Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás
Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához háy egység kell z egyes erőforrásokból: Milye termékösszetétel eseté mimális z árbevétel?
Lieáris progrmozás 3 A problém mtemtiki megfoglmzás (modellje) Keressük meg zokt z, 2, 3, 4 em egtív számokt (z egyes termékekből gyártdó meyiségeket), melyek eseté z f(, 2, 3, 4 ) = 400 + 500 2 +600 3 + 800 4 égyváltozós célfüggvéy értéke (z árbevétel) mimális, miközbe feállk z lábbi korlátozó feltételek: I. +2 3 + 4 280 II. 2 + 3 + 4 40 III. 2 + 3 + 4 20 0, 2 0, 3 0, 4 0
Lieáris progrmozás 4 Megjegyzés A feldt tehát em más, mit egy speciális feltételes szélsőértékszámítási problém megoldás. A specilitás bb áll, hogy feltételek bl oldl és célfüggvéy z ismeretleek lieáris függvéyei.
Lieáris progrmozás 5 Feldttípusok Áltláos lkú lieáris progrmozási feldt (ÁLP) Az ÁLP feldt,,= típusú feltételeket egyrát trtlmzht. m k s +... + +... + M +... + M +... + +... + M +... + m k s = = b b b b b b k s m c +... + c m/ mi 0,..., 0, bi 0, bi 0, bi 0
Lieáris progrmozás 6 Stdrd lkú lieáris progrmozási feldt (SLP) Az SLP feldt csk egyelőség típusú feltételeket trtlmzó mimumfeldt. Megjegyzés m +... + +... + M m c +... + c = = b b 0,..., 0, bi m m A LP elméletébe fotos szerepe v SLP feldtokk. A későbbiekbe bemuttásr kerülő szimple módszer közvetleül SLP feldtokr lklmzhtó, így mide más LP feldtot először egy SLP feldtr kell visszvezeti. 0
Lieáris progrmozás 7 Normál lkú lieáris progrmozási feldt (NLP) Az NLP feldt csk típusú feltételeket trtlmzó mimumfeldt. Megjegyzés m +... + +... + M m c +... + c b b 0,..., 0, bi m m A NLP feldtok megoldás legegyszerűbb bból szempotból, hogy köye megdhtó feldtk egy lehetséges megoldás, és ebből kiidulv kereshető z optimális megoldás. 0
Lieáris progrmozás 8 A LP feldtok megoldásiról Megjegyzés: lehetséges megoldások Egy (, 2,, ) szám -est egy LP feldt lehetséges megoldásák evezzük, h z, 2,, számok teljesítik z összes előírt feltételt. Megjegyzés: optimális megoldás(ok) H v lehetséges megoldás, kkor ezek közül zokt melyekre célfüggvéy értéke mimális (miimális) LP feldt optimális megoldásák evezzük.
Lieáris progrmozás 9 A LP feldtok megoldásiról Egy LP feldt eseté z lábbi esetek fordulhtk elő: ics lehetséges megoldás ( feltételredszer elletmodásos) v lehetséges megoldás, de ics optimális megoldás ( célfüggvéy em korlátos megfelelő iráyból) egy optimális megoldás v végtele sok optimális megoldás v (ltertív optimum)
Lieáris progrmozás 0 Kétváltozós LP feldtok grfikus megoldás Péld Egy üzembe 3 féle lktrészt (A,B,C) gyártk egy lpygból, mjd ezekből 2 féle terméket (T, T 2 ) szerelek össze. Az egyes lktrészek lpygigéye drbokét: A termékek további jellemzői:
Lieáris progrmozás Feltételek:. z összes szerelési kpcitás: 500 ór 2. C lktrészből legfeljebb 200 db készíthető 3. pic két termékből összese legfeljebb 60 db-ot tud felvei 4. rktáro lévő 800 egység lpygot mideképpe fel kell hszáli, és további lpyg is redelhető. Melyik termelési progrm hozz leggyobb yereséget? A mtemtiki modell: I. 3 +4 2 500 II. +2 2 200 III. + 2 60 IV. 20 +30 2 800 0, 2 0 5000 +8000 2 m
Lieáris progrmozás 2. Lépés: A lehetséges megoldások hlmzák felrjzolás (Ez egy síkbeli pothlmz, mivel lehetséges megoldások hlmz számpárokból áll.) Egy egyelőség típusú feltételek egy egyees potji felelek meg: z egyees egyelete mg feltétel. Egy egyelőtleség típusú feltételek egy félsík potji felelek meg. A félsíkot z z egyees htárolj, melyek egyeletét úgy kpjuk, hogy feltételbe vgy jelet = jelre cseréljük. típusú feltétel eseté z egyees áltl htárolt félsíkok közül zt kell figyelembe vei, melyik felé z egyeesek változók együtthtóiból képezett ormálvektor mutt. típusú feltétel eseté pedig másikt. Az LP feldt lehetséges megoldásik hlmzát e hlmzok metszetéek potji lkotják.
Lieáris progrmozás 3 Ebbe feldtb icseek egyelőség típusú feltételek, így lehetséges megoldások hlmz félsíkok metszete: I. 3 +4 2 500 II. +2 2 200 III. + 2 60 IV. 20 +30 2 800 A IV. feltétel eseté zt félsíkot kell tekitei, melyik felé ormálvektor mutt többi esetbe másikt.
Lieáris progrmozás 4
Lieáris progrmozás 5 2. Lépés: A NULLA VONAL megrjzolás A célfüggvéy 0 értékhez trtozó szitvolát, vgyis c + c 2 2 = 0 egyeletű egyeest evezzük ull vol -k. A ull volr rárjzoljuk (c,c 2 ) ormálvektorát is. Feldtukb ull vol egyelete 5000 + 8000 2 = 0, mi egyszerűsítve: 5 + 8 2 = 0, ormálvektor: (5,8)
Lieáris progrmozás 6 3. Lépés: Az optimális megoldás(ok) megkeresése ull vol párhuzmos eltolásávl A célfüggvéy szitvoli egyeesek: egy k értékhez trtozó szitvol egyelete c + c 2 2 = k. Egy szitvol ál gyobb k értékhez trtozik, miél messzebb v ull voltól z = (c,c 2 ) ormálvektor iráyáb. Ebből következőe mimum feldt optimális megoldás (h v) ull vol párhuzmos eltolásávl kphtó: ddig toljuk z egyeest, míg lehetséges megoldások hlmzávl v közös potj. A ull voltól legmesszebb eső ilye egyeesek lehetséges megoldások hlmzávl közös potj (vgy potji) muttják z optimális megoldást. A célfüggvéy optimális értéke z ehhez trtozó k érték.
Lieáris progrmozás 7 Az optimális progrm: = 00, 2 = 50. Ekkor célfüggvéy értéke: f(00, 50) = 5000 00 + 8000 50 = 900000
Lieáris progrmozás 8 Megjegyzés Miimum feldt eseté ull volt z iráyávl elletétese kell párhuzmos eltoli ull voltól legtávolbbi helyzetig, míg még v közös pot lehetséges megoldások hlmzávl.
Lieáris progrmozás 9 Szimple módszer A szimple módszer stdrd lkú LP feldtok megoldásár kidolgozott módszer. A számolás z elemi bázistrszformáció lklmzásávl törtéik. m +... + +... + M m c +... + c = = b b m m 0,..., 0, bi 0 A LP elméletébe fotos szerepe v SLP feldtokk, mivel mide más LP feldt SLP feldtr vezethető vissz.
Lieáris progrmozás 20 A ormál lkú lieáris progrmozási feldtok megoldás szimple módszerrel NPL feldt eseté z = = =0 egy lehetséges megoldás. Ebből kiidulv, bázistrszformációkkl jutuk z optimális megoldáshoz. m +... + M +... + m c +... + c b 0,..., 0, bi b m m A számolás techikáj zoos lieáris egyeletredszerek megoldáskor hszált bázistrszformációvl, egy-egy új bázisk itt is egy-egy táblázt felel meg. Léyeges külöbség v viszot geeráló elem kiválsztásáb. 0
Lieáris progrmozás 2 m +... + M +... + m b b m Az első lépés z iduló táblázt felírás: c +... + c m
Lieáris progrmozás 22 Megjegyzés. NPL feldt eseté z = = =0lehetséges megoldás, ezt trtlmzz z iduló táblázt 2. Az u,,u m változókt segédváltozókk evezzük, számuk egyelő feltételek számávl (m). A NLP feldt ezek segítségével vezethető vissz SLP feldtr. (A segédváltozók értéke tetszőleges em egtív szám lehet, így számolás sorá z eredeti változókhoz hsoló kezeljük őket) Például:
Lieáris progrmozás 23 Péld Az iduló táblázt:
Lieáris progrmozás 24 Az optimális megoldás megtlálás érdekébe elemi bázistrszformációkt hjtuk végre. A geeráló elem kiválsztáskor z lábbi feltételekek kell egyidejűleg teljesüli:. A mukoszlop ( geeráló elem oszlop) csk pozitív elem felett lehet 2. A mukoszlopo belül pozitív elem lehet geeráló elem 3. A mukoszlopo belüli pozitív elemek közül z lesz geeráló elem, melyre b vektor és mukoszlop megfelelő kompoeséek háydos legkisebb
Lieáris progrmozás 25 A példáb z utolsó sorb három pozitív elem is v:, 3, 2. Mukoszlop eze elemek közül bármelyikek z oszlop lehet. Válsszuk mukoszlopk 3 feletti (második) oszlopot! A mukoszlopb két elem pozitív, ezek jöhetek szób, mit geeráló elem. A háydosokt kiszámítv: 0/ > 6/, így geeráló elemek mukoszlop második soráb lévő elemet kell válszti, vgyis z 2 e 2 elemi bázistrszformációt kell végrehjti.
Lieáris progrmozás 26 = 0 2 = 0 3 = 0 u = 0 u 2 = 6 u 3 = 6 = 0 2 = 6 3 = 0 u = 4 u 2 = 0 u 3 = 22
Lieáris progrmozás 27 A táblázt értékelése Az utolsó sorbeli elemek lpjá lehet eldötei, hogy megtláltuk-e z optimális megoldást, vgy tovább kell számoli z lábbik szerit:. H z utolsó sorb ics pozitív elem, kkor progrm optimális célfüggvéy mimális értéke leolvshtó. 2. H z utolsó sorb v oly pozitív elem, mely felett ics pozitív elem, kkor fldtk ics optimális megoldás. 3. H z utolsó sorb v pozitív elem és felette v pozitív elem, kkor progrm még em optimális, geeráló elem válsztássl újbb elemi bázistrszformációt kell végrehjti.
Lieáris progrmozás 28 Ez táblázt 3. ktegóriáb trtozik, így tovább kell számoli. Mukoszlop csk hrmdik oszlop lehet, itt pedig csk egy pozitív elem v. Ez lesz geeráló elem, vgyis z 3 e 3 elemi bázistrszformációt hjtjuk végre.
Lieáris progrmozás 29 = 0 2 = 6 3 = u = 5 u 2 = 0 u 3 = 0 OPTIMÁLIS MEGOLDÁS! A célfüggvéy értéke ekkor: 0 + 3 6 + 2 = 40
Lieáris progrmozás 30 A teljes számolás: