontjait, és ezek alapján döntsük el, hogy a halmaz nyílt vagy zárt-e! H M = {f C[a,b] : d(f,) M} a (C[a,b],d ) MT-ben. D, Az összes eddigi fogalmat vizsgáljuk meg diszkrét metrikus térben!

.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 3.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.3.. Megoldások A//a, d (x,y) = n i= x i y i. d (x,y) x,y R n, mivel x i y i i {,,...,n}. Továbbá d (x,y) = x = y, ugyanis nemnegatív számok összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik összeadandó nulla, azazx i y i = i {,,...,n}, vagyis x = y. d (x,y) = d (y,x), mivel x i y i = y i x i i {,,...,n}. d (x,y) d (x,z)+d (z,y) x,y,z R n, mivel n i= x i y i n i= x i z i + z i y i n i= ( x i z i + z i y i ) = n i= x i z i + n i= z i y i. A második lépésben az összeg minden tagjára külön alkalmaztuk az (R, )-beli háromszög-egyenlőtlenséget (felhasználva, hogy (R, ) MT). A d metrika esetén itt csak a harmadik tulajdonságot (háromszög-egyenlőtlenség) mutatjuk meg. x,y,z R n esetén n (x i y i ) n (x i z i ) + n (z i y i ) i= i= teljesül. Ennek belátásához vezessük be a következő változókat: x i z i =: a i és z i y i =: b i. Ekkor x i y i = a i +b i, és a belátandó egyenlőtlenség: n (a i +b i ) n a i + n b i. i= Elég tehát megmutatni, hogy az utóbbi egyenlőtlenség igaz a i,b i, i =,...,n számok esetén. Emeljünk négyzetre (mindkét oldal nemnegatív): ( n n n (a i +b i ) a i + b i + n )( n ). i= i= i= A bal oldalon elvégezve a négyzetre emelést, egyszerűsítés és -vel való osztás után: n a i b i n n b i. i= i= Ez pedig éppen a jól ismert CBS-egyenlőtlenség (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség) (amiről tudjuk, hogy teljesül a i,b i, i =,...,n esetén). A//b, Megmutatjuk, hogy (C[a,b],d ) MT. i= d (f,g) = b a f(x) g(x) dx f,g C[a,b], mert nemnegatív függvény integrálja nemnegatív. Továbbá d (f,g) = b a f(x) g(x) dx = f = a i i= i= i= i= a i i= b i

4 FEJEZET. METRIKUS TÉR g. Tegyük fel ugyanis indirekte, hogy f g. Ekkor x [a,b], amelyben f(x ) g(x ). Ezen x pontban f(x ) g(x ) >, és mivel f és g folytonos, és így az f g függvény is az, tehát az f g függvény az x valamely K r (x ) környezetében is pozitív b a f(x) g(x) dx >, ami ellentmondás. d (f,g) = d (g,f) f,g C[a,b], ugyanis f(x) g(x) = g(x) f(x) x [a,b]. d (f,g) d (f,h) + d (h,g) f,g,h C[a,b], az (R, )-beli háromszögegyenlőtlenséget felhasználva f(x ) g(x ) = f(x ) h(x )+h(x ) g(x ) f(x ) h(x ) + h(x ) g(x ) teljesül x [a,b], amiből következik, hogy f(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x). Kiintegrálva az egyenlőtlenséget és felhasználva az integrál monotonitását és additivitását, kapjuk, hogy b a f(x) g(x) dx b a ( f(x) h(x) + h(x) g(x) ) dx = b a f(x) h(x) dx+ b a h(x) g(x) dx. B/ A környezetek az.. ábrán láthatók...8.4 y.4.8...8.4.4.8. x.. ábra. /B/. feladat. Kék: d, zöld: d, piros: d..3.. Eredmények C//a, R zárt és nyílt, R = intr = R, R = extr = ; zárt és nyílt, = int = =, ext = R. C//b, A H = {,,...,n} halmazra H =, inth =, exth = R\H, H = H. H H H zárt; N =, intn =, extn = R\N, N = N. N N N zárt;

.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 5 A G = { n : n N+ } halmazra G = {}, intg =, extg = R \ (H {}), H = H {}. G nem nyílt és nem zárt. C//c, [a,b] = [a,b], int[a,b] = (a,b), ext[a,b] = R\[a,b], [a,b] = {a,b}, zárt; [a,b) = [a,b], int[a,b) = (a,b), ext[a,b) = R \ [a,b], [a,b) = {a,b}, nem zárt, nem nyílt; (a,b) = [a,b], int(a,b) = (a,b), ext(a,b) = R\[a,b], (a,b) = {a,b}, nyílt; [a,+ ) = [a,+ ), int[a,+ ) = (a,+ ), ext[a,+ ) = (,a), [a,+ ) = {a}, zárt..3.3. Útmutatások A/ a c, nem, mert sérül az első metrikatulajdonság; d, igen. B/3/a, Diszkrétben; B/3/b, ({3 jól megválasztott pont a síkban},d ).

fejezet Teljes metrikus tér Kulcsszavak: konvergencia, Cauchy-sorozat, teljes metrikus tér, kontrakció, fixpont, Banach-féle fixponttétel.. Elméleti összefoglaló Tetszőleges metrikus térben definiálhatjuk sorozatok konvergenciáját és a Cauchy-sorozat fogalmát. Míg ez a két fogalom a megszokott valós számsorozatok esetében (azaz a konkrét (R, ) MT-ben) egybeesett, itt már különválik, azaz vannak olyan metrikus terek, ahol nem minden Cauchy-sorozat konvergens. Azokat a MT-eket, ahol a két fogalom ekvivalens, teljes metrikus tereknek nevezzük... Definíció. Az (X,d) metrikus térbeli (x n ) sorozat konvergens, ha a X, amelyre ε > N N, hogy n N esetén d(x n,a) < ε (azaz x n K ε (a)). Ez másképpen a d(x n,a) számsorozat nullához tartását jelenti... Definíció. Az (X,d) metrikus térbeli (x n ) sorozat Cauchy-sorozat, ha ε > N N, hogy n,m N esetén d(x n,x m ) < ε..3. Definíció. Az (X, d) metrikus tér teljes metrikus tér (TMT), ha minden Cauchysorozata konvergens. A TMT-ek szebben viselkednek. Egyenletek egyértelmű megoldhatóságának igazolására és a megoldás közelítésére TMT-ekben alkalmazható az úgynevezett Banach-féle fixponttétel..4. Definíció. Az f : X X függvényt, ahol (X,d) metrikus tér, kontrakciónak nevezzük, ha valamely q < konstanssal (ún. kontrakciószám) teljesül minden x, y X-re. d(f(x),f(y)) qd(x,y) 7

8 FEJEZET. TELJES METRIKUS TÉR.5. Definíció. Az x X pont az f : X X függvény fixpontja, ha f(x) = x... Tétel. (Banach-féle fixponttétel) Legyen (X, d) TMT és f : X X kontrakció a q kontrakciószámmal. Ekkor. f-nek létezik egyetlen x fixpontja;. tetszőleges x X esetén az x n = f(x n ) iteráció tart x -hoz; 3. az n-edik iterációnak a fixponttól való távolságára érvényes a becslés. d(x,x n ) qn q d(x,x ).. Feladatok A, konvergencia, Cauchy-sorozat, teljes MT. Vizsgáljuk meg a következő (függvény)sorozatokat Cauchy-ság illetve konvergencia szempontjából! a, ( sinx n ) a (C[,π],d ), illetve a (C[,π],d ) MT-ben; b,, ha x (,n ] [n+, ) f n (x) = x (n ), ha x (n,n] n+ x, ha x (n,n+) a (C b (R),d ) MT-ben, ahol C b (R) az R-en értelmezett korlátos, folytonos függvények halmazát jelöli; c, (x n ) a (C[,],d ) illetve a (C[,],d ) MT-ben.. TMT-e? a, (R, ). b, (R\{}, ); (Q, ); ([a,b], ); ([a,b), ); ([a, ), ). c, (R,d arctg ), ahol d arctg (x,y) = arctgx arctgy. d, R ellátva a diszkrét metrikával. e, (C[a,b],d ) (Ezt csak kimondani!); (C[a,b],d ). B, Banach-féle fixponttétel. Ellenpéldákkal igazoljuk, hogy a fixponttétel feltételei a teljesség és a q < feltétel lényegesek!. Az f : [, ) [, ), f(x) = (x + x ) függvény kontrakció-e, és (ha igen, akkor) mi a fixpontja? Határozzuk meg a fixpont értékét 3 -os pontossággal!

.. FELADATOK 9 3. Lássuk be, hogy ha f : [a,b] [a,b], f C [a,b], f <, akkor f kontrakció! 4. Lássuk be, hogy az adott f függvény kontrakció a megadott intervallumon. Továbbá szeretnénk meghatározni az f(x) = x egyenlet megoldását. Adjunk meg egy iterációs lépésszámot, amellyel már garantálni tudjuk, hogy az iterációt az adott x pontból indítva a közelítés hibája 3 -nál már kisebb. a, f(x) =.9cosx, x [, π ] és x = ; b, f(x) = x+, x [,] és x =.

FEJEZET. TELJES METRIKUS TÉR.3. Megoldások Eredmények Útmutatások.3.. Megoldások A//a, Ad metrikában: a ( sinx n ) függvénysorozat tart az azonosan nulla függvényhez, mivel ( ) sinx π d n, = sinx n dx = π sinx dx = n n. Tehát a függvénysorozat konvergens, és így Cauchy-sorozat is. Ad metrikában: a( sinx n ) függvénysorozat tart az azonosan nulla függvényhez, mivel ( ) sinx d n, = sup sinx n sin(π/) dx = = n n. [,π] Tehát a függvénysorozat konvergens, és így Cauchy-sorozat is. (Megjegyezzük, hogy ha egy sorozat konvergens a (C[,π],d )) MT-ben, akkor konvergens a (C[,π],d ) MT-ben is.) A//c, A d metrikában: az (x n ) függvénysorozat (lásd..b ábra) tart az azonosan nulla függvényhez, mivel [ ] x d (x n,) = x n dx = x n n+ dx = = n+ n+. Tehát a függvénysorozat konvergens, és így Cauchy-sorozat is..8 a n = n = n = 3 n = 4.8 b n = n = n = 3 n = 3.6.6 y y.4.4.. 5 x.5 x.. ábra. a) /A//b feladat és b) /A//c feladat. A//b, ([a,b], ): TMT. A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy nem TMT, azaz (x n ) [a,b] Cauchy-sorozat, amely nem konvergens. Viszont vegyük észre, hogy(x n ) Cauchysorozat az (R, ) MT-ben is. Ez a tér teljes, így A R = lim(x n ). Tehát A / [a,b], vagyisakülső pontja az [a,b] halmaznak, így létezik olyan K r (A) környezet, amely-

.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK re K r (A) [a,b] =. A határérték definícióját használva: az előbbi r-hez N N: n N-re x n K r (A), vagyis bizonyos indextől kezdve a sorozat minden eleme K r (A)-beli, és így nem [a,b]-beli. Ez ellentmondás. A//e, Belátjuk, hogy (C[a,b],d ) nem TMT. Legyen a =, b =, a bizonyítás hasonló tetszőleges intervallum esetén. Tekintsük az alábbi függvénysorozatot:, ha x [,] f n (x) = nx n, ha x (,+ n ), ha x [+ n,] Ez Cauchy-sorozat, mivel n, m N, n < m (ezt az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük) esetén d (f n,f m ) = (f n (x) f m (x)) dx = n m n. Megmutatjuk, hogy ez a Cauchy-sorozat nem konvergens (C[,],d )-ben. A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy konvergens, azaz tart valamely f C[, ] függvényhez. Ez a függvény a [,]-en mindenhol nullát kell felvegyen, ugyanis felhasználva a háromszög-egyenlőtlenséget fennáll, hogy d (f,) d (f,f n )+d (f n,). Itt a jobb oldal mindkét tagja nullához tart, tehát a bal oldal csak nulla lehet. Végül felhasználva f folytonosságát, adódik a részállítás. Hasonlóan: a határfüggvénynek az (,]-n mindenhol -et kell felvennie, mert d (f,) d (f,f n )+d (f n,), ahol a jobb oldal mindkét tagja nullához tart, tehát a bal oldal. Végül felhasználva f folytonosságát, adódik ez a részállítás is. Így f nem lehet folytonos, ami ellentmondás. B/ Két megoldást adunk. xy I.mo. Belátjuk, hogy f kontrakció. f(x) f(y) = x+ x y y = x y xy x y, ahol felhasználtuk, hogy teljesül az [, ) intervallumon. Tehát q = szereposztással teljesül a kívánt kontrakciós egyenlőtlenség. Ha a fixponttétel szerinti iterációhoz az x := kezdőpontot választjuk, akkor x = f() = 3 (lásd.. ábra). Az elégséges lépésszám kiszámítása: q n q d(x,x ) = n 3 n. II.mo. (Felhasználva a B/3 feladatot.) Az f (x) = x deriváltfüggvény zérushelye x =, f az [, ) intervallumon <, és monoton nő -től -ig, a (,+ )

FEJEZET. TELJES METRIKUS TÉR intervallumon >, és szigorúan monoton nő, határértéke a + -ben. f =: q. Innen lásd az első megoldást. y 3.5.5 y = (x + x ) y = x a.5.5 3 x xn.5.4.3.. b 3 4 5 6 7 8 9 n.. ábra. a) /B/. feladat, b) x = esetén n = iteráció szükséges ahhoz, hogy a fixpontot 3 pontossággal meghatározzuk. B/3 f C [a,b] a Lagrange-középértéktétel szerint x,y [a,b] esetén ξ (x,y) : f(x) f(y) = f (ξ) (x y) f(x) f(y) = f (ξ) x y sup [a,b] f x y. Mivel f folytonos az [a,b]-n, ezért f is az, amiből sup [a,b] f = max [a,b] f következik. Ez a maximum csak -nél kisebb lehet, mivel f <. Így f kontrakció q = max [a,b] f mellett..3.. Útmutatások A//b A függvénysorozat tagjai a..a ábrán láthatók. A//c, d (x n,x n ) = 4. Lásd..b ábra. A//b, ([a, b), ): Nem TMT. Konstruálható ugyanis olyan [a, b)-beli Cauchy-sorozat, amely b-hez tart, pl. az x n = a+nb n+ sorozat. A//c, Vizsgáljuk a következő sorozatot: (x n ) = (n). B/ (R\{}, ), x és (R, ), x+. B/4/a Lásd.3. ábra. B/4/b Lásd.4. ábra.

.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 3.5 y =.9 cos x y = x.8 y.5 a.5 x.5 xn.6.4. b 4 n 6 8.3. ábra. a) /B/4/a feladat, b) x = esetén n = 87 iteráció szükséges ahhoz, hogy a fixpontot 3 pontossággal meghatározzuk. 3.5 y = x + y = x.5 y.5.5 a 3 x xn.5 b 4 6 8 n.4. ábra. a) /B/4/b feladat, b) x = esetén n = 8 iteráció szükséges ahhoz, hogy a fixpontot 3 pontossággal meghatározzuk.

fejezet 3 Vektortér, Lineáris leképezések Kulcsszavak: vektortér, altér, lineáris kombináció, lineárisan független, generátorrendszer, bázis, dimenzió, lineáris leképezés 3.. Elméleti összefoglaló A távolságfogalom kiterjesztésével kapott metrikus tér elegendő keretet nyújt sorozatok konvergenciájának definiálásához, de algebrai műveleteket nem tudunk benne végezni, így még nem elegendő a differenciálszámítás bevezetéséhez. Erre a normált tér lesz alkalmas, amely a vektortér fogalmán alapul (lásd a Vektorszámítás c. tantárgyat is). A vektortér olyan halmazt jelent, amely el van látva két művelettel: összeadással és skalárral való szorzással, amelyek a geometriai vektorok körében értelmezett azonos nevű műveletek tulajdonságaival rendelkeznek. A következőkben definiáljuk a valós számtest feletti vektortér fogalmát, de megjegyezzük, hogy teszőleges test (pl. C) esetén is működik a definíció. 3.. Definíció. Legyen X egy tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egy : X X X és egy : R X X művelet a következő tulajdonságokkal:. x y = y x x,y X. (x y) z = x (y z) x,y,z X 3. Létezik nullelem (nullvektor), azaz olyan X X elem, amelyre x X = x x X 4. Minden x X elemhez létezik ellentett, azaz olyan elem (jelölje x), amelyre x ( x) = X, ahol X a 3. tulajdonság szerini nullvektor. 5. λ (x y) = (λ x) (λ y) x,y X és λ R 6. (λ+µ) x = (λ x) (µ x) x X és λ,µ R 7. λ (µ x) = (λ µ) x = µ (λ x) x X és λ,µ R 5

6 FEJEZET 3. VEKTORTÉR, LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK Ekkor az (X,, ) rendezett hármast vektortérnek (VT) nevezzük (R felett), az X elemeit pedig vektoroknak nevezzük. Figyelem, a művelet nem a vektortér elemei közt van értelmezve! Ha (X,, ) egy vektortér, akkor előfordulhat, hogy az X halmaz valamely részhalmaza maga is vektorteret alkot ugyanazon műveletekkel. 3.. Definíció. Legyen Y X. Azt mondjuk, hogy az (X,, ) vektortérnek altere (Y,, ), ha (Y,, ) vektortér. Belátható: ahhoz, hogy egy vektortér részhalmazáról eldöntsük, hogy maga is vektortér-e ugyanazon műveletekkel, azaz alteret kaptunk-e, elég a két műveletre való zártságot ellenőrizni. Ha ugyanis ez teljesül, akkor a hét műveleti tulajdonság a részhalmazon automatikusan teljesül. A továbbiakban összegyűjtjük azokat a legfontosabb fogalmakat, amelyeket vektortérben értelmezünk. 3.3. Definíció. Legyen (X,, ) egy tetszőleges vektortér. Az x,x,...x n (x i X, i =...n) vektorok lineáris kombinációjának nevezzük az (α x ) (α x )... (α n x n ) X, α i R, i =,,...,n alakú vektort. Azt mondjuk, hogy az {x,x,...x n } = F X halmaz vektorai lineárisan függetlenek, ha (α x ) (α x )... (α n x n ) = X α i =, i =,,...,n. A {x,x,...x k } = G X halmaz vektorait az (X,, ) vektortér generátorrendszer ének nevezzük, ha X minden eleme előállítható G elemeinek lineáris kombinációjaként. Értelmezni lehet végtelen sok vektor függetlenségét, illetve generátorrenszer mivoltát, de mi ezt itt nem tesszük meg, így vektortér dimenzióját is csak véges esetre definiáljuk. Ezeknek a fogalmaknak a kiterjesztését lásd [7]. 3.4. Definíció. Lineárisan független generátorrendszert bázisnak nevezünk. 3.. Lemma. Vektortérben minden bázis azonos elemszámú. Így értelmes a következő definíció.

3.. FELADATOK 7 3.5. Definíció. Az (X,, ) vektortér dimenziójának nevezzük a benne lévő bázisok elemszámát. Jelölése: dimx. 3.6. Definíció. Legyen (X,, ) és (X,, ) két vektortér. Az f : X X függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha igaz rá a következő két tulajdonság:. f(x x ) = f(x ) f(x ) x,x X,. f(λ x) = λ f(x) x X, λ R. Az X X képező lineáris leképezések halmazát Hom(X,X ) jelöli. Ha X = X = X, akkor a Hom(X) jelölést alkalmazzuk. Belátható, hogy egy f : R n R m leképezés pontosan akkor lineáris, ha az jelöléssel f(x,x,...,x n ) = (y,...y m ) y = a x +a x +...+a n x n y = a x +a x +...+a n x n. y m = a m x +a m x +...+a mn x n alakú, ahol a ij, i =,,...,m, j =,,...,n rögzített valós számok. Másképpen, f(x,x,...,x n ) = A (x,x,...,x n ) T, ahol A R m n (m-szer n-es mátrix). A későbbiekben - ha egyértelmű, hogy milyen műveletekkel - akkor használjuk a rövidített Legyen X egy vektortér... kifejezést, illetve a körülményes, műveleti jelek helyett sima +, jeleket fogunk használni, amennyiben ez nem okoz félreérthetőséget. 3.. Feladatok A, VT alapfogalmai. Lássuk be, hogy R n ; R[x]; C[a,b] (R felett) VT! Hány dimenziós R n? (Adjunk meg egy bázist.). Lineárisan függetlenek-e az alábbi függvények a C[, π] VT-ben? a, f (x) = sinx, f (x) = cosx b, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f 3 (x) = c, f (x) = e x, f (x) = e x d, f (x) =, f (x) = x e, f (x) =, f (x) = x,..., f n (x) = x n f, f (x) = 3sin( π +x), f (x) = cosx 3. Alteret alkotnak-e K[x]-ben a

8 FEJEZET 3. VEKTORTÉR, LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK a, tizedfokú polinomok, b, legalább tizedfokú polinomok, c, legfeljebb tizedfokú polinomok? Ha igen, határozzuk meg, hogy hány dimenziós az altér (egy bázis megadásával). B, VT: lineáris leképezések. Tekintsük az alábbi R R operátorokat (leképezéseket): i, identitás ii, tükrözés az origóra iii, tükrözés az x = egyenesre iv, tükrözés az x = egyenesre vi, x-tengelyre vetítés viii, eltolás az (,) vektorral v, origó körüli forgatás α szöggel vii, origóból kétszeres nagyítás ix, (x,y) (x+y,y) a, Melyek lineárisak? Ha lineáris, mi a mátrixa a szokásos bázisban? b, Mik a sajátértékeik és sajátvektoraik?. Lineárisak-e a következő X Y operátorok? (Ahol X, Y adott VT-ek.) a, X = C [,π], Y = C[,π], Df = f ; b, X = C[a,b], Y = R, Rf = b a f(x) dx ;

3.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 9 3.3. Megoldások Eredmények Útmutatások 3.3.. Megoldások A//c, Az f (x) = e x és f (x) = e x függvények lineárisan függetlenek. Ehhez meg kell mutatnunk, hogy az αe x + βe x = egyenlőség minden x [,π] pontban csak akkor áll fenn, ha α = β =.. Az x = pontban csak akkor áll fenn, ha αe +βe =, azaz α+β =.. Az x = pontban csak akkor áll fenn, ha αe+βe =. már a fenti két pontban egyszerre is csak úgy állhat fenn az egyenlőtlenség, ha α és β megoldása az α + β = ; αe + βe = egyenletrendszernek. Ennek a rendszernek pedig egyetlen megoldása: α =, β =. A/3/ab, Nem, x x =, ami nem tizedfokú. A/3/c, Igen, mert zárt a műveletekre. dimenziós, mert {,x,x,...,x } egy bázis benne. B//a, iii, Az x = egyenesre való tükrözés az f(x,y) = ( x,y) leképezést jelenti. Ez lineáris, mivel. f((x,y ) + (x,y )) = f(x + x,y + y ) = ( (x + x ),y + y ) = ( x,y )+( x,y ) = f(x,y )+f(x,y ) teljesül (x,y ), (x,y ) R esetén, illetve. f(λ(x,y)) = f(λx,λy) = ( λx,λy) = λ( x,y) = λf(x,y) teljesül (x,y) R és λ R esetén. ( ) Mátrixa: A =. iv, Nem lineáris, mivel a (,) vektort nem a (,)-ba, hanem a (,)-ba viszi át. vi, Az x tengelyre való vetítés az f(x,y) = (x,) leképezést jelenti. Ez lineáris, mivel. f((x,y )+(x,y )) = f(x +x,y +y ) = (x +x,) = (x,)+(x,) = f(x,y )+f(x,y ) teljesül (x,y ), (x,y ) R esetén, illetve. f(λ(x,y)) = f(λx,λy) = (λx,) = λ(x,) = λf(x,y) teljesül (x,y) R és λ R esetén. ( ) Mátrixa: A =. viii, Az (,) vektorral való eltolás az f(x,y) = (x,y)+(,) = (x+,y) leképezés. Ez nem lineáris, mivel f((x,y )+(x,y )) = (x +x +,y +y ) f(x,y )+ f(x,y ) = (x +,y ) + (x +,y ) = (x + x +,y + y ). Másképp: f((,)) = (,) (,).

fejezet 4 Normált tér Kulcsszavak: normált tér, norma, ekvivalens normák, konvergens sorozat, Cauchy-sorozat, Banach-tér 4.. Elméleti összefoglaló A síkvektorok fontos tulajdonsága a hosszúságuk (nagyságuk). Viszont egy tetszőleges vektortér absztrakt vektorai estén nekünk kell megmondani, hogy mit is értünk hosszúságon, ezt a célt szolgálja a norma fogalma. Azokat a vektortereket, ahol értelmezve van ez a fogalom, normált térnek nevezzük. Mivel a hossz fogalma szoros kapcsolatban van a távolság fogalmával, így a normált teret tekinthetjük úgy is mint egy vektortér, ami egyben metrikus tér is. A következőkben végiggondoljuk, hogy miképpen érdemes bevezetni a norma fogalmát. Ahhoz, hogy egy tetszőleges vektortérben értelmezhessük az elemek hoszúságát, gondoljuk meg, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik a síkvektorok hagyományos értelemben vett (Pitagorasz-tétellel számított) hosszúsága (euklideszi hosszúság).. A hosszúság mindig nemnegatív, és csak akkor, ha a nullvektorról van szó.. Két vektor összegének hossza nem lehet hosszabb, mint az összeadandók hosszának az összege. 3. Ha egy vektort λ R számmal szorzunk, akkor a vektor hossza λ -szorosára változik. Ezen alapul a normált tér definíciója. 4.. Definíció. Legyen X vektortér R felett. X-beli normán olyan : X R + függvényt értünk, amely tetszőleges x,y,z X vektorokra és λ R számra eleget tesz az alábbi követelményeknek:. x = x = X,. λx = λ x, 3

3 FEJEZET 4. NORMÁLT TÉR 3. x + y = x + y (háromszög-egyenlőtlenség). Ekkor az (X, ) rendezett párt normált térnek (NT), az x R + vektor normájának nevezzük. számot pedig az x Egy X vektortéren általában többféleképpen is definiálhatunk normát. 4.. Definíció. Az a és b normát ekvivalens normáknak nevezzük, ha léteznek olyan c,c pozitív konstansok, hogy c x a x b c x a minden x X esetén. Ekkor természetesen léteznek olyan d,d pozitív konstansok is, amelyek mellett d x b x a d x b minden x X esetén, hiszen d = c és d = c mellett fennáll az összefüggés. Megjegyezzük, hogy véges dimenziós vektortérben minden norma ekvivalens. Az (X, ) normált téren a d(x,y) = x y függvény metrikát definiál, így a konvergens sorozat és a Cauchy-sorozat fogalma átvihető normált térre is. 4.3. Definíció. Az (X, ) normált térbeli (x n ) sorozat konvergens, ha a X, amelyre ε > N N, hogy n N esetén x n a < ε. (Ez másképpen az x n a számsorozat nullához tartását jelenti.) Cauchy-sorozat, ha ε > N N, hogy n,m N esetén x n x m < ε. Metrikus terek mintájára itt is megkülönböztetjük a teljes normált tereket. 4.4. Definíció. Az (X, ) normált tér Banach-tér (BT), ha teljes, vagyis ha minden Cauchy-sorozata konvergens. 4.. Feladatok A, norma, NT. Tekintsük R -et, mint R feletti vektorteret. Normát definiálnak-e a következő hozzárendelések? a, (x,x ) x + x ; b, (x,x ) x.. Mutassuk meg, hogy NT! a, (R n, k ),k =,,, ahol x k = ( n i= x i k) k, illetve x = max x i ;

4.. FELADATOK 33 b, (C[a,b], ), ahol f = sup x [a,b] f(x) ; (C[a,b], ), ahol f = b a f(x) dx, (a < b). B, norma, ekvivalens normák. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges NT minden x, y elemére teljesül az alábbi egyenlőtlenség! x y x y.. Bizonyítsuk be, hogy minden x R n -re teljesül, hogy a, x x n x ; b, x x n x ; c, x x n x! 3. Lássuk be, hogy a C[a,b] VT-en és nem ekvivalens normák! C, konvergencia, véges dimenzió, Banach-tér. Konvergensek-e az (R, ) NT-ben a következő sorozatok? a, (( n, n)) 3 ; b, (( n,n)) ; c,. BT-e? (( sinn n, n n + )). a, (R n, k ), k =,, ; b, (C[a,b], ); c, (C[a,b], ).

34 FEJEZET 4. NORMÁLT TÉR 4.3. Megoldások Eredmények Útmutatások 4.3.. Megoldások A//a, A k = eset: max i {,...,n} x i x R n, és = x i = i {,,...,n}. max i {,...,n} λx i = max i {,...,n} ( λ x i ) = λ max i {,...,n} x i x R n, λ R. max i {,...,n} (x + y) i = max i {,...,n} x i + y i max i {,...,n} ( x i + y i ) max i {,...,n} x i + max i {,...,n} y i x,y R n, ahol a második lépésben felhasználtuk az (R, ) NT-beli háromszög-egyenlőtlenséget. A//b, (C[a,b]), )-re mutatjuk meg. max [a,b] f f C[a,b] és= f =. (Ha f nem lenne minden pontban nulla, akkor f maximuma pozitív lenne.) max [a,b] λf = max [a,b] ( λ f ) = λ max [a,b] f f C[a,b], λ R. max [a,b] f+g max [a,b] ( f + g ) max [a,b] f +max [a,b] g f,g C[a,b]. Az első lépésben azt használtuk ki, hogy ha minden x [a,b] helyen igaz f(x)+g(x) f(x) + g(x) ( ami persze igaz, (R, ) NT-beli háromszögegyenlőtlenség), akkor a maximumukra is igaz az egyenlőtlenség. B//a, max i {,...,n} x i n i= x i n max i {,...,n} x i, hiszen egyetlen koordináta abszolút értéke nem lehet nagyobb, mint az összes koordináta abszolút értékének az összege, és az utóbbi nem lehet nagyobb, mint a legnagyobb tag szorozva a tagok számával. C//a, A sorozatot lásd a 4..a ábrán. Három megoldást mutatunk. Tart a (,)-hoz, ugyanis ( 3 n. n, 3 n ) (,) = ( ( n, n) 3 ( = n) + 3 n) = Mivel R véges dimenziós, így rajta minden norma ekvivalens. A konvergenciát vizsgálhatjuk tetszőleges (az eredetivel ekvivalens) norma szerint. Válasszuk a normát! Ekkor ( n, 3 n ) (,) = sup { n, 3 n } = 3 n. A véges dimenziót kihasználva, elegendő a koordináta-sorozatok konvergenciáját vizsgálni. Tehát konvergens, mivel koordinátánként konvergens: ( ( n), 3 ) (( n n, 3 )) n (,). C//b, Nem konvergens, mert a második koordinátasorozata nem az (lásd 4..b ábra): (n) +.

4.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 35 C//c, A sorozatot lásd a 4..c ábrán. Konvergens, mivel koordinátánként konvergens: ( sinn ) ( n ((sinn) korlátos, ) ( ) n ), n n + (osszuk a számlálót és a (( )) nevezőt is n -tel) sinn n, n (,) n + yn 3 a n = 3 n = 5 n = 7 n = 9 x n n = b n = 9 n = 7 5 n = 5 n = 3 n =.5.5 x n.5 c n = 5 n = 9 n = 3 n =.5.5 x n 4.. ábra. a) 4/C//a feladat, b) 4/C//b feladat, c) 4/C//c feladat. 4.3.. Útmutatások A//a, Igen. A//b, Nem, mert sérül az első normatulajdonság. B/ Tudjuk, hogy a + b a + b. Először a := x y, b := y, majd a := y x, b := x.

fejezet 5 NT: Folytonos lineáris leképezések Kulcsszavak: folytonos leképezés, folytonos lineáris leképezés, korlátos leképezés, 5.. Elméleti összefoglaló A normált terek között ható leképezések differenciálszámításában szükségünk lesz a folytonos lineáris leképezés fogalmára. 5.. Definíció. Legyenek X,Y normált terek. Az A : X Y leképezés folytonos az x X pontban, ha minden ε > számhoz δ >, hogy x x X < δ esetén Ax Ax Y < ε. Az A : X Y leképezés folytonos, ha x X-ben folytonos. Belátható, hogy egy lineáris leképezés pontosan akkor folytonos, ha folytonos a X - ben. Az X Y képező folytonos lineáris leképezések halmazát Lin(X, Y) jelöli. Ha X = Y, akkor a Lin(X) jelölést alkalmazzuk. Ha X véges dimenziós, akkor Hom(X) = Lin(X), vagyis ebben az esetben egy lineáris leképezés mindig folytonos is. Így tehát speciálisan minden R R lineáris leképezés automatikusan folytonos is. 5.. Definíció. Egy A : X Y leképezést korlátosnak nevezünk, ha korlátos halmazt korlátos halmazba visz. 5.. Lemma. Az A : X Y lineáris leképezés korlátos, ha létezik K konstans, melyre Ax Y K x X teljesül x X-re. 5.. Tétel. Egy lineáris leképezés pontosan akkor folytonos, ha korlátos. Belátható, hogy a Lin(X, Y) halmaz a pontonkénti összeadás és skalárral való szorzás műveletével ellátva vektorteret alkot. Ezen a vektortéren is értelmezhetünk normát a következőképpen: 37

38 FEJEZET 5. NT: FOLYTONOS LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK 5.3. Definíció. Az A Lin(X, Y) leképezés (indukált) normáján az valós számot értjük. Ax Y A := sup x X,x x X Megmutatható, hogy Ax Y A = sup = sup Ax Y. x X,x x X x X, x = Illetve A = inf{k > : ahol K az 5.. lemma szerinti állandó.} Az A norma tehát a lehetséges legnagyobb nyújtás mértékét fejezi ki. 5.. Feladatok A, linearitás, folytonosság, korlátosság. Lássuk el R -t a normával. A 3.Gy/B/ feladat operátorai közül melyek korlátosak illetve melyek folytonosak?. Vizsgáljuk meg a következő X Y operátorokat, ahol X,Y NT-ek, hogy lineárisak, korlátosak illetve folytonosak-e? a, X,Y tetszőleges NT, b Y, Ax = b; b, X = Y = (R, ),Ix = x ; c, X = Y = (C[a,b], ), Af = af, ahol a C[a,b] rögzített; d, X = (C [,π], ), Y = (C[,π], ), Df = f ; e, X = (C[a,b], ), Y = (R, ), Rf = b a f(x) dx ; f, X = (C[,], ), Y = (R, ), Sf = sup x [,] f(x); B, operátornorma g, X = (C[,], ), Y = (R, ), Nf = f().. Amelyik az A/ rész példái közül folytonos lineáris, ott határozzuk meg a leképezés normáját. C, mátrixnorma. Az alábbi esetekben hogyan határozhatjuk meg egy lineáris leképezés normáját, ha adott a mátrixa? a, A : (R m, ) (R n, ); b, A : (R n, ) (R n, ); c, A : (R n, ) (R n, );

5.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 39 5.3. Megoldások Eredmények Útmutatások 5.3.. Megoldások A//a, A akkor és csak akkor lineáris, ha b =. Ugyanis. b = A(x +x ) = A(x )+A(x ) = b+b b = ; illetve. b = A(λx) = λa(x) = λb b =. A korlátos, ugyanis minden korlátos halmaz (sőt, minden halmaz) képe az egyelemű {b} halmaz, ami korlátos (mert minden elemére teljesül, hogy a normája K := b ). A folytonos. Ehhez azt kell megmutatnunk, hogy bármely x X és ε > esetén δ > : Ax Ax Y < ε, ha x x X < δ. A δ = választás jó lesz, hiszen Ax Ax Y = b b Y =. Ha b =, akkor az A (azonosan ) leképezés normája: A = sup Ax Y = sup Y =. x X = x X = A//b, Vegyük észre, hogy ez a megszokott f : R R, f(x) = x függvény! I lineáris, ugyanis. I(x +x ) = x +x = I(x )+I(x ); illetve. I(λx) = λx = λi(x). I folytonos, hiszen a NT-ek beli folytonosság definíciójának speciális eseteként kapjuk az elsőben tanult folytonossági definíciót, akkor pedig beláttuk, hogy az identitás folytonos leképezés (δ := ǫ). I korlátos, mert lineáris és folytonos. Figyelem, az két különböző fogalom, hogy korlátos egy leképezés, illetve hogy korlátos értékkészletű! Az I leképezés normája: I = sup Ix Y = sup x =. x X = x = A//d, D lineáris leképezés, mivel f,g C [,π] és λ R esetén. D(f +g) = (f +g) = f +g = Df +Dg illetve. D(λf) = (λf) = λf = λdf. D nem korlátos, mert van olyan halmaz, ami korlátos, de a képe nem az. Tekintsük ugyanis az f n (x) = sinnx,n N + függvények halmazát. Ez a halmaz korlátos, mivel f n = max [,π] sinnx =. Viszont Df n = f n = ncosnx = max [,π] ( ncosnx ) = n. D tehát ezt a korlátos halmazt nem korlátosba viszi át D nem korlátos. D nem folytonos, mert lineáris és nem korlátos. A//f, S nem lineáris, ugyanis legyen pl. f(x) = x és g(x) = x. Ekkor S(f +g) = S(x x) = S() = sup [,] () = Sf + Sg = sup [,] x + sup [,] ( x) = + =.

4 FEJEZET 5. NT: FOLYTONOS LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK A//g, S korlátos, ugyanis minden korlátos halmaz képe korlátos. Ennek igazolásához tekintsünk egy H C[, ] tetszőleges korlátos halmazt. Ez azt jelenti, hogy K R + : f H-ra f = sup [,] f K teljesül. Következésképpen K sup [,] f sup [,] f = Sf is teljesül, viszont ez éppen a halmaz képének korlátosságát jelenti. S folytonos. Ehhez azt kell megmutatnunk, hogy bármely f C[,] és ε > esetén δ > : Sf Sf = sup [,] f sup [,] f < ε, ha f f X = sup [,] f f < δ (f C[,]). δ := ε választás jó lesz, hiszen sup [,] f sup [,] f sup [,] f f. N lineáris, ugyanis f,g C[,] és λ R esetén. N(f + g) = (f + g)() = f() + g() = Nf + Ng, illetve. N(λf) = (λf)() = λf() = λnf. N korlátos, ugyanis ha H C[,] korlátos halmaz, akkor K R + : sup [,] f K. Ekkor f() K H képe is korlátos. Mivel N lineáris és korlátos, így folytonos is. N normája: N = sup f X,f Nf Y f X = sup f C[,],f Nf sup [,] f = sup f C[,],f f() sup [,] f =, ugyanis a hányados minden f C[,] függvényre nyilván kisebb, mint, és egy olyan f függvényre a legnagyobb, amelyre f a szupremumát a -ban veszi fel (pl. az azonosan függvény a [,] intervallumon), ebben az esetben pedig a hányados és így a szuprénum is.

fejezet 6. minta zárthelyi. Metrikát definiálnak-e R-en? (+3 p) a, d a (x,y) = xy ; b, d b (x,y) = {, ha x = y x + y, ha x y.. Tekintsük az (R, ) MT-et és benne a következő halmazt: H = {( ) n : n N} (,). Adjuk meg a torlódási, belső, külső és határpontjainak halmazát, döntsük el, hogy nyílt-e, zárt-e a halmaz! Itt elegendő az eredményt megadni, indoklás nem szükséges! (6 p) 3. Szeretnénk közelíteni az x = e x egyenlet megoldását. Mi a teendő, ha szeretnénk garantálni, hogy a hiba kisebb legyen, mint 3? (6 p) 4. Tekintsük R -et, mint R feletti vektorteret. Normát definiálnak-e a következő hozzárendelések? (3+ p) a,(x,x ) x + x ; b,(x,x ) x +x. 5. Konvergensek-e az (R, ) NT-ben a következő sorozatok? (.5+.5 p) a, (( n, ( )n n )); b, ((( ) n,)). 6. Tekintsük a következő hozzárendeléssel megadott R R operátorokat: (3+3+ p) i,(x,x ) (x +x,x +x ); ii,(x,x ) (,). a, Lineárisak-e? b, Ha igen, mik a sajátvektorai és hozzá tartozó sajátértékei? Mi a mátrixa a szokásos bázisban? Itt elegendő az eredményt megadni, indoklás nem szükséges! c, R -et ellátjuk a normával. Amelyik leképezés lineáris, ott adjuk meg az indukált normáját! Elég rajzzal indokolni! 7. Vizsgáljuk meg a következő X Y ahol X,Y NT-ek operátorokat, hogy lineárisak, korlátosak illetve folytonosak-e? Ha korlátos és lineáris, akkor mi a normája? (3+5 p) a, X = Y = (R, ), f(x) = x ; b, X = ({(x n ) : limx n }, ), ahol (x n ) = sup{ x n : n N + }, Y = (R, ), L(x n ) = limx n. 4

fejezet 7 NT: határérték, folytonosság Kulcsszavak: határérték, folytonosság, átviteli elv, parciális deriváltak 7.. Elméleti összefoglaló Kiterjesztjük a határérték és a folytonosság fogalmát normált térből normált térbe képező függvényekre. 7.. Definíció. Legyenek X és Y normált terek, D(f) X, f : D(f) Y, és x D(f). Ekkor az a Y elem az f függvény x -beli határértéke, ha ε > számhoz δ >, hogy x D(f) és x x X < δ esetén f(x) a Y < ε. Jelölése: lim x f. 7.. Definíció. Legyenek X ésy normált terek, D(f) X,f : D(f) Y, ésx D(f). Az f függvény folytonos az x pontban, ha ε > számhoz δ >, hogy x D(f) és x x X < δ esetén f(x) f(x ) Y < ε. Ezen két fogalom kapcsolatát a következő lemma írja le. 7.. Lemma. Legyenek X és Y normált terek, D(f) X, f : D(f) Y és x D(f) D(f). Ekkor f pontosan akkor folytonos az x -ban, ha létezik x -ban határértéke, és az egyenlő az f(x ) helyettesítési értékkel. A határérték vizsgálatában sok esetben jól használható az alábbi tétel (ún. átviteli elv), amely a függvény határértékének a vizsgálatát visszavezeti sorozatok határértékeinek vizsgálatára. 7.. Tétel. Legyenek X és Y normált terek, D(f) X, f : D(f) Y és x D(f). Ekkor a következő két állítás ekvivalens.. lim x f = a.. limf(x n ) = a teljesül (x n ) sorozatra, melyre x n D(f), x n x és limx n = x. 43

44 FEJEZET 7. NT: HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG Legyenek X és Y normált terek. Ekkor bevezetjük a következő jelölést: D(f) X, f : D(f) Y, helyett röviden csak f : X Y -t fogunk írni. Ha f : R n R, akkor az egyváltozós függvények deriváltját általánosítva értelmezzük az ún. parciális deriváltakat. Speciálisan, legyen f : R R, és (x,y ) belső pontja D(f)-nek. Ekkor, ha a rögzített y = y pont esetén létezik és véges a f(x,y ) f(x,y ) lim, x x x x határérték, illetve a rögzített x = x pont esetén létezik és véges a f(x,y) f(x,y ) lim y y y y határérték, akkor ezeket az f függvény (x,y ) pontbeli, x ill. y változó szerinti parciális deriváltjainak nevezzük. (Hasonlóan, ha f : R n R, akkor az x i változó szerinti parciális derivált értelmezéséhez a függvény összes többi változóját rögzítjük.) Jelölésük: f x (x,y ) ill. f y (x,y ). A parciális deriváltak azt mutatják meg, hogy az (x,y ) pontban az x ill. az y tengellyel párhuzamos irány mentén milyen meredek a függvény. Ha egy T D(f) tartományban léteznek a parciális deriváltak, akkor azt a függvényt, amely minden (x,y) T ponthoz hozzárendeli az x (ill. y) szerinti parciális deriváltat, az f függvény x (ill. y) szerinti parciális deriváltfüggvényének nevezzük. Amennyiben ezek is parciálisan differenciálhatók, képezhetjük mindkét változó szerint újabb parciális deriváltjaikat. Így a másodrendű parciális deriváltakat kapjuk. Ezek jelölése: f x x =: f f x, y x =: f y x, f x y =: f x y, f y y =: f y A középsők az ún. vegyes parciális deriváltak. 7.. Feladatok A, NT: függvények határértéke. Lássuk el R -et az euklideszi normával és R-t pedig az normával. Van-e határértéke az alábbi f : R \{(,)} R függvényeknek a (,) pontban? a, f(x,y) = xy x +y ; b, f(x,y) = x y x +y ; c, f(x,y) = x y x +y. B, NT: folytonosság (linearitás nélkül). Lássuk elr -et az euklideszi normával ésr-t pedig az normával. Folytonosake az alábbi f : R R függvények a (,) pontban? a, f(x,y) = {, ha (x,y) = (,), xy x 3 +y 3, egyébként;

7.. FELADATOK 45 b, f(x,y) = {, ha (x,y) = (,), xy x +y 4, egyébként;. Lássuk elr -et az euklideszi normával ésr-t pedig az normával. Folytonos-e az alábbi f : R R függvény az (,) pontban? {, ha (x,y) = (,), f(x,y) =, egyébként. C, NT: parciális deriváltak (x )(y ) (x ) +(y ). Határozzuk meg az alábbi R R, illetve R 3 R függvények parciális deriváltjait! a, f(x,y) = x 3 +y 3 3xy ; b, g(x,y) = x y, (x R + ); c, h(x,y,z) = x yz, (x,y R + ); d, k(x,y) = arcsin x y.. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvénynek léteznek a parciális deriváltjai a (,) pontban, pedig láttuk, hogy nem folytonos ott (lásd A//a,)! {, ha (x,y) = (,), f(x,y) =, egyébként. xy x +y 3. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvény vegyes parciális deriváltjai megegyeznek! f : R R, f(x,y) = ln(x+e y ), (x R + ). 4. Számítsuk ki a következő parciális deriváltakat! a, 3 x y (xlnxy); b, 3 x y z (exyz ). 5. Tekintsük a v : R 3 R, v(x,y,z) = (x + y + z ) függvényt! Igazoljuk, hogy v = v + v + v =! x y z

46 FEJEZET 7. NT: HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG 7.3. Megoldások Eredmények Útmutatások 7.3.. Útmutatások A//a, Nincs, közeledjünk mx egyenesek mentén, vagy térjünk át polárkoordinátákra (7..a ábra). A//b, Van, térjünk át polárkoordinátákra (7..b ábra). A//c, Nincs, közeledjünk mx egyenesek mentén, vagy térjünk át polárkoordinátákra (7..c ábra). 7.. ábra. a) 7/A//a feladat, b) 7/A//b feladat, c) 7/A//c feladat. B//a, Nem, térjünk át polárkoordinátákra (7..a ábra). B//b, Nem, közeledjünk x mentén, vagy térjünk át polárkoordinátákra (7..b ábra). B/ Alkalmazzuk a következő helyettesítést: z := x, w := y és utána lásd A//a (7..c ábra). 7.. ábra. a) 7/B//a feladat, b) 7/B//b feladat, c) 7/B/. feladat. C/ Lásd 7.3. ábra.

7.3. MEGOLDÁSOK EREDMÉNYEK ÚTMUTATÁSOK 47 a b c 4 5 5 5 y 5 5 x y 5 x 5 5 y 5 5 x 5 7.3. ábra. a) 7/C//a feladat, b) 7/C//b feladat, c) 7/C//d feladat. C/3 Lásd 7.4. ábra..5.5.5 y.5.5 x.5 7.4. ábra. 7/C/3. feladat.

fejezet 8 NT: differenciálszámítás I. Kulcsszavak: kisrendű függvény, differenciálhatóság, derivált, Jacobi-mátrix, érintő 8.. Elméleti összefoglaló A derivált fogalmát kiterjesztjük tetszőleges normált térből normált térbe képező függvényekre. Vegyük észre, hogy a valós függvények deriváltjának f (x ) = lim x x f(x) f(x ) x x definíciója nem vihető át egy az egyben f : X Y függvényekre, ahol X és Y tetszőleges normált terek, ugyanis normált terekben nem értelmeztük az osztás műveletét. Egy valós f függvény x -beli deriváltjának létezése azonban ekvivalens a következővel: a R : f(x) f(x ) a(x x ) x x, ha x x. Ezt az a számot az f függvény x -beli deriváltjának nevezzük, és az f (x ) szimbólummal jelöljük. Kicsit másképpen megfogalmazva, létezik olyan a valós szám, amelyre az r(x) := f(x) f(x ) a(x x ) függvény a) értelmezve van x egy környezetében, b) r(x ) =, r(x) és c) lim x x x x =. Azaz a R, hogy x valamely K(x ) környezetében f(x) f(x ) = a(x x ) + r(x), ahol r x -ban rendelkezik a fenti a), b) és c) tulajdonsággal (ún. x -ban kisrendű függvény). A fenti észrevétel lehetőséget ad a derivált fogalmának kiterjesztésére. 8.. Definíció. Legyenek X és Y normált terek. Az r : X Y függvény kisrendű az x X pontban, ha a) r értelmezve van x egy K(x ) környezetében; b) r(x ) = ; c) lim x x r(x) x x =. 49