.2. Ütközés 3 alkalmazásához azoba szükséges a kiematika ismerete, a kietikus és poteciális eergia megfelelő kifejezése és a tehetetleségi yomaték számítása, valamit helyese kell alkalmazi a differeciálási szabályokat (pl. összetett függvéy deriválása). A feti példába láthattuk, hogy mozgás (rezgés) csak akkor jö létre, ha kitérítjük a redszert a stabil egyesúlyi helyzetéből és/vagy kezdeti sebességet aduk a hasábak. Ez utóbbi gyakra ütközéssel érhető el. Az ütközés tárgyalása azért is illeszkedik jól a Rezgésta taayagába, mert a következő,.2 fejezetbe bemutatadó ütközési modell a rezgésta eszköztárát felhaszálva potosítható ezt a részletesebb modellt a 2.3.6 fejezetbe mutatjuk be..2. Ütközés.2.. Ütközési modell, alapfeltevések Az ütközés sorá megváltozik az ütköző testek sebességállapota. A legegyszerűbb modell amit ebbe a fejezetbe ismertetük em foglalkozik az ütközés időtartama alatt lejátszódó folyamatokkal, csak egy számítási algoritmust ad, mellyel az ütközés előtti sebességállapot és az ütközést jellemző C R ütközési téyező ismeretébe kiszámítható az ütközésbe résztvevő testek ütközés utái sebességállapota. Csak két test ütközésével foglalkozuk, azaz kizárjuk azt az esetet, amikor három vagy több test egyszerre vesz részt az ütközésbe. A továbbiakba [Ω ; c S ] S és [Ω 2 ; c S2 ] S2 a két test ütközés előtti, míg [ω ; v S ] S és [ω 2 ; v S2 ] S2 a testek ütközés utái sebességállapotát jellemző vektorkettősöket jelöli, ahol S és S 2 a két test súlypotja. Akkor jöhet létre ütközés, ha a két test éritkezik és a testek éritkezési potjaiak a sebessége eltérő. c S Ω A Ω 2 S S 2 c S2.2. ábra. Két test ütközése. Az ábrá a testek ütközés előtti sebességállapotát ábrázoltuk; a közös éritőre merőleges ütközési ormálist jelöli. A modell felállítása sorá az alábbi feltevésekből iduluk ki:. Az ütközés olya rövid idő alatt játszódik le, hogy a testek közbe em mozdulak el (három vagy több test együttes ütközését is ezért zárjuk ki). 2. Az ütközés sorá olya agy erők lépek fel, hogy közbe mide más erő elhayagolható. Kivételt képezhetek a test valamely potját a helytálló köryezethez rögzítő kéyszerekbe ébredő reakcióerők.
4. FEJEZET. BEVEZETÉS 3. Az ütköző testek az éritkezési pot köryéké (lokálisa) deformálódak. Ettől a pottól távolabb már elhayagolhatóak tekitjük a deformációkat, ezért alkalmazhatjuk a sebességállapot számítására a merev testek kiematikája keretébe tault összefüggéseket. A tehetetleségi yomaték változását is elhayagoljuk, ugyaebből az okból. 4. Az ütközést a C R ütközési téyezővel jellemezzük, amiből következteti lehet az ütközés sorá bekövetkező mechaikai eergiaveszteségre. Az ütközési téyező a testek ayagi tulajdoságaitól és az ütközés körülméyeitől függőe a következő értékeket veheti fel: rugalmas testek: C R =, tökéletese rugalmas ütközés, képlékey testek: C R = 0, tökéletese rugalmatla ütközés, részbe rugalmasa, részbe képlékeye deformálódó testek: 0 < C R <. Az ütközés sorá fellépő erők agyságát em vizsgáljuk ebbe a modellbe, azoba maga az ütközési téyező függhet az átadódó erő agyságától. Godoljuk például egy gépkocsi karosszériájára, mely kis erők hatására rugalmasa, agy erők hatására képlékeye deformálódik (behorpad). 5. Az éritkezési potba fellépő súrlódási erőt elhayagoljuk. Következésképpe, em adódik át erő a közös éritő síkkal párhuzamosa, csak az éritő síkra merőleges ütközési ormális iráyába. Sima felszíű testek vagy egy sima és egy csúcsos (éles) felszíű test közös éritősíkja egyértelműe meghatározható az éritkezési potba. Két csúcs éritkezése ahol em defiiálható a közös éritő csak ulla valószíűséggel következhet be. 6. Síkbeli ütközésekre korlátozóduk, tehát feltesszük, hogy az ütközési ormális midkét test súlypoti tehetetleségi fősíkjába 2 esik és a testek az ütközés előtt is ezzel a síkkal párhuzamos síkmozgást végezek. Az ütközés utái sebességállapot számítási algoritmusa külöböző ütközés típusok eseté más és más lehet. Fotos, hogy még egymással ütköző testek esetébe is előfordulhat, hogy a két test szempotjából külöböző típusú az ütközés! A legegyszerűbb ütközés típus a cetrikus ütközés, az összes többi ütközési problémát is erre vezetjük vissza..2.2. Cetrikus ütközés Egy test szempotjából cetrikus az ütközés, ha a test egyik potja sem rögzített és a súlypotja rajta va az ütközési ormális hatásvoalá. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor midkét test szempotjából cetrikus az ütközés. Ilye pl. két szabado mozgó homogé golyó vagy korog ütközése, amit az.3 ábra szemléltet. Mivel az ütközés erejéhez képest mide más erő elhayagolható, az ütközés ereje pedig belső erő, két test cetrikus ütközése sorá a teljes impulzus (ledület) megmarad: m v S + m 2 v S2 = m c S + m 2 c S2. (.) 2 A tehetetleségi fősík két főtehetetleségi iráy által kifeszített sík. A harmadik főiráy erre a síkra merőleges, ugyaúgy, mit az ütközés sorá átadódó yomaték. Így a feltevésből következőe mid kiematikai, mid diamikai értelembe síkmozgást végez az ütköző test.
.2. Ütközés 5 c S c S m m 2 c S v S c S v S2 c S2 Ütközés előtt Ütközés közbe Ütközés utá.3. ábra. Két golyó ütközése. Csak az iráyú sebességkompoesek változak, a közös súlypot c S sebessége álladó marad, azaz c S = v S. A két testből álló redszer közös súlypotjáak helyvektora defiíció szerit r S = m r S + m 2 r S2 m + m 2, tehát a közös súlypot sebessége az ütközés előtt, illetve az ütközés utá eek idő szeriti differeciálásával kapható: Ebből következik, hogy c S = m c S + m 2 c S2 m + m 2 és v S = m v S + m 2 v S2 m + m 2. c S (m + m 2 ) = m c S + m 2 c S2 és v S (m + m 2 ) = m v S + m 2 v S2. (.2) A feti képleteket összevetve az impulzusmegmaradást kifejező (.) egyelettel, arra jutuk, hogy a két test közös súlypotjáak a sebessége em változik az ütközés sorá: c S = v S. (.3) Az ütköző testekre ható erő em ismert. Feltéve, hogy eek az erőek a agysága egy F (t) függvéy szerit változik és az ütközés a t 0 pillaattól a t 0 + τ pillaatig tart, az egyes testek impulzusáak megváltozása ami szité párhuzamos az ütközési ormálissal, az 5. feltevés miatt az erőimpulzussal vagy más éve erőlökéssel fejezhető ki: Z t0 +τ I m v S m c S = F dt és I 2 m 2 v S2 m 2 c S2 = Z t0 +τ F dt. (.4) t 0 t 0 A feti egyelet felírása sorá feltételeztük, hogy az ütközési ormális az -es test felől a 2-es test felé mutat. Természetese fordított iráyba is felvehető az ütközési ormális; az vektor tulajdoképpe a sebességek számításához haszált koordiáta-tegelyt defiiálja. Az ütközés erejéek hatásvoala egybeesik az ütközési ormális hatásvoalával, ezért a testek súlypotjaiak iráyú sebességkompoesei megváltozak. Cetrikus ütközés eseté a súlypotok rajta vaak hatásvoalá, tehát az ütközés sorá fellépő erő yomatéka midkét test súlypotjára ulla. Mivel a modellbe elhayagolhatóak tekitjük az ütközés ideje alatt ható más erőket, a testek perdülete megmarad, szögsebességük em változik: ω = Ω, ω 2 = Ω 2.
6. FEJEZET. BEVEZETÉS A kísérleti tapasztalatok szerit a a súlypotok sebességeiek iráyú kompoeseiből képzett C R = v Si v S v S c Si, i =, 2 (.5) ütközési téyező egy adott ayagpárra midig közelítőleg ugyaakkora értékű 3, bármelyik test sebességeit helyettesítjük is be. Itt c Si és v Si (i =, 2) a két test S illetve S 2 súlypotjáak iráyú sebességkompoesét jelöli az ütközés előtt és utá, míg v S = c S a közös súlypot sebességéek iráyú kompoese. Az ütközési téyezőek egy adott ayagpárra törtéő kísérleti meghatározása utá az ilye ayagokból készült testek ütközés utái sebessége az alábbi képletekkel számítható: v S = v S + C R (v S c S ) és (.6) v S2 = v S + C R (v S c S2 ). A feti képletek alapjá a következő módo képzelhetjük el az ütközés folyamatát: a testek az ütközés első szakaszába beyomódak és sebességük ormális kompoese megváltozik. Ez addig tart, amíg el em érik a közös súlypot v S sebességét, azaz sebességváltozásuk ezalatt v S c Si, i =, 2. Az ütközés második szakaszába a beyomódott testek részbe visszayerik eredeti alakjukat. Mivel a testek között az ütközés teljes időtartama alatt csak yomóerő hathat, a sebességük továbbra is ugyaolya értelembe változik (ő vagy csökke) mit az ütközés első szakaszába, de a em tökéletese rugalmas deformáció miatt már em következik be ugyaakkora sebességváltozás, csak aak a C R -szerese. Maxwell-ábrák Az (.6) képletek megjegyzése helyett javasolt egy egyszerűe áttekithető grafikus szerkesztési eljárás alkalmazása, az ú. Maxwell-ábra rajzolása. A Maxwell-ábra agy előye, hogy szemléletese ábrázolja az ütközés két szakaszába lejátszódó folyamatokat. A szerkesztés lépései az.4 ábra alapjá a következők: Felvesszük az ütközési ormálist és egy O potjából (mit origóból) felmérjük a súlypotok ütközés előtti sebességvektorait: c S, c S2. A vektorok végpotjait M -gyel és M 2 -vel jelöljük. (.2) alapjá kiszámítjuk a közös súlypot c S v S sebességét és szité berajzoljuk az ábrába. A vektor végpotja az S pot. A c S és c S2 vektorok M és M 2 végpotjai át párhuzamosokat húzuk -el, az S poto keresztül pedig merőlegest állítuk -re. A behúzott egyeesek metszéspotjait jelöljük P -gyel és P 2 -vel. Az ütközés sorá a sebességvektorok -re merőleges iráyú kompoesei em változhatak, tehát az ütközés utái sebességvektorok végpotjai is rajta leszek az - el párhuzamos egyeeseke, a Q és Q 2 potokba. Mivel P M = v S c S és Q P = v S v S, az ütközési téyező értelmezése alapjá Q P = C R P M és Q 2 P 2 = C R P 2 M 2, tehát az ütközés utái sebességvektorok végpotjai meghatározhatók. 3 Az ütközési téyező számos téyezőtől függhet (például az ütközés erejétől), de ezt sok esetbe elhayagolhatjuk.
.2. Ütközés 7 C R C R C R Q P M m 2 O v S C R c S Q P M v S c S S c S S c S m O c S2 v S2 Q 2 P 2 M 2 2 C R 2 O 2 c S2 M 2 v S2 2 P 2 C R 2 Q 2 C R C R.4. ábra. Maxwell-ábra és egyszerűsített Maxwell-ábra szerkesztése. Mivel a sebességvektorokak csak az iráyú kompoesei változak, gyakra csak egy egyszerűsített Maxwell-ábrát rajzolak. Ehhez az ütközési ormálissal párhuzamosa két segédegyeest kell rajzoli, melyeke a két test megfelelő sebességkompoeseit tütetjük fel. A szerkesztés lépései megegyezek az általáos eset lépéseivel. Ha a két segédegyees -től mért távolsága aráyos az m és m 2 tömegekkel és a c S, v S sebességeket az m 2 -vel (!) aráyos távolságba felvett egyeesre, a c S2, v S2 sebességeket pedig az m -gyel aráyos távolságba felvett egyeesre rajzoljuk fel, akkor az ütközés előtti- és utái sebességvektorok végpotjait összekötő egyeesek éppe a közös súlypot sebességét megadó vektor S végpotjába metsződek. A fejezetbe ismertetett eljárások akkor is haszálhatók, ha az ütközésbe részt vevő egyik test tömegét végteleül agyak tekithetjük például ha falak vagy a talajak ütközik egy test. Ekkor a agy tömegű test sebessége em változik, így akár el is hagyható a Maxwell-ábra arra voatkozó része. Az ütközési téyező mérése Az ütközési téyező méréséhez lapot és m tömegű golyót készítük az ütköző testek ayagából. A lapot végtele agy m 2 tömegűek tekithető alapra helyezzük és a golyót H magasságból leejtjük, mely h magasságig patta vissza. A mukatétel alapjá m gh = 2 m c 2, (.7) amiből a golyó becsapódásáak sebessége c = 2gH. Ehhez hasolóa, a visszapattaás sebessége v = 2gh.
8. FEJEZET. BEVEZETÉS Mivel az álló alap tömegét végtele agyak tekitjük (m 2 és c 2 = 0), a közös súlypot sebessége is ulla: v S = 0. Felhaszálva az (.6) képletet, a golyó visszapattaásáak sebessége kifejezhető az ütközési téyezővel is: azaz v = 0 + C R (0 c ) = C R c, (.8) C R = v c = ÁBRA: Maxwell-ábra ehhez az esethez. s 2gh h = 2gH H. (.9).. megjegyzés: A golyó leeséséek ideje a magasság gyökével aráyos: 2 gt2 H = H t H = s 2H g (.0) és hasolóa számítható a felpattaás t h ideje is. Ebből következik, hogy a leesés és a rákövetkező felpattaás idejéek aráya s t h h = t H H = C R. (.) A felpattaás utá újra leesik a test, ami szité t h ideig tart. Az egymás utái idők mértai sorozatot alkotak C R háyadossal. Figyelembe véve, hogy a leesés ideje t H, az utáa következő i-edik felpattaás és újabb leesés együttes ideje pedig 2t H CR i, a modell szerit végtele sok ütközés játszódik le véges idő alatt: t össz = X i= 2t H C i R + t H = 2t H C R + t H. (.2) Ezt a jeleséget tapasztalhatjuk, amikor pig-pog labdát pattogtatuk egy asztalo: a folyamat végé jól hallhatóa sűrűsödek az ütközések. Speciális esetek Érdemes megvizsgáli a tökéletese rugalmas (C R = ) és a tökéletese rugalmatla (C R = 0) ütközések eseteit az.6 képletek alapjá. Ha C R =, akkor v S = v S + (v S c S ) 2v S c S v S2 = 2v S c S2. és Következésképpe, tökéletese rugalmas ütközés eseté v S v S2 = c S2 c S, (.3) azaz a két test ütközés előtti és utái relatív sebessége ugyaakkora agyságú, de elletétes iráyú. Ha a két tökéletese rugalmas test tömege egyelő, akkor (.2) miatt v S = (c S + c S2 )/2, amiből v S = c S2 illetve v S2 = c S. Tehát ebbe a speciális esetbe a két test sebességet cserél.
.2. Ütközés 9 Ha az ütközés tökéletese rugalmatla, azaz C R = 0, akkor v S = v S + 0(v S c S ) v S v S2 = v S. és Ez azt jeleti, hogy midkét test ütközés utái sebessége megegyezik a közös súlypot sebességével, a két test szorosa egymás mellett marad. Fotos speciális eset az ú. egyees ütközés esete, amikor a súlypotok sebességéek ics éritő iráyú összetevője, azaz pl. c S = c S és v S = v S. Ekkor a testek ütközés előtti kietikus eergiája összese T e = 2 a tökéletese rugalmatla ütközés utá pedig m c 2 S + m 2c 2 S2 T u = 2 (m + m 2 ) v 2 S 2, (.4) (m c S + m 2 c S2 ) 2. (.5) (m + m 2 ) A feti két egyelet alapjá meghatározható az ütközés sorá bekövetkező eergiaveszteség: E = T u T e = m m 2 (c S c S2 ) 2. (.6) 2 m + m 2 Ebből a képletből látható, hogy ha a 2-es idexű test az ütközés előtt yugalomba volt (c S2 = 0), akkor E = T u T e = m 2 m + m 2 2 m c 2 S m 2 m + m 2 T e, (.7) azaz a maradó alakváltozásra jutó eergia a testek tömegaráyától függ, amit a műszaki alkalmazásokba a célak megfelelőe választhatuk meg. Például ha a szög-kalapács ütközést tökéletese rugalmatlaak tekitjük, akkor a feti formula szerit miél agyobb m tömegű kalapácsot érdemes haszáluk, ha az a céluk, hogy miél kisebb legye az m 2 tömegű szög maradó deformációja (e görbüljö el). Ezzel szembe kovácsoláskor éppe a mukadarab deformációjára szereték fordítai az ütközés előtti mozgási eergia miél agyobb részét. Mivel a mukadarab tömege általába em változtatható, azt agy tömegű üllőre helyezve érhető el a megfelelő tömegaráy..2.3. Álló tegely körül elforduló test ütközése Számos ütközési problémába az egyik vagy midkettő test egy rögzített tegely körül képes elforduli. Ebbe az esetbe em alkalmazható közvetleül az (.6) képlet, hisze az ütközés sorá a csuklóba is az ütközési erőek megfelelő agyságredű erő alakulhat ki, ami em hagyható figyelme kívül. Ezt az esetet is szereték visszavezeti cetrikus ütközésre. Tegyük fel, hogy a vizsgált test az O csukló körül tud elforduli. Ütközés előtti szögsebessége Ω ez meghatározza sebességállapotát, hisze v O = 0, az O poto átmeő, Ω -gyel párhuzamos tegelyre számított tehetetleségi yomatéka pedig Θ o. Céluk az ütközés utái szögsebesség meghatározása.
0. FEJEZET. BEVEZETÉS l S O Ω c S m, Θ s m T T R t0 +τ t 0 F(t) dt.5. ábra. Álló tegely körül elforduló test ütközése. Ha az ütközésbe résztvevő másik testről az.5 ábráak megfelelőe F(t) erő adódik át az ütközés τ ideje alatt, akkor a perdülettétel miatt az O potra számított perdület megváltozása az F(t) erő O poto átmeő tegelyre számított yomatékáak idő szeriti itegrálja Z t0 +τ Π o Θ o ω Θ o Ω = l F (t) dt, (.8) t 0 ahol l az F(t) erő hatásvoaláak (azaz az ütközési ormálisak) az O csuklótól mért távolsága. A egatív előjel aak felel meg, hogy az.5 ábrá az óramutató járásával elletétes forgásiráyú Ω szögsebességgel elletétes a yomatéklökés iráya. A levezetés egyszerűsítése érdekébe vegyük fel egy T -gyel jelölt, ú. ütközési talppotot, melyet az O pot -re törtéő merőleges vetítésével kapuk, tehát OT = l. Az (.8) egyelet átírható a következő alakba: Θ o l 2 (lω ) Θ o l 2 Z (lω t0 +τ ) = F (t) dt. (.9) t 0 A zárójeles kifejezések a talppot ütközés előtti és utái sebességét adják meg, hisze c T = lω és v T = lω. Bevezetve az redukált tömeget, az m T = Θ o l 2 Z t0 +τ m T v T m T c T = F (t) dt (.20) t 0 egyeletre jutuk, ami ugyaolya alakú, mit a cetrikus ütközésre kapott (.4) egyeletek. Következésképpe, az álló tegely körül elforduló testet egy T potba lévő, m T tömegű potszerű testtel helyettesíthetjük, ami már cetrikusa ütközik. Eek a helyettesítő testek ugyaakkora az O potra számított tehetetleségi yomatéka, mit a valódi testek, ezért azt tökéletese helyettesíti a perdülettételbe. A kiematikai számítások sorá természetese figyelembe kell veük azt is, hogy az O pot sebessége ulla marad. A fetiek alapjá a feladat megoldásáak algoritmusa a következő:. A T talppot meghatározása: az O tegelytől merőlegest bocsátuk az ütközési ormálisra. 2. Az m T = Θ o /l 2 redukált tömeg meghatározása, ahol l a talppot távolsága a tegelytől.
.2. Ütközés 3. A talppot ütközés előtti sebességéek meghatározása: c T = lω. 4. Ha a másik test is álló tegely körül tud elforduli, akkor értelemszerűe meg kell határozi a megfelelő T 2 talppotját, m T 2 redukált tömegét és a c T 2 sebességet. 5. Most már visszavezettük a feladatot két m T illetve m T 2 tömegű, c T illetve c T 2 sebességű test cetrikus ütközésére. A közös súlypot sebességét a képlet segítségével határozzuk meg. c S = m T c T + m T 2 c T 2 m T + m T 2 6. A cetrikus ütközési feladat megoldása Maxwell-ábrával vagy az (.6) képlettel. Eredméykét megkapjuk a talppot ütközés utái v T sebességét. 7. Az ütközés utái szögsebesség számítása: ω = v T /l..2.4. Excetrikus ütközés Ha a test egyik potja sem rögzített és az ütközési ormális em megy át a test súlypotjá, akkor az ütközés excetrikus. Ahogy korábba már említettük, ez a besorolás em magát az ütközést, haem az abba részt vevő test szerepét jellemzi. Például egy teiszütőek csapódó teiszlabda szempotjából az ütközés cetrikus, az ütő szempotjából pedig excetrikus. Egy hitára felugró kisgyerek esetébe pedig a hita szempotjából álló tegely körül elforduló test ütközéséről, a gyerek szempotjából pedig excetrikus ütközésről beszélhetük. Ezért a továbbiakba csak egy darab testre írjuk fel a megfelelő egyeleteket, így a fizikai meyiségek idexeit is elhagyjuk. Síkbeli ütközésekre korlátozóduk, tehát feltesszük, hogy az ütközési ormális a test súlypoti tehetetleségi fősíkjába esik. Ezúttal ics a testek rögzített potja, ezért mid az impulzustételt, mid a súlypotra felírt perdülettételt fel kell haszáluk: I mv S mc S = Z t0 +τ Π S Θ S ω Θ S Ω = r SA t 0 F(t) dt, (.2) Z t0 +τ t 0 F(t) dt r SA I, (.22) ahol r SA a súlypotból az F(t) erő támadáspotjába mutató vektor. Ez az erő adódik át az ütközésbe részt vevő másik testről. A fetiek szerit v S c S = I és (.23) m ω Ω = Θ s r SA I. (.24) Most is hasolóa járuk el, mit az álló tegely körül elforduló testek vizsgálata sorá: egy helyettesítő testet keresük, mellyel visszavezethető az ütközés a cetrikus ütközés esetére. Ehhez a testek egy olya potját kell megkeresük, amiek a sebessége az átadódó I erőlökéssel aráyosa változik, ahol az aráyossági téyező a megfelelő egyelőre ismeretle m T redukált tömeg reciproka, ugyaúgy, mit az (.20) képletbe. A keresett T potot most is ütközési talppotak evezzük.
2. FEJEZET. BEVEZETÉS Omega K p S q T Thull ck cs t vt erolokes A T pot ütközés előtti és utái sebessége kifejezhető a súlypot sebességével és a szögsebességgel: Ie a sebesség megváltozása Az (.23) és (.24) egyeletek alapjá A hármas vektoriális szorzatot kifejtve, v T c T = c T = c S + Ω r ST, (.25) v T = v S + ω r ST. (.26) v T c T = v S c S + (ω Ω) r ST. (.27) v T c T = m I + Θ s (r SA I) r ST. (.28) m + (r SA r ST ) I r SA (r ST I). (.29) Θs Θ s Ez a kifejezés akkor lesz aráyos a I erőlökéssel, ha a második tag ulla, azaz ha r ST I. Mivel az erőlökés az ütközési ormálissal párhuzamos, az ütközés talppotját a súlypoto átmeő, ütközési ormálisra merőleges egyeese kell keresük. A redukált tömeg pedig m T = m + Θ s (r SA r ST ) m T = m Θ s Θ s + m r SA r ST = m Θ s Θ s + m q t, (.30) ahol t a talppot súlypottól mért távolságát, q pedig az ütközési ormális súlypottól mért (ismert) távolságát adja meg. A talppot helyéek meghatározásához figyelembe kell veük, hogy egy szabado mozgó merev test diamikailag em helyettesíthető egyetle tömegpottal. Ezért egy olya helyettesítő testet kostruáluk, ami két darab, m T és m K tömegű tömegpotból áll, úgy, hogy a teljes tömege, tehetetleségi yomatéka és súlypotjáak helye megegyezze az eredeti testével. Egy ilye test diamikailag egyeértékű az eredeti testtel. A helyettesítő test súlypotja csak akkor eshet egybe az eredetivel, ha az m K tömegű testet is a súlypoto átmeő, -re merőleges egyeese keressük. Eek a K potak a
.2. Ütközés 3 súlypottól mért távolságát p-vel jelölve, a fetiek alapjá az alábbi egyeletredszer írható fel: m Θ s m T = Θ s + m q t, m T + m K = m, m T t 2 + m K p 2 = Θ s, (.3) m T t m K p = 0. Az (.3) egyeletredszert megoldva, a következő eredméyek adódak az ismeretle m T, m K, t és p meyiségekre: m T = m Θ s Θ s + m q 2, t = q, m K = m2 q 2 Θ s + m q 2, p = Θ s mq. (.32) Ebből következik, hogy az ütközés talppotja az ütközési ormáliso helyezkedik el (t = q). Az ütközési talppot mellett bevezetett K potot lökésközéppotak evezik. Ez a pot azzal a külöleges tulajdosággal redelkezik, hogy ütközés előtti és utái sebessége megegyezik. Eek belátásához alkalmazzuk a K potra az (.29) képletet (a második tag itt is ulla, mert r SK I): v K c K = m + (r SA r SK ) I. (.33) Θs Mivel r SA r SK = qp és p = Θs mq, v K c K = m qp I = Θs m q Θ! s I = 0. (.34) Θ s mq A lökésközéppot megkereséséek számos műszaki alkalmazása lehetséges. Például ha azt szereték, hogy egy tegely körül elforduló test ütközése sorá az ütközésből csapágyerők e keletkezzeek, akkor célszerű a tegelyt a lökésközépotba helyezi. Ugyaezt az elvet haszálhatjuk ki a kalapács haszálata sorá, mikor a szerszám yelét ott fogjuk meg, ahol a kezükre lökések em adódak át. A feladat megoldásáak algoritmusa (most -es idexszel jelölve az excetrikusa ütköző testet) a következő:. A T talppot meghatározása: az S súlypotból merőlegest bocsátuk az ütközési ormálisra. 2. Az m T = Θ S /q 2 redukált tömeg meghatározása, ahol q a talppot távolsága a tegelytől. 3. A talppot ütközés előtti ormális sebességkompoeséek meghatározása: c T = c S + qω. 4. A lökésközéppot ormális sebességkompoeséek meghatározása: c K = c S pω. 5. Ha a másik test szempotjából is excetrikus az ütközés, akkor értelemszerűe meg kell határozi a megfelelő T 2 talppotját, m T 2 redukált tömegét és a c T 2, c K2 sebességeket.
4. FEJEZET. BEVEZETÉS 6. Most már visszavezettük a feladatot két m T illetve m T 2 tömegű, c T illetve c T 2 sebességű test cetrikus ütközésére. A közös súlypot ormális iráyú sebességkompoesét a c S = m T c T + m T 2 c T 2 m T + m T 2 képlet segítségével határozzuk meg. 7. A cetrikus ütközési feladat megoldása Maxwell-ábrával vagy az (.6) képlettel. Eredméykét megkapjuk a talppot ütközés utái v T sebességét. 8. Az ütközés utái szögsebesség számítása sorá azt haszálhatjuk ki, hogy a lökésközéppot sebessége em változik: ω = (v T c K )/(p + q). Hirtele rögzítés A műszaki gyakorlatba olya ütközési esetekkel is találkozhatuk, amikor egy mozgó test valamely A potját hirtele rögzítjük például beleakad valamibe a test vagy ekiütközik a helytálló köryezetek. Síkbeli ütközések esetébe azt haszálhatjuk ki, hogy a rögzítés sorá fellépő erő A poto átmeő tegelyre számított yomatéka ulla. Következésképpe, az A potra számított D A kietikai yomaték is ulla. A kietikai yomaték és a perdület derivált közötti összefüggés szerit D A = Π A + v A mv S, (.35) tehát ulla yomaték eseté Π A = v A mv S. (.36) Az ütközés sorá rövid idő alatt ullára csökke a v A sebesség. Ha az ütközés sorá végig v A k v S ez az alkalmazások sorá gyakori, akkor a perdület derivált végig ulla marad, azaz az A potra számított perdület álladó, ami alapjá meghatározható a test rögzítés utái szögsebessége. Ameyibe em párhuzamos az A pot sebessége a súlypot sebességével, a perdület derivált em lesz ulla az ütközés időtartama alatt. Azoba figyelembe véve, hogy az ütközés általába agyo rövid idő alatt játszódik le, a perdület megváltozása elhayagolhatóak tekithető, így ebbe az esetbe is kihaszálható az A potra számított perdület megmaradása..3. Mechaikai legőredszerek A fizikai világ boyolultsága miatt a jeleségek leírásához modelleket kell felállítauk, melyek a vizsgálataik szempotjából léyeges tulajdoságokat ragadják meg. A mechaika korábba vizsgált fejezeteibe számos modellt ismertük meg, pl. a rúd-, lemez-, ayagi pot- és merev test modellt. A rezgéstaba talá még absztraktabbak a modellek, mit a mechaika más területei, ezért általába a mozgásegyelet felírása azaz a modell paramétereiek a meghatározása a legehezebb a feladatok megoldása sorá. A mozgásegyelet megoldása már számos a gyakorlatba fotos modell esetébe egyszerű végképletekkel megadható. A fetiek alapjá a rezgéstai feladatok méröki megoldása az alábbi lépésekbe törtéik (lásd.6 ábra):