Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos ha q = diverges ha q < (e) ( + x ) e x ( (x R) ahol e := lim +. ).. Tétel. Legye a és b két valós számsorozat a b c R. Ha a a és b b akkor (a) a + b a + b a b a b (b) a b ab ca ca a (c) a (b 0) b b (b = 0 a 0). a b.3. Tétel. Legye a és b két valós számsorozat. Ha a korlátos és b 0 akkor a b 0..4. Tétel. Legye a és b két valós számsorozat b R. Ha a és b b akkor (a) a + b a b (b) a b (b > 0) a b (b < 0)
(c) a b (b > 0) a b (b < 0) b a 0..5. Tétel. (Redőr elv) Legye a b és c három valós számsorozat c R. Ha a c b c és va olya 0 N úgy hogy a c b mide > 0 eseté akkor c c. Feladatok.. Bizoyítsuk be az.. tétel c potjába található állítást b = 0 a 0 esetére! Elhagyható-e az abszolútérték jel? Mit lehet modai a = 0 b = 0 eseté?.. Hogya változik az.4. tétel a eseté? Mit lehet modai a c állításra b = 0 eseté?.3. Mit lehet modai az.4. tétel eseté ha a és b?.4. Adja meg a következő sorozatok határértékét!. a = 4 4 3 3 + +. a = 8 3 3. a = 3 + 3 3 4. a = 3 + + 5 + 4 5. a = 5 + 3 6. a = + 3 3 + ( + )( + )( + 3) 7. a = ( )( )( 3) 8. a = 9. a = + 4 + 0. a = 3 + 4 + 3 + + + +. a = 3 4 + 3 4 5 + 4 3 + + +. a = 3 4 + + 3 3 + 8 3. a = + +... + 4. a = + + 3 6 5. a = + ( ) 6. a = + 7. a = 3 3 + 3 3 + 8. a = + 3 3 + 3 3 9. a = + 0. a = + + 3 + 3 +
. a = 5 3 + 3 +. a = + ( ) 3. a = 3 + + 4. a = 4 3 + 5 5. a = 3 4 + + 6. a = 3 5 5 4 + 4 3 7. a = 9. a = 3. a = 33. a = ( ) 8. a = + ( ) +5 3 30. a = 3 + 3 ( ) + ( ) +3 3 + ( ) 3+ ( + 3 3. a = ) ( ) + 3 34. a = + 35. a = 0 36. a =! 37. a = + 38. a =! 3 ( ) + 39. a = ( ) 40. a = si(!) 4. a = + +... + + 4. a = + +... + + 3 +... + 3 43. a = + 3 +... + ( + ) 44. a = 3 + 4 +... + ( + ). Valós számsorok.. Defiició. (a) S := a + a +... + a N sorozatot az a sorozat -dik részletösszegéek evezzük. (b) A = a = a + a +... szimbolikus kifejezést az a sorozat végtele soráak vagy egyszerűe sorak evezzük. Ha az S sorozat koverges akkor azt modjuk hogy a sor koverges és = a = lim S. Ha az S sorozat diverges akkor azt modjuk hogy a sor diverges. 3
(c) Ha S illetve S akkor ezt = a = illetve = a = módo jelöljük... Tétel. Ha a = a sor koverges akkor a 0..3. Megjegyzés. Az előző tétel megfordítása em igaz mert = =..4. Defiició. (a) A = a sor abszolút sora a = a. Ha a = a sor koverges akkor a = a sort abszolút kovergesek evezzük. (b) Azt modjuk hogy a = a sor feltételese koverges ha koverges de em abszolút koverges..5. Tétel. Ha egy sor abszolút koverges akkor koverges is..6. Megjegyzés. A ( ) + = sor feltételese koverges..7. Tétel. (Majorás- és miorás-kritérium) Legye a és b két pozitív számokból álló sorozat úgy hogy va olya 0 N amire a b mide > 0 eseté. Ekkor (a) ha = b < akkor = a < (b) ha = a = akkor = b =..8. Tétel. (Cauchy-féle gyökkritérium) Legye = a egy pozitív számokból álló sor. Ekkor (a) ha lim sup a < akkor = a < (b) ha lim sup a > akkor = a =..9. Tétel. (D Alembert-féle háyadoskritérium) Legye = a egy pozitív számokból álló sor. Ekkor (a) ha lim sup a + a (b) ha lim sup a + a < akkor = a < > akkor = a =..0. Tétel. (Leibiz-féle kritérium) Legye = a egy váltakozó előjelű számokból álló sor. Ha az a sorozat mooto csökkeőe tart ullához akkor a sor koverges. 4
.. Megjegyzés. = = π = ( ) + = l. Feladatok.. Bizoyítsuk be a.3. és.6. megjegyzésbe szereplő állítást!.. (Mértai sor összege) Bizoyítsuk be hogy ha q < akkor aq = aqr q! =r.3. Határozzuk meg a következő sorok összegét!. 4. 7. 0. = =4 = =. +3 + 4 3+5 5. = 3 3. ( ) 3+ 3 +3 6. = ( + 4) 8. = 5 + 5. = =3 =5 ( )( + ) 9. =3 + ( + ). = + 3 + 5 3 +4 ( 5) 3+ + 6 + 5 ( + )( + )..4. Milye racioális számot állítaak elő a következő tizedestörtek!. 0 3. 3 3. 3. 5
.5. Dötsük el hogy kovergesek-e az alábbi sorok!. 4. 7. 0. 3. 6. ( ). = = = = = = = 0 00 5. = 3 4 8. = l. = 3 + 3. ( + ) =3 6. = + 3 9. = 3.! 3 4. ( ) 5. 3 + =! 7.! 8. = = = = 3 + ( + ) 4! ( ) l 6