B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
Tartalom
A folytonosság fogalma Pontbeli folytonosság Pontbeli féloldali folytonosság Folytonosság Folytonos kiterjesztés Intervallumon való folytonosság Bolzano tétel Weierstrass-tétel Összefoglalás 2
A folytonosság fogalma
A folytonosság fogalma Pontbeli folytonosság
D Pontbeli folytonosság A valós f függvény D(f) értelmezési tartományának egy c pontjában folytonos, ha ε > 0 δ > 0 D(f) [ c < δ f() f(c) < ε ]. D Szakadási hely c az f szakadási pontja/helye, ha f a c-ben nem folytonos (de azért a definíció szerint ott értelmezve van). D Megszüntethető, ugrás, lényeges szakadási hely c megszüntethető szakadási helye/pontja f-nek, ha lim c létezik, de lim f f(c). c f c ugráshelye f-nek, ha lim f és lim f határértékek végesek, de c c + különbözők. A többi szakadási hely neve: lényeges szakadási hely. 3
y f f(c) + ε f(c) f() f(c) ε c 4
Különböző terminológiai elnevezések használatosak, mi nem fogjuk szakadási helynek nevezni azt, ahol f nincs értelmezve. D D Hézagpont c hézagpontja f-nek, ha létezik lim f, de f nincs értelmezve c c-ben. (Pl. 2 1 1 -nek hézagpontja van az = 1 pontban.) Pólus c pólusa f-nek, ha lim c + pólusa van az = 2 pontban.) f = ± és lim c f = ±. (Pl. 2 1 2 -nek 5
+ 1 y 2 1 ha 1 1 1 ha = 1 y 2 1 1 y folytonos megszüntethető szakadás hézagpont (szingularitás) 6
{ 0 ha < 0 e : 1 ha 0 y { 1/ ha 0 0 ha = 0 y { sin( 1 ) ha 0 0 ha = 0 y e g ugráshely pólus (szakadás) y lényeges szakadás 1 pólus (szingularitás) 7
P Dirichlet-függvény Az 1 ha Q, f() = 0 különben függvénynek R minden pontja szakadási pontja. 8
P Thomae-, Riemann-, popcorn, Stars over Babylon függvény 1 q ha Q, = p q f() = 0 különben egyszerűsített alak, q > 0, folytonos minden irracionális pontban, és megszüntethető szakadása van a racionális pontokban. Thomae-függvény [0, 1] intervallum fölötti része Ábra forrása: Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/thomae%27s_function 9
A folytonosság fogalma Pontbeli féloldali folytonosság
D Jobb oldali folytonosság A valós f függvény értelmezési tartományának egy c pontjában jobbról folytonos, ha ε > 0 δ > 0 [ 0 c < δ f() f(c) < ε ]. D Bal oldali folytonosság A valós f függvény értelmezési tartományának egy c pontjában balról folytonos, ha ε > 0 δ > 0 [ 0 c < δ f() f(c) < ε ]. 10
T Folytonosság elégséges feltétele Ha létezik lim c f, és lim c f = f(c), akkor f folytonos c-ben. Á Á P Ha létezik lim f, és lim f = f(c), akkor f jobbról folytonos c-ben. c + c + Ha létezik lim f, és lim f = f(c), akkor f balról folytonos c-ben. c c A valószínűségi változók eloszlásfüggvénye balról folytonos, ha a F X () = P(X < ) képlettel definiáljuk. 11
A folytonosság fogalma Folytonosság
D Á Definíció f folytonos, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Állítás Az f : [a, b] R függvény pontosan akkor folytonos, ha az [a, b] intervallum minden belső c pontjában lim c az a végpontban lim f = f(a), a + a b végpontban lim f = f(b). b f = f(c), 12
D Definíció Az f függvény folytonos az I itervallumon, ha az I intervallumra megszorított f I függvény folytonos. y y f g f nem folytonos 1-ben és 1-ben, g folytonos e pontokban, így az f [ 1,1] megszorítás is. 13
Á P Állítás Minden polinom és minden racionális törtfüggvény (két polinom hányadosa) folytonos függvény. Példa 5 4 2 + 100, 1, 2 1 folytonos függvények! (Mert 1 értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak) 2 1 1 y 1 y 14
T Tétel Ha g folytonos a c pontban, f pedig az g(c) pontban, akkor f g folytonos c-ben. f(g(c)) = (f g)(c) f g(c) g c f g 15
P Példa, 3 + 1 4 4 folytonos 3 + 1 folytonos függvények 4 4 P P Példa 3 + 1 4 4, folytonos függvények 3 + 1 4 4 folytonos Példa, 4 2 folytonos függvények 4 2 folytonos 16
A folytonosság fogalma Folytonos kiterjesztés
D Definíció Ha f a c helyen nincs értelmezve, de létezik az L = lim c f határérték, akkor az f() ha c, F() = L ha = c függvényt az f c-re való kiterjesztésének nevezzük. 17
P Példa A sin függvény folytonosan kiterjeszthető az egész számegyenesre. y f() = sin sin ha 0, F() = 1 ha = 0. 18
Intervallumon való folytonosság
Intervallumon való folytonosság Bolzano tétel
T Bolzano-tétel Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon és f(a) és f(b) ellentétes előjelűek (f(a) f(b) < 0), akkor f-nek van zérushelye az intervallum belsejében, vagyis c (a, b) : f(c) = 0. f f(b) a f(a) c b 19
y f() 0 2 B [a, b] = I 0 I 1 I 2 zárt intervallumok: I n+1 az I n -nek az a fele, amelyiknek a két végpontján f különböző előjelű (ha f valamelyik osztópontban 0, akkor leállunk). Cantor-aióma: Egymásba skatulyázott nem üres zárt intervallumok metszete nem üres R-ben. Legyen c I 0 I 1 I 2... = J.I n hossza b a 2, ez akármilyen kis n ε > 0-nál kisebb, ha n elég nagy. J = {c}. f(c) = 0:ha f(c) = K > 0 lenne, akkor f folytonossága miatt valamely ε > 0-ra (c ε, c + ε)-re f() K 2 > 0. De valamelyik I n intervallum beleesik a c-nek ebbe a környezetébe, és annak a végpontjain f különböző előjelű. 20
T Bolzano-Darbou-tétel Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon, akkor minden f(a) és f(b) közé eső d-hez létezik olyan c, hogy f(c) = d. B Alkalmazzuk a Bolzano-tételt a g() = f() d függvényre. y y f(b) f(b) d d a c b a f(a) c b f(a) d 21
Intervallumon való folytonosság Weierstrass-tétel
D Szélsőértékek Legyen f egy valós függvény és A D(f). f-nek az A-ra nézve minimuma van a c A pontban, ha minden A esetén f(c) f(). f-nek az A-ra nézve maimuma van a c A pontban, ha minden A esetén f(c) f(). T Weierstrass-tétel Ha f az [a, b] zárt intervallumon folytonos függvény, akkor van maimuma és minimuma, vagyis c 1, c 2 [a, b], hogy minden [a, b] esetén f(c 1 ) f() f(c 2 ). 22
m I R pontosan akkor intervallum, ha a < c < b, a, b I-ből következik, hogy c I. T Következmény Intervallum képe folytonos függvénynél intervallum, korlátos zárt intervallum képe pedig korlátos zárt intervallum. 23
Összefoglalás
Összefoglalás Pontbeli folytonosság Szakadási helyek, hézagpont, folytonos kiterjesztés Pontbeli egyoldali folytonosság Folytonos függvények, egyoldali folytonos függvények Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények (Bolzano-tétel, Bolzano-Darbou-tétel, szélsőértékek definíciója, Weierstrass-tétel) 24