Fourier-transzformáció Analízis. informatikusoknak, BMETE9AX tárgyhoz Tasnádi Tamás 5. június.. Bevezetés A Fourier-sorok elméletében láttuk, hogyan bonthatunk fel egy π szerint periodikus függvényt trigonometrikus függvények diszkrét megszámlálható összegére. Itt a felhasznált trigonometrikus függvények körfrekvenciái pozitív egészek voltak. Most azt mutatjuk meg, hogyan bonthatunk fel egy tetszőleges tipikusan nem periodikus függvényt kontinuum számosságú trigonometrikus függvény folytonos összegére integráljára. Ebben a felbontásban minden valós körfrekvencia szerepel. A Fourier-transzformációnak számos alkalmazása van a jelfeldolgozásban, akusztikában, optikában, képfeldolgozásban, de segítséget nyújt közönséges és parciális differenciálegyenletek megoldásánál is. A Fourier-transzformációt több különböző függvénytéren is lehetséges definiálni, és így, bár hasonló módon definiált, mégis eltérő tulajdonságú transzformációkhoz jutunk. A precíz matematikai leírásnál általában a Lebesgueintegrálra épül a transzformáció. Mi most gyakorlati szempontból tárgyaljuk a Fourier-transzformációt, improprius Riemann-integrállal definiáljuk, és kisebb hangsúlyt fektetünk a transzformáció értelmezési tartományának és képterének pontos definiálására. Az irodalomban nagyon sok, a Fourier-transzformációhoz többé-kevésbé hasonló integráltranszformációval találkozhatunk például Laplace-transzformáció, Z-transzformáció, Wavelet-transzformáció.... Reméljük, hogy a Fouriertranszformáció megismerése szükség esetén megkönnyíti a többi integráltranszformáció megértését is.. A Fourier-integrál Először a Fourier-sorok elméletét általánosítjuk π-szerint periodikus függvényekről L periódusú függvényekre, majd formálisan végrehajtjuk az L határátmenetet, és így jutunk a Fourier-integrál formulához. Idézzük fel, hogy a {, cosnx, sinnx} n N+ függvényrendszer teljes ortogonális rendszert alkot a [, π] intervallumon folytonos függvények C[ π, π] terén a g, h π gxhx dx skaláris szorzásra nézve, és ebben a rendszerben kifejtve egy tetszőleges f függvényt, mely π szerint periodikus és egy π perióduson
Riemann-integrálható, megkapjuk a függvény Φ Fourier-sorát: ahol az együtthatókat az f Φx a + an cosnx + b n sinnx, a n π b n π π t π π t π n ft cosnt dt, n,,... ft sinnt dt, n,, 3... integrálok adják meg. { Ehhez teljesen hasonlóan megmutatható, hogy tetszőleges L > esetén az, cos π L nx, sin π L nx} függvények teljes ortogonális rendszert alkotnak n N + a C[ L, L] függvénytéren, és egy L szerint periodikus, egy periódusra integrálható f függvényt kifejtve a f Φx a + π π a n cos L nx + b n sin L nx, függvénysor adódik, ahol a n L b n L L t L L t L n π ft cos L nt dt, n,,... a π ft sin L nt dt, n,, 3... b Látható, hogy ha L, akkor az kifejtésben szereplő ω n πn L körfrekvenciák egyre sűrűsödnek, ω ω n+ ω n π L távolságuk nullához tart. Most legyen f tetszőleges intervallumon Riemann-integrálható, R-en abszolút integrálható függvény azaz fx dx <, melyről feltesszük még, hogy tetszőleges L > -ra a [ L, L] intervallumon f Φ. Az sorfejtésbe beírva a együtthatókat, majd felhasználva a cos α cos β+sin α sin β cosα β azonosságot, az fx L fx dt + L t L π n π L ω L t L nπ ft cos L ω n t x kifejezés adódik. Az L esetén az első tag nullához tart. A második tag az ω π L t L ft cos ωt x dt függvény improprius Riemann-integráljának az ω n nπ L osztópontú közelítő összege. Az L határesetben a közelítő összeget formálisan az integrállal helyettesítve az fx ft cos ωt x dt dω 3 π ω t dt
formula adódik. Innen két úton is érdemes továbbhaladni. Egyrészt, újra alkalmazva fordított irányban a cos ωt x cosωt cosωx + sinωt sinωx trigonometrikus összefüggést, adódik, ahol fx ω aω cosωx + b ω sinωx dω a ω π t ft cosωt dt, b ω π t ft sinωt dt. Ez jól láthatóan az és formulák folytonos megfelelője. Másrészt, vegyük észre, hogy cos ωt x páros, sin ωt x pedig páratlan függvénye ω-nak, tehát fx π π ω ω ft cos ωt x dt dω, t ft sin ωt x dt dω. t 4a 4b A 4a egyenletben ω-ra a [, ] intervallum helyett [, ]-re integráltunk, és az eredményt osztottuk -vel. A 4a egyenletből kivonva a 4b egyenlet i-szeresét, egyszerű átalakítás után azt kapjuk, hogy fx π ω e iωx t e iωt ft dt dω. 5 Ez a Fourier-féle integrálformula komplex alakja. Hangsúlyozzuk, hogy a fentiek nem tekinthetők matematikai levezetésnek, csupán formális átalakításoknak. Ugyanakkor igazolható, hogy a fenti formula valóban érvényes egy jól definiálható, tág függvényosztályra. 3. A Fourier-transzformáció Az 5 formula motiválja a Fourier-transzformációnak és inverzének a következő definícióját.. Definíció. Legyen az f függvény abszolút integrálható. Ekkor az F Frouriertranszformáltja: F[f]ω F ω t Az F függvény inverz Fourier-transzformáltja: F [F ]t π ω e iωt ft dt. 6 e iωt F ω dω. 7 3
Az 5 formula alapján F [F[f]] F [F ] f. Megjegyezzük, hogy az irodalomban találkozhatunk olyan definíciókkal is, amelyek a fentitől két ponton is eltérhetnek. Egyrészt, bizonyos szerzők a Fourier-transzformációban szerepeltetik az e iωx szorzót és az inverz transzformációban ennek konjugáltját. Másrészt, egyes helyeken a Fourier-transzformációban szerepel az integrál előtt az π szorzó, megint más helyeken mindkét irányú transzformációnál π szorzót alkalmaznak. Mi az. definícióban rögzített konvenciókat alkalmazzuk. A Fourier-transzformációt a legtöbbször úgy interpretáljuk, hogy az ft egy időtől függő jel, F ω pedig a jelben levő ω körfrekvenciájú komponens komplex amplitúdója.. Tétel. Legyen f abszolút integrálható függvény azaz fx dx <, és legyen F a Fourier-transzformáltja. Ekkor F a korlátos; b folytonos; és c lim ω ± F ω. Bizonyítás. a F ω x e iωx fx dx fx dx < x e iωx fx dx Az első becslésnél felhasználtuk, hogy a valósban egyszerűen igazolható g g állítás komplex értékű g függvényekre is igaz. b Legyen ω < ω, ω : ω+ω és ω : ω ω. Ekkor ω ω + ω, ω ω ω, és az F Fourier-transzformált megváltozása: F F ω F ω e iω x e iωx fx dx x e iωx ω i e x e i ω }{{ x } i sin ω x Ω Ω ω fx dx + } {{ } ε Ω fx dx + } {{ } ε 4ε + Ω ω fx dx 5ε, } {{ }, ha ω Ω sin } {{ } Ω ω x fx dx ha teszőleges ε > esetén ω elegendően kicsiny. Mivel f abszolút integrálható, tetszőleges ε > esetén találunk alkalmas Ωε értéket, amelyre az első két becslés helyes. Ezután rögzített Ω mellett választunk egy kellően kicsiny ω értéket, amelyre a harmadik becslés is helyes. Ezzel igazoltuk, hogy az F Fourier-transzformált függvény folytonos. c Nem bizonyítjuk. 4
.5 sx.5 Sω ±/ω.5.5 -.5 -.5 - - - -.5 - -.5.5.5 -.5-8π -6π -4π -π π π 4π 6π 8π. ábra. Az sx egységnyi négyszögimpulzus és Sω ω sin ω Fouriertranszformáltja. Megjegyezzük, hogy a. tétel b és c állításából következik az a állítás. 3. Példa. Határozzuk meg az sx {, ha x,, ha x >, négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját! Megoldás. A Fourier-transzformáció során az integrálást csak a [, ] intervallumra kell elvégezni, mert ezen kívül s nulla. A komplex exponenciális függvényt az Euler-formulával alakítsuk át, és vegyük észre, hogy a képzetes rész integrálja nulla, mert a szinusz függvény páratlan: F[s]ω x e } iωx {{} dx cosωx i sinωx [ sinωx ω ] x + i ω sin ω. 8 Az s négyszögimpulzusnak és S F[s] Fourier-transzformáltjának grafikonja az. ábrán látható. 4. Példa. Határozzuk meg az f γ x e γ x függvény Fourier-transzformáltját, ahol γ >! Megoldás. A Fourier-transzformációban szereplő integrált bontsuk ketté a negatív félegyenesre, ahol x x, és a pozitív félegyenesre, ahol x x. Ezután a negatív félegyenesen hajtsuk végre az y x változócserét, és vonjuk össze a két integrált: F[f γ ]ω e iωx e γx dx + e iωx e γx dx x y x e iωy e γy dy + x x e iωx + e iωx e γx dx e iωx e γx dx x cosωxe γx dx. 5
.5 f x.5 F ω.5.5.5 -.5-4 - 4 -.5-4 - 4. ábra. Az f x e x függvény és F ω +ω Fourier-transzformáltja. A kapott integrál kétszeri parciális integrálással kapható meg: I γ ω γ ω [ sinωx cosωxe γx dx e γx] γ ω x ω [ cosωx ahonnan I γ ω e γx] } ω {{ x } ω γ γ +ω, tehát γ ω F[f γ ]ω F γ ω cosωxe γx dx } {{ } I γω γ γ + ω. sinωxe γx dx γ ω γ ω I γω, Az f x e x függvénynek és F F[f ] Fourier-transzformáltjának grafikonja a. ábrán látható γ. 5. Példa. Határozzuk meg a g a x e ax függvény Gauss-görbe Fouriertranszformáltját, ahol a >! Megoldás. A Fourier-transzformációban vonjuk össze a két exponenciális tényezőt, és alakítsunk teljes négyzetté a kitevőben: F[g a ]ω e ax iωx dx e ω 4a iω ax+ e a dx A továbblépéshez komplex függvénytani ismeretekre van szükség. Az integrandus mindenütt reguláris, és x ± esetén nullához tart, ezért Cauchy-tétele alapján a valós tengely helyett integrálhatunk az y iω a egyenes mentén is. Ekkor azonban a e ax dx Gauss-integrálhoz jutunk, amiről tudjuk, hogy. Tehát a Fourier-transzformált: π a π F[g a ]ω G a ω 6 a e ω 4a.
4 3.5 3 g x g / x g /4 x 4 3.5 3 G x G / x G /4 x.5.5.5.5.5.5 -.5-4 - 4 -.5-4 - 4 3. ábra. Az a,, 4 paraméterhez tartozó Gauss-görbék bal oldalon és Fourier-transzformáltjuk jobb oldalon. esetén a Fourier-transzformáció egy sajátvektorát kap- Speciálisan a juk: F[x e x ]ω πe ω, azaz F[g/ ] πg /. A g, g / és g /4 függvények valamint a G, G / és G /4 Fourier-transzformáltak a 3. ábrán láthatók. Megfigyelhető, hogy a szélesebb függvény Fouriertranszformáltja keskenyebb. 6. Tétel. Legyen f és g két abszolút integrálható függvény, Fourier-transzformáltjukat jelölje F és G. Ekkor F[αf + βg] αf + βg, linearitás 9a [ x ] F x f ω a F aω, hasonlósági, vagy dilatációs tétel a 9b F[x fx x ]ω e iωx F ω, eltolási tétel 9c F[x e iωx fx]ω F ω ω, modulációs tétel, 9d F[x x n fx]ω i n F n ω, differenciálás frekvenciában, 9e F[f n ]ω iω n F ω, differenciálás időben. 9f A fenti egyenletekben α, β, x, ω R, a, n N, és 9e-ben valamint 9f-ben feltesszük, hogy a bal oldalon álló Fourier-transzformáltak léteznek. A továbbiakban, ha explicit módon mást nem jelölünk, hallgatólagosan feltesszük, hogy a Fourier-transzformációnak alávetett függvény független változója x, és a kicsit körülményes F[x xfx], F[x fx x ] típusú jelölés helyett a pongyola, de jól érthető F[xfx], F[fx x ] jelölést használjuk. Bizonyítás. A 9a egyenlőség az integrál linearitásából következik. 7
A 9b igazolásához y x a helyettesítést alkalmazunk: [ x ] F f ω a x sgna x e iωx f dx a y e iaωy fya dy a F aω. A sgna tényezőre azért van szükség, mert ha a <, akkor az y változóra vett integrált fordított irányban, + -től -ig kellene végezni. A 9c igazolásához y x x helyettesítést alkalmazunk: F[fx x ]ω x y e iωx fx x dx e iωy+x fy dy e iωx F ω. A 9d egyenlőség igazolásához az e iωx szorzót bevisszük az integrálba: F[e iωx fx] e iωx e iωx fx dx x x e iω ωx fx dx F ω ω. A 9e egyenlőséget először n esetén igazoljuk. Felhasználjuk, hogy d dω e iωx ixe iωx, és hogy az ω szerinti deriválás és az x szerinti integrálás felcserélhetőek: F[xfx]ω x x e iωx xfx dx i d e iωx fx dx if ω. dω Az n > esetben a fenti formulát n-szer alkalmazzuk. A 9f egyenlőséget is először n esetén igazoljuk. Mivel f is Fourier-transzformálható, ezért f x dx <, tehát ha a < b elegendően nagyok, akkor b a f x dx fb fa tetszőlegesen kicsiny. Mivel f is hasonlóan viselkedik, ezért lim x ± fx. Az f deriváltfüggvény Fourier-transzformálásakor parciális integrálást hajtunk végre, és figyelembe vesszük, hogy a kiintegrált rész nulla: F[f ]ω x e iωx f x dx [ e iωx fx ] x x Az n > esetben a fenti formulát n-szer alkalmazzuk. iωe iωx fx dx iωf ω. 8
Most a függvények között értelmezett konvolúció műveletével ismerkedünk meg. A művelet két függvényhez egy harmadik függvényt rendel, a következő módon. 7. Definíció. Legyen f és g két, a teljes valós számegyenesen értelmezett függvény. A két függvény f g konvolúcióját az f gx t ftgx t dt formula értelmezi, feltéve, hogy az integrál minden valós x-re létezik. 8. Lemma. A konvolúció kommutatív, azaz f g g f. Bizonyítás. A konvolúciós integrálban térjünk át a τ x t új változóra: f gx t τ ftgx t dt τ gτfx τ dτ g fx. fx τgτ dτ Látható, hogy a konvolúciós integrál mögötti szorzatban a két függvény argumentumának összege megadja az eredmény független változóját, x t + x t. Egy rögzített x pontban a konvolúció értékét a f gx t fx + tg t dt integrál alapján úgy interpretálhatjuk, hogy az f függvény x körüli fx + t értékeit a g t súllyal összegezzük. Maga az f g függvény f-nek a gt g t súlyfüggvénnyel való átlagolása, kisimítása. Természetesen a kommutativitás miatt f és g szerepe fölcserélhető. 9. Tétel. Konvolúció a Fourier-transzformáltja a tényezők Fourier-transzformáltjának szorzata, azaz F[f g] F[f] F[g], feltéve, hogy a képletben szereplő integrálok léteznek. Bizonyítás. Írjuk föl az egyenlőség bal oldalát, cseréljük föl a konvolúcióhoz és a Fourier-transzformációhoz tartozó integrálás sorrendjét, majd a belső integrálban térjünk át az x változóról az y x t változóra. Ekkor a kettős integrál szétesik két független integrál szorzatára: e iωx F[f g]ω x t t ft ft ftgx t dt t x y dx e iωx gx t dx dt e iωy+t gy dy dt e iωt ft dt e iωy gy dy t y F[f]ω F[g]ω. 9
U be R t C t U ki 4. ábra. Az R ellenállásból és C kapacitású kondenzátorból felépített aluláteresztő szűrő. 4. Alkalmazás A Fourier-transzformáció egyik alkalmazási területe lineáris differenciálegyenletek megoldása. Láttuk, hogy a Fourier-transzformáció a differenciálást a független változóval való szorzásba viszi át. Ez a tulajdonság felhasználható arra, hogy differenciálegyenleteket Fourier-transzformálva algebrai egyenleteket kapjunk a keresett függvény Fourier-transzformáltjára. Az algebrai egyenletet megoldva, majd inverz Fourier-transzformációt alkalmazva megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását. A Fourier-transzformáció sajátosságából adódik, hogy ezzel a módszerrel azt a partikuláris megoldást kapjuk meg, amely a ± -ben nullához tart. A módszert egy elektronikai példán, az R ellenállásból és C kondenzátorból kialakított aluláteresztő szűrő vizsgálatán keresztül mutatjuk be 4. ábra. Feladatunk az, hogy az ismert U be t bemenetre adott feszültségjel segítségével meghatározzuk a kimeneten megjelenő U ki t feszültségjelet. Feltesszük, hogy mindkét jel impulzusszerű, azaz a t ± határesetben lecsengenek, és a kondenzátor töltése is nulla a t ± határesetben. Ohm-törvénye alapján az R ellenálláson a t időpillanatban folyó It áram: It U bet U ki t. R Ez az áram tölti a kondenzátort, aminek így a töltése a t időpillanatban: Qt t τ Iτ dτ t τ U be τ U ki τ R dτ CU ki t. Felhasználtuk, hogy Q valamint, hogy a kondenzátor feszültsége, töltése és kapacitása között érvényes a C Q U összefüggés. Az utolsó összefüggést differenciálva, és alkalmazva az integrálfüggvény deriváltjáról szóló tételt, rendezés után az U ki t RC U bet RC U kit elsőrendű, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletre jutunk. Ismert U be bemeneti jel esetén az egyenletet meg tudjuk oldani. Most a Fourier-transzformáció segítségével, általános bemenő jel mellett oldjuk meg az egyenletet. Vegyük a egyenlet Fourier-transzformáltját, és használjuk fel, hogy függvény deriváltjának transzformáltja a függvény transzformáltjának iωszorosa! Azt kapjuk, hogy iωf[u ki ]ω RC F[U be]ω RC F[U ki]ω,
. Ax βξ.8 -.6 -.4. -3-4 -..5.5.5 3-5 -4-4 5. ábra. Az aluláteresztő szűrő karakterisztikája. A bal oldalon az A teljesítmény-csillapítás látható az x ω ω dimenziótlan frekvencia függvényében. A jobb oldalon ugyanez kétszer logaritmikus skálán van ábrázolva; a csillapítás decibellben, a frekvencia oktávban látható. ahonnan [ ] U ki F F[Ube ]ω. + iωrc Látható, hogy a Fourier-transzformáció segítségével a differenciálegyenlet algebrai problémává egyszerűsödött. Hangsúlyozzuk, hogy nem az általános megoldása a egyenletnek, hanem az U ki kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldása. Érdemes kiszámolni, hogy az áramkör adott ω körfrekvencián mennyire csillapítja a teljesítményt ami a feszültség abszolút négyzetével arányos: Aω F[U ki ]ω F[U be ]ω + iωrc + ωrc. Látható, hogy lim ω + Aω és lim ω Aω, tehát az áramkör valóban az alacsony frekvenciájú komponenseket engedi át. Az Aω egyenlettel definiált küszöbfrekvencia: ω RC. Be szokás vezetni az x ω ω dimenziótlan frekvenciát, valamint a β db lga logaritmikus csillapítást és a ξ log x logaritmikus frekvenciát oktáv. Az 5. ábra ezekkel a mennyiségekkel mutatja az aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikáját. Nagy frekvenciákon a csillapítás közel decibell oktávonként. 5. Feladatok A * jel arra utal, hogy a feladat nehéz, a normál gyakorlatnak nem anyaga.. Legyen az f függvény L szerint periodikus L >, és a [ L, L] intervallumon {, ha x fx, egyébként.
a Határozzuk meg f Fourier-sorát! Hogyan változik a Fourier-sor az L határesetben? b* Hogyan kapható meg a Fourier-sorból a négyszögimpulzus Fouriertranszformáltja?. Vezessük be a következő függvény-transzformációkat: τ h fx : fx + h eltolás h R, ν Ω fx : e iωx fx moduláció Ω R, δ a fx : fax dilatáció a R. a Fejezzük be a következő egyenlőségeket úgy, hogy a jobboldalon az F F[f] Fourier-transzformált függvényt tartalmazó kifejezés álljon! i F[τ h f]? ii F[ν Ω f]? iii F[δ a f]? b Fejezzük be a következő egyenlőségeket úgy, hogy a jobboldalon az f F [F ] inverz Fourier-transzformált függvényt tartalmazó kifejezés álljon! i F [τ h F ]? ii F [ν Ω F ]? iii F [δ a F ]? c* Hogyan kommutálnak a τ h, ν Ω és δ a operátorok egymással? 3. Az F[f] F függvény segítségével fejezzük ki a következő függvények Fourier-transzformáltját! a fx 3, b f x 3, c x f3x, d x 3 f x 3. 4. Jelölje fx az x b ponttól az x + b pontig terjedő, a > magasságú, b > szélességű négyszögimpulzust! Határozzuk meg f Fouriertranszformáltját! Hogyan változik a Fourier-transzformált az x, a illetve b paraméterek változtatásakor? 5. Határozzuk meg a következő függvények Fourier-transzformáltját! { x, ha x [, ],, ha x,, a fx b fx, ha x,, egyébként, egyébként, { e x, ha x, c fx d fx e x,, ha x <, {, ha x [, 3], e fx egyébként. 6. Legyen s az origó középpontú, egységnyi magas, egységnyi széles négyszögimpulzus! Az egyenlőség mindkét oldalának kiszámolásával igazoljuk, hogy F[s s] F[s]!
7. Tudjuk, hogy F[x e x ]ω πe ω. a Mi a Fourier-transzformáltja fx 3e x 3 -nek? b Mi a Fourier-transzformáltja gx e x +x -nek? c Minek a Fourier-transzformáltja Hω 3e ω 3? 8. Tudjuk, hogy F[x e x ]ω + ω. a Mi a Fourier-transzformáltja fx e 3x 6 -nak? 3 b Minek a Fourier-transzformáltja Gω ω + ω + 5? 6. Megoldások, végeredmények Emlékeztetünk arra a megállapodásra, hogy ha nincs másképp jelölve, akkor az x változót tekintjük a Fourier-transzformálandó függvény független változójának, és például az fx x függvény Fourier-transzformáltját F[f] vagy F[x x ] helyett egyszerűen F[x ]-tel jelöljük.. Megoldás. a A formulákat alkalmazva megkapjuk a Fourier-együtthatókat: a L b n L a n L L L fx dx L L L L L fx sin nπ nπ sin. L páros dx L, nπ L x dx L nπ fx cos L x dx L nπ sin L x dx, páratlan cos Így az összefüggés szerint az f függvény Φ Fourier-sora: Φx L + n nπ ω πωn nπ sin L ω n/ nπ cos L nπ L x dx ω n x. Az L határesetben a konstans tag eltűnik, és a kifejtéshez használt ω n nπ L frekvenciák egyre sűrűbben helyezkednek el. b* A összegben egy [, intervallumra felírt, ω n nπ L osztópontú, ω π L egyenközű integrál-közelítőösszeget ismerhetünk fel, amit az L határesetben az improprius integrállal helyettesítünk: Φx π ω ω sin cosωx dω. 3
Most használjuk fel, hogy az integrandus páros, így vehetjük a teljes intervallumon vett integrál felét. Továbbá sinω/ ω sinωx dω, hiszen az integrandus páratlan. Így Φx π ω ω sin [ cosωx + i sinωx dω F ω ] ω sin. e iωx Tehát az L határesetben a Fourier-sorfejtésből a fenti módon megkapjuk az egységnyi négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját 3. példa, 8 egyenlet.. Megoldás. A feladat első két pontja lényegében a 6 tétel egy-egy pontjának átfogalmazása. a i Az y x + h helyettesítést hajtjuk végre: F[τ h f]ω tehát F[τ h f] ν h F[f]. e iωx fx + h dx y e iωh F ω ν h F ω, ii A két exponenciális szorzót összevonjuk: F[ν Ω f]ω tehát F[ν Ω f] τ Ω F[f]. } e iωy hx {{} e iωh e iωy fy dy e } iωx {{ e iωx } fx dx F ω Ω τ Ω F ω, e iω Ωx iii A 6. tétel 9b egyenlősége alapján F[δ a f]ω a δ /af[f]. b Az előző részhez hasonlóan számolunk. A következő eredmények adódnak: i F [τ h f] ν h F [f], ii F [ν Ω f] τ Ω F [f], iii F [δ a f]ω a δ /af [f]. c* Ebben a részben arra világítunk rá, hogy egy függvény transzformálásakor az eltolás, moduláció illetve dilatáció skálázás sorrendje nagyon fontos. Feladatmegoldásnál jól meg kell gondolnunk ezen transzformációk sorrendjét. i τ h ν Ω fx ν Ω fx + h e iωx+h fx + h e iωh e iωx τ h fx e iωh ν Ω τ h fx, tehát τ h ν Ω e iωh ν Ω τ h. ii τ h δ a fx δ a fx + h f ax + h fax + ah τ ah fax δ a τ ah fx, tehát τ h δ a δ a τ ah. iii ν Ω δ a fx e iωx δ a fx e i Ω a ax fax ν Ω/a fax δ a ν Ω/a fx, tehát ν Ω δ a δ a ν Ω/a. 3. Megoldás. Az előző feladatban illetve a 6. tételben megismert szabályokat alkalmazzuk. Ügyeljünk a transzformációk helyes sorrendjére! 4
a Az x fx 3 függvényt az f függvényből úgy kapjuk, hogy f grafikonját először eltoljuk 3-mal jobbra, majd ezután az x tengelyt egy kettes faktorral átskálázzuk, tehát fx 3 δ τ 3 fx. Így F[fx 3]ω F[fx 3] ω ei ω ω 3 F[f] e 3 ω iω F. b Most a transzformációk sorrendje fordított: f x 3 τ 3 δ fx! Tehát F [ f x 3 ] ω e 3iω F[fx]ω ω e 3iω F. c A legkülső transzformáció a deriválás; először erre alkalmazzuk a 9f szabályt. Ezután az x -tel való szorzásra alkalmazzuk a 9e összefüggést. Végül felhasználjuk a 9b skálázási szabályt: F [ x f3x ] ω iω F [ x f3x ] ω ω i dω F[f3x]ω ω d ω dω 3 F ω 3 7 F ω. 3 d Az eddig megismert szabályokat alkalmazzuk itt is, csak más sorrendben: F [ x 3 f x 3 ] ω i 3 d3 dω 3 F[f x 3]ω i d3 dω 3 iω F[fx 3]ω d i d3 ω dω 3 e 3iω F ω. 4. Megoldás. Kétféleképpen oldhatjuk meg a feladatot. Vagy a 3. példában megismert egységnyi négyszögimpulzust transzformáljuk a. feladatban szereplő transzformációkkal, vagy közvetlenül a Fourier-transzformáció a 6 definíciója alapján számolunk. Az első utat követjük. Az s egységnyi négyszögimpulzusból az f négyszögjel úgy kapható meg, hogy először b -vel dilatálunk, majd x -al jobbra tolunk és végül a-val megszorozzuk a függvényt, tehát x x f a τ x δ /b s, fx a s. b Így f Fourier-transzformáltja: [ x x ] [ x ] F[f]ω a F s ω ae iωx F s ω b b abe iωx F[sx]bω abe iωx bω sin bω a ω e iωx sin bω Látható, hogy a a Fourier-transzformált magasságát szabályozza, x modulálja az eredményt, b pedig az x tengelyt skálázza. Minél szélesebb az eredeti négyszögjel, annál sűrűbb a Fourier-transzformált. 5. Megoldás. A Fourier-transzformáltak most is vagy közvetlenül az. definíció 6 képletével számolhatók ki, vagy már ismert Fourier-transzformáltakból a 6. tétel illetve a. feladat összefüggéseivel kaphatók meg.. 5
a Számoljunk a definícióval! Egy parciális integrálást kell végrehajtanunk. F[f]ω ie iω ω e iωx fx dx [ e e iωx iωx ] x dx iω x x [ e iωx ] iω ie iω x ω + e iω ω ω. e iωx iω dx b Most számoljunk a szabályokkal, és használjuk fel, hogy ismerjük az s egységnyi négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját 3. példa! Látható, hogy f τ / τ / s, tehát: F[f]ω e iω iω 4i ω e F[s]ω ω sin. c A definíció alapján dolgozunk: F[f]ω e iωx e x dx [ e iω+x lim P iω + ] P x e iω+x dx + iω iω + ω. d A feladat megoldását a 4. példa szerint számolhatjuk, γ mellett. Azt kapjuk, hogy: F[e x ]ω + ω. e Most is az s egységnyi négyszögimpulzus eltoltjaiból kapható meg az f függgvény, f τ 5/ + τ 5/ s, így [ F[f]ω F s x + 5 ] [ ω + F s x 5 ] ω e 5 iω + e 5 iω F[s]ω 4 5ω ω ω cos sin. 6. Megoldás. Legyen f s s, azaz fx stsx t dt / / sx t dt st x { x +, ha x [, ], x, ha x [, ]. Az f Fourier-transzformáltját parciális integrálással kaphatjuk meg: F[f]ω i/ω ] e iωx + x dx + ] [ e iωx e iωx + x iω [ e iωx iω e iω /ω [ ] e iωx + iω e iω /ω [ e iωx iω dx + iω e iωx x dx ] x } {{ } i/ω cos ω ω ω ω sin e iωx dx iω F[s]ω. Az s egységnyi négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját a 3. példában számoltuk ki. 6
7. Megoldás. A feladatban megadott Fourier-transzformáltat az 5. példában számoltuk ki. A megoldáshoz az ismert transzformációs szabályokat alkalmazzuk. a Először a kitevőt alakítjuk át: x 3 x 3. Ezután alkalmazzuk a már jól ismert transzformációs szabályokat: F[f]ω 3F ] ] [e x 3 ω 3e 3iω F [e x ω 3 e 3iω F ] [e x ω b A kitevőt teljes négyzetté alakítjuk: x + x x + Ezt felhasználva g Fourier-transzformáltja: F[g]ω ef [e x ] ω e e iω F 3 π e 3iω e ω 8. x [e x +. ]ω e iω πe ω 4. c A feladatot a 7a feladathoz hasonlóan oldjuk meg. Vigyázzunk az inverz Fourier-transzformáció és a Fourier-transzformáció közti különbségekre! hx F [H]x 3F [ e ω 3 ] x 3 e3ix F [ e ω 3 ]x 3e 3ix F [ ] e ω x π e3ix e x 8. Megoldás. A feladatban megadott Fourier-transzformáltat a 4. példában számoltuk ki. a Először a 9b dilatációs formulát, aztán az eltolásra érvényes 9c formulát alkalmazzuk: F[f]ω F [ e 3x 6 ] ω 3 F[ e x 6 ] ω 3 3 e 6iω/3 F [ e x ] ω 3 e iω 3 + ω 6e iω 9 + ω. 3 b A nevezőben teljes négyzetté alakítunk, és a b feladatban levezetett b összefüggéseket alkalmazzuk: gx F [G]x F [ 3 ] ω + x 3 + 4 8 F [ ω+ ]x + 3 8 e ix F [ ] ω/ x 3 + 4 e ix F [ ] ω x 3 + 4 e ix e x. 8. 7