Bácsó Sándor - Ppp Ildkó - Szbó József PROJETÍV GEOMETRIA mobdiá könyvtár
Bácsó Sándor - Ppp Ildkó - Szbó József PROJETÍV GEOMETRIA
mobdiá könyvtár SOROZATSZERESZTÖ Fzeks István
Bácsó Sándor - Ppp Ildkó - Szbó József PROJETÍV GEOMETRIA Jegyzet Első kdás mobdiá könyvtár Debrecen Egyetem
Lektor Copyrght Bácsó Sándor Ppp Ildkó Szbó József, 4 Copyrght elektronkus közlés mobdiá könyvtár, 4 mobdiá könyvtár Debrecen Egyetem Informtk Intézet 4 Debrecen, Pf.. Hungry http://mobdk.nf.undeb.hu/ A mű egyén tnulmányozás céljár szbdon letölthető. Mnden egyéb felhsználás csk szerző előzetes írásbel engedélyével történhet. A mű A mobdiá önszervező mobl portál (ITA, OMFB-7/) és GNU Iterátor, legújbb generácós portál szoftver (ITEM, 5/) projektek keretében készült.
Trtlomjegyzék Történet áttekntés Affntás 6 Osztóvszony, egyenesnek egyenesre vló ffn leképezése 6 Síknk síkr vló ffn leképezése, áltlános ffntás 9 Tengelyes ffntás Áltlános ffntás tengelyes ffntássá lkítás 6 Másodrendű görbe ffn képe 7 Ellpszssel kpcsoltos feldtok A projektív síkgeometr lpj 6 Végtelen távol elemek értelmezése, dultás elve 6 Projektív lplkztok 8 Projektív műveletek 9 Elsőfjú projektív lplkztok perspektív helyzete 9 Rendezés és projektív geometr rendezés ómá ettősvszony Elsőfjú projektív lplkztok projektív leképezése 9 Hrmonkus pontnégyes, teljes négyszög 45 Involúcó 47 Desrgues-tétel 57 Projektív síkok között projektív leképezések 6 A síkbel projektív leképezések főtétele 65 ollneácók 7 Centráls kollneácóvl megoldhtó feldtok 8 orrelácó 89 Anltkus rész 9 Az ffn sík nltkus modellje 9 A projektív sík nltkus modellje 94 Végtelen távol elemek 95 A projektív sík térbel szntetkus modellje 97 A projektív sík térbel nltkus modellje 98 A projektív egyenesek között trnszformácók 99 A projektív trnszformácó nltkus modellje A projektív síkgeometr lptétele Affn trnszformácó csoport 4 oordnátrendszer projektív egyenesen 7 ettősvszony oordnát-lplkzt sugársorbn Projektív koordnátrendszer projektív síkon 5 A projektív tér nltkus modellje 9 oordnát-trnszformácó Térbel koordnát-lplkzt
Másodrendű lkztok 5 Másodrendű görbék osztályozás 6 Másodrendű felületek osztályozás 8 Nemelfjuló vlós másodrendű görbék Polárs egyenes értelmezése Az érntők értelmezése onjugált pontok 5 onjugált egyenesek 8 Másodosztályú görbék 4 Stener tételek 4 Pscl és Brnchon tétele 48 Stener-féle szerkesztés 56 Vlós, nemelfjuló másodrendű görbék projektív ekvvlencáj 59 Az egyenes körkúp síkmetszete 59 Az egyenes körhenger síkmetszete 6 Másodrendű felületek 64 Másodrendű kúp 7 Másodrendű vonlfelületek 7 Projektív síkok között korrelácó 77 Projektív síknk önmgár vontkozó korreltív leképezése 78 orreltív nylábok 8 Projektív terek között korrelácó 8 Nemelfjuló másodrendű felületek előállítás korreltív nylábok segítségével 8 Projektív metrk 86 Távolság 86 Szögfoglom 88 Merőlegesség projektív meghtározás 89 Függelék 95 Másodrendű görbék és eukldesz osztályozásuk 97 Másodrendű felületek és eukldesz osztályozásuk 5 A másodrendű görbe fókusznk projektív értelmezése A másodrendű görbék htványvonl 9 A kúpszeletek kollneácós képe A kúpszeletek smulóköre 4 úpszeletsor 8 Stener rokonság 8 Másodrendű kúp tengelye 44 Szférkus kúpszelet 46 Hperbolkus és ellptkus trnszformácók 49 Másodrendű felületsor 5 Nullrendszer 57 Irodlomjegyzék 6
Anltkus rész Az ffn sík nltkus modellje Az eukldesz síkon dott egy derékszögű koordnátrendszer, melyben mnden ponthoz egy vlós számpárt rendelünk hozzá. Ez hozzárendelés vlós számpárok és sík pontj között kölcsönösen egyértelmű. Nemcsk pontokt, hnem z egyeneseket s tudjuk jellemezn ebben koordnátrendszerben. Mnden egyenest olyn vlós számhárms jellemez, melyben z első két vlós szám egyszerre nem lehet null, ezenkívül, h egy számhárms jellemz kválsztott egyenesünket, kkor nnk számhármsnk tetszőleges, nem null sklárszoros s hozzárendelhető. (Ezt tuljdonságot homogentásnk nevezzük.) A sík egyenese és vlós számhármsok között már nem kölcsönösen egyértelmű kpcsolt. Megállpodunk következőkben:. Mnden ponthoz egyértelműen hozzárendelünk egy (, y) rendezett számpárt, hol és y mnden vlós értéket felvehet, és ezeket pont koordnátánk nevezzük. ét pont, P(, y) és Q(', y') kkor és csk kkor egyenlő, h =' és y=y'.. Mnden egyeneshez hozzárendelünk egy rendezett (u, u, u ) számhármst, melyre (u) + (u ) >. Az u, u, u mnden vlós értéket felvehet, mely teljesít z előbb feltételt és mnden lyen tuljdonságú számhármshoz trtozk egy egyenes. ét (u, u, u ) és (v, v, v ) egyenes kkor és csk kkor egyezk meg, h u u u Rng = v v v, zz két számhárms rányos. Ebből következk, hogy z egyenesek és számhármsok között hozzárendelés nem kölcsönösen egyértelmű. Mnden számhármshoz pontosn egy egyenes trtozk, míg egy egyeneshez zérustól különböző konstns szorzó erejég tudunk számhármsokt rendeln.. Egy P (,y) pont kkor és csk kkor lleszkedk egy (u, u, u ) egyenesre, h koordnátákr teljesül + u y + u. u = A P(, y ) és Q(, y ) egymástól különböző pontokr egy és csk egy egyenes lleszkedk. Ennek megdás z u + u y + u = u + u y + u = egyenletrendszer megoldásávl történk. Az R(, y) pont lleszkedk P(, y ) és Q(, y ) áltl meghtározott egyenesre, h = + t ( ) y = y + t (y y) vlmely t vlós értékre. 9
u u u ét különböző (u, u, u ) és (v, v, v ) egyenes (zz h Rng = v v v ) u u kkor és csk kkor párhuzmos, h =. v v (Ez zt jelent, hogy két egyenes (u, u ) és (v, v ) normálvektor egymássl párhuzmosk.) oordnát-trnszformácónk nevezzük zt z eljárást, mely során z. és. megállpodások fgyelembevételével pontokhoz és egyenesekhez új, de z eddgektől nem feltétlenül különböző koordnátákt rendelünk hozzá. Fontos, hogy trnszformácó előtt teljesülő lleszkedés, lletve nem lleszkedés trnszformácó után s fennálljon. Újbb megállpodás: 4. Megköveteljük, hogy z.,. és. megállpodások koordnát-trnszformácó után s érvényben mrdjon. Mnden ponthoz rég és új koordnátákbn s csk egyetlen (, y) és (, y) számpár trtozk, ezért számpárok kölcsönös és egyértelmű kpcsoltbn állnk: és y z és y függvényeként dhtó meg: = f (, y) y = f (, y). A kölcsönös és egyértelmű vontkozás mtt mndez fordítv s gz, és y z és y függvényeként dhtó meg: = ϕ (, y) y = ϕ (, y). Az.-4. megállpodások áltl megdott ffn geometránk nncs külön pont- és egyenestrnszformácój, zz pontkoordnáták trnszformácój mg után vonj z egyeneskoordnáták trnszformácóját. Adott egyenesre lleszkedő pontok koordnátá kelégítk z + u y + u u = u ϕ (, y) + u ϕ (, y) + u = egyenletet. A pontkoordnát-trnszformácó után,melyet átlkítv z u + u y + u = lkot kpjuk. 9
Homogén tuljdonságú pontkoordnáták keresése A pontok eddg jellemzésében z volt jó tuljdonság, hogy egy koordnátpár egyértelműen jellemezte pontot. De most z egyenesekhez hsonlón szeretnénk jellemezn pontokt, vgys homogén tuljdonságú számhármsokkl. Ezért állítsuk elő P pont és y koordnátát következőképpen: = és y =, hol. Az így meghtározhtó (,, ) számhármsokt rendeljük ponthoz. Ezek rendelkeznek kívánt homogén tuljdonsággl, zz zérustól különböző konstnsszorzó erejég jellemzk pontot. Itt z ffn síkon mnden számhárms olyn, hogy. Felmerülhet kérdés: Mlyen pontok jellemezhetők olyn számhármsokkl, melyekben =? Az eukldesz síkon nem tlálunk lyen pontokt, de már tudjuk zt, hogy z eukldesz síkot k lehet bővíten projektív síkká. Ez gykorltlg zt jelent, hogy z eddg pontokon kívül megjelennek végtelen távol pontok, melyek egy ún. végtelen távol egyenesre lleszkednek. A párhuzmos egyeneseknek eddg nem volt közös pontjuk, de most z egymássl párhuzmos egyenesek egy közös végtelen távol pontbn metszk egymást. Az = megengedésével éppen sík végtelen távol pontjnk jellemzése válk lehetővé, ugyns ezeknek pontoknk nem lehet ffn (nem homogén) koordnátájuk. Tekntsünk egy konkrét példát: Az eukldesz síkon z 5+4y+= 5+4y+= két különböző, és egymássl párhuzmos egyenes. Az eukldesz síkon ennek két egyenesnek nncs közös pontj, zz nem létezk olyn (,y) vlós számpár, mely mndkét egyenletet kelégítené. Végezzük el következő helyettesítéseket: = és y = (hol ). Az -ml vló szorzás után két egyenlet következő lkú: 5 +4 + = 5 +4 + =. Ebben z lkbn már megengedhető, hogy z = legyen. Ekkor (,, ) vlós számhármsok között tlálunk olyt, mely mndkét utóbb egyenletet kelégít. Ilyen számhárms (-4, 5, ). De nem csk ez z egy számhárms elégít k ezt z egyenletet, hnem mnden olyn s, mely ebből egy zérustól különböző konstnssl vló szorzássl nyerhető. Ezek megoldásként kpott számhármsok nem jellemezhetnek z eukldesz síkon lévő pontot, mert zt már korábbn vlós számpár jellemezte voln. Mután z eukldesz síkot kbővítettük végtelen távol elemekkel, (-4, 5, ) számhárms (és sklárszoros) egy végtelen távol pontot jellemeznek. Ez pont két egyenes közös végtelen távol pontj. 9
A projektív sík nltkus modellje Az előbb meggondolások lpján projektív síkon (mely z eukldesz sík kbővítésével keletkezett), nem teszünk különbséget végesben fekvő és végtelen távol pontok között. Ez jelenk meg z nltkus jellemzésben s. Az nltkus modell képítéséhez szükséges megállpodások:. Mnden ponthoz zérustól különböző konstnsszorzó erejég rendelünk hozzá rendezett vlós számhármst: P (,, ), melynek rngj, zz ( ) +( ) +( ) > és mnden lyen tuljdonságú számhármshoz trtozzon egy pont. A számhármst pont koordnátánk nevezzük. ét pont, P és Q(y,y,y ), kkor és csk kkor egyenlő, h Rng = y y y. övetkezmény Mnden, nem csup zérusból álló számhármshoz pontosn egy pont trtozk, de mnden ponthoz végtelen sok számhárms rendelhető, melyek egymástól csk egy zérustól különböző konstns szorzóbn térnek el.. Mnden egyeneshez hozzárendelünk egy rendezett vlós (u,u,u ) számhármst, melynek rngj és mnden lyen számhármshoz trtozzon egyetlen egyenes. ét (u,u,u ) és (v,v,v ) egyenes kkor és csk kkor egyezk meg, h u u u Rng = v v v, zz két számhárms rányos. övetkezmény Az egyenesek és számhármsok között hozzárendelés nem kölcsönösen egyértelmű. Mnden számhármshoz pontosn egy egyenes trtozk, míg egy egyeneshez zérustól különböző konstns szorzó erejég tudunk számhármsokt rendeln.. Egy P(,, ) pont kkor és csk kkor lleszkedk egy (u,u,u ) egyenesre, h u +u +u =. Dultás elve: Az előbb megállpodásokt tekntve látszk, hogy ezek pontr és z egyenesre nézve teljesen szmmetrkusk. Ezért mnden olyn tételből, melyben fent szmmetr fennáll, egy újbbt nyerhetünk pont és egyenes felcserélésével z lleszkedés követelményét továbbr s fenntrtv. oordnát-trnszformácónk nevezzük zt z eljárást, mely során z. és. megállpodások fgyelembevételével pontokhoz és egyenesekhez új, de z eddgektől nem feltétlenül különböző koordnátákt rendelünk hozzá. Fontos, hogy trnszformácó előtt teljesülő lleszkedés, lletve nem lleszkedés trnszformácó után s fennálljon. Erre vontkozk következő megállpodás: 4. Megköveteljük, hogy. megállpodás koordnát-trnszformácó után s érvényben mrdjon. 94
A P pont eddg (,, ) koordnátá helyett z (,, ), és z e egyenes (u,u,u ) koordnátá helyett z (u,u,u ) koordnátákt vezetjük be. H eddg teljesült, hogy u +u +u = ( P pont lleszkedett z e egyenesre), kkor u +u +u = s teljesül. Az ffn síkon két egyenes Végtelen távol elemek u +u y+u = és v +v y+v =, u u u különböző, h Rng = v v v. Legyenek ezek z egyenesek egymássl u u párhuzmosk, zz Rng = v v. Most síkot kbővítjük projektív síkká. Ez z nltkus jellemzésben zt jelent, hogy z eddg ffn koordnáták helyett homogén koordnátákt vezetünk be. Mndkét egyenes egyenletébe z = és y = (hol ) helyettesítéseket elvégezzük, mjd z egyenleteket -ml véggszorozzuk. Ennek eredménye: u +u +u = és v +v +v =. Ebben z lkbn már = s megengedhető, vgys mostntól kezdve végtelen távol pont s hozzátrtozk z egyeneshez. Megmutthtó, hogy projektív síkon fent tuljdonságú egyenespár metsző, vgys vn közös pontjuk. u u u u u u Mvel Rng = v v, ezért =. Ezenkívül feltehető, hogy. Ekkor v v v v z egyenesek egyenletét át lehet rendezn u + u =- u v + v =- v és egy lneárs egyenletrendszerként kezelve -r megoldn. u u v = =. u u v v Az ffn síkon egymássl párhuzmos egyeneseknek projektív síkon vn metszéspontjuk, méghozzá z =-vl jellemzett végtelen távol pontjuk. Egészen pontosn z u +u +u = egyenes végtelen távol pontjánk homogén koordnátá: (u, -u, ) lletve ennek számhármsnk bármely nem null sklárszoros. Ezek lpján kmondhtó következő v 95
Az ffn síkbn párhuzmos egyenesek kbővített síkon ugynbbn végtelen távol pontbn metszk egymást. Az egy végtelen távol pontr lleszkedő egyenesek z ffn síkrészen párhuzmosk egymássl. Mnden egyenesre egy és csk egy végtelen távol pont lleszkedk. Az u +u +u = egyenes végtelen távol pontj z (u, -u, ) homogén koordnátákkl jellemzett pont. A projektív síkon végtelen távol pontok egy egyenesre lleszkednek, melyet végtelen távol egyenesnek nevezünk. Bzonyítás A végtelen távol pontokt (,,) számhármsok jellemzk, hol z, vlmelyke nem zérus. Az egyenesük egyenlete u +u +u =, melynek mnden, esetén teljesülne kell, zz u =u =, u =. A (,, ) számhárms áltl jellemzett egyenes mnden pontj végtelen távol pont. Bzonyítás Az egyenes egyenlete + + =, vgys =. Az egyenesre lleszkedő pontok koordnátánk ezt k kell egyenlítene, ez pedg csk kkor teljesül, h pontok hrmdk koordnátáj. H ez nem teljesül, vgys, kkor pont semmképpen sem lleszkedk z egyenesre. övetkezmény A projektív síknk egyetlen végtelen távol egyenese vn. Példák. Htározzuk meg z =-4 prbol végtelen távol pontját! Végezzük el z = és y = (hol ) helyettesítéseket, z egyenlet mndkét oldlát szorozzuk -ml. Átrendezve z + 4 = egyenletet kpjuk, melyet prbol homogén koordnátákkl felírt egyenletének nevezünk. Ekkor már megengedhető, hogy = s teljesüljön. H =, kkor =, melyből z = következk. De ekkor z már csk -tól különböző értéket vehet fel, pl. legyen. Ekkor prbol végtelen távol pontj: V (,, ). A megdott prbol egy orgó csúcspontú olyn prbol, melynek tengelye z y tengely, zz z = egyenes. Ez lpján prbol végtelen távol pontj éppen tengelyének végtelen távol pontj. Fontos, hogy síkon bármlyen állású prbol végtelen távol pontj smeretében tengelyének z állás smert y. Htározzuk meg z = hperbol végtelen távol pontjt! 9 6 96
A hperbol homogén koordnátákkl megdott egyenlete: 6 9 44 =. Mvel végtelen távol pontot keresünk, z =-t megengedjük. Az, párr következő összefüggést kpjuk: 6 9 =, melyet szorzttá lehet lkítn: (4 + )(4 - )=. H 4 + =, kkor pl.,-4 pár egy lehetséges megoldás. H 4 - =, kkor pl.,4 egy lehetséges megoldás. Ez lpján hperbol két végtelen távol pontj:v (, -4, ) és V (, 4, ). A megdott hperbol egy orgó középpontú olyn hperbol, melynek vlós tengelye 4, képzetes tengelye egység hosszúságú. Ez lpján z szmptotá 4+y= és 4- y= egyenesek. A számolás során z szmptoták végtelen távol pontjt htároztuk meg. Fontos, hogy síkon bármlyen állású hperbol végtelen távol pontj smeretében z szmptotánk z állás smert. A projektív sík térbel szntetkus modellje Adott projektív térben egy projektív sík, melyet egy eukldesz sík kbővítéseként nyertünk. Ezen kívül dott még egy O vontkozttás centrum. A sík elemehez következő hozzárendeléseket végezzük el: A sík egy P közönséges (véges helyzetű) pontjához rendeljük hozzá z OP egyenest. A sík egy Q végtelen távol pontjához rendeljük hozzá zt g egyenest, mely lleszkedk z O pontr és párhuzmos zzl z f egyenessel, mely Q pontot kjelöl. Ezt úgy s mondhtnánk, hogy z O pontot összekötöttük Q ponttl. Legyen e sík egy közönséges egyenese. Az e egyeneshez hozzárendeljük z O pontr és z e egyenesre lleszkedő síkot. A sík q végtelen távol egyeneséhez rendeljük hozzá zt síkot, mely lleszkedk z O pontr és párhuzmos síkkl. A sík pontjhoz z O pontr lleszkedő sugrkt, z egyenesehez z O pontr lleszkedő síkokt rendeltük. Mután ezek kölcsönösen egyértelmű hozzárendelések voltk, síkon egy pont és egy egyenes lleszkedésére kellene feltételt mondn. A sík vlmely P pontj pontosn kkor lleszkedk sík egy e egyenesére, h P ponthoz rendelt sugár lleszkedk z e egyeneshez rendelt síkr. A tér egy pontjár lleszkedő egyesített sugár- és síknyláb projektív sík egy térbel modelljét dj. 97
A projektív sík térbel nltkus modellje Adott projektív térben projektív sík, melyhez z előbb térbel szntetkus modellt rendeltük. Ezt modellt helyezzük úgy egy koordnátrendszerbe, hogy z O pont legyen z orgó és sík z y koordnátsíkkl párhuzmos sík, mely z tengely egységpontján hld át. A sík mnden P pontjához hozzárendeltünk z OP egyenest. Az egyenes tetszőleges pontjáb muttó helyvektor r=t v lkbn írhtó fel, hol v z egyenes egy rányvektor. Ehhez z egyeneshez v áltl generált -dmenzós vektorteret rendeltük. A sík mnden Q pontjához hozzárendeltünk z OQ egyenest. Az egyenes tetszőleges pontjáb muttó helyvektor r=τ u lkbn írhtó fel, hol u z egyenes egy rányvektor. Ehhez z egyeneshez u áltl generált -dmenzós vektorteret rendeltük. A P és Q pontok kkor esnek egybe síkon, h v és u áltl generált lterek megegyeznek, vgys két egyenes rányvektor csk egy konstnsszorzóbn tér el egymástól. Az OP egyenest {t v} ltér jellemz; h v koordnátá (v, v, v ), kkor z OP egyeneshez (t v, t v, t v ) (hol t ) lkú számhármsokt rendeltük. A sík vlmely e egyeneséhez hozzárendeltünk z Oe síkot. Ennek síknk vektorprméteres előállítás: r=t u+t v, hol z u és v lneársn független vektorok, t és t egyszerre nem lehet null. Az Oe síkot egy kétdmenzós ltérrel lehet jellemezn. Hsonló meggondolásokkl sík egy másk, f egyeneséhez hozzárendeltünk z Of síkot, mely egy másk kétdmenzós ltérrel jellemezhető. Az e és f egyenesek kkor egyeznek meg, h kétdmenzós lterek megegyeznek. Egy kétdmenzós ltérhez felfeszítő vektorok nem egyértelműen rendelhetők, de normálvektor áltl generált egydmenzós ltér már gen. Vgys sík egy e egyeneséhez hozzárendeltünk z Oe sík vlmely normálvektor áltl generált {t n} lteret; h n koordnátá (n, n, n ), kkor z Oe síkhoz (t n, t n, t n ) (hol t ) lkú számhármsokt rendeltük. H rr szeretnénk feltételt tláln, hogy mkor fog lleszkedn sík egy P pontj z e egyenesre. A feltétel következő: Az OP egyenes lleszkedjen z Oe síkr. Vektorokkl megfoglmzv: A P ponthoz rendelt {t v} ltér v vektor (mely z OP egyenes rányvektor) és z e egyeneshez rendelt {t n} ltér n vektor (mely z Oe sík normálvektor) legyen merőleges egymásr. Lneárs lgebrából smert, hogy két vektor kkor merőleges egymásr, h belső szorztuk null, vgys n v=. oordnátákkl kfejezve: n v +n v +n v =. Ezek hozzárendelések és z lleszkedésre mondott feltétel projektív sík nltkus modelljének első három megállpodásánk felel meg. 98
A projektív egyenesek között trnszformácók Adott egy projektív sík, melyen két egyenes között projektív leképezést szeretnénk nltkusn leírn. Ehhez már tudjuk zt, hogy mnden, egyenesek között projektív trnszformácó véges sok centráls vetítés egymás után lklmzásávl áll elő. Ezért érdemes először centráls vetítés nltkus megdásávl fogllkozn. Adott projektív síkon g és g egyenes és Q pont, mely lleszkedk -r, de nem lleszkedk g és g egyenesekre. Ebből Q pontból egymásr vetítjük z egyeneseket. Legyen P egy tetszőlegesen válsztott pont g egyenesen és P P Q-ból vló vetítéssel előálló képe g -n. Olyn koordnátrendszerben fogunk dolgozn, melynek z O orgój lleszkedk g egyenesre. Az O-ból Q-b muttó vektort jelölje (, ). Az O-ból P-be muttó vektort jelölje ξb(ξb, ξb ), hol b(b, b ) g egyenes egy rányvektor. Az O-ból -b muttó vektort jelölje k(k, k ), hol g egyenes pontj. Az -ból P -be muttó vektort jelölje ξ c(ξ c, ξ c ), hol c(c, c ) g egyenes egy rányvektor. Az O-ból P -be két féleképpen juttunk el; z egyk út Q ponton, másk ponton vezet keresztül. Mndez vektorokkl kfejezve: +ρ(ξb-)=k+ξ c, hol ρ. Ebben z lkbn csk ρ és ξ smeretlenek és P helyzetétől függenek. Átrendezve vektoregyenletet kpjuk: ξ c-ρ(ξb-)=-k. Ezt koordnátákr bontv egy lneárs egyenletrendszerhez jutunk, melyből z első két egyenletet fgyeljük, mvel csk két smeretlen vn: ξ c -ρ(ξb - )= -k ξ c -ρ(ξb - )= -k Ez z egyenletrendszer kkor oldhtó meg ρ-r és ξ -re, h z lpmátr determnáns nem egyenlő nullávl. c ξb c ξb Ebben mátrbn vektorok nem lehetnek lneársn függők, ezért mátr determnáns nullától különböző. Ekkor z egyenletrendszerünk megoldhtó és Crmer-szbályt hsználv: k ξb k ξb ξ' =. c ξb c ξb rξ + s Egyszerűbb lkr hozv: ξ' =, hol r, s, t, u-ból képzett mátr determnáns nem tξ + u null. Ezzel beláttuk, hogy centráls vetítéskor, h mnd vetített pontok, mnd zok vetülete s végesben vnnk, kkor koordnáták között kpcsoltot tört-lneárs kfejezés htározz 99
meg. Ennek kettébontásávl születk meg pontsorok között lneárs trnszformácó, mely már végtelen távol pontokt s kezeln tudj. A projektív trnszformácó nltkus modellje ét sík között legegyszerűbb projektív trnszformácó egy centráls vetítéssel előállíthtó, zz síkbel lkztok perspektív vontkozásbn vnnk egymássl. H vetítés után síkok vlmelykét elmozgtjuk z eredet helyzetéből, kkor két sík között kpcsolt csk több, de mndenképpen véges sok centráls vetítés egymás után lklmzásávl áll elő. Először perspektvtás nltkus leírását fogjuk megdn. Tekntsük Σ és Σ' síkokt és z O vetítés centrumot. A Σ-bn z {O,b,c} és '-ben z {O,d,e} lkot koordnátrendszert. Az dott P pont koordnátá (ξ,η), z smeretlen P ponté pedg (ξ,η ) megfelelő koordnátrendszerben. A (ξ,η) és (ξ,η ) között kpcsoltot kell megdnunk. Az ábránk megfelelően legyen E -bn (,, ), b(b,b,b ), c(c,c,c ), d(d,d,d ), e(e,e,e ), k(k,k,k ). Az O P' vektort kétféle képpen s elő lehet állítn, ebből dódk következő egyenlőség: = + OP' = k + O P'. Felhsználv, hogy OP' ρop és OP' O P', z előbb egyenlőség részletesen +ρ(ξb+ηc-)=k+(ξ d+η e). Mvel P-t smerjük, ξ és η smert, míg ρ, ξ' és η' smeretlen. Ez utóbbkt egy oldlr rendezve ξ d+η e+ρ(-ξb-ηc)=-k, komponensekben ξ d +η e +ρ( -ξb -ηc )= -k ξ d +η e +ρ( -ξb -ηc )= -k ξ d +η e +ρ( -ξb -ηc )= -k = mely egy lneárs egyenletrendszer ρ, ξ' és η' smeretlenekre és Crmer-szbály értelmében megoldhtó. Mvel z lpmátr determnáns d e ξb ηc D = d e ξb ηc. d e ξb ηc H D bármely ξ, η-r, kkor (,) esetében d, e,, (,) esetében d, e, -c, (,) esetében d, e, -b lneársn függő vektorhármsokt lkotnánk, zz, -b, -c és ezzel együtt O -bn vnnk. Ekkor nem tudunk vetíten. H D= vlmely ξ,η-r, kkor d, e, -ξb-ηc lneársn függőek, zz vetítősugár párhuzmos '-vel.
Vssztérve z egyenletrendszer megoldásár k e ξb ηc k e ξb ηc ξb ηc k e ξb ηc d k ξb ηc ξ' = η' =. D D A determnánsokt kfejtve ξ,η-bn lneárs kfejezéseket kpunk, így ξ + η + ξ + η + ξ' = η' =. ξ + η + ξ + η + A Σ és Σ' eukldesz síkok között centráls vetítés tört-lneárs kfejezéssel dhtó meg. Most mndkét síkon vezessük be homogén koordnátákt: ' ' ξ =, η =, ξ'=, η'=, ' ' ezzel tört-lneárs kfejezésenk következő lkot öltk: ' + + ' + + = =. ' + + ' + + A Σ és Σ' síkokt projektív síkká téve centráls vetítést következő egyenletek írják le: ' = + + ' = + d d k k ξb ηc ' = + + hol z k konstnsok egy olyn mátrot lkotnk, melynek determnáns zérustól különböző: = k k, k. Nemcsk perspektvtás, hnem z áltlános projektvtás s ezzel z egyenletrendszerrel írhtó le, mvel véges sok lyen típusú trnszformácó egymás után lklmzáskor kpott kfejezés mndg hsonló lkr hozhtó. Tekntsük z k k + =, k (,k=,,) trnszformácókt, melyek nverze z = bk k. Rendeljük hozzá mnden P( ) ponthoz z ( ) számhármst fent módon. Ez egy pontkoordnát-trnszformácót eredményez, mely mg után vonj egyeneskoordnáták trnszformácóját. Az u = egyenesen hjtsuk végre trnszformácót, ekkor z u bk k = összefüggésből z új egyeneskoordnáták u k = u bk, melyek u -ben szntén lneársn homogének.,
A projektív síkgeometr lptétele Láttuk, hogy síknk síkr vló vetítésekor pontok koordnátából képpontok koordnátát tört-lneárs trnszformácóként lehet megkpn, mely homogén koordnátákr áttérve homogén lneárs trnszformácóként írhtó át, és egyenletrendszere = k k lkú. Emlékeztetünk rr, hogy síkok között projektvtást (véges sok perspektvtás egymásutánj) 4 pontpárból szármztthtjuk, zz síkok között projektvtást 4 pontpár htározz meg. A projektív sík nltkus modelljében koordnát trnszformácót, úgy kell teknten, hogy vn egy lkztunk vlmlyen egyenlettel, és hhoz más egyenletet szeretnénk. y Pl. + = ellpszs z egyenlőszárú derékszögű koordnátrendszerben. H 4 9 zonbn bevezetjük z = ' és y = y' egyenletekkel megdott koordnáttrnszformácót, kkor egy + = egyenletet kpunk. Egyszerűsítve z ( ') ( y') 4 9 + y = 6 köregyenletet kpjuk. A síkbel projektív koordnát trnszformácót 4 áltlános helyzetű (bármely nncs egy egyenesen) pont rég és új koordnátá meghtározzák. (Ezzel számítás szempontjából teljesen zonos, hogy trnszformácót 4 áltlános helyzetű pontpár htározz meg, zz 4 pont és képe egy koordnátrendszerben meghtározz trnszformácót.) Bzonyítás Legyen projektvtást meghtározó 4 pontpár: P ( ) P' (' ) () () P ( ) P' (' ) () () P ( ) P' (' ) () () P4 ( ) P' 4 (' ) (4) A P, P, P, P 4 pontok közül bármely három nem lleszkedk egy egyenesre, h z ) (4) ( () () () (4) mátrból bármely hrmdrendű determnáns nem zérus. A P, P, P, P 4 pontok szntén áltlános helyzetű pontok, kkor ezek koordnátá hsonló feltételt elégítenek k, zz z ' ' ' ' ) ( () () () (4) mátrból bármely hrmdrendű determnáns nem zérus. Fgyelembe kell vennünk, hogy pontokhoz homogén koordnáták rányosság erejég trtoznk. Ezért z ( ) és (ρ ) P pontot htározzák meg, és ehhez () ()
hsonlón több pont esetén s fgyelembe kell vennünk zérustól különböző konstnsokt. Tegyük fel, hogy trnszformácót leíró -s ( k ) mátrr k. Vegyük z első három pontot és lklmzzuk rájuk trnszformácót: ρ' ' = ρ A ρ -k nem nullák, ezért ρ' ρ S (S) S () () () k ρ' ' = ρ' ' = k k (S) k k ρ k () ρ k () k () ' =, (s=,,). Rögzített -k mellett ez z egyenletrendszer megoldhtó z k -r (pl. Guss-féle módszerrel), mert z lpmátr determnáns nem zérus. (Ugyns z első három pont koordnátából képzett mátr z lpmátr.) Az lpmátr nverzének elemet jelölje ξ Sr, zz ξ = δ. Ekkor z előbb egyenleteket ξ Sr -rel jobbról véggszorozv k (S) Sr kr ρ' S ' ξ Sr = k k ξ Sr = k δkr = r. ρ (S) (S) S ρ' S A htároztln konstnsok erejég htározhtók meg z r elemek. A ρs meghtározásához negyedk pontr s felírjuk ponttrnszformácót ρ' 4 ρ' S ' = k k = ' ξ Sk k, ρ (4) (4) ρ (S) (4) 4 ρ' S ρ' 4 melyben mennységeket függvényeként kpjuk, mely pontkoordnáták ρs ρ4 homogentás mtt nem okoz problémát. A projektív pontkoordnát-trnszformácók összessége trnszformácók egymás után elvégzésére, mnt műveletre nézve, csoportot lkot, melyet projektív trnszformácós csoportnk nevezünk. Bzonyítás Az ' = k k, k trnszformácót most mátr lkbn djuk meg. X = ( ), X' = (' ' ' ), A = ( k ) T T Ekkor z egyenletrendszer (X') = A X. ét projektív trnszformácót egymás után végrehjtv: ( ) ( ) ( ), ' = k k, k és " = bk' k, b k T (X') T = A X T (X") T = B (X') T Az (X") T = B A X és B A mátr szntén regulárs, mely determnánsok szorzástételéből dódk. A projektív trnszformácók egymás után végrehjtás rendelkezk z sszoctvtás tuljdonságávl regulárs mátrok hsonló tuljdonság mtt. S ρ' ρ S S
Létezk egység-trnszformácó, melyet z egységmátrszl dhtunk meg és htás z denttás. Mnden trnszformácónk létezk nverze, és h z eredet trnszformácót z A mátrszl írtuk le, kkor ezt z A nverz mátr dj meg, ennek létezését z A regulrtás bztosítj. Megjegyzés A projektív geometr projektív trnszformácós csoport nvráns elmélete. A projektív trnszformácó csoportnk vnnk nevezetes részcsoportj, ezek közül muttunk be néhányt. Affn trnszformácó csoport Azon trnszformácók trtoznk de, melyeknél sík végtelen távol egyenese önmgánk/egymásnk felel meg. = = Annk szükséges és elégséges feltétele, hogy végtelen távol egyenesek egymásnk feleljenek meg z, hogy trnszformácó mátrábn = = és legyen. H = = és, kkor = + + és h =, kkor =. H = =, kkor = + + -ból = + -nek mnden, -re fenn kell álln, ezért = = és. Az ffn trnszformácó lkj = + + = + + = Térjünk vssz z eukldesz síkr. = +b y+c b y = +b y+c hol. b Hsonlóság trnszformácók (len-csoport) Tekntsük vlós és képzetes nem-elfjuló másodrendű görbéket, melyek egyenlete homogén koordnátákbn + m =. Ezeknek görbéknek vnnk metszéspontj z = végtelen távol egyenessel, melyeket bszolút képzetes körpontoknk nevezünk és koordnáták: I (, ), I (,-,). (H z előbb másodrendű görbéket végtelen távol egyenessel metszen krjuk, kkor következő egyenletrendszert kell megoldnunk: + m =. =. 4
Ezt felhsználv, görbe végtelen távol pontjánk koordnátá kelégítk z + = egyenletet. Ennek z egyenletnek trválstól különböző megoldás dják z bszolút képzetes körpontok koordnátát.) Tekntsük zokt z ffn trnszformácókt, melyek z bszolút képzetes körpontokt nvránsn hgyják. ét eset lehetséges, vgy mnd két pontot önmgáb vszk trnszformácók vgy pedg felcserélk. Az ffn trnszformácót leíró ~ = + + ~ = + + ~ = egyenletrendszert szeretnénk pontosbbn meghtározn. ) Az I, I pontokt önmgukr leképező trnszformácók : ~ =, =, = I = I, zz és ~ =, ~ =, ~ = I ~ = I, zz. ~ =, =, ~ =, =, ~ = egyenlőségeknek kell teljesülnük. Ebből = + = vlmnt = + - = következk. Az j mátr elemere = és =- feltételek dódnk. ) Az I, I pontokt felcserélő trnszformácók : ~ =, =, = I = I, zz és ~ =, ~ =, ~ = I ~ = I,zz. ~ =, =, ~ =, =, ~ = = egyenlőségeknek kell teljesülnük. Ebből = = + = vlmnt - = + = következk. Az j mátr elemere =- és = feltételek dódnk. Ekkor z egyenletrendszerünk következő lkot ölt: ~ = + + ~ = m ± + ~ = Vssztérünk z eukldesz síkr ~ = + y + y~ = m ± y + Az mátr sort önmgukkl komponálv megegyező értékeket kpunk, míg m ± különböző sorokt összeszorozv zérust kpunk. Ez tuljdonság z ortogonáls mátrokéhoz hsonló, de tt egy konstns szorzóbn vn eltérés cosα sn α = r. m ± m sn α ± cosα 4 5
Így ~ = r( cosα + y sn α) + y~ = r( m sn α ± y cosα) + 4 Az r-rel vló szorzás egy nyújtást, zárójeles trnszformácó egy forgtást, z, 4 konstnsok hozzádás egy eltolást eredményez. Az r hsonlóság rány, bbn z esetben, h r=, kkor z eukldesz trnszformácókt kpjuk. 6
oordnátrendszer projektív egyenesen Megdunk projektív síkbn két különböző pontot homogén koordnátákkl: P ( ) és P ( ). A P és P pontok egyenesére lleszkedő bármely P( ) pont koordnátár rng < vgy m ezzel egyenértékű, mátr determnáns zérus. Ez zt fogj jelenten, hogy bármely, z egyenesre lleszkedő pont homogén koordnátáj két dott pont koordnátából lneárs kombnácóvl nyerhető. = + A és egymástól függetlenül befutják vlós számokt, így z egyenes mnden pontjánk koordnátát meghtározzák. Azt tudjuk, hogy mnden pontot több homogén koordnáthárms s jellemezhet. H most P vgy P eddg koordnátáj helyett egy másk koordnáthármst válsztunk, kkor egy tetszőlegesen válsztott P ponthoz más és értékek számolhtók k, rádásul még különböző, értékek rány sem állndó. Szeretnénk zt elérn, hogy bármely P ponthoz rányosság erejég tudjuk rendeln, értékeket. Ehhez P és P pontok koordnátát rögzíten fogjuk, m zt jelent, hogy míg z áltluk meghtározott egyenes pontjt jellemezn krjuk, ddg csk ezeket koordnátákt hsználhtjuk fel, kszámolásához. Az egyenesen k fogunk jelöln egy ún. egységpontot, mely olyn tuljdonsággl rendelkezk, hogy koordnátá e = +. (Az egységpont esetén = =.) Az egységpont kválsztás rögzít P és P koordnátát és ezzel mnden, számpár z egyenes egy pontját htározz meg, de mnden ponthoz konstnsszorzó (zérustól különböző) erejég rendelhetünk számpárokt. Ezzel egy projektív koordnát-lplkztot defnáltunk z egyenesen. A kezdőpont P, melynek z egyenesre vontkozó koordnátá: (,). A végtelen távol pont P, melynek z egyenesre vontkozó koordnátá: (,). Az egységpont E, melynek z egyenesre vontkozó koordnátá: (,). Egy projektív egyenesen fekvő pontnk projektív egyenesre vontkozó koordnátát úgy htározhtjuk meg, hogy h z egyenesen három egymástól különböző P, P, E pontot válsztunk, melyekre teljesül, hogy P, P pontokkl vló prméteres előállításbn z E ponthoz trtozó (, ) számpárr =, kkor bármely (, ) számpárhoz z egyenesnek pontosn egy pontj trtozk. Mnden egyenesen lévő ponthoz végtelen sok vlós számpár trtozk, de bármely két lyen számpár egy konstnsszorzóbn tér el egymástól. Ezen kívül (,) számpárt k kell zárnunk lehetséges koordnáták közül. Az egyenes pontjhoz rendelt (, 7
) számpárokt pont egyenesen lévő lplkztr vontkozó projektív koordnátánk nevezzük. Mnden ponthoz hozzá lehet rendeln értéket s. Ez már nem rendelkezk homogentás tuljdonságávl. A = értéket pont nhomogén koordnátájánk nevezzük. A P pont esetén ez így nem tehető meg, ezért szmbólumot rendeljük hozzá. (Az nhomogén koordnáták hozzárendelés hhoz hsonló, mnth egy skálázást végeztünk voln z egyenesen. A vonlzón áltlábn egység szernt beosztás vn. H projektív egyenesen s meghtároznánk és pontokon kívül több egész értékhez, mnt nhomogén koordnátához, trtozó pontokt, kkor egy projektív vonlzót kpnánk. ) Péld Az eukldesz síkon z A(-, ) és B(, ) pontok egyenese z -y+4=. Legyen B kezdőpont és A végtelen távol pont. A pontok (-,, ) és (,, ) homogén koordnátát felhsználv z egyenes pontjnk homogén koordnátá: (- +, +, + ). A C(8,6) pont lleszkedk erre z egyenesre. A (8, 6, ) homogén koordnátákt felhsználv (, ) megoldás 8=- + 6= + = + 5 egyenletrendszernek. =, = és z nhomogén koordnát: 5. H C pont egy másk homogén koordnáthármsát hsználjuk fel, kkor z nhomogén koordnát változtln mrd. A (6,, ) homogén koordnátákt felhsználv (, ) megoldás 6=- + = + = + egyenletrendszernek. =, = 5 és z nhomogén koordnát: 5. Most válsszunk z A pont (-6,, ) és B pont (8,, 4) homogén koordnátát. A C pont (8, 6, ) homogén koordnátát felhsználv (, ) megoldás 8=- + 6= + = + 5 egyenletrendszernek. =, = 8 és z nhomogén koordnát: 54. Ez utóbb esetet szeretnénk kzárn. Ennek érdekében z A(-,, ) és B(,, ) homogén koordnátákból egységpontot htározunk meg. Az E pont egyenes-koordnátáj = =, zz z egységpont (, 4, ) homogén koordnátákkl megdv, z eukldesz síkon ez (, ) pont. 8
Összefogllv: Descrtes-k. Homogén k. Egyenes k. Inhomogén k. A (-, ) (-,, ) (, ) Végtelen távol pont B (, ) (,, ) (, ) ezdőpont C (8, 6) (8, 6, ) (-, 5) 5 Áltlános pont E (, ) (, 4, ) (, ) Egységpont Számítsuk k következő kettősvszonyt! (CEB) (CEBA)=(áltlános pont, egységpont, kezdőpont, végtelen távol pont)= =, zz (CEA) 5 h pontokt ebben sorrendben vesszük, kkor kettősvszony értéke z áltlános pont nhomogén koordnátáját dj z A, B, E koordnát-lplkztr nézve. oordnát-trnszformácó A g egyenesen P ( ), P ( ) és E(e ) pontok lkossnk koordnátlkztot. Ebben e = + és tetszőleges P( ) pont = + lkbn állíthtó elő. Válsszunk g egyenesen egy másk koordnátlkztot P' ( ' ), P' ( ' ) és E'(e' ) pontokkl, hol e' = ' + ' és egy tetszőleges pontr ' = ' ' + ' '. A P', P' és E' pontok rég lkztbn következő lkbn állíthtók elő: ' = cαβ (α,β=,) ' = c + c α e' β ' = c + c = ε α e' = ε + ε α A fent összefüggésekből következk, hogy e = + = c + c + c + c A homogentás mtt z e' egyenes koordnátákr: ε = c κ + c ε = c κ + c = (c + c ) + (c + c ). Megjegyzés A P' ésp' pontokt (ρc,ρc ) és (µc,µc ) koordnátákkl s megdhtjuk, ekkor fent összefüggés következő lkú lesz: ε = ρ c + µ c κ ε = ρ c + µ c κ Ezen egyenletekből ρ és µ tényezők meghtározhtók, h c αβ. 9
Mvel P' és P' pontok különbözőek, koordnátákból képzett mátrr teljesül, hogy ' rng ' =. H ennek mátrnk bármely másodrendű determnánsát vesszük, kkor pl: ' ' cβ cβ β β c c = =, ' ' c c c c β β hol ' és β β és determnánsok szorzástétele lpján c αβ. α α Így ρ és µ számok meghtározhtók és z egyszerűség kedvéért ρc α és µc α mennységeket továbbr s c α -vl és c α -vl fogjuk jelöln. Egy tetszőleges pont koordnátár: ' = ' ' = ' c =, hol (, ) z ' pontnk rég koordnátlkztr α α α αβ β β β vontkozó koordnátá. Innen α = c βα' β, hol c αβ. A trnszformácó nverzét hsználv: ' = c -. α βα β β H vlmely g egyenesen két különböző koordnátlkztot írunk elő, kkor z ezekre vontkozó α és ' α egyenes koordnáták α = c βα' β, c αβ lkú lneárs trnszformácóvl függnek össze. β
ettősvszony Defnícó Egy projektív egyenes négy egymástól különböző L, L, L, L 4 pontjánk kettősvszonyán következő értéket értjük: (L L L L ) = 4 hol α (I=,,, 4; α=, ) rendre z L, L, L, L 4 pontoknk z egyeneskoordnátá (vlmely lplkztr I nézve). A kettősvszony független síkbel pont-koordnátrendszertől. Bzonyítás Hjtsunk végre egy ( ) ( ) koordnát-trnszformácót, melyet z = k k, k egyenletek írnk le. Az egyenesen lévő lplkztbn egy pont = + lkbn állíthtó elő. Alklmzzuk trnszformácót! = k = k ( + ) = k 4 : + 4 4 4 = k = ' + Ez zt jelent, hogy pontoknk z egyenesen lévő projektív koordnátá nem változnk meg kkor, h kezdőpont, végtelen távol pont és egységpont képe trnszformácó után ugynlyen szerepet kp koordnátrendszerben. A pontok egyenes-koordnátá nem változnk egy trnszformácó során, emtt kettősvszony sem, m ezekből vn kfejezve. A kettősvszony független z egyenesen válsztott projektív koordnátrendszertől. Bzonyítás Hjtsunk végre egy ( α ) ( α ) koordnát-trnszformácót, melyet z α =c αβ β, c αβ egyenletek írnk le. Ekkor ' ' cβ β cβ β = = cαβ. ' ' c c β β A defnícóbn mndkét törtet c αβ -sl lehet egyszerűsíten, vgys kettősvszony értéke nem fog változn. β β '
Meg kell muttn, hogy ez defnícó zonos véges helyzetű pontokr szntetkus defnícóvl: 4 4 4 4 L L L L : L L L L ) L L (L ) L L (L ) L L L L ( = =, hol L L j z L és L j pontok áltl meghtározott rányított szksz előjeles eukldesz hosszát jelent. Az egyenesen bevezetünk egy koordnátrendszert, melyben P (, ) végtelen távol pont, P (,) kezdőpont, E(,) z egységpont és P(, ) egy tetszőleges pont. (A zárójelben lévő koordnáták z egyenesen lévő projektív koordnáták.) (P P EP)= : : = = = Vgys ebben sorrendben véve pontokt kettősvszony képzése során, kettősvszony pont nhomogén koordnátáját dj meg. Adott négy pont: L (, ), L (, ), L (, ), L 4 ( 4, ) melyeknek projektív koordnátát úgy dtuk meg, hogy másodk koordnát mndg, z első pedg pont nhomogén koordnátáj. (Ez megdás mndg elérhető, mert projektív koordnáták mndg rányosság erejég rendelődnek pontokhoz, ez mostn számolást egyszerűsít le.) 4 4 4 4 4 : : ) L L L (L = = Itt z előforduló különbségek megfelelő rányított szkszok hosszát jelentk, zz z nltkus defnícó megegyezk szntetkussl.
oordnát-lplkzt sugársorbn A síkbel dultást felhsználv sugársorbn megfoglmzhtók következők: Megdunk projektív síkbn két egyenest homogén koordnátákkl: ( u) és ( u). Az és egyenesek áltl meghtározott sugársor bármely (u ) egyenesének (melyet úgy s mondhtnánk, hogy olyn egyenes, mely lleszkedk két egyenes metszéspontjár) koordnátár u u u u u u u u u =. Ez zt fogj jelenten, hogy bármely, sugársorb trtozó egyenes koordnátáj két dott egyenes koordnátából lneárs kombnácóvl nyerhető. u = u + u A és egymástól függetlenül befutják vlós számokt, így sugársor mnden sugránk koordnátát meghtározzák. Azt tudjuk, hogy mnden egyenest több koordnáthárms s jellemezhet. H most z vgy z eddg koordnátáj helyett egy másk koordnáthármst válsztunk, kkor egy tetszőlegesen válsztott egyeneshez más és értékek számolhtók k, rádásul még különböző, értékek rány sem állndó. Szeretnénk zt elérn, hogy bármely egyeneshez rányosság erejég tudjuk rendeln, értékeket. Ehhez z és sugrk koordnátát rögzíten fogjuk, m zt jelent, hogy míg z áltluk meghtározott sugársor egyeneset jellemezn krjuk, ddg csk ezeket koordnátákt hsználhtjuk fel, kszámolásához. A sugársorbn k fogunk jelöln egy ún. egységsugrt, mely olyn tuljdonsággl rendelkezk, hogy koordnátá e = u + u. (Az egységsugár esetén =.) Az egységsugár kválsztás rögzít z és koordnátát és ezzel mnden, számpár sugársor egy egyenesét htározz meg, de mnden egyeneshez konstnsszorzó (zérustól különböző) erejég rendelhetünk számpárokt. Ezzel egy projektív koordnát-lplkztot defnáltunk sugársorbn. A kezdősugár, melynek sugársorbel koordnátá: (,). A végtelen távol sugár, melynek sugársorbel koordnátá: (,). Az egységsugár e, melynek sugársorbel koordnátá: (,). Egy projektív sugársorbel egyenesnek koordnátát úgy htározhtjuk meg, hogy h sugársorbn három egymástól különböző,, e egyenest válsztunk, melyekre teljesül, hogy z, egyenesekkel vló prméteres előállításbn z e egyeneshez trtozó (, ) számpárr =, kkor bármely (, ) számpárhoz sugársornk pontosn egy egyenese trtozk. Mnden egyeneshez végtelen sok vlós számpár trtozk, de bármely két lyen számpár egy konstnsszorzóbn tér el egymástól. Ezen kívül (,) számpárt k kell zárnunk lehetséges koordnáták közül. Az egyenesekhez rendelt (, ) számpárokt z dott egyenes sugársorbn lévő lplkztr vontkozó projektív koordnátánk nevezzük.
Mnden egyeneshez hozzá lehet rendeln homogentás tuljdonságávl. A értéket s. Ez már nem rendelkezk = értéket sugár nhomogén koordnátájánk nevezzük. Az egyenes esetén ez így nem tehető meg, ezért szmbólumot rendeljük hozzá. H vlmely sugársorbn két különböző koordnátlkztot írunk elő, kkor z ezekre vontkozó α és ' α egyenes koordnáták = c ', c αβ lkú lneárs trnszformácóvl függnek össze. α βα β Defnícó Egy projektív sugársor négy egymástól különböző g, g, g, g 4 egyenesének kettősvszonyán következő értéket értjük: (g g g g ) = 4 hol α (I=,,, 4; α=, ) rendre g, g, g, g 4 egyeneseknek projektív I koordnátá (vlmely lplkztr nézve). 4 : 4 4 4 Egy sugársor négy elemének kettősvszony független sugársorbn válsztott projektív koordnátrendszertől. Egy sugársor négy elemének kettősvszony független síkbel koordnátrendszer megválsztásától. 4
Projektív koordnátrendszer projektív síkon Defnícó A projektív sík négy áltlános helyzetű pontj koordnát-lplkztot lkot. A négy áltlános helyzetű pontot z jellemz, hogy bármely három pont nem lleszkedk egy egyenesre, vgys homogén koordnátákból képzett mátr determnáns nem null. Jelölje P, P, P, E z áltlános pontnégyest. Ezen pontok koordnátá legyenek: P (,, ), P (,, ), P (,, ), E(,, ). Mndez nem megy z áltlánosság rovásár, mvel egy koordnáttrnszformácóvl ez helyzet mndg elérhető. Ekkor P P egyenes z =, P P egyenes z =, P P egyenes z =. Ezen kívül P E egyenes z E pontbn metsz P P egyenest, P E egyenes z E pontbn metsz P P egyenest és P E egyenes z E pontbn metsz P P egyenest. A P, P, P, E pontok koordnátánk smeretében htározzuk meg z E, E és E pontok koordnátát! A P E egyenes egyenlete: - =. A P E egyenes egyenlete: - =. A P E egyenes egyenlete: - =. E P P és P E egyenesek metszéspontj, zz koordnátá: (,, ). (Ugyns z egyenlet lpján P E egyenes pontjnk első és hrmdk koordnátáj megegyezk és másodk koordnát P P egyenes egyenletéből következk.) E P P és P E egyenesek metszéspontj, zz koordnátá: (,, ). (Ugyns z egyenlet lpján P E egyenes pontjnk másodk és hrmdk koordnátáj megegyezk és z első koordnát P P egyenes egyenletéből következk.) E P P és P E egyenesek metszéspontj, zz koordnátá: (,, ). (Ugyns z egyenlet lpján P E egyenes pontjnk első és másodk koordnátáj megegyezk és z hrmdk koordnát P P egyenes egyenletéből következk.) 5
Most tekntsünk egy P (,, ) pontot síkon. Az E ponthoz hsonlón vetítsük P P, P P és P P egyenesekre sorrendben P, P és P pontokból és ezzel P, P, P pontokt kpjuk. A P P egyenes egyenlete: - =. A P P egyenes egyenlete: - =. A P P egyenes egyenlete: - =. A P koordnátá metszés után: (,, ). A P koordnátá metszés után: (,, ). A P koordnátá metszés után: (,, ). Ezek után tekntsük P P egyenest. Ezen P pont kezdőpont, P pont végtelen távol pont és E z egységpont, vgys egy koordnátlkztot lkot z előbb három pont. Ebben koordnátrendszerben P koordnátát felhsználv (P E P P )=, mely P nhomogén koordnátáj P P E koordnátrendszerben. A P P egyenesen P pont kezdőpont, P pont végtelen távol pont és E z egységpont. Ebben koordnátrendszerben P koordnátát felhsználv (P E P P )=, mely P nhomogén koordnátáj P P E koordnátrendszerben. Felmerül kérdés, hogy h egy tetszőlegesen válsztott pont esetén fent módon htározhtók meg vetületek koordnátá, kkor vetületek megdásából hogyn lehetne pontot előállítn. Adjuk meg egy olyn P * pontot, melynek P, P, P, E koordnátrendszerben koordnátá ( *, *, * ). Ekkor ez számhárms ugynzt pontot jellemz, mnt (,, ), hol = és =. Ekkor htározzuk meg zt P * pontot P P E koordnátrendszerben, melyre (P * E P P )=, és zt P * pontot P P E koordnátrendszerben, melyre (P * E P P )=. A P * P egyenes egyenlete: * - * = és P * P egyenes egyenlete: * - * =; z egyenesek metszéspontj z ( *, *, * ) koordnátákkl rendelkező P pont. 6
Ahogyn most ezt projektív koordnátrendszert hsználtuk, z ngyon hsonlít z eukldesz koordnátrendszer hsználtához. Az és y koordnáttengelyek egymásr merőlegesek és egyenlőek z egységek rjtuk. H z E egységpontot z y tengellyel párhuzmosn z tengelyre vetítjük, kkor z tengely E egységpontját kpjuk. H E-t z tengellyel párhuzmosn vetítjük z y tengelyre, kkor z y tengely E egységpontját kpjuk. H egy előre dott P(P, P y ) koordnátájú pontot szeretnénk ábrázoln, kkor z tengelyre felmérjük z egység P -szeresét, vgys olyn P pontot htározunk meg, melyre z (P E O)=P. Ezután z y tengelyre mérjük fel z egység P y -szorosát, zz olyn P pontot szerkesztünk, melyre (P E O)=P y. Ezután P ponton át z y tengellyel, P y ponton át z tengellyel húzunk párhuzmost, ezek metszéspontj lesz P pont. H z ffn (eukldesz) síkot kbővítjük végtelen távol elemekkel, kkor z tengellyel párhuzmos vetítés z tengely V pontjából vló vetítést, z y tengellyel párhuzmos vetítés z y tengely V y pontjából vló vetítést jelent. Az előbb osztóvszonyokt felváltj kettősvszony, vgys P és P pontokt (P E OV )=P és (P E OV y )=P y lpján htározhtjuk meg. A P V y és P V egyenesek metszéspontj (P, P y, ) homogén koordnátákkl megdott P pont. H z eukldesz koordnátrendszert fgyeljük, kkor tudjuk, hogy koordnáttengelyeken z egység felhsználásávl egyenletes skálázás kpunk. Ezeket pontokt másk tengely végtelen távol pontjából vetítve egy szbályos négyzethálóztot kpunk. A négyzetek átló két végtelen távol pontb futnk. A koordnátrendszer orgój legyen P, P és P z y és tengely végtelen távol pontj. Ekkor P E egyenessel párhuzmos átlóegyenesek z E pontb futnk. 7
8 Mndezt projektív síkon lévő P P P E koordnátrendszerbe rjzolv tengelyeken lévő projektív skál már nem egyenletes és nem kpunk szbályos hálóztot. Áltlános négyszögek lkotják beosztást, de z átlóegyenesek mndg z E pontb fognk futn. Az így előálló hálóztot Möbushálóztnk nevezzük.
A projektív tér nltkus modellje A modell képítéséhez szükséges megállpodások:. A tér mnden pontjához hozzárendelünk egy vlós számokból álló rendezett (,,, 4 ) számnégyest, melyre rng(,,, 4 )=. (Azz csup -ból álló számnégyes nem jellemezhet pontot.) ét pont, P(,,, 4 ) és Q(y, y, y, y 4 ) kkor és csk kkor egyenlő, h 4 rng = y y y y. 4 A P pont koordnátát rövdebben s írhtjuk ( ) lkbn, hol =,,,4. A továbbkbn, h ngybetűs ndeet hsználunk, kkor z négy koordnátát jelöl.. A tér mnden síkjához hozzárendelünk egy vlós számokból álló rendezett (u, u, u, u 4 ) számnégyest, melyre rng(u, u, u, u 4 )=. (Azz csup -ból álló számnégyes nem jellemezhet síkot.) ét sík, u(u, u, u, u 4 ) és v(v, v, v, v 4 ) kkor és csk kkor egyenlő, h u u u u 4 rng = v v v v. 4. A tér mnden egyeneséhez hozzárendelünk egy vlós számokból álló 4 számnyolcst, melyre mátr rngj. (Tuljdonképpen 4 térben egy egyenest úgy dunk meg, hogy megdunk két olyn síkot, melyek trtlmzzák zt. Most ebben z esetben z (,,, 4 ) és (,,, 4 ) síkok metszésvonl lesz.) ét egyenes, z ( α ) és b(b α ) egyenes kkor és csk kkor egyenlő, h rng(,, b )= és rng(,, b )=. (Ezzel ekvvlens feltétel, hogy rng(,, b, b )=.) 4. Egy P (,,, 4 ) pont kkor és csk kkor lleszkedk z u (u, u, u, u 4 ) síkr, h u +u +u +u 4 4 =, vgys u =. 5. Egy P (,,, 4 ) pont kkor és csk kkor lleszkedk z ( α ) egyenesre, h + + + 4 4 = + + + 4 4 = vgy rövden α =. 6. Egy ( α ) egyenes kkor és csk kkor lleszkedk z u(u ) síkr, h z egyenes mnden pontj lleszkedk síkr. Ennek szükséges és elegendő feltétele, hogy rng(,, u )=. A. megállpodásbn szereplő rng(,, b )= és rng(,, b )= feltétel ekvvlens rng(,, b, b )= feltétellel. Bzonyítás H teljesül rng(,, b )= és rng(,, b )=, kkor mátrokbn bármelyk sor több lneárs kombnácójként írhtó fel. Azz b = + és b = + 4. A, és, 4 nem lehetnek rányosk, mert kkor b, b ugynzt síkot dná meg és két sík metszésvonláról nem tudnánk beszéln. Ekkor 9
, vgys rng = 4. 4 Ez zt jelent, hogy z (,, b, b ) mátr utolsó sor z első kettőből különböző lneárs kombnácókkl szármzk, így rng(,, b, b )=. H másk ránybn gondolkodunk és rng(,, b, b )= feltételből ndulunk, kkor z,, b, b között két lneársn független sor vn. A több sor zok kombnácójávl dhtó meg, ezért h z, -t válsztjuk k, kkor b, b zokkl kfejezhető és teljesül, hogy rng(,, b )= és rng(,, b )=. A 6. megállpodásbn szereplő lleszkedés szükséges és elegendő feltétele, hogy rng(,, u )=. Bzonyítás Szükségesség Azon pontok koordnátá, melyek lleszkednek z egyenesre kelégítk z α = egyenletet. Amelyek z u síkr lleszkednek, zok koordnátá kelégítk z u = egyenletet. Ezzel egy három egyenletből álló lneárs egyenletrendszert kptunk, melynek bbn z esetben, h rng(,, u )= csk egy független megoldás lenne és ez ellentmond nnk, hogy z = = lneársn független egyenleteknek két független megoldás vn, vgys szükséges, hogy rng(,, u )=. Elegendőség H rng(,, u )=, kkor mátr két soránk kombnácójávl hrmdk előállíthtó (nem trváls módon), például u = + lkbn. Ebből pedg z következk, hogy h vlmely ( ) eleget tesz z u = lleszkedés feltételnek, kkor z α =-nk s.
Az egyenesre és síkr lleszkedő pontok prméteres előállítás Induljunk k pontsor (egyenesre lleszkedő pontok) α = egyenletrendszeréből. Ennek homogén lneárs egyenletrendszernek két független megoldás ( ) és ( ) ( rng( ) = ), és z összes több megoldást z = + + > szolgálttj. Az ( ) és ( )megoldások nncsenek ktüntetve, mert zok bármely más két lneársn független megoldássl helyettesíthetők. Defnícó Az = + ( + >) kfejezés két ponton áthldó egyenesre lleszkedő pontsor prméteres egyenletrendszere. Három pont, P ( ), P ( ) és P ( ) kkor lleszkedk egy egyenesre, h Ellenkező esetben rng( rng( Bzonyítás = + összefüggés következménye. ) = ) =. A síkr lleszkedő ponthlmz egyenlete u =. Ennek homogén lneárs egyenletnek három független megoldás ( ), ( ) és ( ) ( rng( ) = ), és z összes több megoldást z = + + + + > szolgálttj. Az ( ), ( ) és ( ) megoldások nncsenek ktüntetve, mert zok bármely más három lneársn független megoldássl helyettesíthetők. Defnícó Az Bzonyítás = + + ( + + >) kfejezés három pontr lleszkedő pontmező (három pont áltl dott síkr lleszkedő pontok) prméteres egyenletrendszere. Négy pont, P ( ), P ( ), P ( ) és P 4 ( ) kkor lleszkedk egy síkr, h Ellenkező esetben rng( rng( 4 4 4 ) = ) = 4.
= + + összefüggés következménye. Megjegyzés A pontsor és sík prméteres egyenletrendszere esetén -k csk z egységpont felvétele után htározzák meg pontsor és sík pontjt egyértelműen. Ez lpján z egyenesen (P, P, E), síkon (P, P, P, E) egy-egy koordnátrendszert lkotnk. oordnát-trnszformácó Defnícó Azt z eljárást, mellyel z előző ht megállpodás fgyelembevételével mnden P( ) ponthoz egy másk ( ) számnégyest, mnden u(u ) síkhoz egy másk (u ) számnégyest, és mnden ( α ) egyeneshez egy másk ( α ) számnyolcst rendelünk hozzá, koordnát-trnszformácónk nevezzük. A projektív tér nltkus modelljének 7. megállpodás: Megkívánjuk, hogy z lleszkedésre vontkozó 4. 5. és 6. megállpodások koordnáttrnszformácó után s fennálljnk. A térben pontkoordnáták trnszformácój mg után vonj síkkoordnáták trnszformácóját. Bzonyítás Az u = dj meg P( I ) pont és z u(u I ) egyenes lleszkedését. Hjtsunk végre egy pontkoordnát-trnszformácót, melyben P pont rég és új koordnátá között kpcsolt: I =f( I ). Ekkor u f( I )=, melyet úgy rendezhetünk, hogy z ( I ) lleszkedése vlmely (u * ) egyenesre. Ekkor z u egyeneshez ezeket z (u * ) új koordnátákt kell rendeln. Vgys vlóbn meg kell változttnunk z egyenesek koordnátát s. Ahogy zt síkbel esetben láttuk, projektív trnszformácó egy specáls ponttrnszformácó, mely egy 4 4-es regulárs mátrszl dhtó meg. I = I, hol I Defnícó A P, P, P, P 4, P 5 pontötöst áltlános helyzetűnek nevezzük, h bármely négy nem lleszkedk egy síkr, zz bármely négy koordnátából képzett mátr rngj 4. Egy térbel projektív pontkoordnát-trnszformácót egyértelműen meghtároz, h öt áltlános helyzetű pontnk öt áltlános helyzetű pontot feleltetünk meg. A tér I = I, ( I ) egyenletekkel leírhtó projektív trnszformácó csoportot lkotnk z egymás után végrehjtásr, mnt műveletre nézve. Megjegyzés Az Erlngen Progrm értelmében projektív térgeometr z I = I lneárs homogén egyenletekből álló trnszformácós csoport nvráns elmélete.