Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán természetesen mindegyik változat egyenértékű. Tétel Legyen (X, <, >) egy skaláris szorzat tér K felett. Legyenek továbbá az X-beli ϕ k (k =,..., n, n N) elemek egymásra merőlegesek és egységnyi normájúak. Ekkor f λ k ϕ k = inf { f } µ k ϕ k : µ k K, k =,..., n akkor és csak akkor, ha λ k =< f, ϕ k > (k =,..., n). Megjegyzés: A skaláris szorzat tulajdonságai és < ϕ k, ϕ j >= { k j, k = j. miatt < f < f, ϕ k > ϕ k, ϕ j >= (j =,..., n). Ha az {ϕ,..., ϕ n } ortonormált vektorok által kifeszített alteret Y-nal jelöljük, akkor a fenti tétel a következőket jelenti:. Bármely X-beli f elemhez egyértelműen létezik Y-beli legjobban közelítő elem.. A legjobban közelítő elem az f-nek az Y-ra vett merőleges vetülete, ami az Y-t kifeszítő ϕ k vektorokra egyenként vett vetületek összege. Bizonyítás: Legyen K = R. Tekintsük f n µ kϕ k -nak önmagával vett skaláris szorzatát, és vegyük figyelembe, hogy < ϕ k, ϕ j >=, ha k j. Ekkor a skaláris szorzat tulajdonságait alkalmazva azt kapjuk,
hogy f µ k ϕ k =< f µ k ϕ k, f = f = f + µ k ϕ k > µ k < f, ϕ k > + µ k (µ k < f, ϕ k >) < f, ϕ k >. A jobb oldalon lévő három tagból az első és a harmadik nem függ a µ k együtthatóktól. A második tag négyzetek összege, aminek legkisebb értéke. Ez is csak úgy lehetséges, ha minden tag, azaz µ k =< f, ϕ k > (k =,..., n). A komplex eset hasonlóan igazolható. Következmény (Bessel-egyenlőtlenség): Mivel a fenti bizonyításban szereplő egyenlőség bal oldala nem negatív, ezért µ k =< f, ϕ k > választás mellett f < f, ϕ k > ϕ k = f Következésképpen: n < f, ϕ k > f. < f, ϕ k >. A Fourier-sor fogalma. Legyen (X, <, <) végtelen dimenziós tér, amelyben Φ = (ϕ k, k N) egy ortonormált rendszer. Egy X-beli f elemnek a Φ rendszerre vonatkozó k-adik Fourier-együtthatóját f(k)- val jelöljük, és a következőképpen definiáljuk: Az f(k) =< f, ϕ k > Sf = f(k)ϕk (k N). sort az f (Φ rendszerre vonatkozó) Fourier-sorának nevezzük. Az S n f = f(k)ϕ k (n N) k= véges összeget az Fourier-sor n-edik részletösszegének nevezzük. A Fourier-részletösszegeknek az előző tételben igazolt minimum tulajdonsága miatt nyilvánvaló, hogy az ( f S n f ) sorozat monoton csökken. Ebből azonban még nem következik, hogy határértéke, azaz
hogy f Fourier-sora normában f-hez konvergál. Az alábbi tételben megmutatjuk, hogy ha f egyáltalán előállítható normában konvergens sor alakjában, akkor a Fourier-sor is előállítja f-et. Tétel: Ha a λ k ϕ k sor normában f X-hez konvergál, akkor f Fourier-sora is f-hez konvergál normában. Bizonyítás: Az előző tétel alapján f f(k)ϕ k f k= λ k ϕ k. Ha tehát lim n f n k= λ kϕ k =, akkor lim n f n f(k)ϕ k= k = is teljesül. k= 3
4 A valós és a komplex trigonometrikus rendszer. A valós trigonometrikus rendszer:, cos kx, sin kx (x [, ], k =,... ). Tekintsük az R[, ] teret, azaz a [, ] intervallumon értelmezett integrálható függvények terét az < f, g >= fg (f, g R[, ]) skaláris szorzattal. Könnyű ellenőrízni, hogy a valós trigonometrikus rendszer elemei ortogonálisak ebben a térben, a normájuk azonban nem. A normával való leosztás után kapott, cos kx, sin kx (x [, ], k =,... ) rendszer már ortonormált rendszer. Az f R[, ] függvény Fourier-együtthatói: f(t) dt, Az f Fourier-sora: f(x) dx + f(t) cos kt dt, ( + f(t) sin kt dt, f(t) cos kt dt cos kx f(t) ) sin kt dt sin kx Egyszerűsíthetjük a jelöléseket, ha módosítjuk a Fourier-együtthatókat: Ekkor a k = b k = f(t) cos kt dt (k =,... ) f(t) sin kt dt (k =,... ). Sf(x) = a + (a k cos kx + b k sin kx). A Bessel-egyenlőtlenségnek a valós trigonometrikus Fourier-együthatókra vonatkozó alakja: a + (a k + b k) f (f R[, ]).
5 A komplex trigonometrikus rendszer: e ikx (x [, ], k Z). Az R[, ] elemei most legyenek komplex értékű integrálható függvények, a skaláris szorzat pedig < f, g >= fg (f, g R[, ]). A rendszer elemei ortogonálisak egymásra, a normálási tényező pedig. Az ortonormált komplex trigonometrikus rendszer tehát e ikx (x [, ], k Z). Hasonló okból, mint a valós esetben módosítsuk a Fourieregyütthatókat a következőképpen: c k = f(t)e ikt dt (k Z). Ekkor Sf(x) = k= c ke ikx (f R[, ]). Az n-edik részletösszegen most a -ra szimmetrikus részletösszeget fogjuk érteni, azaz S n f(x) = c k e ikx k=n (f R[, ]). A Bessel-egyenlőtlenségnek a komplex trigonometrikus Fourieregyüthatókra vonatkozó alakja: c k f (f R[, ]). Felhasználva az e ikx = cos kx + i sin kx (k Z) formulát nyilvánvaló, hogy az {e ikx : k = n,..., n} függvények és a {, cos kx, sin kx : k =,..., n} függvények ugyanazt a n + dimenziós komplex alteret feszítik ki. Ez alapján egyszerű kapcsolat teremthető ugyanazon függvény valós és komplex trigonometrikus Fourier-együtthatói között.
6 Nevezetesen c k e ikx = k=n ahonnan az k=n = c + c k (cos kx + i sin kx) ( (ck + c k ) cos kx + i(c k c k ) sin kx ) = a + (a k cos kx + b k sin kx), a k = c k + c k, b k = i(c k c k ) (k =,... ) összefüggések adódnak. Az alábbiakban a Fourier-sorok viselkedését a szerint periodikus folytonos függvényeken vizsgáljuk. Ezeknek a terét jelöljük C -vel. Tétel. Legyen f C olyan függvény, amelynek trigonometrikus Fourier-sora egyenletesen konvergens. Ekkor a Fourier-sor összege maga az f függvény. Bizonyítás. Mivel Sf egyenletesen konvergens, ezért a g határfüggvény folytonos és szerint periodikus. Alkalmazva az S n f(x) = a + n (a k cos kx + b k sin kx) jelölést számoljuk ki a g függvény j-edik (j ) cosinus együtthatóját: g(t) cos jt dt = = + + ( ) (g(t) S n f(t)) cos jt + S n f(t) cos jt dt (g(t) S n f(t)) cos jt dt a cos jt dt a k cos kt cos jt dt + b k sin kt cos jt dt. Legyen n j. Ekkor az ortogonalitás miatt a jobb oldalon majdnem minden tag. Ezeket elhagyva az kapjuk, hogy g(t) cos jt dt = (g(t) S n f(t)) cos jt dt + a j.
Az egyenletes konvergencia és az integrálás kapcsolatára vonatkozó tételt alkalmazva Következésképpen lim n (g(t) S n f(t)) cos jt dt =. g(t) cos jt dt = a j. Hasonlóan igazolható, hogy f és g sinus együtthatói is megegyeznek. Azt kaptuk tehát, hogy f és g Fourier-együtthatói megegyeznek. A bizonyítás befejezéséhez az alábbi tételt kell igazolni. Tétel. Ha egy C -beli függvény minden Fourier-együtthatója, akkor a függvény az azonosan függvény. Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy h olyan szerint periodikus nem azonosan folytonos függvény, amelyiknek minden Fourieregyütthatója, azaz h(t) dt =, h(t) cos kt dt =, h(t) sin kt dt = minden k =,... esetén. A feltételek szerint van olyan u pont, amelyben a h értéke nem. A h beszorzásával elérhetjük, hogy ebben a pontban a függvényérték pontosan. Az integrál homogenitása miatt a Fourieegyütthatók mindegyike marad a beszorzás után is. Feltehetjük tehát, hogy a h(u) = feltétel eleve teljesül. A továbbiakban megmutatjuk, hogy u = is feltehető. Trigonometrikus polinomnak nevezzük a P(x) = ( λk cos kx + µ k sin kx ) (λ k, µ k R, k =,..., n, n N) k= alakú függvényeket. Természetesen minden trigonometrikus polinom eleme a C térnek. Megjegyezzük, hogy a trigonometrikus polinomok eltoltjai is trigonometrikus polinomok. Valóban, a cos k(x + s) = cos ks cos kx sin ks sin kx, sin k(x + s) = sin ks cos kx + cos ks sin kx 7
8 azonosságok miatt P(x + s) = = ( λk cos k(x + s) + µ k sin k(x + s) ) k= ( (λk cos ks + µ k sin ks) cos kx k= + (λ k sin ks + µ k cos ks) sin kx ), ami szintén trigonometrikus polinom. Mivel h minden Fourier-együtthatója, ezért az integrál linearitása miatt minden P trigonometrikus polinom esetén is h(t)p(t) dt = teljesül. Tekintsük most a h-nak az u-val való eltoltját: h (t) = h(t + u) (t R). Ekkor h () = és h C. Másrészt bármely P trigonometrikus polinom esetén h (t)p(t) dt = h(t + u)p(t) dt = = +u +u =. h(t)p(t u) dt h(t)p(t u) dt Az utolsó egyenlőségnél használtuk ki, hogy P(t u) maga is trigonometrikus polinom. Megállapíthatjuk tehát, hogy a h minden Fourier-együtthatója. Ezek után feltehetjük, hogy a kindulási h függvény az eddigieken kívül eleget tesz a h() = feltételnek is. Meg fogjuk mutatni, hogy van olyan trigonometrikus polinom, amelynek a h-val való szorzatintegrálja nem. Ez ellentmond a h-ra fent tett megállapításnak. Mivel h folytonos, ezért van olyan δ >, amely esetén f(t) > teljesül minden t < δ számra. Legyen ezek után T n (t) = ( cos δ + cos t) n (t R, n N). Indukcióval könnyen igazolható, hogy T n pontosan n-edfokú trigonometrikus polinom.
9 Bontsuk fel a ht n integrált részekre az alábbi módon h(t)t n (t) dt = h(t)t n (t) dt ( ( = I I I 3. + h(t)t n (t) dt + h(t)t n (t) dt) h(t)t n (t) dt + + ) h(t)t n (t) dt Ha t δ, akkor h(t) és T n(t) >. Következésképpen I δ = δ. I becsléséhez jelölje M a h folytonos függvénynek a [, ] intervallumon vett maximumát. δ t δ + ɛ estén T n (t). Következésképpen I ɛm. Az I 3 esethez vegyük észre, hogy max{ cos δ + cos t : δ + ɛ t } = max{ cos δ + cos(δ + ɛ), cos δ} = q <. Ennek alapján: I 3 Mq n. Összefoglalva h(t)t n (t) dt δ ɛm Mq n. Ha ɛ δ 8M és qn δ 8M, akkor h(t)t n (t) dt δ >. Azzal, hogy ellentmondásra jutottunk bebizonyítottuk, hogy a tétel állítása igaz. Megjegyzések.. Azt, hogy a C -beli függvények közül csak az azonosan függvény az, amelyiknek az összes Fourier-együtthatója, röviden úgy mondjuk, hogy a trigonometrikus rendszer teljes a C térben.
. A most bebizonyított tétel azt is jelenti, hogy a C téren a Fourier transzformácó, azaz a függvényhez a Fourieregyütthatókat rendelő transzformáció, invertálható. A továbbiakban két olyan feltételt nézünk meg, amelyek biztosítják a Fourier-sor egyenletes konvergenciáját. Ezek közül az első a Fourieregyütthatókra vonatkozik. Állítás. Ha egy szerint periodikus folytonos függvény Fourieregyütthatóiból képezett numerikus sor abszolút konvergens, akkor a függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez. Bizonyítás. Jelöljük az f C függvény Fourier-együthatóit a szokásos módon a k -val (k =,... ) és b k -val (k =,... ). Tegyük fel, hogy ( a k + b k ) <. Mivel a k cos kx + b k sin kx a k + b k (x R, k =,... ), ezért a függvénysorok egyenletes konvergenciájára vonatkozó majoráns kritérium szerint f Fourier-sora egyenletesen konvergens, ami az előző tétel alapján egyben azt is jelenti, hogy magához az f függvényhez konvergál. Példa. Legyen f C, f(x) = x ( x ). Ekkor a = x dx = 3 és b k = x sin kx dx = (k =,... ). Kétszeres parciális integrálással könnyen megkapjuk az a k együtthatókat: a k = x cos kx dx = 4 k ()k (k =,... ). Teljesülnek az előző állítás feltételei, ezért a függvény Fourier-sora konvergens. Természetesen ekkor a Fourier-sor a pontban f() = -hoz konvergál, azaz = a + a k = 3 + 4 k ()k = 3 + 4 (k) 4 (k ).
Ez lehetőséget teremt a A = Vezessük be ugyanis az A = ezért Innen a k (k) = 4 k jelölést. Mivel k = A 4, (k ) = A A 4 = 3 4 A. = 3 + 4 A 4 43 4 A egyenletre jutunk, amiből az A = 6 Állítás. Ha f C sorösszeg kiszámolására. eredmény adódik. kétszer folytonosan differenciálható, akkor f Fourier-sora egyenletesen konvergál f-hez. Ez az állítás a fent jelzett másik elégséges feltétel a Fourier-sor egyenletes konvergenciájára. Bizonyítás. Tekintsük például a b k együtthatókat. Parciális integrálással azt kapjuk, hogy b k = f(t) sin kt dt = [ cos kt ] f(t) + k k = [ cos kt ] f(t) + k k [ f (t) f (t) cos kt dt sin kt ] k k f (t) sin kt dt. Mivel az első kiintegrált tag f() = f(), a másik pedig sin(±k) = miatt, ezért b k = f (t) sin kt dt (k =,... ). k Következésképpen b k k f (t) dt (k =,... ), amiből b k < adódik. Hasonló eredmény kaphatunk az a k -kra is. Az előző állítás feltételei
teljesülnek, tehát az f Fourier-sora egyenletesen konvergál f-hez. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a bizonyítás során kapcsolatot kaptunk adott differenciálható függvény és deriváltjának Fourieregyütthatói között.
Pontonkénti konvergenciára vonatkozó lokális feltételek. A Dirichlet formula. Legyen f C. A definíció alapján S n f(x) = a + (a k cos kx + sin kx) = = = f(t) dt + + ( f(t) cos kt dt cos kx ) f(t) sin kt dt sin kx ( ) f(t) + cos kt cos kx + sin kt sin kx dt ( ) f(t) + cos k(x t) dt Az utolsó szummát zárt alakra hozhatjuk: D n (u) = + cos ku = sin u = sin u ( sin u + cos ku sin u ) ( sin u + ( sin(k + )u sin(k )u)) = sin(n + )u sin u ( < u, n =,... ). A -beli függvényértékkel kiegészítve a kapjuk az úgynevezett n-edik Dirichlet-féle magfüggvényt: sin(n + )u D n (u) = sin u u, n + u =. Segítségével egyszerűen kifejezhető az n-edik Fourier-részletösszeg: S n f(x) = f(t)d n (x t) dt. 3
4 Tétel. Ha egy szerint periodikus függvény egy pontban differenciálható, akkor abban a pontban a Fourier-sora az ottani függvényértékhez konvergál. Bizonyítás. A D n definíciójából nyilvánvaló, hogy Legyen az f C Ekkor S n f(x) f(x) = = = = D n (t) dt = dt =. függvény differenciálható az x pontban. f(t)d n (x t) dt f(x) f(t)d n (x t) dt ( f(t) f(x) ) Dn (x t) dt f(t) f(x) t x t x sin xt f(x)d n (x t) dt sin(n + )(x t) dt. Az átalakítás a t = x pontban is érvényes úgy, hogy mind a két tört esetén az x pontbeli határértéket kell venni. Ez az első tört esetén az f függvény x-beli differencálhatóságából következik, a másik tört határértéke pedig közismerten. Legyen f(t) f(x) t x g(t) = t x sin xt t, t x, f (x) t = x. g nyilvánvalóan folytonos függvény a [, ] intervallumon. segítségével a fenti eredmény a következő formában írható: S n f(x) f(x) = = g(t) sin(n + )(x t) dt g(t) sin(n + )x cos(n + )t dt g(t) cos(n + )x sin(n + )t dt. A g
Az utolsó tényezők felbontása után végül azt kapjuk, hogy S n f(x) f(x) = g(t) sin(n + )x cos t cos nt dt g(t) sin(n + )x sin t sin nt dt g(t) cos(n + )x cos t sin nt dt g(t) cos(n + )x sin t cos nt dt. Mind a négy tag felfogható úgy, mint egy rögzített, a [, ] intervallumon folytonos tehát egyben integrálható függvénynek az n-edik Fourier-együtthatója. Az első tagban levő függvény például 5 h (t) = sin(n + )x g(t) cos t ( t ). A Bessel-egyenlőtlenségből következik, hogy bármely integrálható függvény Fourier-együtthatóinak a sorozata -hoz tart. Ezzel bebizonyítottuk, hogy lim S nf(x) f(x) =. n