Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,, 7 X, 5 X, πxyz, i, π X Megoldás X egyváltozós, egyedfoú moom, együtthatója 5 XX X egyváltozós, ötödfoú moom, együtthatója 7X em 7 7 7 5 moom, mert a foszáma em természetes szám X em moom, mert a foszáma em természetes szám πxyz moom, változós, egyedfoú, együtthatója π π X em moom Végezd el: i a) ix X ; b) 5 XY XY 6 5 ; c) 5 ( 7 ) X ( 7 ) X 5 ; d), 6YZ ;, 7XY 9 e) ( + i) X : ( i) X ; f) g) ( ) XYZ ; i) ( εxz ), ahol ε harmadredű egységgyö; j) ( 5 ix 7 Y ) :( 5X Y ) 9 5X ix 7 ; h) ; i Megoldás a) ix X ( i ) X X ; 5 b) XY XY XY 6 5 ; 7 5 7 X 7 X 7 X 6 9 5, 6XYZ 5 d) 9X Y Z 9XZ ;, 7XY c) 5 5 9 i 9 i 5 i 5 e) ( i) X : ( i) X + + + + X X X ; i + 5 f) 5 5X 5 5 X 5 6 X ;
6 Poliomo és algebrai egyelete g) (( ) ) ( + ) 9 ( 6 ) 5 XYZ X Y Z X Y Z ix i X ix 7 + 5 5 h) ; 9 ; 99 i) Mivel ε harmadredű egységgyö, övetezi, hogy ε ε és ε ε εxz ε X Z Tehát + 7 7 9 5 i X Y j) ( 5 ix Y ) :( 5X Y ) 5X Y 9 57 9 5 5X Y Határozd meg a övetező poliomo foszámát a paramétere függvéyébe: a) P( X ) ( m 5m + ) X + ( m ) X + ( m ) X +, m ; b) m + 9 X + m 8 X + ix 5, m ; P X 5 c) P( X ) 5X + X + ix + X ( + i), ; d) P( X ) ix + ix + X X, Megoldás a) Megoldju az m 5m +, m és m egyeleteet m 5m + m m m m m m m I eset ha {, } m, aor gr P ; II eset ha m m, tehát gr P ; III eset ha m m grp b) m + 9 m ± i m 8 m, ± és m, ± i I eset: m { ± i } grp II eset: m i vagy m i grp c) I eset: Ha + 5 gr P + II eset: Ha + < 5, aor grp 5 d) I eset: + gr P + II eset: + < gr P Számítsd i a övetező poliomo együtthatóia összegét: a) P ( X ) X 5 X + X + X X + ; 999 998 b) P ( X) X X + X X + ; c) + P ( X ) ( X) + ( X ) + ( X) + + ( ) ( X) ; d) P ( X) X X + + X + X + + + + + X + ; + + +
Poliomo és algebrai egyelete 7 e) P X ( εx ε ) ( ε X ε) + + + + + ( ix) 5 Megoldás a) S + + + + b) S ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + c) ( ) ( ) S C C + + C + C C + + C + + + C C Megjegyzés A feladat a övetezőéppe is megoldható: P( ) Q ( ) + + Q ( ), ahol Q( ) ( ), övetezi, hogy, S d) e) i S Q i {,,, } i {,,, } i, tehát S Ebből P () + + + + + + + + + + + + + + + ( ) + + + + + + + + ( ε ε ) ( ε ε) () ( ε ε ) ( ε ε ) + + S () 5 P5 + + + + i + + + + i Viszot ε és ε ( ε + ε+ ) Ebből övetezi, hogy S i + 5 a) A P( X ) 5X + X X + X poliomra számítsd i a P (), P ( ), P (), P ( ), P, P ( ), P() i, P( i), P ( + ), P ( ) értéeet! b) Számítsd i a P( X ) X X + 5 poliom + + -ra számolt helyettesítési értéét! Megoldás a) P () 5+ + ; P ( ) 5 5; P () 5 6 + 8 + 57 P( ) 5 6 8 9 P 5 9+ + 55+ ; P( ) 5 9 55 ; Pi () 5 i+ + i ip( i) 5+ i + i + i b) + ( )( + ) ( + + ) +5 P + + + + + + + ; ; 5
8 Poliomo és algebrai egyelete +, övetezi, hogy Mivel ( ) 9 ( ) P + + + + + + 9 6 Határozd meg az a,, bcparaméter értéét úgy, hogy a b X + X c + b X + c + poliom egyelő legye az X X X a poliommal! Megoldás A ívát egyelőség a övetező alaba is írható: ( b ) X + ( c) X + ( b) X + c + X X X a Két poliom aor egyelő egymással, ha a megfelelő foszámú tago együtthatói azoosa, tehát a b, c, b és c + a egyelősége egyszerre teljesüle Ebből a, b és c 6 7 Számítsd i a övetező poliomo összegét! a) P( X ) X 5 X + X X + X +, Q( X ) X + X + X + X + ; b) P( X ) ( + i) X ix + X X + 5, Q( X ) ix + ( i) X X +,5X ; c) P X ( ) X ( i) X,5X ( 7 ) + + +, Q( X ) ( ) X + ( i ) X X + ( + 7) ; d) P( X ) X ( + i) X ix + i, Q( X ) ( ) X + ( i ) X + i Megoldás a) 5 PX + QX X + ( + ) X + ( + ) X + ( + ) X + ( + ) X+ 5 X + X + X + b) PX ( ) ( ) ( ) + QX + i i X + i i X + X + + ( ) X + X + i X + X + c) PX QX, tehát P( X ) + QX d) P( X ) + QX X ( + i) X + ( + i) X+ i 8 Számítsd i a övetező poliomo szorzatát! a) X + 5+, Q X X + 5 P X b) P( X ) X + X + X +, Q( X ) X + c) P( X ) X X + X X +, Q( X ) X + d) P( X ) X + ( i) X + i, Q( X ) ix ( + i) X i
Poliomo és algebrai egyelete 9 P X X ( i ) X ( i ) e) Megoldás a) + +, Q( X) X + i PXQX 5 X+ 5 X X X X+ b) PXQX ( X)( X + X + X+ ) X c) PXQX ( 5 X + X X + X) + + ( X X + 8X X + ) 5 + 7X + d) P( X) Q( X) ( ix + ( i) ix + ( i) ix ) + ( ( i) X ( i)( i) X ( i)( i) X) + ( ( + i) X ( + i)( i) X ( + i)( i) ) + + + + + ix + ( i + i) X + ( i + i) X + + ( + + ) + ( ) + ( ) i i i i X ix i X 5X 6X e) PXQX ( X + ( i ) X ( + i ) X) + (( i ) X ( i )( i ) X ( i )( i ) ) + + + X X 5X + 9 Bizoyítsd be, hogy ha a P( X ) X + ax +, a R poliom teljesíti a P ( + α) P ( α) egyelőséget, α C eseté, aor P( X) egy biom égyzete Megoldás Az α helyettesítéssel a P () P() egyelőséget apju Viszot P() a + 5, P() + a, tehát a + 5 + a, vagyis a Ie övetezi, hogy PX X X+ ( X ) Határozd meg a P( X ) poliom Q( X) -szel való osztási háyadosát és maradéát! a) P( X ) X 5 X + X 5X + X 6, Q( X ) X X + X b) P( X ) X + 6X + 8X +, Q( X ) X X + c) P( X ) X 8 X 7 + X 6 + X 5 + X X + X, Q( X ) X X + d) P( X ) X X 9 + X 7 5X 6 + X + 7X +9, Q( X ) X + X + e) P( X ) X + ( 7 i) X + 7X + +i, Q( X ) X + i f) P( X ) X + ( i) X + ( i) X + ( + i) X i, Q( X ) X ix + Megoldás Elvégezzü az osztásoat: a)
Poliomo és algebrai egyelete 5 X 5 X X + X X X + X X + X X X X 5X + X 6 X + X X X X X + 7X X + X 6 X + 5X X X + X + X + A táblázatból övetezi, hogy H( X ) X + X+ és R( ) X + 5X b) X + 6X + 8X + X + X X + X + X 6X 6X X + X X + 6 + 9X X + X 6X + 6 9X X+ + 5X 5 Ie övetezi, hogy H( X ) 6 és R( X ) 9X + 5X 5 6 5 c) Elvégezve az osztást a HX X X + X + X+ és RX 5X eredméyhez jutu d) HX X X X X X X X X X 9 8 7 6 5 + + + + 7 + és RX 68X 9 e) + ( 7 i) X X + 7X + + i X + i X ( + i) X X + ( + i) X + i ( + i) ( 7 i) X ix ix + i + i Tehát H( X ) X + ( + ix ) + iés RX i f) HX X + X iés R( X ) ix Határozd meg az a-t és b-t úgy, hogy a X X + ax +b poliom osztható legye az X X + poliommal Megoldás
Poliomo és algebrai egyelete X X + X + ax + b X X + X X + 6X X + X X X + X X + ( a ) X X + 8X ( a ) X + b + PX aor és csais aor osztható Q( X) -szel, ha R( X ), ami aor teljesül, ha a és b Végezd el a Horer-sémával az alábbi osztásoat: a) X 5 7X + 6X 8X + 9X + : X ; ( X 6 X 5 + X 6X + ):( X + ) b) ; X + 5X X : X + ; c) d) ( X 5 + X 5X + X 6X ):( X ) e) X + ( + i) X + ix + ( 7i 9) X + i : X + i Megoldás a) a 7 6 8 9 8 7 Tehát H( X ) X X 8X 7 és RX b) a 6 5 7 Tehát H( X ) X 5 X + X + X X 5 és RX 7 c) a 5 5 75 8 A táblázat alapjá X + X X 5 75 HX és RX 8 d) ;
Poliomo és algebrai egyelete a 5 6 Tehát HX X + X + X + X+ és RX e) a +i i 7i 9 +i i 6 i i i Ie övetezi, hogy HX X + X + ( 6 ix ) + i és RX i Határozd meg a P X X 5 mx + m X + mx poliom ( X + i) -vel való osztási maradéát és háyadosát, ha tudod, hogy ( X ) -gyel való osztásaor a maradé 7 Megoldás P() 7 m + m + m m m ± Horersémával meghatározzu H( X) -et és R( X) -et: a m m m i i m 6 + m + + mi 5m + + m i mi + + m m + ( 8m 8) + Tehát H( X) X i + m X + m 6+ mi X + 5m + m i X + ( ) m mi és RX m+ 8m 8 i, ahol m ± Határozd meg azt a legisebb foú poliomot, amelye X + -vel való osztási maradéa, X -vel való osztási maradéa és X -szel való osztási maradéa Megoldás A feltétele szerit P ( ), P () és P () A poliom legalább elsőfoú, mert a Q( X ) poliom em tesz eleget a feltételee I eset: PX ax+ Mivel P ( ), övetezi, hogy a +, tehát a Viszot ez az érté em tesz eleget a P () egyelete, tehát ics elsőfoú megoldás II eset: PX ax + bx+ P( ) a b + (), P() a + b + () i
Poliomo és algebrai egyelete () és () alapjá a és b, tehát a PX X + X+ poliom eleget tesz a feltételee, és eél isebb foú, hasoló tulajdoságú poliom em létezi 5 Bizoyítsd be, hogy a P( X) poliom ( X a) ( X b) -vel való osztási ) ( maradéa r( X) ( X a ) P ( b X b ) P( a), ahol a, b C, a b b a Megoldás PX Q( X) ( X a)( X b) + mx+, mert grr <, tehát rx mx+ () alaú, ahol m, R Ie övetezi, hogy Pa () ma+ Pb () mb+ Tehát egy lieáris egyeletredszerhez jutottu, amelye megoldásai Pa () Pb () m a b a( P() a P() b ) P() a a b Ha ezeet az értéeet visszahelyettesítjü az () összefüggésbe megapju a ívát eredméyt 6 Bizoyítsd be, hogy ha a P( X ) a + ax + + ax egész együtthatós poliomra a P () és P ( ) számo páratlao, aor α Z eseté P ( α) páratla Megoldás P() a + a + a + + a a +, Z Mivel P () páratla szám, övetezi, hogy a páratla Mide α páros szám eseté Z P( α ) a + m, ahol m Z, tehát P ( α) páratla Legye α Z tetszőleges páratla szám Követezi, hogy α felírható α alaba, ahol Z Tehát ebbe az esetbe P( α ) P ( ) a + a ( ) + + a ( ) Alalmazzu Newto biomiális épletét a {,,, } j eseté ( ) j ifejezésere, mide ( ) j j j j ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) P( ) a + a ( ) + a C ( ) + C ( )( ) + C ( ) + + + a C + C + + C + + a C + C j j j j Észrevehető, hogy j {,,, } és {,,, j } eseté a P( ) előbbi ifejezésébe C mellett midig egy páros szám szerepel, tehát P( ) M + a + a( ) + a( ) + + a M + P( ) A feltétel szerit P ( ) páratla szám, ezt felhaszálva P( ) is páratla szám, tehát α Z páratla szám eseté P( α) is páratla j
Poliomo és algebrai egyelete Összefoglalva az eddigi eredméyeet, P ( α) páratla mide α Z eseté 7 Bizoyítsd be, hogy ha P( X ) a + a X + + a X egy egész együtthatós poliom, aor ab, Z a b eseté P( a) P( b) a b Megoldás P() a a + aa+ + aa és P( b ) a + ab + + ab, tehát Pa () Pb () a a b + a a b + + a a b ( a b) a a ( a b) a ( a a b a b b + + + + + + + + ) Tehát P() a Pb () ( a b) M, ahol M, vagyis P( a) P( b) a b 8 a) Bizoyítsd be, hogy a P C[ X ] és grp, aor a Q( X ) P( X + ) P( X) poliom foszáma b) Bizoyítsd be, hogy a P C[ X ] és gr P, aor léteze olya ε, ε,, ε {,} számo, amelyere P( + ), ε Megoldás a) P( X ) a + ax+ ax, ai C, a i {,,, } PX ( + ) a + a X+ + + a CX + CX + + C ( ) ax + a + Ca X + + a + a + + a, és a Tehát PX ( + ) PX CaX + C a + Ca X + + a + a + + a és mivel a, övetezi, hogy Ca, tehát gr Q Hasoló módo látható be, hogy ha gr P és, aor a HX PX ( + a) PX poliom foszáma b) Az a) pot alapjá P ( X) PX ( + ) PX foszáma, tehát a P( X) P( X+ ) P ( X) [ PX ( + ) PX ( + ) ] [ PX ( + ) PX ] j poliom foszáma és általába a P ( X) j+ Pj( X + ) Pj( X) poliom j ( foszáma Így a P P X + ) P ( X) poliom ostas poliom, tehát a P ( X) P ( X + ) P ( X) poliom idetiusa ulla Másrészt P( X) α P ( X + j j ) alaú, ahol α j {, } j, tehát a ívát tulajdoságot igazoltu 9 Bizoyítsd be, hogy egymás utái teljes égyzet felosztható ét hatos csoportra úgy, hogy az egyes csoporto elemeie égyzetösszegét egymásból ivova a) 8 -cal osztható számot apju; b) 8 -gyel osztható számot apju
Poliomo és algebrai egyelete 5 Megoldás Az előbbihez hasolóa előállíthatu olya poliomiális azoosságot, amelyből övetezi ez az oszthatóság Az ( X + ) + ( X + ) + ( X + 9) ( X + 8) ( X + 7) ( X + 6) ( X + 5) ( X + ) ( X + ) + ( X + ) + ( X + ) + X 8 és ( X + ) + ( X + ) ( X + 9) + ( X + 8) ( X + 7) ( X + 6) ( X + 5) ( X + ) + ( X + ) ( X + ) + ( X + ) + X 8 egyelősége mutatjá a szüséges felbotásoat Bizoyítsd be, hogy ha P( X ) ax + ax + ax+ a és P( ), [, ], aor a + a + a + a 7 Megoldás A P() a + a + a + a, P( ) a + a a + a, a a a a a a P + + + a és P + 8 + a egyelőségeet egy 8 redszere teitjü az a, a,a és a ismeretleeel Ie övetezi, hogy P() P( ) P P + a, P() + P( ) P P a, P() + P( ) + 8P 8P a, P() P( ) + P P + a és eze segítségével igazolható a ívát egyelőtleség Egyelőség a X X vagy X + X poliomora teljesül VI Gyaorlato és feladato (5 oldal) Bizoyítsd be, hogy a) ha páros, aor ( X osztható osztható( X + ) -el ) ( X + ) ( X + ) b) X + X + X X osztható ( X ) -gyel ( X X ) + c) X + X + X osztható X + -gyel + d) + X osztható X -gyel + e) X + X + osztható X + X + -gyel -gyel, de em
6 Poliomo és algebrai egyelete f) + + X + X osztható X X + -gyel + + g) X X + X X + osztható ( X ) -el + h) X + X X X + osztható ( X ) -el Megoldás a) ( X ) ( X ) (( X + ) ) (( X + ) + ) v + + C( X ) C( X ) C ( X ), + + + + ahol v Az előbbi összefüggésből látható, hogy a vizsgált poliom osztható (X + ) -gyel, de em osztható ( X + ) -el b) () P +, tehát PX ( X ) c) X + ( X + i)( X i), tehát elégséges imutati, hogy PX ( X+ i) és PX ( X i), mert ( X + i) és ( X i) relatív príme () ( ) + + Pi + i+ i i i, tehát P( X ) ( X i) + P i i + i, tehát P( X ) ( X+ i) A feti összefüggése alapjá PX ( X i)( X+ i), tehát P( X ) X + ( d) X X + X ) és ( X + ), ( X ) relatív prím poliomo, így elégséges imutati a PX ( X+ ) és P( X ) ( X ) oszthatóságoat + P () P( X ) X P ( X + X + ) ( X ε)( X ε ) Ebből övetezi, hogy PX X + PX ( X+ ) e), ahol ε harmadredű egységgyö és ε P ε ε + ε + ε + ε+ + () ( ) ( + ) ε ε + ε+ és ε P ( ε ) ε + ε + ε+ ε + Az előbbi összefüggése alapjá PX X + X+ (, mert ε f) X X + X ε X ε ), ahol ε és ε, i, (Mert εi i ε + ε ε + ε ε +, ha ε, + i {, } ) Ha {, } i i i i tetszőleges, aor ( ε ) ε ( ε ε + ) +, + X X + tehát a PX + poliomra i ( i ) i ( i i )(( i ) ( i) ) P( ε ) ε + ε ε ε ε + + ε P( ε ) ( X X+ ) Így i, tehát PX g) P X X X X X X X ( X ) X + + + + + + + + tehát ( X ) + + PX X X X + ( X ) Viszot i i i i i i i i,
Poliomo és algebrai egyelete 7 + + + + + X X X X( X ) ( X ) ( X )( X ) ( X ) ( X + X + + ) Tehát PX ( X ) + h) PX X ( + ) X X X + X ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) + + + + + ( X ) X ( X ) X X ( X X X ) Ebből övetezi, hogy a poliom aor osztható ( X ) -el, ha a QX X X X X X X X + + + + + + + + poliom osztható ( X + ) -gyel Viszot Q() + + +, tehát QX ( X ) és így PX ( X ) Megjegyzés A bizoyítás a Horer-séma alapjá is leírható Határozd meg az a, b C paramétereet úgy, hogy a) az X ax + ( a + ) X ax + polioma ( X + ) -gyel való osztási maradéa legye 5 b) az X + a X a X ax + ax + poliom osztható legye ( X i) -vel c) az ax + bx X + poliom osztható legye ( X ) -gyel d) az ax + ( a ) X bx + X poliom osztható legye X + X -vel e) az X + bx + ( b a) X + 5X a osztható legye X + X + -vel X + 5X + ax + bx 6 X ( X + ) f) az poliom osztható legye -mal g) az X + 5X + ax + bx 6 poliom osztható legye ( X ) -el 5 h) az 6X + ax + 7X + bx 5X + 6 osztható legye( X 5X + 6)-tal Megoldás a) P( ) + a + ( a + ) + a + 5a + ell teljesüljö, tehát a 5 b) Pi () i + ai ai ai + a i+, i + a + a i + a + ai + i a + a + + a + a + tehát a + a +, vagyis a ε és a, ahol ε és ε (ε harmadredű, em valós egységgyö) c) Elvégezzü az osztást ε
8 Poliomo és algebrai egyelete ax ax + bx X + X + X ax ax + b bx + ( a ) bx X + X b ( a ) X + b + Tehát R( X ) ( a ) X+ b+ a és b d) Ha elvégezzü az osztást, az R( X ) ( 8a+ b) X+ 8a b maradéot apju Az RX feltételből a 8a + b egyeletredszerhez jutu 8a b a Ee a redszere a megoldásai b e), tehát a 8 b + a RX ( 8 b+ a) X+ a+ redszert apju, a + ahoa a b f) a 5 RX ( a 5) X + ( b+ 5) X b 5 Megjegyzés A P() P ( ) P( ) egyelőségeből ugyaezeet az értéeet apju PX X + + 7 X + 7 a X a+ g) ( X ) ( X ) ( 7)( X ) a( X ) ( X ) + + + + + + + a a + + ( X ) ( X ) ( 7 )( X ) a( X + + + + + + + ) + QX Q() + ( 7)( ) a( ) + A P poliom potosa aor osztható ( X ) -el, ha Q () és a a a Behelyettesítve a apott értéet Q() -be, apju, hogy Q() + 7 + 7 + +, tehát a a megoldás h) 5 ( 6X + ax + 7X + bx 5X + 6) ( X 5X + 6)
Poliomo és algebrai egyelete 9 (( + ) X + 5X + b ) ( X 5 + 6) 5 6X + ax + 7X + b X + X 5X + 6 X 5X + 6 X a a + a 9 5 5, ahol Ebből övetezi, hogy b 5 b 6 Határozd meg azoat az m értéeet, amelyere: a) m m X + X osztható ( X + X + ) -gyel ( X + X ) m + X m + X m b) osztható ( -gyel + c) mx ( ) + X + osztható ( X X + ) -gyel Megoldás a) X + X + X ε X ε, ahol ε és ε Az utóbbi ét összefüggés alapjá ε ( ) X X + + ε+ Ebből az egyelőségből övetezi, hogy m m m m m P() ε ε ε ε ε m m és P ε ε ε Ha m páros, aor P () m m ε ε ε, m { } Ha m páratla, aor P() ε P( ε ) m { } Tehát ) ( + + ) PX X X m páratla és m, vagyis ha m 6 + alaú b) ( X X + ) ( X ε)( X ε), ahol ε, R, ε ε εi εi +, i {, } m m m m m m m m P( ε ) ε + ε + ε + ε ε + ε + ε + + ε és ez em ulla egyetle m eseté sem Ebből övetezi, hogy P( X ) em ) osztható ( X X + -gyel egyetle m értére sem c) A b) alpothoz hasolóa a övetező összefüggéshez jutu: m m m P( ε ) ( m + )( ) + ε ε m m m ( m + )( ) + ( ) ( + ) ( ) +, tehát ics megoldás Határozd meg azoat a miimális foszámú em ostas poliomoat, amelye (X ) -gyel, (X ) -vel, (X ) -mal való osztási maradéa és (X + ) -gyel való osztási maradéa Megoldás grp, mert ha P ostas poliom lee, aor em leheté ét ülöböző maradéa valamilye poliomoal osztva
Poliomo és algebrai egyelete I eset: Ha gr P, vagyis P( X ) ax+ b, aor a P() P () P() és a P( ) összefüggése alapjá a + b a + b a + b Így a b P( ) feltétel em teljesül, tehát em létezi elsőfoú megoldás II eset:p( X ) ax + bx+ c A feltétele alapjá a övetező redszerhez jutu: a + b + c a + b + c 9a + b + c a b + c Az egyeletredszer em összeférhető, tehát ics másodfoú megoldás III eset: P( X) ax + bx + cx + d A övetező egyeletredszert apju: a + b + c + d 8a + b + c + 7a + 9b + c + d a + b c + d 7 A redszer megoldásai a, b, c és d Tehát a PX X 7 + X X + + poliom a legisebb foszámú, amely teljesíti a ért feltételeet 5 Határozd meg azt a miimális foszámú P poliomot, amelye ( X + X ) - vel való osztási maradéa X + és az ( X X + ) -vel való osztási maradéa (X ) Megoldás A poliom foszáma em lehet isebb -él, mert aor a maradé ugyaayi ellee legye (potosa P(X)) mide legalább másodfoú poliom eseté I eset: Ha PX ax + bx+ c, aor elvégezve az osztást az X + X poliommal, az R( X) ( b a) X + c + a maradéot apju Az X X + poliommal való osztásor R( X ) ( b + a) X + c a A feltétele alapjá a b a és b + a egyeletredszere egyszerre c + a c a ell teljesüljee, ami lehetetle, mert egyrészt az első egyeleteből az a megoldást apju, míg a másodi egyeleteből az a megoldást
Poliomo és algebrai egyelete II eset: Ha P ( X) ax + bx + cx + d, aor R( X) ( a b + c) X a + b + d és R( X ) ( a + b + c) X + d b a, a b + c tehát a a b d + + és a + b + c egyeletredszereet apju A d b a 9 9 ét redszer megoldásai a, b, c és d, tehát a 9 PX X X X + + + 9 poliom eleget tesz a feltételee 6 Létezi-e olya P [ X] poliom, amelyre XP( X + ) + ( X ) P( X + ) X + Megoldás Feltételezzü, hogy létezi ilye poliom Két esetet tárgyalu: I eset: gr P <, vagyisp( X ) c, ahol c ostas A megadott egyelőség alapjá felírhatju, hogy X c + ( X ) c X + cx c X +, ami lehetetle, mert c és c em teljesülhet egyszerre * * II eset: gr P és a úgy, hogy P( X ) ax + QX, grq < Ebből övetezi, hogy XP ( X + ) + ( X ) P( X + ) ( ) ( ( ) ) X a X + + Q + + X a X + + Q X + X ax + ( X ) ax + Q( X), ahol gr Q + XP( X + ) + ( X ) P( X + ) ax + Q ( X), ahol gr Q < + Tehát ax + + Q ( X) X + vagy, vagy a ell teljesüljö, ami lehetetle Követezi, hogy em létezi olya P [X], amelyre teljesül a ívát egyelőség 7 Bizoyítsd be, hogy ha a P [ X] poliom teljesíti az ( X + ) P( X) ( X ) P( X + ) X + 6 azoosságot, aor az ( X )( X + ) poliommal való osztási maradéa 9 X Megoldás A megadott összefüggésbe X -gyet helyettesítve azt apju, hogy P(), tehát P () 5 eseté ( + ) P( ) + P() P( ) + 5 7 A VI7 fejezet 5 feladata alapjá ( X ) P( ) ( X + ) P() ( X + ) 5 ( X ) 7 rx 9 X A megoldás teljességéhez hozzátartozi legalább egy poliom meghatározása, amelyre a feltétele teljesüle Például a P( X ) 9 X teljesíti a feltételeet 8 Létezi-e olya emulla P [ X] poliom, amelyre
Poliomo és algebrai egyelete ( X ) P( X + ) ( X + ) P( X ) Megoldás és X -re a behelyettesítés utá P() P( ) adódi Ebből övetezi, hogy létezi olya Q [ X], amelyre PX ( X )( X+ ) QX Ha ezt visszahelyettesítjü, övetezi, hogy QX+ QX, tehát Q ostas poliom Belátható, hogy a PX cx ( )(X+ ) poliom mide c valós szám eseté teljesíti a feladat feltételeit 9 Bizoyítsd be, hogy az X 6X poliom osztható P ( X 7+ 7 )-gyel! 7+ + 7 7+ + 7 Megoldás 6 7+ + 7 7+ + + 7 + 7 + 7 7 + + 7 6 7+ + 7, Tehát P( X ) osztható ( X 7+ 7 )-gyel Bizoyítsd be, hogy a P [ X ] polioma ( ax + b) -vel való osztási b maradéa P a Megoldás P( X ) QX ( ax+ b) + c(mert gr() r ) b b P Q + a a c c b r ( X) P a Milye feltételeet ell teljesítse az m és természetes számo ahhoz, hogy az m m + X + + X + poliom osztható legye az X + X + poliommal Megoldás Ha m, aor az oszthatóság teljesül m < eseté az első poliom em lehet osztható a másodial, tehát feltételezhetjü, hogy m > Ebbe az esetbe a másodi poliom mide gyöe az első polioma is gyöe ell legye + Ha α egy gyöe az X + X + polioma, aor + m+ m m α + α + α + α +, tehát ( α+ ) ( α α ) m Mivel α és α, övetezi, hogy α és így α Az α + + α + egyelet alapjá α, tehát Másrészt α + α + ϕ ϕ ϕ α cos ϕ+ i si ϕ és α cos cos i si ϕ + +, tehát cos ± Ebből + övetezi, hogy α harmadredű egységgyö Mivel az X + X + polioma
Poliomo és algebrai egyelete m ics többszörös gyöe az csa lehet Ebbe az esetbe az α + m + α + egyelőség az m + alaú számora teljesül A feladatba megfogalmazott m érdésre a válasz a övetező: Az X + m + X + poliom potosa aor osztható az X + + X + poliommal, ha m, vagy és m + { } m Bizoyítsd be, hogy ha az X + X m +, poliom osztható X + X + -el, aor m vagy m Megoldás m m X X ( X ) X m+ + + X + + ( X + X + ) + + X m+, tehát m X + osztható az m X + X + poliommal Eszerit az m X m + X +X m poliom is osztható X + X + -gyel Ha m, aor m X m + X + X m X ( X m + X + ) és X m em osztható X + X + - m m gyel, tehát X + X m + osztható X + X + -gyel Ez csa aor lehetséges, ha a ét poliom azoos, tehát m és így m Az > m esetbe az m feltételhez jutu és beláthatju, hogy midét feltétel elégséges is Bizoyítsd be, hogy ha P [ X], aor létezi olya szám, amelyre P Megoldás A P () {,,} reláció legtöbb egész értére teljesülhet, tehát létezi olya szám, amelyre P( ) {,,} Ha P( ) összetett szám, Z aor a bizoyítást befejeztü Elleező esetbe a P( X ) P( X + ) poliom szabadtagja a p P ( ) prímszám Ha P( X ) a X + + + a X + p, ap X + P( X ) Bizoyítsd be, hogy a P [ X] polioma égy ülöböző egész számra (,,, ) a behelyettesítési értée, aor a P em veszi fel az,, 5, 7 vagy 9 értéeet egyetle egész -re sem Megoldás A feltétele alapjá a Q( X ) PX polioma legalább égy ülöböző egész gyöe va, tehát P( X ) ( X ) ( X )( X )(X ) Q ( X ) + De eseté az ( )( )( )( ) Q( ) szorzat értée em lehet prímszám, tehát ez a szorzat em veheti fel a,,, 5, 7 értéet Így a P poliom em veheti fel az,, 5, 7 vagy 9 értéet 5 Bizoyítsd be, hogy ha P [ X], aor em léteze olya pároét ülöböző abc,, Z számo, amelyere ax p ( p) p( ap + a + + a + ) aor P, és a ( ap ) X értéee ívül is felvesz értéeet, tehát létezi olya egész szám, amelyre P( ) {,,} Így a P ( + p) P( p) pp( ) szám összetett összetett szám + + a X+ egész együtthatós poliom a, és
Poliomo és algebrai egyelete Pa () b, P() b c és Pc () a Megoldás Ha P [ X] és y,, aor [ P () Py ()] ( y) -al A b c P() a P( b), c a P() b P() c és a b P() c P() a egyelősége és az előbbi tulajdoság alapjá ( a b) ( c a ), ( c a) ( b c) és ( b c) (a b) Eze az oszthatóságo csa aor teljesülhete, ha a b c és ez elletmod a feltételee, tehát a megadott egyelősége em teljesülhete π 6 Bizoyítsd be, hogy ha > 6, aor cos Megoldás Teitjü a P( ) cos( arccos ) ifejezést A cos(( + ) ) cos cos(( + ) ) cos( ) azoosság alapjá P ( ) P ( ) P ( ) Mivel P ( ) és + + P( ), a P egy -ed foú egész együtthatós poliom Matematiai iducióval igazolható, hogy P domiás tagjáa együtthatója, a ullától ülöböző együttható előjele váltaozi és csa az -el azoos paritású itevővel redelező tago együtthatója ülöbözi ullától Szité az előbbi összefüggésből övetezi, hogy a P együtthatóia abszolút értéét a övetező táblázatba foglalhatju Az együttható A P poliom P( ) P( ) P( ) P ( 8 8 P ( 8 6 5 P 5 5 6 5 A táblázatbeli számo geerálása a melléelt ábrá látható sémáa megfelelőe törtéi a π p p p Ha cos, aor cos arccos cos q π q q b tehát p b+a racioális gyöe a P + egyelete Ha páratla, q aor az előbbi egyelet szabadtagja és így mide racioális gyö alaú π π Másrészt cos >, ha > 6, tehát cos em lehet racioális ebbe az esetbe Ha cos, aor a cos, bármely természetes eseté, tehát ha -e va π egyél agyobb páratla osztója, aor cos em racioális (ha az egyedüli ilye
Poliomo és algebrai egyelete 5 π π osztó a, aor azt haszálju, hogy co s, vagy hogy co s ) Ha -e 6 9 ics egyél agyobb páratla osztója, aor ettőe hatváya és így alapjá π cos sem lehet racioális, ha π co s VI5 Gyaorlato és feladato (78 oldal) Határozzu meg az m paraméter értéeit, tudva, hogy az i gyöe az + ( i) ( i) + m egyelete, majd oldju meg az egyeletet! Megoldás i + ( i) i ( i) i + m i + i i + m m i + 6 Mivel i gyöe az egyelete, elosztju az egyeletet ( i) -vel i ( i) i + 6 i 6i Tehát + i i + i + 6 i + + 6i Az ± 7 i + + 6i egyelet gyöei, Határozd meg az a és b paramétere értéét, ha tudod, hogy a étszeres gyöe az ( i) a + b egyelete, majd oldd meg az egyeletet! Megoldás Ha étszeres gyöe az egyelete, aor a PX X i X ax+ bpoliom osztható ( X ) -el X ( i) X ax + b X X + X X + X X + i a + X ix ix ix + i ( i a ) X + b i Tehát R( X ) ( i a ) X+ b i a i és b i Az egyelet harmadi gyöe a háyadosa is gyöe, tehát i,
6 Poliomo és algebrai egyelete 5 ) a) Oldd meg az + 9 + egyeletet, ha tudod, hogy gyöe az egyelete b) Oldd meg a z + z + z + z + egyeletet, ha tudod, hogy i és i gyöei az egyelete Megoldás a) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Az y jelöléssel y y y és y és, i és 5 i b) Ha i és i gyöei az egyelete, aor az egyelet bal oldalá szereplő poliom osztható z + -gyel ( z + z ) + ( z + z) + ( z + ) z + z + z + A z + z + egyelet megoldásai z + i és z i Botsd fel elsőfoú téyezőre a övetező poliomoat! a) i + ; e) ; b) ( + i) + i + ; 6 f) + ; c) 5 + ; g) + ; d) + + 5 + ; h) + + Megoldás i ± i 7 a) Az i + egyelet gyöei,, tehát a felbotás + 7 7 i + i i + i ± 9+ i + ( 8i 8) + i ± ( + i) b),, tehát és, tehát P() ( i)( ) c) Az y helyettesítéssel y 5y + és y, y + i Ie övetezi, hogy, ± és, ±, tehát 5 + ( )( + ) + ( )( + )( )( + ) d) Észrevehető, hogy P ( ) + 5+ P () ( + ) A Horerséma segítségével a P() ( + ) + + + ( + )( + ) felbotást apju e) + + i + i
Poliomo és algebrai egyelete 7 f) 6 i i i i i i + + + + + Tovább botju i -et:, i ± i, tehát + i i i i Hasolóa + i, tehát 6 i i i i ( i)( i) + + + + + + + g) ( ) ( i)( i) ( i)( i)( i i)( i ) + + + + + i Tudju, hogy i ± ( + i), esetübe az előjel em számít, mert a szorzatba midét előjelű téyező szerepel, tehát + + ( + i) ( i) ( i) ( i) + + Megjegyzése A feladatot másépp is megoldhatju: + ( cosπ + isiπ), ahoa π + π π + cos + si i π,, és X + ( )( )( )( ) Godolodhatu a övetező módo is Az + poliom felbotható ét másodfoú poliom szorzatára RX [ ]-be, és eze domiás tagjaia együtthatója, ( d) tehát + + a + b + c +, ahol a,,, bcd R Elvégezve a szorzást, felírhatu egy egyeletredszert az a, b, c és d valós számora A redszert megoldva azt apju, hogy + ( + + )( + ) és a apott másodfoú téyező már öye felbotható Az előbbi felbotást rövidebb úto is megaphatju, ha az + ifejezéshez hozzáadu és i is vou belőle -et + + + + + + + h) Az y helyettesítéssel az y + y + egyeletet apju, melye gyöei ± i Ie övetezi, hogy + + y y és y, + + y y y ( + y ) + ( 5 Képezd azt a miimális foszámú egyeletet, amelye gyöei a övetező: )
8 Poliomo és algebrai egyelete a),, ; b), i, i ; c),, i, ; 5 + i d) étszeres, háromszoros, egyszeres gyö; e) i étszeres, i egyszeres, 5 háromszoros gyö Megoldás a) A miimális foszámú egyelet az ( ) 5 egyelet, amely evivales átalaításoal a övetező formába írható: 9 + 5 6 b) Az egyelet: ( + ) ( i)( i) + ( 7i) ( 7i + ) Megjegyzés Ha az egyelet valós együtthatós ell legye, aor az egyelete a i és i omple számo ojugáltjai is gyöei ell legyee, tehát a miimális foszámú egyelet: ( + ) ( i)( + i)( i)( + i) c) Az egyelet: ( ) ( )( + i)( i) 8 + 76 + 8 Megjegyzés Az egyeletet a Viète-összefüggése segítségével is felírható Ha,, és az egyelet gyöei, aor az egyelet: ( ) ( ) + + + + + + + + + ( + + + ) + d) Ismét megoldhatju a feladatot Viète-összefüggéseel, vagy az elsőfoú poliomo összeszorzásával A másodi módszert alalmazva, az egyelet:( ) ( + )( ) ( + ) ( + )( 6 + 8) 6 5 5 + + 7 86 + 76 e) ( i) ( + i) ( 5) i i i i 6 5 + ( 5 + ) + ( 76 5 ) + ( + 76 ) + ( 75 ) + + ( 5 + 75i) 5i 6 a) Írj fel egy olya tizedfoú egyeletet, melye mide gyöe 5 vagy 5 b) Írj fel egy olya egyedfoú egyeletet, melye gyöei,,,, a b Megoldás a) A feltétele alapjá ( 5) ( + 5) és a + b, ab, N ell teljesüljö Egy ilye egyelet az ( + 5) egyelet, amelyet, alalmazva Newto biomiális tételét, a övetező alaba is írhatu: 9 8 + C 5+ C 5 + + 5 Megjegyzés Mide egyes {,,,} {,,,} + a száma megfelel egy b szám úgy, hogy az a b egyelőség teljesüljö, tehát összese féle egyeletet írhatu fel
Poliomo és algebrai egyelete 9 b) Mivel mide egyedfoú egyelete potosa gyöe va a omple számo halmazába, em lehet ilye egyeletet felíri A legisebb foszámú egyelet, amelye a megadott számo gyöei, ötödfoú: ( ) ( + ) ( )( ) 7 Oldd meg az + i 6i és az + i 9 i egyeleteet, ha tudod, hogy va özös gyöü Megoldás Legye a ét egyelet özös gyöe Eor + i 6i és + i 9 i Kivova egymásból e ét egyeletet, azt apju, i hogy gyöe a 6i 8 i egyelete 6i 8 i / i i + i 7 és ( 7+ 7), ( 7 7) Behelyettesítve és -t az első egyeletbe azt apju, hogy egyi sem gyöe, tehát a ét egyelete em lehet özös gyöe 8 Határozd meg az a paraméter értéét, ha a övetező egyeletee va ét özös gyöe, majd oldd meg az egyeleteet: + a és + ( a ) a Megoldás Legye u és v a ét özös gyö Behelyettesítve u-t a ét egyeletbe u + u au ()/ ( u) u u + au + u apju, hogy: u + ( a ) u a u + ( a ) u a Összeadva ezt a ét egyeletet, az ( a ) u + au + u a () egyelethez jutu Ha ()-et szorozzu a -val és hozzáadju ()-höz, aor a u + a + u egyeletet apju Ie u u + a + u em lehet a özös gyö, mert em gyöe az + a egyelete, tehát az u özös gyö csa a u + a + egyelete lehet gyöe Követezi, hogy a + u ± és teljese hasolóa a + v ± Viszot u és v ülöböze, tehát a özös gyöö ± a +, a Ezeet az értéeet visszahelyettesítjü az első egyeletbe: a + a + a + a + + a a +, ie pedig a + a + a + a + + + a a ±
Poliomo és algebrai egyelete I eset: a + + egyelete, tehát a em megoldás II eset: a eseté midét egyelete gyöei + és, tehát a az egyedüli megoldás Ebbe az esetbe az első egyelet + és gyöei, a +, viszot ez az érté em lesz gyöe az és A másodi egyelet, tehát gyöei,, i és i 9 Határozd meg az a és b paraméter értéét úgy, hogy a övetező egyelete gyöei ugyaazo legyee! + ( a b) + ( a + b) + ( a b) + a + b + és + 5 + + + 8 Megoldás A gyöö azoosságából, a Viète-féle összefüggése alapjá a ét egyelet ugyaaz ell legye, egy c ostassal való szorzástól elteitve A mi esetübe az -es tago együtthatói midét egyeletbe ugyaazo, tehát c Ie övetezi, hogy a b 5 a + b a b a + b + 8 A feti egyeletredszer megoldása a b Oldd meg a övetező egyeleteet, ha va a-tól függetle gyöü: a) ( a + ) + ( a + ) a ; b) + ( a ) ( a + ) + ( a) + a ; a + + a + 6a a c) Megoldás a) Az egyelete aor va a-tól függetle gyöe, ha a C eseté ez a gyö változatla marad Legye a Eor az + egyeletet apju, amelye gyöei, és Az előbbie alapjá az eredeti egyelet függetle gyöe az, és számo egyie ell legye I em lehet függetle gyöe az eredeti egyelete, mert csa a eseté gyö II valóba függetle gyö a-tól, mert ( a + ) + ( a + ) a a Mivel megtaláltu egy gyööt, azt jeleti, hogy az egyeletet egy másodfoú egyeletre reduáltu, amit egyszerűe megoldhatu: ( a + ) + ( a + ) a ( ) ( + a) + a
Poliomo és algebrai egyelete + a ± ( a ) Tehát,,, vagyis, a és b) Hasoló godolatmeettel, mit az a) potba, legye a Így az 5 + egyeletet apju, és tudju, hogy ee az egyelete a gyöei özt szerepel az a-tól függetle gyö is Megoldju ezt az egyeletet: y helyettesítéssel y 5y +, tehát y, y és,, és Behelyettesítve ezeet az értéeet az eredeti egyeletbe, azt apju, hogy, és mid függetle gyöö a ( a + ) ( a) a a a a a + a a A táblázat alapjá,, és a c) Legye a Így az egyeletet apju, melye gyöei és A em függetle gyö, tehát csa lehet a függetle gyö: ( a ) + ( a 6a) + a a a A többi gyööt az a + a egyelet adja: és tehát, a és a a ± a,, Megjegyzés Ha az adott egyeletet a szerit csoportosítju a-ba egy elsőfoú egyelethez jutu, tehát a-tól függetle gyö potosa aor létezi, ha az a hatváyaia együtthatói mid ullával egyelő Az a + + + egyelőségből adódi, hogy + és + Jelöljü,, az + egyelet gyöeit Számítsu i a övetező ifejezése értéét! a) + + ; b) + + ; c) + + ; 5 5 5 d) + + ; e) + + + + + + + Megoldás a) A Viète-féle összefüggése szerit + + ( + + ) + + + ( + + )
Poliomo és algebrai egyelete + + ( + + ) ( + + ) 9 8 b) + ( + ) + ( + ) + + ( )( ) + + + + + + + + + + + + + + Ebből övetezi, hogy + + + 9 ( összeget: b) + + + + + + + Kiszámolju az S + + ( + + ) S+ ( + + ) ahoa + + ( ) 5 c) ( + ( + + )( + + ) 5 5 5 5 5 5 + + ( ) + 8 Megjegyzés Ha S + +, aor S + S+ S+ + S, tehát, és S függvéyébe gyorsabba is i lehet számoli az S értéeet! ) ) + S 6, + + + + + + + + + S S + + + + + + 5 5 5 + ( + + ) + + + d) + + + + + ( + )( + )( + ) + 6+ + + + Ha tg α, tg β és tg γ az + a + b + c egyelet gyöei, számítsd i tg( α+ β + γ) -t az a, b és c függvéyébe Megoldás tg β + tg γ tg α + tg α+ tg( β + γ) tgβ tgγ tg( α+ β + γ) tg( α+ ( β + γ) ) tgαtg( β + γ) tg β + tg γ tgα tgβ tgγ tg β + tg γ tg α + tgβ tgγ tg α+ tg β + tg γ tg αtg β tg γ tg β + tg γ tgα ( tgαtgβ + tgαtgγ + tgβ tgγ) tgβ tgγ tg α+ tg β + tg γ a Viszot a + c tg αtg β + tg αtg γ + tg β tg γ b, tehát tg( α+ β + γ) b tg αtg β tg γ c +
Poliomo és algebrai egyelete Egy téglatest élhosszaia összege cm, a teljes felszíe cm, térfogata 6cm Határozd meg a téglatest méreteit! Megoldás Legyee a téglatest oldalélei a, b és c A feltételeből övetezi, hogy ( a + b + c) a + b + c 6 ( ab + ac + bc) ab + ac + bc, tehát a, b és c az abc 6 abc 6 6 + 6 egyelet gyöei Észrevehető hogy gyö 6 6 5 6 Tehát 5 + 6 és, Eszerit az oldala hosszai a, b és c Jelöljü,,-al az + a egyelet gyöeit Határozd meg az a R értéeit úgy, hogy az egyelet gyöei özt feálljaa a övetező összefüggése: a) + ; b) + + + + Megoldás a) + ( + + ) és + +, tehát Visszahelyettesítve -t az egyeletbe megapju a-t: 9 + a 9 9 8 6+ 6a 78 6a 757 9 757 a 6 b) A feladat alapjá + + ( + + ) ( + + ) és ( + + + + )( + + ) ( + + )( + + ) Ie övetezi, hogy + + a és + + ( a) a a A feltétel szerit a a a 5 P( ) egy olya poliom, amelyre P( si ) P( si ) bármely valós eseté Bizoyítsd be, hogy P ostas poliom!
Poliomo és algebrai egyelete Megoldás Az egyeletbe helyettesítsü helyett -t Így a P si P( si ), egyelőséget apju Matematiai iducióval azoal igazolható, hogy és eseté P si P( si ) (*) Teitjü a Q( ) P( ) a poliomot, ahol a a P( ) poliom szabad tagja Q -e gyöe, mert Q() a, tehát Q( a ) -e π is gyöe π A (*) egyelőséget felhaszálva apju, hogy P si gyöe Q( ) -e,, π π tehát Q( ) -e végtele so gyöe va (mert l, eseté si si l l ) A fetie alapjá Q( ),, és ie P( ) a P( ) a,, tehát P egy ostas poliom 6 Határozd meg az a paraméter értéeit úgy, hogy a övetező egyelete gyöei számtai haladváyt alossaa, majd oldd meg az egyeleteet: a) + ( a ) + a ; b) a + + a Megoldás a) Ha, és számtai haladváyba vaa, aor + d és + d Felhaszálva a Viète-összefüggéseet + + ( + d), tehát az egyi gyö Ebbe az esetbe + a + a és a Meghatározzu a többi gyööt is Tehát az eredeti egyelet az egyeletre vezetődi vissza A további ét gyö tehát ± Az, és + számo, számtai haladváyba vaa és a ráció d b) megoldás A gyööet y r, y r, y + r és y + r alaba írhatju A Viéte-összefüggése alapjá y, 6y r a, y( y r ) és ( y r )( y 9r ) a Mivel eze az egyelősége egymása elletmodaa, a paraméter egyetle értéére sem lesze az egyelet gyöei számtai haladváyba megoldás Ha a gyöö számtai haladváyba vaa, aor a derivált egyelet gyöei is számtai haladváyba vaa A derivált egyelet: a + a + Legye, és a derivált egyelet gyöei, és aor vaa számtai haladváyba, ha + d és + d Aárcsa az a) alpotba,
Poliomo és algebrai egyelete 5 + +, tehát Behelyettesítve a derivált egyeletbe -t, megapju a értéét: a + a Eszerit az eredeti 8 egyelet: + + ( ) + +, + ± 5 tehát, Mivel midettő étszeres gyö, az,, és számo em lehete számtai haladváyba, bármi legye is az a valós szám 7 Határozd meg az a R paraméter értéeit úgy, hogy a övetező egyelete gyöei mértai haladváyt alossaa, majd oldd meg az egyeleteet: a) + ( a + ) a + ; b) 8 + ( a + ) 5 + Megoldás a) és q, tehát a Viéte-összefüggése alapjá q ( q q + + ) q, ( q q ) + + ( a + ) és a Ebből q a + övetezi, hogy 9 5 a Így az a + a a + 5 egyelethez jutu, ahoa a, a, 6± 6 Ha a, aor és { } q, Ha a 6+ 6, aor + 6 és 8 6 8 8 6 q ± + 6 Ha a 6 6, aor és 8 6 8 6 q + ± 8 y y b) A gyööet felírhatju, q, y és y q alaba Így a q q Viéte-összefüggése alapjá yq q 5 + + + q q és y 5 q + + q +, tehát y q q 8 5 Ha y és q +, aor Ebből övetezi, hogy q ± a + és, Az y + q + + q + 8 q q
6 Poliomo és algebrai egyelete egyelőség alapjá eseté a 7 Hasolóa iszámíthatju a paraméter értéét a többi esetbe is 8 Határozd meg az összes olya poliomot, amely teljesíti a ( ) P( X ) P ( X) P ( X) P ( X) összefüggést, ahol a P( X ) poliom foszáma Megoldás Mivel grp, övetezi, hogy grp, gr P,, ( ) grp és ( grp ) Tehát ( ) ( ) ( ) gr ( P P P P P ) + + + + + ( ) Ahhoz, hogy teljesüljö a felírt azoosság, a gr P gr P P P egyelőség ( ) is ell teljesüljö, tehát és ( ) I eset Ha, aor ics értelme a PX P ( X) P ( X) feltétele, tehát ebbe az esetbe ics megoldás II eset Ha, aor P ( X ) ax + bx + cx + d P ( X) ax + bx + c P ( X) 6aX + b P ( X) 6a P ( X) P ( X) P ( X) ( ax +bx + c)( 6a X + ab) ax + abx + abx+ abc 8 7 + 6acX + ( 6ac ) 8aX + 8abX + ab X+ abc A P( X) P ( X) P ( X) P ( X) egyelőség csa aor teljesülhet, ha a megegyező foszámú tago együtthatói azoosa, tehát 8a a 8ab b, 6ac+ ab c abc d a, mert gr P 8a és a ± Az egyeletredszer másodi 8 egyelete em ad b- re semmilye feltételt, mert 8 a, tehát b λ R tetszőleges valós szám A harmadi és egyedi egyeletből c ±6 8λ és d λ Tehát a eresett poliom P( X ) ± X + λx ± 6 λ X + λ 6
Poliomo és algebrai egyelete 7 alaú, ahol λ Belátható, hogy ez a poliom tetszőleges λ eseté teljesíti is az adott feltételt 9 Jelöljü,, -mal az + a b + c egyelet gyöeit Írd fel azt az egyeletet, amelye gyöei: a) y + +, y + +, y + + ; b) y, y, y ; c) y +, y +, y + ; Megoldás a) s y + y + y + + a, tehát a feltétele alapjá y a, y a és y a Kiszámolju a p y y+ yy+ yyés q yyyifejezéseet p a a( + ) + +a a( + ) + + + a a( + ) + a a( + + ) + + + ) ( a a( a) + ( b) 7a b q ( a )( a )( a ) a 8 a ( + + ) + a( + + ) a + 8c ab Az egyelet, amelye gyöei y, y és y sy + py q alaba is írható, tehát y + a y + 7a b y a 8c + ab y b) y ( 9 + y + y + +, yy + yy + yy + + ) és yyy, tehát az egyelet y + a y by + c 7 9 7 c c c c) c, tehát y +, y +, y + Ie övetezi, + + hogy s y y y c + +, c c p y y + y y + y y c + + + c + + + c + + c c c + + + + + + és c c q y y y c + + + c + + + + + c c Felhaszálju a feladat eredméyeit, amely szerit + + b ac,
8 Poliomo és algebrai egyelete + + a + b és tudju, hogy Visszahelyettesítve az s, p és q c b a b ac c ifejezésébe, s, p + a + b és c c b ac q c + a + b c Tehát az egyelet, amelye gyöei y, y és y b ac b ac y y + + a + b c c y b ac + c + a b c Bizoyítsd be, hogy az a a + egyelete egyetle a \ eseté sics valós gyöe Megoldás Az em lehet gyöe az egyelete, tehát feltételezhetjü, hogy valós gyöe az egyelete Ebbe az esetbe az a szám is ( + ) valós Ez elletmod a feltételüe, tehát az egyelete a C \ R eseté ics valós megoldása Bizoyítsd be, hogy az m + 9m + + m egyelete em lehet mide gyöe valós egyetle m és valós értére sem! Megoldás Feltételezzü, hogy m, R úgy, hogy és valósa,, s + + + m p + + + + + 9m +, és + + + s p m m r 9 8 9m +, Ha a gyöö mid valósa, aor r, tehát 9m m, ami 9 elletmod m -e Ebből övetezi, hogy em léteze olya m és valós számo, amelyere,, és valósa Határozd meg az a és b paramétere értéeit úgy, hogy az + + a b egyelete legye a) egy étszeres gyöe; b) egy háromszoros gyöe Megoldás a) Ha u az egyelet étszeres gyöe, aor P( u ) P ( u), tehát u + u u + au b () és u + u u + a () a u u + u, és visszahelyettesítve a-t ()-be
Poliomo és algebrai egyelete 9 u 8u + u u + u u u u + u b, tehát b Ahhoz, hogy az u gyö potosa étszeres legye az is szüséges, hogy P ( u ), tehát az előbbi egyelőségebe u C \ ± b) Ha u az egyelet háromszoros gyöe, aor P( u ) P ( u) P ( u), tehát az () és () egyelőségee ívül még u + u () is teljesül A () egyelet függetle a és b-től, és gyöei u, ±, tehát csa u és u a ui ui + u i lehete az egyelete háromszoros gyöei, és eor ui 8ui + u, i b i {, } Bizoyítsd be, hogy ha a omple együtthatós P X X + a X + + a X + polioma egyelő modulusú gyöei vaa, aor P ( ) valós szám Megoldás Az összefüggés alapjá a gyöö modulusa csa lehet Ha cos α + isi α, aor P() ( cosα isi ) és így Az α α α P( ) ( cos α i si α) ( ) cos cos + si i α α α ( ) cos cos i si + összefüggés alapjá α jπ, ahol j, tehát P ( ) Határozd meg az gyö multiplicitását a ( ) X + X + poliom felbotásába, ha? Megoldás u aor és csa aor -szoros gyöe a polioma, ha ( ) ( ) P( u) P ( u) P ( u) P ( u ) és P ( u ) A mi esetübe ( ) P X X X + + és P X X + X Ha, aor P( ) + és P ( ) ( ), tehát étszeres gyöe a polioma α
5 Poliomo és algebrai egyelete Ha >, aor P ( ) ( ) X X + ( ) X, tehát P ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) > Mit láttu, P ( ), P ( ) és P ( ), tehát étszeres gyö, ha > * Összefoglalva, eseté étszeres gyöe a polioma 5 Határozd meg az a, b és c paramétere értéeit úgy, hogy az 5 + 6 + 7 + a + b + c egyelete a háromszoros gyöe legye megoldás A Horer-sémát haszálju 6 7 a b c +a a+b c b+a+8 5 +a b 8 a 5 +a A beeretezett maradéo ullával egyelő, tehát a, b 6 és c Mivel az utolsó sorba az utolsó maradé ullától ülöbözi, a em égyszeres gyö, tehát potosa háromszoros gyöe az adott egyelete megoldás P( ) P ( ) P ( ) ell teljesüljö, tehát 5 ( ) + 6( ) + 7( ) + a( ) + b( ) + c, 5( ) + ( ) + ( ) + a( ) + b és ( ) + 7( ) + ( ) + a Ie övetezi, hogy a, b 6 és c 6 Igazold, hogy ha egy egyedfoú egyelete ét étszeres gyöe va, aor eze számtai özepe gyöe a derivált egyelete Általáosítsd a feladatot! Megoldás Legye u és v a ét étszeres gyö Az egyelet a övetező alaba is írható: u v, ie pedig a derivált egyelet u v + v u ( u)( v) ( ( u + v) ) u + v ( u)( v), u + v u + v tehát gyöe u és v mellett a derivált egyelete, és az u, és v számo számtai haladváyba vaa Megjegyzés Nem helyes a övetező általáosítás: Ha egy -ed foú egyelete darab étszeres gyöe va, aor eze számtai özepe gyöe a derivált egyelete Valóba, legye és,, 6 Az egyelet + + ( ) ( ) ( ) és a derivált egyelete em gyöe 6 Egy helyes általáosítás a övetező:
Poliomo és algebrai egyelete 5 Ha egy -ed foú egyelete darab -szeres gyöe va, aor eze számtai özepe gyöe a derivált egyelete Ee a tulajdosága a bizoyítása hasoló a feebb bemutatott bizoyításhoz 7 Bizoyítsd be, hogy ha egy P( X ) C[ X] polioma az ( X a) -el való ( osztási maradéa RX, aor R ) ( () a P ) () a, ahol P az ( )-edi formális deriváltja P-e Megoldás A P () ( a) Q () + R () egyelőséget formálisa deriválju ( ) -szer, majd a -t helyettesítü a apott egyelőségbe ( ) [ ( ) ] ( ) + ( ) P () C ( a) Q () R () () De [ ] ( ) a ( )( + )( a) behelyettesítési érté ulla Eszerit az () egyelőségből övetezi, hogy ( ) ( ) R () a P () a Megjegyzés Ez a tulajdoság a Bézout tétel egy általáosítása VI6Gyaorlato és feladato (9 oldal) és így az a értére számolt Oldd meg a övetező egyeleteet, ha tudod, hogy a mellettü szereplő számo a megfelelő egyelete gyöei: a) + + 58 5 i; 5 + i b) + + + ; 6 5 c) 6 + + 9 8 + i; Megoldás a) Az egyelet együtthatói valósa és \, tehát 5+ i is gyöe az egyelete Ha elosztju az egyelet midét oldalát az + 9 poliommal, az + egyeletet ell megoldau, tehát i és i Megjegyzés Ugyaehhez az eredméyhez jutu, ha a Horer sémával végezzü el az ( ) és ( ) poliomoal való osztást 58 5 i 5 i i 5+ i b) Az egyelet együtthatói valós számo, tehát is gyö Az egyeletet alotó poliomot elosztva az ( X )( X ) X + poliommal, a H ( X) X X + X + X háyadost apju A maradt három gyööt az + + egyelet gyöei adjá Észrevehető, hogy gyöe az egyelete:
5 Poliomo és algebrai egyelete Tehát, + és ie, 5 c) Az egyelet ( + ) ( 8 + )( + ) alaba írható, tehát a gyöei, ± i,, ± i, 5 és 6 Adott az + a + ( 5 i) + i egyelet Határozd meg az a C paraméter értéét és oldd meg az egyeletet, ha tudod, hogy i gyöe az egyelete Megoldás Mivel ( i) gyöe az egyelete, ( i) + a( i) + ( 5 i)( i) + i ( i + i) + a( i ) + 9i + i i + a( i) 8i + i + 5i a i 5 i i Az egyelet: + ( i 5) + ( 5 i) + i és i gyö, tehát alalmazhatju a Horer-sémát az egyelet reduálására i 5 5 i + i i Tehát az + egyeletet ell megoldju Ee az egyelete a gyöei + és Határozd meg az a és b valós paramétere értéeit úgy, hogy a i gyöe legye az + a + b + 5 egyelete, majd oldd meg az egyeletet Megoldás ( i) ( i) + a( i) + b( i) + 5 8 8i + ( 9a) + 5 + ( i) b a és b 6 Visszahelyettesítve ezeet az értéeet az egyeletbe, az + 6 + 5 egyeletet apju, amelye együtthatói valós számo, tehát is gyöe az egyelete Ez azt jeleti, hogy eloszthatju i az egyeletet az poliommal + 9 + 6 + 5 ( + 5)( + 9), és i, i, + i, i Határozd meg az a paraméter értéét úgy, hogy az + ( a + i) + i egyelete legye valós gyöe Megoldás Ha u az egyelet valós gyöe, aor u + a u + iu + i, vagyis u + au + + i( u ), tehát u Ebből övetezi, hogy a 5 A P( ) valós egyelete az a +bi szám -szeres gyöe Bizoyítsd be, hogy a bi is -szeres gyöe az egyelete
Poliomo és algebrai egyelete 5 Megoldás A bizoyítást szeriti iducióval végezzü el: I Mivel az egyelet valós és a + bi egyszeres gyö, övetezi, hogy a ojugáltja is legalább egyszeres gyö P( ) Ha a bi legalább étszeres gyö lee, aor a ( a ib)( a + ib ) valós együtthatós egyelete is gyöe lee, ami csa aor teljesülhet, ha a +bi is gyöe P( ) a ( b)( a + ib ) egyelete, tehát a + ib étszeres gyöe a a i P( ) egyelete, ez viszot elletmodás, tehát a bi is egyszeres gyö II Elfogadju, hogy ha P( ) egyelete ( a + ib) (-)-szeres gyöe, aor (a bi) is (-)-szeres gyöe és bebizoyítju az állítást -re: Ha a P( ) egyelete a + ib -szeres gyöe, aor a + b i a bi is gyöe az egyelete, aor még ( a ib)( a + ib) Q( ) alaba is írható az egyelet, ahol Q( ) egy olya poliom, amelye a + ib ( )-szeres gyöe Alalmazva az iduciós feltételüet a Q( ) poliomra, a Q( ) egyelete a ib is potosa -szeres gyöe, tehát a ib a P( ) egyelete potosa -szeres gyöe Ezzel az állítást bebizoyítottu 6 Igazold, hogy az + a + + a + + b + c abc,, R egyelete legtöbb ét valós gyöe lehet! Megoldás A Viéte-összefüggése alapjá + + + a + a + a <, tehát mid a égy gyö em lehet valós Mivel az együttható valós számo em lehetséges, hogy az egyelete három valós és egy omple ( \ ) gyöe legye, tehát legtöbb ét valós gyöe lehet az egyelete 7 Botsd irreducibilis téyezőre C[ X] -be és RX [ ]-be a övetező poliomoat! a) P( X) X X + X ; b) P( X ) X 5X + 8X 6; 5 c) P( X) X X + 5X 5X + ; d) P( X ) X X + 5X X + 5, ha tudju, hogy i gyöe; e) P( ) X X + ; f) P( ) X X + ; 8 g) P( ) X 7X + 6 ; h) P( ) X + X + X + X Megoldás a) P( X ) X ( X ) + ( X ) ( X )( X + ) a poliom [X ]-be tovább em botható, [ X ]-be pedig P( X) ( X )( X + i)( X i) b) P X X X X + X ( X i)( X + i) c) P( X) X ( X ) + 5X ( X ) + ( X ) ( X )( X + 5X + ) ( X )( X + )( X + )
5 Poliomo és algebrai egyelete [X ]-be em botható tovább a poliom, [X ]-be pedig P( X) ( X )( X + i)( X i)( X + i)( X i) d) Ha i gyöe a polioma, aor + i is gyöe ell legye, tehát osztható a poliom ( X i)( X + i) -vel Elvégezve az osztást, azt apju, hogy P( X ) ( X X + 5)( X 6X + 5) Az 6 + 5 egyelet gyöei + i és i, a poliom [ X ]-be em botható tovább, [ X ]-be a felbotás P[ X ] ( X + i) ( X i)(x + i)( X i) e) PX [ ] X X + ( X X+ )( X + X+ ) és RX [ ]-be em botható tovább a poliom A felbotás C[ X] -be a övetező: i i i P( X) + X X + X X i f) Megoldju az + egyeletet: ± 5 Az y helyettesítéssel y y + és y,,, ± y,, ± y tehát a poliom felbotása: + 5 + 5 5 5 P( X) X X X + X + A poliom em botható tovább sem RX [ ]-be, sem C[ X] -be g) X 8 7X 6 ( X ) 7X 6 ( X 6)( X ) + + X X + X X + ( X + )( X + )( X )( X + )( X )( X + ), és a poliom tovább em botható RX [ ]-be C[ X] -be a poliom felbotása: P( X) ( X + i)( X i)( X + i)( X i)( X + )( X )( X + )( X ) h) P( X ) ( X + )( X )( X + ) RX [ ]-be és P( X) ( X + )( X )( X + i)( X i) C[ X] -be 8 Írd fel azt a legisebb foú [ X ]-beli, illetve [ X ] -beli poliomot, amelye a) a étszeres, az i egyszeres gyöe; b) a + 5i egyszeres, a i étszeres gyöe Megoldás a) [X ]-be P( X) ( X ) ( X i) [X ]-be a gyöö özt ell szerepelje i i is, tehát P X X X i X + i X X + Megjegyzés Amior [X ]-be írju fel a miimális foszámú poliomot, a gyöö özött csa a omple gyöö ojugáltjai ell pluszba szerepeljee, mert
Poliomo és algebrai egyelete 55 az ( X z)( X z) szorzat biztosa valós együtthatós lesz: ( X z) ( X z) ( X a ib)( X a + ib) ( X a) + b ab, b) [ X ]-be P( X ) ( X 5i)( X + i) Az 5 feladat alapjá [ X ]-be ( 5i) egyszeres és i étszeres gyö ell legye, tehát P( X ) ( X 5i)( X + 5i)( X i) ( X + i) (( X ) + 5)( X + 9 ), ahol z a +ib, 9 Oldd meg az 6 + 8 + 5 egyeletet ( abcd,,, ), ha mide gyöe 5 modulusú omple szám Megoldás Legye az egyi gyö a + ib Az együttható valósa, tehát a ib is gyöe az egyelete Hasolóa, a femaradt ét gyö c + id és c id alaú Eze ívül még tudju, hogy a + b c + d 5 Eze szerit az egyelet:( a ib)( a + ib)( c id)( c + id ) ( a + 5) ( c + 5) ( a + c) + ( ac + ) ( a + c) + 5 a + c a a Ie övetezi, hogy vagy ac + 8 c c Midét esetbe az + i, i, + i és i gyööhöz jutu (esetleg más sorredbe) Oldd meg az + a + + a + egyeletet, ha mide gyöe pozitív szám ( ai, ) Megoldás A Viète összefüggése szerit, tehát + + + + + + Viszot i > i {,, } + +, egyelőség csa aor áll fe, ha Megjegyzés A gyöö alapjá megadhatju az a számoat is Az egyelet alaú, tehát a i i i C, i {,, } Oldd meg az alábbi egyeleteet, ha a melléjü írt számo gyöei! i
56 Poliomo és algebrai egyelete a) 5 7 6; b) + + ; 5 c) 6 + 59 9 97 98 Megoldás a) A poliom együtthatói egész számo, tehát ha 7 6 \ gyöe az egyelete, aor 7+ 6 is gyöe az egyelete Így az egyelet bal oldalá található poliom osztható ( )( )- vel, és az osztást elvégezve az egyelet az + egyeletre reduálódi Eze szerit i és i b) + is gyöe ell legye az egyelete, és elvégezve az osztást az ( )( ) poliommal megapju az gyööt is c) is gyöe az egyelete, és az egyelet felírható ( )( ) Q( ) alaba A Q( ) poliomot az osztás elvégzésével határozzu meg: 5 6 + 59 9 97 98 ( 99)( 6 + + + ), tehát a Q( ) 6 + + + egyeletet ell még megoldau 6 + + + + + + 6 + +, i és i Határozd meg az a paraméter értéét úgy, hogy a + a + 7 egyelete az + 7 szám gyöe legye majd oldd meg az egyeletet Megoldás Behelyettesítve a gyööt az egyeletbe, megapju a értéét + 7+ 7+ 7 7 + 7+ 7 + a + 7 + 7 7 a Mivel + 7 gyö, végigoszthatju az egyeletet az ( poliommal 7) a többi gyö meghatározásáa érdeébe Így a 6 + 6 7 + 7 egyeletet apju, amelye gyöei 97 7 7 7 + és ( ) 7 7 6 6 7 6 7 + Határozd meg az a és b racioális számoat úgy, hogy az 5 + a egyelete a b + szám gyöe legye, majd oldd meg az egyeletet!
Poliomo és algebrai egyelete 57 Megoldás b és az egyelet együtthatói egész számo, tehát b is gyöe az egyelete Ha behelyettesítjü az egyeletbe a b és b + értéeet, a ( b b 6b ) ( b + ) 5( b ) + a ( 6 ) ( ) 5 + és b + b + b + b + b + b + + a egyelőségehez jutu Ebből övetezi, hogy 6b b + b 8 b Ee az egyelete a gyöei b és +,,, b b eseté a és 8 a és 7, b eseté VI7 Gyaorlato és feladato (96 oldal) Oldd meg az alábbi bivadratius egyeleteet: a) 9 + ; b) + ; 6 + + ; d) + ( + ) 8 c) Megoldás a) Az y helyettesítéssel a 9y y + egyeletet apju 5± 5 9 Ee az egyelete a gyöei y, y és y 9 9 I és II és 9 b) y y y + és y, 6± 6 y és y I 8 és II és 8 c) 6 ( ) és ( ) Eze az összefüggése sugalljá a ( ) y helyettesítést Eszerit az új egyelet: y + y + Az egyelet diszrimiása ( ( + ) ± ( ) y, és y, y I II + ), tehát